Quantas vezes, ao calcularmos o valor de ΔΔ (b(b2 2 - 4ac)- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos

com um valor negativo ((ΔΔ < 0) < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números ComplexosNúmeros Complexos

Esquematicamente, temos: RR CC

Números ComplexosNúmeros ComplexosChama-se conjunto dos números complexos, e Chama-se conjunto dos números complexos, e

representa-se por representa-se por CC, o conjunto de pares , o conjunto de pares ordenados, ou seja:ordenados, ou seja:

► z = (x, y), z = (x, y), onde x pertence a onde x pertence a RR e y pertence a e y pertence a RR..

► z= x + y.i (z= x + y.i (forma algébricaforma algébrica) , ) , em que i = √-em que i = √-11

► z = (x, y) z = (x, y) AfixoAfixo

Exemplos:Exemplos:A (5, 3) = 5 + 3iA (5, 3) = 5 + 3iB(2, 1) = 2 + iB(2, 1) = 2 + iC(-1, 3) = -1 + 3i ...C(-1, 3) = -1 + 3i ...

Dessa forma, todo número complexo Dessa forma, todo número complexo z = (x,y)z = (x,y) pode pode ser escrito na forma ser escrito na forma z = x + z = x + yy.i.i, conhecido como , conhecido como forma algébricaforma algébrica, onde temos: , onde temos:

►x = Re(z)x = Re(z), , parte real de z (termo independente)parte real de z (termo independente)

►y = Im(z)y = Im(z), , parte imaginária de z (coeficiente do parte imaginária de z (coeficiente do i)i)

x

y

55

33 AA

Igualdade entre números Igualdade entre números complexoscomplexos

Dois números complexos são iguais se, Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se parte imaginária. Assim, se zz11 = = aa ++ bbii e e zz22 = = cc ++ ddii, temos que:, temos que:

►zz11 = z = z22 ↔↔ a = ca = c e e b = db = d

Adição de números complexosAdição de números complexos

Para somarmos dois números complexos basta Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se imaginárias desses números. Assim, se zz11 = = aa + + bbii e e zz22 = = cc + + ddii, temos que:, temos que:

►zz11 + z + z22 = ( = (a + ca + c) + () + (b + db + d)i)i

Subtração de números complexosSubtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. partes reais e imaginárias desses números. Assim, se Assim, se zz11 = = aa + + bbii e e zz22 = = cc + + ddii, temos , temos que:que:

►zz11 – z – z22 = ( = (a - ca - c) + () + (b - db - d)i)i

Multiplicação de números complexosMultiplicação de números complexos

Para multiplicarmos dois números complexos basta Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência de os valores das potência de ii. Assim, se . Assim, se zz11 = a + bi = a + bi e e zz2 2 = = c + dic + di, temos que:, temos que:

►zz11 .z .z2 2 = (a + bi).(c + di )= (a + bi).(c + di )

►zz11 .z .z2 2 = a.c + adi + bci + bdi= a.c + adi + bci + bdi22

►zz11 .z .z22 = a.c + bdi = a.c + bdi22 = adi + bci = adi + bci

►zz11 .z .z2 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i= (ac - bd) + (ad + bc)i

Observar que : iObservar que : i22= -1= -1

A) z1= 2 ww11 = i.z = i.z11 = 2i

B) z2 = 5 ww2 2 = i.z= i.z22 = 5i

C) z3 = 6 + 2i ww33 = 2i.z = 2i.z33 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i

3

4

62

4.3

2

.

hbA

Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação sobre o plano cartesiano são os afixos do números complexos w1, w2 e w3 abaixo?

2

5

12

-4

Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexo

Dado Dado z = a + biz = a + bi, define-se como conjugado , define-se como conjugado de z (representa-se por z ) de z (representa-se por z ) → → z = a - biz = a - bi

Exemplo:Exemplo:z= 3 - 5iz= 3 - 5i →→ z = 3 + 5iz = 3 + 5iz = 7iz = 7i →→ z = - 7iz = - 7iz = 3z = 3 →→ z = 3z = 3

Divisão de números complexosDivisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. conjugado do denominador.

Assim, se Assim, se zz11= a + bi= a + bi e e zz22= c + di= c + di, temos que:, temos que:

►zz11 / z / z22 = = [z[z11 . . zz22] / [z] / [z22 . . zz22] = ] =

►[(a + bi).[(a + bi).(c - di)(c - di)] / [(c + di).] / [(c + di).(c - di)(c - di)]]

i

i

i

iz

21

21.

