Departamento de Engenharia Electrotécnica e de ... · Porém, é difícil a determinação de α...

Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Março de 2006

Teoria Elementar da Fotodetecção 1

1. Introdução A fotodetecção é um dos processos fundamentais de um sistema de comunicação óptica

juntamente com a fotoemissão e a transmissão (e controlo) tal como se indica na Fig. 1.

Figura 1 Blocos fundamentais de um sistema de comunicação óptica.

Na fotoemissão um laser semicondutor converte uma corrente eléctrica modulada (portadora

da informação) num sinal óptico (campo electromagnético radiado) que é captado por uma

fibra óptica. Na transmissão, o sinal óptico percorre a distância entre os pontos a ligar na

comunicação sendo aí amplificado (e.g., através de uma fibra amplificadora dopada com

érbio), controlado (e.g., através da gestão da dispersão) e distribuído (e.g., através de uma

rede óptica). Finalmente, junto à recepção, o sinal óptico é convertido novamente numa

corrente eléctrica através de um fotodetector.

Neste capítulo analisa-se, de um ponto de vista elementar e introdutório, a teoria da

fotodetecção. Os fotões, cada um com uma energia p h fω= =E , são aí convertidos em

electrões – designados, por isso, fotoelectrões – que vão assim constituir uma corrente

eléctrica.

Num laser a potência óptica emitida ( )P t relaciona-se com a intensidade óptica ( )I t

através da relação ( ) ( ) ( )P t I t σ ω= em que ( )σ ω representa a secção eficaz de transição.

Sendo ( )tφ a densidade do fluxo de fotões emitidos, tem-se então ( ) ( )pI t tφ=E com

( ) ( ) ( )it W tφ σ ω= e onde iW representa a taxa de transições induzidas (absorção e emissão

Fotoemissão Transmissão

& Controlo

Fotodetecção

Sistema de Comunicação Óptica

2 Carlos R. Paiva

estimulada). Note-se, com efeito, que [ ] WP = , [ ] 2WmI −= , [ ] 2mσ = , Jp⎡ ⎤ =⎣ ⎦E ,

[ ] 2 1m sφ − −= e [ ] 1siW −= .

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )p i

i

P t I t

I t t P t W t

W tt

σ ω

φ ω

φσ ω

=

= ∴ =

=

E . (1)

Num fotodetector é preferível falar no fluxo total de fotões ( )p tΓ que incide, em que

1sp−⎡ ⎤Γ =⎣ ⎦ , em vez da densidade do fluxo de fotões ( )tφ . Neste caso, tem-se então

( ) ( )p

p

P ttΓ =

E. (2)

Note-se, porém, que um receptor óptico (digital) é mais do que um fotodetector: deve possuir,

também, um amplificador, um filtro e um sistema de decisão. Este último deve decidir se o

sinal recebido corresponde a um bit “1” ou a um bit “0” em função de um limiar de decisão

(threshold) previamente estabelecido.

Num fotodetector ordinário (fotodíodo PIN) o sinal óptico recebido ( )p tΓ é

convertido num fluxo ( )e tΓ de fotoelectrões, com

( ) ( ) ( )e p d d

p

P tt tη γ η γΓ = Γ + = +

E. (3)

Designou-se por η a eficiência quântica do fotodetector, i.e., o número médio de

fotoelectrões produzidos por cada fotão recebido. O termo dγ representa o fluxo (suposto

constante) de electrões e corresponde à chamada corrente escura (dark current) di , i.e., à

corrente eléctrica devida à emissão espontânea de electrões quando não há sinal óptico

recebido. O circuito equivalente de um fotodíodo ideal é pois o indicado na Fig. 2. Sendo q a

carga do electrão, a corrente ( )i t gerada pelo sinal óptico será


( ) ( ) ( ) , ,e d d dqi t q t R P t i R i qη γω

= Γ = + = =

onde se designou por R a responsividade do fotodetector, com [ ] 1AWR −= .

Figura 2 Circuito equivalente de um fotodíodo ideal.

