Professor Dejahyr Lopes Junior Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b 2 - 4ac) na...

professor Dejahyr Lopes Junior

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos

deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários

matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro

conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Esquematicamente, temos: R C


► Números ComplexosNúmeros Complexos► Chama-se conjunto dos números complexos, Chama-se conjunto dos números complexos,

e representa-se por e representa-se por CC, o conjunto de pares , o conjunto de pares ordenados, ou seja:ordenados, ou seja:

► z = (x,y)z = (x,y)onde x pertence a onde x pertence a RR e y pertence a e y pertence a RR..

► z= x + y.i (z= x + y.i (forma algébricaforma algébrica) , ) , em que i em que i = √-1= √-1

► e z = (x,y) e z = (x,y) AfixoAfixo


► Exemplos:Exemplos: A A (5,3) = 5+3i(5,3) = 5+3i(2,1) = 2+i(2,1) = 2+i(-1,3) = -1+3i ...(-1,3) = -1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo Dessa forma, todo o números complexo z = z = (x,y)(x,y) pode ser escrito na forma pode ser escrito na forma z = x + y.iz = x + y.i, , conhecido como forma algébrica, onde conhecido como forma algébrica, onde temos: temos:

► x = Re(z)x = Re(z), parte real de z, parte real de zy.i = Im(z)y.i = Im(z), parte imaginária de z, parte imaginária de z

x

y

5

3 A


►Igualdade entre números Igualdade entre números complexoscomplexos

Dois números complexos são iguais Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se za parte imaginária. Assim, se z11 = a+bi = a+bi e ze z22 = c+di, temos que: = c+di, temos que:

►zz11 = z = z22 ↔↔ a = c e b = da = c e b = d


►Adição de números complexosAdição de números complexos

Para somarmos dois números Para somarmos dois números complexos basta somarmos, complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se imaginárias desses números. Assim, se zz11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos que:i, temos que:

►zz11 + z + z22 = ( = (a+ca+c) + () + (b+db+d)i)i


►Subtração de números complexosSubtração de números complexos

Para subtrairmos dois números Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se imaginárias desses números. Assim, se zz11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos que:i, temos que:

►zz11 – z – z22 = ( = (a-ca-c) + () + (b-db-d)i)i


Multiplicação de números complexosMultiplicação de números complexos

► Para multiplicarmos dois números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência binômios, observando os valores das potência de de ii. Assim, se z. Assim, se z11 = a+bi e z = a+bi e z22= c+di, temos = c+di, temos que:que:

► zz11 .z .z2 2 = a.c + adi + bci + bdi= a.c + adi + bci + bdi22

zz11 .z .z22 = a.c + bdi = a.c + bdi22 = adi + bci = adi + bcizz11 .z .z2 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i= (ac - bd) + (ad + bc)iObservar que : iObservar que : i22= -1= -1


z1= 2 w1 = i.z1 = 2i z2 = 5 w2 = i.z2 = 5iz3 = 6 + 2i w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i

2

5

12

-4

3

4

624.3

2.

hbA


►Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexoDado z = a + bi, define-se como conjugado Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) de z (representa-se por z ) → → z = a - biz = a - bi

Exemplo:Exemplo:z= 3 - 5i z= 3 - 5i →→ z = 3 + 5i z = 3 + 5iz = 7i z = 7i →→ z = - 7iz = - 7iz = 3 z = 3 →→ z = 3 z = 3


► Divisão de números complexosDivisão de números complexosPara dividirmos dois números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador pelo conjugado do denominador. denominador.

► Assim, se zAssim, se z11= a + bi e z= a + bi e z22= c + di, temos que:= c + di, temos que:zz11 / z / z22 = [z = [z11 .z .z22 ] / [z ] / [z22 .z .z22 ] = ] =

[ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ][ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]


4184147

2121.

2147

ii

ii

iiz

iiz 2351015

Gabarito: B

04.


22

2

4242

22.

22

22

iiii

ii

ii

ii

Se a parte imaginária é zero, então - 4=0 = 4

05. FUVEST

ii44

422

4)4()22(

222


► Potências de iPotências de i

Se, por definição, temos que i = Se, por definição, temos que i = √-1√-1, então:, então:

ii00 = 1 = 1ii11 = i = iii22 = -1 = -1ii33 = i = i22 .i = -1.i = -i .i = -1.i = -iii44 = i = i22 .i .i22 = -1.-1=1 = -1.-1=1ii55 = i = i44 .1= 1.i = i .1= 1.i = iii66 = i = i55 .i = i.i = i .i = i.i = i22 = -1 = -1ii77 = i = i66 .i = (-1).i = -i ...... .i = (-1).i = -i ......

Soma = 0


►Observamos que no desenvolvimento Observamos que no desenvolvimento de ide inn ( (nn pertencente a pertencente a NN, de modo que , de modo que

os valores se repetem de os valores se repetem de 44 em em 44 unidades. Desta forma, para unidades. Desta forma, para

calcularmos icalcularmos inn basta calcularmos basta calcularmos iirr onde onde rr é o resto da divisão de é o resto da divisão de nn por por 44..

Exemplo:Exemplo:ii6363 → → 63 / 4 dá resto 3, logo i63 / 4 dá resto 3, logo i6363 = i = i33= -i= -i


02. Obtenha02. Obtenha

a) ia) i20072007 + i + i20092009 + i + i1006 1006 + i+ i1008 1008 == ii3 3 + i+ i11+ i+ i2 2 + i+ i00 = = - i + i – 1 + 1 = - i + i – 1 + 1 = 00b)b)

18

5

6518765 1)1(...n

n iiiiiiiii

12 parcelas têm soma zero


► Módulo de um número complexoMódulo de um número complexoDado z = a+bi, chama-se módulo de z Dado z = a+bi, chama-se módulo de z | z || z | = = √(a√(a22 + b + b22 ), conhecido como ), conhecido como ρρ

Interpretação geométricaInterpretação geométricaComo dissemos anteriormente, a interpretação Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneiraseguinte maneira


Forma GeométricaForma Geométrica


Da interpretação geométrica, Da interpretação geométrica, temos que:temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

z = z = ρρ.(cos .(cos өө + i. sen + i. sen өө))


Possibilidades de se trabalhar com Possibilidades de se trabalhar com números complexos:números complexos:

Formaalgébrica

Afixo

Formageométrica

Formatrigonométrica


Operações na forma trigonométricaOperações na forma trigonométricaa) Multiplicação

b) Divisão


Potenciação

Radiciação

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