Quelques élément très généraux liés à la commande des systèmes et au traitement

du signal

Signaux & Systèmes : notions

Σu y

Signaux

• Temps ?

• Déterministe ?

• Energie ?

• Puissance

Système

• Linéaire ?

• Invariant ?

• Causal ?Modèles

Externes (unicité) Internes (non unicité)

liens

un cas particulièrement important

Modèles

Externes Internes

Equations différentielles

mnRba

ubububyayaya

ii

mm

nn

,,

'' )(10

)(10

nn

mmst

sasaa

sbsbbsGdtetfsF

10

10

0

)(,)()(

0

)()()( dtuyty

Fonction de transfert

Produit de convolution

Equations différentielles

Fonction de transfert

Produit de convolution

DuCxy

BuAxx

DBAsICsG 1)()(

0

)( )()( dBuCety tA

CI=0 CI=0

?

Signaux

• Déterministe

• Temps continu

Système

• Linéaire

• Causal

• Invariant

autres cas

Signaux

• Déterministe

• Temps discret

Système

• Linéaire

• Causal

• Invariant

Modèles

Similaires au cas précédent

Signaux

• Déterministe

• Temps discret

Système

• Non linéaire

• Causal

• Invariant

Modèles

Externes Internes

0),,,,,( )()( mn uuyyg ),(),,( uxhyuxfx

Plus difficile

Problème de contrôle

Σu y

Perturbationω

Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us ys

Modèle

Monde réel

Monde du calcul

Différences :

Responsables des problèmes dans les applications

Minimisation des différences sur les résultats

• Boucle fermée (Automatique)

• Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)

La chaîne de traitement de l’information et le TS

Systè

me P

hysiq

ue

Capteur

Extraction

de l’information

Récepteur

TraitementContrôle/régulation

Stockage

Affichage

Canal

de transmission

Signal électrique

+ bruit

Bruit

En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations. On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse une réponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.

En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif consiste alors à le caractériser, filtrer, …

TS / Automatique

Traitement du signal

– Conditionnement

– Caractérisation

– Détection/Estimation

– Optimisation

– Modélisation/Identification

– Codage/décodage

– Synthèse du signal

– Reconnaissance/Décision/

Compréhension/Interprétation

Automatique

– Commande des systèmes

(Commande linéaire, adaptative,

optimale, …)

– Asservissement : système bouclé/

performances/ Correction

(Régulation, Poursuite automatique

de trajectoire, …)

Exemple (filtrage) : La terre est soumise

depuis des millénaires à des fluctuations

climatiques naturelles qu’il est nécessaire

à les gommer (filtrage) pour mettre en

évidence les fluctuations artificielles dûes

à l’homme.

Exemple : Régulation de la température

d’une salle

Analogique : la température est mesurée

en permanence.

Numérique : la température est mesurée

à intervalles de temps réguliers.

Représentations Temporelles Des Signaux

Plan du chapitre :

I. Introduction

II. Classification des signaux

III.Signaux élémentaires

IV. Définitions

Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre

• Représentation Temporelle

La forme la plus générale peut s’écrire :

),( wvfx Vecteur de dimension n

distribution Vecteur de dimension m

Vecteur de dimension p faisant

Apparaître une dépendance

statistique si le signal est aléatoire

Soit :

• Signal à TC, àTD

)(:,:

),(,:

tedéterminissignalfixéwfonctionf

ttempsvscalairex

)()( tftx Vecteur à TC ou à TD

Exemple de distribution : Impulsion de Dirac

sinon0)(

0)(

t

tsit

Soit la fonction f(t)

f(t)

-T/2 T/20)(lim)(

0tft

T

I. Introduction

II. Classification (1/4)II.1. Classification morphologique

A

M

P

L

T

U

D

E

T E M P S

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Signal numérique

(ex: notes d’un étudiant)

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal analogique

(ex: tension électrique)

Signal quantifié

(ex: compte bancaire)

t varie continuellement ou par morceaux

x(t) signal à TC

échantillonnage

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal échantillonné

t est discret, noté n (nT)

x(t) signal à TD

T / x(t)=x(t+kT)

II. Classification (2/4)II.2. Classification phénoménologie

• Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dont

le comportement peut être régie par une formulation mathématique ou graphique

Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Sa formulation mathématique est une fonction réelle

Signal périodique Signal apériodique Signal transitoire

Support non borné Support borné

II. Classification (3/4)II.2. Classification phénoménologie

• Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. La description est alors basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …)

Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose une indépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps

Stationnaire Non stationnaire

II. Classification (4/4)II.3. Classification énergique

Signaux à énergie finie

Signaux à énergie infinie

Puissance moyenne nulle

Puissance moyenne non nulle

Cas des signaux transitoires à support borné

Cas des signaux périodiques

22

)()()()( nxETDdttxETC

k

kk

T

T

Tnx

kTDdttx

TPTC

2

2/

2/

2)(

12

1lim)()(

1lim)(

III. Signaux usuels (1/2)

Signal TC TD

Échelon

(fonction de Heaviside, ou fonction existence)

Représente un brusque changement de régime de fonctionnement

Notation : u ou Ф ou Г

Fenêtre ou porte ouimpulsion

Notation : ΠT

Г(t)

t0

1

Г(t)= 1 si t>0

= 0 si t<0

Г(n)

t0

1

Г(n)= 1 si t≥0

= 0 si t<0

1 2 3 4-1

ΠT(t)

t0

1

ΠT(t)= 1 si -T/2<t<T/2

= 0 sinon

ΠT(nTe)

t-T/2

1

T/2-T/2 T/2

ΠT(nTe)= 1 si

-T/2<nTe<T/2

= 0 sinon

III. Signaux usuels (2/2)

Signal TC TD

Exponentielle décroissante

Impulsion de DiracReprésente une brève perturbation ou une « claque »

Notation : δ

y(t)=Г(t)exp(-a.t)

a>0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y(n)=Г(n)exp(-a.n)

a>0

δ(t)

t

1

δ(t) = ∞ si t=0

= 0 sinon

t

1δ(n)

δ(n) = 1 si n=0

= 0 sinon

IV. DéfinitionsIV.1. Produit de convolution

k

k

knykxnynxTDdtyxtytxTC )()()(*)()()()()(*)()(

Propriétés : - le produit de convolution est commutatif,

associatif et distributif par rapport à l’addition

IV.2. Fonction d’intercorrélationElle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux.

pour les signaux à énergie finie :

Propriétés :

k

k

xyxy knykxnTDdtyxtTC )()()()()()()()( **

)()()()()()( nnTDttTC yxxyyxxy

IV.3. Fonction d’autocorrélation

Elle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n))

Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0

(resp. pour n=0) et elle est paire

IV. Définitions (1/2)IV.4. Rapport Signal/bruit

Objectif : Déterminer la qualité d’un signal

Rapport RS/B quantifiant l’effet du bruit

RS/B = Puissance du signal/Puissance du bruit

RS/B(dB) =10log10(RS/B)

V. TD 1Exercice 1

On donne

a) Représenter les graphes de ces deux signaux

b) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés, avec offset et amplifiés

Exercice 2Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portes

Exercice 3

a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A

et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est :

• un sinus cardinal

• une fonction triangle

• impaire et maximale à l’origine

• majorée par A2.T

10

1044

014

10

)(1

2

1

10

)(

tpour

tpourt

tpour

tpour

tyetnpour

npour

nxn

b) Le signal x(t)=Asin(2Πf0.t), A>0, f0>0 possède:

• une énergie totale infinie

• une énergie totale finie

• une puissance totale nulle

Exercice 4

Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants:

-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac

–c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)

Transformation de FourierReprésentation Fréquentielle

Des Signaux

1ère partie : Signaux périodiques à TC

I. Introduction

II. Théorème de Fourier: décomposition en série de Fourier

III.Forme exponentielle

IV. Spectre bilatéral

V. Propriétés

I. Introduction

La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseau

Notion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse

Analyse fréquentielle des signaux

II. Théorème de FourierII.1. Décomposition en série de FourierUn signal x(t) périodique de période T, peut être sous certaines conditions, mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales

1

0 sincos)(

n

nn tnbtnaatx

2/

2/0 )(

1T

T

dttxT

a

Valeur moyenne du signal

2/

2/

cos)(2

T

Tn dttntx

Ta

2/

2/sin)(

2 T

Tn dttntx

Tb

T

2

Harmonique d’ordre nForme trigonométrique

1

0 )(cos)(

n

nn tncatx

22

nnn bac n

nn

a

barctg

L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental

II. Théorème de FourierII.2. Cas particuliers

x(t) est pair

1

0

1

0

sincos)(

sincos)(

n

nn

n

nn

tnbtnaatx

tnbtnaatx

La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : bn =0 quel que soit n.

x(t) est impair

1

0

1

0

sincos)(

sincos)(

n

nn

n

nn

tnbtnaatx

tnbtnaatx

La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : an =0 quel que soit n.