2. Processo estocástico de Poisson e limite quântico da fotodetecção Uma variável aleatória x é uma regra que faz corresponder a cada resultado ζ de uma

experiência S um número ( )x ζ : ( )xζ ζ . Um processo estocástico ( )x t , por sua vez, é

uma regra que faz corresponder a cada resultado ζ uma função ( ),x t ζ : ( ) ( ), ,t x tζ ζ .

Quer ( )p tΓ quer ( )e tΓ em (3) são processos estocásticos de Poisson. O número

médio de acontecimentos (recepção de fotões ou produção de fotoelectrões) num intervalo

temporal [ ],s st t t T∈ + é dado por

( ){ } ( )E s

s

t T

tN t t dt m

+= Γ =∫ (4)

onde ,p eΓ = Γ Γ . Com efeito, a probabilidade de se ter ( )N t n= nesse intervalo temporal

obedece à distribuição de Poisson (Apêndice A)

( ){ } ePr!

n mmN t nn

−

= = . (5)

( )P t ( )i t

4 Carlos R. Paiva

Na Fig. 3 representa-se esta probabilidade, que se designa por nP , no caso concreto de se ter

12m = .

Vamos, agora, determinar o chamado limite quântico da fotodetecção, i.e., o número

médio de fotões que um fotodetector deve receber para detectar um bit de informação.

Admitimos que os bits “0” e “1” são equiprováveis e que não são transmitidos quaisquer

fotões para um bit “0”. Assim, um erro na detecção corresponde a não serem recebidos

quaisquer fotões quando um bit “1” foi transmitido. De acordo com (5), vem então

( ){ } 11 1Pr 0 |1 e2 2

meP N t −= = = . (6)

Figura 3 Probabilidade nP vs n− − de uma distribuição de Poisson, com 12m = , dada por (5).

Note-se que em (6) se considerou 1m por se tratar da recepção do bit “1”. Para uma

probabilidade de erro 910eP −= (BER=bit-error rate), que corresponde a um erro cometido

em 910 bits recebidos, resulta de (6) que

( )1 ln 2 20.03em P= − = . (7)


O limite quântico da fotodetecção corresponde, portanto, a um número médio de

1 10 fotões/bit2mχ = = (8)

uma vez que

( )1 01

2 2m m mχ = = − (9)

dado que 0 0m = (não são recebidos quaisquer fotões para um bit “0”) e que os dois símbolos

são equiprováveis.

No caso de se considerar que 0 0m > , é necessário estabelecer um limiar α de

detecção: quando N α> foi recebido um bit “1” e quando N α≤ foi rcebido um bit “0”.

Consequentemente, virá

( ) { } { }1 1Pr | 0 Pr |12 2eP N Nα α α= > + ≤

( ) 0 10 1

1 0

1 1e e2 ! 2 !

n nm m

en n

m mPn n

α

α

α∞

− −

= + =

∴ = +∑ ∑ . (10)

Porém, notando que

0 00 0 0

0 1 0e e

! ! !

n n nm m

n n n

m m mn n n

α

α

∞ ∞

= = + =

= ∴ = −∑ ∑ ∑

é possível reduzir (10) a

( ) ( )011 0

0

1 1 1 e e2 2 !

mm n ne

nP m m

n

α

α −−

=

= + −∑ . (11)

O valor de α deve ser tal que minimize a probabilidade de erro. Considerando a diferença

6 Carlos R. Paiva

( ) ( )1e e eP P Pα α∆ = − −

virá

01 011 1e e2 ! 2 !

mme

mmPαα

α α−−∆ = − . (12)

Então, impondo 0eP∆ = , obtém-se de (12)

( ) ( ) ( ) ( )

1 0

1 0 1 0

2ln ln ln ln

m mm m m m

χα −= =

− − (13)

e onde o limite quântico da fotodetecção χ é dado por (9). O limiar da detecção 0α deverá,

deste modo, ser a parte inteira do número real α obtido através de (13), ou seja

[ ]0α α= . (14)

Assim, quando 0 0m > , o limite quântico da fotodetecção deixa de ser dado por (8) e

vai depender do valor 0m considerado. Para cada valor de 1m infere-se um novo valor de 0α

obedecendo a (13) e (14) e, recorrendo a (11), é então possível determinar a nova

probabilidade de erro.

