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Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 1

Université Paris-Sud

ORSAY

Département Mesures Physiques

Année 2004-05

Cours de Traitement du Signal

Partie 1

Transformation Temps Fréquences

Roger REYNAUD

temps

fréquences

e 2πj ν t

δ(f-ν)

Réel

Imaginaire

Réel

Imaginaire

La figure symbolise la transformation de Fourier permettant de passer d'une représentation temporelle complexe, ici la fonction de base de l’analyse en diagramme de Bode en analogique, à une représentation fréquentielle complexe équivalente

2 Département Mesures physiques IUT Orsay

Plan du cours

Partie 1

• Transformation

Temps

Fréquence

Traitement du Signal...........................................3

Signaux et bruits ......................................................3

Energie et puissance ................................................5

Systèmes linéaires....................................................6

Traitement du signal ................................................7

Séries de Fourier .................................................9

Fonctions périodiques..............................................9

Propriétés ...............................................................10

Spectre de raies ......................................................10

Valeur efficace d'un signal périodique...................11

Taux d’harmoniques ..............................................11

Sens physique sur un exemple ...............................12

Réponse d'un système linéaire à une entrée périodique................................................13

Table des développements .....................................14

Distributions......................................................15

Heaviside ...............................................................15

Porte.......................................................................15

Triangle..................................................................15

Dirac ......................................................................15

Peigne de Dirac......................................................16

Transformation de Fourier ................................17

Propriétés ...............................................................17

Exemples ...............................................................18

Associer un signal et son spectre ...........................20

Produit de convolution ..................................... 23

Exemples ...............................................................23

Propriétés...............................................................23

Système causal dépendant du temps......................24

Technique de calcul...............................................25

Filtres en cascade...................................................26

Application au filtrage linéaire ......................... 27

Filtrage fréquentiel ................................................27

Filtrage temporel....................................................28

Fenêtrage ...............................................................28

Diagramme de Bode et décomposition en transformée de Fourier ..................................29

Spectre de raie .......................................................30

Spectre continu......................................................30

Spectre et bruit ................................................. 31

Sinusoïde...............................................................31

Spectre d’une réalisation d’un bruit.......................31

Spectre d’un bruit ..................................................31

Bibliographie.................................................... 32

Partie 2

• Transformation

Signal continu Signal échantillonné

Partie 3

• Application au filtrage

Analogique Numérique

Traitement du Signal Signaux et bruits

Lorsqu'un système physique évolue, il se manifeste à l'observateur sous une multitude de forme. L'observateur récupère l'information par l'intermédiaire d'un capteur au travers d'une mesure physique. Nous dirons alors que le système a émis un signal. Pour des raisons techniques et technologiques, ce signal est habituellement converti en grandeur électrique.

Pour conserver une certaine généralité, nous supposons que ce signal dépend au moins d'un paramètre. Nous insisterons dans ce cours particulièrement sur le cas où ce paramètre est le temps parce que le traitement du signal est à la base l'étude des signaux qui dépendent du temps, mais les techniques s'appliqueraient aussi au cas où ce paramètre n'est pas le temps.

Signal y = s ( t ) Etudier un signal revient à étudier la relation précédente. Le temps physique t est un paramètre continu. Mais dans la relation précédente, il peut soit se présenter sous forme continue (nous connaissons la relation pour toutes les valeurs du temps physique aux bornes d'un oscilloscope analogique par exemple) soit sous forme discrète (nous connaissons la relation pour certaines valeurs du temps physique aux bornes d'un oscilloscope numérique par exemple).

Le passage continu discret s'appelle échantillonnage, le passage discret continu s'appelle interpolation.

s et y sont des fonctions à valeurs continues ou discrètes. Le passage d’une valeur continue à discrète s'appelle

une quantification. Le passage inverse se fait par simple immersion des valeurs, codes ou symboles discrets dans un espace continu qui les englobe.

t paramètre continu t paramètre discret

Valeurs continues échantillonnage ↓ quantification

Valeurs discrètes interpolation immersion ↑

Exemples de signaux

Type déterministe Exemple Durée Energie

Signaux périodiques de période T

∀t alors s(t) = s(t + T)

y = cos ( ωωωωt ) décomposable en série de Fourier sur une base de fonctions périodiques de même période

T = 2πω

∞ ∞

Signaux à support fini ou transitoire

Son bref décomposable en série de Fourier (sur une base de fonctions périodiques de période supérieure au support)

Finie Finie

Signaux quelconques Parole humaine ou morceau de musique décomposable par transformée de Fourier uniquement

∞ ∞

Type aléatoire Bruit thermique décrit par des lois de probabilité

Bruit Ce que nous observons aux travers des mesures physiques est une combinaison entre le signal que nous cherchons à identifier et des signaux provoqués par des phénomènes déterministes qui ne nous intéressent pas au niveau de cette mesure physique, ou par des phénomènes non déterministes (que l'on qualifie d'aléatoires) dans le sens où ils ne se reproduisent pas de la même façon d'une expérience à la suivante. Nous appelons alors

signal la partie utile du signal, c'est-à-dire la partie digne d'intérêt vis-à-vis du problème que l'on est en train de

traiter. Tout le reste est du "bruit".

4 Département Mesures physiques IUT Orsay

Caractérisation

Les bruits se présentent fréquemment comme des phénomènes aléatoires non prédictibles d'une expérience à l'autre. Pour caractériser ces signaux, nous allons introduire les grandeurs statistiques suivantes :

Pour un bruit centré

Valeur moyenne <b> =∆ 1

t → ∞lim

1

T t

t+T

∫ b(t) dt = [0 ]

Variance Variance =∆

t → ∞lim

1

T t

t+T

∫ [b(t) - <b>]2

dt = [<2

b > ]

Écart quadratique moyen R.M.S =∆

Variance = [2

b ]

Densité spectrale énergétique par unité de fréquence D.S.E. = ∆Puissance∆fréquence

Exemple de bruits permanents

Type Moyenne Variance R.M.S.

Valeur efficace

Densité Spectrale

Bruit thermique

Déplacement aléatoire des électrons

<b>=0 <2

b >=4 k T R ∆ν

<2

i >= 4kT

R ∆ν

R= 105 Ω

T=300 K

∆ν= 105 Hz

R.M.S. = 10µV

constant

Bruit blanc

Bruit de grenaille : Traversée d'une barrière de potentiel Emetteur-Base par des électrons

<i>=0 <2

i >=2 q I ∆ν I= 10mA

∆ν=105Hz

R.M.S. = 10nA

constant

Bruit blanc

Bruit de génération recombinaison

Bruit d'avalanche

Relation entre observation, signal et bruit

Observation = signal [digne d'intérêt] + bruit [le reste]

La relation Observation = signal [digne d'intérêt] + bruit[le reste] est souvent utilisée, soit parce que, pour des raisons physiques, elle représente la vérité du phénomène étudié, soit, parce qu'elle est une bonne approximation de cette vérité. Les imprécisions et incertitudes de cette approximation, provenant de notre méconnaissance de certaines lois ou de certains paramètres du milieu physique ou de la complexité de la résolution du problème (définir toutes les trajectoires des particules d'une enceinte par exemple) sont alors englobées au sein d'un bruit de caractère aléatoire. D'autres relations sont possibles entre bruit, signal utile et observation par exemple un bruit multiplicatif.

Il faut remarquer que la connaissance du signal utile nous amène la même connaissance sur le bruit. Ces deux composantes jouent donc un rôle dual.

