Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante .

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a 5b,7a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b+ 5c, 3a+ 3b 2c, 3a 3b+ 3c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 2x 1 12 3 2x 2x

2x 1 2 22 0 3x x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

5 2 1 76 6 2 13 5 5 20 1 6 6

.

Tarea 2, variante , pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

3 3 41 2 47 5 4

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

2 4 4 11 2 0 31 4 3 22 1 2 3

, B =

4 3 2 22 1 2 22 1 1 32 2 4 3

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 4 41 2 32 4 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 1 34 2 2

2 5 3

x = 62

5

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 24, y1 = 12, y2 = 12.

Tarea 2, variante , pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3 2 i 2+ 4 i2+ i 1+ i

]x =

[4 6 i14

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

224

, Q = 64

5

, R = 26

1

, S = 25

3

.

Tarea 2, variante , pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante .

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 8b,7a+ 6b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a b+ 6c,a+ 5b c, 2a+ 3b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 3x 3x 1x 2 1 32 2 1 2x2 x x 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 1 5 22 1 4 30 4 3 55 1 7 1

.

Tarea 2, variante , pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

0 2 61 2 25 2 4

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 2 4 3

1 4 2 03 4 1 24 4 1 3

, B =

1 1 1 32 1 3 4

1 2 2 03 1 2 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 3 51 1 31 2 1

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 1 55 4 3

3 1 5

x = 40

7

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 4, x1 = 2, x2 = 1,

y0 = 21, y1 = 3, y2 = 6.

Tarea 2, variante , pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1 i 2+ i4 3 i 1 4 i

]x =

[10 6 i7 3 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

444

, Q = 22

4

, R = 36

2

, S = 21

4

.

Tarea 2, variante , pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 1 CMJJ.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ b,3a 7b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b+ 4c, a+ 4b+ 3c, 6b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

1 2x 3 2x2 3 2x 10 x 1 2xx 3 3 0

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 7 0 16 4 4 5

6 6 1 61 2 7 3

.

Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

1 4 45 3 54 5 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

4 1 3 2

1 1 3 21 1 1 30 1 4 1

, B =

0 2 3 31 4 4 4

4 1 2 32 3 2 1

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

2 1 15 3 22 4 3

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 4 14 5 4

4 4 3

x = 17

6

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 1, x1 = 1, x2 = 2,

y0 = 1, y1 = 7, y2 = 5.

Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3 2 i 4 i3+ 2 i 2+ 3 i

]x =

[7+ 2 i1+ 8 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

261

, Q = 61

5

, R = 23

0

, S = 63

6

.

Tarea 2, variante 1 CMJJ, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 2 CME.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 2b, a+ 6b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(4a 2b+ 4c,2a+ 6b+ 6c, 5a 2b 6c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 2x 2 x

x 0 3 2

3 x 1 3x2 2 2x 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

5 3 6 22 0 2 1

3 3 4 31 2 3 1

.

Tarea 2, variante 2 CME, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

4 5 13 5 10 4 6

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 2 4 3

1 4 2 03 4 1 24 4 1 3

, B =

4 4 2 14 4 4 13 2 2 31 1 4 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 2 25 1 12 1 3

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 5 14 3 5

1 2 2

x = 45

7

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = 6, y1 = 12, y2 = 46.

Tarea 2, variante 2 CME, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

4+ 3 i 1+ 3 i1+ 2 i 2+ 4 i

]x =

[7 9 i13+ i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

444

, Q = 42

5

, R = 45

6

, S = 21

1

.

Tarea 2, variante 2 CME, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 3 CPMF.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a+ b, 4a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a 4b 6c,2a b c, 4a+ 3b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 2 1 2x2x 3 2 2

3 x x 00 3x 2x 3

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 3 7 5

3 3 0 16 1 4 17 6 2 3

.

Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

0 7 21 7 54 6 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 2 3 4

2 1 1 31 2 1 4

4 4 2 1

, B =

2 3 2 42 4 1 1

1 3 4 31 0 1 4

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

2 4 44 4 53 5 4

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 3 51 2 2

5 5 6

x = 22

1

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 0, x2 = 2,

y0 = 13, y1 = 2, y2 = 8.

Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1+ 4 i 2 4 i2 i 3+ 4 i

]x =

[1 i8 9 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

310

, Q = 20

5

, R = 11

3

, S = 33

6

.

