Álgebra 3º ESO - Ejercicios Resueltos 1

Asocia cada uno de los enunciados con la expresión algebraica que lecorresponde.

a) e = v · t b) V = πr2h c) = =

d) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab e) am · an = am + n

Haz lo mismo con estos enunciados y estas expresiones algebraicas:

a) Un número entero, el anterior y el siguiente.

b) Dos números pares consecutivos.

c) La suma de tres enteros consecutivos es 33.

d) Las edades de dos hermanos difieren en 6años, y el año próximo, el mayor tendrá eldoble de años que el menor.

a) 4 b) 1 c) 3 d) 2

De las expresiones algebraicas que aparecen en la ilustración de arriba, hay dosque son ciertas para cualesquiera de los valores que les demos a las letras.¿Cuáles son?

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab am · an = am + n

Página 87

1 Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) El triple de un número.

b) El triple de un número más cinco unidades.

c) La mitad del resultado de sumarle al triple de un número cinco unidades.

a) 3x b) 3x + 5 c)

2 Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos:

Perímetro = 2x + 10 Perímetro = 4x – 8

Área = 5x Área = x(x – 4)

3x + 52

z8

y5

x3

Pág. 1

1 SOLUCIONES A LAS ACT IV IDADESDE CADA EP ÍGRAFE

Unidad 4. El lenguaje algebraico

4

➀ 2n, 2n + 2

➁

➂ n + (n + 1) + (n + 2) = 33

➃ n, n – 1, n + 1

x – y = 6x + 1 = 2(y + 1)

x

x

x – 4

5

3 Expresa algebraicamente el área, el lado y el perímetro de este rombo:

• El área de un rombo conociendo las dos diagonales es el semiproducto de estasdos diagonales:

Área = = 2x (x – 3)

• Usando el teorema de Pitágoras, calculamos el lado del rombo:

l =

Y, por tanto, el perímetro es:

Perímetro = 4

4 Calcula de dos formas diferentes:

a) 4 · (6 – 2) b) 5 · (8 – 6 + 4) c) 3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4

a) 4 · (6 – 2) = 4 · 4 = 16

4 · (6 – 2) = 4 · 6 – 4 · 2 = 24 – 8 = 16

b) 5 · (8 – 6 + 4) = 5 · 6 = 30

5 · (8 – 6 + 4) = 5 · 8 – 5 · 6 + 5 · 4 = 40 – 30 + 20 = 30

c) 3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4 = 18 – 24 + 12 = 6

3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4 = 3 · (6 – 8 + 4) = 3 · 2 = 6

5 Halla:

a) 8 – (4 – 7) b) 15 – (13 – 4 + 2)

c) 12 – (6 – 9) + (5 – 7) d) –1 + (–3 + 2) – (5 – 2)

a) 8 – (4 – 7) = 8 – 4 + 7 = 11

b) 15 – (13 – 4 + 2) = 15 – 13 + 4 – 2 = 4

c) 12 – (6 – 9) + (5 – 7) = 12 – 6 + 9 + 5 – 7 = 13

d) –1 + (–3 + 2) – (5 – 2) = –1 – 3 + 2 – 5 + 2 = –5

Página 88

1 Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: “La edad de Ángel den-tro de 5 años será el cuádruplo de la que tiene ahora Marisa”.

x + 5 = 4y

√x2 + (x – 3)2

√x2 + (x – 3)2

2(x – 3) · 2x2

Pág. 2



4

x

x – 3

x x + 5y y + 5

AHORA DENTRO DE 5 AÑOS

EDAD DE ÁNGEL

EDAD DE MARISA

1 ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios?

a) – ab2c3 b) –3xy2 c) x2y5z2

a) grado 6 b) grado 3 c) grado 9

2 Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x = 3, y = –2, z = 5.

