TT010 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental ... · PDF file Curso de...

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  • TT010 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P01, 05 set 2014 Prof. Nelson Luís Dias

    0

    NOME: GABARITO Assinatura:

    1 [30] Dada a equação de difusão em coordenadas polares com simetria radial, ∂ϕ

    ∂t =

    D

    r

    ∂r

    ( r ∂ϕ

    ∂r

    ) ,

    discretize-a, utilizando o esquema de Crank-Nicholson (implícito, O (∆t2)).

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

    ϕn+1i − ϕni ∆t

    = D

    ri

    ( r ∂ϕ ∂r

    ) ���i+1/2 − (r ∂ϕ∂r ) ���i−1/2 ∆r

    = D

    ri

    ( ri+1/2

    ϕi+1−ϕi ∆r

    ) −

    ( ri−1/2

    ϕi−ϕi−1 ∆r

    ) ∆r

    = D

    ri

    [ ri+1/2 (ϕi+1 − ϕi ) − ri−1/2 (ϕi − ϕi−1)

    ∆r 2

    ] .

    Na expressão acima, é mais ou menos óbvio que

    ri+1/2 = ri + ri+1

    2 ,

    ri−1/2 = ri + ri−1

    2 .

    Entretanto, nós ainda não especi�camos os instantes em que as derivadas espaciais são calculadas, e Crank-Nicholson consiste em tirar uma média dessas entre n e n + 1, para atingir O (∆t2); portanto,

    ϕn+1i − ϕni ∆t

    = D

    2ri

    [ ri+1/2 (ϕ

    n+1 i+1 − ϕn+1i ) − ri−1/2 (ϕn+1i − ϕn+1i−1 )

    ∆r 2

    ] +

    D

    2ri

    [ ri+1/2 (ϕ

    n i+1 − ϕni ) − ri−1/2 (ϕni − ϕni−1)

    ∆r 2

    ]

    Continue a solução no verso =⇒

  • 2 [30] Considere o conjunto V dos pares orde- nados (x ,z), onde x ∈ R e z ∈ C. Considere o campo escalar F = C. Se u = (x1,z1) ∈ V;v = (x2,z2) ∈ V e α ∈ F, de�na as operações

    u +v ≡ (x1 + x2,z1 + z2); αu ≡ ((Reα )x1,αz1),

    onde Re signi�ca “parte real”. Os 8 axiomas que de�nem um espaço vetorial estão ao lado: veri�que-os um a um (2,5 pontos para cada ve- ri�cação: faça todas!), e conclua: V é ou não é um espaço vetorial? (10 pontos para a resposta certa)

    u +v = v +u; u + [v +w] = [u +v] +w ;

    ∃∗0 ∈ V | u + 0 = u, ∀u ∈ V; ∀u ∈ V, ∃∗[−u] ∈ V | u + [−u] = 0;

    1u = u, ∀u ∈ V; α (βu) = (αβ )u,∀α ,β ∈ F,u ∈ V;

    α[u +v] = αu + αv,∀α ∈ F,u,v ∈ V; (α + β )u = αu + βu,∀α ,β ∈ F,u ∈ V.

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

    i) Pela comutatividade da soma em R e em C, X.

    ii) Pela associatividade da soma em R e em C, X.

    iii) Se 0 = (0,0 + i0) ⇒ (x ,z) + (0,0 + i0) = (x ,z) ∀(x ,z). X

    iv) Faça −u = (−x ,−z); então: (−x ,−z) + (x ,z) = (0,0 + i0). X

    v) (1 + i0) (x ,z) = ((Re 1)x , (1 + i0)z) = (x ,z). X

    vi) Este aqui é mais sutil! Dados 2 números complexos

    α = ax + iay , β = bx + iby ,

    teremos αβ = (axbx − ayby ) + i(axby + aybx )