II. Théorème de FourierII.3. Spectres de fréquences

spectre d’amplitude

spectre de phase

Spectre occupation en fréquence de x(t) densité spectrale de puissance

En ordonnée : l’amplitude des harmoniques

En abscisse : les pulsations correspondantes

a0c1

c2

c3c4 c5 c6 c7

32 4 5 6 70

Π φ1

-Π

32 45 6 7

0

φ2

φ3

φ4

φ5

φ0

φ6

φ7

En ordonnée : la phase des harmoniques

En abscisse : les pulsations correspondantes

+B

-B

T/2

Tt

tri(t)

x(t) Représentation fréquentielle

Spectre d’amplitude

II. Théorème de FourierII.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition

+A

-A

T/2 Tt

car(t)

012

)12sin(4

)(

nn

tnA

tcar

0

22 )12(

)12cos(8

)(

nn

tnB

ttri

4A/π

32 4 5 60

4A/3π4A/5π

,...6,4,2,0

,...5,3,1,4

,0

nb

nn

Ab

na

n

n

n

8B/π2

32 4 50

8B/9π2

nb

na

nn

Ba

n

n

n

,0

,...6,4,2,0,0

,...5,3,1,8

2

II. Théorème de FourierII.5. Définitions

a) Facteur de forme : est défini par le rapport entre la valeur efficace et la valeur moyenne

b) Taux d’ondulation :

• L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de sa valeur moyenne A0. Elle est égale à

• Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeur efficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t)

c) Taux de distorsion harmonique : est défini par le rapport entre la valeur efficace de l’ensemble des harmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace du fondamental (il permet de chiffrer la pureté d’un signal sinusoïdal)

0

1

22

02

1

A

cA

Fn

n

1

)cos(n

nn tnc

0

1

2

2

1

A

cn

n

22 1aon et F

1

22

3

2

2

c

ccc n

III. Forme exponentielle

)(cos)(1

0 n

n

n tncatx

nnnn

T

T

tjnn

ccc

dtetxT

c

arget

)(2

2/

2/

Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de :

1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a

2. Un peigne de Dirac

La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite sous forme suivante (facilement démontrable) :

avec

IV. Spectre bilatéral (1/2)

n

tjnneXtx )(

Tt

t

tjnn dttx

TX e

0

0

)(1

A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourierd’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :

avec

Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendantde -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéral

Remarques

a) Dans les transformations précédentes:

• x(t) est resté le signal périodique réel

• Xn et X-n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais

n harmoniquel' de amplitudel' à correspond ,222

nnnnn baXXX

n harmoniquel' de phase la à correspond ,-arg nn

nn

a

barctgX

IV. Spectre bilatéral (2/2)

Remarques

b) Si le signal x(t) est sinusoïdal :

on peut écrire

)cos()( ttx

2)(

jtjjtj eeeetx

on peut écrire et

21

jeX

21

jeX

d’où le spectre bilatéral du signal sinusoïdal :

1/2

V. Propriétés (1/2)

(P1) Symétrie Hermitique :

(P2) Le spectre d’un signal périodique de période T, est discret

(P4) Parité :

(P3) Puissance d’un signal périodique :

Théorème de Perseval

(P5) Linéarité

(P6) Xk est généralement complexe même si x(t) est réel

) de conjugué :*(: ** XXXk kk

Pour un signal réel, |Xk| est pair et arg(Xk) est pair

Tt

t k

kXdttxT

P0

0

22)(

1

La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale

PAIR IMPAIR

x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur

Xk

V. Propriétés (2/2)

(P7) correspondance bi-univoque

Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle

Combinaison linéaire

Renversement du temps

Retard

offset

Dérivation

Intégration

Dérivation

Conjugaison complexe

Convolution

Produit

)()()( tybtxatu kkk YbXaU

)()( txty kk XY

)()( txtyjk

kk eXY

ctxty )()( kkk cXY

)()( txty

kk XjkY .

duuxty

tt

t

)()(0

0

)0( kjk

XY k

k

)()( * txty kk XY *

)()( )( txty pk

pk XjkY .)(

)(*)()( tytxtu kkk YXU .