a) –6x2yz b) 3x2 c) 4xy2

d) –5x2y2z2 e) yz f) –2xz3

a) –6 · 32 · (–2) · 5 = 540 b) 3 · 32 = 27

c) 4 · 3 · (–2)2 = 48 d) –5 · 32 · (–2)2 · 52 = –4 500

e) –2 · 5 = –10 f ) –2 · 3 · 53 = –750

3 Efectúa las siguientes sumas de monomios:

a) 5x – 3x + 4x + 7x – 11x + x

b) 3x2y – 5x2y + 2x2y + x2y

c) 7x3 – 11x3 + 3y3 – y3 + 2y3

a) 5x – 3x + 4x + 7x – 11x + x = 3x

b) 3x2y – 5x2y + 2x2y + x2y = x2y

c) 7x3 – 11x3 + 3y3 – y3 + 2y3 = –4x3 + 4y3

4 Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) –5ab2c3 b) 11x4 c) x

Por ejemplo:

a) 2ab2c3; –ab2c3 b) x4; –x4 c) 2x; –

Página 90

1 Di el grado de cada uno de estos polinomios:

a) x5 – 6x2 + 3x + 1

b) 5xy4 + 2y2 + 3x3y3 – 2xy

c) x2 + 3x3 – 5x2 + x3 – 3 – 4x3

a) grado 5 b) grado 6

c) x2 + 3x3 – 5x2 + x3 – 3 – 4x3 = –4x2 – 3 → grado 2

x4

43

27

Pág. 3



4

2 Sean P = x4 – 3x3 + 5x + 3, Q = 5x3 + 3x2 – 11. Halla P + Q y P – Q.

P = x4 – 3x3 + 5x + 3 P = x4 – 3x3 + 5x + 3

+ Q = 5x3 + 3x2 – 11 – Q = – 5x3 – 3x2 + 11

P + Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 5x – 8 P – Q = x4 – 8x3 – 3x2 + 5x + 14

3 Halla los productos siguientes:

a) x (2x + y + 1) b) 2a2(3a2 + 5a3)

c) ab (a + b) d) 5(3x2 + 7x + 11)

e) x2y (x + y + 1) f) 5xy2(2x + 3y)

g) 6x2y2(x2 – x + 1) h) –2(5x3 + 3x2 – 8)

i) 3a2b3(a – b + 1) j) –2x (3x2 – 5x + 8)

a) x (2x + y + 1) = 2x2 + xy + x

b) 2a2(3a2 + 5a3) = 6a4 + 10a5

c) ab (a + b) = a2b + ab2

d) 5 (3x2 + 7x + 11) = 15x2 + 35x + 55

e) x2y (x + y + 1) = x3y + x2y2 + x2y

f ) 5xy2(2x + 3y) = 10x2y2 + 15xy3

g) 6x2y2(x2 – x + 1) = 6x4y2 – 6x3y2 + 6x2y2

h) –2(5x3 + 3x2 – 8) = –10x3 – 6x2 + 16

i) 3a2b3(a – b + 1) = 3a3b3 – 3a2b4 + 3a2b3

j) –2x (3x2 – 5x + 8) = –6x3 + 10x2 – 16x

Página 91

4 Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.

a) 3(x3 – 5x + 7) – (2x3 + 6x2 + 11x + 4)

b) 2x (3x2 – 5x + 1) + 5(3x2 – 5x + 1) – x2

c) 8 · [ + – 3]d) 6 · [ – – – 3]e) – 10 – y – 1

3–3(x – y – 4)

7

y6

y – x2

3(x – 5)2

3x + 52

3(x + 2)4

214

Pág. 4



4

f) 2(x – 1) + 3(y + 4) – + 9

g) (3x3 – 2x2 + 11) – (11x3 + 7x2 – 3x)

h) ( – 3x + ) · (6x2 – 6) + (x3 – 11x + 31)

