Practica 1 de Fısica Contemporanea:

Constante de Stefan-Boltzmann

Jose Antonio Camargo Caballero 406056825

17 de septiembre de 2010

Resumen

En esta practica hemos obtenido un valor experimental para la constante de Stefan-Boltzmann de σexp ' 6.45802 ± 1.71 × 10−8Wm−2K−4 que varıa un 13.9% del valoresperado. Para ello, se calculo la potencia electrica en un hilo de cobre preparadopara actuar como un cuerpo negro, conociendo su temperatura de fusion y su areapudimos, utilizando σ = P/AT 4 = V I/AT 4 encontrar dicho valor. Nos basamos en elcalentamiento de Joule que eleva la temperatura del alambre hasta su temperatura defusion Tf ' 1358K debido a la corriente que atraviesa el alambre y en suponer al hilocomo un cuerpo negro con emisividad 1.

1 Introduccion

1.1 Radiacion

Todos los objetos emiten y absorben radiaciones electromagneticas. Cuando un objeto se encuentra enequilibrio termico con sus alrededores, absorbe y emite calor en cantidades iguales. La tasa a la cual radiaun objeto energıa es proporcional al area del objeto y a la cuarta potencia de su temperaura absoluta. Esteresultado fue encontrado empıricamente por Josef Stefan en 1879 y derivado teoricamente por LudwingBoltzmann cerca de cinco anos mas tarde, se le conoce como la ley de Stefan-Boltzmann

Pr = eσAT 4

donde Pr es la potencia radiada, A es el area del objeto radiante, σ es la constante universal de Stefan-Boltzmann σ = 5.6703 × 10−8Wm−2K−4, e es la emisividad del objeto, una cantidad entre 0 y 1 quedepende de la composicion de la superficie del objeto.

Un objeto que absorbe toda la radiacion incidente tiene una emisividad de 1, y se llama cuerpo negro.Un cuerpo negro es tambien un radiador ideal. El concepto de cuerpo negro es importante porque lascaracterısticas de la radiacion emitida por un objeto ası pueden calcularse teoricamente.

1.2 Potencia electrica

Cuando existe un campo electrico en un conductor, los electrones ganan energıa cinetica debida al trabajorealizado por el campo sobre los electrones libres. Sin embargo, la estabilidad del sistema se alcanza cuandola energıa cinetica ganada se disipa continuamente en energıa termica del conductor por colisiones entrelos electrones y la red de iones del conductor. Este mecanismo de aumento en la energıa termica delconductor se llama calentamiento de Joule.

Consideremos un segmento de alambre de longitud L y area transversal A. El alambre conduce unacorriente contınua hacia la derecha. Consideremos la carga libre Q inicialmente en el segmento. Duranteun tiempo ∆t, esta carga libre experimenta un pequeno desplazamiento a la derecha. Este desplazamientoes equivalente a una cantidad de carga ∆Q que se mueve del extremo izquierdo donde tiene una energıa

1

2 PROCEDIMIENTO 2

Figura 1: Durante un tiempo ∆t una cantidad de carga ∆Q pasa por el punto a, dodne el potencial es Va. Durante el

mismo tiempo, una cantidad igual de carga deja el segmento, pasando por el punto b, donde el potencial es Vb. El efecto

neto durante el tiempo t es que la carga Q que se encontraba inicialmente en el segmento perdio ∆QVa energıa potencial y

gano ∆QVb. Esta cantidad es una perdida total de energıa potencial, pues Va > Vb.

potencial ∆QVa, al extremo derecho, donde tendra una energıa potencial ∆QVb. El cambio neto en laenergıa potencial de Q es entonces

∆U = ∆Q(Vb − Va)

puesto que Va > Vb, esto representa una perdida neta en la energıa potencial de Q. Ası, la energıapotencial perdida es

−∆U = ∆QV

donde V = Va − Vb es el potencial en el segmento. La razon de energıa potencial perdida es

−∆U

∆t=

∆Q

∆tV = IV

donde I = ∆Q/∆t es la corriente. La energıa potencial perdida por unidad de tiempo es la potencia Pdisipada en el segmento conductor

P = IV.

Si el potencial V se mide en volts y la corriente I en amperes, la potencia P tendra unidades de watts.

