Polıgono Canonico de Fricke Associado ao Ladrilhamento{24λ− 12, 4}

Luiz Carlos G. FilhoDepto Matematica, CCET, UNIMONTES,

39401− 089, Montes Claros, MG

E-mail: luiz.gabriel@ufv.br,

Mercio B. FariaDepto Matematica, CCE, UFV

36570− 000, Vicosa, MG

Email: mercio@ufv.br

Resumo: Neste trabalho estudamos uma classe de polıgonos no disco de Poincare, conheci-dos como polıgonos canonicos de Fricke, que sao polıgonos fundamentais relacionados a gruposfuchsianos, geradores de superfıcies de genero g. Nos baseamos no artigo de Linda Keen [4], con-siderando o caso em que o genero g > 0. Alem disso, com o intuito de estender o procedimentoadotado por Keen, calculamos os ciclos e encontramos as relacoes de grupo associado a umladrilhamento do tipo {24λ−12, 4}, que originalmente foi obtido do ladrilhamento {12η−12, 4},apresentado por Oliveira em [5]. Em seguida fazemos uso de um procedimento desenvolvido porAgustini [1] para exibir as matrizes associadas as funcoes de emparelhamento chegando destamaneira aos vertices do polıgono fundamental associado.

Palavras-chave: Emparelhamento de Arestas de um Polıgono Hiperbolico, Polıgonos de Fricke,Geometria Hiperbolica, Grupos Fuchsianos.

1 Introducao

Neste trabalho estudamos os polıgonos canonicos de Fricke. Estes polıgonos foram original-mente estudados por Robert Karl Emmanuel Fricke e Felix Cristian Klein na obra Vorlesungenuber die Theorie der automorphen Funktionen 1. Nosso intuito e obter polıgonos canonicos deFricke para grupos com mais de um ciclo de vertices 1, tendo como base o artigo de Linda Keen[4], para grupos de um ciclo de vertices. Os grupos com mais de um ciclo de vertices foramobtidos de Oliveira [5], e o metodo para expressar as matrizes que emparelham arestas obtemosde Agustini [1]. Vamos descrever os passos e as ferramentas nescessarias para chegarmos aospolıgonos de Fricke para grupos fuchsianos do tipo {24λ − 12, 4}, sendo 24λ − 12 o numero delados e o numero fixo 4, o numero de vertices em cada ciclo.

2 Polıgonos Canonicos de Fricke

Em seu artigo, Canonical polygons for finitely generated fuchsian groups [4], Linda Keendemonstrou a existencia de uma classe de polıgonos, chamados de polıgonos canonicos de Fricke,associados a grupos fuchsianos que definem um unico ciclo de vertices sobre o polıgono, geradoresde superfıcies compactas orientaveis. Neste trabalho comecaremos falando do polıgono que

1Definimos ciclo de vertices como sendo uma classe de equivalencia de vertices congruentes,{T (z);T ∈ G e z e T (z) sao vertices de G}.

1

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esta associado a grupos que definem um ciclo de vertices sobre o mesmo [4] , e em seguidaapresentamos a construcao de polıgonos para grupos que definem mais que um ciclo de vertices.

Vamos considerar grupos fuchsianos G finitamente gerados, de genero positivo g > 0. LindaKeen provou que dada uma sequencia de geradores hiperbolicos S = {α1, β1, · · · , αg, βg}, e umponto p0 como a intersecao dos eixos 2 das isometrias hiperbolicas α1 e β1, podemos encontraroutro polıgono no disco de Poincare D2, chamado de polıgono canonico de Fricke, a partir doseguinte algoritmo, proposto por Keen:

p10 = α−11 β1(p0), p20 = α−1

1 (p0), p30 = β1(p0), p40 = p1 = β1α−11 (p0)

p11 = α−12 β−1

2 α2(p1), p21 = β−12 α2(p1), p31 = α2(p1), p41 = p2 = β2α

−12 β−1

2 α2(p1)p12 = α−1

3 β−13 α3(p2), p22 = β−1

3 α3(p2), p32 = α3(p2), p42 = p3 = β3α−13 β−1

3 α3(p2)...p1g−1 = α−1

g β−1g αg(pg−1), p2g−1 = β−1

g αg(pg−1), p3g−1 = αg(pg−1),

p4g−1 = pg = βgα−1g β−1

g αg(pg−1).

