(a) Teste e IC para Duas Variâncias - professores.uff.br · Não se rejeita a hipótese de...

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Exercício 1 – Contexto: amostras independentes de populações normais (a) Teste e IC para Duas Variâncias Método Hipótese nula Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) = 1 Hipótese alternativa Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) ≠ 1 Nível de significância α = 0,05 O método F foi usado. Esse método é preciso apenas para dados normais. Estatísticas IC de 95% para Amostra N DesvPad Variância Variâncias Primeiro 10 0,117 0,014 (0,006; 0,046) Segundo 10 0,142 0,020 (0,010; 0,067) Razão de desvios padrão = 0,824 Razão de variâncias = 0,678 Intervalos de 95% de Confiança IC para IC para Razão do Razão da Método DesvPad Variância F (0,410; 1,652) (0,168; 2,731) Testes Estatística Método GL1 GL2 de teste Valor-p F 9 9 0,68 0,572 Não se rejeita a hipótese de igualdade das variâncias. Podemos prosseguir com teste para médias usando a suposição de que as variâncias populacionais são iguais, ou não. (b) Teste para médias Note que a hipótese nula é estabelecida em termos da diferença; assim, H0 é Diferença = 0 versus Diferença > 0. Note que isso está escrito na última linha da saída Exercício 1(b) – supondo variâncias diferentes Duas Amostras de Teste T e IC Amostra N Média DesvPad EP Média 1 10 0,321 0,117 0,037 2 10 0,199 0,142 0,045 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 0,1220 Limite inferior de 95% para a diferença: 0,0207 Teste T de diferença = 0 (vs >): Valor-T= 2,10 Valor-P = 0,026 GL = 17 Note o número de graus de liberdade!

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Exercício 1 – Contexto: amostras independentes de populações normais

(a) Teste e IC para Duas Variâncias Método Hipótese nula Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) = 1 Hipótese alternativa Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) ≠ 1 Nível de significância α = 0,05 O método F foi usado. Esse método é preciso apenas para dados normais. Estatísticas IC de 95% para Amostra N DesvPad Variância Variâncias Primeiro 10 0,117 0,014 (0,006; 0,046) Segundo 10 0,142 0,020 (0,010; 0,067) Razão de desvios padrão = 0,824 Razão de variâncias = 0,678 Intervalos de 95% de Confiança IC para IC para Razão do Razão da Método DesvPad Variância F (0,410; 1,652) (0,168; 2,731) Testes Estatística Método GL1 GL2 de teste Valor-p F 9 9 0,68 0,572

Não se rejeita a hipótese de igualdade das variâncias. Podemos prosseguir com teste para médias usando a suposição de que as variâncias populacionais são iguais, ou não.

(b) Teste para médias

Note que a hipótese nula é estabelecida em termos da diferença; assim, H0 é Diferença = 0 versus Diferença > 0. Note que isso está escrito na última linha da saída

Exercício 1(b) – supondo variâncias diferentes

Duas Amostras de Teste T e IC Amostra N Média DesvPad EP Média 1 10 0,321 0,117 0,037 2 10 0,199 0,142 0,045 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 0,1220 Limite inferior de 95% para a diferença: 0,0207 Teste T de diferença = 0 (vs >): Valor-T= 2,10 Valor-P = 0,026 GL = 17

Note o número de graus de liberdade!

Exercício 1(b) – supondo variâncias iguais

Duas Amostras de Teste T e IC Amostra N Média DesvPad EP Média 1 10 0,321 0,117 0,037 2 10 0,199 0,142 0,045 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 0,1220 Limite inferior de 95% para a diferença: 0,0210 Teste T de diferença = 0 (vs >): Valor-T= 2,10 Valor-P = 0,025 GL = 18 Ambos usam DesvPad Combinado = 0,1302

Em ambos os casos, o valor P é pequeno, levando à rejeição da hipótese nula, ou seja, há evidências de que as chaves com o novo processo sejam mais leves. Note que na segunda saída o programa fornece o valor do desvio padrão combinado, indicando o tipo de teste realizado. Como os tamanhos amostrais são iguais, a variância combinada é a média das variâncias amostrais:

