Ejercicios Resueltos de Probabilidades

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES: 1) Sea = { A={ , , ,, ,,# #

} } ;rn

Se define: P (A) =

Demostrar que P(A) es funcin probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea funcin probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0

Por definicin la cardinalidad de un conjunto es el conteo de elementos de tal conjunto, por lo tanto son positivas. # ii. 0, # 0 P(A) 0

P() = 1

Basta con solo reemplazar en la funcin P(A) P () = iii. P( P( P( P(# #

= 1 P () = 1 )= )= )=# # # #

= +# #

#

#

=

#

# #

+ = P (

)+P(

) +

)=

Por lo tanto P (A) es funcin probabilidad.

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 2) Sea: = {0, 1, 2,.} Se define: P(A) = !

Demostrar que P(A) es funcin probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea funcin probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0

El , es una constante positiva. 3 Siempre es mayor que cero para todo valor de x. La factorial de un nmero est definida como positivo. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P () = 1 P () = P () = 1 iii. P( Por lo tanto P (A) es funcin probabilidad. !

!

=

!

=

!

=

=1

)=!

=!

=!

+ !

+ =

=

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 3) Sea: = {1, 2, 3,.} Se define: P (A) = Demostrar que P(A) es funcin probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea funcin probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 2 0/ 0

Al aplicar sumatoria se conserva la igualdad. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P () = 1 P () = P () = P () = 1 iii. P( Por lo tanto P (A) es funcin probabilidad. )= =

=

=

1

1

= + =

+ =

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4)

Sea: = {x/x R}; (-, ) Se define: P (A) =

Demostrar que P(A) es funcin probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea funcin probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. El

P(A) 0 , es una constante positiva. Siempre es mayor que cero para todo valor de x.

Por lo tanto: P(A) 0 ii. P () = 1

P () = P () = P () =

= = 2 =

(Hacemos u = (z 1 = =1

)

z= )

1

P () = 1 iii. P( )= + + .. =

=

=

Por lo tanto P (A) es funcin probabilidad.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 5) Demostrar que: P ( ) = 1 P (A)

A :

SOLUCION: Sabemos que: P () = 0 y P () = 1 Del diagrama se puede ver que: A U =

Si aplicamos funcin probabilidad en la igualdad, tendramos: P (A U ) = P () ) -P (A ) = P ()

P (A) + P ( P (A) + P ( P (A) + P ( P (A) + P ( P(

) - P () = P () )0=1 )=1

) = 1 P (A)

6) Demostrar que: P () = 0

SOLUCION: Solo basta analizar y darse cuenta de que: = U Si aplicamos funcin probabilidad en la igualdad, tendramos: P () = P ( U ) / Como y son eventos excluyentes: P ( U ) = P () + P () P () = P () + P () 1 = 1 + P () P () = 0

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 7) Demostrar que: i. P ( ii. P ( A ) = P (B) P (A ) = P (A) P (A B

A

SOLUCION: Solo basta ver el diagrama para darse cuenta que ,A eventos mutuamente excluyentes, es decir, que su interseccin es vaco. i. Para la primera parte tenemos que: B = funcin probabilidad en la igualdad. B U (A B + P (A B) = P (B) P (A ii. B B) B U (A B U (A

By

B son

B , luego, aplicamos

P (B) = P P (B) =P P(

Para la segunda parte tenemos que: A = ( funcin probabilidad en la igualdad. U (A + P (A ) = P (A) P (A B B) B )

B , luego, aplicamos

P (A) = P (( P (A) = P ( P( 8)

Demostrar que: P (A U ) = P (A) + P ( ) - P (A

SOLUCION: Ocupando el mismo diagrama, unimos A y B y tenemos que: AUB=( igualdad. P (A U B) = P hechas. ) (A B) + P (A B , luego, aplicamos funcin probabilidad en la B +P( B) / Ocupamos las dos demostraciones ya B

P (A U B) = P (A) P (A B + P (A P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B)

B + P (B) P (A

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 9) P (A) = donde Si y y son funciones de probabilidades, entonces pruebe que: + , tambin es una funcin probabilidad, son nmeros positivos tal que: + =1

SOLUCION: Para que P(A) sea funcin probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 y son funciones positivas.