Na Fig. 4 representa-se o valor normalizado ( )1 BEReP m em função de 1m para o

caso em que se considera 0 10m = e para 9BER 10−= . O limite quântico é, nestas condições,

consideravelmente diferente de (8) onde se considerou 0 0m = . Verifica-se, por exemplo, que

se tem de ter 1 82.3m = no gráfico da Fig. 4 por forma a garantir uma probabilidade de erro

910eP −= . O limite quântico da fotodetecção é, deste modo,

( )1 01 36.2 fotões/bit

2 2m m mχ = = − = (15)


o que representa um valor superior a três vezes o obtido em (8).

Porém, é difícil a determinação de α para um dado valor da probabilidade de erro eP ,

i.e., inverter a expressão (11). Por essa razão é útil encontrar uma expressão aproximada para

( )eP α que seja analiticamente mais fácil de usar do que (11). Essa expressão aproximada

pode ser encontrada através dos limites de Chernoff ou, melhor ainda, dos limites de Chernoff

corrigidos.

Figura 4 Probabilidade de erro (normalizada a 9BER 10−= ) em função de 1m e para 0 10m = .

3. Limites de Chernoff corrigidos Usando os chamados limites de Chernoff corrigidos, vem

{ } ( )0

0 0 00 00

1Pr e exp , ,! 2

nm

n

m mN m mn m

α

α α ααπα

−

=

≤ = < −Θ >⎡ ⎤⎣ ⎦−∑ (16)

{ } ( )0

00 0 0

00

11Pr e exp , ,! 12

nm

n

mN m mn mα

αα α ααπα

∞−

=

+≤ = < −Θ <⎡ ⎤⎣ ⎦− +∑ (17)

onde

8 Carlos R. Paiva

( )0 00

, 1 ln mm mα αα

⎡ ⎤⎛ ⎞Θ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦. (18)

Nestas circunstâncias, a probabilidade de erro é

( ) ( )

( )( )

10 1 0

1 00

00 0

0 00

1 1 exp ,2 2

21 1 exp , 12 22 1

emP m

m

mm

α ααπα

α ααπ α

< −Θ⎡ ⎤⎣ ⎦−

++ −Θ +⎡ ⎤⎣ ⎦− ++

(19)

de acordo com (11).

Exemplo 1 Consideremos uma fibra óptica operada com um débito binário (bit rate)

100 Mb/sB = na portadora 0 0.8 mλ µ= . No fotodetector a potência óptica correspondente ao

bit “1” é 91 5 10 WP −= × enquanto que, para o bit “0”, se tem 9

0 10 WP −= . Para uma

eficiência quântica 0.9η = e uma corrente escura 91.5 10 Adi−= × , calcular a probabilidade

de erro eP usando os limites de Chernoff corrigidos.

Solução

Comecemos por calcular 0m e 1m . Tem-se 0 b dm m m= + e 1 5 b dm m m= + uma vez que

1 05P P= . O número de fotoelectrões correspondentes a 0P para o período 1 10nsBT B= =

será

0 0 0 36.25B Bb

P T P Tmhc

λη ηω

= = =

enquanto que o número de electrões correspondentes à corrente escura é

93.63d Bd

i Tmq

= = .


Infere-se, assim, que 0 129.9m = e 1 274.9m = . O limiar da fotodetecção é, neste caso,

0 193α = de acordo com (13) e (14), uma vez que 193.4α = . Usando a expressão (11) exacta

obtém-se o valor 71.0301 10eP −= × . Usando a expressão (19) correspondente aos limites de

Chernoff corrigidos, vem 71.054 10eP −= × .