a) 3(x3 – 5x + 7) – (2x3 + 6x2 + 11x + 4) =

= 3x3 – 15x + 21 – 2x3 – 6x2 – 11x – 4 = x3 – 6x2 – 26x + 17

b) 2x (3x2 – 5x + 1) + 5(3x2 – 5x + 1) – x2 =

= 6x3 – 10x2 + 2x + 15x2 – 25x + 5 – x2 = 6x3 – x2 – 23x + 5

c) 8 · [ + – 3] = 6(x + 2) + 4(3x + 5) – 24 =

= 6x + 12 + 12x + 20 – 24 = 18x + 8

d) 6 · [ – – – 3] = 9(x – 5) – 3(y – x) – y – 18 =

= 9x – 45 – 3y + 3x – y – 18 = 12x – 4y – 63

e) – 10 – = – x + y + – 10 – + =

= – x + y –

f ) 2(x – 1) + 3(y + 4) – + 9 = 2x – 2 + 3y + 12 – x – y + 9 =

= x + y + 19

g) (3x3 – 2x2 + 11) – (11x3 + 7x2 – 3x) =

= – – + + – – 11x3 – 7x2 + 3x =

= x5 – x4 – x3 – x2 + 3x –

h) ( – 3x + ) (6x2 – 6) + (x3 – 11x + 31) =

= 3x4 – 3x2 – 18x3 + 18x + 2x2 – 2 + x3 – 11x + 31 =

= 3x4 – 17x3 – x2 + 7x + 29

13

x2

2

117

13021

807

221

17

3321

11x2

216x2

212x4

219x3

213x5

21

x2 – 321

135

45

25

65

2(3x + y)5

16721

221

37

13

y3

127

37

37

y – 13

–3(x – y – 4)7

y6

y – x2

3(x – 5)2

3x + 52

3(x + 2)4

14

214

214

13

x2

2

x2 – 321

2(3x + y)5

Pág. 5



4

5 Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones.

a) 3x2 + 6x b) a4 – 3a2

c) (x + 1)a + (x + 1)b – (x + 1)c d) 6x2y4 – 3x2y3 + x5y4

e) x (x2y + y2x) + 7(x2y + y2x) f) (x + 5) –

g) – (x2 + 1)x h) –

i) – 3xy (3x + 1) j) xy2(x +1) – (x + 1)

a) 3x2 + 6x = 3x (x + 2)

b) a4 – 3a2 = a2(a2 – 3)

c) (x + 1)a + (x + 1)b – (x + 1)c = (x + 1)(a + b – c)

d) 6x2y4 – 3x2y3 + x5y4 = 3x2y3(2y – 1 + x3y)

e) x (x2y + y2x) + 7(x2y + y2x) = (x2y + y2x) (x + 7)

f ) (x + 5) – = (x + 5 – 1) = (x + 4)

g) – (x2 + 1)x No se puede extraer factor común en esta expresión.

h) – = (x2 + 1)( – ) = · (x2 + 1)

i) – 3xy (3x + 1) = xy ( – 9x – 3) = xy (–9x – )j) xy2(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(xy2 – ) =

= (x + 1) ( ) = (x + 1)xy ( )Página 92

1 Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x + 1)2 b) (x + 3)2 c) (x – 3)2

d) (2x – 1)2 e) (5x + 2)2 f) (5x + 2y)2

a) (x + 1)2 = x2 + 1 + 2x = x2 + 2x + 1

b) (x + 3)2 = x2 + 9 + 6x = x2 + 6x + 9

2y – 12

2xy2 – xy2

xy2

xy2

145

15

xy5

215

15

13

x2 + 15

x2 + 13

3x

x2

x2

x2

x2

12

32

xy2

xy5

x2 + 15

x2 + 13

3x

x2

x2

32

Pág. 6



4

c) (x – 3)2 = x2 + 9 – 6x = x2 – 6x + 9

d) (2x – 1)2 = 4x2 + 1 – 4x = 4x2 – 4x + 1

e) (5x + 2)2 = 25x2 + 4 + 20x = 25x2 + 20x + 4

f ) (5x + 2y)2 = 25x2 + 4y2 + 20xy

2 Expresa en forma de producto:

a) x2 + 2x + 1 b) x2 + 4 + 4x c) 4x2 + 4x + 1 d) 4x2 + 9 + 12x

a) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 b) x2 + 4 + 4x = (x + 2)2

c) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 d) 4x2 + 9 + 12x = (2x + 3)2

Página 93

3 Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x + 1)(x – 1) b) (x + 3)(x – 3)

c) (2x – 5)(2x + 5) d) (x2 + 2)(x2 – 2)

a) (x + 1)(x – 1) = x2 – 1 b) (x + 3)(x – 3) = x2 – 9

c) (2x – 5)(2x + 5) = 4x2 – 25 d) (x2 + 2)(x2 – 2) = x4 – 4

4 Expresa en forma de producto:

a) x2 – 2x + 1 b) x2 – 4 c) x2 – 1

d) 4x2 – 9 e) 16y2 – x2 f) + x + 1

a) x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 b) x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

c) x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) d) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)

