Capítulo 8 Teste de Hipótese - UFPR · 2010. 5. 5. · calcular o valor da estatística do teste....

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Capítulo 8Teste de Hipótese

8-1 Visão Geral

8-2 Fundamentos do Teste de Hipótese

8-3 Testando Afirmações sobre uma Proporção

8-4 Testando Afirmações sobre uma Média: σ Conhecido

8-5 Testando Afirmações sobre uma Média: σ

Desconhecido

8-6 Testando Afirmações sobre o Desvio Padrão ou Variância


Seção 8-1Visão Geral

Created by Erin Hodgess, Houston, TexasRevised to accompany 10th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA


Definições

Em estatística, uma hipótese é uma afirmaçãoou setença sobre as propriedades de umapopulação.

Um Teste de hipótese (ou teste de significância )é um procedimento padronizado para testaruma afirmação sobre as propriedades de umapopulação.

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Regra do Evento Raro para a Inferência Estatística

Se, sob uma dada suposição, aprobabilidade de um evento particularobservado é excepcionalmente pequena,nós concluímos que a suposiçãoprovavelmente não é correta.


Exemplo: As Indústrias ProCare Ltda. forneceram, certavez, um produto chamado “Gender Choice” (Escolha oSexo) que, de acordo com a propaganda, permitia aoscasais “aumentar em até 80% as suas chances de ter umamenina.” Suponha que façamos um experimento com 100casais que querem ter meninas e que eles sigam o GenderChoice, “um sistema fácil de usar em casa” descrito naembalagem cor de rosa para meninas. Com o propósito detestar a afirmação de que há um acréscimo na proporçãode meninas vamos assumir que o Gender Choice não temefeito. Usando o bom senso e nenhum método formal deestatística, o que podemos concluir sobre a suposição denenhum efeito do Gender Choice se 100 casais usandoGender Choice tiverem 100 bebês sendo:a) 52 meninas?b) 97 meninas?


Exemplo : Indústrias ProCare Industries Ltda.: Parte a)

a) Nós em geral esperamos cerca de 50 meninasem 100 nascimentos. O resultado de 52 meninasé bastante próximo de 50, então não podemosconcluir que o Gender Choice é realmenteeficaz. Se os 100 casais não usaram nenhummétodo especial para seleção de gênero, oresultado de 52 meninas pode ocorrerfacilmente. A suposição de não efeito do GenderChoice aparenta ser correta. Não temosevidência para afirmar que p Gender Choice éeficiente.

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Exemplo : Indústrias ProCare Industries Ltda.: Parte b)

b) O resultado de 97 meninas em 100 nascimentosé extremamente improvável de acontecer.Podemos explicar este fato por duas maneiras:Um evento extremamente raro ocorreu devido afatores aleatórios, ou o Gender Choice é eficiente.A probabilidade extremamente baixa em termos 97meninas em 100 nascimentos é uma forteevidência contra a suposição inicial de que oGender Choice não funciona.


Seção 8-2 Fundamentos de Teste de

Hipótese



Pontos ChaveEsta seção apresenta os componentes individuais de um testede hipótese, e as seções seguintes usarão estes componentesem um procedimento claro e objetivo.

A função de cada um deles deve ser bem compreendido:

� Hipótese Nula

� Hipótese Alternativa

� Estatística do Teste

� Região Crítica

� Nível de Significância

� Valor Crítico

� P-valor

� Erro Tipo I e II

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� Dada uma afirmação, identificar ashipóteses nula e alternativa, e expressá-lasem forma simbólica.

� Dada uma afirmação e uma amostra,calcular o valor da estatística do teste.

� Dado um nível de significância. Identificaro(s) valor(es) crítico(s).

� Dado o valor da estatística do teste,identificar o P-valor.

� Formar uma conclusão a respeito do testede hipótese em uma linguagem simples enão técnica.

Seção 8-2 Objetivos


Exemplo: Vamos usar novamente o exemplo doGender Choice que foi distribuido pelaws IndústriasProCare. As Indústrias ProCare afirmaram que oscasais que usarem a caixa rosa do Gender Choiceterão as chances de terem meninas maiores que 50%,ou 0,5. Vamos novamente considerar o experimentoonde 100 casais usam o Gender Choice com aintenção de terem uma menina. Vamos assumir quenos 100 nascimentos temos exatamente 52 meninas, evamos formalizar algumas análises:Sob circunstâncias normais a proporção de meninas é de 0,5, então a afirmação de que o Gender Choice é funciona l pode ser expressa como p > 0,5.

Usando a distribuição normal como uma aproximação àbinomial nós achamos que P(52 ou mais meninas em 100nascimentos) = 0,3821 .

A Figura 8-1 a seguir mostra que com uma probabilidade de 0,5,a ocorrência de 52 meninas em 100 nascimentos não éincomum.


Nós não podemos excluir o efeito aleatório como uma possívelexplicação. Concluímos, então, que a proporção de meninas q uenasceram de casais que usaram o Gender Choice não é significa ntementemaior do que o número esperado devido a fatores aleatórios.

Figura 8-1

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� Afirmação: Para casais que usam Gender Choice, a proporçãode meninas é p > 0.5.

