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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANASETOR DE CIENCIAS EXATAS

    POS-GRADUACAO EM MATEMATICA APLICADA

    Alguns topicos em L espacos topologicos: compacidade local,

    espacos de Hurewicz e propriedade

    Tomas Keller Breuckmann

    CURITIBA - PR

    2004

  • Alguns topicos em L espacos topologicos:compacidade local, espacos de Hurewicz e

    propriedade

    Tomas Keller Breuckmann

    Orientacao:

    Profa Soraya R. T. Kudri

    Dissertacao apresentada como requisitoparcial a obtencao do grau de Mestre em Ma-tematica Aplicada, Curso de Pos-graduacaoem Matematica Aplicada, Setor de CienciasExatas, Universidade Federal do Parana.

    UFPR - CURITIBA

    2004

    i

  • Termo de Aprovacao

    Dissertacao aprovada como requisito parcial a obtencao do grau de Mestre em

    Matematica Aplicada no Curso de Pos-graduacao em Matematica Aplicada da

    Universidade Federal do Parana.

    Profa. Soraya Rosana Torres Kudri (Orientadora)Departamento de Matematica - UFPR

    Prof. Marko Antonio Rojas MedarDepartamento de Matematica - UNICAMP

    Prof. Jose carlos Cifuentes VasquesDepartamento de Matematica - UFPR

    Prof. Marcelo Muniz Silva AlvesDepartamento de Matematica - UFPR

    Curitiba 18 de fevereiro de 2004

    ii

  • Dedicado a todos os cubos,

    esferas e outros seres

    que vivem alem de Flatland.

    iii

  • Agradecimento

    Meus sinceros agradecimentos a professora Soraya.

    iv

  • Sumario

    Lista de Smbolos vi

    Lista de Figuras vii

    Resumo ix

    Abstract 1

    1 Introducao 2

    2 Teoria Basica 72.1 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 L-Conjuntos e L-Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 L-Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Compacidade Local 303.1 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4 Teorema da L-Caixa 464.1 Teorema da L-caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5 Propriedades de Recobrimento: Hurewicz e 525.1 Espacos de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    Bibliografia 64

    v

  • Lista de Smbolos

    N o conjunto dos numeros naturais.

    o conjunto vazio.

    , relacao de ordem parcial e sua negacao.

    , supremo e nfimo respectivamente. involucao com reversao de ordem.

    X, um espaco topologico.

    X, T um espaco L-topologico.

    X, TD um subespaco de um espaco L-topologico.

    A o fecho do conjunto A ou de um L-conjunto A.

    Ac o complementar do conjunto A.

    A a funcao caracterstica de A.

    x A, x / A x pertence a A e sua negacao.

    {x X ; P (x)} o conjunto dos elementos x em X com a propriedade P .

    A

  • jJ Aj o produto da famlia {Aj}jJ .

    jJ Aj a soma da famlia {Aj}jJ .

    f(A), f1(A) a imagem direta e inversa do conjunto A ou de um L-conjunto A.

    f |A a restricao de f a A.

    , quantificadores para todo e existe

    pr(L) elementos primos do reticulado L.

    j a j-esima projecao.

    0, 1 menor e maior elementos de um reticulado L.

    LX o conjunto dos L-conjuntos de X.

    xp um L-ponto.

    supp(f) o suporte de f .

    jJfj a uniao da famlia de L-conjuntos {fj}jJ .

    jJfj a intersecao da famlia de L-conjuntos {fj}jJ .

    ()o espaco L-topologico de todas as funcoes contnuas de umespaco topologico X, em um reticulado fuzzy L comtopologia Scott.

    vii

  • Lista de Figuras

    1.1 Funcao caracterstica de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Conjunto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3.1 L-conjunto muito compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.2 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.3 Compacidade local fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.4 Compacidade local relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.1 Teorema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5.1 Princpio de selecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.2 Espacos de Hurewicz e propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    viii

  • Resumo

    Em um L espaco topologico propomos boas definicoes de compacidade local, com-

    pacidade local fraca e compacidade local relativa. Como resultados obtemos a in-

    variancia por funcoes abertas contnuas e sobrejetoras, a equivalencia em espacos de

    Hausdorff, a regularidade em espacos de Hausdorff, teoremas de compatificacao por

    um ponto e dois teoremas sobre a compacidade local e compacidade local fraca para

    o L-espaco produto. Propomos tambem boas definicoes para espacos de Hurewicz

    e a propriedade em L espacos topologicos. Alguns resultados sobre espacos de

    Hurewicz sao obtidos, onde o principal teorema estabelece por meio da proprie-

    dade condicoes necessarias e suficientes para um espaco ser Hurewicz. Para isso

    foi necessario generalizar para um L espaco topologico um resultado simples sobre

    produto finito de compactos, que chamamos de Teorema da L-Caixa.

