Année 2004-05 Cours de Traitement du...

of 32 /32
Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 1 Université Paris-Sud ORSAY Département Mesures Physiques Année 2004-05 Cours de Traitement du Signal Partie 1 Transformation Temps Fréquences Roger REYNAUD temps fréquences e 2πj ν t δ(f-ν) Réel Imaginaire Réel Imaginaire La figure symbolise la transformation de Fourier permettant de passer d'une représentation temporelle complexe, ici la fonction de base de l’analyse en diagramme de Bode en analogique, à une représentation fréquentielle complexe équivalente

Embed Size (px)

Transcript of Année 2004-05 Cours de Traitement du...

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 1

    Universit Paris-Sud

    ORSAY

    Dpartement Mesures Physiques

    Anne 2004-05

    Cours de Traitement du Signal

    Partie 1

    Transformation Temps Frquences

    Roger REYNAUD

    temps

    frquences

    e 2j t

    (f-)

    Rel

    Imaginaire

    Rel

    Imaginaire

    La figure symbolise la transformation de Fourier permettant de passer d'une reprsentation temporelle complexe, ici la fonction de base de lanalyse en diagramme de Bode en analogique, une reprsentation frquentielle complexe quivalente

  • 2 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Plan du cours

    Partie 1

    Transformation

    Temps

    Frquence

    Traitement du Signal...........................................3

    Signaux et bruits ......................................................3

    Energie et puissance ................................................5

    Systmes linaires....................................................6

    Traitement du signal ................................................7

    Sries de Fourier .................................................9

    Fonctions priodiques..............................................9

    Proprits ...............................................................10

    Spectre de raies ......................................................10

    Valeur efficace d'un signal priodique...................11

    Taux dharmoniques ..............................................11

    Sens physique sur un exemple ...............................12

    Rponse d'un systme linaire une entre priodique................................................13

    Table des dveloppements .....................................14

    Distributions......................................................15

    Heaviside ...............................................................15

    Porte.......................................................................15

    Triangle..................................................................15

    Dirac ......................................................................15

    Peigne de Dirac......................................................16

    Transformation de Fourier ................................17

    Proprits ...............................................................17

    Exemples ...............................................................18

    Associer un signal et son spectre ...........................20

    Produit de convolution ..................................... 23

    Exemples ...............................................................23

    Proprits...............................................................23

    Systme causal dpendant du temps......................24

    Technique de calcul...............................................25

    Filtres en cascade...................................................26

    Application au filtrage linaire ......................... 27

    Filtrage frquentiel ................................................27

    Filtrage temporel....................................................28

    Fentrage ...............................................................28

    Diagramme de Bode et dcomposition en transforme de Fourier ..................................29

    Spectre de raie .......................................................30

    Spectre continu......................................................30

    Spectre et bruit ................................................. 31

    Sinusode...............................................................31

    Spectre dune ralisation dun bruit.......................31

    Spectre dun bruit ..................................................31

    Bibliographie.................................................... 32

    Partie 2

    Transformation

    Signal continu Signal chantillonn

    Partie 3

    Application au filtrage

    Analogique Numrique

  • Traitement du Signal Signaux et bruits

    Lorsqu'un systme physique volue, il se manifeste l'observateur sous une multitude de forme. L'observateur rcupre l'information par l'intermdiaire d'un capteur au travers d'une mesure physique. Nous dirons alors que le systme a mis un signal. Pour des raisons techniques et technologiques, ce signal est habituellement converti en grandeur lectrique.

    Pour conserver une certaine gnralit, nous supposons que ce signal dpend au moins d'un paramtre. Nous insisterons dans ce cours particulirement sur le cas o ce paramtre est le temps parce que le traitement du signal est la base l'tude des signaux qui dpendent du temps, mais les techniques s'appliqueraient aussi au cas o ce paramtre n'est pas le temps.

    Signal y = s ( t ) Etudier un signal revient tudier la relation prcdente. Le temps physique t est un paramtre continu. Mais dans la relation prcdente, il peut soit se prsenter sous forme continue (nous connaissons la relation pour toutes les valeurs du temps physique aux bornes d'un oscilloscope analogique par exemple) soit sous forme discrte (nous connaissons la relation pour certaines valeurs du temps physique aux bornes d'un oscilloscope numrique par exemple).

    Le passage continu discret s'appelle chantillonnage, le passage discret continu s'appelle interpolation.

    s et y sont des fonctions valeurs continues ou discrtes. Le passage dune valeur continue discrte s'appelle

    une quantification. Le passage inverse se fait par simple immersion des valeurs, codes ou symboles discrets dans un espace continu qui les englobe.

    t paramtre continu t paramtre discret

    Valeurs continues chantillonnage quantification Valeurs discrtes interpolation immersion

    Exemples de signaux

    Type dterministe Exemple Dure Energie

    Signaux priodiques de priode T

    t alors s(t) = s(t + T)

    y = cos ( t ) dcomposable en srie de Fourier sur une base de fonctions priodiques de mme priode

    T = 2

    Signaux support fini ou transitoire

    Son bref dcomposable en srie de Fourier (sur une base de fonctions priodiques de priode suprieure au support)

    Finie Finie

    Signaux quelconques Parole humaine ou morceau de musique dcomposable par transforme de Fourier uniquement

    Type alatoire Bruit thermique dcrit par des lois de probabilit

    Bruit Ce que nous observons aux travers des mesures physiques est une combinaison entre le signal que nous cherchons identifier et des signaux provoqus par des phnomnes dterministes qui ne nous intressent pas au niveau de cette mesure physique, ou par des phnomnes non dterministes (que l'on qualifie d'alatoires) dans le sens o ils ne se reproduisent pas de la mme faon d'une exprience la suivante. Nous appelons alors

    signal la partie utile du signal, c'est--dire la partie digne d'intrt vis--vis du problme que l'on est en train de traiter. Tout le reste est du "bruit".

  • 4 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Caractrisation

    Les bruits se prsentent frquemment comme des phnomnes alatoires non prdictibles d'une exprience l'autre. Pour caractriser ces signaux, nous allons introduire les grandeurs statistiques suivantes :

    Pour un bruit centr

    Valeur moyenne = 1t

    lim 1

    T t

    t+T

    b(t) dt = [0 ]

    Variance Variance = t

    lim

    1

    T t

    t+T

    [b(t) - ]2 dt = [< 2b > ] cart quadratique moyen R.M.S = Variance = [

    2

    b ]

    Densit spectrale nergtique par unit de frquence D.S.E. = Puissancefrquence

    Exemple de bruits permanents

    Type Moyenne Variance R.M.S.