21

47

5

1015 iz

Exemplo: Calcule: (7+4i)/(1+2i).

iz 23

41

84147

ii

z

2

2

41

84147

i

iiiz

i

i

i

i

i

i

2

2.

2

2

2

2

Se a parte imaginária é zero,

então: - 4 = 0 = 4= 4

Se a parte imaginária é zero,

então: - 4 = 0 = 4= 4

Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de , para que a parte imaginária de (2 + i)/( + 2i) seja nula.

4

)4()22(2

i

22

2

4

242

i

iii

4

2422

ii

i4

4

4

2222

Potências de iPotências de i

Se, por definição, temos que Se, por definição, temos que i = √-1i = √-1, então:, então:

ii00 = = 11

ii11 = = ii

ii22 = = -1-1

ii33 = i = i22 .i = (-1).i = .i = (-1).i = -i-i

ii44 = i = i22 .i .i22 = (-1).(-1)= = (-1).(-1)=11

ii55 = i = i44 .1= 1.i = .1= 1.i = ii

ii66 = i = i55 .i = i.i = i .i = i.i = i22 = = -1-1

ii77 = i = i66 .i = (-1).i = .i = (-1).i = -i-i ...... ......

Soma = 0

Potências de iPotências de i

Observamos que no desenvolvimento de Observamos que no desenvolvimento de iinn nn pertencente a pertencente a NN, , os valores se os valores se repetem de 4 em 4 unidadesrepetem de 4 em 4 unidades. Desta . Desta forma, para calcularmos iforma, para calcularmos inn basta basta calcularmos calcularmos iirr onde onde rr é o resto da é o resto da divisão de divisão de nn por por 44..

Exemplo:Exemplo: Calcule i Calcule i6363 63 : 4 dá resto 3, 63 : 4 dá resto 3,

Logo: Logo: ii6363 = i = i3 3 = -i= -i

Exemplo:Exemplo: Obtenha o valor de: Obtenha o valor de:a) ia) i20072007 + i + i20092009 + i + i1006 1006 + i+ i1008 1008 ==

ii3 3 + i+ i11+ i+ i2 2 + i+ i00 = =

- i + i – 1 + 1 = - i + i – 1 + 1 = 00 1818

b) b) i inn n=5n=5

18

5

6518765 1)1(...n

n iiiiiiiii

12 parcelas têm soma zero

18

5

65 )1(n

n iiii

18

5

1n

n ii

Módulo de um número complexoMódulo de um número complexo

Dado Dado z = a + biz = a + bi, chama-se módulo de , chama-se módulo de z z a sentença:a sentença:►|z| = √|z| = √aa22 + b + b22 , conhecido como , conhecido como ρρ

Interpretação (forma) geométricaInterpretação (forma) geométricaComo dissemos anteriormente, a interpretação Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a + bi da seguinte maneira:complexo z = a + bi da seguinte maneira:

Forma GeométricaForma Geométrica

x (Real)

y (Im.)

a

b

|z|

Representação Representação do número do número complexo complexo

z = a + biz = a + bi

no plano no plano cartesiano (plano cartesiano (plano de Argand/Gauss)de Argand/Gauss)

P(a,b)

Perceba que: Perceba que:

|z| = √a2 + b2

Forma GeométricaForma Geométrica

a

b|z|Agora observe apenas o Agora observe apenas o

triângulo da figura triângulo da figura anterior, nele temos anterior, nele temos que:que:► é chamado é chamado argumento de z.argumento de z.

z

bsen

z

acos

Da interpretação geométrica, temos Da interpretação geométrica, temos que:que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

senzbz

bsen coscos za

z

b

biaz senzizz cos

Logo:

isenzz cos

Exemplo:Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2

= 12 - 5i. Calcule |z1|, |z2|, z1.z2, |z1. z2|, z1/z2 e |z1/z2|.

