Seja S um conjunto. Diremos que um grupo G ´e livre gerado...
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Grupos livres
Seja S um conjunto. Diremosque um grupo G e livre gerado
por S se existir uma funcaof : S → G
com a propriedade seguinte:
para todo grupo G′
para todo grupo G′ e toda funcao
g : S → G′
para todo grupo G′ e toda funcao
g : S → G′
existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′
para todo grupo G′ e toda funcao
g : S → G′
existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .
para todo grupo G′ e toda funcao
g : S → G′
existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .
S −→ Gg↓ f↙ϕ
G′
para todo grupo G′ e toda funcao
g : S → G′
existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .
S −→ Gg↓ f↙ϕ
G′
Dizemos entao que
f : S → G apresenta G.
exemplo
S = {s}
exemplo
S = {s} −→ Zs 7→ f(s) = 1
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G,
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
apresentacoes de grupos livres gerados
pelo mesmo S.
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
apresentacoes de grupos livres gerados
pelo mesmo S. Entao existe um e so
um isomorfismo ϕ : G → G
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
apresentacoes de grupos livres gerados
pelo mesmo S. Entao existe um e so
um isomorfismo ϕ : G → G tal que
ϕ ◦ f = f .
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
apresentacoes de grupos livres gerados
pelo mesmo S. Entao existe um e so
um isomorfismo ϕ : G → G tal que
ϕ ◦ f = f .Em palavras, se existir,
Lema. Seja S um conjunto e sejam
Sf→ G, S
g→ G
apresentacoes de grupos livres gerados
pelo mesmo S. Entao existe um e so
um isomorfismo ϕ : G → G tal que
ϕ ◦ f = f .Em palavras, se existir, o grupo livre e unico,
a menos de isomorfismo unico.
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef =
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f =
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .
Por unicidade, vem IG = ϕ ◦ ϕ
Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G
tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .
Por unicidade, vem IG = ϕ ◦ ϕ e
analogamente, IG = ϕ ◦ ϕ.
existencia
Seja S um conjunto nao vazio.
existencia
Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas
uma bijecao S → S ′,
existencia
Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas
uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′.
existencia
Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas
uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′. Seja
S = S ·∪S ′ ∪· {1},
existencia
Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas
uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′. Seja
S = S ·∪S ′ ∪· {1},uniao disjunta.
Vamos pensar em S como umalfabeto.
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn),
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada
xi ∈ S.
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada
xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia,
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada
xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia, (),
Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada
xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia, (), tem comprimento 0.
Palavras podem ser justapostas:
Palavras podem ser justapostas:x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , ym)
Palavras podem ser justapostas:x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , ym)
;
x ? y = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym).Vale a associatividade.
Definimos a palavra inversa
Definimos a palavra inversade uma palavra
x = (x1, . . . , xn),
Definimos a palavra inversade uma palavra
x = (x1, . . . , xn),
pondo
x−1 = (x′n, . . . , x′1).
O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras.
O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras
obtidas por supressao doelemento distinguido 1
O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras
obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao
declaradas equivalentes: e.g., 1
(x1, 1, x3, . . . , xn)
O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras
obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao
declaradas equivalentes: e.g., 1
(x1, 1, x3, . . . , xn) ∼ (x1, x3, . . . , xn)
O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras
obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao
declaradas equivalentes: e.g., 1
(x1, 1, x3, . . . , xn) ∼ (x1, x3, . . . , xn)1
do latim, exempli gratia : por exemplo
(1, 1)
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b)
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)
Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma
s, s′
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)
Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma
s, s′ ou s′, s,
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)
Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma
s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,
(a, b, b′)
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)
Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma
s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,
(a, b, b′) ∼ (a)
(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)
Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma
s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,
(a, b, b′) ∼ (a) ∼ (b′, b, a)
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β
x−1 ∼ α−1.
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β
x−1 ∼ α−1.Toda palavra e equivalente a
uma expressao reduzida, unica,
A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de
equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β
x−1 ∼ α−1.Toda palavra e equivalente a
uma expressao reduzida, unica,de significado evidente.
Denotemos por [x1, . . . , xn] aclasse de equivalencia da palavra(x1, . . . , xn).
Denotemos por [x1, . . . , xn] aclasse de equivalencia da palavra(x1, . . . , xn). As operacoes de
justaposicao e de inversaodefinem uma estrutura de grupo
na colecao G das classes deequivalencia de palavras.
Teorema. Seja Sf→ G a
aplicacao dada por s 7→ [s].
Teorema. Seja Sf→ G a
aplicacao dada por s 7→ [s].Entao G e o grupo livre
gerado por S.
Dem. Facamos o teste comg : S → G′ = grupo.
Devemos produzir ϕ : G → G′
unico com a propriedadeg = ϕ ◦ f .
Devemos produzir ϕ : G → G′
unico com a propriedadeg = ϕ ◦ f . Cada elemento de Gadmite uma unica representacao
reduzida, x = [x1, . . . , xn].
Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1
Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.
Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.
Podemos entao fazerϕ(x) =
Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.
Podemos entao fazerϕ(x) = g(x1) · · · g(xn) ∈ G′.
Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.
Podemos entao fazerϕ(x) = g(x1) · · · g(xn) ∈ G′.
Verifica-se sem surpresas que ϕsatisfaz o requerido.
exercıcios1. Se f : S → G apresenta um grupo livre, entao f e
injetiva.
2. Sejam f : S → G,f ′ : S ′ → G′ apresentacoes de
grupos livres. Mostre que para cada σ : S → S ′ existe
um e um so homomorfismo de grupos, σ : G → G′
tal que σ ◦ f = f ′ ◦ σ. Mostre que σ e injetivo (resp.
sobre) ⇐⇒ σ . . .
3. Encontre matrizes A,B tais que o subgrupo 〈A,B〉 ⊂GLn e livre em 2 geradores.
Theorem (Sanov).
For any complex number z satisfying |z| > 2,the matrices ( 1 0
z 1 ) , ( 1 z0 1 ) generate
a nonabelian free subgroup of GL2(C).
Prepare uma exposicao.