    Valeur efficace

    Densit Spectrale

    Bruit thermique

    Dplacement alatoire des lectrons

    =0 =4 k T R

    = 4kT

    R

    R= 105

    T=300 K

    = 105 Hz R.M.S. = 10V

    constant

    Bruit blanc

    Bruit de grenaille : Traverse d'une barrire de potentiel Emetteur-Base par des lectrons

    =0 =2 q I I= 10mA =105 Hz R.M.S. = 10nA

    constant

    Bruit blanc

    Bruit de gnration recombinaison

    Bruit d'avalanche

    Relation entre observation, signal et bruit

    Observation = signal [digne d'intrt] + bruit [le reste]

    La relation Observation = signal [digne d'intrt] + bruit[le reste] est souvent utilise, soit parce que, pour des raisons physiques, elle reprsente la vrit du phnomne tudi, soit, parce qu'elle est une bonne approximation de cette vrit. Les imprcisions et incertitudes de cette approximation, provenant de notre mconnaissance de certaines lois ou de certains paramtres du milieu physique ou de la complexit de la rsolution du problme (dfinir toutes les trajectoires des particules d'une enceinte par exemple) sont alors englobes au sein d'un bruit de caractre alatoire. D'autres relations sont possibles entre bruit, signal utile et observation par exemple un bruit multiplicatif.

    Il faut remarquer que la connaissance du signal utile nous amne la mme connaissance sur le bruit. Ces deux composantes jouent donc un rle dual.

    1 Le signe = veut dire gal par dfinition

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 5

    Histogramme des amplitudes gaussien

    Amplitude Amplitude

    Temps

    Histogramme

    Notation obtenue par analogie avec le spectre optique

    Bruit gaussien aux angles "arrondis" : bruit rose

    Bruit gaussien aux angles "vifs" : bruit blanc

    Il existe des bruits colors car ils ne contiennent pas toutes les frquences de faon uniforme.

    Energie et puissance

    Signal s(t) T1 T2

    Valeur moyenne entre T1 et T2 < s > =

    1

    T2- T1

    1T

    2T

    s(t) dt Nouvelle dfinition pour la puissance sans dimension physique :

    Puissance instantane en t P(t) = |s(t)| 2

    Energie entre T1 et T2 E =

    1T

    2T

    dE = 1T2T

    P(t) dt = 1T2T

    |s(t)| 2dt Puissance moyenne entre T1 et T2 P =

    ET2-T1

    = 1

    T2-T1

    1T

    2T

    |s(t)| 2dt = Mme grandeur sur support infini : limite quand -T1= T2 + de la grandeur correspondante

    Variance = Ecart type2

    s2 = < | s - < s >|2 > = < s2> - < s >2 Valeur efficace Veff = P = ou Root Mean Square

    Autre dfinition : amplitude du signal constant ayant la mme puissance moyenne

  • 6 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Systmes linaires

    Systme = Boite noire x(t) y(t) = H(x(t))

    La description prcdente est dite externe2 car elle propose de dfinir le systme uniquement au moyen de relations entre les sorties et les entres du systme. Cette reprsentation simple est dj suffisamment riche pour tre formalise et utilise de faon oprationnelle dans le cas de systmes linaires. Les relations qui suivent permettent alors de formaliser les relations entres - sorties du systme.

    Systme linaire , scalaire u, v signaux dpendant du temps, alors H[ u(t) + v(t) ] = H[u(t)] + H[v(t)] Soient deux signaux u et v (fonctions dpendant du temps), alors la connaissance de la rponse du systme linaire pour ces deux signaux est suffisante pour connatre la rponse tout signal combinaison linaire de ces deux signaux.

    Invariance dans le temps par dcalage

    x(t) y(t)

    x(t-) y(t-)

    0

    0 10 20 30 40

    00 10 20 30 40 50

    x(t)

    y(t)

    x(t-10)

    y(t-10)temps t

    temps t

    La notion d'invariance par dcalage dans le temps est fondamentale dans de nombreux problmes de physique En effet, elle autorise s'affranchir du positionnement absolu du zro qui est inaccessible dans bon nombre d'expriences. Dans lexemple de la figure prcdente, on voit apparatre 2 chelles de temps sur laxe des abscisses correspondant un positionnement diffrent de linstant zro. Linvariance par dcalage signifie que la rponse du systme est indpendante du positionnement du zro sur laxe des temps.

    Rponse impulsionnelle d'un systme invariant

    (t) h(t)

    (t-) h(t-)

    0

    1

    0

    Dirac

    Rponse impulsionnelle

    temps t

    temps t

    causalit

    Ltude des systmes linaires invariant par dcalage est la base des disciplines Automatique ou Traitement du Signal. Nous vous proposons dans ce cours une premire approche faisant intervenir la notion de signal, la notion de spectre, les mcanismes de transformations analogique vers numrique, et des bases concernant le filtrage numrique du signal.

    2 Il existe d'autres reprsentations pour dfinir les systmes physiques plus complexes.

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 7

    Traitement du signal

    Dfinition Le traitement du signal est un ensemble de techniques et de mthodes permettant de recueillir l'information contenue dans un signal et de la prsenter l'observateur sous une forme comprhensive aprs lavoir traite.

    Bien que nous ne prsentions qu'un aperu des traitements possibles que l'on peut effectuer sur le signal, la philosophie utilise en Traitement du Signal est presque toujours la mme. On peut souvent montrer qu'il y a quivalence entre diffrentes reprsentations du mme phnomne physique. Alors le traiteur de Signal choisit la reprsentation la mieux adapte la rsolution de son problme. Il transforme alors la reprsentation initiale, traite le problme et reprsente le rsultat dans la reprsentation finale la mieux adapte.

    Dans ce cours, nous allons tudier deux transformations particulires et importantes, qui s'appliquent aux problmes utilisant des chanes de transformation des signaux dcrites ci-dessous.

    Transformation temps - frquence

    x(t) y(t) = H(x(t)) Reprsentation temporelle

    Fourier Fourier-1 X() Y() Reprsentation frquentielle

    Traitement plus simple

    La transformation temps-frquence est la plus importante du monde physique. Elle signifie quil existe une reprsentation duale la reprsentation temporelle, la reprsentation frquentielle, sur laquelle nous pouvons raisonner pour analyser et expliquer des phnomnes physiques. Ces notions sur le contenu spectral des signaux ont t utilises ds lantiquit et le moyen age dans la ralisation dinstruments de musique. Elles ont t formalises au dbut du dix-neuvime sicle par plusieurs mathmaticiens clbres (Fourier, Laplace et dautres). Cette reprsentation spectrale est finalement trs utilise, car il se trouve que les mcanismes mis en uvre dans le domaine spectral pour ltude des systmes linaires sont plus simples que dans le domaine temporel.

    Transformation analogique - numrique

    x(t) y(t) = H(x(t)) Reprsentation analogique

    Echantillonnage Interpolation {Xn} {Yn } Reprsentation numrique

    Traitement plus efficace

    Cette deuxime transformation ne relie pas deux reprsentations parfaitement quivalentes. Lobjectif de ce cours sera de montrer que, sous la condition de respecter une relation concernant les frquences des phnomnes tudier (relation plus connue sous la dnomination de thorme de Shannon), il est alors possible dimplmenter dans un systme numrique toutes les formes de filtrages connues dans le monde analogique, mais aussi dautres formes de traitement numrique du signal beaucoup plus sophistiques.