Como y son funciones de probabilidades, y son nmeros positivos tambin. Los Por lo tanto: P(A) 0 ii. P () = P () = 1 + =1 / Como y

son funciones de probabilidades, 1 1

P () = + P () = 1 10)

Demostrar que: 1 P (

)P(

) P (A

SOLUCION: Se sabe que: P (A

B 1

P (A U B 1 P (A) + P (B) - P (A B) 1 P (A) + P (B) 1 P (A B) 1 1 + P (A) + P (B) 1 P (A B) 1 (1 P (A)) (1 P (B)) P (A B) 1 P ( ) P ( ) P (A B

11) Demostrar que: P ((A U B)/C) = P (A/C) + P (B/C) P ((A SOLUCION: Sabemos que: P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A P ((A U B)/C) = P ((A U B)/C) = + = B)/C) = B)

)/C)

P ((A U B)/C) = P (A/C) + P (B/C) P ((A

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades EJERCICIOS DE PROBABILIDADES: 1) Sea: = {0,1, 2, 3,., n}

Ocupando:

Demuestre que: P (A) = es funcin probabilidad.

2)

Sea: = {0, 1, 2 }

Demuestre que: P (A) = es funcin probabilidad.

; 0p1

3)

Si P (

) = , P (A U ) =

y P(

)=

Calcular: a) P (A

)

b) P (

c) P (

)

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 4) Pruebe que:

P{

} = 1 (P (A) - P (A

)) (P (B) - P (A

))

5)

Sean A, B, C eventos. Pruebe que: P /C) = P (B/C) P ((A )/C)

6)

La probabilidad de que Carlos apruebe Probabilidad es 0.55 y de que apruebe Calculo III 0.40. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 0.25. Cul es la probabilidad de que Carlos: a) b) c) d) Apruebe por lo menos uno de los dos cursos? Apruebe solo uno de los dos cursos? No apruebe ninguno de los dos cursos? Apruebe solo Probabilidades?

7)

Demuestre que si A es un evento cualquiera: 0 P (A) 1

8) Es bien conocida la funcin de PROBABILIDAD CONDICIONAL definida por: P (A/B) = Demuestre que P (A/B) si es una funcin de probabilidad.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES: 12) Hacer todas las demostraciones del teorema de la urna (CON Y SIN REEMPLAZO)

SOLUCION: 1 Algunas definiciones:

M = Total de elementos = Elementos del tipo I = Elementos del tipo II n = cantidad de seleccionados Ahora defino los siguientes eventos: = Los k primeros elementos seleccionados son del tipo I y los (n-k) restantes del tipo II. = Hay exactamente k elementos del tipo I en la muestra seleccionada. Un esquema bsico de la situacin:

M 1 2 3..

-

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades La situacin la dividiremos en dos casos: 1) La seleccin efectuada es SIN REEMPLAZO: Primero calcularemos la cardinalidad de : =( , , ,, )/ = M posibilidades = M 1 posibilidades ... = [M (n - 1)] posibilidades Usando el principio multiplicativo hallamos # (): # () = M (M - 1).. [M (n - 1)] Haciendo un pequeo arreglo: # () = # () =! !

1 ..

1

Ahora lo mismo pero para el evento =( , ,, , ,,

: )/ = = = = = =[ 1 posibilidades 1 posibilidades posibilidades 1 posibilidades posibilidades 1 posibilidades

Usando el principio multiplicativo hallamos # ( #( )= ( 1 1 (

): )( 1) [ 1

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades Haciendo un pequeo arreglo: #( )= ( #( )=! !

(

1 )( *!

1 1) [!

*

1

Luego: P( )=# #

=

!

!

!

!

!

!

Haciendo un anlisis del segundo evento , nos damos cuenta que la cantidad de elementos del tipo I son los mismos, lo que cambia es la forma de combinarlos, por lo tanto se concluye que: P( )=( )P( )

Factorizando y jugando con los trminos, llegamos a la siguiente expresin: P( )= /

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 2) La seleccin efectuada es CON REEMPLAZO: =( , , ,, )/ = M posibilidades = M posibilidades ... = M posibilidades

Usando el principio multiplicativo hallamos # (): # () =

=(

,

,,

,

,,

)/

= = = = = =

posibilidades posibilidades

posibilidades posibilidades posibilidades

posibilidades

#(

)=

P(

)=

# #

=

Hacemos un pequeo arreglo: P( )= = 1

Donde: P( )=( )P( )P( )=( ) 1

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13) La produccin de un cierto artefacto esta dado por 3 mquinas: La maquina I produce el 20% del total, pero su 5% sale defectuoso. La maquina II produce el 40% del total, pero su 6% sale defectuoso. La maquina III produce el 40% del total, pero su 8% sale defectuoso. Se selecciona un artculo del total producido por las tres mquinas: i) ii) Determinar la probabilidad de que el artculo sea defectuoso. Determinar la probabilidad de que el artculo seleccionado provenga de la mquina II sabiendo que el artculo es defectuoso.