1 Le signe =∆ veut dire égal par définition

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 5

Histogramme des amplitudes gaussien

Amplitude Amplitude

Temps

Histogramme

Notation obtenue par analogie avec le spectre optique

Bruit gaussien aux angles "arrondis" : bruit rose

Bruit gaussien aux angles "vifs" : bruit blanc

Il existe des bruits colorés car ils ne contiennent pas toutes les fréquences de façon uniforme.

Energie et puissance

Signal s(t)

T1 T2

• Valeur moyenne entre T1 et T2 < s > =∆

1

T2- T1

1T

2T

∫ s(t) dt

Nouvelle définition pour la puissance sans dimension physique :

• Puissance instantanée en t P(t) = |s(t)| 2

• Energie entre T1 et T2 ∆E =∆

1T

2T

∫ dE = 1T

2T

∫ P(t) dt = 1T

2T

∫ |s(t)| 2

dt

• Puissance moyenne entre T1 et T2 P = ∆E

T2-T1 =

1

T2-T1

1T

2T

∫ |s(t)| 2

dt =∆

<s2>

• Même grandeur sur support infini : limite quand -T1= T2 +∞ de la grandeur correspondante

• Variance = Ecart type2

σs2 = < | s - < s >|

2 > = < s2

> - < s >2

• Valeur efficace Veff = P = <s2> ou Root Mean Square

Autre définition : amplitude du signal constant ayant la même puissance moyenne

6 Département Mesures physiques IUT Orsay

Systèmes linéaires

• Système = Boite noire x(t) y(t) = H(x(t))

La description précédente est dite externe2 car elle propose de définir le système uniquement au moyen de relations entre les sorties et les entrées du système. Cette représentation simple est déjà suffisamment riche pour être formalisée et utilisée de façon opérationnelle dans le cas de systèmes linéaires. Les relations qui suivent permettent alors de formaliser les relations entrées - sorties du système.

• Système linéaire ∀ λ∀ λ∀ λ∀ λ, µ scalaire

∀ u, v signaux dépendant du temps, alors H[ λ•u(t) + µ•v(t) ] = λ•H[u(t)] + µ•H[v(t)]

Soient deux signaux u et v (fonctions dépendant du temps), alors la connaissance de la réponse du système linéaire pour ces deux signaux est suffisante pour connaître la réponse à tout signal combinaison linéaire de ces deux signaux.

• Invariance dans le temps par décalage

x(t) y(t)

x(t-τ) y(t-τ)

0

0 10 20 30 40

00 10 20 30 40 50

x(t)

y(t)

x(t-10)

y(t-10)temps t

temps t

La notion d'invariance par décalage dans le temps est fondamentale dans de nombreux problèmes de physique En effet, elle autorise à s'affranchir du positionnement absolu du zéro qui est inaccessible dans bon nombre d'expériences. Dans l’exemple de la figure précédente, on voit apparaître 2 échelles de temps sur l’axe des abscisses correspondant à un positionnement différent de l’instant zéro. L’invariance par décalage signifie que la réponse du système est indépendante du positionnement du zéro sur l’axe des temps.

• Réponse impulsionnelle d'un système invariant

δ(t) h(t)

δ(t-τ) h(t-τ)

0

1

0

Dirac

Réponse impulsionnelle

temps t

temps t

↑→causalité

L’étude des systèmes linéaires invariant par décalage est la base des disciplines Automatique ou Traitement du Signal. Nous vous proposons dans ce cours une première approche faisant intervenir la notion de signal, la notion de spectre, les mécanismes de transformations analogique vers numérique, et des bases concernant le filtrage numérique du signal.

2 Il existe d'autres représentations pour définir les systèmes physiques plus complexes.

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 7

Traitement du signal

Définition Le traitement du signal est un ensemble de techniques et de méthodes permettant de recueillir l'information contenue dans un signal et de la présenter à l'observateur sous une forme compréhensive après l’avoir traitée.

Bien que nous ne présentions qu'un aperçu des traitements possibles que l'on peut effectuer sur le signal, la philosophie utilisée en Traitement du Signal est presque toujours la même. On peut souvent montrer qu'il y a équivalence entre différentes représentations du même phénomène physique. Alors le traiteur de Signal choisit la représentation la mieux adaptée à la résolution de son problème. Il transforme alors la représentation initiale, traite le problème et représente le résultat dans la représentation finale la mieux adaptée.

Dans ce cours, nous allons étudier deux transformations particulières et importantes, qui s'appliquent aux problèmes utilisant des chaînes de transformation des signaux décrites ci-dessous.

Transformation temps - fréquence

x(t) y(t) = H(x(t)) Représentation temporelle

↓ Fourier ↑ Fourier-1 ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑

X(ν) Y(ν) Représentation fréquentielle

Traitement plus simple

La transformation temps-fréquence est la plus importante du monde physique. Elle signifie qu’il existe une représentation duale à la représentation temporelle, la représentation fréquentielle, sur laquelle nous pouvons raisonner pour analyser et expliquer des phénomènes physiques. Ces notions sur le contenu spectral des signaux ont été utilisées dès l’antiquité et le moyen age dans la réalisation d’instruments de musique. Elles ont été formalisées au début du dix-neuvième siècle par plusieurs mathématiciens célèbres (Fourier, Laplace et d’autres). Cette représentation spectrale est finalement très utilisée, car il se trouve que les mécanismes mis en œuvre dans le domaine spectral pour l’étude des systèmes linéaires sont plus simples que dans le domaine temporel.

Transformation analogique - numérique

x(t) y(t) = H(x(t)) Représentation analogique

↓ Echantillonnage ↑ Interpolation ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑ Xn Yn Représentation numérique

Traitement plus efficace

Cette deuxième transformation ne relie pas deux représentations parfaitement équivalentes. L’objectif de ce cours sera de montrer que, sous la condition de respecter une relation concernant les fréquences des phénomènes à étudier (relation plus connue sous la dénomination de théorème de Shannon), il est alors possible d’implémenter dans un système numérique toutes les formes de filtrages connues dans le monde analogique, mais aussi d’autres formes de traitement numérique du signal beaucoup plus sophistiquées.

Connaissant l’évolution rapide des technologies numériques, en particulier la loi de Moore indiquant que sur les trente dernières années, la puissances des ordinateurs a été multipliée par deux tous les deux ans (les micro-électroniciens pensent que cette loi va rester valables jusqu’en 2010-15), alors un grand nombre d’applications auparavant analogiques vont passer dans le monde numérique.

8 Département Mesures physiques IUT Orsay

Application au filtrage numérique

La dernière partie du cours concernera l’étude et la réalisation de filtres numériques. Dans le schéma qui suit le filtrage numérique et le traitement numérique de l’information se situe dans la case en grisé. Il n’y a aujourd’hui quasiment pas de limite en ce qui concerne le traitement numérique de l’information. Les dernières barrières sont d’ordre technologiques et concernent l’obtention des résultats sous des contraintes de délais très faibles ou de débits importants.

Chaque étape de traitement peut dénaturer ou transformer en partie l'information que contient le signal à ce niveau de traitement. De même chaque changement de représentation peut modifier l'information transportée par le signal. L'utilisation des techniques de Traitement du Signal perturbe le signal lui-même, mais cette utilisation est souvent un passage obligé pour résoudre le problème initial. Il nous faut donc apprendre à connaître quelles sont les perturbations induites par chacune des étapes de traitement. Nous nous limitons dans ce cours à l'étude des représentations temporelle et fréquentielle, ainsi qu'aux problèmes d'échantillonnage pour passer en représentation numérique.

