ÁLGEBRA - 1 2009

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Expresiones algebraicas Lenguaje común y algebraico Lee acerca de la idea El lenguaje con que las matemáticas expresan ideas es el Álgebra. Su simbología comprende: Números: Letras: Signos de operación: Signos de agrupación: Signos de relación: Mediante esa simbología y la creación humana, la matemática ha obtenido los logros espectaculares realizados hasta hoy desde que el matemático francés Francisco Vieta, en el siglo XVI, elaboró la primera simbología algebraica sintética eficiente. Expresiones matemáticas algebraicas se usan para resolver problemas de Física, Química, Biología, Economía, Finanzas, Psicología, Educación, Astronomía, Informática, Probabilidad, etcétera. Por ejemplo, si se quiere calcular la velocidad que necesita adquirir un cuerpo atrapado por la gravedad de un planeta, se puede hacer usando la ecuación siguiente: En ella: V es la velocidad de escape, G es la constante de la gravitación universal, M es la masa del planeta del que se escapa y R es el radio del planeta del que se escapa. Esta fórmula comprende constantes (2, G) y variables (V, M, R); signo de igualdad (=) y operación (multiplicaciones y raíz cuadrada); la expresión es algebraica y puede leerse usando lenguaje común: “La velocidad de escape de un planeta, V, por un cuerpo que se encuentra atrapado en él, es igual a la raíz cuadrada del cociente del doble del 1

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Expresiones algebraicasLenguaje común y algebraico

Lee acerca de la ideaEl lenguaje con que las matemáticas expresan ideas es el Álgebra. Su simbología comprende:

Números:

Letras:

Signos de operación:

Signos de agrupación:

Signos de relación:

Mediante esa simbología y la creación humana, la matemática ha obtenido los logros espectaculares realizados hasta hoy desde que el matemático francés Francisco Vieta, en el siglo XVI, elaboró la primera simbología algebraica sintética eficiente.

Expresiones matemáticas algebraicas se usan para resolver problemas de Física, Química, Biología, Economía, Finanzas, Psicología, Educación, Astronomía, Informática, Probabilidad, etcétera. Por ejemplo, si se quiere calcular la velocidad que necesita adquirir un cuerpo atrapado por la gravedad de un planeta, se puede hacer usando la ecuación siguiente:

En ella: V es la velocidad de escape, G es la constante de la gravitación universal, M es la masa del planeta del que se escapa y R es el radio del planeta del que se escapa. Esta fórmula comprende constantes (2, G) y variables (V, M, R); signo de igualdad (=) y operación (multiplicaciones y raíz cuadrada); la expresión es algebraica y puede leerse usando lenguaje común:

“La velocidad de escape de un planeta, V, por un cuerpo que se encuentra atrapado en él, es igual a la raíz cuadrada del cociente del doble del producto de la constante de la gravedad universal, G, y la masa M del planeta, entre el radio del planeta, R.”

Resulta evidente, pues, que el lenguaje simbólico del Álgebra supera por mucho en brevedad al lenguaje común e informa igual siempre y cuando el lector entienda el significado de cada signo usado.

En el Álgebra, tanto constantes como variables pueden escribirse usando letras, del alfabeto normal o de otro alfabeto, específicamente el griego. La ecuación para calcular el área de un círculo se escribe . La letra es la letra griega “pi”. Esa letra representa una cantidad constante: 3.14159…

La deficiencia del lenguaje común respecto al algebraico es obvia: el lenguaje común no es conciso.

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Diferencias entre expresiones aritméticas y algebraicas.

Los objetos con que desarrolla su lenguaje la Aritmética son números (constantes definidas), signos de operación (+, -, x, ÷, √ =, etc.) y de igualdad y orden (como =, <, >). Las letras no se usan en la Aritmética. El Álgebra, que usa letras para representar cantidades, es una generalización de la Aritmética. En seguida se muestran ejemplos de expresiones aritméticas y algebraicas.

Expresiones aritméticas Expresiones algebraicas(1) 2[ -3(1 – 8) + 3] – 1(2) 32 – 52 = 9 – 25

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) s = 2 gt2 – 4t + 1(8) F = ma

Las expresiones algebraicas son aquéllas que se enuncian mediante números, letras que pueden ser constantes, incógnitas o variables, y signos de operación como la suma, la multiplicación o potencias racionales.

Una ecuación es una expresión matemática que declara que dos o más cantidades son iguales, por eso implican al signo de igualdad: “=”. También se les llama igualdades, fórmulas o identidades. Las expresiones (2), (7) y (8) son igualdades o ecuaciones, pero en la expresión (2) no hay variables, las que sí existen en las expresiones (7) y (8).

Actividad de aprendizaje

Reúnete a trabajar con dos compañeras o compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen al final sus resultados con los de otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra(o).

A. Escriban con lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

(1) ________________________________________________________

(2) _____________________________________________________

(3) ________________________________________________________

(4) ________________________________________________________

(5) ________________________________________________________

(6) ________________________________________________________

(7) ________________________________________________________

(8) ________________________________________________________

2

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(9) ________________________________________________________

(10) ________________________________________________________

(11) ________________________________________________________

(12) ____________________________________________________

B. Escriban la expresión algebraica que corresponde a cada enunciado siguiente:

(1)La suma de los cuadrados de dos variables diferentes:___________________________

(2)El triple de una variable disminuido el resultado en 10:__________________________

(3)El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera entre el cubo de x:___________

(4)La raíz cuadrada de la suma de dos cantidades.:____________________________

(5)El producto de dos variables más la diferencia de ellas__________________________

(6)La suma de dos variables elevada al cubo:______________________________

(7)Una variable disminuida en 5 es igual a la tercera parte de esa variable:____________

(8)El cociente del triple de la segunda potencia de una variable entre esa misma variable añadida en cuatro:____________________________________________

(9)La diferencia del cuadrado de cada una de dos variables elevada toda a la tercera potencia:______________________________________________________

(10)El cubo de la cuarta parte de una variable:__________________________

(11)El inverso del cuadrado de una variable:____________________________

(12)La quinta potencia del cociente de 2 entre el triple de una variable sumada en 2:_________________________________________________

(13)La raíz cúbica del inverso del cuadrado de la diferencia de dos variables:_______________________________________________

(14)La suma de la raíz cuarta de una variable y la raíz cuadrada del inverso de la variable:__________________________________________________________

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C. Describan cuáles son las diferencias que existen entre una expresión algebraica y una aritmética.____________________________________________________________

______________________________________________________________________

D. En seguida se les ofrecen varias ecuaciones que corresponden a la física. Calculen lo que se les pide usando exclusivamente su calculadora. Validen sus resultados comparándolos con los de otros compañeros.

(1)La aceleración media de un cuerpo se expresa por: , donde v es la

velocidad final, es la velocidad inicial y t el tiempo recorrido entre esos dos casos. Calculen lo siguiente para los valores dados.(a) , y .

(b) , y .

(c) , y .

(2)La distancia recorrida en la Tierra por un cuerpo con movimiento uniformemente

acelerado en caída libre se expresa por: , donde es la altura

inicial del cuerpo, la velocidad inicial, g es la constante fuerza de gravitación en la Tierra (9.8m/s2) y t es el tiempo transcurrido desde que se lanza el cuerpo, en segundos. Calcular la distancia para los datos siguientes.(a) , y .

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(b) , y .

(c) , y .

¿Qué sucede con la distancia recorrida a medida que pasa el tiempo? Expliquen:_____

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

(3)El periodo T de un péndulo depende de su longitud, L, de acuerdo a la siguiente

ecuación: , donde g es la constante fuerza de gravitación en la Tierra

(9.8m./seg2). Calculen el periodo para los valores siguientes.(a)L=1 m.

(b)L=5 m.

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(c)L=10 m.

Expliquen qué sucede al periodo a medida que se incrementa la longitud:____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

(4)Una expresión algebraica que se deduce como parte de la teoría de la relatividad

de Albert Einstein (1897-1955), es la siguiente: . Esta expresa la energía

cinética de una partícula, y en ella: m es la masa de la partícula, c es la velocidad de la luz (300 mil km./seg.) y v es la velocidad de la partícula. Calcular para los valores siguientes la cantidad de la energía simétrica.(a) y .

(b) y .

(c) y .

¿Qué sucede con la energía cinética a medida que la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz? Explique___________________________________________

______________________________________________________________________

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Variables y constantes

Lee acerca de la idea

El lenguaje algebraico usa letras para representar variables, generalmente, se usan las últimas letras del alfabeto: En tal caso, esas deben poder tomar dos o más valores diferentes. Las variables, pues, pueden representar números, cantidades.

Ejemplos

Si x es la altura de los alumnos de tu grupo, es obvio que x podría tomar varios valores: 1.59 m, 1.75m, etc.

Si n es el número de viajeros en un vuelo México- España los cuales piden un refresco durante el viaje, entonces, p = 0, 1, 2, 3,...,n. Donde n es el número total de pasajeros en el vuelo.

Einstein descubrió que la energía (E) es igual al producto de la masa de un cuerpo (m) por la velocidad de la luz elevada al cuadrado

(c=300 000 km/s): E= mc2. Aquí, E es una variable que depende de otra, m.

Una constante o parámetro es un número definido, invariable, y que por tanto no cambia en un contexto matemático, por ejemplo en una expresión algebraica.

Ejemplos

En la ecuación , 2 y 4 son constantes, parámetros.

El volumen de una esfera se calcula mediante , donde en 3, 4 y son

constantes y, V y r, son variables. En este caso se dice que el volumen de la esfera depende del radio de ella.

La ecuación son los parámetros o constantes, y determinan hacia donde abre la parábola: arriba-abajo (a) o dónde corta una parábola al eje y. En la Figura 1, se muestran varias parábolas y su ecuación.

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Figura 1. Parábolas y diferentes valores de un parámetro

Contesta y descubre¿Qué efecto tiene el valor del término independiente, c, en la ecuación de una parábola?

Respuesta:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

Es costumbre en Álgebra escribir las constantes o parámetros (cantidades conocidas) con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, ... y las variables o cantidades desconocidas, con las últimas letras: p, q, r, ... Aunque se usan también letras de otro alfabeto, generalmente el griego:

Una expresión algebraica es aquélla que se construye con números, letras y operaciones. Una ecuación, es una consecuencia de la generalización algebraica.

Monomios y polinomios

Lee y aprende el conceptoLa expresión algebraica más simple se llama monomio. Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo: 7x2y

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En seguida se definen los elementos del monomio anterior:

Ejemplos de monomios

-t 4xyz

Contesta y descubre

(a) ¿Cuál es el coeficiente numérico en la expresión –t?__________________________

(b) ¿Cuál es el exponente de t en la expresión algebraica –t?______________________

Cuando una expresión algebraica se construye con varios monomios separados por operaciones de suma o resta, entonces se tiene un polinomio: -2ty2 + 4y – 1. Este polinomio tiene tres términos, cada uno es un monomio.

Ejemplos de polinomios -12mn2 – 10

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio se refiere a los exponentes que afectan a las variables en él. En la tabla siguiente se ejemplifica.

Polinomio Grado Causax + 2 1 El exponente de la variable x es 1-2pq2 3 La suma de los exponentes de p y q.

es 1 + 2 = 36a2b4 – 4ab3 + 2 6 La suma de los exponentes de a y b en

6a2b4 es 6s – 12s2t3 + 7s5t3u 9 La suma de los exponentes de 7s5t3u

es 9

9

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Término numérico independiente de un polinomio

Cuando se construye u obtiene mediante algún proceso matemático un polinomio, es posible que exista un término sin variable o letra, por ejemplo, en –3x4y –2x + 7, ese término sin variable, el 7, se llama término independiente.

Actividad de aprendizaje

Trabaja en equipo con dos compañeras(os) o más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.

1. Describan cuál es la diferencia entre variable y constante: _____________________

______________________________________________________________________2. ¿Cuál de las dos letras siguientes representa una variable y por qué?

y=4m=0, 1

Respuesta:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. En seguida se dan dos gráficos.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

100

120

x

y

A-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3.5

4.0

4.5

5.0

x

y

B

Uno representa la relación de una variable y una constante y el otro la relación de dos variables. ¿Cuál es cada cual? ¿Por qué?______________________________________

______________________________________________________________________

4. Estudien la tabla siguiente:

x 1 2 3 4 5 6 7y -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

(a)Dibujen la relación entre x y y.