e) 16y2 – x2 = (4y + x) (4y – x) f ) + x + 1 = ( + 1)2

5 Multiplica la siguiente expresión por 15 y simplifica el resultado:

+ x – – 10

15 · ( + x – – 10) = x + 15x – 6x – 150 = 10x – 150

6 Multiplica por 8 y simplifica el resultado: + + – –

8 · ( + + – – ) = 4x + 2x + x – 6x – 2 = x – 214

3x4

x8

x4

x2

14

3x4

x8

x4

x2

2x5

x15

2x5

x15

x2

x2

4

x2

4

Pág. 7



4

7 Multiplica por 9 y simplifica el resultado: x + + –

9 · (x + + – ) = 9x + 2x – 3 + 3x – 3 – 12x – 4 = 2x – 10

8 Multiplica por 12 y simplifica el resultado:

+ – +

12 · [ + – + ] =

= 9(x + 2) + 6(3x + 5) – 10(4x + 1) + 25 =

= 9x + 18 + 18x + 30 – 40x – 10 + 25 = –13x + 63

9 Multiplica por 5 y simplifica el resultado: 5 – – (x – 3)

5 · [5 – – (x – 3)] = 25 – 6x + 4 – 5x + 15 = –11x + 44

10 Multiplica por 18 y simplifica el resultado: – –

18 · [ – – ] = 6x – 9(x – 1) – 2(x – 13) =

= 6x – 9x + 9 – 2x + 26 = –5x + 35


+ 36 – – ( + 11)36 · [ + 36 – – ( + 11)] =

= 36 · [ + 36 – – – 11] =

= 9(x – 1) + 1 296 – 6(x + 7) – 4(4x + 7) – 396 =

= 9x – 9 + 1 296 – 6x – 42 – 16x – 28 – 396 = –13x + 821

12 Multiplica por 8 y simplifica el resultado: – – 5

8 · [ – – 5] = (2x – 4)2 – 4x(x + 1) – 40 =

= 4x2 – 16x + 16 – 4x2 – 4x – 40 = –20x – 24

x (x + 1)2

(2x – 4)2

8

x (x + 1)2

(2x – 4)2

8

4x + 79

x + 76

x – 14

4x + 79

x + 76

x – 14

4x + 79

x + 76

x – 14

x – 139

x – 12

x3

x – 139

x – 12

x3

6x – 45

6x – 45

2512

5(4x + 1)6

3x + 52

3(x + 2)4

2512

5(4x + 1)6

3x + 52

3(x + 2)4

12x + 49

x – 13

2x – 39

12x + 49

x – 13

2x – 39

Pág. 8



4


– + +

20 · [ – + + ] =

= 4(x + 2)2 – 5(x2 – 9) + 10(x + 3)2 + 4 =

= 4(x2 + 4x + 4) – 5x2 + 45 + 10(x2 + 6x + 9) + 4 =

= 4x2 + 16x + 16 – 5x2 + 45 + 10x2 + 60x + 90 + 4 =

= 9x2 + 76x + 155

14 Simplifica:

a) (x + 3)2 – [x2 + (x – 3)2] b) (5x – 4)(2x + 3) – 5

c) 3(x2 + 5) – (x2 + 40) d) 3x2 – 2(x + 5) – (x + 3)2 + 19

a) (x + 3)2 – [x2 + (x – 3)2] = x2 + 6x + 9 – [x2 + x2 – 6x + 9] =

= x2 + 6x + 9 – 2x2 + 6x – 9 = –x2 + 12x

b) (5x – 4)(2x + 3) – 5 = 10x2 + 15x – 8x – 12 – 5 = 10x2 + 7x – 17

c) 3(x2 + 5) – (x2 + 40) = 3x2 + 15 – x2 – 40 = 2x2 – 25

d) 3x2 – 2(x + 5) – (x + 3)2 + 19 = 3x2 – 2x – 10 – (x2 + 6x + 9) + 19 =

= 3x2 – 2x – 10 – x2 – 6x – 9 + 19 =

= 2x2 – 8x

Página 95

1 Efectúa las siguientes operaciones:

a) – b) – c) –

a) – = – =

b) – = – = =

c) – = – =

= = x – 18x2 – 4

5x – 10 – 4x – 8(x + 2)(x – 2)

4(x + 2)(x + 2)(x – 2)

5(x – 2)(x + 2)(x – 2)

4x – 2

5x + 2

x2 – 2x – 1x2 + x

x2 – x – x – 1x (x + 1)

(x + 1)x (x + 1)

x (x – 1)x (x + 1)

