Asymmetric dihadron azimuthal correlations in Au+Au collisions at 200 GeV
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L3: Introduction au traitement du signal
Philippe Jaming
Institut Mathematique de [email protected]
http://www.math.u-bordeaux1.fr/pjaming/
Cours 2
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 1 / 18
Melange d’images
Lenna Barbara
FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 2 / 18
Melange d’images
α = 0.25
Lenna Barbara
FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J
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Melange d’images
α = 0.25
Lenna α = 0.5 Barbara
FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 2 / 18
Melange d’images
α = 0.25
Lenna α = 0.5 Barbara
α = 0.75
FIGURE: (I, J)→ αI + (1− α)J
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Melange d’images
L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :
Ji,j →[
LN
Ji,j
].
A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec
Ki,j =
{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A
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Melange d’images
L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :
Ji,j →[
LN
Ji,j
].
A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec
Ki,j =
{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A
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Melange d’images
L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :
Ji,j →[
LN
Ji,j
].
A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec
Ki,j =
{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A
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Melange d’images
L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :
Ji,j →[
LN
Ji,j
].
A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec
Ki,j =
{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A
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Melange d’images
L’insertion d’une image dans une autre image :I = [Ii,j ] ∈Mm,n(ZN) image d’origineJ = [Ji,j ] ∈Mm′,n′(ZL) image a inserer.En general, N = 2p, L = 2q, q ≤ p (NB : q = 1), on commence partransformer l’image J en une image en N niveaux de gris :
Ji,j →[
LN
Ji,j
].
A ⊂ {1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} zone d’insertionK = [Ki,j ] ∈Mm,n(ZN) avec
Ki,j =
{Ji,j si (i , j) ∈ AIi,j si (i , j) /∈ A
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Melange d’images
Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).
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Melange d’images
Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).
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Melange d’images
Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).
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Melange d’images
Exemple : insertion d’un texte blanc dans une image noir et blanc(sous-titrage)Ji,j = 0 (noir) ou 1 (blanc : texte)A = {(i , j) Ji,j = 1}.K = max(I, J).
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Transformations geometriques d’images Principe general
T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f
(T−1(x , y)
)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,
Ij,k =
{f (jh, kh) modele echantillone1h2
∫Qj,k
f (x , y)dx dy modele moyennise.
Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫Qj,k
f(T−1(x , y)
)dx dy modele moyennise
.
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Transformations geometriques d’images Principe general
T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f
(T−1(x , y)
)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,
Ij,k =
{f (jh, kh) modele echantillone1h2
∫Qj,k
f (x , y)dx dy modele moyennise.
Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫Qj,k
f(T−1(x , y)
)dx dy modele moyennise
.
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 5 / 18
Transformations geometriques d’images Principe general
T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f
(T−1(x , y)
)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,
Ij,k =
{f (jh, kh) modele echantillone1h2
∫Qj,k
f (x , y)dx dy modele moyennise.
Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫Qj,k
f(T−1(x , y)
)dx dy modele moyennise
.
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 5 / 18
Transformations geometriques d’images Principe general
T : R2 → R2 une bijection du plan : deplace les points du plan.f : R2 → R une image (modele continu)→ fT : R2 → R,fT (x , y) = f
(T−1(x , y)
)I = [Ij,k ]j=1,...,n,k=1,...,m,
Ij,k =
{f (jh, kh) modele echantillone1h2
∫Qj,k
f (x , y)dx dy modele moyennise.
Qj,k = [(j − 1/2)h, (j + 1/2)h]× [(k − 1/2)h, (k + 1/2)h]
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫Qj,k
f(T−1(x , y)
)dx dy modele moyennise
.
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Transformations geometriques d’images Principe general
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫T−1(Qj,k )
f (u, v) du dvJT (u,v)
modele moyennise.
Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)
T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.
T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general
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Transformations geometriques d’images Principe general
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫T−1(Qj,k )
f (u, v) du dvJT (u,v)
modele moyennise.
Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)
T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.
T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general
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Transformations geometriques d’images Principe general
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫T−1(Qj,k )
f (u, v) du dvJT (u,v)
modele moyennise.
Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)
T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.