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(b)¿La letra x es una variable? ¿Por qué?___________________________________

(c)¿La letra y es una variable? ¿Por qué? Explica_____________________________.

(d)Escriban la ecuación que defina la relación entre x y y: _____________________

5. Determinen el grado de los siguientes monomios. Identifiquen los diferentes coeficientes en cada monomio. Cada letra es una variable. Escriban con lenguaje común el significado de cada expresión.

(a) :_________ (b) __________ (c) ___________

(d) ________ (e) __________ (f) ____________

6. Determinen el grado de los polinomios siguientes. Cada letra corresponde a una variable.

(a) ; ____________ (b) ______________(c) ___________

(d) ________________(e) _____________

7. ¿Cuál es o podría ser el término independiente en cada expresión algebraica siguiente? ¿Por qué? Expliquen.

(a) mx + 5: __________________________________________________________

(b) a – ay:___________________________________________________________

(c) 3ax2 + 2a2x – 3b ___________________________________________________

8. Escriban tres ecuaciones:A) de primer grado:

1) ___________________ 2)_______________________ 3)_____________________

B) tres ecuaciones de segundo grado:

1) ___________________ 2)_______________________ 3)_____________________

Operaciones con términos semejantes

Lee acerca de la ideaDos términos son semejantes si tienen la misma variable o variables (como coeficientes literales), o parámetros, elevadas al mismo exponente, sin importar los coeficientes numéricos.

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Ejemplos

x y –2x: la variable es x y su exponente es 1. 14xyz3 y –2xyz3: las bases son x, y, z3, y son idénticas en ambos monomios.

y : la variable es .

y : la variable es .

y son términos semejantes, pues los parámetros “2” están elevados al mismo exponente.

Si a es un parámetro: y son términos semejantes.

Contesta y descubre

Contraejemplos. Los siguientes no son términos semejantes. ¿Por qué? Expliquen.

1. 2x y 2x2 _________________________________________________________

2. -mn5 y -3mn4 _____________________________________________________

3. (x + 1)2 y (x – 1)2 __________________________________________________

4. Si a es parámetro: y __________________________________

Los términos semejantes se pueden sumar o restar:

1. 4x3y + 16x3y = 20x3y

2. 10(m4 – 2n)3 – 6(m4 – 2n)3 = 4(m4 – 2n)3

3.

4.

Este proceso se llama reducción.

Actividad de aprendizajeReúnete a trabajar con otros dos compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de otros equipos. Si tienen duda, pregunten a su maestro.

A. Reduzcan las operaciones siguientes.(1) =

(2) =

(3) =

(4) =

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(5) =

(6) =

(7) =

(8) =

(9) =

(10) =

(11) =

(12) =

(13) =

(14) =

(15) =

(16) =

(17) =

13

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(18) =

(19) =

(20) =

(21) =

(22) =

B. Digan cuáles de las siguientes operaciones se han realizado de forma correcta y cuáles de forma incorrecta. En este último caso, expliquen el por qué.

1. ________________________________________________________

______________________________________________________________________2. __________________________________________________

______________________________________________________________________

3. __________________________________________________

______________________________________________________________________

4. ________________________________________________________

14

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______________________________________________________________________

5. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. ___________________

______________________________________________________________________

7. ____________________________________________________

______________________________________________________________________

8.

________________________________________________________

______________________________________________________________________

9. ______________________________

______________________________________________________________________

10. _________________________

______________________________________________________________________

Multiplicación y división de monomiosMultiplicación de monomios

Los monomios se pueden multiplicar, los conceptos importantes para comprender cómo son los que se mencionaron antes, y que reproducimos ahora:

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Lee y aprende el significado de un exponente

(a)En la expresión p4, el exponente 4 significa lo siguiente: la variable p se multiplica 4 veces por si misma: p4=p · p · p · p.

(b)La expresión (-a)(-a)(-a)(-a)(-a) es la forma multiplicativa de la expresión algebraica (-a)5. Esta última expresión se llama potencia de (-a).

Observa y comprende los conceptosPotencia Forma multiplicativa de (2x)7

(2x)7 (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) (2x)

Observa y comprende el conceptoSi se multiplican los monomios 3p3 y 7p4, se tiene:

3p3(7p4) = 3(7)p3p4 = 21 p · p · p · p · p · p · p = 21p7

Multiplicación de monomios: reglaLa multiplicación de dos o más monomios, se obtiene multiplicando aritméticamente los coeficientes numéricos entre si, y algebraicamente las variables iguales entre si, sumando los exponentes.

Ejemplos

a)

b)

c)

d)

e)

f) . Esta es la representación de la

multiplicación de un binomio con exponente 4. Un caso más general que el de la multiplicación de monomios pero que se resuelve de forma similar.

División de monomios

La operación inversa de la multiplicación es la división, entonces, debe aplicarse como tal a la división de monomios.

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Observa y aprende el concepto. Ejemplos

a)

b)

c)

Si no se trata de monomios:

División de monomios: reglaLa división de dos monomios, se obtiene dividiendo aritméticamente los coeficientes numéricos entre si, y algebraicamente los coeficientes literales, variables o constantes, que sean iguales entre si, restando los exponentes.

Exponentes negativos

De acuerdo al proceso para dividir monomios, la siguiente expresión es correcta, y corresponde a una representación algebraica:

Aprende la definición

, donde r es un número cualquiera.

Actividad de aprendizajeTrabaja en equipo con dos compañeros ó más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.(A) Escriban en forma de una única potencia las multiplicaciones siguientes:

a) =___________________________

b) =_________________

c) =___________________

d) =_______________

e) =_______________

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f) =_________________

g) =_________________

h) =_____________________

i) =________________

j) =____________________________

k) = _______________________________

l) =__________________________

m) =___________________________________

(B) Escriban en forma multiplicativa las potencias siguientes:

a) =_______________________________________________

b) =_____________________________________________

c) =_____________________________________________

d) =__________________________________________________

e) =___________________________________________________

f) =_________________________________________________

g) =_________________________________________________

h) =____________________________________________________

(C) Expresen en lenguaje común las expresiones siguientes.a) ____________________________________________________________

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b) ____________________________________________________________

c) ____________________________________________________________

d) ____________________________________________________________

____________________________________________________________

(D) Reduzcan las multiplicaciones siguientes:1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6 =

7. =

8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

19

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15. =

16. =

17. =

18. =

19. =

20. =

21. =

22. =

23. =

24. =

25. =

26. =

27. =

28. =

20

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29. =

30. =

31. =

32. =

(E) Expliquen, escribiendo, por qué ael multiplicar dos monomios con coeficientes literales o parámetros iguales, se suman sus exponentes:_______________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

(F) Reduzcan las expresiones algebraicas siguientes. Pueden usar su calculadora. En la reducción algebraica, nunca dejen exponentes negativos.

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

21

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8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15. =

16. =

17. =

18. =

19. =

22

Page 23: ÁLGEBRA - 1  2009

20. =

21. =

22. =

23. =

24. =

25. =

26. =

27. =

28. =

29. =

23

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30. =

Conexiones matemáticas

(F) Resuelvan los problemas siguientes. Comparen sus soluciones con las de otros equipos de trabajo.

1. Un cubo tiene arista de tamaño . Hallar su volumen.

2. El área de un cuadrado es . Hallar (a) la medida de su lado y (b) su perímetro.

3. Un triángulo tiene altura igual a y base igual a . Hallar su área.

4. Un trapecio isósceles tiene lado mayor igual a cm. Lado menor igual a cm., y altura igual a cm. Hallar (a) su perímetro y (b) su área.

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5. El largo de un rectángulo mide cm y es igual al doble que su ancho. ¿Cuál

es la longitud del ancho?

6. Una roca marciana vista a través de una señal de televisión, tiene volumen

. La x es una variable que debe calcularse. Si se determina que

a) x toma el valor 12, ¿cuántos metros cúbicos mide la roca?

b) ¿Podría ser x igual a 2? ¿Por qué?

7. El volumen de maíz almacenado en una bodega es . La bodega puede almacenar hasta . Veinte camiones traen maíz para almacenarlo en la bodega, cada uno transporta .(a)¿Cuál es el volumen de maíz que transportan los camiones?

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(b)¿Cuánto maíz faltará para llenar la bodega?

(c)¿Cuántos camiones más con igual volumen de maíz deben comprarse para llenar la bodega?

8. Una esfera tiene radio cm. Otra tiene radio cm. ¿Cuál es la razón

del volumen al volumen de las esferas?

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Aprueba o desaprueba(G) Di si son verdaderas o falsas las igualdades siguientes, explicando en cada caso

negativo el motivo.1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(H) Geometría. Resuelvan los siguientes problemas.

1. El contorno del techo de una casa se muestra en seguida. Calculen (a) el perímetro y (b) el área del techo.

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2. ¿Cuál es el área total de los dos cuadrados que se muestran en seguida?

4

x

3. De acuerdo a las dimensiones del siguiente rectángulo.

x+2

x

a) Obtén una ecuación para calcular P, su perímetro.

b) Obtén una ecuación para calcular A, su área.

c) Si x toma el valor 2 metros, ¿cuál es el perímetro y el área del rectángulo?

d) Si x toma el valor 5 metros, ¿cuál es el perímetro y el área del rectángulo?

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4. Un arquitecto dibuja sobre papel lo que será una pequeña cancha para practicar básquet. A su lado traza otra para practicar tenis. El dibujo se muestra en seguida.

a+4

a a

a

a) ¿Cuál es el perímetro de las canchas juntas?

b) ¿Cuál es el área de las dos canchas?

c) ¿Cuántas veces cabe la cancha chica en la grande?

5. En este cuadrado se han trazado segmentos de recta que lo dividen en tres regiones.

a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

b) ¿Cuál es el área del cuadrado?

c) ¿Cuál es el área de la región interna más grande al cuadrado?

d) ¿Cuál es el área de la región sombreada y en “L” que se observa en el gráfico?

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6. La siguiente figura es un modelo de un campo donde se siembra maíz y trigo.

maíz trigo

A C

F D

B

E

Algunas de las dimensiones del campo son AB=10x, BC=2x y CD=4x.

(a) ¿Qué figuras geométricas están representadas en el campo?

(b) ¿Cuál es el perímetro del campo total?

© ¿Cuál es el área total del campo?

(d) ¿Cuál es el área donde se siembra maíz?

(e) ¿Qué porcentaje representa el área donde se siembra trigo respecto al área total?

(f) ¿Qué porcentaje representa el área donde se siembra trigo respecto al área donde se siembra maíz?

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7. Una planta de una casa se ha dividido como se observa en la figura siguiente.

8x

sala comedor

3x 4x 3xx

2x

recámara

a) ¿Cuál es la superficie de la casa?

b) ¿Cuál es la superficie de la recámara?

c) ¿Cuál es la superficie de la sala-comedor?

d) ¿Qué porcentaje de la casa es la superficie de la sala-comedor?

e) Si los muros se levantaron a 2.2 metros y cada metro cuadrado costó 100 pesos, ¿cuál es el costo total de levantar los muros?

8. Una cisterna tiene forma de caja con tapa, y las dimensiones que se observan en la siguiente figura.

5x metros

x metros

3x metros

(a) ¿Cuál es su capacidad?

(b) ¿Cuál es su superficie total?

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(c) Si la cisterna se llena con agua a la tercera parte, ¿qué volumen de agua habrá en ella?

(d) Quince cisternas iguales, ¿qué volumen tienen en total?

(e) Cada metro cuadrado de construcción cuesta 80 pesos, ¿cuál es el costo total al construir una cisterna?

(f) Si x es igual a 10 metros, ¿cuál es el volumen de la cisterna?

(g) Si x es igual a 10 metros, ¿cuál es el costo de construir una cisterna?

9. Un cuadrado de lado x se coloca sobre otro de lado y, coincidiendo en un vértice y un lado como se ve en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado grande no cubierta por el pequeño?

y

x

32

Page 33: ÁLGEBRA - 1  2009

10. Un cuadrado de lado x se corta en dos partes formando una especie de rompecabezas, según se ve en la figura. Calcula el área de las dos piezas.

x/2

x/2

11. En un cuadrado se trazan dos diagonales formando así tres triángulos. Como se ve en el dibujo siguiente donde DE mide x/4.

x

x/4

A

D

B

CE

a) ¿De qué tipo es el triángulo?

b) ¿Cuál es la longitud del segmento EC?

c) ¿Cuál es el área del triángulo ACE?

