ARCH e GARCH

Alysson Ramos Artuso

INTRODUÇÃO

Modelo não-linear no que se refere à variância, introduzido por Engle (1982).

Muito usado para séries financeiras.

Variância condicional do retorno volatilidade.

NOTAÇÃO

Pt preço de um ativo financeiro no instante t

Xt retorno logarítmico no instante t.

μt = E(Xt | Ft-1)

ht = V(Xt | Ft-1)

Ft-1 é a informação até o instante t-1 que consideramos ser {Xt-1, ..., X1}

1

lnt

tt P

PX

MODELOS NÃO-LINEARES

Xt = g(at-1, at-2,…) + ath(at-1, at-2,…)com at supostos i.i.d.

g(.) representa a média condicional h2(.) representa a variância condicional Se g(.) for não-linear o modelo é não-linear

na média Se h2(.) for não-linear o modelo é não-linear

na variância

EXEMPLOS

Exemplo 1:é um modelo não-linear na média, pois

e h(.) = 1

Exemplo 2: é um modelo não-linear na variância, pois g(.) = 0

e

21 ttt aaX

21(.) tag

21 ttt XaX

21(.) tXh

MODELOS ARCH

Modelo auto-regressivo com heteroscedasticidade condicional (AutoRegressive Condicional Heterocedasticity)

O objetivo era estimar a variância da inflação A idéia básica é que o retorno Xt é não-

correlacionado serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática.

Agrupamento da volatilidade

ARCH(r) – DEFINIÇÃO

onde εt é uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância um;

α0 > 0, αi ≥ 0, i > 0

2222

2110 ... rtrttt

ttt

XXXh

hX

ARCH (1)

com α0 > 0, α1 ≥ 0

Média: E(Xt) = 0

Variância: V(Xt) = E(Xt2) = α0 + α1 E(Xt-1

2)

Se o processo for estacionário de segunda ordem:

2110

tt

ttt

Xh

hX

1

0

1)(

tXV

ARCH (1)

Autocovariância: γX(k) = 0, k ≥ 1

Curtose maior que 3 caudas longas

Xt é uma seqüência de variáveis aleatórias não correlacionadas (ruído branco) com média zero e variância

1

0

1)(

tXV

ARCH (1)

Xt2 = htεt

2

Xt2 – ht = htεt

2 – ht

Xt2 – (α0 + α1 Xt-1

2) = ht (εt2 – 1)

Xt2 = (α0 + α1 Xt-1

2) + ht (εt2 – 1)

Xt2 = (α0 + α1 Xt-1

2) + vt

temos um modelo AR(1) para Xt2, mas com

erros não-gaussianos.

TRABALHANDO COM ARCH

Se houver correlação serial na série, ajusta-se um modelo ARMA para removê-la. Nesse caso teremos:

sendo at ~ ARCH (r)

tt aBXB )()( 0

TRABALHANDO COM ARCH

Para verificar se a série apresenta heteroscedasticidade condicional, aplica-se os seguintes testes:

– Teste de Box-Pierce-Ljung para Xt2

– Teste de Multiplicadores de Lagrange de Engel (ML)

TRABALHANDO COM ARCH

Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método da máxima verossimilhança condicional.

A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.

Os programas EViews, SPLUS (módulo S+FinMetrics), PcGIVE e RATS, entre outros, podem ser usados para se trabalhar com modelos ARCH e GARCH.

EXEMPLO

Ajuste um modelo ARCH (1) aos retornos diários (Yt) da série A9 – Petrobrás do livro do Morretin e Toloi (2004). A série pode ser conseguida em http://www.ime.usp.br/pam

Essa série possui observações da ação Petrobrás PN do período de 03/01/1995 até 27/12/2000.

EXEMPLO

Aparente estacionariedade Média em torno de zero Agrupamento de volatilidades (crise do México; crise

da Ásia; moratória russa; desvalorização do Real; queda da Nasdaq)

EXEMPLO

1º passo: ajustar um modelo ARMA (p, q) à série de retornos para eliminar a correlação serial entre as observações.

No EViews 6:

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

ttttt XYYYY 931 0802,00510,00982,0

EXEMPLO

View/ARMA Structure

View/Residual Tests/Correlogram-Q-statistics

View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test

EXEMPLO

2º passo: verificar se os resíduos do modelo apresentam heteroscedasticidade condicional e modelar um ARCH.

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

3º passo: verificar o modelo (estatística de Ljung-Box; teste ML).

23

22

21

1

2708,02373,01938,0004,0

,1604,0

tttt

tttttt

XXXh

hXXYY

EXEMPLO

Estimativa do desvio padrão condicional:

MODELOS GARCH

Generalização do modelo ARCH sugerida por Bollerslev (1986)

Assim como um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso que um modelo AR ou MA puro, um modelo GARCH pode apresentar menos parâmetros que um modelo ARCH.

GARCH(r,s) – DEFINIÇÃO

onde εt i.i.d. (0,1)

α0 > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0

, q = max (r,s)

s

jjtj

r

iitit

ttt

hXh

hX

11

20

q

iii

1

1)(

GARCH (r,s)

E(Xt) = 0

Volatilidades altas são precedidas de retornos ou volatilidades grandes.

As caudas de Xt são mais longas do que as da curva gaussiana.

q

iii

tXE

1

02

)(1

)(

GARCH (1,1)

com α0 > 0, α1 ≥ 0, β1 < 1, α1 + β1 < 1

112110

ttt

ttt

hXh

hX

GARCH (1,1)

Assim temos um modelo ARMA para Xt2, mas vt não

é, em geral, um processo i.i.d.

1121110

2 )( tttt vvXX

TRABALHANDO COM GARCH

A identificação da ordem do modelo GARCH é usualmente difícil.

Modelos de ordem baixa, como (1,1), (1,2) ou (2,1).

Escolha baseada em critérios como o AIC, BIC, valores de assimetria e curtose, da log-verossimilhança ou de uma função perda.

TRABALHANDO COM GARCH

Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método de máxima verossimilhança condicional.

A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.

EXEMPLO

Vamos ajustar um modelo AR(1) - GARCH (1,1) aos retornos diários (Yt) da Petrobrás de 14/10/1998 a 22/09/2008 supondo εt ~ N(0,1).

112110

11 ,

ttt

tttttt

hXh

hXXYY

EXEMPLO

121

1

8334,01384,000003,0

,131726,0

ttt

tttttt

hXh

hXXYY

EXEMPLO

Estimativa do desvio padrão condicional: