Prof. Jorge

Módulo de umnúmero real

Prof. Jorge

Simétrico de um número real

Se x é um número real, o simétrico de x é –x. Veja alguns valores reais arbitrários de x e

os respectivos simétricos –x.

–3 + π

3 – π

3–50–x

–350x

O simétrico de 0 é o próprio 0.

Nos outros casos, de dois números simétricos, sempre um é positivo e o outro é negativo.

√2 – 1

–√2 + 1

Prof. Jorge

Exemplos

Qual é o único real igual ao seu simétrico?

É verdade que –x é um real negativo?

Pode –x ser positivo? Para isso, qual deve ser o

sinal de x?

Qual número é maior: x ou –x?

Complete com os sinais =, > ou <.

x = 0 ⇒ –x .... 0 x > 0 ⇒ –x .... 0

x < 0 ⇒ –x .... 0

O real 0.

Falso.

Pode. x < 0.Depende do sinal de x.

= <

>

Prof. Jorge

O A B C A’ B’ C’ 1 2 7/2 –1 –2 –7/2 0

Simétrico de um número real

Na reta real, dois números simétricos estão a uma mesma distância da origem. Mas em lados opostos relativamente a ela.

x

OA = OA’ = 1

OB = OB’ = 2

OC = OC’ = 7/2

Prof. Jorge

O P x 0

Módulo de um número real

Se P é um ponto da reta real e representa o número real x, a distância de P até a origem é chamada de módulo ou valor absoluto de x.

Indicamos o módulo de x colocando-o entre duas barras.

|x|

OP = |x|

|x| é o número não-negativo escolhido entre x e o seu simétrico –x.

Prof. Jorge

B

√3

A 2

O 0 –π

B –5

Exemplos

Na reta real, marcamos os pontos O, A, B, C e D, com suas respectivas abscissas. Determine:|0|, |2|, |–5|,|–π| e |√3|.

x B’

|0| = 0

|2| = 2

|–5| = 5 |–π|= π

|√3| = √3

Prof. Jorge

Definição de módulo de um número real

De tudo que vimos a respeito de módulo, podemos estabelecer algumas regras gerais:

O módulo de 0 é 0; O módulo de um número positivo é o próprio

número; O módulo de um número negativo é o simétrico

dele, que é positivo.

Em símbolos, se x ∊ R, podemos definir:

|x|=x, se x ≥

0–x, se x ≤

0

|x|≥ 0

Prof. Jorge

Exemplos

Calcule os seguintes módulos:|8|, |–3|,|π – 4|, |√5 – 2|, |π – 3| e |3√3 – 5|.

|8|

|–3|

|π – 4|

= 4 – π

|π – 3|

|√5 – 2|

|3√3 – 5|

= 8

= 3

= –π + 4

= √5 – 2

= π – 3= 3√3 –

5

Prof. Jorge

Exemplos

É verdade que |–x| = x, qualquer que seja o valor de x?

|–x| = x, apenas para x ≥ 0.

Não.

Prof. Jorge

Observações

Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja.

|x|=x, se x ≥

0–x, se x ≤

0

|x – 3|=

x – 3, se x – 3 ≥ 0

–(x – 3), se x – 3 ≤ 0

⇒ |x – 3|=x – 3, se x ≥ 3

–x + 3, se x ≤ 3

Prof. Jorge

Observações

Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja.

|x|=x, se x ≥

0–x, se x ≤

0

|x2 + x – 6|=

x2 + x – 6, se x2 + x – 6 ≥ 0

–(x2 + x – 6), se x2 + x – 6 ≤ 0

⇒ |x2 + x – 6|=

x2 + x – 6, se x ≤ –3 ou x ≥ 2

–x2 – x + 6, se –3 ≤ x ≤ 2

Prof. Jorge

Observações

Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:.

2x|x|

Exemplos

√(–5)2

√(3 – π)2

= |–5|

= |3 – π|

= π – 3

= 5

Prof. Jorge

Observações

Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:.