33

Page 34: ÁLGEBRA - 1  2009

Uso de la calculadora

La calculadora es una herramienta para calcular, pero debe conocerse para usarla con corrección. Para realizar operaciones aparentemente simples, como multiplicaciones o divisiones, los paréntesis son fundamentales, y es necesario saber programarlos: organizarlos. Si no, obtendrás operaciones incorrectas. Antes, debes recordar el orden de las operaciones:

Orden de las operaciones:

1. Ejecuta primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupamiento, comenzando con los émbolos de agrupamiento más internos. Allí, primero con las potencias, luego multiplicaciones o divisiones, luego sumas o restas. Una raíz, es como un paréntesis.

2. Ejecuta luego todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3. Ejecuta finalmente todas las sumas y substracciones de izquierda a derecha.

Ejemplos

a) . Programa:

b) . Programa: . El símbolo del exponente 2 puede ser x2 en tu calculadora.

c) . Programa:

d) Programa:

e) . Programa: . Observa la necesidad del

doble paréntesis.

f) . Programa: . Estudia estos dos últimos

casos.

g) . Programa:

.

La tecla , realiza las operaciones de fracciones. Una cantidad mixta como

se convierte a fracción con la instrucción Shift.

Actividad de aprendizajeTrabaja en equipo con dos compañeros ó más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.

34

Page 35: ÁLGEBRA - 1  2009

(A) Calculen lo siguiente, usando su calculadora.

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15. =

35

Page 36: ÁLGEBRA - 1  2009

16. =

17. =

18. =

(B) Si a =-3 y b =-5, evalúen las siguientes expresiones algebraicas. Pueden usar la calculadora. Planeen qué hacer antes de actuar.

(1) =

(2) =

(3) =

(4) =

(5) =

36

Page 37: ÁLGEBRA - 1  2009

Lenguaje algebraicoOperaciones fundamentales

Suma y resta de polinomios

Conexiones

Geometría analítica

Estudiarás polinomios y sus operaciones porque son útiles, se aplican en la ciencia en general como modelos para aproximar y explicar fenómenos naturales y en la matemática permiten describir formas matemáticas importantes para su estudio teórico. Por ejemplo, en seguida se muestra una tabla de ecuaciones formadas con polinomios que se estudian en Geometría Analítica. Esos polinomios, conforman ecuaciones.

Ecuación Grado Gráfico Tipo1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Recta

2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50

60

x

y

Parábola

2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Circunferencia

2

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Elipse

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Hipérbola

37

Page 38: ÁLGEBRA - 1  2009

TrigonometríaEn la trigonometría, la medida de un lado de un triángulo oblicuángulo (que no es rectángulo. Ver figura.), se mide según la ecuación:

Los lados del triángulo se expresan mediante letras minúsculas, y los ángulos con letras mayúsculas; cos A, es la medida del coseno del ángulo A. Se calcularía con tu calculadora.

FísicaEn la física, el movimiento de un proyectil que se lanza con cierta velocidad inicial vertical , se describe mediante la ecuación:

, donde como ya se mencionó, g es la fuerza debida a la gravedad y t

es el tiempo transcurrido.

FinanzasLos bancos cobran intereses por los préstamos que hacen. También pagan intereses por las inversiones que se hacen en ellos. Esos pagos, o intereses, pueden acumularse. El interés acumulado, A, por una cantidad P, invertida en pesos, se

calcula por la ecuación . Donde t es el tiempo y r es la tasa

de interés por año, por ejemplo, 4% (0.04).

PoblaciónLa población, P, de una ciudad, en el transcurso del tiempo, x, se modeló mediante una ecuación polinomial. Las unidades de P son cientos de miles y las de

x años, el polinomio

representado en el gráfico siguiente, representa ese crecimiento.

Matemática superiorUno de los números más importantes en la matemática es e, la base de los logaritmos naturales (ln en tu calculadora). Ese número, puede escribirse como una suma infinita de términos aritméticos:

Si el número e se eleva el exponente x, se obtiene una suma infinita de monomios algebraicos:

38

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.97

0.98

0.99

1.00

1.01

x

y

Page 39: ÁLGEBRA - 1  2009

Definiciones

Lee acerca de la ideaUn polinomio es una suma o resta algebraica de monomios.

Un monomio es un polinomio con un solo término.Un binomio es un polinomio con dos términos.Un trinomio es un polinomio con tres términos.

Los polinomios son de varias clases:

(a) Polinomios enteros: no contienen en término alguno variables en un denominador ni en raíces. Ejemplos:

(b) Polinomios fraccionarios: algún monomio tiene variable en un denominador, pero no dentro de alguna raíz. Ejemplos:

(c) Polinomios irracionales: los que poseen algún término algebraico con una raíz, cuadrada, cúbica, etc. Ejemplos:

Actividad de aprendizajeReúnete con dos compañeros y resuelvan las situaciones siguientes. Comenten los resultados con otros compañeros o con su maestro si tienen alguna duda.

A. De los siguientes polinomios o representaciones de polinomios, digan cuál es su clase.

1. : _______________________________________________________________

2. : ___________________________________________________

3. : _________________________________________________________

4. : _________________________________________________________

39

Page 40: ÁLGEBRA - 1  2009

5. : _________________________________________________________

6. : __________________________________________________________

7. : ___________________________________________________

8. : _____________________________________________________________

B.1. Escriban dos binomios enteros de grado tres._____________________________

______________________________________________________________________

2. Escriban dos polinomios fraccionarios con tres términos cada uno.___________

______________________________________________________________________

3. Escriban dos trinomios fraccionarios con una variable de grado 5.___________

______________________________________________________________________

4. (a) Grafiquen en su cuaderno la siguiente ecuación con un lado correspondiente

a un polinomio fraccionario: . Primero construyan una tabla.

(b) ¿Qué valor no puede tomar la variable x? ¿Por qué? Expliquen. Usen su calculadora.Tabla.

x

40

Page 41: ÁLGEBRA - 1  2009

(c)¿Se pueden unir todos los puntos que encontraron con una línea continua? ¿Por qué? _____________________________________________________________

____________________________________________________________________

(d)Describan el comportamiento de la curva encontrada._______________________

____________________________________________________________________

C. Escriban en lenguaje algebraico los siguientes polinomios y digan a cuál clase pertenecen.

1) La suma de tres variables diferentes cada una elevada a un exponente par diferente:______________________________________________________

2) El cociente de dos variables menos la tercera potencia de otra variable:_________

___________________________________________________________________

3) La raíz cuadrada del producto de tres variables, todo ello menos la raíz cuarta de la suma de dos de ellas:________________________________________________

4) La potencia cuatro del cociente de dos variables:__________________________

5)La potencia dos de la suma del doble de una variable menos la potencia cuatro de la otra:_____________________________________________________________

6) El producto de la cuarta parte de la suma de dos variables, por otra variable elevada al cubo:______________________________________________________

7) El producto de un polinomio entero de grado 4 por uno fraccionario:__________

___________________________________________________________________

8) La suma de un polinomio fraccionario y otro irracional:____________________

___________________________________________________________________

Propiedad distributiva

Un polinomio puede multiplicarse por un monomio u otro polinomio, por ejemplo:

41

Page 42: ÁLGEBRA - 1  2009

Para obtener el resultado algebraico de tales productos, es conveniente aplicar la propiedad distributiva del producto:

Un factor “a” que multiplica a una suma o resta de variables o constantes, multiplicará a cada término de la suma o resta.

Ejemplos

: ningún resultado se

escribe con exponentes negativos.

Siempre quedará una variable en el denominador o el numerador, según donde haya más multiplicándose.

Actividad de aprendizajeTrabajando en equipo, resuelvan las operaciones siguientes donde se multiplica un monomio por un polinomio. Si deben reducir, háganlo. Usen su calculadora para resolver las operaciones con fracciones. No dejen exponentes negativos. Si tienen alguna duda, comenten primero con los miembros de algún otro equipo. Al final con su maestro.

1. = ___________________________________________________________

2. = ___________________________________________________________3. = ________________________________________________________

4. =_________________________________________________________

5. = __________________________________________________________

6. = _____________________________________________________

7. = ______________________________________________________

8. = _________________________________________________

9. = ___________________________________________

10. = ____________________________________________

11. = ________________________________________

12. = ______________________________________

42

Page 43: ÁLGEBRA - 1  2009

13. = _________________________________

14. = ________________________________________

15. = ___________________________________________

16. = _____________________________________

17. = ____________________________________________________

18. = _____________________________________

19. = ________________________________________________

20. = ____________________________________________

21. = _____________________________________

22. = ___________

______________________________________________________________________

23. = ___________________

______________________________________________________________________

24. = ___________________________________________________

43

Page 44: ÁLGEBRA - 1  2009

25. = _____________________________________________

______________________________________________________________________

26. = ____________

______________________________________________________________________

27. = _____________________________

______________________________________________________________________

28. = ________________________________________________

29. = _______________________________________________________

30. = ___________________________________________________

31. = __________________________________________________

32. = ________________________________________________________

44

Page 45: ÁLGEBRA - 1  2009

33. = __________________________________________________

34. = _________________________________________________

35. = _________________________________________

Suma y resta de polinomiosLee acerca de la idea

Suma. Dado que los polinomios se componen con monomios que se suman o restan, dos o más polinomios pueden sumarse o restarse en sus términos semejantes. Por ejemplo, sumar y puede hacerse agrupando los términos semejantes en paréntesis con su signo y efectuar la suma algebraica:

Suma de fracciones. La suma de los polinomios y requiere

que se resuelvan operaciones con fracciones. Se puede usar la calculadora si se propone

. En la calculadora, como ya saben, se usa la tecla

y se obtiene primero: 4 5+8 7=68/35. Después sigue (-2 3)-(6 7)=-

32/21. Por lo tanto, la respuesta es:

.

Suma y propiedad distributiva. Otra suma que requiere desarrollo especial: sumar

y . Primero debe resolverse mediante la propiedad distributiva el

producto del monomio por el binomio: . Posteriormente, se

realiza la suma: .

Resta. La resta de polinomios requiere un tratamiento especial, que determine que un polinomio se resta de otro.

Si se resta de M, se tiene: , entonces, cada término del polinomio S deberá multiplicarse por -1, esto es, cada signo de cada monomio en S cambiará, y después se sumarán M y S.

En tal relación, M se llama minuendo y, S, sustraendo.

45

Page 46: ÁLGEBRA - 1  2009

Aprende la idea

Restar de .

I. Se multiplica S por -1:

II. Se suman :

Restar de

I. Se multiplica por -1: . Simplemente, se cambian

los signos.

II. Se suma: .

La resta de dos polinomios también puede representarse haciendo uso de paréntesis:

Restar de :

Actividad de aprendizajeEn compañía de otros compañeros, resuelvan las sumas y restas de polinomios siguientes. Pueden ir comprobando sus respuestas al compararlas con los de otros compañeros. Si tienen alguna duda, consulten con su maestro.