    Connaissant lvolution rapide des technologies numriques, en particulier la loi de Moore indiquant que sur les trente dernires annes, la puissances des ordinateurs a t multiplie par deux tous les deux ans (les micro-lectroniciens pensent que cette loi va rester valables jusquen 2010-15), alors un grand nombre dapplications auparavant analogiques vont passer dans le monde numrique.

  • 8 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Application au filtrage numrique

    La dernire partie du cours concernera ltude et la ralisation de filtres numriques. Dans le schma qui suit le filtrage numrique et le traitement numrique de linformation se situe dans la case en gris. Il ny a aujourdhui quasiment pas de limite en ce qui concerne le traitement numrique de linformation. Les dernires barrires sont dordre technologiques et concernent lobtention des rsultats sous des contraintes de dlais trs faibles ou de dbits importants.

    Chaque tape de traitement peut dnaturer ou transformer en partie l'information que contient le signal ce niveau de traitement. De mme chaque changement de reprsentation peut modifier l'information transporte par le signal. L'utilisation des techniques de Traitement du Signal perturbe le signal lui-mme, mais cette utilisation est souvent un passage oblig pour rsoudre le problme initial. Il nous faut donc apprendre connatre quelles sont les perturbations induites par chacune des tapes de traitement. Nous nous limitons dans ce cours l'tude des reprsentations temporelle et frquentielle, ainsi qu'aux problmes d'chantillonnage pour passer en reprsentation numrique.

    Chane de Traitement du signal

    Chane de Traitement analogique

    Chane de Traitement numrique

    Capteur Capteur

    Amplification Amplification

    Filtrage Filtrage

    Transport Echantillonnage

    Traitement analogique Conversion Analogique Numrique

    Transport sur rseaux

    Mmoriser

    Enregistrer

    Afficher

    Traitement numrique sur ordinateur,

    Mmorisation et stockage,

    Enregistrement numrique

    Affichage et restitution

    A ce stade, un lien sera tabli avec le cours concernant linstrumentation numrique, les convertisseurs analogiques numriques CAN et numriques analogiques CNA.

  • Sries de Fourier Fonctions priodiques

    Les fonctions e 2j n t = e jnt = cos (nt) + j sin (nt) forment une base orthogonale complte des

    fonctions priodiques de priode T= 1

    , de frquence ou de pulsation = 2. Etre une base orthogonale

    complte, cela veut dire quune fonction quelconque f (t) de priode T est dcomposable de faon unique sur

    cette base de fonctions priodiques. Les coefficients de cette dcomposition sont appels les coefficients Cn de la srie de Fourier quand la dcomposition a lieu sur les fonctions e jnt et an et bn quand la dcomposition a lieu sur la base quivalente des fonctions cos(nt) et sin (nt). La fonction g(t) prend lune des formes quivalentes suivantes :

    g(t) = a0 + +

    = 1nan cos(nt)+

    +

    = 1nbn sin(nt)] Forme paire et impaire

    g(t) = d0 + +

    = 1ndn cos(nt + n) Forme module et phase

    g(t) = +

    =n

    Cn e jnt Forme complexe

    Il existe des relations entre an, bn, Cn, dn et n.

    Cn = 1T

    a

    a+T

    g(t) e jnt dt = an - j bn C0 = a0 = d0 = 1T

    a

    a+T

    g(t) dt

    an = 2T

    a

    a+T

    g(t) cos(nt) dt = Cn + C-n dn = an2 + bn2

    bn = 2T

    a

    a+T

    g(t) sin(nt) dt = j Cn - j C-n n = - arctan( bn

    an )

    2*Cn = an - j bn = dn cos (n) + j dn sin (n) = dn exp (jn) 2*C-n = an + j bn

    La composante de rang n=0 sappelle la valeur moyenne ou le continu reprsentant la frquence 0.

    La composante de rang n = 1 s'appelle le fondamental. La frquence du fondamental est = / 2. Les composantes de rang n suprieur 1 sont les harmoniques de frquences multiples du fondamental.

  • 10 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Proprits

    Linarit Cn [ h ( t ) + g (t)] = Cn [ h ( t ) ] + Cn [ g (t)]

    Parit fonction Paire Dcomposition sur des fonctions paires bn =0

    fonction Impaire Dcomposition sur des fonctions impaires an = 0

    Translation Cn [g (t-a)] = e jnaCn [g (t)]

    Drivation Cn[ t

    g (t)] = jn Cn [g (t)]

    Convolution Cn[ h g ] = Cn[ h ] Cn [ g ] Egalit de Parseval

    = 1T

    a

    a+T

    h() g() d = +

    =n

    Cn[ h ] C-n [ g ]

    = 1T

    a

    a+T

    g()2

    d = +

    =n

    |Cn[ g ]|2 = a02 + 12

    +

    = 1n( an[ g ]2 + bn[ g ]2)

    Spectre de raies

    Soit une fonction g(t) priodique quelconque et soit G (f) sa transforme de Fourier

    g(t) = +

    =n

    Cn e2jnt F G (f) = +

    =n

    Cn[ f ] (f - n )

    Cette relation montrera, aprs tude de la transforme de Fourier, qu'il est possible de considrer les

    coefficients Cn comme les seules valeurs non nulles de le reprsentation du spectre de g(t). Le terme spectre est utilis ici en tant que reprsentation en frquence de la fonction g(t). Au niveau graphique, il est frquent de prsenter :

    un spectre en amplitude pour connatre la puissance transporte par chaque composante de frquence n.

    dn = 2 Cn = 2 C-n si la fonction f est relle.

    d

    dd

    dd

    dd

    d

    0 1 2 3 4 5 6 7

    0

    1

    2

    4

    3

    56

    Reprsentation monolatrale

    7

    f/n=

    dn

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 11

    Reprsentation bilatrale

    12

    43

    567

    cc

    cc c

    cc cc c

    c cc

    cc 0

    12

    43

    56 7

    - - - - - -

    - -- -

    --

    -

    f/n=0 1 2 3 4 5 6 71234567

    cn

    une forme perspective Cn[f] valeur complexe fonction de la frquence f.

    cc

    01

    01

    23

    -2-1

    Reprsentation perspectiveRel

    Imaginaire b1

    a1

    b1

    c-1

    n=fT

    -3

    a1

    c 2c 3

    c-2

    b2b3

    a2a3 a0

    a2

    a3

    b2b3

    c-3

    Valeur efficace d'un signal priodique

    Veff2

    = = 1

    Ta

    a+T

    f(t)2

    dt

    On part de f(t) = +

    =n

    Cn e j n t

    ou de f(t) = a0 + +

    = 1n [an cos(nt)+ bn sin(nt)]

    On obtient Veff2

    = +

    =n

    Cn2 = a02 + +

    = 1n [ n

    2

    a2

    + n2

    b2

    ]

    Taux dharmoniques

    Td = Puissance_des_ harmoniques

    Puissance_ du_ fondamental =

    Valeur_ efficace_ des_ harmoniques

    Valeur_efficace_ du_ fondamental

    =

    n=2

    +

    n2

    a2

    + n2

    b2

    1

    2

    a2

    + 12

    b2

    =

    Veff2 - a02 - ( 1

    2

    a2

    + 12

    b2

    )

    1

    2

    a2

    + 12

    b2

    La valeur du taux dharmoniques Td permet de mesurer la puret dun signal. Le taux de distorsion harmonique Td, dfini par la mme formule, permet de mesurer les dgradations amenes par un pr-ampli ou un ampli analogique dans une chane de restitution des sons. On suppose introduire une sinusode pure en entre du systme damplification. Aprs avoir ralis la dcomposition en srie de Fourier de la sortie correspondante, on value le taux de distorsion harmonique inject par les dfauts du systme damplification : crtage, non-linarits dpendant de lamplitude ou du signe du signal, Le rapport signal sur bruit amen par lappareillage doit tre suprieur 100-120 dB pour des appareils haut de gamme.

