1.1. Al aumentar la temperatura el valor del promedio de la componente x de la velocidad de las moléculas de un gas:a) aumenta.b) disminuye.c) no cambia.d) depende si es a V o a P constante

Para un gas en reposo y con todas las direcciones equivalentes el valor promedio de cualquier componente de la velocidad es siempre cero.

Respuesta: c

1.2. Si ε es la energía promedio traslacional de una molécula a una temperatura T, entonces:a) ε(N2) > ε(O2) > ε(CO2)b) ε(CO2) > ε(O2) > ε(N2)c) ε(N2) = ε(O2) < ε(CO2)d) ε(N2) = ε(O2) = ε(CO2)

La energía traslacional promedio de una molécula es 3/2(k·T). Por lo tanto a igual temperatura es igual para todo gas

Respuesta: d

1.3 En un depósito situado en una cámara de vacío hay una mezcla equimolecular de N2 y O2 a una presión total de 1 atm. Se abre un pequeñísimo orificio de tal forma que el gas empieza a escapar. Al cabo de un tiempo:a) la fracción molar del N2 habrá disminuido y la del O2 aumentado.b) la fracción molar del O2 habrá disminuido y la del N2 aumentado.c) la fracción molar del O2 habrá disminuido y la del N2 disminuido. d) la fracción molar del O2 y del N2 no habrán variado.

Como la masa de las moléculas de nitrógeno es menor que las de oxígeno, el primero escapa más rápidamente

Respuesta: a

La variación en el número de moléculas en un recipiente por efusión es:

( ) 2/1or

PormkT2

PAZA

dt

dN

π−=−=

1.4. Se sabe que en la atmósfera marciana: la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con otras moléculas de N2 es de 1.54 106 s-1; la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con moléculas de CO2 es de 5.65 107 s-1; el número de colisiones por segundo y cm3 entre moléculas de N2 es de 4.78 1021 cm-3s-1; el número de colisiones por segundo y cm3 entre moléculas de N2 y de CO2 es de 3.51 1023 cm-3s-1;¿Cuánto vale el tiempo medio entre colisiones una molécula de N2?

a) 2.81 10-24 s b) 17.2 nsc) 1.77 10-8 sd) 649 ns

Pasando el resultado a nanosegundos son 17.2 ns

Respuesta: b

El tiempo entre colisiones es la inversa de la frecuencia de colisión. En este caso una molécula de nitrógeno colisiona con otras de nitrógeno y de dióxido de carbono:

s10·72.110·65.510·54.1

1zz

1 876

1211

−=+

=+

=τ

1.5. Se tiene un depósito de N2(M=28g/mol) a 220 K y se sabe que la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con otras moléculas de N2 es de 1.54 106 s-1 y que el número de colisiones por segundo y cm3

entre moléculas de N2 es de 4.78 1021 cm-3s-1. El recorrido libre medio para una molécula de N2 es:

a) 8,53 10-23 mb)1,32 10-4 mc) 8,53 10-20 md) 2,65 10-4 m

Respuesta: d

El recorrido libre medio es el cociente entre la velocidad media y la frecuencia de colisiones:

m10·65.210·54.19.407

10·54.1MRT8

z

v 466

2/1

−==

π

==λ

2.1)Calcular el valor de la energía cinética de traslación más probable en función de la temperatura para un gas de masa molecular Mr

( ) Tk2/1

2/3

B

BeTk

12G

ε−

ε

ππ=ε

0)(G

P

=

ε∂

ε∂

ε

( ) Tk

B

2/1

2/3

B

2/1Tk

2/3

B

BB eTk

1

Tk

12

2

1e

Tk

12

Gε

−−

ε−

ε

ππ−ε

ππ=

ε∂

ε∂

0eTk

1

Tk

12

2

1e

Tk

12 Tk

B

2/1

2/3

B

2/1Tk

2/3

B

BB =ε

ππ−ε

ππ

ε−

−

ε−

0Tk2

eTk

12

B

2/12/1Tk

2/3

B

B =

ε−

ε

ππ

−ε−

0e TkB =

ε−

∞=ε

0Tk2 B

2/12/1

=

ε−

ε−

2

TkBP =ε

2.2) ¿Cual será la proporción de moléculas del gas que tengan energía translacional,ε, entre el valor más probable y el valor medio <ε> a la temperatura de 54ºC?. Si lo necesitáis podéis utilizar el cambio de variable para resolver la integral.x = ε

