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L3: Introduction au traitement du signal Philippe Jaming Institut Math ´ ematique de Bordeaux [email protected] http://www.math.u-bordeaux1.fr/˜ pjaming/ Cours 2 Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 1 / 18

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L3: Introduction au traitement du signal

Philippe Jaming

Institut Mathematique de [email protected]

http://www.math.u-bordeaux1.fr/pjaming/

Cours 2

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 1 / 18

Melange d’images

Lenna Barbara

FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 2 / 18

Melange d’images

α = 0.25

Lenna Barbara

FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J

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Melange d’images

α = 0.25

Lenna α = 0.5 Barbara

FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 2 / 18

Melange d’images

α = 0.25

Lenna α = 0.5 Barbara

α = 0.75

FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J

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Melange d’images

L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :

Ji,j →[

LN

Ji,j

].

A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec

Ki,j =

{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 3 / 18

Melange d’images

L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :

Ji,j →[

LN

Ji,j

].

A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec

Ki,j =

{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 3 / 18

Melange d’images

L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :

Ji,j →[

LN

Ji,j

].

A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec

Ki,j =

{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A

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Melange d’images

L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :

Ji,j →[

LN

Ji,j

].

A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec

Ki,j =

{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A

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Melange d’images

L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :

Ji,j →[

LN

Ji,j

].

A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec

Ki,j =

{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A

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Melange d’images

Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 4 / 18

Melange d’images

Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 4 / 18

Melange d’images

Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 4 / 18

Melange d’images

Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).

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Transformations geometriques d’images Principe general

T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f

(T−1(x , y)

)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,

Ij,k =

{f (jh, kh) modele echantillone1h2

∫Qj,k

f (x , y)dx dy modele moyennise.

Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫Qj,k

f(T−1(x , y)

)dx dy modele moyennise

.

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 5 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f

(T−1(x , y)

)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,

Ij,k =

{f (jh, kh) modele echantillone1h2

∫Qj,k

f (x , y)dx dy modele moyennise.

Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫Qj,k

f(T−1(x , y)

)dx dy modele moyennise

.

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Transformations geometriques d’images Principe general

T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f

(T−1(x , y)

)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,

Ij,k =

{f (jh, kh) modele echantillone1h2

∫Qj,k

f (x , y)dx dy modele moyennise.

Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫Qj,k

f(T−1(x , y)

)dx dy modele moyennise

.

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 5 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f

(T−1(x , y)

)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,

Ij,k =

{f (jh, kh) modele echantillone1h2

∫Qj,k

f (x , y)dx dy modele moyennise.

Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫Qj,k

f(T−1(x , y)

)dx dy modele moyennise

.

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 5 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫T−1(Qj,k )

f (u, v) du dvJT (u,v)

modele moyennise.

Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)

T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.

T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 6 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫T−1(Qj,k )

f (u, v) du dvJT (u,v)

modele moyennise.

Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)

T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.

T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 6 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫T−1(Qj,k )

f (u, v) du dvJT (u,v)

modele moyennise.

Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)

T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.

T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 6 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫T−1(Qj,k )

f (u, v) du dvJT (u,v)

modele moyennise.

Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)

T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.

T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 6 / 18

Transformations geometriques d’images Principe general

IT (j , k) =

{f(T−1(jh, kh)

)modele echantillone

1h2

∫T−1(Qj,k )

f (u, v) du dvJT (u,v)

modele moyennise.

Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)

T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.

T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 6 / 18

Transformations geometriques d’images Plus proche voisin

(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)

(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)

T−1(j , k)

FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 7 / 18

Transformations geometriques d’images Plus proche voisin

(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)

(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)

T−1(j , k)

FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 7 / 18

Transformations geometriques d’images Plus proche voisin

(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)

(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)

T−1(j , k)

FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 7 / 18

Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire

(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)

(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)

(u, v) = T−1(j , k)

FIGURE: I(u, k ′) = (1− s)I(j ′, k ′) + sI(j ′ + 1, k ′),I(u, k ′ + 1) = (1− s)I(j ′, k ′ + 1) + sI(j ′ + 1, k ′ + 1) puisIT (j , k) = (1− t)I(u, k ′) + tI(u, k ′ + 1)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 8 / 18

Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire

(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)

(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)

v = (1− t)k ′ + t(k ′ + 1)→ t = {v}

u = (1− s)j ′ + s(j ′ + 1)→ s = {u}

(u, v) = T−1(j , k)

FIGURE: I(u, k ′) = (1− s)I(j ′, k ′) + sI(j ′ + 1, k ′),I(u, k ′ + 1) = (1− s)I(j ′, k ′ + 1) + sI(j ′ + 1, k ′ + 1) puisIT (j , k) = (1− t)I(u, k ′) + tI(u, k ′ + 1)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 8 / 18

Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire

f (x , y) = ax + by + cxy + d sur Qj ′,k ′ avec a,b, c,d donnes paraj ′ +bk ′ +cj ′k ′ +d = f (j ′, k ′)

a(j ′ + 1) +bk ′ +c(j ′ + 1)k ′ +d = f (j ′ + 1, k ′)aj ′ +b(k ′ + 1) +cj ′(k ′ + 1) +d = f (j ′, k ′ + 1)

a(j ′ + 1) +b(k ′ + 1) +c(j ′ + 1)(k ′ + 1) +d = f (j ′ + 1, k ′ + 1)

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 9 / 18

Transformations geometriques d’images Modele moyennise

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 10 / 18

Transformations geometriques d’images Principaux exemples

TranslationT (x , y) = (x + a, y + b)→ n’affecte pas la visualisation de l’image ! ! !

Par contre, est utilise pour placer plusieurs images cote a cote voireles superposer partiellement (images panoramique)

FIGURE: Source : wikipedia

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 11 / 18

Transformations geometriques d’images Principaux exemples

TranslationT (x , y) = (x + a, y + b)→ n’affecte pas la visualisation de l’image ! ! !

Par contre, est utilise pour placer plusieurs images cote a cote voireles superposer partiellement (images panoramique)

FIGURE: Source : wikipedia

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 11 / 18

Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition

I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18

Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition

I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ]

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18

Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition

I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18

Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition

I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]

Iv = [Im+1−j,i ]

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18

Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition

I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]

Iv = [Im+1−j,i ] Ic = [Im+1−i,m+1−j ]

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par

Sva =

(1 a0 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x + ay , y).

Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par

Sha =

(1 0a 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x , y + ax).

Exercice : Calculer ShaSh

b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 13 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par

Sva =

(1 a0 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x + ay , y).

Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par

Sha =

(1 0a 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x , y + ax).

Exercice : Calculer ShaSh

b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 13 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par

Sva =

(1 a0 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x + ay , y).

Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par

Sha =

(1 0a 1

)c.a.d. Sh

a(x , y) = (x , y + ax).

Exercice : Calculer ShaSh

b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?

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Transformations geometriques d’images Cisaillement

FIGURE: Cisaillement d’images

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

Interpolation : plus proche voisin

FIGURE: Cisaillement d’images

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

Interpolation : plus proche voisin bilineaire

FIGURE: Cisaillement d’images

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

Interpolation : plus proche voisin bilineaire

Interpolation : plus proche voisin

FIGURE: Cisaillement d’images

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18

Transformations geometriques d’images Cisaillement

Interpolation : plus proche voisin bilineaire

Interpolation : plus proche voisin bilineaire

FIGURE: Cisaillement d’images

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Definition

La rotation d’angle θ ∈ (−π, π], est defini par Rθ =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

Theoreme

Rθ = Sv− tan θ/2Sh

sin θSv− tan θ/2

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 15 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Definition

La rotation d’angle θ ∈ (−π, π], est defini par Rθ =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

Theoreme

Rθ = Sv− tan θ/2Sh

sin θSv− tan θ/2

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 15 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Origine

FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 16 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Origine Sv− tan θ/2

FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 16 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Origine Sv− tan θ/2 Sh

sin θSv− tan θ/2

FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 16 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Origine Sv− tan θ/2 Sh

sin θSv− tan θ/2 Sv

− tan θ/2Shsin θS

v− tan θ/2

FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 16 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Interpolation :

FIGURE: Rotation d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 17 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Interpolation : plus proche voisin

FIGURE: Rotation d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 17 / 18

Transformations geometriques d’images Rotation

Interpolation : plus proche voisin bilineaire

FIGURE: Rotation d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 17 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Definition

Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =

(a 00 b

)

FIGURE: Zoom d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Definition

Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =

(a 00 b

)

FIGURE: Zoom d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Definition

Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =

(a 00 b

)

a,b > 1

FIGURE: Zoom d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Definition

Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =

(a 00 b

)

a,b > 1 a,b < 1

FIGURE: Zoom d’une image

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =

∑i,j ci,jbi,j

Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j

IT =∑

i,j ci,jbTi,j

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =

∑i,j ci,jbi,j

Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j

IT =∑

i,j ci,jbTi,j

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =

∑i,j ci,jbi,j

Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j

IT =∑

i,j ci,jbTi,j

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18

Transformations geometriques d’images Zoom

Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =

∑i,j ci,jbi,j

Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j

IT =∑

i,j ci,jbTi,j

Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18