Chaîne de Traitement du signal

Chaîne de Traitement analogique

Chaîne de Traitement numérique

Capteur Capteur

↓ ↓

Amplification Amplification

↓ ↓

Filtrage Filtrage

↓ ↓

Transport Echantillonnage

↓ ↓

Traitement analogique Conversion Analogique Numérique

↓ ↓

Transport sur réseaux

Mémoriser

Enregistrer

Afficher

Traitement numérique sur ordinateur,

Mémorisation et stockage,

Enregistrement numérique

Affichage et restitution

A ce stade, un lien sera établi avec le cours concernant l’instrumentation numérique, les convertisseurs analogiques numériques CAN et numériques analogiques CNA.

Séries de Fourier Fonctions périodiques

Les fonctions e 2πj nν t = e jnωt

= cos (nωt) + j sin (nωt) forment une base orthogonale complète des

fonctions périodiques de période T= 1

ν , de fréquence ν ou de pulsation ω = 2πν. Etre une base orthogonale

complète, cela veut dire qu’une fonction quelconque f (t) de période T est décomposable de façon unique sur

cette base de fonctions périodiques. Les coefficients de cette décomposition sont appelés les coefficients Cn

de la série de Fourier quand la décomposition a lieu sur les fonctions e jnωt et an et bn quand la

décomposition a lieu sur la base équivalente des fonctions cos(nωt) et sin (nωt). La fonction g(t) prend l’une des formes équivalentes suivantes :

g(t) = a0 + ∑∞+

= 1n

an cos(nωt)+ ∑∞+

= 1n

bn sin(nωt)] Forme paire et impaire

g(t) = d0 + ∑∞+

= 1n

dn cos(nωt + φn) Forme module et phase

g(t) = ∑∞+

−∞=n

Cn e jωnt Forme complexe

Il existe des relations entre an, bn, Cn, dn et φn.

Cn =∆

1

T⌡⌠

a

a+T

g(t) e jnωt dt = ½ an - ½ j bn C0 = a0 = d0 =

1

T ⌡

a

a+T

g(t) dt

an =∆

2

T ⌡⌠

a

a+T

g(t) cos(nωt) dt = Cn + C-n dn = an

2 + bn

2

bn =∆

2

T ⌡⌠

a

a+T

g(t) sin(nωt) dt = j Cn - j C-n φn = - arctan( bn

an

)

2*Cn = an - j bn = dn cos (φn) + j dn sin (φn) = dn exp (jφn)

2*C-n = an + j bn

La composante de rang n=0 s’appelle la valeur moyenne ou le continu représentant la fréquence 0.

La composante de rang n = 1 s'appelle le fondamental. La fréquence du fondamental est ν = ω / 2π. Les composantes de rang n supérieur à 1 sont les harmoniques de fréquences multiples du fondamental.

10 Département Mesures physiques IUT Orsay

Propriétés

Linéarité Cn [α h ( t ) + β g (t)] = α Cn [ h ( t ) ] + β Cn [ g (t)]

Parité fonction Paire ⇒ Décomposition sur des fonctions paires ⇒ bn =0

fonction Impaire ⇒ Décomposition sur des fonctions impaires ⇒ an = 0

Translation Cn [g (t-a)] = e− jωnaCn [g (t)]

Dérivation Cn[ ∂∂ t

g (t)] = jωn Cn [g (t)]

Convolution Cn[ h ⊗ g ] = Cn[ h ] • Cn [ g ]

Egalité de Parseval

<h/g> =∆

1

T ⌡⌠

a

a+T

h(θ) g(θ) dθ = ∑∞+

−∞=n

Cn[ h ] C-n [ g ]

<g/g> = 1

T ⌡⌠

a

a+T

g(θ)2

dθ = ∑∞+

−∞=n

|Cn[ g ]|2 = a02

+ 1

2 ∑

∞+

= 1n

( an[ g ]2 + bn[ g ]

2)

Spectre de raies

Soit une fonction g(t) périodique quelconque et soit G (f) sa transformée de Fourier

g(t) = ∑∞+

−∞=n

Cn e2πjνnt

F G (f) = ∑

∞+

−∞=n

Cn[ f ] δ(f - n ν)

Cette relation montrera, après étude de la transformée de Fourier, qu'il est possible de considérer les

coefficients Cn comme les seules valeurs non nulles de le représentation du spectre de g(t). Le terme spectre

est utilisé ici en tant que représentation en fréquence de la fonction g(t). Au niveau graphique, il est fréquent de présenter :

• un spectre en amplitude pour connaître la puissance transportée par chaque composante de fréquence nν.

dn = 2• Cn = 2• C-n si la fonction f est réelle.

d

dd

dd

dd

d

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

4

3

56

Représentation monolatérale

7

f/νn=

dn

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 11

Représentation bilatérale

12

43

567

cc

cc c

cc cc c

c cc

cc 0

12

43

56 7

- - - - - -

- - - --

--

f/νn=0 1 2 3 4 5 6 71234567

cn

une forme perspective Cn[f] valeur complexe fonction de la fréquence f.

cc

01

01

23

-2-1

Représentation perspectiveRéel

Imaginaire b1

a1

b1

c-1

n=f•T

-3

a1

c 2c 3

c-2

b2b3

a2a3 a0

a2

a3

b2b3

c-3

Valeur efficace d'un signal périodique

Veff2

= <f(t)2

> = 1

T⌡⌠a

a+T

f(t)2

dt

On part de f(t) = ∑∞+

−∞=n

Cn e

j nω t ou de f(t) = a0 + ∑

∞+

= 1n

[an cos(nωt)+ bn sin(nωt)]

On obtient Veff2

= ∑∞+

−∞=n

Cn2

= a02

+ ∑∞+

= 1n

[ n2

a2

+ n2

b2

]

Taux d’harmoniques

Td = Puissance_des_ harmoniques

Puissance_ du_ fondamental =

Valeur_ efficace_ des_ harmoniques

Valeur_efficace_ du_ fondamental

=

∑n=2

+∞

n2

a2

+ n2

b2

1

2

a2

+ 1

2

b2

=

Veff2 - a0

2 - ( 1

2

a2

+ 1

2

b2

)

1

2

a2

+ 1

2

b2

La valeur du taux d’harmoniques Td permet de mesurer la pureté d’un signal. Le taux de distorsion harmonique Td, défini par la même formule, permet de mesurer les dégradations amenées par un pré-ampli ou un ampli analogique dans une chaîne de restitution des sons. On suppose introduire une sinusoïde pure en entrée du système d’amplification. Après avoir réalisé la décomposition en série de Fourier de la sortie correspondante, on évalue le taux de distorsion harmonique injecté par les défauts du système d’amplification : écrêtage, non-linéarités dépendant de l’amplitude ou du signe du signal, … Le rapport signal sur bruit amené par l’appareillage doit être supérieur à 100-120 dB pour des appareils haut de gamme.

