TRIGONOMETRIA

� Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,

navegación e ingeniería.

� Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de dos enfoques, éstos son:

– El círculo– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo

hipotenusaγγγγ

Triángulo rectángulo αααα ββββ

catetos

Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los triángulos rectángulos.

�Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.

�La suma de los tres ángulos es 1800γγγγ �La suma de los tres ángulos es 180

�La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

�Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2

γγγγ

� Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;

γγγγ “gamma”; αααα“alpha” ; ββββ “betha”

� Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

� Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

� Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicas Relaciones recíprocas

opuestoladoseno =γ opuestolado

hipotenusa

senecante ==

γγ 1

cos

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusaseno

=

=

=

γ

γ

γ

tangente

coseno

opuestoladosenγ

adyacentelado

hipotenusa

enoante ==

γγ

cos

1sec

opuestolado

adyacenteladoangente ==

γγ

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

� Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo γγγγ

γγγγ

Lado adyacente

a “gamma”

Lado opuesto a “gamma

”

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

=

=

=

γ

γ

γ

tangente

coseno

EJEMPLO 1

4==

opuestoladoγ

5

2591634 22

22

==+=+=

+=

c

c

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

γγγγ

4

3

51 ==γ

3

4 tangente

5

3 coseno

5

4

= =

= =

==

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

γ

γ

γ4

51cos ==

γγ

senecante

3

5

cos

1sec ==

γγ

enoante

4

3

tan

1cot ==

γγangente

Continuación EJEMPLO 1

33.13

4 tangente6.0

5

3 coseno8.0

5

4= = == == γγγseno

γγγγ

25.14

5cos ==γecante 67.1

3

5sec ==γante 75.0

4

3cot ==γangente

Podemos utilizar cualquiera de γγγγ

4

3Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo γγγγVeamos el siguiente ejemplo

γγγγ

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno γγγγ es 0.8 , si necesito hallar la medida de

Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información

que te provea el ejercicio. 8.05

4==γseno

La razón seno γγγγ es 0.8 , si necesito hallar la medida de

γ y conozco el valor de seno γ , la función inversade seno me permite encontrar el valor de γγγγ de la siguiente forma:

)8.0(,8.0 1−== senoentoncessenoSi γγ

)8.0(

,8.0

1−=

=

seno

entonces

senoSi

γ

γ

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Presenta la respuesta en :

Grados___

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

0.8 SEN-1 =

ENTRADA EN LA CALCULADORA

0.8 SEN-1 =

Pantalla

Grado53.13

4

3ββββ

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββββββ2. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la

relación coseno.

3. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación tangente.

Respuestas -PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββ

75.04

3 tangente

8.05

4 coseno

6.05

3

= =

==

==

β

β

βseno67.1

3

5cos ==βecante

25.14

5sec ==βante

33.13

4cot ==βangente

2. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación 2. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.

87.36

)8.0(1

cos8.05

4 coseno

grados

eno =−==β

3. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.

087.36

)75.0(1

tan;75.04

3 tangente

grados

γβ =−= =

Compara las relaciones trigonométricas

seno y coseno de γγγγ y ββββ

4

6.05

3==βseno

ββββ = 36.870γγγγ=53.130

3

8.05

4==γseno

8.05

4 coseno ==β6.0

5

3 coseno == γ

La suma de γγγγ y ββββ es 900

Por tanto γγγγ y ββββ son ángulos complementarios.

SeanSeanSeanSean γγγγ y ββββ dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes

relaciones:

βγβγ

seccsc

cos

== sen

γβγβ

seccsc

cos

== sen

βγβγ

cottan

seccsc

==

γβγβ

cottan

seccsc

==

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 2

1. Halla el valor de ββββ , en grados.

2

2

3 γγγγββββ

1. Halla el valor de ββββ , en grados.

2. Halla el valor de γγγγ, en grados.

Respuestas -PRACTICA 2

1. Halla el valor de ββββ , en grados.

11.49

)1547.1(1

tan1547.13

2 tangente

grados

gente =−==β

2. Halla el valor de γγγγ, en grados.En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,

Por lo tanto γ= 90 -βγ= 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.40

)866(.1

tan866.02

3 tangente

grados

gente =−==β

Observación

Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la

medida de sus ángulos.

Ejemplo 2

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.

4012 es la medida del lado opuesto a 40 grados

12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

12

668.186428.

12

126428.

1240

==

=

=

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.

12

126428.

1250cos

==

=

=

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

a

30

25b

a

Respuestas-PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

25

5.12)25)(5.0(

2525.0

2530

==

=

=

b

bparadespejamos

b

bseno

65.21)25)(87.0(

2587.0

2530cos

==

=

=

b

bparadespejamos

a

aeno

3 m

APLICACION

Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo θθθθ tal como se ilustra .

4 mθθθθescalera

3 m

4 mθθθθescalera

Obtén los ángulos a y ß

Para medir la anchura de un río se han medido losángulos de la figura desde dos puntos de una orilla

distantes 160 m. ¿Qué anchura tiene el río?