Bilangan Real

Sistem Bilangan Riil

MA 1114 Kalkulus 1 2

Sistem bilangan

N : bilanganasli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1,2,3,….

Z :…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, ≠∈= bZbabaq

Q :

IrasionalQR ∪=Contoh Bil Irasional

π,3,2


Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)

2π-3 0 1

Selang

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang


SelangJenis-jenis selang

GrafikHimpunan selang{ }axx < ( )a,∞−

{ }axx ≤ ( ]a,∞−

{ }bxax << ( )ba,

{ }bxax ≤≤ [ ]ba,

{ }bxx > ( )∞,b

{ }bxx ≥ [ )∞,b

{ }ℜ∈xx ( )∞∞,

a

a

a b

a b

b

b


Sifat–sifat bilangan real

• Sifat-sifat urutan :TrikotomiJika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlakusalah satu dari x < y atau x > y atau x = yKetransitifanJika x < y dan y < z maka x < zPerkalianMisalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz


Pertidaksamaan

Pertidaksamaan satu variabel adalahsuatu bentuk aljabar dengan satu variabelyang dihubungkan dengan relasi urutan.Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah sukubanyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

( )( )

( )( )xExD

xBxA

<


Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalahmencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunanbilangan real ini disebut juga HimpunanPenyelesaian (HP)Cara menentukan HP :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :, dengan cara :0

)()(<

xQxP


Pertidaksamaan

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkanMenyamakan penyebut dan menyederhanakan bentukpembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang danpenyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikanmenjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut padagaris bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul


Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian

53213 ≥−≥ x352313 +≥≥+⇔ x

8216 ≥≥⇔ x48 ≥≥⇔ x84 ≤≤⇔ x

[ ]8,4Hp =4 8

1



8462 ≤−<− x248 ≤−<−⇔ x

248 −≥>⇔ x842 <≤−⇔ x

221

<≤−⇔ x

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡−= 2,

21

22

1−

2

Hp



0352 2 <−− xx

( )( ) 0312 <−+⇔ xxTitik Pemecah (TP) :

21

−=x 3

3

dan =x

3

++ ++--

21−

Hp = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 3,

21



637642 +≤−≤− xxx4dan 6376 +≤− xxxx 7642 −≤−⇔

4672 +≤+⇔ xx dan 6637 +−≤−− xxdan 010 ≤− x109 ≤⇔ x

910

≤⇔ x 010 ≥xdan

910

≤⇔ x 0≥xdan



[ )∞∩⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞− ,0

910,Hp =

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

910,0Hp =



132

11

−<

+ xx

013

21

1<

−−

+⇔

xx( ) ( )( )( ) 0

1312213

<−++−−

⇔xx

xx

( )( )

5.

3++ ++--

-1

--

31

Hp = ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∪−∞− 3,

311,

0131

3<

−+−

⇔xx

x

31 , 3TP : -1,



xx

xx

+≤

−+

3216.

032

1≤

+−

−+

⇔x

xx

x

( )( ) ( )( )( ) 0

32231

≤+−

−−++⇔

xxxxxx

( )( ) 032322 2

≤+−++

⇔xxxx



Untuk pembilang 322 2 ++ xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalupositif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2-- ++ --

( ) ( )∞∪−∞− ,23,Hp =


Pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagaijarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.Definisi nilai mutlak :

⎩⎨⎧

<−≥

=0,0,

xxxx

x


Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

yx

yx=

2xx =axaaax ≤≤−↔≥≤ 0,

axaax ≥↔≥≥ 0, atau ax −≤

↔≤ yx 22 yx ≤

6. Ketaksamaan segitiga

yxyx +≤+

12

3

4

5

yxyx −≥−



Contoh :352 <−x1.

Kita bisa menggunakan sifat ke-2.

41 <<⇔ x

3523 <−<−⇔ x53235 +<<−⇔ x

822 <<⇔ x

Hp = ( )4,11 4



( )( ) 0422 <−−⇔ xx

352 <−x2.

Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.

( ) 952 2 <−⇔ x925204 2 <+−⇔ xx016204 2 <+−⇔ xx

08102 2 <+−⇔ xx

TP : 1, 4

1 4++--++

Hp = ( )4,1



5432 +≥+ xx3.

Kita bisa menggunakan sifat 4

( ) ( )22 5432 +≥+⇔ xx2540169124 22 ++≥++⇔ xxxx

0162812 2 ≥−−−⇔ xx0473 2 ≤++⇔ xx

34

− , -1TP :



Jika digambar pada garis bilangan :

-13

4−

--++ ++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− 1,

34

Hp =



272

≥+x

272

≥+⇔x

272

−≤+x

52

−≥⇔x

92

−≤x

10−≥⇔ x 18−≤x

4.

atau

atau

atau

( ] [ )∞−∪−∞− ,1018,Hp =

-18 -10



5. 2123 −≥+−− xxKita definisikan dahulu :

⎩⎨⎧

−<−−−≥+

=+1111

1xxxx

x⎩⎨⎧

<−≥−

=−2222

2xxxx

x

Jadi kita mempunyai 3 interval :I

( )1,−∞−II III

[ )2,1− [ )∞,2

-1 2



1−<x ( )1,−∞−

2123 −≥+−− xxI. Untuk interval atau

( ) ( ) 2123 −≥−−−−⇔ xx2136 −≥++−⇔ xx

227 −≥−⇔ x92 −≥−⇔ x

92 ≤⇔ x

29

≤⇔ x ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−

29,atau



( )1,29, −∞−∩⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−Jadi Hp1 =

29-1

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah ( )1,−∞−

sehingga Hp1 = ( )1,−∞−



[ )2,1−21 <≤− xII. Untuk interval atau

2123 −≥+−− xx

( ) ( ) 2123 −≥+−−⇔ xx2136 −≥−−−⇔ xx

245 −≥−⇔ x74 −≥−⇔ x

74 ≤⇔ x

47

≤⇔ x ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−

47,atau



Jadi Hp2 = [ )2,147, −∩⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−

-1 24

7

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

47,1

sehingga Hp2 = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

47,1



2≥x [ )∞,22123 −≥+−− xx

III. Untuk interval atau

( ) ( ) 2123 −≥+−−⇔ xx

2163 −≥−−−⇔ xx272 −≥−⇔ x

52 ≥⇔ x

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞,25

25

≥⇔ x atau



Jadi Hp3 = [ )∞∩⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞ ,2,25

2 25

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞,25

sehingga

Hp3 = ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞,25



Hp = 3Hp2Hp1Hp ∪∪

( ) ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∪⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∪−∞−= ,

25

47,11,Hp

Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan



47

25-1

47 2

5-1

47

25-1

Jadi Hp = ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞∪⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞− ,

25

47,


Soal Latihan

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

xx

x−≥

−+ 12421

312

2 ++

≤−

xx

xx2

3 3232 ≤−+− xx

4 2221 2 ≥+++ xx

5 5432 +≥+ xx

6 23 ≤+ xx

Bilangan Real

Documents

Transcript of Bilangan Real