SOLUCION: i. Definimos los siguientes eventos: = El artculo seleccionado proviene de la i sima mquina, i = 1, 2, 3. = El artculo seleccionado es defectuoso.

Del enunciado podemos concluir lo siguiente: P (B / P (B / P (B / ) = 0.05 ) = 0.06 ) = 0.08 P( P( P( ) = 0.2 ) = 0.4 ) = 0.4

Deseamos calcular P (B), para eso, ocupamos el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL P (B) = P B/ P = 0.2*0.05 + 0.4*0.06 + 0.4*0.08 = 0.066

ii.

Ocuparemos el TEOREMA DE BAYES:/ . .

P(

/ B) =

=

.

= 0.36

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14) Se posee una urna con 7 fichas, de las cuales 3 son blancas y el resto son verdes. Se seleccionan 3 fichas al azar de la urna, de una en una y sin reemplazo: i) ii) Calcular la probabilidad de que las dos primeras fichas seleccionadas sean blancas y la ltima sea verde. Calcular la probabilidad de que hayan exactamente dos fichas blancas y dos verdes.

SOLUCION: i. Analizando el enunciado, nos damos cuenta que lo pedido no es nada mas que P( ) Defino: = Las primeras dos fichas seleccionadas son blancas y el resto son verdes. Ocupamos la formula del teorema de la urna SIN REEMPLAZO: P( )= Otra forma es ocupando la cardinalidad de cada evento: =( , , )/ = 3 posibilidades = 2 posibilidades = 4 posibilidades #( ) = 3*2*4 = 24! ! ! = ! ! !

0.114

# () = 7*6*5 = 210 P( ii. )=# #

=

= 0.114 :

En este caso, el enunciado se refiere a P( )= / = 0.342

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15) En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es de 0.1. La probabilidad de que la alarma funcione sabiendo que se produce peligro es de 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma dado que no hay peligro es de 0.03. Hallar la probabilidad de que: i) ii) iii) SOLUCION: Primero defino los siguientes eventos: A = Alarma funciona B = Se produce peligro Ya sabemos que: P (B) = 0.1 P (A/B) = 0.95 P ( / ) = 0.03 i. En este caso nos piden calcular P ( P( / 0.03 =P

No haya habido peligro sabiendo que la alarma funciono. Haya un peligro o que la alarma no funcione. No funcione la alarma.

/

)=

P (A/B) =

.

0.95 =P A

.

= 0.027

B) = 0.095

+P A P (A) = P ( / ) P (A) = P + P A B) P (A) = 0.027 + 0.095 P (A) = 0.122 P( ii. / = =. .

B) P (B)

= 0.221 U B)

Ahora nos piden calcular P ( P ( U B) = P ( ) P ( U B) = 1 P ( ) P ( U B) = 1 0.027 P ( U B) = 0.973 P(

iii.

) = 1 P (A) = 1 0.122 = 0.878

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 16) 4 personas se renen. Cul es la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan nacido en el mismo mes? SOLUCION: Primero trabajaremos con la cardinalidad del espacio muestral =( , , , )/ = 12 posibilidades = 12 posibilidades = 12 posibilidades = 12 posibilidades

Ocupando el principio multiplicativo obtenemos que: # = 12*12*12*12 = 12 = 20736 Ahora defino: A = Al menos 2 estudiantes nacieron el mismo mes.

Pero para no complicarnos trabajaremos con el complemento del evento, es decir: = Ningn estudiante naci el mismo mes. = 12 posibilidades = 11 posibilidades = 10 posibilidades = 9 posibilidades NOTA: Las posibilidades se van reduciendo en relacin a los meses. Usando el principio multiplicativo obtenemos que: # = 12*11*10*9 = 11880 )=# #

=(

,

,

,

)/

Luego: P (

=

= 0.572 )

Pero queremos P (A), entonces: P (A) = 1 - P ( P (A) = 1 0.572 = 0.428

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 17) Una prueba de sangre de laboratorio es 99% efectiva para detectar una cierta enfermedad cuando ocurre realmente. Sin embargo, la prueba tambin da un resultado positivo falso en 1% de las personas sanas a las que se les aplica. (Es decir, si se le hace la prueba a una persona sana, con probabilidad 0.01 el resultado de la prueba implicar que la persona padece la enfermedad). Si 0.5% de la poblacin tiene realmente la enfermedad, Cul es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si la prueba dio resultado positivo?