  • 12 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Sens physique sur un exemple Soit le signal priodique et symtrique carr par exemple. On part de la formule de dcomposition en amplitude et dphasage. Si on peut se ramener un signal pair ou impair par un dcalage dans le temps, alors on ne se prive pas de le faire, car il lui correspond un dphasage simple sur les coefficients de la dcomposition en srie de Fourier.

    g (t) = a0 + +

    = 1nan cos(nt)+

    +

    = 1nbn sin(nt)] = d0 +

    +

    = 1ndn cos(nt + n)

    Nous effectuons le calcul du premier terme et nous le soustrayons la fonction.

    g (t) - a0 =

    4

    [cos (t) - 1

    3 cos (3t) +

    1

    5 cos (5t) ...] =

    +

    = 1ndn cos(nt + n)

    Cest maintenant un nouveau signal valeur moyenne nulle. Ce qui veut dire quil y a autant de parties positives que de parties ngatives dans ce signal. Nous calculons alors le fondamental que nous soustrayons de nouveau.

    g (t) - a0 d1 cos(t + 1) = +

    = 2ndn cos(nt + n).

    Cest toujours un signal valeur moyenne nulle. Nous pouvons continuer approcher la fonction priodique de base par sa somme en srie de Fourier en calculant les termes les uns aprs les autres. Les termes non calculs constituent un rsidu de valeur moyenne nulle et damplitude dcroissante au bout dun certain rang, car on approche de plus en plus la fonction priodique de base.

    Fonction priodique dcomposer

    Fonction dcale dans le temps Simplification de la parit

    +Calcul de la valeur moyenne

    Premire approximation : Valeur moyenne + fondamental

    Deuxime approximation : Valeur moyenne + fondamental

    + premier harmonique non nul

    Troisime approximation : Valeur moyenne + fondamental

    + premier harmonique non nul

    +second harmonique non nul

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 13

    Rponse d'un systme linaire une entre priodique Nous disposons dun filtre linaire, invariant par dcalage.

    e(t) s(t)

    Supposons que nous ayons tudi le filtre en effectuant une analyse pratique et en traant le diagramme de

    Bode correspondant. Pour chaque entre sinusodale pure de la forme e j n t

    , nous connaissions lattnuation

    en module et le dphasage. Globalement, nous pouvons alors crire la relation avec la notation complexe

    suivante o H reprsente un nombre complexe dont le module correspondant lattnuation (ou lamplification sil est de norme suprieure 1) et la phase correspondant au dphasage entre la sortie du filtre

    et lentre sont obtenus pour la pulsation en cours danalyse n.

    et n e(t) =e j n t

    s(t) = H(jn)e j n t

    Alors par linarit de la transformation de Fourier, quelque soit lentre priodique f(t) de priode T= 1 , de frquence ou de pulsation = 2, nous pouvons produire une dcomposition en srie de Fourier partir du fondamental et de ses harmoniques. Nous connaissons donc aussi la sortie s(t) correspondante donne dans lquation suivante :

    f(t) = +

    =n

    Cn e j n t

    s(t) = +

    =n

    Cn H(jn) e j n t

    Cette formule peut donc s'crire sous une forme module et dphasage suivante qui fait mieux apparatre le

    module et l'argument de la transmittance H(j) :

    f(t) = d0 + +

    = 1ndn cos(nt + n) s(t) tel que

    s(t) = H (0) d0 + +

    = 1n |H(jn)| dn cos( nt + n + arg[H(jn)] )

    H(j)

    H(j)

    Attnuation ou amplification en module

    Rajout dun dphasage

    H(j)

  • 14 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Table des dveloppements

    =2/

    =2/

    =2/

    =2/

    =2/

    =2/

    V(t) = E.

    4

    [sin (t) + 1

    3 sin (3t) +

    1

    5 sin (5t) + ...]

    V(t) = E T

    + 2 [ sin (

    T

    )cos(t) +

    12 sin(2

    T

    )cos (2t) + 13 sin(3

    T

    )cos (3t) ...]

    V(t) = 8

    2 [cos (t) + 1

    32 cos (3t) +

    1

    52 cos (5t) + ...]

    V(t) =

    2 [ sin(t) -

    12 sin(2t) +

    1

    3 sin 3t) +

    14 sin(4t)

    + ...] V(t) =

    2 +

    4 [

    1

    3 cos (2t) -

    13x5

    cos (4t)

    + 1

    5x7 cos (6t) + ...]

    V(t) = +

    2 sin (t) +

    2 [

    1

    3 cos (2t) +

    1

    3x5 cos (4t) +

    15x7

    cos (6t) + ...]

  • Distributions Il s'agit d'un formalisme concernant les fonctions valeurs continues paramtres continus. L'introduction des distributions rpond au besoin de trouver un formalisme cohrent pour grer de faon formelle les discontinuits prsentes dans les signaux physiques rels.

    Heaviside ou chelon unitaire

    ou fonction caractristique

    sur ]0, +[ 0

    1

    x

    H(x)

    0

    1

    x

    H(x-a)

    a

    1/2

    Porte ou fentre unitaire

    ou fonction caractristique

    sur ]-1/2, +1/2[ 0

    1

    -1/2 1/2

    1/2

    ( )x

    x 0

    1

    xa-T/2 a+T/2

    1/2

    x-a ( )T

    a

    Triangle (x)

    0

    1

    x-1 1

    ( )x

    0

    1

    xa-T a+T

    x-a T

    a

    ( )

    Dirac (x) = (x)

    0 x

    ( )x1

    0 x

    ( )= ( )x-a1

    a

    xa

    (a.x) = 1/a (x)

    +

    f()(-a) d = f(a) Multiplication simple : f (x).(x-a) = f(a).(x-a)

    Echantillonner une fonction quelconque f(x) ou la fonction constante de valeur f(a) donne le mme rsultat au point x = a

    En effet, en x=a, f(x) et f(a) ont mme valeur.

    En xa, f(x).(x-a) = f(a).(x-a) = 0

    La multiplication par un Dirac est donc assimilable une prise dchantillon.

