Producido por Mariana Lasarte

Números con nombre

π (Pi) = 3,14159.... e = 2,71828.... Φ (Fi) = 1,61803....

Estos tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos, por

ello forman parte del conjunto de los números irracionales.

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos

primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna

ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras

que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la

ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de

oro:

012 xx

2

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Algo de historia

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también

como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo (Φ), en honor al

escultor griego Fidias, su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V

a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos y

escultóricos.

Ya en el siglo XVI, es probable que fuera Leonado Da Vinci quien estableciera por

primera vez el nombre de sección áurea para definir la división armónica que existe al

momento de cortar un segmento en dos partes desiguales de manera que el

segmento mayor sea al total como el menor es al mayor. Es también Leonardo

quien hiciera las ilustraciones de la primer obra literaria denominada “Divina

Proporción”, en la cual el matemático y teólogo Luca Pacioli plantea las razones por las

que considera apropiado considerar divino al Número áureo.

¿De dónde surge el número de oro?

El número Φ = 1,6180339887498948482045868343656……= surge no

como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.

2

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La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b

𝑎+𝑏

𝑎 =

𝑎

𝑏

A partir de esta proporción se llega a una

ecuación a2 –ab – b2 = 0, que resolviéndola

permite concluir que:

𝑎

𝑏 =

1+ 5

2 = Φ

El rectángulo áureo Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo

vale 1 + 5 por lo que la proporción entre los dos lados es 1+ 5

2

Se obtiene así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo se pueden construir otros semejantes que se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, etc...) y que resultan sumamente agradables a la vista.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea. Pitágoras y el número de oro

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la

tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. El número de oro aparece muchas veces en esa figura. Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es

el número de oro.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

Sucesión de Fibonacci Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por

ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci“

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas, por ejemplo

resulta sorprendente que si dividimos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre

el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1 : 1 = 1

2 : 1 = 2

3 : 2 = 1,5

5 : 3 = 1,66666666

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 1,625

21 :13 = 1,6153846....

34 :21 = 1,6190476....

55 :34 = 1,6176471....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803....

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo

lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo.

Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF

también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente,

obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el

vértice O de una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales

(flores y frutos) y animales (conchas de moluscos).

El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.