A. Sumen los polinomios siguientes, separados por un punto y coma (;).

1. ; = ___________________________________________________2. ; =______________________________________________________3. ; = _________________________________________________

4. ; = _____________________________________________

5. ; = ___________________________________

6. ; = _____________________________________________

7. ; = _____________________________________________

46

Page 47: ÁLGEBRA - 1  2009

8. ; = _________________________________________

9. ; = ______________________________________

10. ; = ___________________________

______________________________________________________________________

11. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

12. ; = _______________________

______________________________________________________________________

13. ; = _____________________________

______________________________________________________________________

14. ; = ______________________________

______________________________________________________________________

15. ; ; = _________________________________________

______________________________________________________________________

16. ; ; = _________________________________________

______________________________________________________________________

17. ; ; = _______________________

______________________________________________________________________

18. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

19. ; = ________________________

47

Page 48: ÁLGEBRA - 1  2009

20. ; ; = _________________________

______________________________________________________________________

21. ; ; = _________________________

______________________________________________________________________

22. ; = __________________________________

______________________________________________________________________

23. ; = _______________________________________

______________________________________________________________________

24. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

25. ; = ________________________________

______________________________________________________________________

26. ; = ___________________________

______________________________________________________________________

27. ; = ____________________________________

______________________________________________________________________

28. ; = __________________________________________

______________________________________________________________________

29. ; = _________________________________________________

______________________________________________________________________

30. ; = ____________________________________________

48

Page 49: ÁLGEBRA - 1  2009

31. ; = ____________________________

______________________________________________________________________

32. ; = ____________________________

______________________________________________________________________

33. ; = ___________________________________________

______________________________________________________________________

34. ; = ____________________________________

______________________________________________________________________

B. Resten las cantidades o polinomios siguientes según se indica. Identifiquen el minuendo y el sustraendo.

1. de = _________________________________________________

______________________________________________________________________

2. de = ____________________________________________________

______________________________________________________________________

3. de =_______________________________________________

______________________________________________________________________

4. de = ___________________________________________

______________________________________________________________________

5. de = _________________________________

______________________________________________________________________

6. de = ___________________________________________

______________________________________________________________________

49

Page 50: ÁLGEBRA - 1  2009

7. de = ____________________________________________

______________________________________________________________________

8. de = _______________________________________

______________________________________________________________________

9. de = _____________________________________

______________________________________________________________________

10. de = _________________________

______________________________________________________________________

11. de = _________________________________

______________________________________________________________________

12. de = _____________________

______________________________________________________________________

13. de = ___________________________

______________________________________________________________________

14. de = ____________________________

______________________________________________________________________

15. de = ________________________________________________

______________________________________________________________________

16. de = _________________________________________________

______________________________________________________________________

50

Page 51: ÁLGEBRA - 1  2009

17. de = ___________________________________

______________________________________________________________________

18. de = _________________________________

______________________________________________________________________

19. de = ______________________

______________________________________________________________________

20. de = ____________________________________

______________________________________________________________________

21. de; = __________________________________

______________________________________________________________________

22. de = ________________________________

______________________________________________________________________

23. de = _____________________________________

______________________________________________________________________

24. de = _________________________________

______________________________________________________________________

25. de = ______________________________

______________________________________________________________________

26. de = _________________________

______________________________________________________________________

27. de = ___________________________________

51

Page 52: ÁLGEBRA - 1  2009

28. de = ________________________________________

______________________________________________________________________

29. de = _______________________________________________

______________________________________________________________________

30. de = __________________________________________

______________________________________________________________________

31. de = __________________________

______________________________________________________________________

32. de = ___________________________

______________________________________________________________________

33. de = _________________________________________

______________________________________________________________________

34. de = __________________________________

______________________________________________________________________

C. Resten las expresiones algebraicas siguientes.

1. de = ______________________________

______________________________________________________________________

2. de = _________________________

______________________________________________________________________

3. de = ________________________

______________________________________________________________________

52

Page 53: ÁLGEBRA - 1  2009

4. de = _____________________

______________________________________________________________________

D. Si a=2, b=03 y c=-2, evalúen las expresiones siguientes. Usen la calculadora programando las operaciones.

1. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

2. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

3. = __________________________________________________

______________________________________________________________________

4. = ______________________________________________

______________________________________________________________________

5. = __________________________________________________________

______________________________________________________________________

6. = ________________________________________________________

______________________________________________________________________

7. = ________________________________________________

______________________________________________________________________

8. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

9. = _____________________________________

53

Page 54: ÁLGEBRA - 1  2009

10. = _______________________________________________________

______________________________________________________________________

Ecuaciones que se suman o restanLos polinomios que forman parte de una ecuación, suelen expresar algo importante, por ejemplo, los ingresos de un negocio, los gastos, los costos; la altura de un niño al pasar el tiempo; los tiempos olímpicos en la carrera de los 100 metros planos, etcétera.

EjemploLa empresa ABC se compone, entre otras, de dos fábricas de papel: A y B. Las utilidades anuales, en millones de pesos, de la empresa A, se representan por la ecuación . Las utilidades anuales de la empresa B se representan por

. ¿Cuál será la utilidad anual de la empresa ABC considerando estas dos empresas?

Debe ser que las utilidades anuales se obtienen sumando: . En seguida se muestran los gráficos de esta situación.

Actividad de aprendizajeReunidos en equipos, resuelvan los problemas siguientes. Comparen sus soluciones con las obtenidas por otros equipos. Si existe alguna diferencia, argumenten al respecto.

1. Las ventas mensuales, “y”, de dos aparatos telefónicos están dadas por las ecuaciones siguientes donde la “x” representa el mes.

Modelo A: : línea continua.

Modelo B: .

54

Page 55: ÁLGEBRA - 1  2009

Los gráficos de las ventas mensuales, dadas en cientos de teléfonos, se muestran en seguida.

(a) Calculen la ecuación de las ventas totales de los dos modelos.

(b) Grafiquen la ecuación de las ventas totales.

55

0 10 20 30 40 500

500

1000

1500

2000

2500

x

y

Page 56: ÁLGEBRA - 1  2009

(c) ¿Qué forma tienen las ventas, y qué significado tiene? ________________________

______________________________________________________________________

2. El desplazamiento en metros, “y”, de un cuerpo lanzado al espacio desde una misma altura, es observado en dos ocasiones, A y B. Las ecuaciones de ese desplazamiento, en el tiempo, “x”, en segundos, son las siguientes:

: línea punteada.

Se desea hallar el promedio del desplazamiento del cuerpo.

(a) Hallen la ecuación del promedio.

(b) Grafiquen la ecuación promedio hallada.

56

Page 57: ÁLGEBRA - 1  2009

(c) Describan la forma en que se desplaza el cuerpo : ____________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Según la mercadotecnia, se supone que las ventas pueden ser influenciadas por la publicidad. Una empresa determina que su programa de publicidad funcionará según la

regla , donde P representa las ventas en millones de pesos anuales y

“x” son cientos de miles de pesos gastados en publicidad (x>0). (a) Tracen el gráfico de las ventas contra la inversión.

(b) Interpreten el contenido del gráfico. ¿Hasta qué valor puede asumir x? ¿Por qué?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

57

Page 58: ÁLGEBRA - 1  2009

4. El precio del kilogramo de fríjol en dos supermercados diferentes de ciudad de Aguascalientes, y , en relación al tiempo, “x”, en meses, se muestran en seguida.

(a) En los primeros 15 meses, ¿cómo se representa el precio promedio del fríjol considerando los dos supermercados?

(b) ¿Dónde debe comprarse fríjol según el mes? ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

58

Page 59: ÁLGEBRA - 1  2009

(c) Resten: y y grafiquen cada resultado. Den el significado del término independiente en cada resultado y de cada gráfico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

y

59

Page 60: ÁLGEBRA - 1  2009

Potencias, exponentes y radicales

Potencias

Como se mencionó anteriormente, la potencia de una expresión algebraica es el resultado simbólico que indica mediante un exponente cuantas veces se multiplica una cantidad numérica o una expresión algebraica por sí misma. En seguida se muestran algunos ejemplos dados en su forma multiplicativa.

Aprende el conceptoEl segundo caso anterior, es una potencia de potencia, y es obvio que el resultado de la

operación es: . Otros ejemplos ilustrativos acerca de cómo

aplicar la potencia de potencia son estos:

Regla de la potencia de potenciaPara resolver una potencia de potencias, el exponente de la expresión algebraica multiplica a cada exponente de cada coeficiente de esa expresión.

Estudia y aprende el caso siguiente

.

Actividad de aprendizajeTrabajando con dos de tus compañeros, resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y resuelvan las diferencias argumentando al respecto.

60

Page 61: ÁLGEBRA - 1  2009

A. Escriban de forma multiplicativa las potencias siguientes separando sus factores en la potencia respectiva.

1. = ____________________________________________________________

2. = ___________________________________________________________

3. = _______________________________________________________

4. = ___________________________________________________________

5. = _________________________________________________________

6. = _________________________________________________________

7. = __________________________________________________________

8. = __________________________________________________________

B. Obtengan el resultado de aplicar la potencia respectiva a las potencias siguientes, dejando los resultados en potencias.

1. = _____________________________________________________________

2. = ____________________________________________________________

3. = __________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

6. = ___________________________________________________________

7. = _________________________________________________________

61

Page 62: ÁLGEBRA - 1  2009

8. = ______________________________________________________________

9. = ___________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

11. = _________________________________________________________

12. = __________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = ________________________________________________________

15. = _________________________________________________________

16. = ________________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = ______________________________________________________

19. = ______________________________________________________

20. = ______________________________________________________

62

Page 63: ÁLGEBRA - 1  2009

21. = ____________________________________________________

22. = __________________________________________________

23. = _____________________________________________________

24. = _________________________________________________

25. = _______________________________________________________

26. = __________________________________________________________

27. = _____________________________________________________

28. = ____________________________________________________

29. = _________________________________________________________

30. = ____________________________________________________

31. = ___________________________________________________

32. = ________________________________________________

33. = __________________________________________________

63

Page 64: ÁLGEBRA - 1  2009

34. = __________________________________________________

35. = _________________________________________________________

36. = _________________________________________________

37. = ____________________________________________________

38. = ___________________________________________________

39. = ___________________________________________________

40. = _____________________________________________________

41. = ______________________________________________

C. Aprueben o desaprueben la verdad de cada igualdad siguiente. En caso de desaprobar, digan en qué consiste el error.

1. = ________________________________________________

2. = __________________________________________________

64

Page 65: ÁLGEBRA - 1  2009

3. = __________________________________________________

4. = ____________________________________________

5. = _____________________________________

6. = _________________________________

Exponentes

Lee acerca de la ideaLos exponentes pueden ser números enteros, racionales o de otro tipo.

Exponentes fraccionarios

Lee, conoce y estudia definiciones:

1.

2.

3.

Esta es la naturaleza de los exponentes fraccionarios: corresponden a las raíces de índice el que determina el denominador en la fracción, y el exponente de la expresión algebraica es el numerador.

Ejemplos

65

Page 66: ÁLGEBRA - 1  2009

= : sólo puede hacerse si el índice de la raíz es el

mismo.

¿Por qué?: ___________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Elementos de un radicalObsérvese en el gráfico siguiente los elementos de un radical en relación a su forma con exponente:

Reducción de radicales

Lee acerca de la ideaCuando el índice de la raíz es un múltiplo del exponente de la cantidad subradical o de los exponentes de coeficientes numéricos o literales en esa cantidad, entonces se puede reducir un radical.

Ejemplos

66

Page 67: ÁLGEBRA - 1  2009

Exponente 0

Lee y estudia la idea

Se divide , Entonces: , pues todo número dividido entre sí

mismo es igual a 1. Y en general:

Todo número elevado al exponente 0, es igual a 1.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los ejercicios siguientes. Consulten con otros equipos o con su maestro si tienen alguna duda.

A. Escriban con signo radical las siguientes expresiones.

1. = ________________________________________________________________

2. = ________________________________________________________________

3. = ________________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

6. = _________________________________________________________

7. = _________________________________________________________

8. = ____________________________________________________________

9. = _____________________________________________________________

10. = ________________________________________________________

67

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11. = _________________________________________________________

12. = ____________________________________________________

13. = _____________________________________________________

14. = _________________________________________________________

B. Escriban con exponente fraccionario las siguientes expresiones radicales:

1. = _______________________________________________________________

2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ____________________________________________________________

5. = _____________________________________________________________

6. = _______________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

8. = __________________________________________________________

9. = ____________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

68

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11. = ___________________________________________________________

12. = ___________________________________________________________

13. = __________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

15. = ___________________________________________________________

16. = ________________________________________________________

17. = ________________________________________________________

18. = ____________________________________________________________

19. = ___________________________________________________________

20. = ____________________________________________________________

21. = _____________________________________________________________

22. = ____________________________________________________________

23. = _____________________________________________________________

24. = _____________________________________________________________

25. = ____________________________________________________________

26. = _____________________________________________________________

C. Reduzcan los radicales siguientes.

1. = _____________________________________________________________

69

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2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ______________________________________________________________

5. = _______________________________________________________________

6. = ____________________________________________________________

7. = ____________________________________________________________

8. = _____________________________________________________________

9. = _________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

11. = _________________________________________________________

12. = _________________________________________________________

13. = ________________________________________________________

14. = _______________________________________________________

15. = ________________________________________________________

16. = _________________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = _____________________________________________________

19. = ___________________________________________________________

20. = _________________________________________________________

21. = ________________________________________________________

22. = __________________________________________________________

70

Page 71: ÁLGEBRA - 1  2009

23. = _________________________________________________________

24. = _____________________________________________________________

25. = _____________________________________________________________

25. = __________________________________________________________

26. = __________________________________________________________

27. = ___________________________________________________________

28. = ________________________________________________________

29. = _______________________________________________________

30. = __________________________________________________________

31. = _________________________________________________________

32. = _________________________________________________________

71

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33. = _________________________________________________________

34. = ____________________________________________________________

35. = ____________________________________________________________

36. = ________________________________________________________

37. = ____________________________________________________________

38. = ____________________________________________________________

39. = ___________________________________________________________

40. = ________________________________________________________

41. = ___________________________________________________________

42. = ________________________________________________________

43. = ________________________________________________________

44. = ____________________________________________________________

72

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45. = _____________________________________________________________

D. Efectúen las operaciones con radicales dadas en seguida y reduciendo completamente.

1. = _____________________________________________________________

2. = _____________________________________________________________

3. = __________________________________________________________

4. = _____________________________________________________

5. = _________________________________________________________

6. = ___________________________________________________

7. = ____________________________________________________

8. = _________________________________________________________

9. = _____________________________________________________

10. = __________________________________________

11. = __________________________________________

12. = ___________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

73

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15. = _______________________________________________________

16. = _______________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = _________________________________________________

19. = __________________________________________

20. = ________________________________________________

E. Multipliquen las expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios siguientes y escriban el resultado con radical. Puede usar su calculadora para hallar las respuestas.