12 Département Mesures physiques IUT Orsay

Sens physique sur un exemple Soit le signal périodique et symétrique carré par exemple. On part de la formule de décomposition en amplitude et déphasage. Si on peut se ramener à un signal pair ou impair par un décalage dans le temps, alors on ne se prive pas de le faire, car il lui correspond un déphasage simple sur les coefficients de la décomposition en série de Fourier.

g (t) = a0 + ∑∞+

= 1n

an cos(nωt)+ ∑∞+

= 1n

bn sin(nωt)] = d0 + ∑∞+

= 1n

dn cos(nωt + φn)

Nous effectuons le calcul du premier terme et nous le soustrayons à la fonction.

g (t) - a0 =

4

π[cos (ωt) -

1

3 cos (3ωt) +

1

5 cos (5ωt) ...] = ∑

∞+

= 1n

dn cos(nωt + φn)

C’est maintenant un nouveau signal à valeur moyenne nulle. Ce qui veut dire qu’il y a autant de parties positives que de parties négatives dans ce signal. Nous calculons alors le fondamental que nous soustrayons de nouveau.

g (t) - a0 – d1 cos(ωt + φ1) = ∑∞+

= 2n

dn cos(nωt + φn).

C’est toujours un signal à valeur moyenne nulle. Nous pouvons continuer à approcher la fonction périodique de base par sa somme en série de Fourier en calculant les termes les uns après les autres. Les termes non calculés constituent un résidu de valeur moyenne nulle et d’amplitude décroissante au bout d’un certain rang, car on approche de plus en plus la fonction périodique de base.

Fonction périodique à décomposer

Fonction décalée dans le temps Simplification de la parité

+Calcul de la valeur moyenne

Première approximation : Valeur moyenne + fondamental

Deuxième approximation : Valeur moyenne + fondamental

+ premier harmonique non nul

Troisième approximation : Valeur moyenne + fondamental

+ premier harmonique non nul

+second harmonique non nul

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 13

Réponse d'un système linéaire à une entrée périodique Nous disposons d’un filtre linéaire, invariant par décalage.

e(t) s(t)

Supposons que nous ayons étudié le filtre en effectuant une analyse pratique et en traçant le diagramme de

Bode correspondant. Pour chaque entrée sinusoïdale pure de la forme e

j nω t, nous connaissions l’atténuation

en module et le déphasage. Globalement, nous pouvons alors écrire la relation avec la notation complexe

suivante où H représente un nombre complexe dont le module correspondant à l’atténuation (ou

l’amplification s’il est de norme supérieure à 1) et la phase correspondant au déphasage entre la sortie du filtre

et l’entrée sont obtenus pour la pulsation en cours d’analyse nω.

∀ ω et n e(t) =e

j nω t s(t) = H(jnω)•e

j nω t

Alors par linéarité de la transformation de Fourier, quelque soit l’entrée périodique f(t) de période T= 1ν , de

fréquence ν ou de pulsation ω = 2πν, nous pouvons produire une décomposition en série de Fourier à partir du fondamental et de ses harmoniques. Nous connaissons donc aussi la sortie s(t) correspondante donnée dans l’équation suivante :

f(t) = ∑∞+

−∞=n

Cn e

j nω t s(t) = ∑

∞+

−∞=n

Cn H(jnω)• e

j nω t

Cette formule peut donc s'écrire sous une forme module et déphasage suivante qui fait mieux apparaître le

module et l'argument de la transmittance H(jω) :

f(t) = d0 + ∑∞+

= 1n

dn cos(nωt + φn) s(t) tel que

s(t) = H (0) d0 + ∑∞+

= 1n

|H(jnω)| dn cos( nωt + φn + arg[H(jnω)] )

H(jω)

H(jω)

Atténuation ou amplification en module

Rajout d’un déphasage

H(jω)

14 Département Mesures physiques IUT Orsay

Table des développements

Τ=2π/ω

τ

Τ=2π/ω

Τ=2π/ω

Τ=2π/ω

Τ=2π/ω

Ε

Τ=2π/ω

Ε

V(t) = E.

4

π[sin (ωt) +

1

3 sin (3ωt) +

1

5 sin (5ωt) + ...]

V(t) = E τT

+ 2Επ [ sin (π

τT

)cos(ωt) +

12 sin(2π

τT

)cos (2ωt) + 13 sin(3 π

τT

)cos (3ωt) ...]

V(t) = 8Ε

π2 [cos (ωt) + 1

32 cos (3ωt) + 1

52 cos (5ωt) + ...]

V(t) =

2Επ [ sin(ωt) -

12 sin(2ωt) +

1

3 sin 3ωt) +

14 sin(4ωt)

+ ...] V(t) =

2Επ +

4Επ [ 1

3 cos (2ωt) -

13x5

cos (4ωt)

+ 1

5x7 cos (6ωt) + ...]

V(t) = Επ +

2Επ sin (ωt) +

2Επ [ 1

3 cos (2ωt) +

1

3x5 cos (4ωt) +

15x7

cos (6ωt) + ...]

Distributions Il s'agit d'un formalisme concernant les fonctions à valeurs continues à paramètres continus. L'introduction des distributions répond au besoin de trouver un formalisme cohérent pour gérer de façon formelle les discontinuités présentes dans les signaux physiques réels.

Heaviside ou échelon unitaire

ou fonction caractéristique

sur ]0, +∞[

0

1

x

H(x)

0

1

x

H(x-a)

a

1/2

Porte ou fenêtre unitaire

ou fonction caractéristique

sur ]-1/2, +1/2[

0

1

-1/2 1/2

1/2

Π( )x

x 0

1

xa-T/2 a+T/2

1/2

x-a Π( )T

a

Triangle Λ(x)

0

1

x-1 1

Λ( )x

0

1

xa-T a+T

x-a T

a

Λ( )

Dirac δ(x) = ⊥ (x)

0 x

δ( )x1

0 x

δ( )=δ ( )x-a1

a

xa

δ(a.x) = 1/a δ(x)

−∞

+ ∞

∫ f(θ)δ(θ-a) dθ = f(a)

Multiplication simple : f (x).δ(x-a) = f(a).δ(x-a)

Echantillonner une fonction quelconque f(x) ou la fonction constante de valeur f(a) donne le même résultat au point x = a

En effet, en x=a, f(x) et f(a) ont même valeur.

En x≠a, f(x).δ(x-a) = f(a).δ(x-a) = 0

La multiplication par un Dirac est donc assimilable à une prise d’échantillon.

0 x

δ( )=δ ( )x-a1

a

xa

f(x)

f(a)

16 Département Mesures physiques IUT Orsay

Produit de convolution : f (x).⊗δ(x-a) = f(x-a)

Le produit de convolution par un Dirac est donc assimilable à un décalage de la fonction.

0 x

δ( )=δ ( )x-a1

a

xa

Peigne de Dirac (x)

0 x

( )x

1

1 2-1-2

∃3

0 x

( )a.x1/a

1/a 2/a-1/a

Multiplication simple : f (x). (x/T)

La multiplication par un peigne de Dirac est donc assimilable à une prise d’échantillon à intervalles constants à un facteur multiplicatif près.

0 x

( )x/TT

T 2T-T

Produit de convolution : f (x).⊗ (x/T)

Le produit de convolution par un peigne de Dirac est donc assimilable à une périodisation du signal à un facteur multiplicatif près.

0 x

( )x/TT

T 2T-T

f (x).⊗ (x/T)

Dérivation au sens des distributions

• H'(x-a) = δ(x-a)

Une discontinuité d'amplitude 1 au point a donne pour dérivée un Dirac δ(x-a) non nul en ce point.