2 Procedimiento

2.1 Material

• Hilo de cobre esmaltado calibre 31 o 32 (diametro ∼ 0.2mm)

• Pesa de acero, cobre o plomo de forma conica con un orificio para atar el alambre

• Lampara de petroleo con agua

• Tubo de acero de l = 40cm, con rosca en ambos extremos y una salida de aire donde se conectarauna bomba de vacıo

• 2 Tapas con rosca para ambos extremos del tubo, una con una horquilla para poder atar el alambrecon la pesa

• Lijas para metal 400

• Bomba de vacıo

2 PROCEDIMIENTO 3

• 2 multımetros

• Variac

• Cables para las conexiones necesarias

• Tornillo micrometrico

• Camara digital

Figura 2: Material

2.2 Desarrollo experimental

1. Preparacion del cuerpo negro

Se cortaron pedazos de 39 a 41 cm de longitud de hilo de cobre esmaltado. Se quito el esmalte deun trozo quemandolo con la flama de la lampara de petroleo. Utilizando el tornillo micrometrico semidio el diametro del hilo en tres partes y se obtuvo un diametro promedio.

Se procede a hollinar rapidamente para evitar que el alambre se oxide. El hollın se obtiene de lacombustion incompleta de un mechero de petroleo mezclado con agua para que produzca humonegro espeso que se adhiere al alambre cuando se pasa por encima de la flama.

Figura 3: Se quema el hilo de cobre para quitar el esmalte, cuidando que el tiempo dentro de la flama no alcance para

fundir el hilo. Despues se hollina el alambre pasandolo dentro de la columna de humo que se desprende de la lampara de

petroleo.

2 PROCEDIMIENTO 4

2. Preparacion del tubo

La tapa de arriba tiene un gancho o poste de donde se sujetara un extremo del alambre. En el otroextremo del alambre hollinado se coloco un conector de fierro especial que sirve de contacto electricoy contrapeso. La longitud del alambre debio ser suficiente para que la pesa metalica tocase la tapainferior asegurando el contacto electrico y tensara el alambre al mismo tiempo.

3. Evacuacion

Una vez colocado el alambre en el tubo, se coloca la tapa superior y se aprieta ligeramente. Se conectala manguera al tubo y se enciende la bomba de vacıo. El sistema debe evacuarse rapidamente puesel tamano es pequeno. Si el sistema tiene alguna fuga se podra escuchar el aire silbar en el interiordel tubo.

4. Se montaron los materiales como se muestra en el esquema de la Figura 4.

Bomba de vacío

V

A

Variac

Hilo de cobre con hollín

Punta de acero

Manguera

Figura 4: Montaje experimental

5. Conexion electrica

Ya que se ha comprobado que se puede evacuar el tubo se hacen las conexiones electricas que semuestran en el esquema anterior procurando que la longitud de los alambres no sea muy grande.

6. Obtencion de datos

Una vez montado el sistema se procede a tomar las lecturas de corriente y voltaje para cada alambreaumentando la intensidad de la corriente con el variac hasta un aumento en que se funde el alambreen el interior del tubo. Cuando esto ocurre, el paso de corriente se interrumpe y el medidor decorriente marcara cero y el de voltaje aumentara.

La lectura adecuada se toma observando el valor de ambos medidores en el momento antes de quese rompa el alambre. Para tal fin, se recomienda el uso de una camara de video (ver Figura 5).

7. El proceso se repite para cada uno de los 10 a 15 alambres y se realiza el analisis estadısticocorrespondiente.

3 RESULTADO Y ANALISIS 5

Figura 5: Ejemplo de una captura de video de donde se obtienen los datos

8. Con los datos obtenidos se calcula la constante de Stefan-Boltzmann utilizando la suposicion de queel alambre es un cuerpo negro con e = 1 y por tanto, la siguiente relacion:

σ =P

AT 4=

V I

AT 4

donde V I = P es la potencia o energıa por unidad de tiempo; A es el area del alambre y T es latemperatura de fusion del cobre medida en kelvins.

Arectángulo = b !h

Acilindro = p !h

= " !d !h

Figura 6: Calculo del area del alambre

3 Resultado y Analisis

Los datos medidos y los calculos directos se encuentran en la Tabla 7

3.1 Calculo de incertidumbres

Para calcular las incertidumbres utilice los siguientes lineamientos cuando Z = Z0±δZ,X = X0±δX, Y =Y0 ± δY :

3 RESULTADO Y ANALISIS 6

1. Para la suma Z = X + YZ0 = X0 + Y0

δZ = δX + δY

2. Para la resta Z = X − YZ0 = X0 − Y0δZ = δX + δY

3. Para el producto Z = X · YZ0 = X0Y0

δZ = X0δY + Y0δX

δrZ =δZ

Z0=δZ

Z0+δX

X0

4. Para la division Z = X ÷ YZ0 =

X0

Y0

δZ =X0δY + Y0δX

Y 20

δrZ =δY

Y0+δX

X0

5. Para las potencias Z = Xn

Z0 = Xn0

δZ = |n|Xn−10 δX

δrZ = |n|δXX0

Ası, segun nuestra relacion

σ =P

AT 4=

V I

AT 4

con V = V0 ± δV, I = I0 ± δI, A = A0 ± δA, T = T0 ± δT tenemos que

σ = σ0 ± δσ

=(V0 ± δV )(I0 ± δI)