    0 x

    ( )= ( )x-a1

    a

    xa

    f(x)

    f(a)

  • 16 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Produit de convolution : f (x).(x-a) = f(x-a)

    Le produit de convolution par un Dirac est donc assimilable un dcalage de la fonction.

    0 x

    ( )= ( )x-a1

    a

    xa

    Peigne de Dirac (x)

    0 x

    ( )x1

    1 2-1-2

    3

    0 x

    ( )a.x1/a

    1/a 2/a-1/a

    Multiplication simple : f (x). (x/T)

    La multiplication par un peigne de Dirac est donc assimilable une prise dchantillon intervalles constants un facteur multiplicatif prs.

    0 x

    ( )x/TT

    T 2T-T

    Produit de convolution : f (x). (x/T)

    Le produit de convolution par un peigne de Dirac est donc assimilable une priodisation du signal un facteur multiplicatif prs.

    0 x

    ( )x/TT

    T 2T-T

    f (x). (x/T)

    Drivation au sens des distributions

    H'(x-a) = (x-a) Une discontinuit d'amplitude 1 au point a donne pour drive un Dirac (x-a) non nul en ce point.

    Soit une fonction discontinue D(x) = f(x) + H(x-a) avec f continue en a et drivable droite et gauche, alors sa drive au sens des distributions est D'(x) = f '(x) + (x-a)

    f(x)

    f(x)

    f(x)

  • Transformation de Fourier f () = F [f (x)] =

    +

    f (x)e2jxdx f (0) = +

    f (x) dx f (x) = F 1 [ f ()] =

    +

    f ()e+2jx d f (0) = +

    f () d Proprits

    F est un oprateur linaire sur les fonctions F [f + g] = F [f ] + F [g]

    Parit Soit Pair [f] (x) = f (x) + f (-x) partie paire de la fonction f. Soit mpair [f] (x) = f (x) - f (-x) partie impaire de la fonction f.

    Alors f (x) = Pair [f] (x) +mpair [f] (x)

    f (x) = eel o Pair [f] (x) + mag o Pair [f] (x) + eel o mpair [f] (x) + mag o mpair [f] (x) f () = eel o Pair[ f ] () + mag o Pair[ f ] () + eel o mpair[ f ] () + mag o mpair[ f ]()

    Inversion de x F [f (-x)] = f (-) Conjugaison F [ f (x) ] = f (-)

    Changement d'chelle F[f (a x)] = 1a

    f (a

    )

    Translation F [f (x-a)] = e2ja f () Modulation F [ e2joa f (x)] = f ( - o ) Drivation F [ d

    dx f (x)] = 2j f ()

    d

    d f () = F [ 2jx f (x)]

    Convolution F [ f g ] = F [ f ] F [ g ] F [ f g ] = F [ f ] F [ g ] Formule de Parseval - Plancherel

    =

    +

    f() g() d = +

    f () g () d =

    +

    f() f () d = +

    f(x)2 dx = +

    f ()2 d Le passage dune reprsentation temporelle une reprsentation frquentielle conserve lenergie.

  • 18 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Exemples

    -1 0 1

    e- x2

    F

    e2

    1

    j

    1-1

    e-x

    F

    2

    1+(2)2

    1

    j

    1/2 1/2-

    (x) F

    sinc() =

    sin()

    1

    j

    1-1

    (x) =

    (x)

    F

    sinc()2 1

    j

    (x) F

    1 1

    j

    xo

    (x - xo) F

    e2jxo 1

    j

    e+2jox

    F

    (-)

    1

    j

    F cos(2) =

    e2j ox + e

    2 j ox

    2

    1

    2(-)

    +1

    2(+)

    1

    j1/2

    1/2

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 19

    F sin(2 o x)=

    e2j ox e

    2 j ox

    2j

    j

    2(+)

    - j

    2(-)

    1

    j -1/2

    1/2

    signe(x) F

    j

    1

    j

    H(x) F

    - j

    2 +1

    2() 1

    j

    1/2

    (x) F

    ()

    1

    j

    1

    10

    T(x) = 1

    T (x

    T)

    = (x-nT) = 1

    T (

    x

    T-n)

    F (.T) = (T - n)

    =1

    T ( -

    n

    T )

    = 1

    T 1

    T (x)

    1

    j0

    1/T

    1/T

    Soit f(x) le motif de base dune fonction priodique f(x) sur une priode [a, a+T[ et valant 0 ailleurs.

    1/2 1/2-

    f(x)= une porte F f ()

    1

    j

    f(x) de priode T

    f(x) = f(x) T(x)

    F

    Spectre de raies f () = f () (.T)

    f () = 1

    T +

    =n

    f (n

    T ) ( -

    n

    T )

  • 20 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Associer un signal et son spectre Une des preuves d'examen consiste associer une srie de signaux avec leur spectre. Tous les tracs sont disponibles, le spectre tant trac en module, la phase tant inconnue.

    Signaux

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5

    0

    0.5

    1

    A

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

    0

    5

    B

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

    0

    5

    C

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

    0

    5

    D

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

    0

    5

    E

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

    0

    1

    2

    F

  • Traitement du Signal Imprim le 19/07/11 21

    Spectres

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    1000

    2000

    1

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    500

    1000

    2

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    500

    1000

    3

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    5

    10

    15

    4

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    500

    1000

    5

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    500

    1000

    6

  • 22 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Trac de spectre

    L'analyse des tracs de spectre en physique n'est pas toujours aise comme vous pouvez le voir sur la srie d'exemples prcdents. Lorsqu'on passe dans l'espace des spectres par transforme de Fourier, on a pour objectif d'arriver mieux percevoir dans cet espace les diffrentes composantes prsentes dans le signal.

    Signal priodique + bruit

    Par exemple une des composantes est un bruit blanc, donc large spectre, et l'autre composante est un signal priodique, donc avec un spectre de raie, chaque raie tant bande troite. Les proprits de conservation de l'energie par passage de la reprsentation temporelle la reprsentation spectrale permettent dans ce cas de simplifier l'analyse des composantes de signaux, car l'energie se concentre dans la reprsentation spectrale dans des raies et elles apparassent alors au dessus du niveau du spectre du bruit.

    Associer un signal et son spectre

    Une des preuves d'examen consiste associer une srie de signaux avec leur spectre. Tous les tracs sont disponibles, le spectre tant trac en module, la phase tant inconnue. Diffrentes caractristiques doivent vous permettre de rpondre cette question.

    Le spectre Simple Compos Le spectre est-il simple ou compos de plusieurs signaux ?

    Chaque composante Chaque composante est-elle une raie, un spectre de raies, un signal bande troite, un signal large bande?

    Quelles sont les frquences caractristiques ?

    Comment se servir des amplitudes relatives pour associer signaux et spectres?

    Dure dun signal Il faut tudier la largeur des raies pour connatre la dure d'un signal.

    Rponse

    A4 - B3 - C1 - D5 - E6 - F2

    A4 Un seul signal est spectre continu et non priodique par ailleurs.