Observemos acima que os pontos obtidos para o polıgono de Fricke sao descritos em termosdo genero g, a partir das isometrias do grupo gerador da superfıcie. Obtidos os pontos acimano disco de Poincare D2, unimos os vertices na sequencia abaixo atraves de geodesicas, afim deobtermos o polıgono de Fricke associado:

Pg = {p10, p20, p0, p30, p40, p11, p21, p31, p41, p12, p22, p32, p42, . . . , p1g−1, p2g−1, p

3g−1, p

4g−1 = p10}.

Como exemplo, consideremos o grupo fuchsiano finitamente gerado, gerador do bitoro.

v1

α1

q

q

q

q

q

q

q

q

⌃

⌃

⌃

⌃

v1

q

β1

α2

β2

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

p0

γ1

γ2

γ3

γ4

γ5

γ6

γ7

γ8

Figura 1: Acao topologica para obter o bitoro

Assim, fazendo g = 2 no algoritmo acima, temos a sequencia de pontos obtidos a partir dep0, o ponto de intersecao dos eixos das isometrias α1 e β1.

p10 = α−11 β1(p0), p20 = α−1

1 (p0), p30 = β1(p0), p40 = p1 = β1α−11 (p0)

p11 = α−12 β−1

2 α2(p1), p21 = β−12 α2(p1), p31 = α2(p1), p41 = p2 = β2α

−12 β−1

2 α2(p1)

No grupo G acima, onde G = {α1, α2, β1, β2}, observamos que

β1α−11 β−1

1 β2α2β−12 α−1

2 α1(v1) = v1.

Assim, o grupo G possui um unico ciclo de vertices, uma vez que compondo elementos dogrupo chegamos ao mesmo vertice. Depois unimos a sequencia de pontos por geodesicas em D2,gerada pelo algoritmo de Keen, obtendo desta forma o polıgono de Fricke associado:

P2 = {p10, p20, p0, p30, p40, p11, p21, p31, p41 = p10}

2Uma geodesica em D2 unindo os dois pontos fixos de uma isometria hiperbolica, e chamada eixo da isometria.

2

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α1

⌃

⌃

β1

α2

β2

p0

p0

2

p0

1

p1

3

p1

2

p1

1

p0

4

p0

3q

q

q

q

q

q

q

q

⌃

⌃

Figura 2: Polıgono de Fricke associado ao bitoro

No desenho abaixo, repare que o polıgono canonico de Fricke e obtido a partir do ponto p0, etambem possui um ciclo de vertice. Agora, vejamos uma forma de obter as isometrias geradorasdo grupo G, de genero g > 0. Neste trabalho vamos mostrar os passos para obter o polıgono deFricke associado a um grupo fuchsiano com mais de um ciclo de vertices. Antes, vamos definira acao de emparelhar de arestas de um polıgono:

Definicao 1 Seja P um polıgono fechado convexo em H2 ou D2 e A o conjunto de todas asarestas de P. Dizemos que o emparelhamento de arestas do polıgono P e o conjunto deisometrias Φ = {Tβ ; β ∈ A}, onde, para toda aresta β ∈ A temos:a) Existe uma aresta β

′ ∈ A tal que Tβ(β′) = β; b) As isometrias Tβ′ e Tβ satisfazem a seguinte

relacao Tβ′ = T−1β ; c) Se β for aresta de P entao β

′= P ∩ T−1

β (P).

Os dois resultados abaixo, devidos a Agustini [1], nos possibilita obter as isometrias dogrupo G, em funcao do genero g > 0. A demonstracao dos dois resultados abaixo podem serencontradas nas referencias [1] e [2].

Teorema 2.1 Seja P um polıgono hiperbolico regular de 4g arestas centrado na origem deD2 com um vertice no eixo real positivo. Entao, as arestas de P estao contidos nos cırculoseuclidianos

C =

(ei π2g (

12+k))√1 + sec π

2g

2,

tan π2g√

2 + 2 sec π2g

,

onde k = 0, . . . , 4g − 1.

Temos o trabalho de obter apenas uma isometria geradora de G.

• Rotulemos as arestas de P com γ1, . . . , γ4g, no sentido anti-horario e a partir do angulozero no primeiro quadrante.