1. = ______________________________________________________________

2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ______________________________________________________________

5. = ______________________________________________________________

6. = ______________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

74

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8. = ____________________________________________________________

9. = _____________________________________________________________

10. = ____________________________________________________________

11. = _______________________________________________________

12. = _______________________________________________________

13. = _______________________________________________________

14. = ____________________________________________________

15. = ____________________________________________________

16. = ___________________________________________________

17. = ________________________________________________________

18. = _____________________________________________________

19. = _____________________________________________________

20. = ____________________________________________________

21. = ___________________________________________________

75

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F. Ya antes se ha visto que , donde r es un número cualquiera. Escribe con

exponente positivo cada expresión algebraica siguiente:

Aprende la definición

, donde r es un número cualquiera.1. =

________________________________________________________________

2. = _______________________________________________________________

3. = _____________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

6. = __________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

8. = _______________________________________________________________

9. = _______________________________________________________________

10. = ______________________________________________________________

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11. = __________________________________________________________

12. = _________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

Multiplicación y división de polinomios

Multiplicación de polinomios

Extiende la idea

Propiedad distributivaIgual que en caso de la multiplicación de un monomio por un polinomio, la propiedad distributiva se aplica a la multiplicación de dos polinomios con dos o más términos cada uno: cada término de un polinomio multiplica a cada término del otro y al final se reduce la expresión sumando o restando los términos semejantes.

Ejemplos

77

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ReglaCada monomio de uno de los términos de un polinomio, se multiplica por el otro polinomio. Se inspecciona el resultado parcial y se reduce sumando o restando términos semejantes.

Actividad de aprendizajeRealicen en grupo de tres alumnos, las operaciones siguientes de forma particular y después comparen sus resultados con los de otros compañeros. Verifíquenlas si hubiese alguna diferencia. Si tienen alguna duda consulten con tu maestro.

A. Desarrollen y reduzcan cada vez que sea posible las multiplicaciones de polinomios siguientes.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

78

Page 79: ÁLGEBRA - 1  2009

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

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21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

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Page 81: ÁLGEBRA - 1  2009

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

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45.

46.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

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52.

53.

54

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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61.

62.

63.

64.

65.

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67.

68.

69.

70.

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78.

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83.

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84.

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86.

87.

88.

89.

90.

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91.

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93.

94.

95.

96.

97.

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98.

99.

100.

101.

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102.

103.

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105.

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107.

108.

92

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109.

B. Analicen los resultados incorrectos de las multiplicaciones siguientes y digan dónde está el error o errores.

1.

93

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2.

3.

4.

5.

6.

C. Usando el conocimiento adquirido hasta aquí, haciendo uso de su calculadora, evalúen las expresiones algebraicas siguientes si a=2, b=-4 y c=10.

1.

2.

3.

4.

5.

94

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6.

División de polinomios

Lee acerca de la ideaLa operación de dividir dos cantidades enteras, como 35 (dividendo) entre 16 (divisor), permite entender el objeto que se persigue al dividir dos polinomios. El procedimiento es el de la división estándar:

Se halla el cociente: 2, más un residuo, 3. Así: .

Igualmente, al dividir dos polinomios se hallará el cociente más un residuo, aplicando el algoritmo de la división.

EjemploDividir (dividendo) entre (divisor):

Procedimiento:

Se divide , y se multiplica por x+3, colocando el resultado con signo

cambiado donde corresponda a algún término semejante en el dividendo. Se reducen las expresiones dejando un 0 donde corresponda. Se toma el término con coeficientes literales de mayor grado y se divide entre x:

. El Resultado con signo cambiado se multiplica por x+3 y se

coloca donde corresponda cada caso a un término semejante. Se reducen las expresiones dejando un 0. Si el residuo es sólo un número, ese es el residuo.

95

Page 96: ÁLGEBRA - 1  2009

Nota: cuando no es posible cancelar términos semejantes para reducir, se escribe el término hallado a un lado de los que restan para trabajar en la división.

EjemploDividir entre :

Actividad de aprendizajeA. Efectúen las divisiones siguientes de trinomio entre binomio y escriban el residuo hallado. Usen la calculadora cuando se requiera.

1. entre 2. entre 3. entre 4. entre 5. entre 6. entre x+27. entre 8. entre 9. entre 10. entre

11. entre 12. entre 13. entre 14. entre 15.

16. entre 17. entre 18. entre 19. entre 20. entre 21. entre 22. entre 22. entre

23. entre 24. entre 25. entre 26. entre 27. entre 28. entre 29. entre 30. entre

31. entre 32. entre

33. entre 34. entre

35. entre 36. entre

96

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37. entre

38. entre

39. entre 40. entre 41. entre 42. entre

Productos notables

Lee acerca de la ideaAlgunos productos de polinomios ocurren tan frecuentemente en el trabajo matemático que se les ha dado un nombre propio. Además, esos productos se pueden obtener de forma correcta mediante una regla simple y fija que proviene del resultado mismo de multiplicar.

Es conveniente que aprendas esas reglas, pero que no debes perder de vista la esencia de la multiplicación que consiste en aplicar, por ejemplo, la propiedad distributiva para hallar el producto.

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado tiene la forma: . Si se aplica la

propiedad distributiva para desarrollar la multiplicación, se obtiene:

La regla que ocurre cuando se multiplican dos binomios iguales, un binomio al cuadrado, es:

El cuadrado del primer término: Más: el doble del producto del primero por el segundo término:

Más: el cuadrado del segundo término:

Cuidado: la regla es sólo un apoyo para obtener rapidez, no es el algoritmo algebraico de la multiplicación, aunque lo suple. Memorizar la regla por sí misma no es conveniente. La memoria a corto plazo la retendrá unas cuantas semanas. Es necesario practicar eventualmente con ella pero también aplicar la propiedad distributiva para validar cualquier resultado.

97

Page 98: ÁLGEBRA - 1  2009

La propiedad de la regla anterior puede observarse y recordarse si se estudia el gráfico geométrico siguiente.

Contesta y descubre

(a) ¿Cuántos cuadrados se observan en la figura? Descríbelos y explica por qué lo son.(b) ¿Cuántos rectángulos hay en la figura y cuál es el área de cada uno de ellos?(c) De acuerdo a la figura, explica por qué

.

EjemplosAplicando la regla para multiplicar binomios:

1.

2.

3.

Actividades de aprendizajeA. Desarrollen trabajando en grupos los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios al cuadrado y luego aplicando la propiedad distributiva.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

98

Page 99: ÁLGEBRA - 1  2009

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44.

45. 46. 47.

48. 49. 50.

51. 52.

53. 54. 55.

56. 57.

58. 59.

59. 60.

B. Escriban en el cuadro el número o la expresión algebraica que falte para hacer verdadera la igualdad.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

C. Para cada figura siguiente y dada la información en ella, escriban la expresión algebraica que representa el área de la figura y la de la región sombreada.

99

Page 100: ÁLGEBRA - 1  2009

4 2x

4

2x

3x 10

3x

10

2x 4a

2x

4a

2x

2x

y

y

x

x

D. Halla el área de la región blanca dentro del círculo mayor.

R10

Binomios conjugados

Lee acerca de la idea

Dos binomios se llaman conjugados cuando sólo difieren en un signo: y

son binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados se realiza

mediante la aplicación de la propiedad distributiva:

100

Page 101: ÁLGEBRA - 1  2009

Así, surge un patrón o regla para hallar, sin practicar la multiplicación mediante la aplicación de la propiedad distributiva, el resultado de la multiplicación de binomios conjugados:

El resultado de multiplicar dos binomios conjugados es igual a: El cuadrado del primer término: Menos: – E l cuadrado del segundo término:

Ejemplos

Actividades de aprendizajeDesarrollen trabajando en grupos los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

101

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18.

19.

20.

21.

22.

Binomios con término numérico independiente diferente

Lee acerca de la ideaOtra expresión de producto de binomios, común en matemática, es la siguiente:

, donde b y c son constantes diferentes. Si se aplica la propiedad

distributiva para obtener la multiplicación, se obtiene:

La regla para obtener el resultado de una multiplicación de este tipo es:

El cuadrado del primer término:

Más: la suma de los términos constantes por la variable:

Más el producto de los términos constantes: bc.

Ejemplos

102

Page 103: ÁLGEBRA - 1  2009

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipos y resuelvan los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios respectiva y luego aplicando la propiedad distributiva. Reduzcan siempre que sea posible. Pueden usar la calculadora si lo requieren.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

6. 9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45.

46. 47. 48.

49. 50.

103

Page 104: ÁLGEBRA - 1  2009

51. 52.

53. 54.

Cubo de un binomio

Lee acerca de la ideaLa potencia de un binomio pude ser cualquiera, sin embargo, es de interés el desarrollo

de un binomio al cubo: .

Se puede resolver ese producto por el método que aplica la propiedad distributiva:

La regla para hallar el producto representado por un binomio al cubo es:

El cubo del primer término:

Más: tres veces el cuadrado del primer término por el segundo:

Más: tres veces el primer término por el cuadrado del segundo:

Más: el cubo del segundo término:

Ejemplos

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes trabajando en equipos. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva.

A. Desarrollen los binomios al cubo:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

104

Page 105: ÁLGEBRA - 1  2009

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

20. 21. 22. 23.

24. 25.

26 27. 28. 29.

30. 31. 32.

B. Decidan si cada desarrollo de los binomios al cubo siguientes es correcto o incorrecto. SI no, digan dónde se cometió el error y escriban el resultado correcto.

1.

2.

3.

4.

5.

Conexiones. Problemas geométricos

1. Un cuadrado tiene lado igual a .(a) Realicen un dibujo de este cuadrado con las partes que corresponden.(b) Calculen el perímetro del cuadrado.(c) Calculen el área del cuadrado.

2. Dado el rectángulo siguiente, calculen:

(a) El perímetro de todo el rectángulo.(b) El área de todo el rectángulo.(c) El perímetro del rectángulo A.(d) El área del rectángulo A.

3. Se corta de un rectángulo un triángulo como se ve en la figura siguiente.

(a) ¿Cuál es el área del trapecio T?

105

2x + 5 3

x+7BA

y

yx

T

Page 106: ÁLGEBRA - 1  2009

Si x=4 cm., y y=7 cm.:(b) ¿cuál es el área del rectángulo?(c) ¿Cuál es el área del trapecio T?(d) ¿Cuántos centímetros mide el perímetro del rectángulo?

4. Sobre un triángulo equilátero se inscribe un cuadrado según se observa en la siguiente figura. El lado del triángulo mide x, y la distancia AE mide y.

a) ¿Cuántos triángulos se observan en la figura? ¿De qué tipo son?b) Escriban una fórmula para calcular el área del cuadrado.c) Escriban una fórmula para calcular el área de cada uno de los triángulos AFE y CDG.d) ¿Cuál es el área del trapecio AFGC? Esa área se define

por la fórmula: .

Si x=10 cm., e y=2 cm.:(e) Calculen el área del triángulo ABC.(f) Calculen el área del cuadrado DEFG.(g) Calculen el área del trapecio AFGC.