Exercício 2 – Contexto: amostras independentes de populações normais

(a) Teste e IC para Duas Variâncias Método Hipótese nula Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) = 1 Hipótese alternativa Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) ≠ 1 Nível de significância α = 0,05 O método F foi usado. Esse método é preciso apenas para dados normais. Estatísticas IC de 95% para Amostra N DesvPad Variância Variâncias Primeiro 15 25,500 650,250 (348,540; 1617,329) Segundo 17 32,600 1062,760 (589,494; 2461,637) Razão de desvios padrão = 0,782 Razão de variâncias = 0,612 Intervalos de 95% de Confiança IC para IC para Razão do Razão da Método DesvPad Variância F (0,466; 1,337) (0,217; 1,789) Testes Estatística Método GL1 GL2 de teste Valor-p F 14 16 0,61 0,362

Não se rejeita a hipótese de igualdade das variâncias. Podemos prosseguir com teste para médias usando a suposição de que as variâncias populacionais são iguais, ou não.

Exercício 2(b) – supondo variâncias diferentes

Duas Amostras de Teste T e IC EP Amostra N Média DesvPad Média 1 15 993,1 25,5 6,6 2 17 968,6 32,6 7,9 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 24,5 IC de 95% para a diferença: (3,5; 45,5) Teste T de diferença = 0 (versus ≠): Valor-T= 2,38 Valor-P = 0,024 GL = 29

Exercício 2(b) – supondo variâncias iguais

Duas Amostras de Teste T e IC EP Amostra N Média DesvPad Média 1 15 993,1 25,5 6,6 2 17 968,6 32,6 7,9 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 24,5 IC de 95% para a diferença: (3,2; 45,8) Teste T de diferença = 0 (versus ≠): Valor-T= 2,34 Valor-P = 0,026 GL = 30 Ambos usam DesvPad Combinado = 29,5001

Exercício 2(c) – valor P

Na saída do programa podemos ver que P = 0,026.

O valor da estatística de testes é 2,34. Na tabela, podemos ver que 2,34 está entre as abscissas 2,147 e 2,457, que correspondem às probabilidades 0,02 e 0,01, respectivamente. Como o teste é bilateral, concluímos que 0,01 < P/2 < 0,02 e, portanto, 0,02 < P < 0,04.

Exercício 3

O erro tipo II para μ = 20,5 é igual a 1 menos o poder do teste para uma diferença de -1,5, já que o teste é unilateral à esquerda (H1: μ < 22). Poder e Tamanho de Amostra Teste Z para 1 Amostra Teste de média = null (versus < null) Cálculo do poder para média = nulo + diferença α = 0,05 Desvio padrão assumido = 3 Tamanho Diferença Amostral Poder -1,5 36 0,912315

A probabilidade do erro II será β=1–0,912315 (a menos de erros de arredondamento).

Exercício 4

(a) Note que a amostra é razoavelmente grande! Teste Z para 1 Amostra: Airbag Teste de μ = 175 versus ≠ 175 O desvio padrão assumido = 10 Variável N Média DesvPad EP Média IC de 99% Z P Airbag 40 173,88 7,64 1,58 (169,80; 177,95) -0,71 0,477

(b) Como o intervalo contém o valor 175, não há evidências para dizer que a velocidade média é diferente de 175 (c) O teste apropriado é unilateral à direita, de tamanho α= 0,005

Teste Z para 1 Amostra: Airbag Teste de μ = 175 vs > 175 O desvio padrão assumido = 10 Unilateral è Esquerda Variável N Média DesvPad EP Média de 99,5% Z P Airbag 40 173,88 7,64 1,58 169,80 -0,71 0,762

Exercício 5 Estatísticas Tabuladas: C4; Colunas da worksheet Linhas: C4 Colunas: Colunas da worksheet 3v+ 2v 1v 1v- nunca Todos homens 23 19 34 10 12 98 18,41 16,42 36,31 13,43 13,43 1,1466 0,4067 0,1475 0,8767 0,1526 mulheres 14 14 39 17 15 99 18,59 16,58 36,69 13,57 13,57 1,1350 0,4026 0,1461 0,8678 0,1510 Todos 37 33 73 27 27 197 Conteúdo da Célula: Contagem Contagem esperada Contribuição para Qui-Quadrado Qui-Quadrado de Pearson = 5,432; GL = 4; Valor-P = 0,246 Qui-Quadrado da Razão de Verossimilhanças = 5,479; GL = 4; Valor-P = 0,242

A contagem esperada da cela (Homens,3v+) é calculada como 98*37/197 = 18,41 A hipótese nula é H0: as proporções das diversas categorias sobre jantar fora são as mesmas para homens e mulheres. Como o valor P é grande, não se rejeita H0.

