1

Resposta Estrutural de um Tirante a um Esforço Axial Aplicado

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.01 0.3 0.1 0.5

AII

αρ

(a)AI

0.30

ρ [%]0.2

0.5 1 1.42

1/15

1/30

7.14

(α=7.0)

Comportamento Global do Tirante Relação de rigidezes

Estado I/Estado II

2

Resposta Estrutural de um Tirante a uma Deformação Axial Aplicada

Abertura da 2ªFenda

Abertura da 1ªFenda

K(aço+betão)

K(aço+betão) K(aço+betão)K(aço)

K(aço+betão)K(aço)K(aço+betão)

K(aço) K(aço+betão)

Simulação da perda de rigidez do tirante com a abertura de cada nova fenda

Comportamento Global do Tirante

3

Princípio de Dimensionamento da Armadura Mínima

Critério de não plastificação da armadura

I

II

ε imp

I

II

ε imp

a) ρ ρmin,y

˜ 0,10

b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y

σs2

Patamar de cedência

σs2

fy

fy

Fendilhação estabilizadaFormação de fendas

σsr,n

σsr,1σsr,1

w w

w1

wn wn = 1,20 w1

σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1

21 ssccIII AANNN σσ ×≈×⇒==

srsefctc AfA σ×≈×⇒ ,

y

efct

C

S

f

f

A

A ,min =≥= ρρ

4

Armadura para o Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas de Acordo com o EC2

s

ctctcs

fAkkA

σ

×××=min,

kc , considera a distribuição de tensões na secção imediatamente antes da abertura da primeira fenda, englobando não só a tracção, mas também a flexão simples e composta;

k , considera o efeito não uniforme das tensões auto-equilibradas na diminuição de fct,ef;

Act a área de betão traccionada, antes da abertura da primeira fenda.

Tensão no

aço Máximo diâmetro do varão Máximo espaçamento entre varões*

[MPa] wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm

160 40 32 25 300 300 200

200 32 25 16 300 250 150

240 20 16 12 250 200 100

280 16 12 8 200 150 50

320 12 10 6 150 100 -

360 10 8 5 100 50 -

400 8 6 4 50 - -

450 6 5 - - - -

* Condição alternativa para a acção de cargas verticais, mas não deformações impostas

1. Armadura mínima - σs = tensão de cedência do aço

2. Controlo indirecto da abertura de fendas pelo valor da tensão dada no quadro seguinte

5

Efeito da Flexão Composta – Valor de Kc

0,1*)./.(

0,140,01

≤

−×=

ct

cc fhhk

kσ

Estimativa do coeficiente kc

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-7500 -6000 -4500 -3000 -1500 0 1500 3000 4500

Tensão média [kN/m2]

Caso 1 - 1,50x0,50

Caso 2 - 1,00x0,40

Caso 3 - 0,20x1,00

6

Comportamento à Flexão Simples

Mcr

1/r

M

Fase de fissuração estabilizada

Fase de formação de fissuras

Fase elástica

Fase de plastificação da armadura

Ruptura

Mcr,n

MuEstado I

Estado II

1

0

2

3

4 0-1

1-2

2-3

3-4

dEI

M

rcmsm

mm

εε −==

1

IIIm rrr

11)1(

1ζζ +−=

2

.1

−=

M

M crβζ 0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.001 0.03 0.01 0.1

III

αρ1

(b)II

0.60

ρ1 [%]0.050.05

(α=7.0)

0.71 2.85

0.5

d/h=0.90

ρ1/ρ2=0.25

1.420.140.05

7

Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostasões Impostas Sobrepostas a Cargas com Efeitos de Flexão

1/R

Msup(-)