)().()( tytxtu kkk YXU *

Transformation de FourierReprésentation Fréquentielle

Des Signaux

2ère partie : Signaux non périodiques à TC

I. Transformation de Fourier

II. Propriétés

III. TF d’un signal périodique à TC

IV. Transformation de Laplace

I. Transformation de Fourier

La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :

fréquence laest

)())(()(

2

f

dtetxtxTFfX

ftj

X(f) est la représentation fréquentielle de x(t).

Elle est généralement complexe même si x(t) est réel.

Formule d’inversion :

dfefXfXTFtx

ftj 2

1 )())(()(

II. Propriétés (1/3)

(P1) Symétrie Hermitique :

(P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)

(P3) Théorème de Perseval

)()(: aon réel,est si fXfXx(t)

dffYfXdttytxP )()()()(

impairest ))(Arg(et pair est )( : aon réel, signalun Pour fXfX

(P4) Energie du signal

dffXdttxE22

)()(Perseval) de théorèmeleutilisant (en

II. Propriétés (2/3)

(P5) Parité :

(P6) Linéarité

(P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel

PAIR IMPAIR

x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur

X(f)

(P8) TF de la fonction de corrélation

)()()]([ fYfXtTF xy

II. Propriétés (3/3)

Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle

Combinaison linéaire

Renversement du temps

Retard

offset

Dérivation d’ordre p

Intégration

Conjugaison complexe

Convolution

Produit

Multiplication par tp

Modulation exponentielle

)()()( tybtxatu )()()( fYbfXafU

)()( txty )()( fXfY

)()( txty fjefXfY 2)()(

ctxty )()( )()()( fcfXfY

duuxty

tt

t

)()(0

0

déterminer à cte:

)(2

)()(

C

fCfj

fXfY

)()( txty )()( fXfY

)()( )( txty p )(.)2()( fXfjfY p

)(*)()( tytxtu )().()( fYfXfU

)().()( tytxtu )(*)()( fYfXfU

)()( txtty pp

p

df

fXd

fjfU

)(

2

1)(

)()( 02txety

tfj )()( 0ffXfY

III. TF d’un signal périodique à TC

n

n

n

nffiablen

n

tnffj

n

ftj

n

tfjn

n

nffXTFXdteX

dteeXtxTF

)(]1[

))((

0)0( var

)0(2

202

x(t) signal périodique de période 1/f0

n

n nffXtxTF )())(( 0

Dirac de peigneun par multipliésFourier de série la de tscoefficien les

X(f)Xn

)( X0f

f

Série de Fourier TF

IV. Transformation de Laplace

La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle

dtetxtxTLpX pt)())(()(

sp aussi notée Laplace, de (complexe) variable

réels et ,2 ffjp

0

)()(0, Si dtetxpX pt causaux signaux lesour utilises' x(t)p

TD 2

Exercice 2

On considère les signaux :

a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hz

b. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectre

c. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f0>>a.

Exercice 1

On considèrent les signaux périodiques suivants :

a. Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en amplitude pour a=T/4 et a=T/8 .

b. En déduire ceux de y(t).

a-a T

x(t)

2a

y(t)

T

)().()(;)2cos()(;0,0,)( 0 tytxtztftytaetx at

TD 2

Exercice 3

Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T )

a. Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t).

b. Déterminer la transformée de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.

c. En déduire la transformée de Fourier de y(t).

d. Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédent

e. Tracer le spectre en module de y. Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des coefficients du développement en séries de Fourier

f. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en module

g. Tracer l’allure de s(t)=cos(2πf0t)x(t). Quel phénomène physique est modélisé via la multiplication par x(t)

h. Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t).