• Obtemos a translacao hiperbolica que emparelha as arestas γ1 e γ3 de P.

• As outras isometrias sao obtidas por conjugacao com isometrias elıpticas.

Teorema 2.2 Seja P como na proposicao anterior. A translacao hiperbolica que emparelha asarestas γ1 e γ3 e dada por

α1(z) =

√1 + cos( π

2g )eiπ 1

2g z −√

2 cos( π2g )e

iπ 34g√

2 cos( π2g )e

−iπ 34g z −

√1 + cos( π

2g )e−iπ 1

2g

.

3

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Fazemos uso de isometrias elıpticas com centro na origem e angulo2π

8g+ k

2π

4g, ou seja,

ρk : D2 −→ D2

z 7−→ (ei π2g

( 12+k)

)z,

onde k = 0, . . . , 4g−1. Desta forma obtemos todas as outras isometrias do grupo. Para o grupogerador do bitoro, fazendo g = 2, temos as seguintes relacoes:

α2 = ρ3 ◦ α1 ◦ ρ1α3 = ρ−4 ◦ α1 ◦ ρ4,α4 = ρ1 ◦ α1 ◦ ρ3

(1)

onde,ρk : D2 −→ D2

z 7−→ (eiπ8(2k+1))z.

(2)

Em termos de matrizes, podemos escrever (2) e a aplicacao α1 da seguinte forma:

Mρk =

(ei

π16

(2k+1) 0

0 e−i π16

(2k+1)

), (3)

Mα1 =

( √1 + cos(π4 )e

i(π4) −

√2 cos(π4 )e

i( 3π8)√

2 cos(π4 )e−i( 3π

8) −

√1 + cos(π4 )e

−i(π4)

). (4)

Agora, por (1), (3) e (4) temos:

Mα2 =

( √1 + cos(π4 )e

−i( 3π8) −

√2 cos(π4 )e

i(π4)√

2 cos(π4 )e−i(π

4) −

√1 + cos(π4 )e

−i( 3π8)

),

Mα3 =

( √1 + cos(π4 )e

i( 5π4) −

√2 cos(π4 )e

−i(π4)√

2 cos(π4 )ei(π

4) −

√1 + cos(π4 )e

−i( 5π4)

),

Mα4 =

( √1 + cos(π4 )e

i(π8) −

√2 cos(π4 )e

−iπ√2 cos(π4 )e

iπ −√1 + cos(π4 )e

−i(π8)

).

3 Polıgonos Canonicos de Fricke para grupos do tipo {24λ−12, 4}Na referencia [5], Oliveira mostrou como construir superfıcies compactas orientaveis utilizando

o teorema de Poincare, ou seja, temos um polıgono hiperbolico no disco de Poincare, no qual oemparelhamento de arestas gera uma superfıcie de genero g > 0. O emparelhamento e feito porisometrias em D2, que sao expressas em termos de matrizes como vimos acima.

Queremos construir um algoritmo para obtermos polıgonos de Fricke para grupos fuchsianosdo tipo {24λ−12, 4}, onde a primeira coordenada denota o numero de lados e a segunda expressaa quantidade fixa de vertices em cada ciclo, ou seja, 4 vertices. A diferenca aqui e que gruposdo tipo {24λ− 12, 4} possuem mais de um ciclo de vertices. Na referencia [3] trabalhamos comgrupos de tipo {24λ+ 4, 4}, que possuem estrutura semelhante.

Fazendo λ = 1 e λ = 2, temos os dois casos particulares de emparelhamento de arestasnas figuras 3 e 4, que geram superfıcies de genero 2 e 5 respectivamente. Em geral, o generoassociado a emparelhamentos do tipo {24λ − 12, 4} e dado pela expressao g = 3λ − 1, ondeλ ∈ N.