State I

m

State II

∆M

∆M

∆M

1

2

3

Msup1

Msup2

Msup3

id

id

id

Msup

p

id∆M

elastidid MM ξ=∆

Deformação Imposta com Efeito de Flexão

1<ξ

ξξξξ ϕ = 0 ϕ = 2.5

r r ρflexion

≤≤≤≤ 1 1.5 2 ≤≤≤≤ 1 1.5 2

0.3 1 0.35 0.2 0.35 0.25 0.15 0.6 1 0.5 0.35 0.35 0.3 0.25 1.2 1 0.7 0.5 0.4 0.35 0.3

bd

Asflexion =ρ

cr

idqqg

M

MMMr

+×+=

2ψ

8

βMcrA= βMcrB

1/R

M

MyBEstado I

Estado IIA

MyA

m

∆MA

∆MB

Estado IIB

MP,Loads ˜ MyA

K

∆MA = MyA-MP,Loads

MP,Loads ˜ MyB

K

∆MB = MyB-MP,Loads

A

B

Msup,LoadsA

Msup,LoadsB

idloadsy MMMM <−=∆

Reserva em Relação à Não Cedência das Armaduras em Situação de Flexão

9

Deformações Impostas Sobrepostas aos Efeitos de Cargas Verticais

Axial Effect Axial Effectl l

Restrições na extremidade Restrições laterais

Caso de um piso elevado restringido, a deformadeformaçções axiais livresões axiais livres, por paredes isoladas ou de acessos verticais

Caso de um piso enterrado (garagem) com restrição às deformadeformaçções axiais ões axiais

livreslivres, pelas paredes de contenção laterais, principalmente as da maior direcção em planta

10

Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostasões Impostas Axiais Isoladas com Armadura Superior à Mínima

Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)

No caso das Deformações Impostas Internas, o esforço axial de fendilhação tem tendência a diminuir

devido às tensões autoequilibradas geradas no betão

l

N

x εe x l

s rm

Medium extension

ε m [‰]

I

II

Ncr

εfffct/Ec

N[kN]

a)

N[kN]

I

Es.As

Ncr

εfffct/Ec

1

∆N

b)

Medium extension

ε m [‰]

l

εiN

x

s rm

Deformação Imposta Interna (Retracção do Betão)

11

Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostas Axiaisões Impostas AxiaisSobrepostas a Efeitos de Cargas

Msup

p

idN

idN

N[kN]

Extensão média

ε m [‰]

I I

I

II

I

II

Es.As

Isolated Axial Action

Indirect Action Superposed with vertical loads

Ncr

N[kN]

N[kN]

N[kN]

Ncr

Ncr Ncr

Extensão média

ε m [‰]

Extensão média

ε m [‰]

Extensão média

ε m [‰]

1<ξcrid NN ξ=

12

Análises Não Lineares com Diferentes Percentagens de Armaduras

Pormenorização de Armaduras

As,case i Built in end axially free - Loads and imposed DeformationBuilt-in-end - Shrinkage

Built-in-end

l ∆l

only imposed deformation

0,0911,0411φ12 (12,44 cm2)4

0,1110,859φ12 (10,18 cm2)3

0,1430,667φ12 (7,92 cm2)2

0,1250,528φ10 (6,28 cm2)1

C25/30:Ec=30.5 MPafct=2.5 MPa

S500:Es=200 MPafyk=500 MPa

Medium spacing

Reinforcement percentage[%]

As, adopted/2Different

Cases

11.8810.258.627.22Level 2 –quasi permanent

5.945.134.313.61Level 1 – 0.50 x quasi-permanent

Case 4 kN/mCase 3 kN/m

Case 2 kN/m

Case 1kN/m

Níveis de Cargas verticais associados às diferentes quantidades de armadura

1.00m

h=0.24m

As2

As2

13

Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Exteriores

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

ρρρρ=1.04%ρρρρ=0.85%

ρρρρ=0.66%

0.50 x Mcqp

1.0 x Mcqp

ρρρρ=0.52%

Para valores correntes de εεεεid=0.30‰‰‰‰ a 0.50‰‰‰‰ a redução do esforço axial é significativa em relação

ao caso sem sobreposição de efeitos de carga

Ncr⇒⇒⇒⇒

Ncr⇒⇒⇒⇒

Ncr⇒⇒⇒⇒

Ncr⇒⇒⇒⇒

14

Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Interiores

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

εεεεm [‰]

N

[kN]

ρρρρ=0.52% ρρρρ=0.66%

ρρρρ=0.85% ρρρρ=1.04%

0.50 x Mcqp

1.0 x Mcqp

As reduções de esforço axial são ainda mais significativas (Nidbastante mais pequeno que Ncr)