Observações

� Não há evidência suficiente para basear afirmação do GenderChoice.

� Há duas possíveis explicações para o resultado de 52 meninasem 100 nascimentos: Ou uma variação aleatória ocorreu (comprobabilidade igual a 0.3821), ou a proporção de meninasnascidas de casais que usaram Gender Choice é maior que 0.5.

� Assumindo que p = 0.5, nós usamos a distribuição normalcomo uma aproximação à distribuição binomial para achar queP (Pelo menos 52 meninas em 100 nascimentos) = 0.3821.

ˆ� A amostra apresenta 52 meninas em 100 nascimentos, então a

proporção amostral é p = 52/100 = 0.52.

� Suposição de trabalho: A proporção de meninas é p = 0.5(com o Gender Choice sem surtir efeito).


Componentes de um Teste de Hipótese

Formal


Hipótese Nula: H0

� A hipótese nula (denotada por H0) éuma suposição de que o valor de umparâmetro populacional (tal como aproporção, média ou desvio padrão) éigual a algum valor pré-fixado.

� Nós testamos a hipótese nula

diretamente.

� Podemos rejeitar H0 ou não rejeitar H0.

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Hipótese Alternativa: H1

� A hipótese alternativa (denotada porH1 ou Ha ou HA) é a suposição de queo parâmetro populacional tem umvalor que difere do apresentado nahipótese nula.

� A forma simbólica para a hipótesealternativa deve usar um destessinais: ≠≠≠≠, <, >.


Notas sobre Como Formar suas Próprias Afirmações (Hipóteses)

Se você está executando um estudo equer usar um teste de hipótese parabasear a sua afirmação, esta afirmaçãodever ser escrita de tal forma que setorne a hipótese alternativa.


Notas sobre Como Identificar H0 e H1

Figura 8-2

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Exemplo: Identifique as hipóteses nulas ealternativas. Use a Figura 8-2 e com base nasafirmações dadas expresse as hipóteses nula ealternativa correspondentes em forma simbólica.

a) A proporção de motoristas que admitem passar em sinal vermelho é maior que 0,5.

b) A altura média dos jogadores de basquetes da li ga profissional é de no máximo 2,14m.

c) O desvio padrão do escore de QI dos atores é ig ual a 15.



a) A proporção de motoristas que admitem ultrapassar o sinalvermelho é maior que 0,5. No passo 1 da Figura 8-2, nósexpressamos a afirmação dada como p > 0.5. No passo 2I,nós vemos que se p > 0.5 é falso, então p ≤≤≤≤ 0.5 deve serverdadeiro. No passo 3, observamos que a expressão p > 0.5não contém a igualdade, então nós determinamos a hipótesealternativa H1 como p > 0.5, e a hipótese nula H0 como p =0.5.



b) A altura média dos jogadores de basquetes da ligaprofissional é de no máximo 2,14m. No passo 1 daFigura 8-2 nós expressamos “a média é de no máximo2,14m” simbolicamente como µµµµ ≤≤≤≤ 2,14. No passo 2, nósvemos que se µµµµ ≤≤≤≤ 2,14 é falsam então µ > 2,14 deve serverdadeiro. No passo 3, nós vemos que se a expressãoµ > 2,14 não contém a igualdade, então a hipótesealternativa H1 será µ > 2,14, e H0 será µ = 2,14.

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c) O desvio padrão do escore de QI dos atores é igual a 15.No passo 1 da Figura 8-2 nós representamos estaafirmação como σσσσ = 15. No passo 2, vemos que se σσσσ = 15é falso, então σσσσ ≠ ≠ ≠ ≠ 15 deve ser verdadeiro. No passo 3,temos que a hipótese alternativa H1 será σσσσ ≠ ≠ ≠ ≠ 15, e queH0 será σσσσ = 15.


A estatística do teste é um valor usadopara tomar a decisão sobre a hipótese nula,e é calculada convertendo a estatísticaamostral em um escore com a suposiçãode que a hipótese nula é verdadeira.

Estatística de Teste


Estatística do Teste - Fórmulas

z =x - µx

σ σ σ σ n

Estatística do teste para

média

z = p - p/\

pqn√√√√


proporções

χχχχ2 =(n – 1)s2

σσσσ 2222


desvio padrão

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Exemplo: Uma pesquisa com uma amostraaleatória de 880 motoristas adultos mostrouque 56% (ou p = 0.56) destes respondentesadmitiram que ultrapassavam o sinal fechado.Encontre o valor da estatística do teste para aafirmação de que a maioria dos adultosadmitem ultrapassar o sinal fechado. (NaSeção 8-3 nós veremos que há algumassuposições a serem observadas. Para esteexemplo, admitamos que estas suposiçõessão obedecidas e vamos nos focar emencontrar a estatística do teste adequada.)