π(D0 ± δD)(h0 ± δh)(T0 ± δT )4

sin embargo, como la temperatura T la hemos tomado de la literatura sin incertidumbre, T0 ± δT =Tf (Cu) = 1358K, con lo que

σ =1

πT 4

V0I0 ± (V0δI + I0δV )

D0h0 ± (δDh0 + δhD0)

=1

πT 4

(V0I0D0h0

± V0I0(δDh0 + δhD0) +D0h0(V0δI + I0δV )

(D0h0)2

)=

1

πT 4

(V0I0D0h0

± V0I0δDh0 + V0I0δhD0 +D0h0V0δI +D0h0I0δV

(D0h0)2

)Segun el manual del multımetro, este tiene una incertidumbre de ±0.5% para el voltaje y de ±2.0%

para el amperaje en los rangos de nuestras mediciones. Por lo que δI = (2.0 ·I0)/100 y δV = (0.5 ·V0)/100

4 CONCLUSIONES 7

Para el diametro del hilo de cobre, como utilizamos un tornillo micrometrico con una resolucion de1/100 mm, su incertidumbre sera δD = 0.005mm; la longitud del hilo se midio con una regla, por lo queδh = 0.5mm. Utilizando estos datos y realizando los calculos y conversiones correspondientes obtuvimosla Tabla 8. Sin embargo, observamos que los valores para la incertidumbre de σ es demasiado pequena (2ordenes de magnitud), por esta razon y dado que son medidas no reproducibles, utilizamos la desviacionabsoluta maxima que es la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturasobtenidas.

El valor promedio de σexp es

σexp = 6.45802× 10−8 W

m2K4

y la desviacion absoluta maxima es

d.a.s = 1.71× 10−8 W

m2K4

Con esto, podemos reportar

σexp ' 6.45802× 10−8 ± 1.71× 10−8 W

m2K4

4 Conclusiones

La constante de Stefan-Boltzman se puede obtener experimentalmente con un metodo indirecto como elutilizado en esta practica, donde la potencia electrica toma el lugar de la potencia radiada y utilizandoun pseudo cuerpo negro como el hilo con hollın.

Tras dos un dıa de fallidas mediciones, concluımos que la velocidad con que se debe aumentar lacorriente no debe ser demasiado alta, pues los multımetros no reaccionan adecuadamente a tiempo;tampoco debe ser demasiado lente, pues el alambre se calienta y pierde el hollın rapidamente.

Bibliografıa

[1] El manual de los multımetros encontrado en http://www2.steren.com.mx/doctosMX/MUL-050-instr.pdf

[2] Oda Berta, Introduccion al analisis grafico de datos experimentales, Las prensas de ciencias, 3a ed,Mexico, 2005.

[3] Tipler Paul & Mosca Gene, Physics for scientists and engineers, extended version, Freeman, 5a ed,EUA, 2004.

[4] Kuhn Thomas, Black-body theory and the quantum discontinuity, 1894-1912, Oxford University Press,EUA, 1978.

5 APENDICE DE TABLAS 8

5 Apendice de tablas

Amperaje [A] voltaje [V] Potencia [W] Longitud [mm]Diámetro

[1/100mm] Área (m^2)Sigma

experimental [W*m^-2*K^-4]