5. José recortó de un trozo de cartulina un rectángulo que es 5 veces más largo que ancho. De él, habrá que cortar tres triángulos como se ve en la figura, donde A es el punto medio del lado mayor cuya medida es x – 2.

6. Una circunferencia se inscribe en un cuadrado según se observa en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado no cubierta por el círculo?

y

7. Sobre una hoja cuadrada de dibujo de lado x se traza una línea inclinada que parte a la hoja en dos regiones, como se observa en la figura que sigue.

106

A C

B

GF

E D

a) ¿Cuál es el valor del ancho del rectángulo?b) ¿Cuál es el área del rectángulo?c) Cuál es el área del triángulo no recto?d) ¿Cuál es el área de cada triángulo rectángulo?

A

Page 107: ÁLGEBRA - 1  2009

x

y

8. En el siguiente cuadrado, de lado , los triángulos en blanco son iguales e isósceles.

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado, su ecuación?(b) ¿Cuál es la ecuación para calcular el área sombreada?Si x=12 cm.:(c) ¿Cuál es el valor del área sombreada?(d) ¿Cuál es el área de uno de los triángulos en blanco?

9. Una bandera cuadrada se cruza con dos líneas diagonales como se observa en la figura. El punto E parte el lado de la bandera en un segmento de longitud x y otro de longitud y. Cada triángulo se construirá con un color diferente. Para calcular la tela necesaria para construir una bandera es necesario calcular lo siguiente.

x y

A

D

B

CE

10. Traza un triángulo de altura x, y cuya base sea igual a la mitad de la altura menos una unidad. a) Escribe las dimensiones donde correspondan.b) Calcula el área del triángulo.

11. El radio de una circunferencia es 10x. Otra circunferencia concéntrica pero menor se halla en el interior de la primera, como se observa en la figura siguiente.

(a) ¿Cuál es el radio de la circunferencia menor?(b) ¿Cuál es el área de la circunferencia mayor?(c) ¿Cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor?

107

a) Obtén una ecuación para calcular el área total.b) Obtén una ecuación para calcular el área de cada triángulo.c) Demuestra que la suma de las tres ecuaciones que hallaste para calcular el área de cada triángulo, es igual al área total de la bandera.

a) ¿De qué tipo es e triángulo?b) ¿Cuál es el área del triángulo formado?c) ¿Cuál es el área no cubierta por el triángulo?d) ¿Cuántas veces cabe el triángulo en la hoja?e) Si x es igual a 20 cm., e y=4 cm., ¿cuántas veces cabe el triángulo en la hoja?

5

Page 108: ÁLGEBRA - 1  2009

Si x=8 cm.: (d) ¿cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor?

12. Un triángulo isósceles se utiliza para simular la punta de un para-rayos. La figura siguiente muestra algunas de las dimensiones. La longitud IJ es ax. L y K son los puntos

medios de los respectivos lados. La altura del triángulo que va de H a IJ es

Factorización

Lee acerca de la ideaFactorizar es representar por factores una suma o resta. Por ejemplo, la suma 4+10, se puede representar como 2(2 + 5). Los factores son 2 y (2+5).

La factorización algebraica es igualmente posible: la expresión se representa en factores tomando el máximo divisor común de las cantidades numéricas o las letras:

Esta factorización se llama por factor común.

Otras factorizaciones se obtienen del desarrollo de productos notables. Obsérvese la siguiente de un binomio al cuadrado, , la parte izquierda es la factorización del trinomio de la derecha. Sucede igual para los otros productos notables estudiados antes: el desarrollo de su multiplicación se puede factorizar.

En esta parte del curso, se estudiarán diversas formas de factorizar polinomios. La primera es la factorización por factor común.

Factorización por factor común

En esta factorización de un polinomio, se inspecciona el polinomio en cada uno de sus términos, y se deducen los máximos comunes divisores de los coeficientes numéricos y los literales respectivamente.

Ejemplos

108

2ax

ax

H

I JK

L

(a) Calcula el perímetro de la punta.(b) Calcula el área de la punta. (c) Calcula el área del triángulo JKL.

Page 109: ÁLGEBRA - 1  2009

Al desarrollar la multiplicación del resultado factorizado, debe obtenerse el polinomio original: .

La factorización permite, en ocasiones, reducir expresiones algebraicas:

Se acostumbra extraer un factor común negativo para que la expresión dentro del paréntesis asuma signos positivos.

Regla para factorizar literalesSe puede ver que, se toma la variable con el exponente más pequeño de las literales comunes. Ese es el máximo divisor común para las literales.

Actividades de aprendizajeA. Resuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en grupos. Comparen sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

Factoricen cada expresión siguiente mediante un factor común.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21.

22. 23.

24. 25.

109

Page 110: ÁLGEBRA - 1  2009

26.

27.

28.

29.

30.

31. 32. 33.

34. 35.

36.

37.

38.

39.

40.

41. 42. 43.

44. 45. 46.

47. 48.

49. 50. 51. 52. 53. 55. 55.

B. Aplicando factorización reduzcan las fracciones algebraicas siguientes.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18.

19. 20.

110

Page 111: ÁLGEBRA - 1  2009

Factorización en productos notables

Lee acerca de la ideaFactorizar. Como se dijo, factorizar o factorar una expresión algebraica es convertirla en un producto de factores. El desarrollo de los productos notables genera polinomios que tienen también nombre propio, y que se factorizan en productos notables:

Producto notable Producto Polinomio notableBinomio al cuadrado

Trinomio al cuadrado perfecto

Binomios conjugados

Diferencia de cuadrados

Binomio con término diferente

Trinomio suma/producto

Binomio al cubo Cuatrinomio combinatorio de un cubo

Suma y diferencia de cubos

De tal manera, cuando se reconoce un polinomio notable, se puede factorizar en un producto notable.

EjemplosFactorizar los polinomios siguientes:

: trinomio al cuadrado perfecto

: trinomio al cuadrado perfecto

: diferencia de cuadrados

: diferencia de cuadrados

: trinomio suma/producto

: trinomio suma/producto

: cuatrinomio combinatorio de un cubo

: cuatrinomio combinatorio de un cubo

La cuestión es cómo reconocer cada caso para factorizar correctamente. Nosotros proponemos la siguiente.

Regla para factorizar algunos trinomios o diferencias de cuadrados:Se busca que existan dos números que sumados o restados den el coeficiente del término lineal (o central), y que multiplicados arrojen el término independiente:

-5x+3x=-2x Dos números sumados/restados dan -2

111

Page 112: ÁLGEBRA - 1  2009

-5(2)=-10 Dos números multiplicados dan -10

Dos números sumados/restados dan 0 Dos números multiplicados dan 100

-9-9=-18 Dos números sumados/restados dan -18-9(-9)=81 Dos números multiplicados dan 81

Además: un trinomio al cuadrado perfecto tiene dos cuadrados perfectos:

, implica: y . Esta información debe

revisarse para saber de qué trinomio se trata y saber qué resultado deberá suceder.

Para factorizar el cuatrinomio combinatorio de un cubo, se revisa lo siguiente. Suponer: :

Deben existir dos cubos perfectos: y -27.

Se extrae la raíz cúbica de cada uno de ellos: y

Se escribe el binomio al cubo con esos resultados respetando su signo: . Se comprueba la respuesta desarrollando el cubo: . Si coincide con el cuatrinomio, se ha factorizado correctamente.

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en equipos. Comparen sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si no concuerdan revisen su procedimiento. Ante alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

A. Factoricen los siguientes trinomios o binomios y digan en cada caso de qué tipo notable es.

1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

112

Page 113: ÁLGEBRA - 1  2009

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44.45. 46. 47. 48.

49. 50. 51. 52.

53. 54. 55. 56.

57. 58. 59. 60.

61. 62.

63. 64. 65.

66. 67. 68.

69. 70.

71. 72. 73.

74. 75. 76.

B. Factoricen los polinomios siguientes.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17.

18. 19.

20.

C. Factoricen las sumas o restas de cubos que se les dan e seguida.

113

Page 114: ÁLGEBRA - 1  2009

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21. 22.

D. Reduzcan las expresiones algebraicas siguientes aplicando factorización.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Factorización especial

Descomposición de factores de la forma

Lee acerca de la ideaComo no todos los trinomios o cuadrinomios proceden de productos notables fácilmente detectables, es necesario conocer otras técnicas de factorización para otros casos. Eso es lo que se enseña ahora.

Ejemplo: factorizar .

Técnica: Se multiplica el trinomio por el coeficiente de :

o

Ésta expresión se factoriza buscando dos números que sumados den 13 y multiplicados 12: 1 y 12.

Entonces:

114

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Como se alteró el trinomio original multiplicando por 2, debe dividirse el resultado entre 2:

Conclusión:

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en equipos. Comparen sus resultados antes de dar la respuesta definitiva. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

Factoricen los trinomios siguientes.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Ecuaciones lineales

Lee acerca de la ideaUna ecuación lineal es aquélla cuyo grado es 1. Por ejemplo, la ecuación de una recta:

. Igualmente, la ecuación de un plano, como , es una ecuación de primer grado; el motivo ya se ha mencionado: cada término con literales es de grado 1.

En éste curso, se estudiará el comportamiento de ecuaciones de primer grado pero sólo con una o dos variables:

Sobre ese comportamiento de las ecuaciones de primer grado, es nuestro objetivo calcular las incógnitas, hallar las soluciones de las ecuaciones.

115

Page 116: ÁLGEBRA - 1  2009

Solución de una ecuación. Es el valor de la o las variables que hacen verdadera o correcta la igualdad en una ecuación.

Ejemplos de solución de una ecuación Si se resuelve la ecuación , x=2 es la solución de la ecuación, pues se

cumple que La solución de la ecuación es x=4, porque sólo así la igualdad

es correcta: : . Las soluciones del sistema de ecuaciones y , son x=6 y y=4,

porque y .

Miembro de una ecuación. Toda ecuación tiene dos miembros: izquierdo y derecho. Por ejemplo, en la ecuación , el miembro de la izquierda es , y es el miembro derecho.

Grado de una ecuación. Es el mayor exponente de una incógnita en una ecuación. Por ejemplo, es una ecuación de segundo grado, pero es una ecuación de tercer grado. Por eso, una ecuación como es una ecuación de primer grado, aunque con dos variables.

Ecuaciones lineales. A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales.

En seguida se dan varios ejemplos de casos en que ocurren ecuaciones lineales.

Perímetro. La ecuación del perímetro, P, del terreno de una granja.

, es una ecuación lineal.

Planteos. La edad de Elena, e, es 5 veces mayor que la edad de Miguel, m, pero ambas

suman 60 años: . Las dos ecuaciones son lineales.

Relaciones proporcionales. El litro de aceite cuesta en un expendio 8.90 pesos, entonces, cualquier cantidad en pesos, p, por cualquier volumen de compra en litros, l, se escribe como .

Líneas rectas en el plano. La ecuación de una recta en el plano tiene la forma , donde m representa una medida de su inclinación y b es la ordenada del

punto de la recta que corta al eje y. Véase el gráfico siguiente.

116

2x

4.5x

3x

6x

200

180

Page 117: ÁLGEBRA - 1  2009

Despeje de la incógnita

Lee acerca de la idea Cuando una ecuación es de primer grado, o de un grado mayor con una o varias incógnitas, se sigue el procedimiento llamado despeje para calcular la solución.

La técnica del despeje de una incógnita se basa en el uso de operaciones inversas. Las operaciones inversas “se anulan” mutuamente. Por ejemplo, para “anular” la adición, hay que restar, para anular la multiplicación hay que dividir, etcétera. En seguida se muestra una tabla en que se comparan las operaciones inversas.

Comparación de operaciones inversasOperación Inversa

Suma + - RestaResta - + SumaMultiplicación DivisiónDivisión MultiplicaciónPotencia dos Raíz cuadrada

Raíz cuadrada Potencia 2

Potencia n Raíz n-ésima

Raíz n-ésima Potencia n

Al aplicar las operaciones inversas en el proceso de despeje de una incógnita, se usan las propiedades de la igualdad, que expresan que una igualdad es verdadera si sus miembros son idénticos, y si algo se hace en un lado, para que la igualdad permanezca debe hacerse en el otro lado, así sea sumar una cantidad real o una variable, restarla, multiplicar o dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz.

Ejemplos1. Hallar la solución de la ecuación lineal .Se restan cuatro unidades a ambos lados de la igualdad: , entonces:

y .