1325144||5169||) 21 zeza

iiizzb 3356)512)(43() 21

||||1356542253356||) 2122

21 zzxzzc

169

6316

25144

6316

512

512

512

43)

2

1 ii

i

ixi

i

z

zd

||

||

13

5

169

65

169

42252169

263216

2

1)2

12 z

z

z

ze

Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, o mesmo vale para o igual ao produto dos módulos, o mesmo vale para o quocientequociente

Exemplo:Exemplo: Considere o número complexo Considere o número complexo z = -3√3 + 3i e calcule: z = -3√3 + 3i e calcule:

a)a)Módulo de z:Módulo de z:

6927333 22z

b) O argumento principal de z:b) O argumento principal de z:

2

3

6

33cos

a

2

1

6

3

b

sen

6

5º150

:

ou

teremosformadessa

c) A forma trigonométrica:c) A forma trigonométrica:

z = z = ρρ.(cos.(cos + i. + i. sensen))z = 6.(cos150º + i.sen z = 6.(cos150º + i.sen 150º)150º)ouou

z = 6.(cos5z = 6.(cos5/6 + /6 + i.sen5i.sen5/6)/6)

Exemplo: Escreva na forma trigonométrica

Exemplo: Obtenha a forma algébrica de

.3 iz

quadrante. 2º seja,ou , º1506

5

6

5

6

5cos2

isenz

213 22z

2

1

2

3cos

z

bsen

z

a

6

:logo

2

1

6

52

3

6

5cos

sen

:temos ,6

5

6

5cos2

isenzemvaloresosdoSubstituin

iiz

32

1.

2

32

66cos2

seniz

Possibilidades de se trabalhar Possibilidades de se trabalhar com números complexos:com números complexos:

Forma

algébricaAfixo

Forma

geométrica

Forma

trigonométrica

MULTIPLICAÇÃO na forma MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométricatrigonométricaSejam dados dois números z e w tais que:

isenzz cos isenww cos

Vejamos o que acontece quando fazemos z . w:Vejamos o que acontece quando fazemos z . w:

isenwisenzwz coscos

isenisenwzwz coscos

senseniisenisenwzwz 2coscoscoscos

isensensensenwzwz coscoscoscos

isenwzwz cos

Conclusão:Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na forma trigonométrica:

O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS;

O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS.

MULTIPLICAÇÃO na forma MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométricatrigonométrica

Exemplo: Dados os números:

33cos3

66cos2 21

isenzeisenz

Observação:Observação:O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser generalizado por:

)...()...cos(........ 21212121 nnnn isenzzz

3636cos3.221

senizz

Calcule z1 . z2:

22cos621

isenzz

DIVISÃO na forma trigonométricaDIVISÃO na forma trigonométrica

Sendo dados dois números z e w tais que:

isenzz cos isenww cos

Na divisão de z por w, dizemos que:’Na divisão de z por w, dizemos que:’

O módulo da quociente é O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOSO QUOCIENTE DOS MÓDULOS;;

O argumento do quociente é O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS.ARGUMENTOS.

isenw

z

w

zcos

Exemplo: Sejam os números complexos:

Resolução:

º150º30º240º150º30º240cos2.1.6321 isenzzz

º150º150cos2

º30º30cos

º240º240cos6

3

2

1

isenz

isenz

isenz

Calcule: z1/z2 e z1.z2.z3:

º30º240º30º240cos1

6

2

1 isenz

z

.2

1 sen210º i cos210º6 z

z

º420º420cos12321 isenzzz

.º60º60cos12321 isenzzz

POTENCIAÇÃO na forma POTENCIAÇÃO na forma trigonométricatrigonométrica

Primeira fórmula de De MoivrePrimeira fórmula de De MoivreVamos primeiro lembrar que: POTENCIAÇÃO É UMA POTENCIAÇÃO É UMA MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo, Deste modo, sendo dado um número z:sendo dado um número z:

isenzz cos

Para calcularmos zPara calcularmos znn fazemos: fazemos:

zzzzzzz n

isenzisenzisenzz n coscoscos

isenzznn cos

nisennzznn cos

Conclusão:Conclusão: na potenciação de dois números z e w na forma trigonométrica:

O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO;

O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE PELO ARGUMENTO.

POTENCIAÇÃO na forma POTENCIAÇÃO na forma trigonométricatrigonométrica

Primeira fórmula de De MoivrePrimeira fórmula de De Moivre

º30.3º30.3cos233 isenz

Exemplo: Dado z = 2(cos30º + isen30º), obtenha a forma trigonométrica de z3:

43.44|| z

Exemplo: Calcule z5 onde z = 2 + 2i3.