2x|x|

Exemplos

√(x + 2)2

x + 2, se x + 2 ≥ 0

–(x + 2), se x + 2 ≤ 0

= |x + 2| =

⇒ |x + 2|=x + 2, se x ≥ –2

–x – 2, se x ≤ –2

Prof. Jorge

Observações

|–x|=|x|, para todo x real.

|x| ≥ 0, para todo x real.

|x|2 = x2, para todo x real.

|x| = |y| ⇔ x = y ou x = –y.

Prof. Jorge

Propriedades domódulo

Prof. Jorge

40 –4

Propriedades

Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0.

x

Que pontos da reta estão à distância 4 da origem? Que números têm módulo 4? Qual a solução da equação |x| = 4?

|x|= 4 ⇔ x = 4 ou x = –4

Prof. Jorge

40 –4

Propriedades

Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0.

x

Que pontos da reta estão à distância menor que 4 da origem? Que números têm módulo menor que 4? Qual a solução da inequação |x| < 4?

|x|< 4 ⇔ –4 < x < 4

Prof. Jorge

40 –4

Propriedades

Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0.

x

Que pontos da reta estão à distância maior que 4 da origem? Que números têm módulo maior que 4? Qual a solução da inequação |x| > 4?

|x|> 4 ⇔ x < –4 ou x > 4

Prof. Jorge

Propriedades

Pela definição de módulo, dois números só podem ter módulos iguais em dois casos: se forem iguais ou forem simétricos. Em símbolos,

|x|= |y| ⇔ x = y ou x = –yP1.

Prof. Jorge

Propriedades

Na reta real, destacamos os números reais –k e k e os intervalos que eles delimitam.

k0 –k x

|x|< k|x|> k|x|> k

|x|= k

|x|= k ⇔ x = k ou x = –k

|x|< k ⇔ –k < x < k

|x|> k ⇔ x < –k ou x > k

P2.

P3.

P4.

Prof. Jorge

Equações e inequações modulares

Prof. Jorge

Equações e inequações modulares

São aquelas em que a incógnita aparece dentro do módulo. Sua resolução se baseia nas quatro

propriedade vistas anteriormente.

|x|= |y| ⇔ x = y ou x = –yP1.

|x|= k ⇔ x = k ou x = –kP2.

|x|< k ⇔ –k < x < kP3.

|x|> k ⇔ x < –k ou x > kP4.

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as equações modulares?

a)|x – 5| = 0x – 5 =

0⇒ x – 5 =

0⇒ x =

5

S = { 5 }

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as equações modulares?

b)|2x – 5| = 7

⇒2x – 5 = 7

ou2x – 5 = –

7

⇒2x = 12

ou2x = –2

⇒x = 6 ou

x = –1

S = { –1, 6 }

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as equações modulares?

c)|x + 2| = |2x + 1|

⇒x + 2 = 2x + 1 ou

x + 2 = –(2x + 1)

⇒x – 2x = 1 – 2

oux + 2x = –1 –

2

⇒– x = – 1

ou3x = –3

S = { –1, 1 }

⇒x = 1 ou

x = –1

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as equações modulares?

d)|x + 2| = 3x – 6

⇒x + 2 = 3x – 6 ou

x + 2 = –(3x – 6)

⇒x – 3x = – 6 – 2

oux + 3x = 6 – 2

Condição inicial: a equação só é possível para3x – 6 ≥

0 ⇒ 3x ≥ 6⇒ x ≥ 2

⇒–2x = – 8 ou

4x = 4 ⇒

x = 4 ou

x = 1 S = { 4 }

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as inequações modulares?

a)|2 – 3x| < 1

⇒– 1 < 2 – 3x e

2 – 3x < 1 ⇒

3x < 3 e

–3x < – 1

⇒x < 1 e

x > 1/3 S = { x R / 1/3 < x ∊< 1 }

⇒ –1 < 2 – 3x < 1

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver as inequações modulares?

b)|x2 – x – 1| ≥ 1

⇒x2 – x – 1 ≤ – 1

ou

S = { x R / x ≤ – 1 ou 0 ≤ x ≤ 1 ∊ou x ≥ 2 }

x2 – x – 1 ≥ 1

⇒x2 – x ≤ 0 ou

x2 – x – 2 ≥ 0

⇒0 ≤ x ≤ 1 ou

x ≤ – 1 ou x ≥ 2

Prof. Jorge

Funções modulares

Funções em que a variável aparece dentro de módulo.