Ncr

Ncr

Ncr

Ncr

15

Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Externas

0

100

200

300

400

500

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

εεεεm [‰]

σσσσs [MN/m2]

0,120

0,336

0,552

0,791

1,031

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006w [m]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90εεεεm [‰]

σσσσs [MN/m2]

1,031

2,325

3,021

3,332

3,668

3,908

4,219

0,00000

0,00005

0,00010

0,00015

0,00020

0,00025

0,00030

0,00035

0,00040

Armadura Superior Armadura Inferior

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7

ε ε ε ε ≈ 0.50‰‰‰‰

σσσσs = 350 MPaσσσσs = 300 MPa

w = 0.40 mmw = 0.35 mm

σσσσs = 350 MPa

σσσσs = 300 MPa

A

only imposed deformation • Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)

• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão

• Valores máximos de σs e w com valores razoáveis

Armadura Inferior

Armadura Inferior

Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos

16

Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos

-100

-50

0

50

100

150

200

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

εεεεm [‰]

σσσσs [MN/m2]

2,349

2,661

3,141

3,620

5,346

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004w [m]

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00045

0,0005

-50

0

50

100

150

200

250

300

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80εεεεm [‰]

σσσσs [MN/m2]

0,120

0,312

0,552

0,791

1,055

Armadura superior Armadura InferiorArmadura InferiorArmadura InferiorArmadura Inferior

ε ε ε ε ≈ 0.50‰‰‰‰

σσσσs = 260 MPa

w = 0.40 mm w = 0.35 mm

σσσσs = 170 MPa

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7

σσσσs = 260 MPa

σσσσs = 170 MPa

Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Internas

A

only imposed deformation

Armadura superior

Armadura inferiorArmadura inferiorArmadura inferiorArmadura inferior

0.50 0.50

• Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)

• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão

• Menores tensões σs mas valores semelhantes de w

17

� Considerando uma deformação imposta isolada:

Critério de Dimensionamento Proposto

crTT NN ×= ∆∆ ξ

0.800.600.351.00 %

0.700.550.350.80 %

0.650.550.350.50 %

0.50‰0.30‰0.10‰∆ε∆ε∆ε∆ε∆∆∆∆T

ρρρρ

crcscs NN ×= ξ

0.400.350.251.00 %

0.450.400.250.80 %

0.500.450.300.50 %

0.50‰0.30‰0.10‰∆ε∆ε∆ε∆εcs

ρρρρ

� Considerando sobreposição de efeitos:

N = Ncr ≤ As x σs

Indicações do EC2

N = ξ x Ncr

Cálculo da tensão do aço

N

N M

σs =fsyk Critério de não cedência

σs < fsyk Controlo indirecto

φφφφ ≤≤≤≤ φφφφcode da abertura de fendas

σs função directa de Ncr

18

Abertura de fendas

Escorregamento

Fissura

c

c

φ

Estado I

εc1=εs1

Tensão de aderência

τbm

τb

σc1=fct

N=Nf

hef Ac,ef

l 0

ef

efc

bm

ctAf

ρ

φκ

φ

τ πφ..

4

1

4..

4

.

,0 2

==l

Comprimento de transição

Abertura de Fendas de acordo com o Eurocódigo 2

( )cmsmrsw εε −= .max,ef

máxrm kkcsρ

φ×××+= 21, 425,040,3

)1( efefs

ctt

s

scmsmsrm n

E

fk

Eρ

ρ

σεεε ×+−=−=

K1 = 0.8 a 1.6 (aderência)

K2 = 0.5 a 1.0 (flexão/tracção)

Kt = 0.4 a 0.6 (curta/longa duração)

19

Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)

Deformação Imposta Interna (retração do betão)

wm = srm . εsrm = srm . τ

εload+cs

s2 ; εload+ cs

s2 =

σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T Ncr)

Es

Deformações Impostas (Externa e Interna)

wm = srm . εsrm = srm . τ

εload+cs

s2 + |εcs| ; εload+cs

s2 =

σs2 (Mg+ψ2q, ξcs Ncr)