En la secundaria se suele enseñar de la manera siguiente, mediante el método de transposición.

117

Page 118: ÁLGEBRA - 1  2009

Dada , “como 4 suma a la izquierda, pasa restando a la derecha porque esa es la operación inversa de la suma”, y por tanto: “ .” A este proceso se le llama transposición.

2. Hallar la solución de la ecuación lineal .

, está sumando, y se transpone al miembro de la izquierda restando: la operación de suma se deshace del miembro de la izquierda mediante la resta; y se transpone a la derecha restando. Así se obtiene:

Como multiplica a x, se deshace esa operación mediante la división. Por ello la

solución de la ecuación es .

Comprobación: ; ; -1=-1.

3. La fórmula se usa para calcular la temperatura en grados Fahrenheit

cuando se conoce la temperatura en grados Celsius. Cuando la temperatura es la misma

en ambas escalas, . Sustituyendo por da como resultado la ecuación

: una ecuación lineal con una sola incógnita. En , aparece

en ambos lados del signo de igualdad. Usa las propiedades de la igualdad y operaciones inversas para eliminar la variable de cada lado, se obtiene:

: se restó de cada lado.

Interpretación: °C=°F, en -40°C.

La técnica de despeje se aplica también, como se mencionó, para hallar las soluciones de ecuaciones de grados mayores que 1.

4. Hallar la o las soluciones de la ecuación .

118

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Esta ecuación es cuadrática, de grado 2, y tiene dos soluciones:Como , la x puede ser x=2 o x=-2. Por eso, aplicando la operación inversa de la potencia 2, la raíz cuadrada, para despejar x, se obtiene:

Estas son las soluciones matemáticas.

5. Hallar la o las soluciones de la ecuación .

La ecuación es lineal. Primero, el 5 que divide, se deshace multiplicando por 5 el miembro de la derecha, luego se desarrollan las operaciones naturales que ocurren. Se puede transponer al miembro de la derecha la x:

De tal manera: x=8.

6. Resolver .

Para eliminar la raíz cúbica en ambos lados de la igualdad, se elevan ambos miembros a la potencia 3:

.

La potencia 3 deshace a la raíz cúbica. En seguida, se resuelve la ecuación :

La forma como se obtienen las soluciones de estas ecuaciones se estudiará posteriormente.

7. Despejar la variable x en la ecuación .

119

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Actividades de aprendizajeReúnanse e trabajar en equipos, y resuelvan lo que se les pide en seguida. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro.

A. Resuelvan, mediante la técnica del despeje, las ecuaciones lineales siguientes y comprueben el resultado.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42.

43.

44.

120

Page 121: ÁLGEBRA - 1  2009

45.

46.

47.

48.

49.

50.

B. Hallen el valor de la incógnita x en los casos siguientes. Apliquen la técnica del despeje. 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

C. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la técnica del despeje.1. : ¿se debe escribir el ?2. : ¿se debe escribir el ?

3. 4. 5.

6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13.

14. 15. 16.

17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

26. 27.

28. 29. 30.

121

Page 122: ÁLGEBRA - 1  2009

D. Despejen la variable x de las siguientes ecuaciones.1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

Sistemas de ecuaciones linealesEcuaciones simultáneas de primer grado

Lee acerca de la idea

Ecuaciones lineales con dos variables y su gráficoUna ecuación puede tener dos incógnitas, y ser lineal:

1. : ecuación implícita2. : ecuación explícita

La ecuación 1 se llama implícita, porque no hay variable despejada. La segunda ecuación se llama explícita, porque la variable y se ha despejado y se ve cómo la variable x la explica.

Estas ecuaciones, al graficarlas, producen líneas rectas. Para graficar una línea recta, sólo hacen falta dos puntos para graficar en el plano cartesiano o sistema de

122

Page 123: ÁLGEBRA - 1  2009

coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si se quiere graficar la recta , se dan a x valores arbitrarios, por ejemplo:

Valor arbitrario Sustitución Par ordenadox=-1

x=3

Los pares ordenados se dibujan en el sistema de ejes y se traza la recta que pasa por los puntos A y B:

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas

Lee acerca de la ideaDos ecuaciones lineales con dos incógnitas son simultáneas si tienen la misma solución. Por ejemplo, el siguiente sistema de dos ecuaciones:

Representa un sistema de ecuaciones simultáneas porque si x=7 y y=4, las dos igualdades son verdaderas:

La solución de ese sistema es, pues: x=7 y y=4.

La solución de un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos incógnitas es el par de valores de esas incógnitas que hacen verdaderas a ambas igualdades o ecuaciones.

123

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Dos ecuaciones de primer grado que tienen dos incógnitas, se pueden resolver o hallar su solución siempre y cuando:

a) No sean paralelasb) No sean coincidentes.

Si dos rectas son paralelas, nunca se cruzan, por eso no tienen solución alguna.

Si dos rectas son coincidentes o equivalentes, o sea, si está una sobre la otra en todos sus puntos, las rectas tienen un infinito de soluciones.

Para que dos rectas tengan solución debe suceder que se cortan en un único punto. Las coordenadas de ese punto, son la solución, esto es:

La solución del sistema de ecuaciones siguiente:

Se puede obtener de dos formas:

a) Gráficamente: trazando las rectas y observando dónde se cruzan. Pero este método no es exacto.b) Analíticamente: utilizando un proceso algebraico.

En seguida se muestra el gráfico de las dos rectas:

La solución del sistema está, al parecer en P (-2, 3).

Métodos analíticos de resolución de ecuaciones

Lee acerca de la ideaExisten varios métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos:

124

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a) Por sustituciónb) Por igualaciónc) Por suma o resta.

En seguida se muestra el primer caso.

Resolución de ecuaciones simultáneas por sustitución

Aprende la idea

Resolver el sistema de ecuaciones: , utilizando el método de sustitución,

implica:

Paso 1. Se inspecciona el sistema de ecuaciones y se decide despejar una incógnita en caso de que no esté así, ya despejado en alguna: se desea tener al menos una ecuación en forma explícita.Paso 2. Se sustituye el valor despejado en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una sola incógnita.Paso 3. Se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas.Paso 4. Se sustituye el valor hallado de la incógnita en una de las dos ecuaciones, de preferencia en la que se ha despejado una variable. Se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita.

. De la ecuación 1: se despeja y:

Se sustituye en la ecuación 2: : .

Se resuelve: . El valor de x es -2.

Se sustituye en la ecuación 3: : .

La solución del sistema es: x=-2 y y=3.

Comprobación

Actividades de aprendizaje

125

Page 126: ÁLGEBRA - 1  2009

Reúnanse a trabajar en equipos de tres personas y contesten o resuelvan lo que se les pide en seguida. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y si tienen alguna duda acudan con su maestra o maestro.

A. Escriban en forma explícita cada recta siguiente y grafíquenlas. Pueden usar un solo sistema de ejes coordenados.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

B. Grafiquen cada siguiente par de rectas en un sistema de coordenadas rectangulares y obtengan sus soluciones gráficamente.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

C. Resuelvan analíticamente los sistemas de ecuaciones anteriores, aplicando el método de sustitución y comprueben sus resultados.

D. Para cada sistema de ecuaciones siguiente, determinen si tienen o no soluciones y cuántas. Digan si las rectas son paralelas, equivalentes o simultáneas. Si son simultáneas, hallen su solución. Contesten además lo siguiente:

a) Cuando son paralelas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?b) Cuando son equivalentes, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?c) Cuando son simultáneas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

126

Page 127: ÁLGEBRA - 1  2009

Resolución de ecuaciones simultáneas por igualación

Aprende la ideaEn este método, igual que en el anterior, se aplica el principio de sustitución que dice:

Si a=b entonces a puede sustituirse por b cada vez que se halle b.

Resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación implica lo

siguiente:

Paso 1. Se despeja una de las variables de las dos ecuaciones.Paso 2. Se iguala x=x o y=y.Paso 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita que se produce.Paso 4. El valor hallado se sustituye en alguna de las ecuaciones despejadas para encontrar el valor de la otra variable.

Despejamos la incógnita x de ambas ecuaciones:

Igualamos x=x: .Resolvemos:

Sustituimos en :

Solución: y .

Comprobación: Sustituimos la solución en las dos ecuaciones:

Actividades de aprendizaje

127

Page 128: ÁLGEBRA - 1  2009

Trabajando en equipo, resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales siguientes por el método de igualación. Comprueben sus soluciones. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 13. 14.

15. 16. 17.

18.

Resolución de ecuaciones simultáneas por el método de suma o resta

Aprende la ideaEn este método, la reducción del sistema de ecuaciones se realiza como sigue. Supongamos que se desea hallar la solución del sistema:

Entonces, se observa que en la ecuación 1 la incógnita x es el doble de la x en la ecuación 2. Por tanto, se puede multiplicar la ecuación 2 por -2 y sumar esa ecuación a la 1:

Por tanto: y = -1.

128

Page 129: ÁLGEBRA - 1  2009

Sustituyendo en la otra ecuación: :

Por tanto: x=2. La solución es: x=2, y=-1.

El método de suma o resta puede resumirse como sigue:

Paso 1. Se inspeccionan las dos ecuaciones y se decide multiplicar una de ellas por un factor que permita, al sumar o restar las dos ecuaciones, hacer un cero.Paso 2. Se resuelve la ecuación lineal resultante.Paso 3. Se sustituye el valor de la incógnita hallada en alguna de las dos ecuaciones, se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita.

Actividades de aprendizajeResuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de suma o resta. Comprueben sus respuestas.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

Planteamientos con ecuaciones lineales

Lee acerca de la idea

129

Page 130: ÁLGEBRA - 1  2009

Se pueden plantear problemas cuya información conduzca a situaciones sencillas construidas con ecuaciones lineales. Eso es lo que se hará aquí mediante algunos ejemplos.

1. Dos números sumados dan 43, pero la diferencia entre ellos es 3. ¿Cuáles son esos números?

PlanteamientoLos números son: x y y.La suma es 43: (1) .La diferencia entre ellos es 3: (2) .Entonces, despejando x de (2): . Aplicando el principio de sustitución y sustituyendo en (1): . De aquí: y ,

obteniéndose: y . Por lo tanto, sustituyendo en , se

obtiene:

Comprobación: y .

2. La suma de tres números enteros consecutivos es 159. Hallar el valor de esos números.

El primer número es x, entonces los otros dos son: x+1 y x+2. Por lo tanto la suma es: x+x+1+x+2=3x+3=159.

Por lo cual, los otros números son 53 y 54.

Comprobación: 52+53+54=159.

3. La edad de Luis es tres veces la de Juan. Las dos edades suman 72 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

L es la edad de Luis, y J es la edad de Juan. Por eso:

Por lo tanto: , y sustituyendo en la otra ecuación:

La edad de Luis es 54 años, y la de Juan 18.

130

Page 131: ÁLGEBRA - 1  2009

Comprobación: 3(18)=54; 54+18=72.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los problemas siguientes. Comprueben sus resultados y compárenlos con los de sus compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

1. La suma de dos números es 510 y su diferencia es 100. Calculen esos números.2. Juan y Manuel tienen 3230 pesos entre ambos. Manuel tiene 1200 pesos más que Juan. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?3. Dividir el número 842 en dos partes tales que el menor exceda al mayor en 18 unidades.4. La edad de José es 55 años menor que la de Miguel. Las edades suman 115 años. Hallar las edades.5. Benito repartirá 1430 pesos entre sus dos hijos. El hijo A recibirá 70 pesos más que el hijo B. ¿Cuánto obtendrá cada uno?6. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 189.7. Tres números enteros consecutivos suman 312. Hallen esos números.8. Cuatro números enteros consecutivos suman 98. Hallen esos números.9. Se paga por el corte de un césped y el corte de las flores del jardín 1525 pesos. Por el corte de las flores del jardín se pagaron 400 pesos más que por el corte. ¿Cuánto se pagó por cada cosa.10. La suma de tres números es 1580 pesos. El número mayor excede al del medio en 70 pesos y al menor en 150 pesos. ¿Cuáles son esos números?11. Para terminar tres trabajos, Israel requirió 250 minutos. El primero necesitó 105 minutos y excede al primero en 40 minutos y al otro en 25. ¿Cuánto tiempo hizo para terminar cada trabajo?