T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general
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Transformations geometriques d’images Principe general
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫T−1(Qj,k )
f (u, v) du dvJT (u,v)
modele moyennise.
Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)
T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.
T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general
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Transformations geometriques d’images Principe general
IT (j , k) =
{f(T−1(jh, kh)
)modele echantillone
1h2
∫T−1(Qj,k )
f (u, v) du dvJT (u,v)
modele moyennise.
Probleme : on ne connaıt pas f , mais seulement I, c.a.d. f (jh, kh)
T−1(jh, kh) /∈ {(j ′h, k ′h) : j ′ = 1, . . . ,m et k ′ = 1, . . . ,m} →IT (j , k) = 0.
T−1(jh, kh) 6= (j ′h, k ′h) en general
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Transformations geometriques d’images Plus proche voisin
(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)
(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)
T−1(j , k)
FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)
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Transformations geometriques d’images Plus proche voisin
(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)
(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)
T−1(j , k)
FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)
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Transformations geometriques d’images Plus proche voisin
(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)
(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)
T−1(j , k)
FIGURE: Plus proche voisin : (u, v) = T−1(j , k), p=round(u),q=round(v) IT (j , k) = I(p,q)
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Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire
(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)
(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)
(u, v) = T−1(j , k)
FIGURE: I(u, k ′) = (1− s)I(j ′, k ′) + sI(j ′ + 1, k ′),I(u, k ′ + 1) = (1− s)I(j ′, k ′ + 1) + sI(j ′ + 1, k ′ + 1) puisIT (j , k) = (1− t)I(u, k ′) + tI(u, k ′ + 1)
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 8 / 18
Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire
(j ′, k ′) (j ′ + 1, k ′)
(j ′, k ′ + 1) (j ′ + 1, k ′ + 1)
v = (1− t)k ′ + t(k ′ + 1)→ t = {v}
u = (1− s)j ′ + s(j ′ + 1)→ s = {u}
(u, v) = T−1(j , k)
FIGURE: I(u, k ′) = (1− s)I(j ′, k ′) + sI(j ′ + 1, k ′),I(u, k ′ + 1) = (1− s)I(j ′, k ′ + 1) + sI(j ′ + 1, k ′ + 1) puisIT (j , k) = (1− t)I(u, k ′) + tI(u, k ′ + 1)
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Transformations geometriques d’images Interpolation bilineaire
f (x , y) = ax + by + cxy + d sur Qj ′,k ′ avec a,b, c,d donnes paraj ′ +bk ′ +cj ′k ′ +d = f (j ′, k ′)
a(j ′ + 1) +bk ′ +c(j ′ + 1)k ′ +d = f (j ′ + 1, k ′)aj ′ +b(k ′ + 1) +cj ′(k ′ + 1) +d = f (j ′, k ′ + 1)
a(j ′ + 1) +b(k ′ + 1) +c(j ′ + 1)(k ′ + 1) +d = f (j ′ + 1, k ′ + 1)
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 9 / 18
Transformations geometriques d’images Modele moyennise
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 10 / 18
Transformations geometriques d’images Principaux exemples
TranslationT (x , y) = (x + a, y + b)→ n’affecte pas la visualisation de l’image ! ! !
Par contre, est utilise pour placer plusieurs images cote a cote voireles superposer partiellement (images panoramique)
FIGURE: Source : wikipedia
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 11 / 18
Transformations geometriques d’images Principaux exemples
TranslationT (x , y) = (x + a, y + b)→ n’affecte pas la visualisation de l’image ! ! !
Par contre, est utilise pour placer plusieurs images cote a cote voireles superposer partiellement (images panoramique)
FIGURE: Source : wikipedia
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Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition
I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18
Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition
I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ]
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18
Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition
I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18
Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition
I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]
Iv = [Im+1−j,i ]
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 12 / 18
Transformations geometriques d’images Symetries horizontale, verticale, centrale, transposition
I = [Ii,j ]i=1,...,m,j=1,...,n I t = [Ij,i ] Ih = [Ii,m+1−j ]
Iv = [Im+1−j,i ] Ic = [Im+1−i,m+1−j ]
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Transformations geometriques d’images Cisaillement
DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par
Sva =
(1 a0 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x + ay , y).
Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par
Sha =
(1 0a 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x , y + ax).
Exercice : Calculer ShaSh
b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 13 / 18
Transformations geometriques d’images Cisaillement
DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par
Sva =
(1 a0 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x + ay , y).
Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par
Sha =
(1 0a 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x , y + ax).
Exercice : Calculer ShaSh
b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?
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Transformations geometriques d’images Cisaillement
DefinitionLe cisaillemant (shear) vertical de parametre a ∈ R, est defini par
Sva =
(1 a0 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x + ay , y).
Le cisaillemant horizontal de parametre a ∈ R, est defini par
Sha =
(1 0a 1
)c.a.d. Sh
a(x , y) = (x , y + ax).
Exercice : Calculer ShaSh
b .Pour quels a suffit-il-de programmer ces transformations ?Quelle est la taille de l’image qui en resulte ?
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Transformations geometriques d’images Cisaillement
FIGURE: Cisaillement d’images
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Transformations geometriques d’images Cisaillement
Interpolation : plus proche voisin
FIGURE: Cisaillement d’images
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18
Transformations geometriques d’images Cisaillement
Interpolation : plus proche voisin bilineaire
FIGURE: Cisaillement d’images
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18
Transformations geometriques d’images Cisaillement
Interpolation : plus proche voisin bilineaire
Interpolation : plus proche voisin
FIGURE: Cisaillement d’images
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18
Transformations geometriques d’images Cisaillement
Interpolation : plus proche voisin bilineaire
Interpolation : plus proche voisin bilineaire
FIGURE: Cisaillement d’images
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 14 / 18
Transformations geometriques d’images Rotation
Definition
La rotation d’angle θ ∈ (−π, π], est defini par Rθ =
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)
Theoreme
Rθ = Sv− tan θ/2Sh
sin θSv− tan θ/2
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 15 / 18
Transformations geometriques d’images Rotation
Definition
La rotation d’angle θ ∈ (−π, π], est defini par Rθ =
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)
Theoreme
Rθ = Sv− tan θ/2Sh
sin θSv− tan θ/2
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Transformations geometriques d’images Rotation
Origine
FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 16 / 18
Transformations geometriques d’images Rotation
Origine Sv− tan θ/2
FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements
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Transformations geometriques d’images Rotation
Origine Sv− tan θ/2 Sh
sin θSv− tan θ/2
FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements
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Transformations geometriques d’images Rotation
Origine Sv− tan θ/2 Sh
sin θSv− tan θ/2 Sv
− tan θ/2Shsin θS
v− tan θ/2
FIGURE: Decomposition d’une rotation en cisaillements
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Transformations geometriques d’images Rotation
Interpolation :
FIGURE: Rotation d’une image
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Transformations geometriques d’images Rotation
Interpolation : plus proche voisin
FIGURE: Rotation d’une image
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Transformations geometriques d’images Rotation
Interpolation : plus proche voisin bilineaire
FIGURE: Rotation d’une image
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Transformations geometriques d’images Zoom
Definition
Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =
(a 00 b
)
FIGURE: Zoom d’une image
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Definition
Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =
(a 00 b
)
FIGURE: Zoom d’une image
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Definition
Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =
(a 00 b
)
a,b > 1
FIGURE: Zoom d’une image
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Definition
Le zoom de rapport (a,b) avec a,b > 0 est defini par Za,b =
(a 00 b
)
a,b > 1 a,b < 1
FIGURE: Zoom d’une image
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 18 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =
∑i,j ci,jbi,j
Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j
IT =∑
i,j ci,jbTi,j
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =
∑i,j ci,jbi,j
Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j
IT =∑
i,j ci,jbTi,j
Philippe Jaming (IMB) L3: Introduction au traitement du signal Cours 2 19 / 18
Transformations geometriques d’images Zoom
Alternative : trouver une “base” {bi,j} des fonctions R2 → R ou deMm,n(R)ecrire I =
∑i,j ci,jbi,j
Regarder l’effet de T sur bi,j → bTi,j
IT =∑
i,j ci,jbTi,j
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