A

T/2-T/2

x(t)A

T/2-T/2 2T+T/22T-T/2

y(t)

-A

A

z(t)

T-T/2 T+T/2

CaractérisationsTemporelles et Fréquentielles Des Systèmes linéaires à TC

I. Introduction : Définition et classification

II. Caractérisation temporelle

II.1. Relation Entrée/sortie

II.2. Réponse impulsionnelle

III. Caractérisation fréquentielle

III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI

III.2. Système LTI et transformée de Fourier

III.3. Représentation fréquentielle de Laplace

I. Introduction (1/3)

Définition : Un système est un ensemble

d’éléments fonctionnels interagissant entre eux

et qui établit un lien de cause à effet entre

ses signaux d’entrées et ses signaux de sortie

x y

Perturbations

Signaux

de sortie

Signaux

D’entrée

Système

Σ

Exemples

Système électrique

Système mécanique

Circuit RC intégrateur

Entrée : tension u(t)

Sortie : tension y(t)

Entrée : force f(t)

Sortie : position x(t) % x0

Intégrateur mécanique

k : coeff. de frottement élastique

a : coeff. de frottement visqueux

x0 : position d’équilibre

• Système statique / dynamique :

• statique : la réponse à une excitation est instantanée

• dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées

• Système monovariable / multivariable : - système monovariable : une entrée et une sortie- système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2

• Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes

)]([)]([)( alors )()()( si 22112211 txtxtytxtxtx

R

tutitu

)()(courant : Sortie - )( tension : Entrée-

)()()(

)( tension : Sortie - )( tension : -Entrée

tutVdt

tdVRC

tVtu

cc

c

I. Introduction (2/3) Caractéristiques

• Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant l’excitation qui l’engendre

• Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit le même décalage en sortie

• Système stable :

• Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large)

• perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation (stabilité asymptotique au sens de Lyapunov)

0pour 0)]([)( alors ,0pour 0)( si ttxtyttx

)]([)( alors )]([)( si 00 ttxttytxty

I. Introduction (3/3) Caractéristiques

Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI

(Linéaire Invariant dans le Temps)

II. Caractérisation temporelle (1/4)

II.1. Relation Entrée / Sortie d’un système LTI

généralement, c’est une équation différentielle à coefficients constants

nm

txbdt

tdxb

dt

txxbtya

dt

tdya

dt

tyda

m

m

mn

n

n

nt,Généraleme

)()()(

)()()(

0101

connaissance des coefficients caractérisation complète du système

connaissance de l’entrée sortie calculable

Exemple : Circuit RLC

(t)VsystèmeduSortie

u(t)systèmeduEntrée

c :

:

)()()()(

2

2

tutVdt

tdVRC

dt

tVdLC c

cc

II. Caractérisation temporelle (2/4)II.2. Réponse impulsionelle (RI)

La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac

Propriétés :

La RI Caractérise complètement un système LTI

La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI

à n’importe quelle entrée x(t)

Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :

Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie:

)(:)( thty Système

Σ

)()( ttx

)]([)( tth

dh )(

0)(lim

tht

II. Caractérisation temporelle (3/4)

Démonstration de la relation fondamentale des SLTI

?)( tySystème

Σ

)(tx

dtx

ttxtx

)()(

)(*)()(

dtxtxty )()()()(

dtxty

)()()(

dthxty

)()()(

)(*)()( thtxty

Σ : linéaire

Σ : invariant

nconvolutio la de

neutreélément l'est )(t

La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est

la convolution de cette entrée avec la RI de ce système

II. Caractérisation temporelle (4/4)

Convolution : Rappel

dtyxtytx )()()(*)(Cas de signaux

causaux

dtyxtytx )()()(*)(

0

Commutativité

associativité

Distributivité par rapport à l’addition

Élément neutre : impulsion de Dirac

Translation temporelle

Convolution avec

un peigne de Dirac

Exemple :

)(*)()(*)( tftgtgtf

)(*))(*)((

))(*)((*)()(*)(*)(

tgtfte

tgtftetgtfte

)(*)()(*)())()((*)( tgtetftetgtfte

)(*)()( ttftf

)(*)()( 00 tttfttf

nn

T nTtfnTttfttf )( )(*)()(*)(

III. Caractérisation fréquentielle (1/9)

III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI

)(tySystème

Σ

)(tx

dehAedeAhAethAe fjftjtfjftjftj 22)(222 )()(*)(][

)(][ 22 fHAeAe ftjftj

TF de la RI := H(f)