12. La edad de María es cuatro veces la de Nina. Las edades suman 80 años. Calcúlenlas.13. Se compra un patín, una bicicleta y un Ipot para regalar en navidad. Todo cuesta 3500 pesos. El Ipot costó el doble de la bicicleta y 4 veces lo que el patín. ¿Cuánto costó cada cosa?14. Se repartirán 2450 pesos entre tres personas. La que manos recibe, tendrá 4 veces menos que la que más. La otra, recibirá la mitad que la que más. Calculen las cantidades que recibe cada una.15. El mayor de dos números es 8 veces el menor. Si ambos se suman se obtiene 153. Calculen esos números.16. La suma de dos números es 1278. Uno es 5 veces el otro. Calculen los números.17. El triple de un número es igual a ese número aumentado en 1040. ¿Cuál es el número?18. La edad de Alejandra es igual al cuádruplo de la edad de Juanita más 14 años. La suma de las edades es 84 años. Hallar las edades.19. La edad de Luis es la mitad de la de Ramón; la de Pedro es 5 veces mayor que la de Luis. La suma de las edades de Pedro y Ramón es de 112 años. Calcular las edades.20. Dividir 240 pesos en tres cantidades, tales que la primera sea un tercio la segunda y la segunda sea mayor en 40 pesos la tercera.

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21. Se compra una mesa, un florero y un mantel por un total de 5200 pesos. La mesa cuesta 10 veces más que el florero y el mantel 150 pesos menos que el florero. Hallar el precio de cada uno.22. La suma de tres números es 530. El segundo es tres veces mayor que el primero. El tercero es igual al doble del segundo aumentado en 30. Hallar los números.23. Entre A y B tienen 670 pesos. B tiene el cuádruplo de A, más 20 pesos. Hallar el dinero que tiene cada uno.24. Repartir 127 pesos entre A, B y C de tal forma que la parte de B sea 4 pesos menos que el doble de lo que tiene A, pero 30 pesos más que lo de C.25. Ruiz recibe un pago de 400 pesos, y así, logra tener seis veces lo que traía en la bolsa más 25 pesos. ¿Cuánto traía en la bolsa?26. Un rollo de tela se divide en dos largos. Uno de ellos es 4 metros menos largo que el resto. Halla la longitud de ambas partes si el rollo medía 55.5 metros.27. Las edades de un padre y su hijo suman 145 años. La edad del padre excede a la del doble del hijo por 35 años. Hallar las edades.28. Dos ángulos suman 180°. Un ángulo es igual a las tres quintas partes del otro. Hallen las medidas de los ángulos.29. La suma de dos números es 1024 y el mayor excede al triple del menor en 120. Hallen los números.30. La diferencia de dos números es 47. Si el mayor se disminuye en 11 se tiene trece veces el menor. Hallar los números.31. En una clase hay 60 alumnos entre hombres y mujeres. El número de mujeres excede en 15 al doble de los hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay?32. La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede al mayor en 50 aumentado en 100. Hallar los números.33. La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.34. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano 50 centavos, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?35. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 pesos. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?36. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá 12 pesos, y por cada problema que no resuelva perderá 5 pesos. Después de trabajar en los 16 problemas el muchazo recibe 73 pesos. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no?37. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $3 pesos por cada día de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $2. Al cabo de 50 días el obrero recibe $90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no?38. Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 dólares. De la calidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le costó 7 dólares más que cada traje de la calidad inferior, ¿cuántos trajes de cada clase compró?39. Pagué $582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $5 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de sacos de frijoles es el triple del número de sacos de azúcar más $5, ¿cuántos sacos de azúcar y cuántos de fríjol compré?40. Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.

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Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Lee acerca de la ideaUn sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene la forma del siguiente:

Un sistema como este, puede resolverse aplicando las técnicas que se usaron para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, por igualación:

Se despeja x de cada ecuación:

Se igualan dos de las ecuaciones despejadas, por ejemplo y , pues x = x:

En seguida se reduce la expresión practicando

operaciones (se multiplica por ejemplo por 4 para desaparecer los denominadores) y se despeja una de las variables. Seleccionamos y:

Se igualan otras dos ecuaciones, por ejemplo y , y se procede como en al caso

anterior:

Ahora resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden igualar pues y=y, y resolver para hallar el valor de z:

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Sustituyendo en : .

Sustituyendo en :

La solución del sistema es: x=3, y=-2 y z=4.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen sus respuestas y si tienen alguna duda pregunten a su maestra o maestro.

A. Resuelvan los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas siguientes.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

RespuestasEj. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 1 2 -3 -2 5 -3 4 -3 3 10 0.5 -.4y 1 -2 2 3 1 -2 2 -2 -4 20 1 -.5z 1 3 -1 1 -2 -1 1 3 2 -30 1.5 -2

Sistema de dos ecuaciones resuelto por determinantes (opcional)

Lee acerca de la idea

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Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden resolverse por determinantes. Un determinante es un arreglo de números que define una operación.

Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como el siguiente:

Si se resuelve mediante los temas vistos hasta ahora, se obtienen las soluciones:

y .

Se observa un patrón en los productos y las diferencias, que puede representarse mediante un determinante que defina las operaciones mostradas allí:

: Que es el numerador que define el valor de x en la ecuación

. Por lo tanto, el denominador se puede escribir con un determinante como sigue:

. En consecuencia:

Y de igual manera:

Con estas fórmulas, se puede calcular cada una de las soluciones de un sistema de ecuaciones simultáneas 2X2.

EjemploObtener las soluciones del sistema de ecuaciones:

.

En este caso: , y ; , y . Entonces, las soluciones del sistema se obtienen calculando los determinantes anteriores:

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La solución del sistema es x = 3 y y = -4.

Actividades de aprendizajeResuelvan trabajando en equipo los siguientes sistemas de ecuaciones que resolvieron antes, pero usando determinantes. Comprueben sus respuestas usando los resultados obtenidos.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Lee acerca de la ideaLas ecuaciones de segundo grado, se manifiestan cuando la suma de los exponentes de las variables en cada término es a lo más 2. Los siguientes son ejemplos:

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: la ecuación de una parábola.

: la ecuación de una elipse.

: la ecuación de una hipérbola. : el área de un círculo.

: la tensión de una cuerda, donde V es la velocidad de las ondas en la cuerda que vibra, y es la densidad de la cuerda.

La forma de las ecuaciones cuadráticas que nos interesa y estudiaremos en este curso es la siguiente: , donde a no puede ser 0, y que representa una parábola.

De manera concreta, un ejemplo es , cuya gráfica se puede ver en seguida:

Los sitios dónde y=0, representan las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que son parábolas. Soluciones: donde

Las soluciones pueden ser: (a) Ninguna, si la parábola esta toda abajo o arriba del eje X (b) Una, si la parábola es tangente al eje X(c) Dos, si la parábola es cortada por el eje X en dos puntos.

El coeficiente del término cuadrático, a, determina si la parábola abre sus ramas hacia arriba o hacia abajo:

Si a es positivo, la parábola es convexa: abre sus ramas hacia arriba. Tiene un mínimo.

Si a es negativo, la parábola es cóncava: abre sus ramas hacia abajo. Tiene un máximo.

Obsérvense las figuras siguientes:

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ParábolaConvexa: a>0 Cóncava: a<0

Estas dos parábolas tienen dos soluciones: dos diferentes valores de x donde la parábola cruza el eje X.

Solución de ecuaciones cuadráticasPara hallar las soluciones de una ecuación cuadrática, se puede proceder de dos formas:

1. Factorizando (si es posible).

2. Aplicando la fórmula general:

En este caso, a, b y c son constantes o parámetros en .

Soluciones mediante factorizaciónSupongamos que se nos da la ecuación , si se observa, se puede

factorizar el lado derecho: . Entonces, para hallar las soluciones cada

binomio se iguala a 0 y se resuelve:

Las soluciones son: x =-6 y x= 2. La parábola corta al eje X en esos sitios y es convexa. Además, tiene su eje en x= -2, y el mínimo en y=-16. Obsérvese el gráfico siguiente.

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Para hallar el punto donde se halla el eje, se toma el centro entre -6 y 2:

: se obtiene la media o promedio. Para hallar el máximo o

mínimo, se sustituye E en la ecuación de la parábola:

.

Si no se tienen dos soluciones, es más complicado hallar el máximo o mínimo de la ecuación. Ese tema lo estudiarás en tu curso de Cálculo.

Actividades de aprendizajeReúnanse en grupos de tres personas y resuelvan los ejercicios siguientes. Si tienen alguna duda, coméntenla con algunos otros compañeros o con su maestra o maestro.

A. Hallen las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Digan si son cóncavas o convexas, hallen su eje y su máximo o mínimo. Comprueben sus respuestas.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

B. Determinen las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Expliquen si son cóncavas o convexas. Grafíquenlas y especifiquen el máximo o mínimo respectivo.

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4. 5. 6.

7. 8. 9.

Soluciones usando la fórmula generalUna ecuación cuadrática como , puede resolverse aplicando la llamada fórmula general:

: a, b y c son constantes o parámetros.

Así pues: a=1, b=-5 y c=-6. Sustituyendo se tiene:

Entonces, las soluciones son: y

Propiedades de la fórmula general

Dado que la fórmula general tiene un radical, el subradical puede adquirir tres valores posibles que determinan cuántas soluciones existen:

Si , la solución es sólo una: : la parábola es tangente al

eje X.

Si , hay dos soluciones: y

, la parábola corta al eje X en dos puntos.

Si , la parábola no corta al eje X, y por tanto no hay soluciones.

Actividades de aprendizajeReúnanse en grupos de tres compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Si tienen alguna duda, coméntenla con algunos otros compañeros o con su maestra o maestro.

A. Resuelvan las ecuaciones siguientes usando la fórmula general, y determinen sus ecuaciones o bien si no existen. Además, determinen hacia dónde abren las parábolas, y si son cóncavas o convexas.

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1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas se aplican en muchas situaciones de la vida real. Por ejemplo, en el estudio del lanzamiento de proyectiles, como pelotas, cohetes, etcétera. En seguida se muestra un ejemplo.

1. Pelota. Una pelota se lanza al aire desde un edificio de 8 metros de alto. Ella describe un recorrido parabólico, como se ve en la figura siguiente.

a) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la palota?b) ¿Cuándo la pelota alcanza su máxima altura?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada?d) ¿Cuánto tiempo dura la pelota en el aire?e) ¿Cuál es la altura de la pelota cuando han pasado 2 segundos?

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f) ¿Cuánto tiempo ha pasado si la pelota tiene una altura de 14 metros? Expliquen.

2. Un cohete se lanza desde la Tierra, y describe la trayectoria siguiente:

a) ¿Cuál es la ecuación que asocia la altura y el recorrido de la palota?b) ¿Cuándo el cohete alcanza su máxima altura?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el cohete?d) ¿Cuál fue la distancia total recorrida por el cohete?e) ¿Cuál es la altura del cohete cuando ha recorrido 400 metros a partir de su despegue?f) Si el cohete ha recorrido 1 kilómetro, ¿cuál es su altura? Expliquen.

3. Las ventas de una compañía contra el tiempo se comportan como se ve en la figura siguiente. Se sabe que la curva es una parábola tangente al eje x en x=3.

a) Describe el comportamiento de las ventas contra el tiempo.b) Construye la ecuación que permite explicar las ventas en función del tiempo.c) Calcula las ventas esperadas en el mes 6.

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4. Un arquitecto construirá un arco con forma de parábola como entrada a una biblioteca. Él proyecta su figura apoyándose en la ecuación metros.

a) Grafiquen el arco.b) ¿Cuántos metros tiene la base de la entradac) Cabrá por el arco una base de 10 metros de altura? ¿Por qué?d) ¿Se podrán colocar en la entrada, debajo del arco, dos plataformas de exhibición de 2 metros de ancho y de altura 20 cm. cada una y dejar aún un pasillo de 3 metros para la gente?e) ¿Cuál es la altura del arco a dos metros del piso, desde cualquier poste?

5. a) Construyan las ecuaciones para diseñar dos arcos parabólicos, uno junto al otro, y que tengan luz (distancia entre sus bases: longitud de la entrada) igual a 4 metros cada uno.b) Calculen la altura de cada arco.c) Grafiquen los arcos.

6. Obtengan la ecuación de cada parábola siguiente. Son cinco en total.

7. Traza en un sistema coordenado rectangular cada parábola siguiente, sin tabular.

a) b) c)

d) d) e)

f) g) h)

i) j) k)

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