• Soit une fonction discontinue D(x) = f(x) + σ H(x-a) avec f continue en a et dérivable à droite et à gauche,

alors sa dérivée au sens des distributions est D'(x) = f '(x) + σ δ(x-a)

f(x)

f(x)

f(x)

Transformation de Fourier ˆ f (ν) = F [f (x)] =∆ −∞

+ ∞

∫ f (x)e−2πjνxdx ⇒ ˆ f (0) = −∞

+ ∞

∫ f (x) dx

f (x) = F −1 [ ˆ f (ν)] =∆ −∞

+ ∞

∫ ˆ f (ν)e+2πjνx dν ⇒ f (0) = −∞

+ ∞

∫ ˆ f (ν) dν

Propriétés

• F est un opérateur linéaire sur les fonctions F [λf + µ g] = λ F [f ] + µ F [g]

• Parité Soit Pair [f] (x) = ½ f (x) + ½ f (-x) partie paire de la fonction f.

Soit ℑmpair [f] (x) = ½ f (x) - ½ f (-x) partie impaire de la fonction f.

Alors f (x) = Pair [f] (x) +ℑmpair [f] (x)

f (x) = ℜeel o Pair [f] (x) + ℑmag o Pair [f] (x) + ℜeel o ℑmpair [f] (x) + ℑmag o ℑmpair [f] (x)

↑↓ ↑↓ ↑↓ ˆ f (ν) = ℜeel o Pair[ ˆ f ] (ν) + ℑmag o Pair[ ˆ f ] (ν) + ℜeel o ℑmpair[ ˆ f ] (ν) + ℑmag o ℑmpair[ ˆ f ](ν)

• Inversion de x F [f (-x)] = ˆ f (-ν) • Conjugaison F [ f (x) ] = ˆ f (-ν)

• Changement d'échelle F[f (a x)] = 1

a ˆ f (

νa

)

• Translation F [f (x-a)] = e−2πjνa ˆ f (ν)

• Modulation F [ e2πjνoa f (x)] = ˆ f (ν - ν o ) • Dérivation F [

d

dx f (x)] = 2jπν ˆ f (ν)

d

dν ˆ f (ν) = F [− 2jπx f (x)]

• Convolution F [ f ⊗ g ] = F [ f ] • F [ g ]

F [ f • g ] = F [ f ] ⊗ F [ g ] • Formule de Parseval - Plancherel

<f/g> = −∞

+ ∞

∫ f(θ) g(θ) dθ = −∞

+ ∞

∫ ˆ f (ν) ˆ g (ν) dν

<f/f> = −∞

+ ∞

∫ f(θ) f (θ) dθ = −∞

+ ∞

∫ f(x)2 dx = −∞

+ ∞

∫ ˆ f (ν)2 dν

Le passage d’une représentation temporelle à une représentation fréquentielle conserve l’energie.

18 Département Mesures physiques IUT Orsay

Exemples

-1 0 1

e-π x2

F

e−πν2

1

j

1-1

e-x

F

2

1+(2πν)2

1

j

1/2 1/2-

Π(x) F

sinc(πν) =

sin(πν)

πν

1

j

1-1

Λ(x) =

Π ⊗ Π(x)

F

sinc(πν)2 1

j

δ(x) F

1 1

j

xo

δ(x - xo) F

e−2πjνxo 1

j

e+2πjνox

F

δ(ν-νο)

νο

1

j

F

cos(2πνο) =

e2πjν ox

+ e−2 πjν ox

2

1

2δ(ν-νο)

+1

2δ(ν+νο)

νο

1

j1/2

1/2

−νο

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 19

F

sin(2πν o x)=

e2πjν ox

− e−2π jν ox

2j

j

2δ(ν+νο)

- j

2δ(ν-νο)

νο

1

j -1/2

1/2−νο

signe(x) F

−j

πν 1

j

H(x) F

- j

2πν +1

2δ(ν)

1

j

1/2

(x) F

(ν)

1

j

1

10

T(x) = 1

T (x

T)

= Σ δ(x-n•T) = 1

T Σ δ(

x

T-n)

F (ν.T)

= Σ δ(ν•T - n)

=1

TΣ δ(ν -

n

T )

= 1

T 1

T (x)

1

j0

1/T

1/T

Soit f°(x) le motif de base d’une fonction périodique f(x) sur une période [a, a+T[ et valant 0 ailleurs.

1/2 1/2-

f°(x)= une porte F f °(ν)

1

j

f(x) de période T

f(x) = f°(x) ⊗ T(x)

F

Spectre de raies f (ν) = f °(ν) • (ν.T)

f (ν) = 1

T ∑∞+

−∞=n

f °(n

T ) • δδδδ(ν -

n

T )

20 Département Mesures physiques IUT Orsay

Associer un signal et son spectre Une des épreuves d'examen consiste à associer une série de signaux avec leur spectre. Tous les tracés sont disponibles, le spectre étant tracé en module, la phase étant inconnue.

Signaux

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5

0

0.5

1

A

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

0

5

B

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

0

5

C

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

0

5

D

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

0

5

E

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

F

Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 21

Spectres

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1000

2000

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

500

1000

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

500

1000

3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

500

1000

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

500

1000

6

22 Département Mesures physiques IUT Orsay

Tracé de spectre

L'analyse des tracés de spectre en physique n'est pas toujours aisée comme vous pouvez le voir sur la série d'exemples précédents. Lorsqu'on passe dans l'espace des spectres par transformée de Fourier, on a pour objectif d'arriver à mieux percevoir dans cet espace les différentes composantes présentes dans le signal.

Signal périodique + bruit

Par exemple une des composantes est un bruit blanc, donc à large spectre, et l'autre composante est un signal périodique, donc avec un spectre de raie, chaque raie étant à bande étroite. Les propriétés de conservation de l'energie par passage de la représentation temporelle à la représentation spectrale permettent dans ce cas de simplifier l'analyse des composantes de signaux, car l'energie se concentre dans la représentation spectrale dans des raies et elles apparaîssent alors au dessus du niveau du spectre du bruit.

Associer un signal et son spectre

Une des épreuves d'examen consiste à associer une série de signaux avec leur spectre. Tous les tracés sont disponibles, le spectre étant tracé en module, la phase étant inconnue. Différentes caractéristiques doivent vous permettre de répondre à cette question.

• Le spectre Simple Composé

Le spectre est-il simple ou composé de plusieurs signaux ?

• Chaque composante

Chaque composante est-elle une raie, un spectre de raies, un signal à bande étroite, un signal à large bande?

Quelles sont les fréquences caractéristiques ?

Comment se servir des amplitudes relatives pour associer signaux et spectres?

• Durée d’un signal

Il faut étudier la largeur des raies pour connaître la durée d'un signal.

Réponse

A4 - B3 - C1 - D5 - E6 - F2

A4 – Un seul signal est à spectre continu et non périodique par ailleurs.

C1 - F2 – les 2 signaux sont à spectre de raies pures 1 et 2. Ils correspondent à la somme de deux sinusoïdes non tronquées © et à un signal carré non tronqué plus du bruit F. Ils sont alors faciles à discriminer.

B3 - D5 - E6 – Les spectres sont larges. Ils correspondent à des signaux temporels tronqués dans le temps. Ce qui différencie 5 et 6 formés de 3 morceaux de sinusoïdes est la présence de bruit reconnaissable en signal et en spectre. . Ce qui différencie B est la présence de 2 morceaux de sinusoïde.