SOLUCION: Lo primero es definir los eventos: A = Gente tiene la enfermedad = Gente no tiene la enfermedad B = Prueba de sangre da positivo Del enunciado podemos concluir que: P (A) = P(.

= 0.005

) = 1 0.005 = 0.995

P (B/A) = 0.99 P (B/ ) = 0.01

En el enunciado nos piden calcular P (A/B) P (A/B) =/ / /

= 0.332

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 18) 8 estudiantes del curso de Calculo III se fueron de vacaciones a Europa. Ellos tomaron vuelos distintos y se pusieron de acuerdo para encontrarse en el Grand Hotel, Pars. Resulta que en esa ciudad hay ocho hoteles con ese nombre. Cul es la probabilidad de que todos ellos escojan hoteles diferentes?

SOLUCION: Primero veamos la cardinalidad del espacio muestral: =( , , , )/ = 8 posibilidades = 8 posibilidades ... = 8 posibilidades Ocupando el principio multiplicativo obtenemos que: # () = 8 Ahora defino: A = Los alumnos eligen distintos hoteles A=( , , , )/ = 8 posibilidades = 7 posibilidades ... = 1 posibilidades # (A) = 8! P (A) = ##

=

!

= 0.0024

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 19) En cada una de 10 urnas , , , hay 10 fichas. La n-sima urna (1 n 10) contiene n fichas blancas y (10 - n) fichas negras. Se selecciona una urna al azar y de esta se saca una ficha. Si se conoce que la ficha seleccionada es blanca, Cul es la probabilidad de que la ficha provenga de la urna 4?

SOLUCION: Si vamos haciendo un anlisis del enunciado podemos concluir que: tiene 1 ficha blanca y 9 negras tiene 2 ficha blanca y 8 negras tiene 10 ficha blanca y 0 negras Defino: P( = Seleccionar la urna n )= = Seleccionar una bolita blanca de la urna n P( )=

Si ocupamos el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: P (B) = P ( P (B) = P (B) = / + )P( )+P( / )P( ) + + P ( / )P( )

+ +

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)

P (B) = 0.55 El enunciado nos pide calcular P ( P( /B) =/

/B) =.

= 0.072

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 20) En sus ratos libres, el maestro de maestros y director de la carrera de Pedagoga en Matemtica de la UFRO, el querido profesor PH (COLOCOLINO!!!), se dedica a la pesca. En un da de esos PH ha pescado diez peces, pero dos de esos son ms pequeos que el tamao mnimo legal. Ese da no fue del todo bueno para PH, ya que un inspector de pesca le inspeccion su canasta. El inspector seleccion al azar (SIN REEMPLAZO) dos peces del total de diez. Cul es la probabilidad de que no seleccione ninguno de los pescados de tamao ilegal?

SOLUCION: Nuestro problema tiene bastante similitud con el problema de la urna, solo que en vez de fichas, tenemos peces. Lo cul no es ningn problema, solo cabe recordar que hay que definir los eventos de forma correcta: A = Ningn pescado es de tamao ilegal = Todos los pescados son tamao ilegal =( , )/ = 10 posibilidades = 9 posibilidades # () = 90 A=( , )/ = 8 posibilidades = 7 posibilidades # (A) = 56 P(A) = 0.62 Otra forma: =1 =2 = = P( P( pescado es legal pescado es legal )/ )/ = 8 posibilidades = 7 posibilidades )=P( )= )P( = 0.62 , para la segunda forma de resolver el problema. / ) # ( ) = 10 # ( ) =9 #( #( )=8 )=7

Esta de ms enunciar que: A =

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades 21) La probabilidad de que un vuelo de programacin regular despegue a tiempo es de 0.83, la que lleguen a tiempo es de 0.82 y la que despegue y llegue a tiempo es de 0.78. Encuentre la probabilidad de que: a) Llegue a tiempo dado que despeg a tiempo b) Despegue a tiempo dado que lleg a tiempo

SOLUCION: Basta con definir de buena forma los eventos y ocupar los datos dados por el enunciado. Defino: D = Vuelo despega a tiempo L = Vuelo llega a tiempo Se concluye que: P (D) = 0.83 P (L) = 0.82 P (D L) = 0.78 a) Nos piden calcular P (L/D) P (L/D) = =. .

= 0.94

b) Nos piden calcular P (D/L) P (D/L) = =. .