Exercício 6 (a) Teste T para Uma Amostra: OnibusAtlanta Variável N Média DesvPad EP Média IC de 90% OnibusAtlanta 19 3,487 3,759 0,862 (1,992; 4,982)

(b)Testes de Normalidade Valor P do teste de Anderson-Darling: P < 0,005 Valor P do teste de Kolmogorov-Smirnov: 0,054 Há fortes indícios de não normalidade, provavelmente oriundos dos vários valores iguais a 0; interpretação dos intervalos de confiança e testes de hipóteses deve ser feita com cautela.

(c) Apesar dos indícios de não normalidade, vamos continuar a análise: o IC está todo à esquerda de 5, ou seja, não há evidência de que o prefeito receberá reclamações. (d) Como o IC é de 90%, o teste de hipótese apropriado tem α = 0,05 Teste T para Uma Amostra: OnibusAtlanta Teste de μ = 5 vs > 5 Unilateral è Esquerda Variável N Média DesvPad EP Média de 95% T P OnibusAtlanta 19 3,487 3,759 0,862 1,992 -1,75 0,952

Exercício 7 (a) Teste e IC para Uma Proporção Amostra X N Amostra p IC de 98% 1 15 125 0,120000 (0,052384; 0,187616) Use a aproximação normal.

(b) z0,01=2,33 – ε = 0,05 – pior cenário: p = 0,5 n > 23,32 → n= 543

Exercício 8

Podemos assumir que os dados são normais. Teste T para Uma Amostra: FEF Teste de μ = 3 vs > 3 Unilateral è Esquerda Variável N Média DesvPad EP Média de 95% T P FEF 15 3,633 1,673 0,432 2,872 1,47 0,082

O valor da estatística de teste é 1,47 e pela tabela, os limites para o valor P são 0,08 e 0,09 (1,47 está entre 1,411 e 1,484). Mionitab fornece P=0,082; não se rejeita H0. Não há evidências de que o fator FEF médio seja maior que 3,0.

Exercício 9 Teste e IC para Duas Proporções Amostra X N Amostra p 1 210 400 0,525000 2 286 550 0,520000 Diferença = p (1) - p (2) Estimativa para a diferença: 0,005 IC de 95% para a diferença: (-0,0593291; 0,0693291) Teste para a diferença = 0 (versus ≠ 0): Z = 0,15 Valor-p = 0,879 Teste exato de Fisher: Valor-p = 0,895

Não se rejeita H0; não há evidências de que as proporções de clientes repetidos sejam diferentes para Ford e Chevrolet.

Exercício 10 Teste Qui-Quadrado para Associação: País; Familiar? Linhas: País Colunas: Familiar? Muito Um pouco Não tão Não Todos US 340 1020 553 213 2126 149,5 835,9 894,0 246,6 242,82 40,55 130,07 4,59 UK 33 402 457 196 1088 76,5 427,8 457,5 126,2 24,73 1,55 0,00 38,58 FR 31 261 669 84 1045 73,5 410,9 439,4 121,2 24,55 54,66 119,93 11,43 IT 32 547 400 74 1053 74,0 414,0 442,8 122,2 23,87 42,72 4,14 18,98 ES 60 423 403 121 1007 70,8 395,9 423,5 116,8 1,65 1,85 0,99 0,15 AL 21 238 610 165 1034 72,7 406,5 434,8 120,0 36,77 69,87 70,59 16,92 Todos 517 2891 3092 853 7353 Conteúdo da Célula: Contagem Contagem esperada Contribuição para Qui-Quadrado Qui-Quadrado de Pearson = 981,975; GL = 15; Valor-P = 0,000 Qui-Quadrado da Razão de Verossimilhanças = 959,117; GL = 15; Valor-P = 0,000

A hipótese nula é que o nível de familiaridade é independente do país. Como o valor P é muito pequeno, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, há dependência entre as duas variáveis.