G(ε)

ε

kT/2

εP <ε>

3kT/2 kT2

3

m

kT3m

2

1vm

2

1 2 ===ε

∫∫ ==≤≤ 2/3

2/

)()()( kT

PkT

PdGdp

N

Nεεε

εεε ε

ε

ε

∫−

=

≤≤ 2/3

2/

2/1

2/3

12

)( kT

B

kT

Tk

B

Pde

TkN

Nεε

ππ

εεε εε

ε=2x

ε= dxdx2

( )

( )

∫ ∫−−

=

=

≤≤ 2/32/12/3

2/1

2

2/ 2/

2/3

2/1

2/3

21

21

2)( kT kT

BB

kT kT

Tk

x

B

Tk

B

Pxdxxe

Tkde

TkN

N

ππεε

ππ

εεε εε

( )

( )

∫ ∫−−

=

=

≤≤ 2/32/12/3

2/1

2

2/ 2/

2/3

2/1

2/3

21

21

2)( kT kT

BB

kT kT

Tk

x

B

Tk

B

Pxdxxe

Tkde

TkN

N

ππεε

ππ

εεε εε

( )

( )

∫−

=

≤≤ 2/12/3

2/1

2

2/

2

2/3

14

)( kT

B

kT

Tk

x

B

Pdxex

TkN

N

ππ

εεεε

( )( )

−

=

≤≤

∫ ∫−−

2/12/3 2/12/22

0 0

22

2/3

14

)( kT kT

BB dxexdxexTkN

NTk

x

Tk

x

B

P

ππ

εεεε

+

−

−

−

=

≤≤

−

−

Tk

Tk

B

B

B

B

B

Tk

Tk

B

B

B

B

B

B

P

B

B

B

B

e

Tk

Tk

Tk

Tkerf

Tk

e

Tk

Tk

Tk

Tkerf

Tk

TkN

N

1

2

2/1

2/12/1

2/3

1

2

3

2/1

2/12/1

2/3

2/3

12

2

2

1

14

12

2

3

2

31

14

14

)(

π

π

ππ

εεεε

( )

( )

+

−

−

−

=

≤≤

−

−

2

1

2/3

2/12/1

2/3

2

3

2/3

2/12/1

2/3

2/3

8

1

2

1

14

8

3

2

3

14

14

)(

eTkerf

Tk

eTkerf

Tk

TkN

N

B

B

B

B

B

P

π

π

ππ

εεεε

−

−

+

−−

=

≤≤2

12/1

2

32/12

2

16

2

3)(eerfeerf

N

N P

ππ

εεεε

4096.0)(

=≤≤

N

N P εεεε

3. En un recipiente cúbico de 30 cm de lado se tiene a 300K y 1 atm de presión una mezcla equimolecular de nitrógeno (M=28g/mol; d=3.7 Å) y dióxido de carbono (M=44 g/mol; d=4.6Å).

3.1) Calcular el recorrido libre medio de las moléculas de CO2.

2221

2

2zz

v

+=λ

s/m95.379m

kT8v

2/1

2

2 =

π=

192

2/1

21221 s10032.4

V

NkT8dz −⋅=

πµπ=

192

2/1

2

2222 s10369.4

V

N

m

kT8d2z −⋅=

ππ=

Angstroms3.452m10523.4zz

v8

2122

2

2 =⋅=+

=λ −

3.2) En un momento dado se practica en el centro de una de las caras un orificio circular de 0.2 mm de radio mientras en el exterior se mantiene el vacío. Calcular la velocidad inicial de efusión de ambos gases como número de moléculas que se escapan por unidad de tiempo.