Variación porcentual

0.65 0.29 0.19 372 20 2.3373E-04 2.37132E-10 99.6

0.59 18.41 10.86 371 19 2.2145E-04 1.44221E-08 74.6

6.43 6.05 38.90 365 21 2.4080E-04 4.75013E-08 16.2

5.36 7.38 39.56 360 20 2.2619E-04 5.14209E-08 9.3

5.81 6.79 39.45 368 19 2.1966E-04 5.28075E-08 6.9

6.90 5.87 40.50 365 19 2.1787E-04 5.46628E-08 3.6

4.33 10.97 47.50 363 21 2.3948E-04 5.83203E-08 -2.9

6.03 7.76 46.79 368 20 2.3122E-04 5.95048E-08 -4.9

6.55 7.39 48.40 362 20 2.2745E-04 6.25746E-08 -10.4

6.47 7.71 49.88 365 20 2.2934E-04 6.39568E-08 -12.8

6.23 8.66 53.95 370 20 2.3248E-04 6.82378E-08 -20.3

7.16 7.56 54.13 372 19 2.2205E-04 7.16786E-08 -26.4

7.92 7.49 59.32 367 21 2.4212E-04 7.20398E-08 -27.0

6.45 9.42 60.76 368 21 2.4278E-04 7.35859E-08 -29.8

9.08 6.50 59.02 365 20 2.2934E-04 7.56706E-08 -33.4

7.30 8.83 64.46 368 21 2.4278E-04 7.80670E-08 -37.7

7.40 8.85 65.49 371 21 2.4476E-04 7.86743E-08 -38.7

6.14 11.30 69.38 372 21 2.4542E-04 8.31258E-08 -46.6

14.07 5.18 72.88 378 21 2.4938E-04 8.59338E-08 -51.5

8.99 8.27 74.35 370 21 2.4410E-04 8.95561E-08 -57.9

9.34 8.31 77.62 373 20 2.3436E-04 9.73778E-08 -71.7

10.87 7.40 80.44 365 21 2.4080E-04 9.82201E-08 -73.2

9.03 8.66 78.20 364 20 2.2871E-04 1.00537E-07 -77.3

12.26 7.17 87.90 368 21 2.4278E-04 1.06462E-07 -87.7

13.68 6.47 88.51 369 21 2.4344E-04 1.06904E-07 -88.5

12.95 7.12 92.20 363 19 2.1668E-04 1.25124E-07 -120.7

10.08 11.84 119.35 371 20 2.3311E-04 1.50543E-07 -165.5

13.22 8.45 111.71 363 19 2.1668E-04 1.51593E-07 -167.3

11.73 10.34 121.29 366 20 2.2996E-04 1.55081E-07 -173.5

11.66 11.72 136.66 375 21 2.4740E-04 1.62415E-07 -186.4

Figura 7: Datos medidos y calculos sin incertidumbres. Los datos que exceden el ±40% del valor esperado se descartaron.

5 APENDICE DE TABLAS 9

Amperaje [A] ±[A] voltaje [V] ±[V] Potencia [W] ±[W]

Longitud [mm] ±[mm]

Diámetro [1/100mm] ±[mm] Área (m^2) ±[m^2]

Sigma experimental

[W*m^-2*K^-4]±[W*m^-2*K^-4]

Variación porcentual

6.43 0.13 6.05 0.03 38.90 0.97 365 0.5 21 0.005 2.4080E-04 1.93000E-06 4.75013E-08 4.99E-10 16.2

5.36 0.11 7.38 0.04 39.56 0.99 360 0.5 20 0.005 2.2619E-04 1.90000E-06 5.14209E-08 5.47E-10 9.3

5.81 0.12 6.79 0.03 39.45 0.99 368 0.5 19 0.005 2.1966E-04 1.93500E-06 5.28075E-08 5.68E-10 6.9

6.90 0.14 5.87 0.03 40.50 1.01 365 0.5 19 0.005 2.1787E-04 1.92000E-06 5.46628E-08 5.88E-10 3.6

4.33 0.09 10.97 0.05 47.50 1.19 363 0.5 21 0.005 2.3948E-04 1.92000E-06 5.83203E-08 6.13E-10 -2.9

6.03 0.12 7.76 0.04 46.79 1.17 368 0.5 20 0.005 2.3122E-04 1.94000E-06 5.95048E-08 6.32E-10 -4.9

6.55 0.13 7.39 0.04 48.40 1.21 362 0.5 20 0.005 2.2745E-04 1.91000E-06 6.25746E-08 6.65E-10 -10.4

6.47 0.13 7.71 0.04 49.88 1.25 365 0.5 20 0.005 2.2934E-04 1.92500E-06 6.39568E-08 6.80E-10 -12.8

6.23 0.12 8.66 0.04 53.95 1.35 370 0.5 20 0.005 2.3248E-04 1.95000E-06 6.82378E-08 7.25E-10 -20.3

7.16 0.14 7.56 0.04 54.13 1.35 372 0.5 19 0.005 2.2205E-04 1.95500E-06 7.16786E-08 7.71E-10 -26.4

7.92 0.16 7.49 0.04 59.32 1.48 367 0.5 21 0.005 2.4212E-04 1.94000E-06 7.20398E-08 7.57E-10 -27.0

6.45 0.13 9.42 0.05 60.76 1.52 368 0.5 21 0.005 2.4278E-04 1.94500E-06 7.35859E-08 7.73E-10 -29.8

9.08 0.18 6.50 0.03 59.02 1.48 365 0.5 20 0.005 2.2934E-04 1.92500E-06 7.56706E-08 8.04E-10 -33.4

7.30 0.15 8.83 0.04 64.46 1.61 368 0.5 21 0.005 2.4278E-04 1.94500E-06 7.80670E-08 8.20E-10 -37.7

7.40 0.15 8.85 0.04 65.49 1.64 371 0.5 21 0.005 2.4476E-04 1.96000E-06 7.86743E-08 8.27E-10 -38.7

Figura 8: Los 15 mejores datos, con sus correspondientes incertidumbres. Observemos que la incertidumbre de σ es

demasiado pequena, por lo que se utilizo en vez de esta, la desviacion absoluta maxima