    Agora,

    (βu) = (bxx ,βz); α (βu) = (axbxx ,αβz); (αβ )u = ((axbx − ayby )x ,αβz). 7

    V não é um espaço vetorial. Mas continuamos, pois queremos todos os pontos da questão!

    vii)

    α[u +v] = α[(x1,z1) + (x2,z2)] = α[(x1 + x2,z1 + z2)] = ((Reα ) (x1 + x2) + α (z1 + z2)) = ((Reα )x1,αz1) + ((Reα )x2,αz2). X

    viii)

    (α + β )u = (α + β ) (x ,z) = ((Re(α + β ))x , (α + β )z) = ((Reα )x + (Re β )x ,αz + βz) = ((Reα )x ,αz) + ((Re β )x ,βz). X

    Continue a solução no verso =⇒

  • 3 [40] Analise a estabilidade do esquema de diferenças

    un+1i = u n i −

    c∆t

    ∆x

    ( uni − uni−1

    ) ;

    (von Neumann); conclua sobre sua estabilidade/instabilidade condicional/incondicional.

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO: Um esquema que é conhecido na literatura como indicado por representar melhor o termo advectivo em (??) é o

    esquema de diferenças regressivas; nesse esquema, chamado de esquema upwind — literalmente, “corrente acima” — na literatura de língua inglesa, a discretização utilizada é

    un+1i − uni ∆t

    = −c uni − uni−1

    ∆x ,

    un+1i = u n i − Co

    [ uni − uni−1

    ] . (1)

    Claramente, estamos utilizando um esquema de O (∆x ) para a derivada espacial. Ele é um esquema menos acurado que os usados anteriormente, mas se ele ao mesmo tempo for condicionalmente estável e não introduzir difusão numérica, o resultado pode ser melhor para tratar a advecção.

    Antes de “colocarmos as mãos na massa”, sabemos que devemos analisar analiticamente a estabilidade do esquema. Vamos a isso:

    ξlea (tn+∆t )eikl i∆x = ξleatn eikl i∆x − Co [ ξleatn eikl i∆x − ξleatn eikl (i−1)∆x

    ]

    ea∆t eikl i∆x = eikl i∆x − Co [ eikl i∆x − eikl (i−1)∆x

    ]

    ea∆t = 1 − Co [ 1 − e−ikl∆x

    ]

    ea∆t = 1 − Co + Co cos(kl∆x ) − iCo sen(kl∆x ). (2)

    Desejamos que o módulo do fator de ampli�cação ea∆t seja menor que 1. O módulo (ao quadrado) é

    ���e a∆t ���

    2 = (1 − Co + Co cos(kl∆x ))2 + (Co sen(kl∆x ))2 .

    Para aliviar a notação, façamos

    Ck ≡ cos(kl∆x ), Sk ≡ sen(kl∆x ).

    Então,

    ���e a∆t ���

    2 = (CoSk )2 + (CoCk − Co + 1)2

    = Co2S2k + (Co 2C2k + Co

    2 + 1) + 2(−Co2Ck + CoCk − Co) = Co2 (S2k +C

    2 k + 1 − 2Ck ) + 2Co(Ck − 1) + 1

    = 2Co2 (1 −Ck ) + 2Co(Ck − 1) + 1.

    A condição para que o esquema de diferenças �nitas seja estável é, então,

    2Co2 (1 −Ck ) + 2Co(Ck − 1) + 1 ≤ 1, 2Co [Co(1 −Ck ) + (Ck − 1)] ≤ 0,

    (1 − cos(kl∆x )) [Co − 1] ≤ 0, Co ≤ 1

    Continue a solução no verso =⇒

  • TT010 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P02, 26 set 2014 Prof. Nelson Luís Dias

    0

    NOME: GABARITO Assinatura:

    1 [50] Em Matemática, a função bxc é de�nida como o maior inteiro menor ou igual do que x . Por exemplo, b4c = 4, b4,7c = 4 e b−3,8c = −4. Dada a função

    f (x ) =  

    −x (x − 2), 0 < x ≤ 1, f (x − bxc), −1 < x ≤ 0 ou |x | > 1

    mostrada abaixo, obtenha sua série de Fourier trigonométrica.