0 ,4

-0 ,1

0 ,2

2 5 5-2 5 6 -2 0 0 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

DC Centered Spectrum

3 ,9

-3 ,7

0 ,0

2 ,5

5 1 10 2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0 2 2 5 2 5 0 2 7 5 3 0 0 3 2 5 3 5 0 3 7 5 4 0 0 4 2 5 4 5 0 4 7 5

Time Domain Sequence

Produit de convolution Définition : f ⊗ g (x) =∆ −∞

+ ∞

∫ f(θ)g(x-θ) dθ

Exemples

Exemple physique

Le système étudié est la projection d'un transparent par un rétroprojecteur sur un écran. L'image de départ est le transparent, la fonction de transfert est régie par le système optique du rétroprojecteur. La sortie du système est l'image du transparent projetée sur l'écran.

Mirroir

Lentille

Image source

sur la vitre

Image projetée

sur l’écran

Lorsque le système optique est ajusté, il nous semble que l'image est nette sur l'écran.

Nous déréglons légèrement le système optique. Chaque pixel du transparent ne fournit plus un pixel sur l'écran, mais une tâche ayant une certaine dimension. Le grandissement du système évolue peu, mais l'ensemble des tâches donne une image moins nette du contenu du transparent. Ainsi réglé, notre pouvoir de séparation des détails de l'image a diminué, puisque des détails qui étaient séparables (les bords de chaque lettre contenue dans le transparent) ne le sont plus avec ce réglage.

Une image déjà floue ne redevient pas nette en jouant sur le réglage. En fait, l'utilisation de cascade de filtre ne peut qu'augmenter la taille de la tâche comme nous le verrons sur les signaux mono dimensionnels.

Propriétés

• Commutativité

• Associativité (si les produits 2 à 2 ont un sens)

• L'intégrale du produit de convolution de 2 fonctions sommables est le produit de leurs intégrales.

−∞

+ ∞

∫ (f ⊗ g) (θ) dθ = −∞

+ ∞

∫ f(θ) dθ • −∞

+ ∞

∫ g(θ) dθ

• Pour translater un produit de convolution, il suffit de translater l'un des facteurs

(f ⊗ g )(x-a) = f (x-a) ⊗ g (x) = f (x) ⊗ g (x-a)

• Pour dériver un produit de convolution, il suffit de dériver l'un des facteurs

(f ⊗ g )'(x) = f '(x) ⊗ g (x) = f (x) ⊗ g' (x)

• Le produit de convolution de 2 fonctions paires est une fonction paire.

• (f ⊗ δ )(x) = f (x) δ (x) est l'élément neutre du produit de convolution

• (1 ⊗ f )(x) = −∞

+ ∞

∫ f(θ) dθ = Constante

24 Département Mesures Physiques - IUT Orsay

• (f ⊗ δa)(x) = f (x-a) = −∞

+ ∞

∫ δ (θ-a)f(x-θ) dθ

• (f ⊗ δ' )(x) = f '(x)

Système causal dépendant du temps Tous les systèmes physiques possèdent un pouvoir séparateur fini, ce qui traduit le fait que deux "pixels" suffisamment proches ne puissent plus être séparables après avoir traversé ce système. La distance minimum de deux pixels séparables indique le pouvoir de séparation du système. Il existe un lien entre l'étendue du support non nul de la réponse impulsionnelle d'un filtre (système linéaire invariant par décalage) et le pouvoir de séparation de ce filtre.

On appelle h(t) la réponse impulsionnelle d'un filtre à une entrée impulsionnelle.

1

δ(t) h(t)

1

0 θ t

Invariance par décalage

δ(t-θ) h(t-θ)

0 θ t

En utilisant la linéarité du système

x(t) = −∞

+ ∞

∫ x(θ)δ(t-θ)dθ s(t) = −∞

+ ∞

∫ x(θ)h(t-θ)dθ

Un système causal est un système où les entrées dépendent du temps et où la sortie n'est présente qu'après apparition de l'entrée correspondante. La cause précède toujours l'effet.

Le support de la fonction h(t) est l'intervalle où la fonction h(t) est non nulle. En particulier, le support d'une

réponse d'un système causal est un intervalle ⊂ ]0, +∞[, qui est non nul seulement dans le futur.

Définition duale : La sortie s du filtre à l'instant t ne peut faire intervenir que des instants θ antérieurs à t.

• Pour démontrer cette relation, nous avons besoin de connaître les différentes contributions ayant participé à la valeur s(t) à

l'instant t. s(t) est donné par l'intégrale −∞

+ ∞

∫ x(θ)h(t-θ)dθ où t est

un paramètre et θ la variable muette d'intégration. Nous avons

alors besoin du tracé de la fonction h(t-θ) en fonction de la

variable d'intégration θ.

h(t-θ)

0 t θ

• Nous avons aussi besoin de la remarque suivante : pour être générale, la relation d'intégration fait intervenir

une sommation de - ∞ à +∞. Or nous pouvons restreindre l'intégration au support non nul de chacune des

fonctions en présence x(θ) ou h(t-θ). Toutes les valeurs de x qui interviennent dans le calcul de la sortie s sont

donc antérieures à t, car h(t-θ) est nulle pour θ>t.

s(t) = Support de h (t−θ )∫ x(θ)h(t-θ)dθ

Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 25

Technique de calcul Un algorithme visuel pour calculer la sortie s(t) consiste donc à tracer sur un calque le symétrique de la fonction h en pointant le zéro. Ensuite, on fait glisser le calque en posant la marque du zéro sur la valeur t pour laquelle on cherche à calculer s(t). On effectue terme à terme le produit des 2 fonctions et on intègre sur le support non nul de

h(t-θ), qui est représenté par la fonction tracée sur le calque.

0 t θ

Exemple Résultats

-3 -1 0 1 5

Porte Π(θ) de largeur 1

Porte Π(-3-θ)

Porte Π(-1-θ)

Porte Π(-1/2-θ)

Porte Π(0-θ)

Porte Π(1/2-θ)

Porte Π(5-θ)

s(-3) = 0

s(-1) = 0

s(-1/2) = 1/2

s(0) = 1

s(1/2) = 1/2

s(5) = 0

Triangle Λ(x)

Support

Nous remarquons sur l'exemple précédent que le support de la fonction résultante est 2 fois plus large que les supports des fonctions entrant dans le produit scalaire. De fait si on note BorneSup (f) la borne supérieure du support de f telle que f(x)=0 si x > BorneSup (f) et BorneInf (f) la borne inférieure du support de f telle que f(x)=0 si x < BorneInf (f), alors nous avons les relations :

s(t) = ⌡⌠

Support de h(t-θ)

x(θ)h(t-θ)dθ = BorneInf∫BorneSup

h(θ)x(t-θ)dθ

BorneSup (f ⊗g) = BorneSup (f ) + BorneSup (g)

BorneInf (f ⊗g) = BorneInf (f ) + BorneInf (g)

En particulier, si h est la réponse impulsionnelle d'un système physique, nous nous attendons à avoir BorneInf

(h) ≥ 0, car le système est causal, l’effet suit dans le temps la cause qui le produit.

De même, BorneSup (h) est finie, car il est en effet difficilement concevable d'avoir une réponse impulsionnelle non nulle du système qui dure très longtemps. De tels systèmes présentent un phénomène d'hystérésis et ne peuvent pas être traités par cette modélisation.

26 Département Mesures Physiques - IUT Orsay

Filtres en cascade

δ(t) h1(t) s(t) = −∞

+ ∞

∫ h1(θ)h2(t-θ)dθ = (h1 ⊗ h2 )(t)

e j ω t

H1(jω) • e j ω t

H1(jω) • H2(jω) • e j ω t

La réponse du système formé de deux filtres en cascade est obtenue en calculant la sortie comme étant la réponse impulsionnelle du système. Ce résultat est cohérent avec le fait que la transformée de Fourier de la

réponse impulsionnelle est la transmittance du système. Or nous savons que quelque soit la pulsation ω choisie,

la fonction exp(jωt) se transforme suivant les relations écrites ci-dessus. Nous retrouvons donc qu'à un produit de convolution dans l'espace des temps correspond un produit simple par transformation de Fourier. Les propriétés de commutativité, associativité, élément neutre se déduisent alors des mêmes propriétés correspondantes en ce qui concerne le produit habituel.

Les remarques sur les supports des réponses impulsionnelles montrent que la mise en cascade de filtres ne peut que diminuer le pouvoir de résolution du système en augmentant l'étendue du support de la réponse impulsionnelle résultante. Ainsi, si l'image floue a été obtenue par un filtre linéaire et si le système de projection se comporte comme un autre filtre linéaire, alors la projection de l'image floue correspond à une mise en cascade de deux filtres linéaires. Le résultat ne peut pas aboutir à une amélioration de l'image, mais correspond toujours à une dégradation supplémentaire de cette image.

• Exemple d'une ligne de transmission sans perte (conservation de l’énergie transportée), qui possède un retard pur et un effet de moyennage décrit par la réponse impulsionnelle idéalisée h1 représentée ci- contre pour une longueur de ligne de 1 mètre :

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40

ligne de 1 mètre

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40

Ligne de 2 mètres : h2 =h1⊗ h1

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40

Ligne de 4 mètres : h4 =h2⊗ h2

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40

Ligne de 8 mètres h8 =h4⊗ h4

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40

Ligne de 16 mètres : h16 =h8⊗ h8

Les commentaires à faire sur cette figure sont les suivants :

Dans un système à conservation d’énergie, la surface de la réponse impulsionnelle reste à peu prés constante.

Les retards s’ajoutent.

Les supports s’ajoutent et donc s’élargissent. ( la hauteur diminue).

Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 27

Application au filtrage linéaire

Nous avons considérés les filtres linéaires invariants par décalage dans le temps. Nous savons que ce filtre correspond à un produit de convolution entre l'entrée du système linéaire et une fonction de l'appareil que nous appelons la réponse impulsionnelle du système. La réponse impulsionnelle est obtenue comme son nom l'indique comme la réponse à un signal impulsion au temps zéro : un Dirac.

δ(t) s(t) = h(t)

e(t) s(t) = e⊗h (t)

Filtrage fréquentiel Une des propriétés les plus importantes des transformées de Fourier concerne le produit de convolution. A un produit de convolution de deux signaux représentés dans l'espace des temps correspond un produit simple dans la représentation en fréquence des mêmes signaux.

L'importance de cette propriété provient qu'elle transforme le problème du filtrage linéaire, très présent en physique et représenté par un produit de convolution dans l'espace des temps et donc d'une certaine complexité, en un problème beaucoup plus simple à résoudre dans l'espace des fréquences représenté par un produit simple des spectres.

Cette représentation spectrale est donc la représentation privilégiée pour traiter des problèmes de filtrage linéaire. Même si l'introduction du formalisme des transformées de Fourier a pu vous paraître un peu mathématique, cette représentation correspond à un mécanisme physique important tant au niveau des signaux périodiques que pour l'ensemble des signaux réels. Il existe des matériels de mesure capables de fournir le spectre de signaux physiques avec une certaine précision. Nous conseillons à ceux qui sont intéressés de lire attentivement le paragraphe concernant la détection synchrone dans lequel ils trouveront des éléments sur les mécanismes utilisés par ces appareils de mesure.

νν0

∆ν Η( )

Ε( )

ν

ν

Bien qu'il soit possible d'obtenir des filtrages très simples dans la représentation fréquentielle, nous voulons mentionner ici que ces filtres ne sont pas obligatoirement faciles à réaliser pratiquement. Par exemple supposons que nous voulions réaliser le filtre linéaire suivant fourni par sa représentation en fréquence ci-dessous.

Soit E(ν) le spectre du signal d'entrée, H(ν) le spectre de la réponse impulsionnelle et donc la transmittance du

système linéaire associé, alors S(ν) est le spectre de la sortie résultante et est égal au produit simple des spectres.

En conséquence, S(ν) = E(ν) • H(ν) = E(ν) • ∆ν(ν−ν0)

Alors s(t) = F −1

[S(ν)] = F −1

[E(ν)] ⊗ TF−1

[ ∆ν(ν−ν0)]

= e(t) ⊗ ∆ν sinc(π ∆ν t) exp(2jπ ν0 t)

Dans le cas où nous cherchons à réaliser ce filtre idéal passe-bande sans passer par le calcul explicite du spectre

E(ν) de e(t), alors il faut convoluer l'entrée e(t) par la transformée de Fourier inverse du filtre en fréquence. Or cette fonction est à support infini. Celà induit l’impossibilité de la réalisation d'un tel filtre dans le domaine temporel.

28 Département Mesures Physiques - IUT Orsay

Filtrage temporel La même propriétés des transformées de Fourier concerne le théorème réciproque sur le produit de convolution. A un produit simple de deux signaux représentés dans l'espace des temps correspond un produit de convolution dans la représentation en fréquence des mêmes signaux.

On parle de filtrage fréquentiel lorsqu’on effectue le produit ssimple de deux représentations fréquentielles. Par analogie, on parle de filtrage temporel lorsque nous effectuons le produit simple de deux représentations temporelles.

Or l'observation d'un phénomène physique conduit toujours à un filtrage temporel défini ainsi : nous ne sommes capables de réaliser une observation que durant un temps limité, cela revient à faire le produit simple du signal à étudier s(t) (supposé à support infini) par une fenêtre d'observation à support limité et fini. Cette opération déforme le spectre en fréquence du signal que nous voulions analyser, comme le montre le calcul suivant :

Soit H la durée de la fenêtre d’observation, H pour Horizon d’observation et s’(t) le signal observé

s'(t) =s(t) . H (t-t0) F S'(ν) = S(ν) ⊗ H sinc(π ν H) exp(-2jπ ν t0)

0

1

-500 0 500

-1

0

1

-500 0 500

La conclusion est simple. Physiquement, le fait que nous observions un phénomène durant un temps limité H, ce qui correspond à un produit simple par une fenêtre rectangulaire, conduit à transformer la réponse spectrale du phénomène étudié. Ce que nous récupérons est le produit de convolution par un sinus cardinal qui a deux effets :

• Une largeur de résolution d’autant plus importante que la durée est courte ;

• L’apparition d’un artefact constitué par la présence de lobes secondaires importants qui peuvent cacher d’autres fréquences présentes dans le spectre.

Si nous cherchons à ne pas altérer ou altérer au minimum le spectre S'(ν), il faut réaliser certaines conditions :

• Soit le temps d'observation H est grand et la fenêtre symétrique (t0=0), alors S'(ν) ≅ S(ν). En effet

H sinc(π ν H) tend alors vers un δ(t) qui est élément neutre du produit de convolution.