Solução: O exemplo anterior mostrou que aafirmação dada resulta nas seguinteshipóteses nula e alternativa: H0: p=0.5 e H1:p>0.5. Devido a trabalharmos sob a suposiçãode que a hipótese nula é verdadeira, ou seja,p=0.5, nós temos a seguinte estatística doteste:

npq√√√√

z = p – p/\

= 0.56 - 0.5(0.5)(0.5)√√√√ 880

= 3.56


Interpretação: Nós sabemos doscapítulos anteriores que o valor dez=3,56 é excepcionalmente alto. Istoindica que mais que ser maior que50%, o resultado amostral de 56% ésignificativamente maior que 50%.Veja figura abaixo:

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Região Crítica, Valor Crítico, Estatística do Teste


Região Crítica

A região crítica (ou região de rejeição ) é oconjunto de valores para a estatística doteste que nos faz rejeitar a hipótese nula.Por exemplo, veja a região sombreada emvermelho na figura anterior.


Nível de Significância

O nível de significância (denotado por αααα) é aprobabilidade de que a estatística do teste irápertencer à região crítica quando a hipótesenula for verdadeira. Este é o mesmo αααα queintroduzimos na Seção 7-2. Valores comunspara αααα são 0.05, 0.01, e 0.10.

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Valor Crítico

Um valor crítico é qualquer valor que separa aregião crítica (onde rejeitamos a hipótesenula) dos valores da estatística do teste quenão nos faz rejeitar a H0. O valor críticodepende da natureza da hipótese nula, dadistribuição amostral que é utilizada, e donível de significância αααα. Veja na figura anteriorque o valor crítico de z=1.645 corresponde aonível de significância de αααα=0.05.


Testes Bilateral, Unilateral à Esquerda e Unilateral à Direita

As caudas em uma distribuição sãoregiões nos extremos das mesmaslimitados por valores críticos.


Teste Bilateral

H0: =

H1: ≠≠≠≠αααα é dividido igualmente entre as

duas caudas da região crítica

Significa menor ou maior que

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Teste Unilateral à Direita

H0: =

H1: >Pontos à Direita


Teste Unilateral à Esquerda

H0: =

H1: < Pontos à

Esquerda


P-Valor

O P-valor (ou p-valor ou valor deprobabilidade ) é a probabilidade de ter umvalor da estatística de teste que está pelomenos tão extremo como a estatísticacalculada para a amostra em questão,assumindo que a hipótese nula é verdadeira.A hipótese nula é rejeitado se o P-valor émuito pequeno, tal como 0,05 ou menos.

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Conclusões em Testes de Hipótese

Nós sempre testamos a hipótesenula; A conclusão inicial serásempre uma das abaixo:

1. Rejeitar a hipótese nula.

2. Falhar em rejeitar a hipótese nula.


Método Tradicional :

Rejeitamos H0 se a estatística de teste pertence à região crítica.

Falhamos em rejeitar H0 se a estatística de teste não pertence à região crítica.

Regra de Decisão


Método do P-valor :

Rejeitamos H0 se o P-valor ≤≤≤≤αααα (ondeαααα é o nível de significância, como0,05, por exemplo.).

Falhamos em rejeitar H0 se o P-valor> αααα.

Regra de Decisão - cont

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Uma outra opção :

Ao invés de usar um nível designificância (feito 0,05, por exemplo),simplesmente identifique o P-valor edeixe a decisão para o leitor.




Intervalos de Confiança :

Devido ao IC para um parâmetropopulacional conter os valores maisprováveis para este parâmetro,rejeitamos a afirmação de que oparâmetro não é igual a umdeterminado valor se ele não estivercontido no IC.


Procedimento para Encontrar o P-Valor

Figura 8-6

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Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro,verifique se as condições dadas resultam emum teste bilateral ou unilateral à esquerda ou àdireita. Em seguida, calcule o P-valor eformule sua conclusão a respeito da hipótesenula.

a) Um nível de significância αααα=0.05 é usado para testara afirmação de que p>0.25, e os dados amostraisresultaram em uma estatística de teste z=1.18.b) Um nível de significância αααα=0.05 é usado para testara afirmação de que p≠≠≠≠ 0.25, e os dados amostraisresultaram em uma estatística de teste z = 2.34.


Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro,verifique se as condições dadas resultam emum teste bilateral ou unilateral à esquerda ouà direita. Em seguida, calcule o P-valor eformule sua conclusão a respeito da hipótesenula.a) Com a afirmação de que p>0.25, temos que oteste é unilateral à direita. Assim, de acordo com aFigura 8-6, temos que o P-valor é a área à direita daestatística do teste z=1.18. Usando a Tabela A-2encontramos que a área à direita é 0.1190. Assim,temos que o P-valor=0.1190, sendo maior que o nívelde significância, e não podemos rejeitar a hipótesenula. O P-valor é relativamente alto, o que indica queeste resultado amostral pode ocorrer facilmentedevido à aleatoriedade do processo.


Exemplo: Como calcular o P-valor: Primeiro,verifique se as condições dadas resultam emum teste bilateral ou unilateral à esquerda ou àdireita. Em seguida, calcule o P-valor eformule sua conclusão a respeito da hipótesenula.b) Com a afirmação de que p≠≠≠≠ 0.25, o teste é bilateral, ecomo a estatística do teste z=2.34 está à direita docentro da distribuição, de acordo com a Figura 8-6temos que o P-valor é igual ao dobro da área à direitade z=2.34. Utilizando a Tabela A-2 nós vemos que aárea à direita de z=2.34 é 0.0096, assim, temos que P-valor=2x0.0096=0.0192. O P-valor é menor que o nívelde significância, assim rejeitamos a hipótese nula. Ovalor pequeno do P-valor indica que este resultadoamostral é bastante raro, considerando H0 válida.