    C1 - F2 les 2 signaux sont spectre de raies pures 1 et 2. Ils correspondent la somme de deux sinusodes non tronques et un signal carr non tronqu plus du bruit F. Ils sont alors faciles discriminer.

    B3 - D5 - E6 Les spectres sont larges. Ils correspondent des signaux temporels tronqus dans le temps. Ce qui diffrencie 5 et 6 forms de 3 morceaux de sinusodes est la prsence de bruit reconnaissable en signal et en spectre. . Ce qui diffrencie B est la prsence de 2 morceaux de sinusode.

    0 ,4

    -0 ,1

    0 ,2

    2 5 5-2 5 6 -2 0 0 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

    DC Centered Spectrum

    3 ,9

    -3 ,7

    0 ,0

    2 ,5

    5 1 10 2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0 2 2 5 2 5 0 2 7 5 3 0 0 3 2 5 3 5 0 3 7 5 4 0 0 4 2 5 4 5 0 4 7 5

    Time Domain Sequence

  • Produit de convolution Dfinition : f g (x) =

    +

    f()g(x-) d Exemples

    Exemple physique

    Le systme tudi est la projection d'un transparent par un rtroprojecteur sur un cran. L'image de dpart est le transparent, la fonction de transfert est rgie par le systme optique du rtroprojecteur. La sortie du systme est l'image du transparent projete sur l'cran.

    Mirroir

    Lentille

    Image source

    sur la vitre

    Image projete

    sur lcran

    Lorsque le systme optique est ajust, il nous semble que l'image est nette sur l'cran.

    Nous drglons lgrement le systme optique. Chaque pixel du transparent ne fournit plus un pixel sur l'cran, mais une tche ayant une certaine dimension. Le grandissement du systme volue peu, mais l'ensemble des tches donne une image moins nette du contenu du transparent. Ainsi rgl, notre pouvoir de sparation des dtails de l'image a diminu, puisque des dtails qui taient sparables (les bords de chaque lettre contenue dans le transparent) ne le sont plus avec ce rglage.

    Une image dj floue ne redevient pas nette en jouant sur le rglage. En fait, l'utilisation de cascade de filtre ne peut qu'augmenter la taille de la tche comme nous le verrons sur les signaux mono dimensionnels.

    Proprits

    Commutativit

    Associativit (si les produits 2 2 ont un sens)

    L'intgrale du produit de convolution de 2 fonctions sommables est le produit de leurs intgrales.

    +

    (f g) () d = +

    f() d +

    g() d Pour translater un produit de convolution, il suffit de translater l'un des facteurs

    (f g )(x-a) = f (x-a) g (x) = f (x) g (x-a)

    Pour driver un produit de convolution, il suffit de driver l'un des facteurs

    (f g )'(x) = f '(x) g (x) = f (x) g' (x)

    Le produit de convolution de 2 fonctions paires est une fonction paire.

    (f )(x) = f (x) (x) est l'lment neutre du produit de convolution

    (1 f )(x) =

    +

    f() d = Constante

  • 24 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    (f a)(x) = f (x-a) =

    +

    (-a)f(x-) d (f ' )(x) = f '(x)

    Systme causal dpendant du temps Tous les systmes physiques possdent un pouvoir sparateur fini, ce qui traduit le fait que deux "pixels" suffisamment proches ne puissent plus tre sparables aprs avoir travers ce systme. La distance minimum de deux pixels sparables indique le pouvoir de sparation du systme. Il existe un lien entre l'tendue du support non nul de la rponse impulsionnelle d'un filtre (systme linaire invariant par dcalage) et le pouvoir de sparation de ce filtre.

    On appelle h(t) la rponse impulsionnelle d'un filtre une entre impulsionnelle.

    1

    (t) h(t)

    1

    0 t

    Invariance par dcalage

    (t-) h(t-)

    0 t En utilisant la linarit du systme

    x(t) =

    +

    x()(t-)d s(t) = +

    x()h(t-)d Un systme causal est un systme o les entres dpendent du temps et o la sortie n'est prsente qu'aprs apparition de l'entre correspondante. La cause prcde toujours l'effet.

    Le support de la fonction h(t) est l'intervalle o la fonction h(t) est non nulle. En particulier, le support d'une

    rponse d'un systme causal est un intervalle ]0, +[, qui est non nul seulement dans le futur. Dfinition duale : La sortie s du filtre l'instant t ne peut faire intervenir que des instants antrieurs t.

    Pour dmontrer cette relation, nous avons besoin de connatre les diffrentes contributions ayant particip la valeur s(t)

    l'instant t. s(t) est donn par l'intgrale

    +

    x()h(t-)d o t est un paramtre et la variable muette d'intgration. Nous avons alors besoin du trac de la fonction h(t-) en fonction de la variable d'intgration .

    h(t-)

    0 t

    Nous avons aussi besoin de la remarque suivante : pour tre gnrale, la relation d'intgration fait intervenir

    une sommation de - +. Or nous pouvons restreindre l'intgration au support non nul de chacune des fonctions en prsence x() ou h(t-). Toutes les valeurs de x qui interviennent dans le calcul de la sortie s sont donc antrieures t, car h(t-) est nulle pour >t.

    s(t) = Support de h (t ) x()h(t-)d

  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 25

    Technique de calcul Un algorithme visuel pour calculer la sortie s(t) consiste donc tracer sur un calque le symtrique de la fonction h en pointant le zro. Ensuite, on fait glisser le calque en posant la marque du zro sur la valeur t pour laquelle on cherche calculer s(t). On effectue terme terme le produit des 2 fonctions et on intgre sur le support non nul de

    h(t-), qui est reprsent par la fonction trace sur le calque.

    0 t

    Exemple Rsultats

    -3 -1 0 1 5

    Porte () de largeur 1

    Porte (-3-)

    Porte (-1-)

    Porte (-1/2-)

    Porte (0-)

    Porte (1/2-)

    Porte (5-)

    s(-3) = 0

    s(-1) = 0

    s(-1/2) = 1/2

    s(0) = 1

    s(1/2) = 1/2

    s(5) = 0

    Triangle (x)

    Support

    Nous remarquons sur l'exemple prcdent que le support de la fonction rsultante est 2 fois plus large que les supports des fonctions entrant dans le produit scalaire. De fait si on note BorneSup (f) la borne suprieure du support de f telle que f(x)=0 si x > BorneSup (f) et BorneInf (f) la borne infrieure du support de f telle que f(x)=0 si x < BorneInf (f), alors nous avons les relations :

    s(t) =

    Support de h(t-)

    x()h(t-)d = BorneInfBorneSup

    h()x(t-)d

    BorneSup (f g) = BorneSup (f ) + BorneSup (g)

    BorneInf (f g) = BorneInf (f ) + BorneInf (g)

    En particulier, si h est la rponse impulsionnelle d'un systme physique, nous nous attendons avoir BorneInf

    (h) 0, car le systme est causal, leffet suit dans le temps la cause qui le produit.