1x

x – 1x + 1

2y – x2

xyx2

xy2yxy

xy

2x

4x – 2

5x + 2

1x

x – 1x + 1

xy

2x

15

(x + 3)2

2x2 – 9

4(x + 2)2

5

15

(x + 3)2

2x2 – 9

4(x + 2)2

5

Pág. 9



4

2 Opera y simplifica:

a) · b) ·

c) : d) :

a) · = = =

b) · = =

c) : = = x (x + 1) = x2 + x

d) : = = = 7

3 Simplifica estas fracciones algebraicas. En algunas deberás, primero, descom-poner los términos en factores, bien sacando factor común, bien teniendo encuenta los productos notables.

a) b) c)

d) e) f)

a) = b) =

c) = = d) = =

e) = = f ) = =

4 Reduce a denominador común, opera y simplifica el resultado de las siguien-tes expresiones:

a) + + b) + –

a) + + = + + =

b) + – = + – = a2 + b2 – 1ab

1ab

b2

aba2

ab1ab

ba

ab

x2 + x + 1x3

1x3

xx3

x2

x31x3

1x2

1x

1ab

ba

ab

1x3

1x2

1x

1x + 1

x – 1(x – 1)(x + 1)

x – 1x2 – 1

1x + 1

x + 1(x + 1)2

x + 1x2 + 2x + 1

xy

x (x + 1)y (x + 1)

x2 + xyx + y

x1 + x

x3

x2(1 + x)x3

x2 + x3

2y

3x312xy3

18x4y23

5a15a2

25a3

x – 1x2 – 1

x + 1x2 + 2x + 1

x2 + xyx + y

x3

x2 + x312xy3

18x4y215a2

25a3

(x + 2)(x – 2) · 7(x + 2) · (x – 2)

(x2 – 4) · 7(x + 2) · (x – 2)

x – 27

x2 – 4x + 2

x2(x + 1)2

x (x + 1)x

(x + 1)2x2

x + 1

5xx – 1

5x2

x (x – 1)x2

x – 15x

5x2 – y2

5(x – y ) (x + y)

5(x + y)(x – y ) (x + y) (x + y)

5(x + y)2

x + yx – y

x – 27

x2 – 4x + 2

x(x + 1)2

x2

x + 1

x2

x – 15x

5(x + y)2

x + yx – y

Pág. 10



4

5 Reduce a común denominador, opera y simplifica:

a) – – b) +

c) – – d) +

a) – – = – – =

b) + = + = =

c) – – = – – =

= =

d) + = + =

= =

6 Opera y simplifica:

a) · b) 6x2y · c) :

d) 1 : e) : (x – 1) f) :

a) · = = b) 6x2y · = =

c) : = = d) 1 : =

e) : (x – 1) = = =

f ) : = : = =

= = x2 + xx – 1

(x + 1) xx – 1

(x + 1)2x2

x (x + 1)(x – 1)(x + 1)(x – 1)

x2(x + 1)2

xx2 – 1

x2x2 + 2x + 1

x

x + 1x

(x + 1) (x – 1)x (x – 1)

x2 – 1x (x – 1)

x2 – 1x

y3

x2x2

y31xy

30x2y3

30x3y46x3

10y33x2

5y4

y2

3x6x2y2

18x3y

18x33

4a2b230a2b40a4b3

15b8a4

2a2

5b3

x2 – 1x2

x2 + 2x + 1x

x2 – 1x

x2

y3

6x3

10y33x2

5y4y

18x315b8a4

2a2

5b3

2x2 + 2x2 – 1

x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1(x – 1) (x + 1)

(x – 1) (x – 1)(x – 1) (x + 1)

(x + 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)

x – 1x + 1

x + 1x – 1

–1x3 + x2

x2 + x – x2 – x – 1x2(x + 1)

(x + 1)x2(x + 1)

x2

x2(x + 1)x (x + 1)x2(x + 1)

1x2

1x + 1

1x

b2 + 1a2b2

b + b2 + 1 – ba2b2

1 – ba2b2

b (1 + b)a2b2

1 – ba2b2

1 + ba2b

y2 – x2 – xyx2 y2

xyx2 y2

x2

x2 y2y2

x2 y21xy

1y2

1x2

x – 1x + 1

x + 1x – 1

1x2

1x + 1

1x

1 – ba2b2

1 + ba2b

1xy

1y2

1x2

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Álgebra 3º ESO - Ejercicios Resueltos 1

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