• Soit pour palier à ces difficultés, il est nécessaire de multiplier, non par une fenêtre simple, mais par une fenêtre de pondération plus sophistiquée, qui transforme différemment le spectre en fréquence du signal que nous voulions analyser.

Fenêtrage Les ingnieurs ont imaginé un certain nombre de fenêtres et montré leur efficacité pour conserver certaines propriétés. Par exemple la fenêtre de Hamming définié par la formule suivante

Hamming(t) = [0,54 + 0,46 cos(2πt/H)] H (t) possède la propriété suivante : 99% de son énergie est

contenu dans le lobe principal de sa représentation en fréquence. Le déphasage des spectres dépend quant à lui toujours du centrage de la fenêtre d'observation. La nouvelle relation devient :

0

0

Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 29

s'(t) =s(t) . Fenêtre (t-t0) →←F S'(ν) = S(ν) ⊗ F ( ν ) exp(-2jπ ν t0)

0

1

-500 0 5000

0.2

0.4

0 10 20 30 40 50

0

1

-500 0 5000

0.1

0.2

0 10 20 30 40 50

Nous voyons ici le résultat d'une fenêtre de pondération. Le produit simple par une fenêtre de pondération a pour objet de concentrer 99% de l'énergie du spectre de cette fenêtre dans le lobe principal au détriment d'un

élargissement de ce lobe qui devient approximativement le double de largeur. La largeur devient environ 4

T .

On effectue maintenant un rétrécissement de la fenêtre d’observation.

0

1

-500 0 5000

0.2

0 10 20 30 40 50

0

1

-500 0 5000

0.1

0 10 20 30 40 50

Il apparaît alors une relation analogue à la relation d’incertitude de Heisenberg : plus la localisation temporelle est précise (correspondant à un horizon d’observation court), plus la résolution fréquentielle est imprécise.

Diagramme de Bode et décomposition en transformée de Fourier

La transmittance Η(ν) complexe est décrite par son amplitude et sa phase. On excite le système par une entrée

sinusoïdale. On mesure alors la transmittance complexe Η(ν) en calculant le module puis le déphasage de la sortie vis-à-vis de l’entrée. L’ensemble correspond au tracé d’un diagramme de Bode en électronique analogique.

e2πjνt Η(ν) e

2πjνt

Le calcul de transmittance en analyse harmonique (diagramme de Bode) et la transformée de Fourier

fournissent une grandeur complexe Η(ν). S'agit-il de la même grandeur Η(νΗ(νΗ(νΗ(ν) complexe ? La réponse est oui. Supposons que l’on excite un système par un Dirac, la sortie est la réponse impulsionnelle et leurs spectres sont décrits dessous.

δ(t) h(t)

F ↓↑ F ↓↑

1 Η(ν)

30 Département Mesures Physiques - IUT Orsay

Supposons que l’on excite le même système par une entrée quelconque. Le produit de convolution en temporel

donne un produit simple en spectre. La dernière formule est la définition de la transmittance complexe Η(νΗ(νΗ(νΗ(ν) en analyse harmonique.

e(t) s(t) = e ⊗ h (t)

F ↓↑ F ↓↑

Ε(ν) S(ν)= Ε(ν) • Η(ν)

Spectre de raie

Spectre de raie ν = nν 0

La relation générale sur l'obtention d'un produit simple dans la représentation spectrale d'un filtre linéaire montre que lorsqu'il s'agit d'une entrée périodique admettant donc une représentation en série de Fourier, alors

la décomposition en série de Fourier S(nν 0 ) de la sortie s(t) est obtenue comme le produit simple de la

décomposition en série de Fourier Ε(nν 0 ) de l'entrée e(t) par la transmittance du filtre Η(nν 0 ) prise aux

mêmes valeurs de fréquence nν 0 . Ceci revient à dire que les termes de la série de Fourier de e(t) représentent à

un facteur prés le spectre de raies de la fonction e(t), non nuls seulement aux valeurs des fréquences multiples

de ν 0 .

e(t) = ∑∞+

−∞=n

Cn e2πjνont

s(t) = e⊗h(t)

e(t) = ∑∞+

−∞=n

Ε(nν 0 ) e2πjνont ν 0

s(t) = ∑

∞+

−∞=n

Ε(nν 0 )•Η(nν 0 ) e2πjνont ν 0

Spectre continu

Spectre continu ν continu.

La même relation existe dans le cas du spectre continu. On part de la formule de la transformée de Fourier inverse, on applique le filtre linéaire pour retrouver la formule de sortie.

Formule de Transformée inverse Formule de Transformée inverse

de l'entrée de la sortie

e(t) = ∫∞

∞−

Ε(ν) e2πjνt dν

s(t) = e⊗h(t) = ∫

∞−

Ε(ν)•Η(ν) e2πjνt dν

Chaque élément de fréquence est transformé de façon multiplicative par la réponse en fréquence

correspondante. L’entrée étant constituée de la somme pondérée par le spectre Ε(ν) de tous ces éléments de

fréquence e2πjνt dν, il en est de même pour la sortie après multiplication simple par la réponse en fréquence

du filtre Ε(ν)•Η(ν) e2πjνt dν.

Traitement du signal- MCPC 2000-01 19/07/11 31

Spectre et bruit Sinusoïde

707

0

200

400

600

5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Hz

1000

-1000

-500

0

500

10230 200 400 600 800

SignalSpectre

Spectre d’une réalisation d’un bruit 67

1

20

40

5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Hz

1000

-990

-500

0

500

10230 200 400 600 800

SignalSpectre

Daprès le principe de conservation de l’énergie entre les deux représentations temporelle et spectrale, on comprend le mécanisme qui permet de discriminer les signaux dans le domaine spectral. L’énergie est comparable dans les temps. Elle se concentre sur une seule fréquence pour la sinusoïde, elle se répartit sur tout le spectre pour le bruit. Cela se traduit par une différence d’échelle sur le tracé des spectres.

63

0

20

40

5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Hz

1000

-999

-500

0

500

10230 200 400 600 800

SignalSpectre

Une deuxième séquence du même processus de bruit est réalisée. Elle donne un signal différent et un spectre différent. Ce processus est caractérisé par une amplitude comparable du signal et du spectre, il s’agit d’un bruit blanc, car il couvre tout le spectre des fréquences possibles.

Spectre d’un bruit Si on réalise une moyenne du spectre obtenu sur une centaine de réalisations, le tracé devient le suivant.

63

0

20

40

5110 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Hz

Spectre

C’est ce tracé qui est caractéristique du processus de bruit.

32 Département Mesures Physiques - IUT Orsay

Bibliographie Niveau IUT

J.L. AZAN, Précis d’électronique, Cours et exercices résolus, Tome 1 &2, Collection enseignement supérieur des techniques industrielles, Bréal, 1994.

M. BELLANGER, Traitement numérique du signal, 6ème

édition, Dunod 1998.

F. COTTET, Traitement des signaux et acquisition de données, Dunod 1997.

F. COTTET, Aide-mémoire de traitement du signal, Dunod, 2000.

A. DELUZURIEUX, M. RAMI, Problèmes d’électronique numérique : échantillonnage, filtrage, asservissement, modulation, BTS-IUT, EYROLLES, 1989.

J. MAX et J.-L. LACOUME, Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, 5

ème édition, Dunod 2000.

============ Université Paris-Sud ==========

ORSAY

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