Para obtermos os polıgonos de Fricke associado a grupos de tipo {24λ− 12, 4}, vamos seguiralguns passos fundamentais. Primeiro, vamos obter as isometrias que emparelham arestas. Se-gundo, generalizar o emparelhamento de arestas e por ultimo obter o polıgono de Fricke associ-ado. Lembrando que para encontrar as isometrias cujo emparelhamento gera o bitoro, obtemos

4

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q

q

q

q

qτ

12

12V

τ1

V1

τ2V

2

V3

τ3V

4

τ4

V5

τ5 q

V6

τ6q

V7

qτ7

V8

τ8

q

τ9

q

V9

V10

τ10

q

V11

τ11

q

⌃

⌃⌃

⌃

⌃

γ1

α1

β3

β4

β1

β2

⌃

Figura 3: emparelhamentode 12 lados

τ1

V1

q

τ1

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9

V10V

11V12

V13

V14

V15

V16

V17

V18

V19

V20

V21

V22

V23

V24

V25

V26 V

27 V28

V29

V30

V31

V32

V33

V34

V35

V36

τ2

τ3

τ4

τ5

τ6

τ7

τ8

τ9τ10τ11τ12

τ13

τ14

τ15

τ16

τ17

τ18

τ19

τ20

τ21

τ22

τ23

τ24

τ25 τ26 τ27 τ28

τ29

τ30

τ31

τ32

τ33

τ34

τ35

τ36

q

q

q

q

q

q

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

⌃

γ1

β2

β5

β6

β9

β10

β8

β7

β4

β3

β1

α1

α3

α5 α

7

α2

α4

α6

Figura 4: emparelhamento de 36 lados

inicialmente a isometria α1. Todas as outras foram obtidas compondo elementos elıpticos ehiperbolicos. Para o caso {24λ− 12, 4} procedemos de forma analoga. Aqui fixamos as arestasτ3λ−2 e τ15λ−8, tal que α1(τ3λ−2) = τ15λ−8, com λ ∈ N. Na referencia [2], provamos que α1 edada por:

Mα1 =

√1 + cos( π

12λ−6)eiπ( 1

2) −

√2 cos( π

12λ−6)eiπ( 3

4)√

2 cos( π12λ−6)e

−iπ( 34) −

√1 + cos( π

12λ−6)e−iπ( 1

2)

.

Observemos que a isometria acima tambem e expressa em termos de matriz. As trans-formacoes elıpticas para o caso {24λ− 12, 4} sao da forma:

ρk : D2 −→ D2 ,

z 7−→ eiπ(2k+1)24λ−12 z

onde λ ≥ 1, λ ∈ N e k = 0, . . . , 24λ − 13. Agora estamos em condicoes de obtermos todas asisometrias associadas ao emparelhamento {24λ− 12, 4}:

Para λ ≥ 2 e 0 ≤ k ≤ 3λ− 4, consideremos:α2(k+1) = ρ−3(k+1) ◦ α1 ◦ ρ−(k+1), α3+2k = ρ3(k+1) ◦ α1 ◦ ρ(k+1).Para λ ≥ 1, consideremos:γ1 = ρ(9λ−5) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ−1), β1 = ρ−(9λ−6) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ−2) e β2 = ρ(9λ−6) ◦ α1 ◦ ρ(3λ−2).Para λ = 1, consideremos:β6λ−3 = ρ1 ◦ α1 ◦ ρ−(12λ−8), β6λ−2 = ρ2 ◦ α1 ◦ ρ−(12λ−7).

Para λ ımpar, λ ≥ 3 e 0 ≤ k ≤ 1

2(3λ− 5), consideremos:

β3+4k = ρ−(9λ−10−6k) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ+1+6k), β4+4k = ρ−(9λ−11−6k) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ+2+6k), β5+4k =ρ(9λ−10−6k) ◦ α1 ◦ ρ(3λ+1+6k), β6+4k = ρ(9λ−11−6k) ◦ α1 ◦ ρ(3λ+2+6k), β6λ−3 = ρ1 ◦ α1 ◦ ρ−(12λ−8) eβ6λ−2 = ρ2 ◦ α1 ◦ ρ−(12λ−7).

Para λ par e 0 ≤ k ≤ 3

2λ− 2, consideremos:

β3+4k = ρ−(9λ−10−6k) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ+1+6k), β4+4k = ρ−(9λ−11−6k) ◦ α1 ◦ ρ−(3λ+2+6k), β5+4k =ρ(9λ−10−6k) ◦ α1 ◦ ρ(3λ+1+6k) e β6+4k = ρ(9λ−11−6k) ◦ α1 ◦ ρ(3λ+2+6k).

