donde:

pr = m

m∴ r = –– (α)p

qr = n

n∴ r = –– (β)q

m nEs decir, los cocientes entre –– y –– , deben ser enteros e iguales.

p q

NÚMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE

De (α) y (β):

m n–– = –– = # de términos del cociente notable.p q

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Simplificar:

1 x x2 x3 xn xn-1E = –– + –– + –– + –– + … + –––– + ––––––––

a a2 a3 a4 an+1 an+1(a - x)

Solución:

Sumando todos menos el último sumando:

1 x x2 xn–– + –– + –– +…+ ––––a a2 a3 an+1

an + an-1x + an-2x2 + an-3x3 +…+ xn= –––––––––––––––––––––––––––

an+1

escribiendo el numerador como C.N.:

an+1 - xn+1

–––––––––1 x x2 xn a - x –– + –– + –– + …+ ––– = –––––––––a a2 a3 an+1 an+1

an+1 - xn+1= –––––––––

an+1(a - x)

Sustituyendo en la expresión:

an+1 - xn+1 xn+1 an+1 - xn+1 + xn+1E = ––––––––– + ––––––––– = –––––––––––––––

an+1(a - x) an+1(a - x) an+1(a - x)

simplificando:

an+1 1E = ––––––––– = –––– = (a - x)-1

an+1(a - x) a - x

Rpta.: E = (a - x)-1

2.- Hallar el término independiente del cociente:

(x + a)n - an––––––––––

x

Solución:

Dando la forma de C.N. y desarrollando:

(x + a)n - an

–––––––––– = (x + a)n-1 + (x + a)n-2a1

(x + a) - a+ (x + a)n-3a2 + … + an-1

El término independiente del C.N. es:

P(0) = an-1 + an-2a1 + an-3. a2 + … + an-1 1444442444443

“n términos”

= an-1+ an-1+ an-1+...+an-1144424443

“n veces”

T.I.C. = nan-1

3.- Simplificar:

x78 + x76 + x74 + … + x4 + x2 + 1E = ––––––––––––––––––––––––––––

x38 + x36 + x34 + … + x4 + x2 + 1

Solución:

Escribiendo el numerador y denominador como C.N.:

(x2)40 - 140

–––––––––––(x2) - 1

E = –––––––––––(x2)20 - 120

–––––––––––(x2) - 1

efectuando y simplificando:

x80 - 1 (x40)2 - 12

E = ––––––– = –––––––––x40 - 1 x40 - 1

(x40 + 1) (x40- 1)2

E = ––––––––––––––– = x40 + 1(x40- 1)

4.- Hallar el cociente y el resto en:

x34 + x2-1––––––––––––––––––––––––––––––

x32 + x30 + x28 + … + x4 + x2 + 1

Solución:

Transformando el divisor a Cociente Notable:

Á L G E B R A

- 129 -

Algebra 27/7/05 16:04 Página 129

x34 + x2 - 1 (x34 + x2 - 1)(x2 - 1)–––––––––– = –––––––––––––––––

x34 - 1 x34 - 1––––––x2 - 1

x36 + x4 - x2 - x34 - x2 + 1= ––––––––––––––––––––––

x34 - 1

Dividiendo por el método normal:

x36 - x34 + x4 - 2x2 + 1 x34 - 1

-x36 + x2 x2 - 1

- x34 + x4 - x2 + 1

+ x34 - 1

+ x4 - x2

Resto VerdaderoComo Resto verdadero = –––––––––––––––x2 - 1

x4 - x2

= –––––– = x2

x2 - 1

Rpta.: El cociente es : q(x) = x2 - 1

5.- Hallar (m + n) si el t (25) del desarrollo de:

x129m - a86n––––––––––

x3m - a2n

es x270a288

Solución:

Cálculo de t(25):

Escribiendo la división como C.N.:

(x3m)43 - (a2n)43

–––––––––––––––(x3m) - (a2n)

t(25) = + (x3m)43-25 (a2n)25-1 = x54m a48n = x270a288

Por datos:

identificando los exponentes:

54m = 270 ⇒ m = 5

48n = 288 ⇒ n = 6

6.- Si los grados absolutos de todos los términos vandisminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de sudesarrollo tiene grado absoluto (G.A.) = 87, hallarel número de términos siendo el C.N.:

xnp - ap–––––––

xn - a

Solución:

1) Cálculo del t(40):

t(40) = (xn)p-40 (a)40-1

Por dato:

G.A.t(40) = n(p - 40) + 39 = 87

n(p - 40) = 48 (α)

2) Cálculo del t(41):

t(41) = (xn)p-41 (a)41-1

t(41) = (xn)p-41 (a)40

por ser término consecutivo, y los grados absolu-tos según el problema disminuyen de 3 en 3, setiene:

G.A.t(41) = n(p - 41) + 40 = 84

n(p - 41) = 44 (β)

Dividiendo (α) : (β):

n(p - 40) 48 12–––––––– = ––– = –––n(p - 41) 44 11

∴ p = 52

7.- Si el siguiente cociente:

x6n+3 + a6n-22––––––––––––––

n - 6 n - 8(––––) (––––)x 2 + a 2

es notable. Calcular:

a) El valor de n.

b) El número de términos.

c) El término 19.