Resolução:

.8)1.0(8)º90º90.(cos83 iiisenz

Resolução:

,,º60º60cos42

3

2

14322 Logoiseniiz

2

3

2

11024º605º605cos455 iisenz

iz 35125125

RADICIAÇÃO na forma RADICIAÇÃO na forma trigonométricatrigonométrica

Segunda fórmula de MoivreSegunda fórmula de MoivreVamos primeiro lembrar que: RADICIAÇÃO É A RADICIAÇÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo, Deste modo, sendo dado um número z:sendo dado um número z:

isenzz cos

No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que:No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que:

O módulo de cada uma das raízes é O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULOA RAIZ DO MÓDULO;;

O argumento de cada uma das raizes é O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO O QUOCIENTE DO ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO ÍNDICE DA RAIZ. ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.

RADICIAÇÃO na forma RADICIAÇÃO na forma trigonométricatrigonométrica

Segunda fórmula de MoivreSegunda fórmula de Moivre

1,,2,1,0

22cos

nkCom

n

kisen

n

kzwz n

kn

Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zo

n = z.

zwwz n

kkn

Se considerarmos: wwkk = |w = |wkk|(cos |(cos 00 + isen + isen 00))

Então de: wwkkn n = z= z

Teremos:

|w|wkk||nn[cos(n[cos(noo) + isen (n) + isen (n00)] = |z|(cos)] = |z|(cos + i + i sensen) ) Se os ângulos são dados em radianos, Zkkknezw

n

k ,0,20

n

kezw n

k

20

RADICIAÇÃO – explicando melhorRADICIAÇÃO – explicando melhor

in

ksen

n

kzwz n

kn 22

cos

Onde k = 0, 1, ...(n - 1) Z.

Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z 0, a saber, encontradas por meio expressão:

wwkk = |w = |wkk|(cos |(cos 00 + isen + isen 00))

Exemplo:Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8.

Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:808 22 z

08

0

18

8cos

z

bsen

z

a

00cos80 seniz e logo,

ik

senk

wk 3

20

3

20cos88 38

Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2

Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que:|z| = 8, n=3, = 0.

201200cos80 30 iisenwk

iiisenwk 312

3

2

12

3

2

3

2cos81 3

1

iiisenwk 312

3

2

12

3

4

3

4cos82 3

2

in

ksen

n

kzwz n

kn 22

cos

Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de Argand-Gauss.

0,22 00 ww

3,131 11 wiw

3,131 22 wiw

2

3

-1

-3

2

3

-1

-3

Observações:

1. Perceba que quando representamos no plano de Argand-Gauss as raízes n-ésimas de z, os afixos destas raízes representarão pontos da circunferência trigonométrica;

2. Perceba ainda que basta achar o argumento da 1ª raiz (para k = 0), as demais posicionam-se a 360/n graus uma da outra.3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( = 0) e o argumento das demais é 120º e 240º, pois 360º/3 = 120º;

4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss um polígono regular de n lados.

Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos01. Sejam os complexos z01. Sejam os complexos z1 1 = (2x + 1) + yi e z= (2x + 1) + yi e z2 2 = -y + 2i= -y + 2i

Determine x e y de modo que zDetermine x e y de modo que z11 + z + z22 = 0 = 0

Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 - y) + (y +2)i = 0

logo, é preciso que: 2x + 1 - y = 0 e y + 2 = 0

Resolvendo, temos que:

y = -2 e x = -3/2y = -2 e x = -3/2

02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja 02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja imaginário puro.imaginário puro.

Efetuando a multiplicação, temos que:

z = x + xi + 2i + 2i2

z = x + (x + 2)i – 2

z = (x - 2) + (x + 2)i

Para z ser imaginário puro é necessário que:

(x - 2) = 0

Logo: x = 2x = 2

03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)? 03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)?

Efetuando a divisão, temos que:

O conjugado de Z seria, então:

58

3

58

11 iz

i

iiz

37

37

317

2

22

2

97

37614

i

iiiz

949

31314

i

z

58

13

58

11 iz

04. Os módulos de z04. Os módulos de z11 = x + = x + 20 i e z20 i e z2 2 = (x - 2) + 6i = (x - 2) + 6i

são iguais, qual o valor de x? são iguais, qual o valor de x?

Então, |z1| = x2 + 20 e |z2|= (x - 2)2 + 36

Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = - 4x + 40 4x = 20

Logo: x = 5x = 5

05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z 05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1 + i)/i.= (1 + i)/i.

Efetuando-se a divisão, temos:

Para a forma trigonométrica, temos que:

Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que: = 315º = 315ºLogo que a forma trigonométrica é dada por:

ii

ii

i

i

i

iz

11

2

2

21111 22 z2

2

2

2

2

1

z

bsen

2

2

2

2

2

1cos

z

a

º315º315cos2 isenz