Tarea 2, variante 3 CPMF, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 4 CAE.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(a+ 4b,5a 6b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 3b+ c, a+ b 5c, 3a+ 2b 3c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 0 x 03x x 0 3

3x x 3 11 2 1 2x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

3 2 3 3

2 7 6 22 5 2 40 3 2 4

.

Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

1 3 21 3 54 3 0

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 4 1 22 3 4 42 2 2 22 1 3 3

, B =

1 2 0 31 2 2 2

2 1 1 21 2 1 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

4 3 51 5 14 3 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 4 64 2 2

6 2 5

x = 32

2

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = 20, y1 = 4, y2 = 4.

Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2+ i 2 i2+ 2 i 4+ 2 i

]x =

[12 i4 8 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

261

, Q = 13

1

, R = 61

5

, S = 64

0

.

Tarea 2, variante 4 CAE, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 5 CMR.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(3a 5b,2a+ 8b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ 5b+ 3c,a+ 2b 4c,a+ b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 1 3x 12 3 2 x

3x 3x 2 2x 2x 1 0

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 4 3 5

2 5 1 21 2 2 2

6 5 4 2

.

Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

1 4 13 6 61 0 1

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 3 2 1

3 4 1 13 1 3 21 4 2 1

, B =1 4 1 11 2 2 41 2 1 41 1 1 4

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 4 24 5 15 4 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 1 54 6 1

5 2 3

x = 36

2

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 4, x1 = 0, x2 = 1,

y0 = 27, y1 = 5, y2 = 3.

Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3+ i 1 2 i3 i 4 2 i

]x =

[7+ 11 i7 5 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

052

, Q = 63

4

, R = 25

5

, S = 35

5

.

Tarea 2, variante 5 CMR, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 6 DEK.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 6b, 8a 5b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a+ 5b c,4a+ c,3a+ 3b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

1 x 3 31 2 3x x1 2 2x xx 2 2 3

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 2 6 4

6 3 4 55 3 4 24 4 7 7

.

Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

1 2 16 4 15 2 1

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 1 4 11 2 3 12 3 3 0

1 2 4 1

, B =

1 2 3 34 1 1 0

1 1 2 12 1 1 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

4 5 45 3 35 5 5

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 3 5 61 4 2

2 5 3

x = 53

0

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 1, x1 = 0, x2 = 2,

y0 = 0, y1 = 1, y2 = 3.

Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2 i 1 i1 2 i 4 3 i

]x =

[3+ 11 i8 3 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

464

, Q = 156

, R = 33

6

, S = 232

.

Tarea 2, variante 6 DEK, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 7 DFEE.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a+ b,a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ 5b 2c,2a b 3c, 5a+ b+ 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

0 2x 3 13x 3 0 x2 2 2x 0

2x 2 2 x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

7 7 2 41 1 2 20 7 3 56 5 4 5

.

Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

5 4 06 3 74 1 3

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 0 2 22 2 1 12 2 1 1

3 3 2 2

, B =

1 2 2 30 3 3 1

4 1 3 12 4 3 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

2 3 31 5 13 5 1

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 6 51 3 5

2 2 3

x = 47

0

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 5, x1 = 3, x2 = 2,

y0 = 27, y1 = 9, y2 = 3.

Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2 i 4+ i1 i 3 2 i

]x =

[2+ 4 i9 10 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

125

, Q = 43

1

, R = 34

1

, S = 25

1

.

Tarea 2, variante 7 DFEE, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 8 GPDA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 8b, 2a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a 5b+ 6c, 2b 4c, 6a 3b+ 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 2x 2x 11 x 2x 3

0 2 2 x

x 1 1 1

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

3 1 3 46 6 5 44 1 0 62 1 3 7

.

Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

1 2 17 4 34 6 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 2 1 22 2 2 34 3 2 33 2 1 1

, B =

4 2 3 14 2 4 13 3 4 1

2 1 1 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

4 3 51 5 13 4 3

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 2 33 1 6

2 1 1

x = 67

3

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 4, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 47, y1 = 1, y2 = 5.

Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2+ 4 i 1+ i1+ 4 i 1+ 2 i

]x =

[3 3 i4+ 5 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

346

, Q = 52

1

, R = 13

6

, S = 51

2

.

Tarea 2, variante 8 GPDA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 9 GLL.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(4a+ 5b,7a+ 5b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ c, 3a b 4c,6a+ 3b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

x 3 2 2x2 2x 0 12x 2 0 x2 3 x 3

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

2 3 4 2

3 5 4 61 2 3 23 4 1 2

.

Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

7 1 51 1 23 0 1

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 2 1 41 1 1 4

1 1 1 12 2 1 0

, B =

0 4 2 31 2 4 32 3 4 41 1 2 1

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 4 51 4 44 4 4

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 6 32 5 6

4 5 3

x = 17

1

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 2, x2 = 4,

y0 = 20, y1 = 13, y2 = 13.

Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3 2 i 1 2 i3+ i 3 4 i

]x =

[12+ 4 i1+ 13 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

125

, Q = 66

2

, R = 32

1

, S = 30

5

.

Tarea 2, variante 9 GLL, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 10 GDKA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ 5b, 6a 6b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 4b+ 2c, 4b+ 2c,a+ 3b 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

x 2 1 x2 1 x 03 3x 2 32x 0 3 2x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 1 6 25 5 5 11 2 3 1

7 7 1 1

.

Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

5 2 76 1 53 2 0

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 1 0 43 1 3 24 4 4 3

2 3 2 1

, B =

4 3 3 12 1 2 1

3 2 2 43 1 3 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

3 2 24 1 25 5 5

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 3 31 4 4

2 3 1

x = 16

7

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 5, x1 = 0, x2 = 1,

y0 = 39, y1 = 1, y2 = 3.

Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1+ 3 i 3 2 i4+ 4 i 4+ 3 i

]x =

[2 7 i3+ 8 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

566

, Q = 34

6

, R = 51

3

, S = 63

5

.

Tarea 2, variante 10 GDKA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 11 GPYU.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 3b, 4a+ b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a+ 5b+ c,2a+ 5b, 5a 4b c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

1 3x 1 03 1 2 x

3x 0 3x 2x 1 3x 3

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 1 7 14 1 2 21 5 6 50 1 2 1

.

Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

3 4 26 7 20 1 6

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

4 2 1 2

3 4 1 31 2 1 2

1 2 1 0

, B =1 2 2 32 1 3 10 3 1 41 3 3 1

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 4 21 4 45 5 1

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 2 26 3 6

3 1 2

x = 43

1

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 5, x1 = 4, x2 = 1,

y0 = 13, y1 = 6, y2 = 1.

Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1+ 3 i 2+ 4 i1+ 2 i 2+ 2 i

]x =

[1+ 7 i10+ 5 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

541

, Q = 23

5

, R = 24

2

, S = 13

2

.

Tarea 2, variante 11 GPYU, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 12 HBLM.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 6b, 3a+ b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ 5b+ 3c, b 5c,a b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 3 2x 1

3 3x 1 2xx 2 1 21 2x 2 3x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 7 7 0

6 1 2 72 5 4 3

1 4 7 3

.

Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

2 0 23 5 74 7 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 2 4 4

1 1 3 22 0 1 44 4 1 4

, B =

1 4 4 21 3 1 11 3 3 2

3 1 1 0

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 1 42 2 23 1 1

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 5 14 4 6

5 4 6

x = 342

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 4, x1 = 2, x2 = 1,

y0 = 30, y1 = 10, y2 = 3.

Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1 4 i 1+ i3 2 i 2 3 i

]x =

[8 8 i4+ 9 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

533

, Q = 33

2

, R = 34

0

, S = 23

5

.

Tarea 2, variante 12 HBLM, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 13 HLPA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(4a 4b, 6a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a 2b+ 2c, a 4c, 4a b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

1 3x 1 11 1 1 2x

3x 1 2x 3x 1 2x 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

0 6 1 41 5 1 1

2 2 4 12 1 3 2

.

Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

4 6 52 7 24 3 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

2 2 4 31 4 1 03 1 3 21 3 4 3

, B =

4 2 4 13 0 1 2

2 1 3 14 1 3 4

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 3 13 2 35 5 1

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 6 6 44 3 4

5 3 4

x = 24

1

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = 6, y1 = 3, y2 = 31.

Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2+ 4 i 3+ 2 i3+ i 1 i

]x =

[7+ 9 i1+ 5 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

326

, Q = 25

3

, R = 550

, S = 52

5

.

Tarea 2, variante 13 HLPA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 14 LRE.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 7b, a 6b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a 2b+ 3c, 2a+ 2b 2c,3b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 2x 2 2xx 3 2 20 1 x 1

1 3x 2 3x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 4 0 1

2 4 1 55 7 2 42 3 1 3

.

Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

6 5 74 5 63 6 3

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 1 1 1

1 2 0 11 1 1 31 3 1 2

, B =

1 2 1 41 1 1 4

1 1 1 12 2 1 0

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 3 22 2 14 5 5

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 4 64 1 3

6 2 6

x = 15

4

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3,

y0 = 0, y1 = 3, y2 = 15.

Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3 2 i 3+ i4+ 2 i 3+ 2 i

]x =

[6 12 i2+ 10 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

434

, Q = 31

6

, R = 603

, S = 63

1

.

Tarea 2, variante 14 LRE, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 15 LSMR.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(a+ 8b,3a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(5a+ 4b+ 5c, 3b 2c,6a+ 4b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 2x x 02 2 1 2x1 x x 2x 2 1 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

5 2 4 26 0 1 2

1 5 6 72 1 2 1

.

Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

6 1 41 2 22 4 2

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 1 1 21 1 1 33 1 1 23 2 3 4

, B =

2 2 1 21 1 1 21 4 1 42 1 0 1

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 4 54 5 52 1 3

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 2 1 63 1 6

1 4 6

x = 23

1

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5,

y0 = 2, y1 = 3, y2 = 2.

Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1+ 2 i 1+ 2 i3 4 i 2 4 i

]x =

[1+ 9 i3 3 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

525

, Q = 45

1

, R = 31

3

, S = 346

.

Tarea 2, variante 15 LSMR, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 16 LCJ.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(7a+ 5b,7a 7b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(4a+ 5b 4c, 3b 6c,5a+ 5b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 1 3x 13x 2x 2 3

3x 3x 1 33 1 3 3x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

2 2 6 57 4 2 3

7 7 4 77 4 7 0

.

Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

7 4 60 3 67 3 2

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 2 1 22 4 1 3

0 2 4 41 3 4 1

, B =

0 3 2 23 1 2 4

1 4 2 11 2 1 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

4 4 43 4 44 5 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 2 43 4 6

3 1 2

x = 77

6

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 0, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 1, y1 = 1, y2 = 1.

Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2 3 i 2 3 i3+ 3 i 3+ 2 i

]x =

[3 8 i5 2 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

351

, Q = 62

4

, R = 56

5

, S = 64

5

.

Tarea 2, variante 16 LCJ, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 17 MOA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(6a+ 5b, 5a+ b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ b 2c,2a+ 6b+ 4c,3a+ b+ c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 1 3x 2x

3x 3 0 13 x 1 3

2 1 x 3x

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

4 5 1 42 1 4 3

1 2 2 16 2 1 7

.

Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

4 7 41 0 51 2 6

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

4 3 3 22 1 3 12 3 4 4

2 1 3 2

, B =

1 1 1 11 2 0 11 1 1 31 3 1 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

2 5 54 2 31 1 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 1 1 15 3 3

4 2 6

x = 37

2

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 2, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 1, y1 = 3, y2 = 1.

Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

1+ i 2+ 2 i3 2 i 3 4 i

]x =

[8+ 4 i9 5 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

354

, Q = 36

0

, R = 23

1

, S = 41

3

.

Tarea 2, variante 17 MOA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 18 MRA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(5a 3b,3a+ 5b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(3a+ b 2c, 3a+ 3b c, a 2b+ 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3x 2 3 2x2 2 2x 2

3x 3 3 x2 x 1 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

2 2 7 4

6 2 3 14 2 1 2

5 2 2 4

.

Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

5 5 44 6 34 2 1

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 4 2 2

1 1 2 41 2 1 10 1 1 4

, B =

0 4 1 3

1 1 3 33 1 2 32 1 1 1

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

1 4 11 1 11 5 5

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 3 21 1 5

2 1 4

x = 55

7

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 2, x2 = 0,

y0 = 4, y1 = 1, y2 = 1.

Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

3+ 2 i 4+ 2 i2 3 i 3 4 i

]x =

[8+ 10 i9 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

AB

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

412

, Q = 12

4

, R = 55

4

, S = 33

1

.

Tarea 2, variante 18 MRA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 19 NHOF.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a+ 6b,3a+ 3b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a+ 5b 4c, a 4b+ 5c,6a 3b 5c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 3 3 3x

2x 1 3x 33 2x 0 3x 1 3x 0

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 1 2 4

5 2 3 72 5 4 71 2 2 7

.

Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 2.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

5 4 16 4 33 7 2

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

1 0 2 22 2 1 12 2 1 1

3 3 2 2

, B =

1 1 3 31 1 3 2

2 2 1 34 1 4 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

5 4 21 5 51 2 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 5 44 2 3

2 6 1

x = 32

6

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 4, x1 = 2, x2 = 3,

y0 = 30, y1 = 6, y2 = 16.

Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

2 2 i 1 3 i3 i 4 3 i

]x =

[5 11 i3+ 4 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

631

, Q = 15

3

, R = 33

1

, S = 34

2

.

Tarea 2, variante 19 NHOF, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 20 RCCE.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(2a 5b, 7a+ 4b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(a 5b 2c, b 3c, a+ b 4c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

3 0 0 2x3x 3 2 33 3x 3x 0

2 3x x 0

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

1 6 4 74 5 2 4

2 1 3 26 5 4 4

.

Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

2 5 37 6 04 1 5

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 4 2 34 3 3 31 1 1 43 2 1 1

, B =

4 1 0 2

1 1 1 13 1 3 4

2 1 1 3

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

4 2 43 4 12 2 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 4 6 12 3 1

6 5 4

x = 75

6

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 3, x1 = 2, x2 = 0,

y0 = 30, y1 = 13, y2 = 3.

Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

4 3 i 1+ 3 i1+ 2 i 4+ i

]x =

[3+ 4 i11 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

BC

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

423

, Q = 53

5

, R = 24

1

, S = 40

3

.

Tarea 2, variante 20 RCCE, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 21 RCGA.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(8a+ 2b, 2a+ 2b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(2a 2b 2c, 5a 2b+ 6c, 3a+ 3b) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 2x 1 31 3 3x x3 1 3x x2x 0 3 2

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

6 4 1 56 4 3 45 2 5 2

1 5 4 3

.

Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 1.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 3.

A =

2 5 73 3 06 7 1

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

4 1 0 2

1 1 1 13 1 3 4

2 1 1 3

, B =

2 1 1 13 3 1 41 1 3 41 2 4 2

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

2 5 13 2 13 2 2

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 6 2 12 3 1

2 4 3

x = 73

7

.Ejercicio 9. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales quedeben satisfacer los coeficientes del polinomio P(x) = a0 + a1x+ a2x

2 para que se cumplan lasigualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con laformula para el determinante de una matriz de Vandermonde. Resuelva el sistema con laregla de Cramer. Escriba el polinomio P(x) y comprueba las igualdades P(xk) = yk, k {0, 1, 2}.

x0 = 1, x1 = 1, x2 = 5,

y0 = 2, y1 = 4, y2 = 8.

Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 2 de 3

Ejercicio 10. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

4+ 4 i 2+ i4+ 4 i 1+ 4 i

]x =

[2 i

9+ 4 i

].

Ejercicio 11. 1%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

el area orientada del paralelogramo generado porAB y

AC;

el area orientada del paralelogramo generado porBA y

BC;

el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 12. 1%.Dados los puntos P,Q, R, S del espacio cartesiano, calcule:

el volumen orientado del paraleleppedo generado porPQ,

PR,PS;

el volumen orientado del paraleleppedo generado porQP,

QR,

QS;

el volumen de la piramide PQRS.

P =

602

, Q = 14

0

, R = 414

, S = 34

5

.

Tarea 2, variante 21 RCGA, pagina 3 de 3

Engr

apeaq

u

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 2. Variante 22 RBH.

Determinantes.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V2 R una funcion bilineal alternante y sean a, b V .Exprese a f(3a 6b, 6a 7b) como un multiplo de f(a, b).

Ejercicio 2. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V3 R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c V .Exprese a f(6a+ 4b, 5a 6b 5c,6a+ 6b+ 2c) como un multiplo de f(a, b, c).

Ejercicio 3. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en elpolinomio f(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutacionesy encontrar los sumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

2 3 3x 3x2 3 2x 2x

2x 2 3 23 x 2 1

.

Ejercicio 4. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y laexpansion por cofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante dela matriz transpuesta A> usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos.

A =

2 1 3 52 2 1 27 1 0 7

4 3 2 4

.

Tarea 2, variante 22 RBH, pagina 1 de 3

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 1.

A =

6 0 12 5 35 3 4

.Ejercicio 6. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumplela igualdad det(AB) = det(A) det(B).

A =

3 4 1 32 2 2 13 1 0 3

2 2 4 3

, B =

1 2 1 41 1 1 4

1 1 1 12 2 1 0

.Ejercicio 7. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que secumple la igualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A

1.

A =

3 2 45 1 53 2 5

.Ejercicio 8. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. 5 1 61 6 1

3 5 4

x = 11

1