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Escrevendo as Conclusões Finais

Figura 8-7


Aceitar Versus Não Rejeitar

� Alguns autores usam “aceitar a hipótese nula”.

� Nós não estamos provando a hipótese nula.

� A amostra evidencia que não temosforça para rejeitar a hipótese nula(Assim como não temos evidência deque a hipótese é verdadeira).


Erro Tipo I

� Um Erro Tipo I é o erro cometido aorejeitarmos H0 quando ela éverdadeira.

� A letra grega αααα é usada pararepresentar a probabilidade de secometer o Erro Tipo I.

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Erro Tipo II

� Um Erro Tipo II é o erro cometidoquando não rejeitamos H0 e ela éfalsa.

� A letra grega ββββ é usada pararepresentar a probabilidade de secometer o Erro Tipo II.


Exemplo : Assuma que estamosrealizando um teste de hipótese parap>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nulae alternativa são: H0:p=0.5, e H1:p>0.5

a) Identifique um erro tipo I.b) Identifique um erro tipo II.


Exemplo: Assuma que estamosrealizando um teste de hipótese parap>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nulae alternativa são: H0:p=0.5, e H1:p>0.5.

a) Um erro tipo I é o erro de se rejeitar umahipótese nula verdadeira, então neste caso, oerro tipo I ocorrerá quando tivermosevidências de que p>0.5, quando na verdadetemos p=0.5.

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Exemplo: Assuma que estamosrealizando um teste de hipótese parap>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nulae alternativa são: H0:p=0.5, e H1:p>0.5

b) Um erro tipo II é o erro de não rejeitarmosuma hipótese nula falsa, ou seja, para esteexemplo seria não rejeitar p=0.5 (e porconseqüência não aceitar que p>0.5) quandona verdade temos p>0.5.


Erro Tipo I e Erro Tipo II


Controlando os Erros Tipo I e Tipo II

� Para qualquer αααα fixado, um aumento no tamanho daamostra n causa uma diminuição em β.β.β.β.

� Para qualquer tamanho de amostra n fixo, umadiminuição de αααα causará em aumento de ββββ.Inversamente, um acréscimo em αααα causará umadimnuição em ββββ.

� Para diminuir tanto αααα quanto ββββ, temos que aumentar o tamanho da amostra.

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Definição

O poder do teste de hipótese é a probabilidade(1 - β β β β ) de rejeitar uma hipótese nula falsa, queé calculada usando um valor fixo para o nívelde significância α α α α e um valor fixo para oparâmetro populacional que é uma alternativaao valor assumido como verdadeiro nahipótese nula. Em outras palavras, o poder doteste de hipótese é a probabilidade de aceitaruma hipótese alternativa verdadeira.


Metodologia Detalhada do

Teste de Hipótese – Método do P-

valor


Metodologia Detalhada do

Teste de Hipótese – Método

Tradicional

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Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese - cont

Um IC para um parâmetro populacional contém osvalores mais verossímeis para este parâmetro. Nóspodemos então rejeitar uma afirmação de que oparâmetro populacional não está incluído bo IC. Veja naTabela 8-2 abaixo os níveis de confiança do IC para osníveis de significância de acordo com o tipo do teste(bilateral ou unilateral):


Cuidado : Em alguns casos, a conclusãobaseada no IC pode diferir da conclusão doteste de hipótese. Veja os comentáriospresentes em cada uma das seções seguinte.

Metodologia Detalhada do Teste de Hipótese - cont


Recapitulando

In this section we have discussed:

� Hipótese Nula

� Hipótese Alternativa

� Estatística do Teste

� Região Crítica

� Nível de Significância e P-valor

� Valor Crítico

� Erro Tipo I e II

� Poder de um Teste de Hipótese

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Seção 8-3 Testando uma Afirmação

sobre uma Proporção



Pontos Chave

Esta seção apresenta o procedimentocompleto para testar a hipótese feita sobreuma proporção populacional. Esta seçãoutiliza os componentes apresentados naseção anterior para os métodos do P-valor,tradicional ou uso do I.C.


1) As observações devem vir de um plano de amostra aleatória simples.

2) As condições para a distribuição binomial são satisfeitas (Seção 5-3).

3) As condições np ≥≥≥≥ 5 e nq ≥≥≥≥ 5 são satisfeitas, então a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal com µ = np and σσσσ = npq .

Requisitos para Testar Afirmações sobre uma Proporção Populacional p

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Notação

p = proporção populacional (usada na

hipótese nula)

q = 1 – p

∧∧∧∧

n = número de tentativas

p = x (proporção amostral )n


p – ppqn

z =∧∧∧∧

Estatística de Teste para Testar uma Afirmação sobre uma

Proporção


Método do P-Valor

Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Figura 8-8 .Use a distribuição normal padronizada(Tabela A-2).

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Método Tradicional

Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Figura 8-9 .


Método do Intervalo de Confiança

Use a mesma metodologia descrita na Seção 8-2 e na Tabela 8-2.