    Palavras-chave: L espacos topologicos, compacidade local, espacos de Hurewicz,

    propriedade .

    ix

  • Abstract

    In an L-topological space we propose good definitions for local compactness, weak

    local compactness and relative local compactness. As results we obtain the inva-

    riance under continuous open surjections, the equivalence in Hausdorff spaces, the

    regularity in Hausdorff spaces, one point compactification theorems and two the-

    orems about local compacness and weak local compactness for L-product spaces.

    We also propose good definitions for Hurewicz spaces and the property in L-

    topological spaces. Some results about Hurewicz spaces are obtained, where the

    main theorem gives necessaries and sufficient conditions for a space to be Hurewicz

    by means of the property. For this result was necessary the generalization, for an

    L-topological space, of a result about the product of finite compacts spaces which

    we call here the L-Box Theorem.

    Keywords: L-topological space, local compactness, Hurewicz spaces, pro-

    perty.

    1

  • Captulo 1

    Introducao

    A teoria de conjuntos fuzzy teve origem com Zadeh [26] em 1965. Tal trabalho

    causou grande interesse entre matematicos e profissionais das mais diversas areas, o

    que resultou em um novo campo da matematica chamado Matematica Fuzzy.

    Dado um conjunto X, podemos ver um subconjunto A X como uma funcaocaracterstica A, figura 1.1, definida por:

    A(x) =

    {1 se x A0 se x / A

    As operacoes , e c, e a relacao entre conjuntos podem ser traduzidas parafuncoes caractersticas da seguinte forma:

    A B AB = A B.

    A B AB = A B.

    Ac Ac = 1 A.

    Figura 1.1: Funcao caracterstica de A

    2

  • CAPITULO 1. INTRODUCAO 3

    A B A B.

    onde e denotam as operacoes de supremo e nfimo respectivamente.A ideia apresentada por Zadeh, foi de generalizar as funcoes caractersticas per-

    mitindo que asumissem valores no intervalo [0, 1]. Deste modo, um subconjunto de

    X passa a ser uma funcao caracterstica generalizada : X [0, 1], chamados deconjuntos fuzzy, figura 1.2.

    Figura 1.2: Conjunto fuzzy

    As operacoes , e c, e a relacao entre conjuntos se generalizam para conjuntosfuzzy do mesmo modo que para funcoes caractersticas.

    Em 1967, Goguen [6] generalizou ainda mais a nocao de conjunto fuzzy, per-

    mitindo que as funcoes caractersticas asumissem valores em um reticulado L com

    elemento minimo 0 = L e maximo 1 = L. Deste modo, os subconjuntos de Xpassam a ser funcoes f : X L, chamados de L-conjuntos, ou conjuntos L-fuzzy,figura 1.3. O conjunto de todos os L-conjuntos de X e denotado por LX .

    Em L-conjuntos podemos definir a uniao de f e g como sendo o L-conjunto f g,onde (fg)(x) = f(x)g(x). Definicao analoga para a intersecao de f e g utilizando. Dizemos que f esta contido em g se e somente se f g, ou seja, f(x) g(x)para todo x X.

    A definicao do complementar de um conjunto para um L-conjunto nao pode ser

    generalizada da forma anterior, pois em um reticulado nao temos obrigatoriamente

  • CAPITULO 1. INTRODUCAO 4

    uma operacao de soma que nos permita fazer 1 f(x). O complementar de umL-conjunto f e um L-conjunto f c definido por f c(x) = f(x) onde : L L euma funcao que satisfaz as seguintes propriedades: e b b e, e, (e) = e.Note que com esta defininicao temos as mesmas propriedades de conjuntos para o

    complementar, isto e, f g gc f c e (f c)c = f . Como notacao escrevemos f

    para o complementar de f e nao f c.

    Um elemento p 6= 1 em L e primo se e somente se e b p e p ou b p. Oconjunto e todos os elementos primos de L sera denotado por pr(L). A definicao de

    ponto fuzzy, ou L-ponto, que utilizaremos neste trabalho foi proposta em [21] por

    Warner. Um L-ponto de X, figura 1.4, e um L-conjunto xp : X L definido por:

    xp(y) =

    {p se y = x1 se y 6= x

    onde x X e p pr(L