( ) 2/1

ororPor

mkT2

PAv

V

N

4

1AZA

dt

dN

π−=−=−=

( )120

2/1

1

12

Por1 s1083.1

kTm2

PrZA

dt

dN −⋅−=π

π−=−=

( )120

2/1

2

22

Por2 s1046.1

kTm2

PrZA

dt

dN −⋅−=π

π−=−=

3.3) Calcular el tiempo necesario que debe de transcurrir para que en el interior del recipiente quede una mezcla de gases en la proporción molar 40:60.

2i

ii rvVN

41

dtdN

π−=

∫∫

π

π−=

t

0

2/1

i

2N

N i

i dtM

RT8

V

r

4

1

N

dNi

i,0

Tendremos una ecuación para cada gas:

π

π−= t

M

RT8

V

r

4

1·expNN

2/1

1

2

1,01

π

π−= t

M

RT8

V

r

4

1·expNN

2/1

2

2

2,02

dtMRT8

Vr

41

NdN

2/1

i

2

i

i

π

π−=

t=1463 s

Si tomamos el cociente entre ambas expresiones y teniendo en cuenta que inicialmente teníamos una mezcla equimolar:

−

π

π−= t

M1

M1RT8

Vr

41

·expN

N

NN

2/1

2

2/1

1

2/12

2,0

1,0

2

1

1

Y de esta ecuación podemos despejar el tiempo t necesario para que la mezcla quede 40:60

−

π

π−= t

M1

M1RT8

Vr

41

exp6040

2/1

2

2/1

1

2/12

tM1

M1RT8

Vr

41

6040

ln2/1

2

2/1

1

2/12

−

π

π−=

4.1.- La viscosidad del N2 gas se determina comparando la velocidad con que fluye a través de un tubo largo y estrecho con la del argón. Para la misma presión inicial y final, circulo a través de un mismo tubo, en 94.3 s la misma cantidad (medida en gramos) de N2 que de argón en 82 s. La

viscosidad del argón a 25°C es 225 µP. Calcular:a) La viscosidad del N2 a 25°C en unidades del S. I.b) El diámetro molecular del N2 (Mr =28) en metros.

La ecuación de Poiseuille integrada para gases es:

if

2i

2f

4

zz

PP

RT16

Mr

t

m

−

−

η

π−=

∆

∆

Teniendo en cuenta que se trata de un mismo tubo e igualdad de presiones, para el argón y el nitrógeno, podremos escribir

if

2i

2f

Ar

Ar4

Ar

Ar

zz

PP

RT16Mr

tm

−

−

η

π−=

∆

∆

if

2i

2f

N

N4

N

N

zz

PP

RT16

Mr

t

m

2

2

2

2

−

−

η

π−=

∆

∆

Sabiendo que la cantidad que circula (en masa) es la misma, dividiendo ambas expresiones:

Ar

N

N

Ar

N

Ar

M

M

tt

2

22η

η=

∆

∆

Quedando:

Ar

N

Ar

NArN t

t

M

M22

2 ∆

∆η=η

823.94

4028

225= P1.181 µ= s·Pa10·811.1 5−=

De acuerdo con la teoría cinética de gases:

( )2

A

2/12/1

A2 dN

MRT16

5MRT8

PNRT

d21

RTPM

325

π=

ππ

π=η

Sustituyendo:

s·Pa10·811.1 5N2

−=η

13N mol·Kg10·28M

2

−−=

K15.298T =

11 K·mol·J3145.8R −−=

123A mol10·022.6N −=

Å67.3m10·67.3d 10 == −

4.2.- a) Calcular la conductividad térmica del N2 a 298.15 K y 15 mbar de presión.b) Si el N2 está encerrado en un cubo de 10 cm de lado, encontrándose una de les caras a 305 K

y la cara opuesta a 295 K, ¿cuál será el flujo de energía en forma de calor entre les dos caras al alcanzar el estado estacionario?