Exercício 11 Teste e IC para Duas Proporções Amostra X N Amostra p 1 12 324 0,037037 2 7 286 0,024476 Diferença = p (1) - p (2) Estimativa para a diferença: 0,0125615 Limite inferior de 99% para a diferença: -0,0198042 Teste para a diferença = 0 (vs > 0): Z = 0,90 Valor-p = 0,183 Teste exato de Fisher: Valor-p = 0,257

Não se rejeita H0; não há evidências de que as proporções e divórcios sejam diferentes.

Exercício 12

Podemos supor dados normais. Teste e IC para Uma Variância: tempo Método O método qui-quadrado é somente para a distribuição normal. O método Bonett destina-se a todas as distribuições contínuas. Estatísticas Variável N DesvPad Variância tempo 18 1,84 3,39 Intervalos de 98% de Confiança IC do IC da Variável Método DesvPad Variância tempo Qui-Quadrado (1,31; 3,00) (1,72; 8,98) Bonett (1,31; 2,97) (1,71; 8,84)

Exercício 13 p0=0,20 n = 1500 proporção amostral: 345/1500 = 0,23 0,23 x 1500 = 345 0,77 x 1500 = 1155 OK! Teste e IC para Uma Proporção Teste de p = 0,2 vs p > 0,2 Unilateral è Esquerda Amostra X N Amostra p de 99% Valor-Z Valor-p 1 345 1500 0,230000 0,204722 2,90 0,002 Use a aproximação normal.

Rejeita-se a hipótese nula; hpa evidências de que a verdadeira proporção de c ompanhias que pedem esse tipo de informação é maior que 0,20.

Exercício 14 O emparelhamento se deve ao fato de a mesma arma ter sido usada antes e depois da limpeza. Os dados da velocidade antes da limpeza não parecem normais, em virtude de a amostra ser muito pequena. Mas vamos continuar com a análise admitindo normalidade.

As diferenças Antes – Depois são: –120 –92 45 53 38 -15 Queremos testar se a velocidade é maior para armas limpas, ou seja, nossa hipótese alternativa é μd < 0. Teste T Pareado e IC: Antes; Depois Teste T pareado para Antes - Depois N Média DesvPad EP Média Antes 6 1489,7 35,0 14,3 Depois 6 1504,8 66,3 27,1 Diferença 6 -15,2 74,8 30,5 Limite superior de 99% para a diferença da média: 87,6 Teste T de diferença de média = 0 (vs < 0): Valor T = -0,50 Valor-p = 0,320

Não se rejeita H0; não há evidências de que a velocidade de boca seja maior depois da limpeza.

Exercício 15

Os dados parecem normais. Teste sobre variância com hipótese alternativa σ2 > 2,752 Teste e IC para Uma Variância: Envergadura Método Hipótese nula σ-quadrado = 7,5625 Hipótese alternativa σ-quadrado > 7,5625 O método qui-quadrado é somente para a distribuição normal. O método Bonett destina-se a todas as distribuições contínuas. Estatísticas Variável N DesvPad Variância Envergadura 22 3,81 14,5 Intervalos de 95% de Confiança Unilaterais Limite Limite inferior inferior para para Variável Método DesvPad Variância Envergadura Qui-Quadrado 3,06 9,3 Bonett 3,00 9,0 Testes Estatística Variável Método de teste GL Valor-p Envergadura Qui-Quadrado 40,32 21 0,007 Bonett — — 0,014

O valor da estatística de teste é 40,32, com 21 gl. 40,32 está entre 38,932 e 41,401, que correspondem às probabilidades 0,01 e 0,005. Logo, 0,005 < P < 0,01. Minitab fornece P = 0,007.

6055504540

2

1

0

-1

-2

Média 50,20DesvPad 3,811N 22KS 0,110Valor-P >0,150

Envergadura

Esco

re

Gráfico de Probabilidade de EnvergaduraNormal

Exercício 16 Teste e IC para Uma Proporção Teste e IC para Uma Proporção Teste de p = 0,64 versus p ≠ 0,64 Amostra X N Amostra p IC de 95% Valor-Z Valor-p Limitar comerciais 566 650 0,870769 (0,844981; 0,896558) 12,26 0,000 Amostra X N Amostra p IC de 95% Valor-Z Valor-p Prog educ para adultos 530 650 0,815385 (0,785558; 0,845211) 9,32 0,000 Amostra X N Amostra p IC de 95% Prog Infantis sem comerciais 468 650 0,720000 (0,685483; 0,754517) Use a aproximação normal.