Exemplo: Um artigo distribuído pelaAssociated Press incluía estes resultados derelativos a uma pesquisa nacional: De 880motoristas selecionados aleatoriamente, 56%deles admitiam que ultrapassavam o sinalvermelho. A afirmação é que a maioria dosamericanos avançam no sinal fechado, ouseja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, ep=0,56.∧∧∧∧

np = (880)(0,5) = 440 ≥≥≥≥ 5nq = (880)(0,5) = 440 ≥≥≥≥ 5

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Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Press incluíaestes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 88 0motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admiti am queultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria d osamericanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5. Os dadosamostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o Método do P-valor .∧∧∧∧

De acordo com a Tabela A-2, observamos que para valores de z =3.50 ou maiores , nós usamos 0.9999 para a área acumulada àesquerda da estatística do teste. O P-valor é 1 – 0.9999 = 0.0001.Como o P-valor é menor que αααα = 0.05, rejeitamos a hipótese nula.Não temos evidências suficientes para admitirmos a hipótes enula como válida.

H0: p = 0.5H1: p > 0.5αααα = 0.05

pq

n

p – pz =∧∧∧∧

0.56 – 0.5

(0.5)(0.5)

880

= = 3.56


Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Pressincluía estes resultados de relativos a uma pesquisanacional: De 880 motoristas selecionadosaleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam osinal vermelho. A afirmação é que a maioria dosamericanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremoso Método do P-valor .

∧∧∧∧

H0: p = 0.5H1: p > 0.5αααα = 0.05

z = 3.56


Exemplo : Um artigo distribuído pela Associated Pressincluía estes resultados de relativos a uma pesquisanacional: De 880 motoristas selecionadosaleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam osinal vermelho. A afirmação é que a maioria dosamericanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremoso Método Tradicional .

∧∧∧∧

H0: p = 0.5H1: p > 0.5αααα = 0.05

pq

n

p – pz =∧∧∧∧

0.56 – 0.5

(0.5)(0.5)

880

= = 3.56

Este é um teste bilateral à direita, então a região crítica é u maárea de 0,05. Assim, temos que z=1,645 é o valor crítico daregião crítica. Portanto, rejeitamos a hipótese nula. Não t emosevidências suficientes para admitirmos a afirmação como vá lida.

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Exemplo: Um artigo distribuído pela Associated Pressincluía estes resultados de relativos a uma pesquisanacional: De 880 motoristas selecionadosaleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavamo sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dosamericanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nósusaremos o Método do IC .

∧∧∧∧

Para testar uma hipótese unilateral com nível designificância αααα, nós iremos construir um intervalo deconfiança com 1 – 2 αααα de nível de confiança . Nóscontruimos um IC com 90% de confiança.Nós obtemos 0.533 < p < 0.588. Estamos 90% confiantesque o valor verdadeiro de p está contido no intervalo delimites 0.533 e 0.588. Assim, não podemos afirmar quep>0.5, já que esse valor não pertence ao IC.


CUIDADO

Quando testamos afirmações sobre proporçãopopulacional, o método tradicional e o método do P-valor são equivalentes e terão os mesmos resultadosdesde que usem o mesmo desvio padrão baseado naproporção suposta p. Por outro lado, o IC usa um desviopadrão estimado baseado na proporção amostral p.Consequentimente, é possível que os métodostradicional e P-valor tenham uma conclusão diferente doque o método do IC.

Uma boa tática é utilizar o IC para estimar a proporçãopopulacional, mas utilizar os métodos tradicional ou P-valor para teste de hipótese.

∧∧∧∧


(determinando a proporção amostral de residências c om TV a cabo)

p = = = 0.64xn

96(96+54)

∧∧∧∧

p algumas vezes é calculado:“96 residências pesquisadas têm TV a cabo e

54 não” é calculado usando

∧∧∧∧

∧∧∧∧p algumas vezes é informado diretamente:

“ 10% dos carros esportivos observados são vermelho” é expresso como

p = 0.10∧∧∧∧

Obtendo P∧∧∧∧

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Exemplo: Quando Gregory Mendel realizouseu famoso experimento de hibridação comervilhas, um dos experimentos resultou emuma geração constituída de 428 ervilhas comvagens verdes e 152 com vagens amarelos.Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhasdesta geração teria bagos amarelos. Use 5% designificância com o método do P-valor paratestar a afirmação de Mendel.

Nós notamos que n=428+152=580, então p = 0.262, e p = 0.25.

∧∧∧∧


Exemplo: Quando Gregory Mendel realizou seufamoso experimento de hibridação com ervilhas, umdos experimentos resultou em uma geração constituídade 428 ervilhas com vagens verdes e 152 com vagensamarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhasdesta geração teria bagos amarelos. Use 5% designificância com o método do P-valor para testar aafirmação de Mendel.

H0: p = 0.25H1: p ≠≠≠≠ 0.25n = 580αααα = 0.05p = 0.262∧∧∧∧

0.262 – 0.25

(0.25)(0.75)

580

= = 0.67z =p – p

pq

n

∧∧∧∧

Já que este é um teste bilateral, o P-valor será o dobro da área à direita da estatística do teste. Usando a Ta bela A-2, o P-valor para z = 0.67 é 1 – 0.7486 = 0.2514.