Construímos o seu gráfico a partir da definição de módulo.

Prof. Jorge

Funções modulares

A função y = f(x) = |x| é chamada função módulo. Seu gráfico é a união das bissetrizes do 1.º e 2.º quadrantes.

x, se x ≥ 0

–x, se x ≤ 0f(x) =|x|

=

(1)

(2)

11

00

yx

x ≥ 0

–11

00

yx

x ≤ 0

x

y

D = R Im = R+

1–1 2 3 4–2–3–4

1

2

3

4y = x y = –x

Prof. Jorge

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x – 1|.

x – 1, se x ≥ 1

–x + 1, se x ≤ 1

f(x) =|x – 1|=

(1)

(2)

12

01

yx

x ≥ 1

10

01

yx

x ≤ 1

x

y

O 1

y = x – 1

2

1

y = –x +1

Prof. Jorge

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x + 1|.

x + 1, se x ≥ – 1

–x – 1, se x ≤ – 1

f(x) =|x + 1|=

(1)

(2)

10

0–1

yx

x ≥ – 1

1–2

0–1

yx

x ≤ – 1

x

y

O

y = x + 1

–2

1

y = –x – 1

–1

Prof. Jorge

x, se x ≥ 0

–x, se x ≤ 0

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1.

|x|=Por definição,

Somando 1 nos dois membros,

x + 1, se x ≥ 0

–x + 1, se x ≤ 0f(x) = |x|+ 1

=

Prof. Jorge

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1.

x + 1, se x ≥ 0

–x + 1, se x ≤ 0

f(x) =|x|+ 1 =

(1)

(2)

21

10

yx

x ≥ 0

2–1

10

yx

x ≤ 0

x

y

O

y = x + 1

1

1

y = –x + 1

–1

2

Prof. Jorge

x – 2, se x ≥ 2

–x + 2, se x ≤ 2

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1.

|x – 2|=Por definição,

Subtraindo 1 nos dois membros,

(x – 2) – 1, se x ≥ 2

(–x + 2) – 1, se x ≤ 2

|x – 2|– 1 =

x – 3, se x ≥ 2

–x + 1, se x ≤ 2

f(x) =|x – 2|– 1 =

Prof. Jorge

Exemplos

Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1.

x – 3, se x ≥ 2

–x + 1, se x ≤ 2

f(x) =|x – 2|– 1 =

(1)(2)

03

–12

yx

x ≥ 2

01

–12

yx

x ≤ 2

x

y

O 31

y = x – 3

2

–1

1

y = –x +1

Prof. Jorge

Funções modularesgráficos

Prof. Jorge

x

y

1

1–1 2

2

3

4

3 4–2–3–4–1

–2

–3

Obtendo gráficos a partir do gráfico da função f(x) =|x|

f(x) =|x|

g(x) =|x|+ 1

h(x) =|x|– 2

i(x) =|x + 2|

j(x) =|x – 2|

k(x) =|x + 2| – 2

p(x) =|x – 2| + 1

Prof. Jorge

Exemplos

A figura mostra o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3. A partir dele, construir o gráfico da função g(x) = |f(x)|.

g(x) = |x2 – 4x + 3|

x

y

1

1–1 2

2

3

4

3 4–2–3–4–1

–2

–3

Prof. Jorge

Exemplos

A figura mostra o gráfico de função real f. A partir dele, obter o gráfico da função g(x) = |f(x)|.

x

y

1

1–1 2

2

3

4

3 4–2–3–4–1

–2

–3