= 0.95

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades

22) La probabilidad de que Alicia estudie para su examen final de ESTADISTICA es 0.2. Si estudia la probabilidad de que apruebe el examen es 0.8, en tanto que si no estudia la probabilidad es 0.5. a) Cul es probabilidad de que Alicia apruebe ESTADISTICA? b) Dado que Alicia aprob su examen. Cul es la probabilidad de que haya estudiado?

SOLUCION: Defino los siguientes eventos: E = Alicia estudia para su examen de ESTADISTICA A = Alicia aprueba ESTADISTICA Del enunciado obtenemos que: P (E) = 0.2 P ( ) = 0.8 P (A/E) = 0.8 P (A/ ) = 0.5 a) Nos piden calcular la probabilidad del evento A, es decir: P (A)

) Luego ocupamos el TEOREMA DE BAYES para descomponer. P (A) = P (A E) + P (A P (A) = P (A/E) P (E) + P (A/ ) P ( ) P (A) = 0.8*0.2 + 0.5*0.8 P (A) = 0.56 b) La segunda parte corresponde a una PROBABILIDAD CONDICIONAL en la cual nos piden calcular P (E/A) P (E/A) = P (E/A) = 0.29 = =/

=

.

.

.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidades EJERCICIOS DE PROBABILIDADES: 1) En una sala hay M estudiantes, de las cuales dicen que le encantan las matemticas y que no le gustan. Se extrae una muestra de 2 estudiantes (De uno en uno y SIN REEMPLAZO). Determinar la probabilidad de que: i. ii. iii. El primer estudiante seleccionado le guste las matemticas El segundo estudiante seleccionado le gusten las matemticas Ambas estudiantes seleccionadas les gusten las matemticas.

2)

Al contestar una pregunta en un examen de opcin mltiple, una estudiante o sabe la respuesta o la adivina. Sea p la probabilidad de que sepa la respuesta y (1 - p) la probabilidad de que adivine. Suponga que una estudiante que adivina la respuesta acierte con una probabilidad , donde m es el nmero de alternativas en la opcin mltiple. Cul es la probabilidad condicional de que una estudiante hay sabido la respuesta a la pregunta puesto que su respuesta fue correcta?

3)

Se ha lanzado un dado legal cuatro veces. Cul es la probabilidad de que se obtenga el nmero 3 en dos de las cuatro tiradas?

4) Una familia tiene dos hijos. Suponga que cada hijo tiene la misma probabilidad de ser nio o nia. Cul es la probabilidad condicional de que ambos hijos sean nios, dado que: i. El hijo mayor es nio ii. Por lo menos un de los hijos es nio

5) De una total de 60 nmeros distintos vendidos en una mini-lotera, 20 de estos tendrn premios. Si se compran 6 nmeros distintos, Cul es la probabilidad de que 2 de estos nmeros comprados sean premiados?

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 6) Una caja C1 contiene 12 fichas negras y 8 fichas rojas. Otra caja idntica C2 contiene 10 fichas negras y 20 fichas rojas. a) Se toma una caja al azar y se saca una ficha. Encuentre la probabilidad de que la ficha seleccionada sea negra. b) Se toma una caja al azar y se saca una ficha que resulta ser negra. Encuentre la probabilidad de que ella provenga de la caja C1

7)

Se dice que los eventos A y B son independientes si P (A/B) = P (A) o equivalentemente P (A B) = P (A) P (B). Pruebe que los eventos: i. Ay yB ii. iii. y Son eventos independientes.

8) Tres eventos A, B y C son independientes. Pruebe que los eventos: i. A, yC ii. A, y , yC Son eventos independientes. iii.

9) Una compaa de seguros divide a las personas en dos clases, quienes son propensos a accidentes y quienes no lo son. Sus estadsticas muestran que una persona propensa tendr, en no ms de un ao, un accidente con probabilidad 0.4; mientras que esta probabilidad decrece a 0.2 para personas no propensas a accidentes. Si pensamos que 30% de la poblacin es propensa a accidentes. Cul es la probabilidad de que una persona que compra una nueva pliza tenga un accidente en no ms de un ao?

10) Del ejercicio anterior, suponga que un nuevo asegurado ha tenido un accidente a no ms de un ao de haber comprado su pliza. Cul es la probabilidad de que sea propenso a accidentes?

11) Una rifa consta de 100 boletos entre los cuales hay dos premiados. Determinar el nmero menor de boletos que es necesario comprar para que la probabilidad de ganar a lo menos un premio, sea no inferior a .

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atun M. Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad de la Frontera