Exemplo: Quando Gregory Mendel realizou seufamoso experimento de hibridação com ervilhas, umdos experimentos resultou em uma geraçãoconstituída de 428 ervilhas com vagens verdes e 152com vagens amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4das ervilhas desta geração teria bagos amarelos. Use5% de significância com o método do P-valor paratestar a afirmação de Mendel.

O P-valor é 2x0.2514=0.5028. Assim, não podemos rejeitar ahipótese nula, ou seja, não há evidência suficiente para ref utar aafirmação de que ¼ das ervilhas desta geração tenham vagensamarelos.

H0: p = 0.25H1: p ≠≠≠≠ 0.25n = 580αααα = 0.05p = 0.262

0.262 – 0.25

(0.25)(0.75)

580

= = 0.67z =p – p

pq

n

∧∧∧∧

∧∧∧∧

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Recapitulando

Nesta seção nós vimos:

� Teste estatístico para afirmações sobre uma proporção.

� Método do P-valor.

� Método do IC.

� Obtendo p.∧∧∧∧


Seção 8-4 Testando Afirmações sobre uma Média: σσσσ

Conhecido



Pontos Chave

Esta seção apresenta os métodos para setestar afirmações sobre a média de umapopulação, dado que o desvio padrão destapopulação é conhecido. Esta seção utiliza adistribuição normal com os mesmoscomponentes introduzidos na Seção 8-2.

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Requisitos para Testar Afirmações sobre uma Média Populacional (com σσσσ Conhecido)

1) A amostra foi extraída segundo umplano de amostra aleatória simples.

2) O valor do desvio padrão populacional σσσσé conhecido.

3) Pelo menos uma destas condições deveser satisfeita: a população é normalmentedistribuída ou n>30.


Estatística do Teste para Testar Afirmações sobre uma Média

(com σσσσ Conhecido)

n

x – µxz = σσσσ


=z =x – µx

σσσσ

n

98.2 – 98.6= − 6.64

0.62

106

Exemplo: Temos uma amostra da temperaturacorporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F.Assuma que esta amostra veio de uma amostraaleatória simples e que o desvio padrão populacional σσσσé conhecido e igual a 0.62°F. Teste com 5% designificância a idéia popular de que a temperaturacorporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Useo método do P-valor.

H0: µµµµ = 98.6H1: µµµµ ≠≠≠≠ 98.6αααα = 0.05x = 98.2σσσσ = 0.62

Este é um teste bilateral e a estatística do teste está à esque rdado centro da distribuição, logo o P-valor é igual ao dobro da áreaà esquerda de z= –6.64. Utilizando a Tabela A-2 calculamos que aárea à esquerda de z= –6.64 é 0.0001, assim o P-valor é igual a2x(0.0001) = 0.0002.

29


Exemplo: Temos uma amostra da temperaturacorporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assumaque esta amostra veio de uma amostra aleatóriasimples e que o desvio padrão populacional σσσσ éconhecido e igual a 0.62°F. Teste com 5% designificância a idéia popular de que a temperaturacorporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Useo método do P-valor.


z = –6.64


Exemplo: Temos uma amostra da temperaturacorporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assumaque esta amostra veio de uma amostra aleatóriasimples e que o desvio padrão populacional σσσσ éconhecido e igual a 0.62°F. Teste com 5% designificância a idéia popular de que a temperaturacorporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Useo método do P-valor.H0: µµµµ = 98.6H1: µµµµ ≠≠≠≠ 98.6αααα = 0.05x = 98.2σσσσ = 0.62

z = –6.64

Como o P-valor é igual a 0.0002, e como este valor é menor que onível de significância αααα=0.05, nós rejeitamos a hipótese nula.Assim, temos evidência suficiente para concluir que atemperatura corporal média de adultos saudáveis é diferent e de98.6°F.


Exemplo: Temos uma amostra da temperaturacorporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assumaque esta amostra veio de uma amostra aleatóriasimples e que o desvio padrão populacional σσσσ éconhecido e igual a 0.62°F. Teste com 5% designificância a idéia popular de que a temperaturacorporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Useo método tradicional.


z = –6.64

Nós encontramos como valores críticos z= –1.96 e z=1.96. Nós rejeitamos a hipótese nula, pois a estatística do teste z= –6.64 pertence à região crítica.

Temos evidência suficiente para concluir que a temp eratura corporalmédia de adultos saudáveis é diferente de 9 8.6°F.

30


Exemplo: Temos uma amostra da temperaturacorporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assumaque esta amostra veio de uma amostra aleatóriasimples e que o desvio padrão populacional σσσσ éconhecido e igual a 0.62°F. Teste com 5% designificância a idéia popular de que a temperaturacorporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Useo método do intervalo de confiança.

Para um teste de hipótese bilateral com 5% de significância, construímos um IC com 95% de confiabilidade. Assim, temos:98.08 < µµµµ < 98.32

Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo de 98.08 a 98.32contém o valor verdadeiro de µµµµ, assim, aparentemente 98.6nãopode ser o valor verdadeiro de µµµµ.



Relações Subjacentes ao Teste de Hipótese

� Se, sob uma dada suposição, temos umaprobabilidade extremamente pequena de obtermosum resultado amostral tão extremo como o queobservamos, podemos concluir que a suposiçãoinicial provavelmente não é correta.