- 130 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 130

Solución:

Si es C.N., por fórmula:

6n + 3 6n - 22–––––– = ––––––– = # de términos.

n - 6 n - 8––––– –––––2 2

a) Simplificando:

6n + 3 6n - 22–––––– = –––––––

n - 6 n - 8

Multiplicando medios y extremos:

(6n + 3)(n - 8) = (6n - 22)(n - 6)

6n2- 48n + 3n - 24 = 6n2 - 36n - 22n + 132

13n = 156

∴ n = 12

b) El número de términos es:

6n + 3 6(12) + 3 75# = –––––– = ––––––––– = –––– = 25

n - 6 12 - 6 3––––– ––––––2 2

c) El cociente notable es:

x75 + a50 (x3)25 + (a2)25

–––––––– = ––––––––––––x3 + a2 (x3) + (a2)

Por fórmula:

t19 = +(x3)25-19 (a2)19-1

t19 = x18a36

8.- En el cociente notable:

xa - yb

–––––––x3 - y7

hay un término central, que es igual a:

xc y231

Hallar: E = a + b + c

Solución:

Si es cociente notable, llamando m al número detérminos, se tiene:

a b–– = –– = m (α)3 7

Luego, el k- ésimo término será:

t(k) = (x3)m-k (y7)k-1

si hay término central, entonces:

(x3)m-k(y7)k-1 = xcy231

identificando exponentes:

3(m - k) = c (β)

7(k - 1) = 231

∴ k = 34

El lugar del término central es 34, entonces habrá:

… … … … … 34 … … … … …1442443�������1442443

33 3314444444244444443m = 33 + 33 + 1 = 67 términos

a bEn (α) : –– = –– = m = 673 7

ade aquí: –– = 67 ⇒ a = 201b

b–– = 67 ⇒ b = 4697

En (β):

3(67 - 34) = c ⇒ c = 99

Luego, el valor pedido es:

E = 201 + 469 + 99 = 769

9.- Sabiendo que el t(5) del cociente notable:

a4x- b4x

––––––––––––a5

y-9 - b5y -9

es: a176 b64. Calcular el número de términos.

Solución:

Desarrollando el Cociente Notable:

a4x- b4

––––––––––– = a4x -(5y - 9) + a4x -2(5y - 9)

a5y -9 - b5y -9

. b5y-9 + a4x -3(5y -9) . b2(5y -9) + a4x -4(5y -9)

. b3(5y -9) + a4x -5(5y -9) + b4 (5y -9) +…

Á L G E B R A

- 131 -

Algebra 27/7/05 16:04 Página 131

Por dato:

t(5) = a4x -5(5y -9) b4(5y -9) = a176 b64

identificando exponentes de a:

4x- 5(5y - 9) = 176 (α)

exponentes de b:

4(5y - 9) = 64

5y - 9 = 16

5y = 52

de donde: y = 2

En (α): 4x - 5(16) = 176

4x = 256 = 44

∴ x = 4

El número de términos es:

4x 44 256–––––– = –––––– = –––– = 165y - 9 52 - 9 16

10.- Cuál es el lugar que ocupa un término en elsigueinte C.N.:

x350 - y140

––––––––––x5 - y2

contado a partir del primer término sabiendo quela diferencia del grado absoluto (G.A.) de éstecon el G.A. del término que ocupa la misma posi-ción contado a partir del extremo final es 9.

Solución:

a) Cálculo del t(k) contado a partir del extremoinicial:

T(k) = (x5)70-k (y2)k-1

G.A.t(k) = 5(70 - k) + 2(k - 1) = 348 - 3k

b) Cálculo del t(k) contado a partir del extremofinal.

Sean los términos y sus respectivas posiciones.

“n”6444444474444444481 , 2 , 3, 4 , … ……, k, …… ……, n

1442443↑ (n - k)678

(n - k + 1)

El t(k) contado a partir del extremo final ocupa laposición n - k + 1 contado a partir del extremoinicial. Luego:

t(n - k + 1) = t(70 - k + 1) = t(71 - k)

= (x5)70-(71-k) (y2)71-k-1

t(71 - k) = (x5)k-1 (y2)70-k

G.A. :

t(71 - k) = 5(k - 1) + 2(70 - k) = 3K + 135

Por la condición del problema:

(348 - 3k) - (3k + 135) = 9

de donde: k = 34

El término ocupa el lugar 34.

- 132 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 132