3. Aproximação gaussiana Para um detector com um limiar de decisão α e símbolos binários equiprováveis, a

distribuição gaussiana corresponde a uma probabilidade de erro

( ) ( ) ( )1 01 12 2eP f x dx f x dx

α

αα

∞

−∞= +∫ ∫ (20)

em que

( )21 exp

22xf x

π⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(21)

( ) ( )0 10 1

0 0 1 1

E E1 1,x xf x f f x fσ σ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠. (22)

e onde 0E e 1E são os valores médios e 0σ e 1σ os desvios padrão da variável de decisão

quando os símbolos “0” e “1” são transmitidos, respectivamente. Notando que

( ) ( )f x f x− = , tem-se

( ) ( )f x dx f x dxα

α

∞

−∞ −=∫ ∫ (23)

pelo que

( ) ( ) ( )0 11 12 2eP f x dx f x dx

α αα

∞ ∞

−= +∫ ∫ . (24)

Fazendo a mundança de variável

10 Carlos R. Paiva

E ,xs d s d xσ−

= = (25)

obtém-se

( )21 Eexp ,

22a b s af x dx d s b

σπ−∞ −∞

⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ . (26)

Assim, definindo as funções

( )21 exp

22x sx d s

π −∞

⎛ ⎞Φ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( ) ( )211 exp

22 x

sQ x x x d sπ

∞ ⎛ ⎞= −Φ = Φ − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (27)

é possível reescrever (24) na forma

( ) 0 1

0 1

E E1 12 2eP Q Qα αα

σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

. (28)

Atendendo a que

( ) ( )2exp , 0ax d x aaπ∞

−∞− = ℜ >∫ (29)

vem ainda ( )0 0.5Q = e ( ) 1Q −∞ = . Logo

( ) 1 1 erf2 2

xQ x⎡ ⎤⎛ ⎞

= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (30)


em que a função de erro ( )erf x é dada por

( ) ( )2

0

2erf expx

x t dtπ

= −∫ . (31)

Na Fig. 5 apresentam-se os gráficos de ( )Q x e de ( )erf x no intervalo [ ]0,3x∈ .

Figura 5 Funções ( )erf x e ( )Q x .

Para facilidade de cálculo é usual escolher um limiar de decisão gα que não é o valor

óptimo, dado por (13) e (14), mas que permite igualar os dois argumentos em (28). Assim

0 1 0 1 1 0

0 1 0 1

E E E Eg gg

α α σ σασ σ σ σ− − +

= ∴ =+

. (32)

Então, definindo a relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio)

1 0

1 0

E Eρσ σ−

=−

(33)

12 Carlos R. Paiva

resulta de (28) que

( )eP Q ρ= . (34)

A aproximação gaussiana consiste em utilizar como razoável a distribuição gaussiana

para reproduzir a distribuição de Poisson, de forma que

1 01 0

1 0

m m m mm m

ρ −= = +

− (35)

uma vez que, na distribuição de Poisson, 0 0mσ = e 1 1mσ = . Nestas circunstâncias,

resulta de (32) que

0 1 1 00 1

0 1g

m m m mm m

m mα

+= =

+. (36)

Finalmente, ao substitui (36) em (34), obtém-se a aproximação gaussiana

( )1 0eP Q m m≈ − . (37)

A função ( )Q x pode ser calculada por integração numérica através de (30). No

entanto, ao integrar por partes, tem-se

( )2 2 2

2

1 1 12 exp exp exp2 2 2x x

s x sQ x s d s d ss x s

π∞ ∞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ . (38)

Para 3x > é razoável utilizar a seguinte aproximação

( ) ( )2

11 exp

22xQ x Q x

x π⎛ ⎞

≈ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(39)


de modo que, de acordo com (37), vem

( )1 1 0eP Q m m≈ − . (40)

Na Fig. 6 representa-se graficamente o erro relativo cometido ao aproximar ( )Q x através de

( )1Q x :

( ) ( ) ( )( )

1Q x Q xx

Q xε

−= . (41)

Figura 6 Cálculo do erro relativo ( ) ( ) ( )1 1x Q x Q xε = − .

Exemplo 2 Voltando ao exemplo numérico tratado no Exemplo 1, teremos então 0 129.9m =

e 1 274.9m = . Assim virá 1 0 5.18m mρ = − = a que corresponde, utilizando (40), uma

probabilidade de erro de 71.13 10eP −≈ × . Se se utilizar (37), virá 71.093 10eP −≈ × . Recorde-se

que o valor calculado através da distribuição de Poisson no Exemplo 1 foi de 71.0301 10eP −= × ; utilizando os limites de Chernoff corrigidos obteve-se 71.054 10eP −= × .

14 Carlos R. Paiva

O limite quântico da fotodetecção, correspondente a uma probabilidade de erro 910eP −= , pode agora ser facilmente calculado através da aproximação gaussiana, i.e.,

utilizando (37). Com efeito, para essa probabilidade de erro, infere-se de (37) que deve ser

5.9978ρ = . Mas então, de ( )1 0 2m mχ = − resulta finalmente

( )022

mρχ ρ= + (42)

de acordo com (35). Na Fig. 7 representa-se χ , o número de fotões por cada bit, em função

do ruído de fundo 0m para um 9BER 10−= .

Figura 7 Limite quântico da fotodetecção χ na aproximação gaussiana, dado por (42), em

função do ruído de fundo 0m . O valor obtido para 0 0m = está nitidamente acima do valor

exacto dado por (8), i.e., de 10 fotões/bit.


Apêndice A – Distribuição de Poisson

Consideremos o caso da detecção de fotões no intervalo [ ],s st t t T∈ + . Admitiremos que se

trata de um processo estocástico estacionário: o número de fotões detectado não depende da

escolha do instante inicial st . Sendo m o valor médio de fotões, dado pela Eq. (4), deverá ter-

se

m pT= (A1)

onde p é a taxa média de detecção de fotões.

Para comodidade de notação designaremos doravante a probabilidade ( ){ }Pr N t n=

de detecção de n fotões no intervalo [ ],t t T+ por ( ),P n T . Com efeito, dado que o processo

é estacionário, não existe a necessidade de escrever ( ), ,P n t t T+ . Quando 0n = não são,

portanto, detectados quaisquer fotões no intervalo considerado. Qual será então a

probabilidade de ter 0n = no intervalo de duração T Tδ+ ? Será, de acordo com a notação

adoptada, ( )0,P T Tδ+ . Mas esta probabilidade é a probabilidade conjunta de não detectar

fotões no intervalo de duração T bem como no pequeno intervalo subsequente de duração

Tδ . Ter-se-à, consequentemente,

( ) ( ) ( )0, 0, 0,P T T P T P Tδ δ+ = . (A2)

Acontece, porém, que a probabilidade de detectar um fotão no intervalo Tδ é p Tδ .

Podemos, mesmo, considerar desprezável a probabilidade de detectar mais do que um fotão

nesse pequeno intervalo. Mas então,

( )0, 1P T p Tδ δ= − . (A3)

Logo, das Eqs. (A2) e (A3), obtém-se

( ) ( ) ( )0, 0,0,

P T T P Tp P T

Tδδ

+ −= − . (A4)

16 Carlos R. Paiva

No limite 0Tδ → , vem

( ) ( ) ( ) ( )0,0, 0, exp

d P Tp P T P T pT

dT= − ∴ = − (A5)

uma vez que deverá ser, como é óbvio, ( )0,0 1P = .

Consideremos, agora, o caso 1n ≥ . Neste caso, como ou não são detectados fotões no

intervalo Tδ ou apenas um fotão é detectado (uma vez que se despreza a possibilidade de

detectar mais do que apenas um fotão nesse intervalo elementar), é possível escrever

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0, 1, 1,P n T T P n T P T P n T P Tδ δ δ+ = + −

( ) ( )( ) ( ), , 1 1,P n T T P n T p T P n T p Tδ δ δ∴ + = − + −

donde se infere que, no limite 0Tδ → e para 1n ≥ ,

( ) ( ) ( ),, 1,

d P n Tp P n T p P n T

dT= − + − . (A6)

Para resolver a Eq. (A6) vai-se admitir – tal como esta mesma equação sugere – que se

tem ( ) ( ) ( ),P n T u T v T= . Pelo que

( ) ( ) ( ),d P n T dv duu T v TdT dT dT

= + . (A7)

Logo, atendendo às Eqs. (A6) e (A7), vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,dv duu T v T pu T v T p P n TdT dT

+ = − + −

( ) ( ) ( )0 expdv p v T v T v pTdT

∴ = − ⇒ = − . (A8)


Mas então, tira-se que

( ) ( ) ( )01, expdu dup P n T v T v pTdT dT

− = = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

exp 1, 1, expTdu p ppT P n T u T P n s ps d s

dT v v∴ = − − ⇒ = − −∫ . (A9)

Portanto, das Eqs. (A8) e (A9), resulta finalmente que (para 1n ≥ )

( ) ( ) ( ) ( )0

, exp 1, expT

P n T p pT P n s ps d s= − − −∫ . (A10)

Esta equação permite determinar ( ),P n T a partir de ( )1,P n T− para 1n ≥ . O caso 0n = foi

estabelecido anteriormente através da Eq. (A5). Assim, obtém-se sucessivamente

( ) ( )0, expP T pT= −

( ) ( ) ( )1, expP T pT pT= −

( ) ( ) ( )2

2, exp2!

pTP T pT= −

( ) ( ) ( )3

3, exp3!

pTP T pT= −

ou, no caso geral,

( ) ( ) ( ), exp!

npTP n T pT

n= − . (A11)

O valor máximo de ( ),P n T ocorre para pT n= . Com efeito, fazendo x pT= , vem

( ) ( )1, e 0!

xnd P n T

x x n x nd x n

−−= − = ∴ = .

18 Carlos R. Paiva

Na Fig. A representa-se a probabilidade ( ),P n T em função da variável x pT= para vários

valores de n . Para valores elevados de n a distribuição de Poisson aproxima-se de uma

distribuição gaussiana centrada em pT n= com um desvio padrão de n .

Figura A Distribuição de Poisson: probabilidade de detectar n fotões no intervalo de tempo

T para uma taxa média de p fotões por segundo de acordo com (A11), i.e., supondo que um

fotão é detectado no intervalo (em segundos) 1 p .

Recordando a Eq. (A1) bem como o significado de ( ),P n T neste apêndice, infere-se

por fim que

( ){ } ePr!

n mmN t nn

−

= = (A12)

que é precisamente a Eq. (5).

A Eq. (A6) pode ainda ser utilizada na determinação do valor médio n . Com efeito,

por definição,


( )0

,n

n n P n T∞

=

=∑ . (A13)

Logo, de acordo com a Eq. (A6), vem por derivação

( ) ( ) ( )0 0

,, 1,

n n

d n d P n Tn n p P n T p P n T

dT dT

∞ ∞

= =

= = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑

( ) ( ) ( )0 0

, 1 ,n n

d np n P n T p n P n T

dT

∞ ∞

= =

= − + +∑ ∑

( )1 1d n

p n p n p n p n pdT

∴ = − + + = − + + = .

Assim, integrando este resultado, infere-se que

n pT= . (A14)

Esta última equação está de acordo com o nosso ponto de partida, i.e., com a Eq. (A1). Este

mesmo resultado também se poderia obter substituindo a Eq. (A11) na Eq. (A13) e derivando

a conhecida relação

0

en x

nx

∞

=

=∑

com x pT= .

Usando um raciocínio semelhante, viria – também através da Eq. (A6) – o seguinte

resultado

( ) 21 2 2d n n p n p TdT

− = = . (A15)

Novamente, integrando esta equação, obtém-se

20 Carlos R. Paiva

( ) ( )2 22 2n n pT n pT pT− = ⇒ = +

22n n pT n∴ − = = . (A16)

Note-se, para terminar, que

( )2 2 22 22n n n n n n n n− = − + = −

( )2n n pT∴ − = . (A17)


8 1

1

34

19

2.99792458 10 ms1.380658(12) 10 JK

1.05457266(63) 10 Js1.60217733(49) 10 C

B

ck

q

−

−

−

−

= ×

= ×

= ×

= ×

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Departamento de Engenharia Electrotécnica e de ... · Porém, é difícil a determinação de α...

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