La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal)

est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal)

par le gain complexe H(f)

ftjAetx 2)(

:Soit

Donc :

III. Caractérisation fréquentielle (2/9)

III.2. Système LTI et TF

dfefXtx ftj 2)()(

Le signal d’entrée est quelque :

On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse

linéarité) de (ppté])([])([)]([)( 22 dfefXdfefXtxty ftjftj

Forme exponentielle

)()(])([ 22 fHefXefX ftjftj OR

inverse TF : )()()( 2 dfefXfHty ftj

y(t)TF)( fY

)(*)()( txthty )().()( fXfHfY

Transfert deFonction : )( fH

III. Caractérisation fréquentielle (3/9)

Représentation fréquentielle d’un SLTI

Relation E/S fréquentielle

Transfert deFonction : )( fH

module : )( fH

argument : )(arg fHReprésentation fréquentielle

Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante

fréquentielle présente dans le signal d’entrée

)( fYSystème

H(f)

)( fX

)().( fXfH

La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité

• Module :

• Argument :

• Densité spectrale d’énergie :

)().()( fXfHfY

)(.)()( fXfHfY

)(arg)(arg)(arg fXfHfY

)().()( fSfSfS hhxxyy

III. Caractérisation fréquentielle (4/9)

III.3. Représentation fréquentielle de Laplace

III.3. 1. De la TF à la TL

La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :

))(()()( txTLdtetxsX st

:obtient on ,2posant En fjs

)()( 2 dtetxtxTF ftj

Cette TF existe si l’intégrale converge

Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :

0 avec )(

dtetx t TF

dteetxfX ftjt 2)(),(

dtetx tfj )2()(

Définition de la Transformée de Laplace

III. Caractérisation fréquentielle (5/9)

III.3. 2. Propriétés de la TL

Linéarité

Convolution

Translation temporelle

Translation fréquentielle

Dérivation

Intégration

Théorème le la valeur initiale

Théorème le la valeur finale

)(lim)(lim)0(0

ssXtxxst

)(lim)(lim)(0

ssXtxxst

)()()(.)(.)()( sbYsaXtyTLbtxTLatybtxaTL

)().()(*)( sYsXtytxTL

)()( sXetxTL s

)()( asXtxeTL at

)0()()(

xssXdt

tdxTL

s

sXdxTL

t)(

)(0

Impulsion de Dirac

Rampe ou Échelon de vitesse

Échelon unité

III. Caractérisation fréquentielle (6/9)

III.3. 3. TL de quelques signaux usuels

1)( tTL

2

1)(

stTL

s

tTL1

)(

Temps Fréquence

Réponse Indicielle (RI) :

Système invariant (STI)

Système linéaire invariant (SLTI)

Relation E/S : convolution

Relation E/S d’un SLTI

Eq. diff. à coeff. Constants:

les conditions initiales (CI)

supposées nulles

Fonction de transfert (FT) :

Filtre

Filtre linéaire

Relation E/S : produit

Fraction rationnelle en s

Quotient rationnelle en s

de deux polynômes en s

Transmittance

III. Caractérisation fréquentielle (7/9)

III.3. 4. Dualité temps/fréquence

)(th )(sH

m

ii

i

i

n

ii

i

idt

tydb

dt

txda

0

)(

0

)( )()( TL 0)(CI ,)(

)()(

0

0

m

i

ii

n

i

ii

sb

sa

sX

sYsH

III. Caractérisation fréquentielle (8/9)

III.3. 5. Notions de pôles et de zéros

011

1

011

1

)(

)()(

bsbsbsb

asasasa

sD

sNsH

mm

mm

nn

nn

0)(équation l’ de racines lessont ,...,1 , notés racines, Les

0)(

:tiquecaractériséquation l’ de racines lessont ,...,1 , notés pôles, Les

i

i

sNmiz

sD

ni

Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives

Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non

65

5)(

)1)(1(

2)(

1)(

2

sssH

ss

ssH

s

ssH

III. Caractérisation fréquentielle (9/9)

III.3. 6. Application