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    f (x )

    x

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO: Com a = 0, b = 1, L = 1:

    An = 2 L

    ∫ b a

    f (ξ ) cos (

    2πnξ L

    ) dξ

    = 2 ∫ 1

    0 (−ξ (ξ − 2)) cos (2πnξ ) dξ ;

    A0 = 4 3 ,

    An = − 1

    π2n2 , n > 0.

    Bn = 2 L

    ∫ b a

    f (ξ ) sen (

    2πnξ L

    ) dξ

    = 2 ∫ 1

    0 (−ξ (ξ − 2)) sen (2πnξ ) dξ ;

    = − 1 πn , n > 0.

    Portanto:

    −x (2 − x ) = 2 3 +

    ∞∑ n=1

    [ − 1 π2n2

    cos(2nπx ) − 1 πn

    sen(2nπx ) ]

    Continue a solução no verso =⇒

  • 2 [50] Dada a função f (x ) =

     

    x , 0 ≤ x ≤ 1, 0, x < 0 ou x > 1,

    calcule a sua transformada de Fourier.

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

    f̂ (k ) = 1

    ∫ +∞ −∞

    xe−ikx dx

    = 1

    ∫ 1 0

    xe−ikx dx

    = −e −ik (eik − ik − 1)

    2πk2

    = ike−ik + e−ik − 1

    2πk2

    Continue a solução no verso =⇒

  • TT010 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P03, 31 out 2014 Prof. Nelson Luís Dias

    0

    NOME: GABARITO Assinatura:

    1 [25] Obtenha a matriz adjunta de 

    0 0 i 1 + 2i 1 −3i

    0 1 − i 0

    

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO: A transposta é

    

    0 1 + 2i 0 0 1 1 − i i −3i 0

     A matriz dos conjugados da transposta é

    

    0 1 − 2i 0 0 1 1 + i −i 3i 0

    

    Continue a solução no verso =⇒

  • 2 [25] Obtenha a função de Green de dx dt +

    e−t/T

    T x (t ) =

    1 T f (t ); x (0) = x0.

    SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

    dx dτ +

    e−τ /T

    T x (τ ) =

    1 T f (τ );

    G (t ,τ ) dx dτ +G (t ,τ )

    e−τ /T

    T x (τ ) = G (t ,τ )

    1 T f (τ );∫ ∞

    τ=0 G (t ,τ )

    dx dτ

    dτ + ∫ ∞

    0 G (t ,τ )

    e−τ /T

    T x (τ ) dτ =

    1 T

    ∫ ∞ 0

    G (t ,τ ) f (τ ) dτ ;

    G (t ,τ )x (τ )��� ∞ τ=0 − ∫ ∞

    0 x (τ )

    dG dτ

    dτ + ∫ ∞

    0 x (τ )G (t ,τ )

    e−τ /T

    T dτ =

    1 T

    ∫ ∞ 0

    G (t ,τ ) f (τ ) dτ .

    Neste ponto imponha G (t ,∞) = 0.

    Prossiga:

    −G (t ,0)x (0) + ∫ ∞

    0 x (τ )

    [ −dG

    dτ +

    e−τ /T

    T G (t ,τ )

    ] dτ =

    1 T

    ∫ ∞ 0

    G (t ,τ ) f (τ ) dτ ;

    −dG dτ +

    e−τ /T

    T G = δ (τ − t );

    G (t ,τ ) = u (t ,τ )v (t ,τ );

    −u dv dτ −v du

    dτ +

    e−τ /T

    T uv = δ (τ − t );

    u

    [ −dv

    dτ +

    e−τ /T

    T v

    ] −v du

    dτ = δ (τ − t );

    dv v = e−τ /T d(τ/T );∫ v (t,τ )

    v (t,0)

    dv v =