Agora vamos generalizar o emparelhamento {24λ− 12, 4} afim de obtermos uma superfıcie.Este emparelhamento de arestas segue da seguinte forma:Para λ ≥ 1, consideremos:α1(τ3λ−2) = τ15λ−8, γ1(τ6λ−3) = τ24λ−13, β1(τ6λ−4) = τ6λ−2 e β2(τ24λ−12) = τ24λ−14;

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Para 0 ≤ k ≤ 3λ− 4, consideremos:α2+2k(τ3λ−1+k) = τ15λ−11−3k e α3+2k(τ3λ−3−k) = τ15λ−5+3k;Para λ = 1, consideremos:β6λ−3(τ15λ−10) = τ15λ−7 e β6λ−2(τ15λ−9) = τ15λ−6;

Para λ ımpar, λ ≥ 3 e 0 ≤ k ≤ 1

2(3λ− 5), consideremos:

β3+4k(τ6λ−1+6k) = τ6λ+2+6k, β4+4k(τ6λ+6k) = τ6λ+3+6k, β5+4k(τ24λ−15−6k) = τ24λ−18−6k,β6+4k(τ24λ−16−6k) = τ24λ−19−6k, β6λ−3(τ15λ−10) = τ15λ−7 e β6λ−2(τ15λ−9) = τ15λ−6;

Para λ par e 0 ≤ k ≤ 3

2λ− 2, consideremos:

β3+4k(τ6λ−1+6k) = τ6λ+2+6k, β4+4k(τ6λ+6k) = τ6λ+3+6k, β5+4k(τ24λ−15−6k) = τ24λ−18−6k

e β6+4k(τ24λ−16−6k) = τ24λ−19−6k.

Nossa proxima etapa e obter o polıgono de Fricke associado ao ladrilhamento {24λ− 12, 4}.Expressamos as matrizes seguindo o metodo proposto por Agustini [1], generalizamos as isome-trias e o emparelhamento de arestas. Na referencia [2] generalizamos tambem os ciclos de verticespara cada grupo em funcao da paridade do parametro λ ∈ N.

Observamos que para cada ciclo de vertices sempre encontramos um ponto que e a intersecaodos eixos de duas isometrias hiperbolicas. Percorremos todos os ciclos, encontrando sempre umponto pi como a intersecao de dois eixos.

Obtido o ponto de intersecao pi dos eixos em cada ciclo, encontramos a imagem desteponto pelas isometrias de cada ciclo de vertices. Em seguida, aplicamos o algoritmo que obte-mos na referencia [2], que consiste em ligar os pontos encontrados por geodesicas do discoD2. Este polıgono obtido e chamado Polıgono Canonico de Fricke associado ao ladrilhamento{24λ− 12, 4}.

4 Conclusao

Neste trabalho observamos a relacao entre grupos fuchsianos finitamente gerados G, do tipo{24λ−12, 4}, superfıcies compactas orientaveis D2/G e a classe de polıgonos no disco de Poincare,conhecida como polıgonos canonicos de Fricke. Estabelecemos tal relacao para um ladrilhamentocom mais de um ciclo de vertices, mostrando os passos necessarios para obter o polıgono de Frickeassociado.

Referencias

[1] Agustini, E., Constelacoes de sinais em espacos hiperbolicos. Tese de Doutorado. IMEC-UNICAMP, 2002.

[2] Filho, L. C. G., Polıgono Fundamental Associado ao Grupo Gerador da Superfıcie. Dis-sertacao de Mestrado. Universidade Federal de Vicosa, UFV, fevereiro, 2011.

[3] Filho, L. C. G., Faria, M. B. Polıgono Canonico de Fricke Associado ao Ladrilhamento{24λ + 4; 4}. Anais do I Congresso de Matematica Aplicada e Computacional da RegiaoSudeste - I CMAC Sudeste. Uberlandia - MG.

[4] Keen, L., Canonical Polygons For Finitely Generated Fuchsian Groups. Princeton, NewJersey, 1966.

[5] Oliveira, J. D. J., Construcao de Superfıcies Utilizando o Teorema de Poincare. Dissertacaode Mestrado. Universidade Federal de Vicosa, UFV, fevereiro, 2010.

[6] Oliveira, J. D., Faria, M. B. Emparelhamentos generalizados associados as tesselacoes{12n− 8; 4} e {12m− 12; 4}. In: XXXIII Congresso Nacional de Matematica Pura e Apli-cada, 2010, Aguas de Lindoia. Anais do CNMAC, 2010.

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