� Quando testamos uma afirmação, fazemos umasuposição de igualdade (com a hipótese nula). Aseguir, comparamos esta suposição com oresultado obtido com a amostra e tomamos umadestas conclusões:


� Se o resultado amostral (ou resultado mais extremo)pode ocorrer facilmente quando a suposição (hipótesenula) é verdadeira, podemos atribuir a relativamentecurta discrepância entre a suposição e o resultadoamostral ter ocorrido devido a fatores aleatórios.

� Se o resultado amostral não pode ocorrer facilmentequando a suposição (hipótese nula) é verdadeira, nósexplicamos a relativamente grande discrepância entre asuposição e o resultado amostral concluindo que asuposição inicial não é verdadeira, rejeitando, assim,esta suposição.

Relações Subjacentes ao Teste de Hipótese - cont

31


Recapitulando

Nesta seção nós apresentamos:

� Requisitos para testar afirmações sobre médiaspopulacionais, com σ conhecido.

� Método do P-valor.

� Método Tradicional.

� Método do Intervalo de Confiança.

� Relações para os testes de hipótese.


Seção 8-5 Testando Afirmações sobre uma Média : σσσσ

Desconhecido



Pontos Chave

Esta seção apresenta a metodologia paratestar afirmações sobre a média populacionalquando não temos o valor de σ. Os métodosdesta seção utilizam a distribuição t deStudent vista anteriormente.

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Requisitos para Testar Afirmações sobre a Média com σσσσ

Desconhecido1) A amostra foi extraída segundo um plano deamostra aleatória simples.

2) O valor do desvio padrão populacional σσσσ nãoé conhecido.

3) Pelo menos uma destas condições deve sersatisfeita: a população é normalmentedistribuída ou n>30.


Estatística do Teste para Testar Afirmações sobre uma Média (com

σσσσ Desconhecido)

P-valor e Valores Críticos�Usar a Tabela A-3

�Graus de Liberdade (GL) = n – 1

x – µxt = sn


Propriedades Importantes da Distribuição t de Student

1. A distribuição t de Student t é diferente para cada tamanho deamostra (veja Figura 7-5 na Seção 7-4).

2. A distribuição t de Student t tem a mesma forma que adistribuição normal (forma de sino); Sua forma mais alongad areflete uma maior variabilidade que é esperada quando usamo ss para estimar σσσσ .

3. A distribuição t de Student tem média t=0 (identicamente àdistribuição normal padronizada que tem média z=0).

4. TO desvio padrão da distribuição t de Student varia de acor docom o tamanho da amostra e é maior que 1 (ao contrário dadistribuição normal padronizada onde temos σσσσ=1).

5. Para tamanhos de amostra suficientemente grande, temos q uea distribuição t de Student se aproxima da distribuição norm alpadronizada.

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Escolhendo entre as Distribuições Normal e t de Student t ao testar

afirmações sobre uma média populacional µ

Use a distribuição t de Student quando σσσσ édesconhecido e ao menos uma destascondições são satisfeitas:A população é normalmente distribuída oun>30.


Temos que a amostragem utilizada é a aleatóriasimples, e não temos um valor conhecido de σ. Otamanho da amostra é n=13 e um gráfico quartil-quartil sugere normalidade na distribuição dosdados.

Exemplo: O conjunto de dados 13 no Apêndice B do texto incluios pesos de 13 confeitos M&M vermelhos aleatoriamenteselecionado de um pacote com 465 M&M’s. O peso (em gramas)tem média x=0.8635g e desvio padrão s=0.0576g. O pacote afirmaque o peso líquido total é de 396.9g. Assim, de acordo com oafirmado no pacote, um confeito M&M deve ter peso médio396.9/465=0.8535g. Use os dados amostrais para ao nível de 5 %testar a afirmação de um gerente de produção que estásuspeitando falha no processo, fazendo com que os confeitossaiam com peso médio maior que 0.8535g. Use o métodotradicional.


H0: µµµµ = 0.8535H1: µµµµ > 0.8535αααα = 0.05x = 0.8635s = 0.0576n = 13

= 0.626t =x – µx

s

n

=0.8635 – 0.8535

0.057613


O valor crítico, de acordo com a Tabela A-3, é t=1.782

34


t = 0.626

Como a estatística do teste t=0.626 nãopertence à região crítica, não podemos rejeitarH0. Não temos evidência suficiente para afirmarque o peso médio dos confeitos M&M é maiorque 0.8535g.

H0: µµµµ = 0.8535H1: µµµµ > 0.8535αααα = 0.05x = 0.8635s = 0.0576n = 13


Valor Crítico t=1.782


O valor crítico usado no exemplo anterior foit=1.782, porém, se a distribuição normal fosseutilizada, teríamos o valor crítico z=1.645.

O valor crítico da distribuição t de Student émaior (ou mais à direita), demonstrando quecom a distribuição t, a evidência amostral deveser mais extrema antes de considerá-lasignificante.

Distribução Normal Versus t de Student


Método do P-Value

� Neste caso, temos que usar umsoftware estatístico ou uma calculadoraTI-83/84 Plus.