    De mme, BorneSup (h) est finie, car il est en effet difficilement concevable d'avoir une rponse impulsionnelle non nulle du systme qui dure trs longtemps. De tels systmes prsentent un phnomne d'hystrsis et ne peuvent pas tre traits par cette modlisation.

  • 26 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    Filtres en cascade

    (t) h1(t) s(t) =

    +

    h1()h2(t-)d = (h1 h2 )(t) e

    j t H1(j) e

    j t H1(j) H2(j) e

    j t

    La rponse du systme form de deux filtres en cascade est obtenue en calculant la sortie comme tant la rponse impulsionnelle du systme. Ce rsultat est cohrent avec le fait que la transforme de Fourier de la

    rponse impulsionnelle est la transmittance du systme. Or nous savons que quelque soit la pulsation choisie, la fonction exp(jt) se transforme suivant les relations crites ci-dessus. Nous retrouvons donc qu' un produit de convolution dans l'espace des temps correspond un produit simple par transformation de Fourier. Les proprits de commutativit, associativit, lment neutre se dduisent alors des mmes proprits correspondantes en ce qui concerne le produit habituel.

    Les remarques sur les supports des rponses impulsionnelles montrent que la mise en cascade de filtres ne peut que diminuer le pouvoir de rsolution du systme en augmentant l'tendue du support de la rponse impulsionnelle rsultante. Ainsi, si l'image floue a t obtenue par un filtre linaire et si le systme de projection se comporte comme un autre filtre linaire, alors la projection de l'image floue correspond une mise en cascade de deux filtres linaires. Le rsultat ne peut pas aboutir une amlioration de l'image, mais correspond toujours une dgradation supplmentaire de cette image.

    Exemple d'une ligne de transmission sans perte (conservation de lnergie transporte), qui possde un retard pur et un effet de moyennage dcrit par la rponse impulsionnelle idalise h1 reprsente ci- contre pour une longueur de ligne de 1 mtre :

    0

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40

    ligne de 1 mtre

    0

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40

    Ligne de 2 mtres : h2 =h1 h1

    0

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40

    Ligne de 4 mtres : h4 =h2 h2

    0

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40

    Ligne de 8 mtres h8 =h4 h4

    0

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40

    Ligne de 16 mtres : h16 =h8 h8

    Les commentaires faire sur cette figure sont les suivants :

    Dans un systme conservation dnergie, la surface de la rponse impulsionnelle reste peu prs constante.

    Les retards sajoutent.

    Les supports sajoutent et donc slargissent. ( la hauteur diminue).

  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 27

    Application au filtrage linaire

    Nous avons considrs les filtres linaires invariants par dcalage dans le temps. Nous savons que ce filtre correspond un produit de convolution entre l'entre du systme linaire et une fonction de l'appareil que nous appelons la rponse impulsionnelle du systme. La rponse impulsionnelle est obtenue comme son nom l'indique comme la rponse un signal impulsion au temps zro : un Dirac.

    (t) s(t) = h(t)

    e(t) s(t) = eh (t)

    Filtrage frquentiel Une des proprits les plus importantes des transformes de Fourier concerne le produit de convolution. A un produit de convolution de deux signaux reprsents dans l'espace des temps correspond un produit simple dans la reprsentation en frquence des mmes signaux.

    L'importance de cette proprit provient qu'elle transforme le problme du filtrage linaire, trs prsent en physique et reprsent par un produit de convolution dans l'espace des temps et donc d'une certaine complexit, en un problme beaucoup plus simple rsoudre dans l'espace des frquences reprsent par un produit simple des spectres.

    Cette reprsentation spectrale est donc la reprsentation privilgie pour traiter des problmes de filtrage linaire. Mme si l'introduction du formalisme des transformes de Fourier a pu vous paratre un peu mathmatique, cette reprsentation correspond un mcanisme physique important tant au niveau des signaux priodiques que pour l'ensemble des signaux rels. Il existe des matriels de mesure capables de fournir le spectre de signaux physiques avec une certaine prcision. Nous conseillons ceux qui sont intresss de lire attentivement le paragraphe concernant la dtection synchrone dans lequel ils trouveront des lments sur les mcanismes utiliss par ces appareils de mesure.

    0

    ( )

    ( )

    Bien qu'il soit possible d'obtenir des filtrages trs simples dans la reprsentation frquentielle, nous voulons mentionner ici que ces filtres ne sont pas obligatoirement faciles raliser pratiquement. Par exemple supposons que nous voulions raliser le filtre linaire suivant fourni par sa reprsentation en frquence ci-dessous.

    Soit E() le spectre du signal d'entre, H() le spectre de la rponse impulsionnelle et donc la transmittance du systme linaire associ, alors S() est le spectre de la sortie rsultante et est gal au produit simple des spectres.

    En consquence, S() = E() H() = E() (0)

    Alors s(t) = F 1 [S()] = F 1 [E()] TF1 [ (0)] = e(t) sinc( t) exp(2j 0 t)

    Dans le cas o nous cherchons raliser ce filtre idal passe-bande sans passer par le calcul explicite du spectre

    E() de e(t), alors il faut convoluer l'entre e(t) par la transforme de Fourier inverse du filtre en frquence. Or cette fonction est support infini. Cel induit limpossibilit de la ralisation d'un tel filtre dans le domaine temporel.

  • 28 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    Filtrage temporel La mme proprits des transformes de Fourier concerne le thorme rciproque sur le produit de convolution. A un produit simple de deux signaux reprsents dans l'espace des temps correspond un produit de convolution dans la reprsentation en frquence des mmes signaux.

    On parle de filtrage frquentiel lorsquon effectue le produit ssimple de deux reprsentations frquentielles. Par analogie, on parle de filtrage temporel lorsque nous effectuons le produit simple de deux reprsentations temporelles.

    Or l'observation d'un phnomne physique conduit toujours un filtrage temporel dfini ainsi : nous ne sommes capables de raliser une observation que durant un temps limit, cela revient faire le produit simple du signal tudier s(t) (suppos support infini) par une fentre d'observation support limit et fini. Cette opration dforme le spectre en frquence du signal que nous voulions analyser, comme le montre le calcul suivant :

    Soit H la dure de la fentre dobservation, H pour Horizon dobservation et s(t) le signal observ

    s'(t) =s(t) . H (t-t0) F S'() = S() H sinc( H) exp(-2j t0)

    0

    1

    -500 0 500

    -1

    0

    1

    -500 0 500 La conclusion est simple. Physiquement, le fait que nous observions un phnomne durant un temps limit H, ce qui correspond un produit simple par une fentre rectangulaire, conduit transformer la rponse spectrale du phnomne tudi. Ce que nous rcuprons est le produit de convolution par un sinus cardinal qui a deux effets :

    Une largeur de rsolution dautant plus importante que la dure est courte ; Lapparition dun artefact constitu par la prsence de lobes secondaires importants qui peuvent cacher

    dautres frquences prsentes dans le spectre.