De acuerdo con la teoría cinética de gases:

m,v2A

2/1

CdN

1M

RT3225

π

=κ

13N mol·Kg10·28M

2

−−=

K15.298T =

11 K·mol·J3145.8R −−=

123A mol10·022.6N −=

m10·67.3d 10−=

Necesitamos la capacidad calorífica molar a volumen cte. De acuerdo con el principio de equipartición, para una molécula diatótica, suponiendo que la vibración está no activada a 298.15 K, podremos escribir:

R25

R22

R23

CCC rot,m,vtras,m,vm,v =+=+=

Sustituyendo todos los valores nos queda:

1112 s·m·K·J10·36.3 −−−−=κ

b) Si el N2 está encerrado en un cubo de 10 cm de lado, encontrándose una de les caras a 305 K y la cara opuesta a 295 K, ¿cuál será el flujo de energía en forma de calor entre les dos caras al alcanzar el estado estacionario?

0.1m

305K 295K dzdT

dtdQ

A1

κ−= Ley de Fourier

dzdT

AdtdQ

κ−=

1112 s·m·K·J10·36.3 −−−−=κ

22 m10A −=

12 m·K101.0305295

dzdT −−=

−=

1222 s·J36.3)10·(10·10·36.3dtdQ −−− =−−=

5. La interacción entre las moléculas de una determinada sustancia puede describirse aproximadamente mediante un potencial de Lennard-Jones en el cualB = 1.622 × 10-110 J ×mol-1×m12 y C = 8.824 × 10-54 J ×mol-1×m6

5.1. Calcula el diámetro molecular σ.

612LJ rC

rB

)r(V −= Potencial de Lennard-Jones

-1

2,5

VLJ

r

1/r12

-1/r6

σσσσr0

-εεεε0

B/r12

-C/r6

5.1. σ es el valor de la distancia para el que el potencial LJ se anula.

0CB

)r(V 612LJ =σ

−σ

=σ=

Despejando:6/1

CB

=σ m10·5.3 10−=

5.2. ¿Cuál es la fuerza que sienten un par de moléculas cuando se encuentran a la distancia de contacto? ¿A qué distancia se anula la fuerza?

intVF ∇−=rr

713LJ

rC6

rB12

dr)r(dV

F −=−=

La fuerza a la distancia de contacto será:

713

C6B12)r(F

σ−

σ=σ=

710

54

1310

110

)10·5.3(10·824.8·6

)10·5.3(10·622.1·12

)r(F−

−

−

−

−=σ=

N10·37.1mol·N10·27.8)r(F 10113 −− ==σ=

La distancia a la que la fuerza se anula es r0, la posición del mínimo

( ) 0rC6

rB12

rrF 70

130

0 =−==

m10·93.3·2CB2

r 106/16/1

0−=σ=

=

5.3. Dibuja de forma aproximada la forma que tendría la función de distribución radial de esta sustancia en estado gaseoso diluido pero real a 298K. ¿A qué distancia y qué altura presentarían los picos de dicha función en caso de haberlos?

Gas real diluido

σ 2σ 3σ

g(r)

r

1

0

2

σ 2σ 3σ

g(r)

r

1

0

2

σ 2σ 3σ

V(r)

r

0

kT/)r(Vinte)r(g −=

El máximo de g(r) aparece en el mínimo de VLJ, es decir en r0

En ese punto V vale:

16

012

00LJ mol·J1200

r

C

r

B)r(V −−=−=

Y g(r) será:

62.1K298·K·mol·J3145.8

mol·J1200exp

RT)r(V

exp)r(g 11

10LJ

0 =

−=

−=

−−

−