� Alternativamente, podemos usar aTabela A-3 para identificar a variação doP-valor.

35


a) Se temos uma hipótese unilateral à esquerda, otamanho amostral é n=12, e a estatística deteste é t=–2.007.

b) Se temos uma hipótese unilateral à direita, otamanho amostral é n=12, e a estatística deteste é t=1.222

c) Se temos uma hipótese bilateral, o tamanhoamostral é n=12, e a estatística de teste é t=–3.456.

Exemplo: Assumindo que não temos acessonem a um pacote estatístico ou a umacalculadora TI-83 Plus, use a Tabela A-3 paraencontrar o range de variação do P-valor paracada um dos exemplos abaixo:





a) O teste é unilateral à esquerda comestatística de teste t=–2.007, assim o P-valor éa área à esquerda de –2.007. Devido àsimetria da distribuição t, esta é a mesmaárea à direita de +2.007. Qualquer estatísticade teste entre 2.201 e 1.796 tem um P-valorentre 0.025 e 0.05. Podemos concluir que0.025 < P-valor < 0.05.

36



b) O teste é unilateral à esquerda comestatística de teste t=1.222, assim o P-valor éa área à direita de 1.222. Qualquer estatísticade teste menor que 1.363 terá um P-valorque será maior que 0.10. Podemos concluirque P-valor > 0.10.


c) O teste é bilateral com estatística de testet=–3.456. O P-valor é igual ao dobro da área àesquerda de –3.456, ou à direita de +3.456.Qualquer estatística de teste maior que 3.106tem um P- valor menor que 0.01 para testesbilaterais. Podemos concluir que P-valor <0.01.



Recapitulando

Nesta seção nós discutimos:

� Requisitos para testar afirmações sobre a média populacional com σ desconhecido.

� A distribuição t de Student.

� O Método do P-valor.

37


Seção 8-6 Testando Afirmações

sobre o Desvio Padrão ou Variância



Pontos Chave

Esta seção introduz a metodologia para testaruma afirmação sobre o desvio padrão σ ouvariância de uma população σ 2. Estesmétodos usam a distribuição qui-quadradocomo referência. Esta distribuição foi utilizadaanteriormente na Seção 7-5.


Requisitos para Testar Afirmações sobre σσσσ ou σσσσ 2

1. O plano amostral utilizado é amostraaleatória simples.

2. A população tem distribuição normal.Esta suposição é mais restritiva nesteteste do que nos testes para médias.

38


n = tamanho da amostra

s 2 = variância amostral

σ σ σ σ 2 = variância populacional(dada na hipótese nula)

Distribuição Qui-quadrado

Estatística do Teste

χχχχ 2 = (n – 1) s 2

σ σ σ σ 2


P-Valor e Valores Críticos para Distribuição Qui-quadrado

� Use a Tabela A-4.

� Graus de Liberdade: G.L.= n –1.


Propriedades da Distribuição Qui-quadrado

� Todos os valores de χχχχ 2 são não-negativos, e a distribuição não ésimétrica (veja a Figura 8-13 a seguir).

� Há uma distribuição para cada númerode graus de liberdade (veja a Figura 8-14a seguir).

� Os valores críticos são encontrados combase na Tabela A-4 usando n-1 graus deliberdade.

39


Propriedades da Distribuição Qui-quadrado - cont

Figura 8-13

Propriedades da Distribuição Qui-quadrado

Temos uma distribuição diferente para cada valor de graus de liberdade.

Qui-quadrado com 10 e 20 graus de liberdade.

Figura 8-14


Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos oescore QI é normalmente distribuído com média 100 e desviopadrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatí sticaforneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dosprofessores de estatística é normalmente distribuído e use 5% designificância para testar a afirmação de que σσσσ = 15.

H0: σσσσ = 15H1: σσσσ ≠≠≠≠ 15αααα = 0.05n = 13s = 7.2

= 2.765χχχχ 2 =(n – 1)s2

σ σ σ σ 2(13 – 1)(7.2)2

152

=



χχχχ 2 = 2.765


40


Os valores críticos 4.404 e 23.337 sãoencontrados na Tabela A-4 na 12ª linha(graus de liberdade= n – 1) nas colunascorrespondentes à 0.975 e 0.025.



χχχχ 2 = 2.765


Como a estatística do teste pertence à regiãocrítica, nós rejeitamos a hipótese nula. Temosevidência suficiente para rejeitar a afirmaçãode que o desvio padrão é igual à 15.


χχχχ 2 = 2.765

Exemplo: Para uma amostra aleatória simples de adultos oescore QI é normalmente distribuído com média 100 e desviopadrão 15. Uma amostra aleatória de 13 professores de estatí stica.forneceu um desvio padrão s=7.2. Assuma que o escore QI dosprofessores de estatística é normalmente distribuído e use 5% designificância para testar a afirmação de que σσσσ = 15.


Recapitulando

Nesta seção nós discutimos:

� Testes para afirmações sobre desviopadrão e variância.

� Estatística de teste.

� Distribuição qui-quadrado.

� Valores críticos.

Capítulo 8 Teste de Hipótese - UFPR · 2010. 5. 5. · calcular o valor da estatística do teste....

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