    Si nous cherchons ne pas altrer ou altrer au minimum le spectre S'(), il faut raliser certaines conditions : Soit le temps d'observation H est grand et la fentre symtrique (t0=0), alors S'() S(). En effet

    H sinc( H) tend alors vers un (t) qui est lment neutre du produit de convolution. Soit pour palier ces difficults, il est ncessaire de multiplier, non par une fentre simple, mais par une

    fentre de pondration plus sophistique, qui transforme diffremment le spectre en frquence du signal que nous voulions analyser.

    Fentrage Les ingnieurs ont imagin un certain nombre de fentres et montr leur efficacit pour conserver certaines proprits. Par exemple la fentre de Hamming dfini par la formule suivante

    Hamming(t) = [0,54 + 0,46 cos(2t/H)] H (t) possde la proprit suivante : 99% de son nergie est contenu dans le lobe principal de sa reprsentation en frquence. Le dphasage des spectres dpend quant lui toujours du centrage de la fentre d'observation. La nouvelle relation devient :

    0

    0

  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 29

    s'(t) =s(t) . Fentre (t-t0) F S'() = S() F ( ) exp(-2j t0)

    0

    1

    -500 0 5000

    0.2

    0.4

    0 10 20 30 40 50

    0

    1

    -500 0 5000

    0.1

    0.2

    0 10 20 30 40 50 Nous voyons ici le rsultat d'une fentre de pondration. Le produit simple par une fentre de pondration a pour objet de concentrer 99% de l'nergie du spectre de cette fentre dans le lobe principal au dtriment d'un

    largissement de ce lobe qui devient approximativement le double de largeur. La largeur devient environ 4

    T .

    On effectue maintenant un rtrcissement de la fentre dobservation.

    0

    1

    -500 0 5000

    0.2

    0 10 20 30 40 50

    0

    1

    -500 0 5000

    0.1

    0 10 20 30 40 50 Il apparat alors une relation analogue la relation dincertitude de Heisenberg : plus la localisation temporelle est prcise (correspondant un horizon dobservation court), plus la rsolution frquentielle est imprcise.

    Diagramme de Bode et dcomposition en transforme de Fourier

    La transmittance () complexe est dcrite par son amplitude et sa phase. On excite le systme par une entre sinusodale. On mesure alors la transmittance complexe () en calculant le module puis le dphasage de la sortie vis--vis de lentre. Lensemble correspond au trac dun diagramme de Bode en lectronique analogique.

    e2jt () e2jt

    Le calcul de transmittance en analyse harmonique (diagramme de Bode) et la transforme de Fourier

    fournissent une grandeur complexe (). S'agit-il de la mme grandeur (((() complexe ? La rponse est oui. Supposons que lon excite un systme par un Dirac, la sortie est la rponse impulsionnelle et leurs spectres sont dcrits dessous.

    (t) h(t)

    F F

    1 ()

  • 30 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    Supposons que lon excite le mme systme par une entre quelconque. Le produit de convolution en temporel

    donne un produit simple en spectre. La dernire formule est la dfinition de la transmittance complexe (((() en analyse harmonique.

    e(t) s(t) = e h (t)

    F F

    () S()= () ()

    Spectre de raie

    Spectre de raie = n 0

    La relation gnrale sur l'obtention d'un produit simple dans la reprsentation spectrale d'un filtre linaire montre que lorsqu'il s'agit d'une entre priodique admettant donc une reprsentation en srie de Fourier, alors

    la dcomposition en srie de Fourier S(n 0 ) de la sortie s(t) est obtenue comme le produit simple de la

    dcomposition en srie de Fourier (n 0 ) de l'entre e(t) par la transmittance du filtre (n 0 ) prise aux mmes valeurs de frquence n 0 . Ceci revient dire que les termes de la srie de Fourier de e(t) reprsentent un facteur prs le spectre de raies de la fonction e(t), non nuls seulement aux valeurs des frquences multiples

    de 0 .

    e(t) = +

    =n

    Cn e2jont

    s(t) = eh(t)

    e(t) = +

    =n

    (n 0 ) e2jont 0

    s(t) =

    +

    =n

    (n 0 )(n 0 ) e2jont 0

    Spectre continu

    Spectre continu continu. La mme relation existe dans le cas du spectre continu. On part de la formule de la transforme de Fourier inverse, on applique le filtre linaire pour retrouver la formule de sortie.

    Formule de Transforme inverse Formule de Transforme inverse

    de l'entre de la sortie

    e(t) =

    () e2jt d

    s(t) = eh(t) =

    ()() e2jt d

    Chaque lment de frquence est transform de faon multiplicative par la rponse en frquence

    correspondante. Lentre tant constitue de la somme pondre par le spectre () de tous ces lments de frquence e2jt d, il en est de mme pour la sortie aprs multiplication simple par la rponse en frquence du filtre ()() e2jt d.

  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 31

    Spectre et bruit Sinusode

    707

    0

    200

    400

    600

    5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

    Hz

    1000

    -1000

    -500

    0

    500

    10230 200 400 600 800

    SignalSpectre

    Spectre dune ralisation dun bruit 67

    1

    20

    40

    5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

    Hz

    1000

    -990

    -500

    0

    500

    10230 200 400 600 800

    SignalSpectre

    Daprs le principe de conservation de lnergie entre les deux reprsentations temporelle et spectrale, on comprend le mcanisme qui permet de discriminer les signaux dans le domaine spectral. Lnergie est comparable dans les temps. Elle se concentre sur une seule frquence pour la sinusode, elle se rpartit sur tout le spectre pour le bruit. Cela se traduit par une diffrence dchelle sur le trac des spectres.

    63

    0

    20

    40

    5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

    Hz

    1000

    -999

    -500

    0

    500

    10230 200 400 600 800

    SignalSpectre

    Une deuxime squence du mme processus de bruit est ralise. Elle donne un signal diffrent et un spectre diffrent. Ce processus est caractris par une amplitude comparable du signal et du spectre, il sagit dun bruit blanc, car il couvre tout le spectre des frquences possibles.

    Spectre dun bruit Si on ralise une moyenne du spectre obtenu sur une centaine de ralisations, le trac devient le suivant.

    63

    0

    20

    40

    5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

    Hz

    Spectre

    Cest ce trac qui est caractristique du processus de bruit.

  • 32 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    Bibliographie Niveau IUT

    J.L. AZAN, Prcis dlectronique, Cours et exercices rsolus, Tome 1 &2, Collection enseignement suprieur des techniques industrielles, Bral, 1994.

    M. BELLANGER, Traitement numrique du signal, 6me

    dition, Dunod 1998.

    F. COTTET, Traitement des signaux et acquisition de donnes, Dunod 1997.

    F. COTTET, Aide-mmoire de traitement du signal, Dunod, 2000.

    A. DELUZURIEUX, M. RAMI, Problmes dlectronique numrique : chantillonnage, filtrage, asservissement, modulation, BTS-IUT, EYROLLES, 1989.

    J. MAX et J.-L. LACOUME, Mthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, 5

    me dition, Dunod 2000.

    ============ Universit Paris-Sud ==========

    ORSAY

    Dpartement Mesures Physiques