O menor intervalo é aquele correspondente à proposta de eliminar comerciais dos programas infantis. Isso se dá porque a proporção amostral é a que está mais afastada do pior caso, 0,5. Ou seja, tem o menor erro padrão.

Exercício 17 Duas Amostras de Teste T e IC EP Amostra N Média DesvPad Média 1 23 7992,2 35,5 7,4 2 25 7988,2 41,2 8,2 Diferença = μ (1) - μ (2) Estimativa para a diferença: 4,0 Limite inferior de 95% para a diferença: -14,6 Teste T de diferença = 0 (vs >): Valor-T= 0,36 Valor-P = 0,360 GL = 45

Não se rejeita a hipótese nula; não há evidências de que a escova Sonicare tenha velocidade maior que a Oral B. Pela tabela, o valor P teria que ser aproximado pela normal como P=Prob(Z>0,36)=0,5-0,1406= 0,3594.

Exercício 18

Os dados parecem normais. Teste T para Uma Amostra: EggBeater Teste de μ = 6 vs < 6 Limite superior Variável N Média DesvPad EP Média de 98% T P EggBeater 18 6,073 0,935 0,220 6,564 0,33 0,628

Pela tabela podemos dizer apenas que P>0,15.

Exercício 19

As diferenças parecem normais. Esse é um teste pareado, mas já são dadas as diferenças. Teste T para Uma Amostra: Sal Teste de μ = 0 vs > 0 Unilateral è Esquerda Variável N Média DesvPad EP Média de 95% T P Sal 10 42,4 235,7 74,5 -94,2 0,57 0,292

Não se rejeita H0; não há evidências de que o cozimento com batatas reduza a quantidade de sal.

87654

2

1

0

-1

-2

Média 6,073DesvPad 0,9352N 18AD 0,295Valor-P 0,557

EggBeater

Esco

re

Gráfico de Probabilidade de EggBeaterNormal

Exercício 20 Teste Z para 1 Amostra: kW O desvio padrão assumido = 5,7 Variável N Média DesvPad EP Média IC de 98% kW 50 25,440 5,733 0,806 (23,565; 27,315)

Exercício 21 Teste e IC para Duas Variâncias Método Hipótese nula Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) = 1 Hipótese alternativa Variância(Primeiro) / Variância(Segundo) < 1 Nível de significância α = 0,05 O método F foi usado. Esse método é preciso apenas para dados normais. Estatísticas Limite superior de 95% para Amostra N DesvPad Variância Variâncias Primeiro 61 3,500 12,250 17,019 Segundo 61 5,100 26,010 36,135 Razão de desvios padrão = 0,686 Razão de variâncias = 0,471 Intervalos de 95% de Confiança Unilaterais Limite Limite superior superior para Razão para Razão de de Método DesvsPad Variâncias F 0,850 0,723 Testes Estatística Método GL1 GL2 de teste Valor-p F 60 60 0,47 0,002

Exercício 22 Teste e IC para Uma Proporção Teste de p = 0,64 versus p ≠ 0,64 Amostra X N Amostra p IC de 95% Valor-Z Valor-p 1 231 328 0,704268 (0,654879; 0,753657) 2,42 0,015 Use a aproximação normal.

Exercício 23 Teste T para Uma Amostra: Cálcio Teste de μ = 2 versus ≠ 2 Variável N Média DesvPad EP Média IC de 99% T P Cálcio 21 2,0619 0,2622 0,0572 (1,8991; 2,2247) 1,08 0,292

1,08 está entre 1,063 e 1,323, que correspondem às probabilidades de 0,15 e 0,10. Logo, 0,10 < P/2 < 0,15, e, portanto, 0,20 < P < 0,30. Minitab dá P = 0,292 Não se rejeita H0.

Exercício 25 Teste Qui-Quadrado de Qualidade de Ajuste para Contagens Observadas na Variável: Estadia Contribuição Contagens Teste de para Categoria Observado Históricas Proporção Esperado Qui-Quadrado 1-2 noites 125 0,47 0,47 131,6 0,331003 3-6 noites 115 0,38 0,38 106,4 0,695113 7 ou + noites 40 0,15 0,15 42,0 0,095238 N GL Qui-Quadrado Valor-p 280 2 1,12135 0,571

Valor esperado para 1-2 noites é 0,47 x (125+115+40) = 131,6