Es

De uma forma simplificada (Estado II puro 0.35 l0 para cada lado da fenda):

srm . τ ≅ 0.7 l0 (Favre, et al)

Avaliação da Abertura de Fendas

wm = srm . εsrm = srm . τ

εload+∆T+cs

s2 + |εcs| ; εload+∆T+cs

s2 =

σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T+cs Ncr)

Es

ξ∆T+cs = k ξ∆T + (1 – k) εcs

20

� No caso A, verifica-se um bom comportamento estrutural em

flexão composta;

8φ10

7.00 m ∆l

11φ10

8φ10 - Caso A3φ10 - Caso B

p.p.= 6.00 kN/mr.c.p.= 1.50 kN/mSc= 4.0 kN/m

pcqp=8.30 kN/m

11φ10

1.75 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

εεεεm [‰]

Es

forç

o N

orm

al [k

N]

� No caso B, com menos armadura na face superior (meio vão),

apresenta um mau comportamento estrutural submetido à acção

indirecta isolada.

� Numa situação de sobreposição de efeitos, o comportamento até

um nível de extensão de 0.50‰, é idêntico ao caso anterior, ficando

comprometido, após o aparecimento de tracções na fibra superior;

� A distribuição das quantidades de armadura deve obedecer ao

andamento do diagrama de momentos flectores, de acordo com uma

análise de tensões.

Distribuição Assimétrica de Armadura

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

εεεεm [‰]

Esfo

rço

No

rma

l [k

N]

Caso A

Caso B

21

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0

7.5

15.0

22.5

30.0

37.5

45.0

52.5

60.0

67.5

75.0

82.5

90.0

97.5

105.

0

� Avaliação dos Esforços axiais gerados, devido às restrições exteriores ao elemento em análise, tendo em conta o módulo de elasticidade ajustado;

� Dimensionamento Corrente aos E.L. Últimos, sem consideração das deformações impostas;

� Avaliação do nível das tensões nas armaduras, para o par de esforços (N,M), em secção fissurada;

� Análise em Serviço da Combinação das Cargas Verticais (comb. quase-permanente), com o nível de esforço axial reduzido N (r,e(‰));

� Eventual reforço das quantidades definidas em 1, segundo o critério definido para a armadura (não cedência da armadura ou controlo da abertura de fendas)

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0

7.5

15.0

22.5

30.0

37.5

45.0

52.5

60.0

67.5

75.0

82.5

90.0

97.5

105.

0

0

100

200

300

400

500

600

700

0.0

7.5

15.0

22.5

30.0

37.5

45.0

52.5

60.0

67.5

75.0

82.5

90.0

97.5

105.

0

kN/m

ξ X Ncr

Ncr

Nelastico

ξ X Nelastico

Metodologia Proposta

22

A

B

C D

[kN/m]

C25 /30 ; S500

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0

[m]

Esfo

rço

Ax

ial [k

N/m

]

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0

[m]

Esfo

rço

Axia

l [k

N/m

]

Nelastic

Ncr

Caso Prático – Situação de um Piso Enterrado com planta de 105.0mx45.0m e Espessuras 0.20m com Capiteis 0.35m

Distribuição de armadura para os estados limites últimos e “armadura mínima de tracção”

Esforços axiais para uma retracção de 0.3‰ e Ec,adj = Ec,28/3

23

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0

[m]

Es

forç

o A

xia

l [k

N/m

]

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0

[m]

Esfo

rço

Axia

l [k

N/m

]

cridcrcrid NNifNNN >×=×= 6.0ξ

crididcrid NNifNNN <×=×= 6.0ξ

Nelast

Ncr

min(ξ Nelast.; ξ Ncr)

ξ Avaliado para ρ = 0.80% e considerandouma deformação imposta exterior

• Para o critério de não cedência de armadura, a pormenorização definidaanteriormente é suficiente

• Para a limitação da abertura de fendas aproximadamente a 0.30mm, as armaduras na maior direcção e na menor junto às paredes:

Inferior φ10/0.15 ⇒ φ10/0.10

Superior φ12/0.20 ⇒ φ12/0.20 + φ10/0.20

Sobre os pilares sem modificação

Aplicação dos Critérios de Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas