mecanica dematerilesProblemas resueltos tema5
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Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES G x z y n n σ MAX (COMPRESIÓN) σ MAX (TRACCIÓN) Problemas resueltos
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Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES
G x
z
y
n
n
σMAX(COMPRESIÓN)
σMAX(TRACCIÓN)
Problemas resueltos
5.1.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura. Cálculo de reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:
Diagramas de esfuerzos:
15 kN/m 10 kN.m
20 kN 8 kN
A B 2 m 1 m 1 m 1 m
RA
RB
: 23
35A
B
resolviendo R kN
R kN
==
0 15.2 20 8 (1)
0 .4 15.2.1 20.3 8.5 (2)
A B
A B
F R R
M R
= + = + +
= = + +∑∑
0 2
23 15. 0 23 2 7
0 23 15. 0 1,53
23. 15. . 0 0 2 16 .2
1,53 17,63 .
y y y
y
z z z
z
x
V x x V kN x V kN
V x x m
xM x x x M x M kN m
x M kN m
− −= − = → = = → = −
= − = → =
= − = → = = → =
= → =
2 3
23 15.2 7
23. 15.2.( 1) 10 2 26 .
3 19 .
y
z z
z
x
V
M x x x M kN m
x M kN m
− −= − = −
= − − + = → == → =
27
7
8
23
1,53 m
x
Vy (kN)
17,63
16
19
26
8
Mz (kN.m)
x
-
+
+
3 4
23 15.2 20 27
23. 15.2.( 1) 10 20.( 3) 3 19 .
4 8 .
0 3,7
4 5
8
8.(5 ) 4 8 .
5 0
y
z z
z
z
y
z z
z
x
V kN
M x x x x M kN m
x M kN m
M x m
x
V kN
M x x M kN m
x M
− −= − − = −
= − − + − − = → == → = −
= → =
− −=
= − − = → = −= → =
5.2.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura Cálculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Diagramas de esfuerzos:
10 .2,5.1,5 10 11,87
21 1
0 .2,5.1,5.(2 .1,5) 10.1 14,68 .2 3
A
A A
F R kN
M M kN m
= = + =
= = + + =
∑
∑
2,5 kN/m 10 kN
1,5 m 1 m 1 m
RA MA
h x
2,5: 1,67.
1,5
hpor semejanza de triángulos h x
x= → =
0 1,5
1 1. . . .1,67. 0 0 1,5 1,87
2 21 1
. .1,67. . . 0 0 1,5 0,94 .2 3
1,5 2,5
1.1,5.2,5 1,87
21 2
.1,5.2,5.( .1,5) 1,5 0,94 . 2,5 2,81 .2 3
y y y
z z z
y
z z z
x
V x h x x x V x V kN
M x x x x M x M kN m
x
V kN
M x x M kN m x M kN m
− −
= − = − = → = = → = −
= − = → = = → = −
− −
= − = −
= − − = → = − = → = −
11,87
1,87
Vy (Kg)
x 14,68
2,81 0,94
Mz (Kg.m)
x
-
-
2,5 3,5
11,87
11,87.(3,5 ) 14,68 2,5 2,81 .
3,5 14,68 .
y
z z
z
x
V kN
M x x M kN m
x M kN m
− −= −
= − − = → = −= → = −
5.3.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura sometida a las cargas verticales y horizontales indicadas Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos:
10 kN
8 kN
z
y 1 m 2 m 1 m
VA VB
HA
HB
0 10 (1)
0 8 (2)
0 .4 10.1 (3)
0 .4 8.3 (4)
y A B
z A B
zA B
yA B
F V V
F H H
M V
M H
= + =
= + =
= =
= =
∑∑∑∑
7,5
2,5
2
6
A
B
A
B
V kN
V kN
H kN
H kN
====
0 1
7,5 2
7,5. 0 0 1 7,50 .
2. 0 0 1 2 .
y z
z z z
y y y
x
V kN V kN
M x x M x M kN m
M x x M x M kN m
− −= =
= = → = = → == = → = = → =
2,5
7,5 6
2
7,5
6
2
2,5
Vy (kN)
Vz (kN)
Mz (kN.m)
My (kN.m)
x
x
x
x
-
-
+
+
+
+
1 3
7,5 10 2,5
2
7,5. 10.( 1) 1 7,5 . 3 2,5 .
2. 1 2 . 3 6 .
3 4
7,5 10 2,5
2 8 6
7,5. 10.( 1) 3 2,50 . 4 0
2. 8.( 3) 3 6 .
y
z
z z z
y y y
y
z
z z z
y y
x
V kN
V kN
M x x x M kN m x M kN m
M x x M kN m x M kN m
x
V kN
V kN
M x x x M kN m x M
M x x x M kN m
− −= − = −
== − − = → = = → == = → = = → =
− −= − = −
= − = −= − − = → = = → == − − = → = 4 0yx M= → =
5.5.-Representar los diagramas de solicitaciones de la estructura de nudos rígidos de la figura Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:
Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos:
10 kN
6 kN/m
3 m
4 m VA
VB
HA A
C D
B
0 10
0 6.4
0 .4 10.3 6.4.2
H A
V A B
A B
F H kN
F V V
M V
= =
= + =
= = +
∑∑∑
4,5
19,5A
B
V kN
V kN
==
4,5 10
10. 0 0 3 30 .
y
z z z
Pilar AC
N kN V kN
M x x M x M kN m
= − =
= = → = = → =
- - +
+ +
4,5
N (kN)
Mz (kN.m)
19,5 10
4,5
19,5
30
30
31,69
Vy (kN) -
:
10 10 0
4,5 6.
0 4,5 4 19,5 0 0,75
4,5. 10.3 6. .2
0 30 . 4 0 0,75 31,69 .
:
19,5
0
0
y
y y Y
z
z z z
y
z
Viga CD
N
V x
x V kN x V kN R x m
xM x x
x M kN m x M x M kN m
Pilar BD
N kN
V
M
= − == −
= → = = → = − = → =
= + −
= → = = → = = → =
= −=
=
5.7.-Representar los diagramas de solicitaciones de la viga de la figura
Cálculo de reacciones:
20 kN/m
18 kN/m 10 kN.m
8 kN.m 50 kN
22 kN
3 m 2 m 1 m
65,6
47,6
2,4
62,4
14,8
7,2 10
97,2
8
21,6
Vy
Vz
Mz
My
x
x
x
x
Solución:
+
+
-
-
+
+
-
-
VA VB
HA HB
10 .18.2 50 20.3 (1)
20 22 (2)
1 20 .5 10 18.(3 .2) 50.3 20.3.1.5 (3)
2 30 .5 8 22.3 (4)
resolviendo (1), (2), (3), (4) 65,6 62,4
14,8 7,2
y A B
z A B
zB A
yB A
A B
A B
F V V
F H H
M V
M H
V kN V kN
H kN H kN
= + = + +
= + =
= = + + + +
= = +
⇒ = == =
∑
∑
∑
∑
[ ]
[ ]
0 1: 0 8 .
11 3: 65,6 9.(3 ).( 1) .( 1). 18 9.(3 )
21 65,6 3 47,6
14,8
( 1) 1 265,6.( 1) 9.(3 ).( 1). .( 1). 18 9.(3 ) . .( 1) 10
2 2 31 10 . 3 97,2
y z z y
y
y y
z
z
z z
x V V M M kN m
x V x x x x
x V kN x V kN
V kN
xM x x x x x x
x M kN m x M kN
− − = = = =
− − = − − − − − − −
= → = = → =
= −−= − − − − − − − − − −
= → = − = → = .
8 14,8.( 1)
1 8 . 3 21,6 .
13 6 : 65,6 .18.2 50 20.( 3)
23 2,4 6 62,4
14,8 22 7,2
1 1 ( 3)65,6.( 1) .18.2.( 1 .2) 10 50.( 3) 20.( 3).
2 3 23 97,2 . 6
y
y y
y
y y
z
z
z
m
M x
x M kN m x M kN m
x V x
x V kN x V kN
V kN
xM x x x x
x M kN m x
= − −
= → = = → = −
− − = − − − −
= → = − = → = −
= − + =−= − − − − − − − − −
= → = = 0 .
8 14,8.( 1) 22.( 3)
3 21,6 . 6 0 .
z
y
y y
M kN m
M x x
x M kN m x M kN m
→ == − − + −
= → = − = → =
18
h
x
1 2
189.(3 )
2 3
hh x
x= → = −
−
5.11.-Una sección de una viga está sometida a las siguientes solicitaciones: Vy = 90 kN., Vz = -70 kN., Mz = 40 kN.m., My = -50 kN.m. La sección es rectangular de 30 cm x 40 cm. Calcular:
1) Tensiones normal y cortante en un punto de la sección de coordenadas: y= -10 cm., z= 8 cm 2) Línea neutra, indicando las zonas de la sección de tracción y de compresión 3) Tensión normal máxima, indicando el punto donde se dará. 4) Diagramas de tensiones cortantes y Tensión cortante máxima 5) Tensión cortante media
50 kN.m
40 kN.m
70 kN
90 kN
40 cm
30 cm
8 cm
10 cm
A
z
y
x
σx
)(0
9000030.40.12
1
16000040.30.12
1
43
43
sprincipaleEjessimetriadeejesI
cmI
cmI
zy
y
z
→=
==
==
6 62
4 4
.. 40.10 .( 100) 50.10 .(80)6,94 /
160000.10 90000.10y Az A
xAz y
M zM yN mm
I Iσ − −= + = + = −
3 32
4
. ( ) . ( ) 70.10 .(3220.10 )0,626 /
( ). ( ). 40.10.90000.10y z z y
xzAz y
R Q z R Q zN mm
t z I t z Iτ −= + = = −
3 32
4
. ( ) . ( ) 90.10 .( 4500.10 )0,84 /
( ). ( ). 30.10.160000.10y z z y
xyAz y
R Q y R Q yN mm
t y I t y Iτ −= + = = −
3
( ) 30
( ) 30.10.( 15) 4500
( ) 0z
y
t y cm
Q y cm
Q y por simetría
== − = −=
3
( ) 40
( ) 0
( ) 40.7.11,5 3220z
y
t z cm
Q z por simetría
Q z cm
==
= =
z
y
40
8 7
A τxz
z
y
30
10
10
A
τxy
2) Línea neutra:
. 50.1600002,22
. 40.90000y z
z y
M Itag
M Iα −= − = − = →
3) Tensiones normales máximas:
α = 65,8º
α = 65,8º
n
n
z
y
G z z
y y n
n
n n
T T
T
T
C C C
C
Mz > 0 My < 0
T
C
T
C
G
n
n
z
xx
B
D
y
σMAX(C)
σMAX(T)
6 62
4 4
.. 40.10 .20.10 50.10 .( 15.10)( ) 13,33 /
160000.10 90000.10y Bz B
MAX xBz y
M zM yT N mm
I Iσ σ − −= = + = + =
6 62
4 4
.. 4010 .( 20.10) 50.10 .15.10( ) 13,33 /
160000.10 90000.10y Dz D
MAX xDz y
M zM yC N mm
I Iσ σ − −= = + = + = −
4) Diagramas de tensiones cortantes Diagramas de τxy:
→
siendo:
Diagramas de τxz:
→→→→ siendo:
3 2 2 3
4
. ( ) . ( ) 90.10 .15.(20 ).10
( ). ( ). 30.10.160000.10y z z y
xyz y
R Q y R Q y y
t y I t y Iτ −= + =
20 0
0 1,125
20 0
xy
xy
xy
y
y
y
τττ
= → =
= → =
= − → =
z
y
y
20
30
τxy
τXYMAX
τXYMAX
2 2 3
( ) 30
20( ) 30.(20 ). 15.(20 )
2( ) 0
z
y
t y cm
yQ y y y cm
Q y por simetría
=+= − = −
=
3 2 2 3
4
. ( ) . ( ) 70.10 .20.(15 ).10
( ). ( ). 40.10.90000.10y z z y
xzz y
R Q z R Q z z
t z I t z Iτ − −= + =
15 0
0 0,875
15 0
xz
xz
xz
z
z
z
τττ
= → == → = −= − → =
2 2 3
( ) 30
15( ) 40.(15 ). 20.(15 )
2( ) 0
y
z
t z cm
zQ z z z cm
Q z por simetría
=+= − = −
=
y
40
15
z
z
τxzMAX
τxzMAX
5) Tensión cortante media:
2
2
1,125 /
0,875 /
xyMAX
xzMAX
N mm enlos puntos del eje z
N mm enlos puntos del eje y
τ
τ
=
=
2 2 21,425 /MAX xyMAX xzMAX N mm enel centro de gravedad Gτ τ τ= + =
τxyMAX
τxzMAX
τMAX
G
y
z
τXYmedia τXYmedia
τxzmedia
τxzmedia
32
32
90.100,75 /
300.400
70.100,583 /
300.400
yxymedia
zxzmedia
VN mm
A
VN mm
A
τ
τ
= = =
−= = =
5.12.-La sección de una viga IPE-300 está solicitada por los esfuerzos cortantes: Vy=30 kN., Vz=20 kN. Se pide calcular:
1) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección, debidas sólo a Vy.
2) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección debidas sólo a Vz
3) Valores medios de las tensiones cortantes en alas y alma
Tramo s1: →→→→ →→→→
Tramo s2: →→→→ →→→→
h/2=150 mm
h/2=150 mm
b/2=75 mm b/2=75 mm
tw= 7,1 mm tf=10,7 mm
10,7 mm
z
y
Vy=30 kN
s1 s2
s5
Vz=20 kN
s4 s3
d=248,6
4 4
4 4
300
8360.10
604.10z
y
IPE
I mm
I mm
−=
=
. ( ) . ( )
( ). ( ).y z z y
xsz y
V Q s V Q s
t s I t s Iτ = +
1 1
211 1 1
31
4
3 21
( ) 10,7
10,7( ) 10,7. .(150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5.2. ( ) 30.10 .1547,75.
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .( 5,35. 802
( ).
f
z
y
y zy xs
z
z yz xs
y
t s t
Q s s s
sQ s s s s
V Q s sdebidoaV
t s I
V Q s sdebidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − =
= − = − +
→ = =
− +→ = = 14
,5. )
10,7.604.10
s
1
21
0 0
75 3,9 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → =
1
21
0 0
75 9,176 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → =
[
2 2
222 2 2
32
4
3 22
( ) 10,7
10,7( ) 10,7. .(150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5.2
. ( ) 30.10 .1547,75.
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .(5,35. 802,
( ).
f
z
y
y zy xs
z
z yz xs
y
t s t
Q s s s
sQ s s s s
V Q s sdebidoaV
t s I
V Q s sdebidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − =
= − − = −
→ = =
−→ = = 24
5. )
10,7.604.10
s
2
22
0 0
75 3,9 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → =
2
22
0 0
75 9,176 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → = −
Tramo s3:
→→→→ →→→→
Tramo s4:
→→→→ →→→→
Tramo s5:
→→→→
[ ]3 3
233 3 3
33
4
33
( ) 10,7
10,7( ) 10,7. . (150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5.2. ( ) 30.10 .( 1547,75. )
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .( 5,35.
( ).
f
z
y
y zy xs
z
z yz xs
y
t s t
Q s s s
sQ s s s s
V Q s sdebidoaV
t s I
V Q s sdebidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − − = −
= − = − +
−→ = =
−→ = =2
34
802,5. )
10,7.604.10
s+
3
23
0 0
75 3,9 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → = −
3
23
0 0
75 9,176 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → =
[ ]
[ ]
4 4
233 4 4
34
4
3 24
( ) 10,7
10,7( ) 10,7. . (150 ) 1547,75.
2
( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5.2
. ( ) 30.10 .( 1547,75. )
( ). 10,7.8360.10
. ( ) 20.10 .(5,35.
( ).
f
z
y
y zy xs
z
z yz xs
y
t s t
Q s s s
sQ s s s s
V Q s sdebidoaV
t s I
V Q s sdebidoaV
t s I
τ
τ
= =
= − − = −
= − − = −
−→ = =
→ = = 44
802,5. )
10,7.604.10
s−
4
24
0 0
75 3,9 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → = −
4
24
0 0
75 9,176 /xs
xs
s
s N mm
ττ
= → =
= → = −
235 5
, 5
23 3 5
4
( ) 7,1
( ) / 2 7,1. . 314.10 7,1.2 2
( ) 0 ( )
30.10 .(314.10 7,1. ). ( ) 2( ). 7,1.8360.10
. ( )0
( ).
w
z pl y
y
y zy xs
z
z yz xs
y
t s t
s sQ s W s
Q s por simetría
sV Q s
debidoaVe s I
V Q sdebidoaV
e s I
τ
τ
= =
= − = −
=
−→ = =
→ = =
25
25
0 15,87 /
124,3 13,1 /xs
xs
s N mm
s N mm
ττ
= → =
= → =
Debido a Ry: hay tensiones cortantes en el alma y en las alas
Observación: Las tensiones cortantes en las alas, debidas a Vy , se suelen despreciar Debido a Vz: sólo hay tensiones en las alas
3) Valores medios de las tensiones cortantes en alma y alas
215,87 / ( )MAX N mm enel centro del alma Gτ =
29,176 /MAX N mm enel centro delas alasτ =
d/2=12,43 cm
d/2=12,43 cm
z 15,87
13,1
13,1
3,9
3,9
τMAX
G
τMAX
*
*
alma
ala
ala
14,08 τmedia
91,76
9,176
τMAX
τMAX
z
Diagramas de τxs debidas a Vy: Diagramas de τxs debidas a Vz:
τmedia
5,53
32
32
2
30.10( ) 14,08 /
. 300.7,1
20.10( ) 5,53 /
. 53,8.10 248,6.7,1
y yxymedia
alma w
z zxzmedia
alas w
V Valma N mm
A h t
V Valas N mm
A A d t
τ
τ
= = = =
= = = =− −
5.13.-En la viga de la figura y para los tres casos de sección indicados, calcular las tensiones normales y cortantes en los puntos 1,2 y 3 señalados de la sección más solicitada. Cálculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:
→ Resolviendo:
Diagramas de esfuerzos
Sección más solicitada: 1 15 15 .y zx V kN M kN m−= → = =
a) Sección rectangular:
0 20 (1)
0 .4 20.1 (2)
A B
A B
F R R
M R
= + =
= =∑∑
15
5A
B
R kN
R kN
==
15
15
5
Vy
Mz
x
x +
+
-
0 1
15
15.
0 0 1 15 .
y
z
z z
x
V kN
M x
x M x M kN m
− −=
== → = = → =
1 4
15 20 5
15. 20.( 1)
1 15 . 4 0
y
z
z z
x
V kN
M x x
x M kN m x M
− −= − = −
= − −= → = = → =
45 mm
90 mm
22,5 mm
y
z
1
2
3 22,5 mm
3 4 41.45.90 273,4.10
120
z
zy
I mm
I ejes de simetría ejes principales
= =
= → →
z
z
I
yM .=σ
( )
( ).y z
xyz
V Q y
t y Iτ =
( )
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ =
y 1
3
2
1
2,25 cm
IPE-140
R= 5 cm
2,5 cm
y
d/2=5,6 cm 3
y
20 kN
1 m 3 m
9 cm
4,5 cm
z
1
2
3 z
2 z
RA RB
punto 1:
siendo: punto 2:
siendo: punto 3:
siendo:
62 21
1 4
. 15.10 .45/ 246,9 /
273,4.10z
z
M yN mm N mm
Iσ = = =
11
1
( )0
( ).y z
xyz
V Q y
t y Iτ = = 1
11
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
1 1
1
1
1
45 0
( ) 45
( ) 0
( ) 0z
z
y mm z
t y mm
Q y
Q z por simetría
= ==
==
0. 2
2 ==z
z
I
yMσ
3 32 2
2 42
( ) 15.10 .45,6.105,55 /
( ). 45.273, 4.10y z
xyz
V Q yN mm
t y Iτ = = =
22
2
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
2 2
2
3 32
2
0 0
( ) 45
( ) 45.45.22,5 45,6.10
( ) 0z
z
y z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= ==
= ==
62 23
3 4
. 15.10 .22,5/ 123,45 /
273,4.10z
z
M yN mm N mm
Iσ = = =
3 33 2
3 43
( ) 15.10 .34, 2.104,17 /
( ). 45.273, 4.10y z
xyz
V Q yN mm
t y Iτ = = = 3
33
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
3 3
3
3 33
3
22,5 0
( ) 45
22,5( ) 45.22,5.(22,5 ) 34,2.10
2( ) 0
z
z
y mm z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= ==
= + =
=
σ1
σ3 x
y
z
1
2
3
τxy2
τxy3
b) sección circular
Cálculo de t(y) y de Qz(y) para un punto cualquiera
punto 1:
siendo: punto 2:
siendo:
y R
z
y
G y´
dy´
4 44 4. .50
490,9.104 4
0
z
zy
RI mm
I ejes de simetría ejes principales
π π= = =
= → →
z
z
I
yM .=σ
( )
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ =
25 mm
R = 50 mm
z
y 1
2
3
2 2
32 2 2 2 2
( ) 2.
2( ) 2. ´ . .́ ´ .( )
3
R
z
y
t y R y
Q y R y dy y R y
= −
= − = −∫
621
1 4
. 15.10 .50152,78 /
490,9.10z
z
M yN mm
Iσ = = =
11
1
( )0
( ).y z
xyz
V Q y
t y Iτ = = 1
11
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
1 1
1
1
1
50 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0z
z
y mm z
t y
Q y
Q z por simetría
= ==
==
0. 2
2 ==z
z
I
yMσ
3 32 2
2 42
( ) 15.10 .83,3.102,55 /
( ). 100.490,9.10y z
xyz
V Q yN mm
t y Iτ = = =
22
2
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
2 2
2
32 2 3 32
2
2
0 0
( ) 100
2( ) .(50 0 ) 83,3.10
3( ) 0
z
z
y z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= ==
= − =
=
( )
( ).y z
xyz
V Q y
t y Iτ =
punto 3:
siendo: c) sección IPE-140
punto 1: punto 2:
siendo:
623
3 4
. 15.10 .2576,39 /
490,9.10z
z
M yN mm
Iσ = = =
3 33 2
3 43
( ) 15.10 .54,1.101,91 /
( ). 87.490,9.10y z
xyz
V Q yN mm
t y Iτ = = = 3
33
( )0
( ).y z
xzz
V Q z
t z Iτ = =
3 3
2 23
22 2 3 33
3
3
25 0
( ) 2. 50 25 87
2( ) .(50 25 ) 54,1.10
3( ) 0
z
z
y mm z
t y mm
Q y mm
Q z por simetría
= =
= − =
= − =
=x
y
z
σ1
σ3
τxy2
τxy3
1
2
3
1
2
3
z
y
d/2 = 56 mm
4,7 mm 6,9 mm
6,9 mm
140 mm
73 mm
4 4541.10
0z
zy
I tablas mm
I
= ==
z
z
I
yM .=σ( )
( ).y z
xsz
V Q s
t s Iτ =
621
1 4
. 15.10 .70194,08 /
541.10z
z
M yN mm
Iσ = = =
11
1
( )0
( ).y z
xs yz
V Q sdespreciamos debidas aV en las alas
t s Iτ τ= = →
0. 2
2 ==z
z
I
yMσ
3 32 2
2 42
( ) 15.10 .44, 2.1026,07 /
( ). 4,7.541.10y z
xsz
V Q sN mm
t s Iτ = = =
2
32 ,
( ) 4,7
( ) / 2( ) 44, 2z pl y
t s mm
Q y W tablas cm
=
= =
punto 3
siendo:
3 33 2
3 43
( ) 15.10 .36,8.1021,73 /
( ). 4,7.541.10y z
xyz
V Q sN mm
t s Iτ = = =
623
3 4
. 15.10 .56155,27 /
541.10z
z
M yN mm
Iσ = = =
3
3 32 ,
( ) 4,7
112 112( ) / 2( ) . . 44,2 .4,7. 36,8.10
2 4 2 4z pl y
t s mm
d dQ y W tablas e mm
=
= − = − =
1
2
3
z
y
x
σ1
σ3
τxs2
τxs3
5.14.-La viga de la figura es una HEB-200. Se pide calcular:
1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Tensiones normales máximas de tracción y compresión en la sección de
empotramiento 3) Tensión cortante máxima en el alma y alas en la sección de empotramiento
1) Diagramas de esfuerzos. Proyectamos las cargas sobre los ejes principales z e y:
Cálculo de las reacciones:
7,07.cos45º
7,07.sen45º
10.cos30º
10.sen30º
z
y
5 kN
5 kN
8,66 kN
5 kN z
y
5 kN 5 kN
x
y
z
1 m 1 m
5 kN VA HA
MAz
MAy
A
8,66 kN
0 8,66 5 13,66
0 5 5 0
0 8,66.1 5.2 18,66 .
0 5.1 5.2 5 .
y A
z A A
Az Az
Ay Ay Ay
F V kN
F H H
M M kN m
M M M kN m
= = + =
= + = → =
= = + =
= = = → =
∑∑∑∑
30º 10 kN
z
7,07 kN 45º
y
10 kN 7,07 kN
1 m 1 m
Sección
2) Línea neutra:
σMAX en la sección x=0
5 kN 5 kN
x
y
z
1 m 1 m
5 kN 13,66 kN
18,66 kN.m
5 kN.m
A
8,66 kN
0 1
13,66
0
13,66. 18,66
0 18,66 .
1 5 .
5 .
y
z
z
z
z
y
x
V kN
V
M x
x M kN m
x M kN m
M kN m
− −=
== −
= → = −= → = −
= −
1 2
13,66 8,66 5
5
13,66. 18,66 8,66.( 1)
1 5 .
2 0
5 5.( 1)
1 5 .
2 0
y
z
z
z
z
y
y
y
x
V kN
V kN
M x x
x M kN m
x M
M x
x M kN m
x M
− −= − =
== − − −
= → = −= → =
= − + −
= → = −
= → =
z
y
α = 37,3º
n
n
G T
C x
σMAX(T)
σMAX(C)
A
B
3 4
3 4
4 4
4 4
( 0). 5.10 .5696.100,76
( 0). 18,66.10 .2003.10
37,3º
: ( ) 5696.10
( ) 2003.10
y z
z y
z
y
M x Itag
M x I
siendo I tablas mm
I tablas mm
α
α
= −= − = − = −= −
= −=
=
6 62
4 4
.. 18,66.10 .( 100) 5.10 .( 100)( ) 57,72 /
5696.10 2003.10y Az A
MAX Az y
M zM yT N mm
I Iσ σ − − − −= = + = + =
6 62
4 4
.. 18,66.10 .(100) 5.10 .(100)( ) 57,72 /
5696.10 2003.10y Bz B
MAX Bz y
M zM yC N mm
I Iσ σ − −= = + = + = −
-
5
13,66 Vy
Vz 5
5
My
-
+
+
18,66
5
3) Debido a Vy la tensión cortante máxima se dará en el centro del alma (G) .
Observación: Debido a Vz: como en la sección x=0 es Vz=0 → τ = 0
z
y
τMAX(alma)
τMAX(alma)
G
τMAX(ala)
τMAX(ala) E
32
( ) 4
3 3,
. ( ) 13,66.321.108,55 /
( ). 9.5696.10
: ( ) ( ) 9
( ) /2( ) 321.10
y zMAX alma G
z
w
z pl y
V Q GN mm
t G I
siendo t G t tablas mm
Q G W tablas mm
τ τ= = = =
= =
= =
32
( ) 4
3 3
. ( ) . ( ) 13,66.138,75.102,22 /
( ). ( ). 15.5696.10
: ( ) ( ) 15
15( ) 100.15. 100 138,75.10
2
y z z yMAX ala G
z y
f
z
V Q G V Q EN mm
t G I t E I
siendo e E t tablas mm
Q E cm
τ τ= = + = =
= =
= − =
5.15.-La sección de una viga tiene la forma indicada en la figura y está sometida a una fuerza cortante Vy=30 kN. Se pide: 1) Los diagramas de tensiones cortantes. Tensión cortante máxima y tensión cortante media 2) Si también estuviese solicitada con Vz = 20 kN., calcular la tensión cortante total en el punto a indicado en la figura
tramo s1 :
tramo s2 :
3 3 4 41 1.150.200 .(150 2.8).(200 2.8) 3043,7.10
12 12zI mm= − − − =
sec ,
tan , sec , ( )o
y
xs
Al ser la ción simétrica respecto del eje y y estar sometida solo aV las tensiones
cor tes enlos puntos decortedela ciónconel ejey puntos A y B sonceroτ
0 00
. ( ) . ( ). ( )( 0 )
( ) ( ). ( ).y z y zxs
xs xs xsz z
V Q s V Q st scomo en A y B
t s t s I t s I
ττ τ τ= + → = → =
321
1 14
1 1
30.10 .(768. )0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768.
xs xs xs
f z
ss s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ= = → = = → =
= = = =
322
2 24
2 2
30.10 .(768. )0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768.
xs xs xs
f z
ss s N mm
siendo t s t cm Q s s s
τ τ τ= = → = = → =
= = = =
8 mm
200 mm
y
z
s1 s2
s3 s4
s5 s6
τxs0=0
92 mm
92 mm
75 mm 75 mm
7,1 7,1
7,1 7,1
11,27 11,27
7,1 7,1
7,1 7,1
τMAX τMAX
Solución:
τmedia(almas)=9,37
Vy = 30 kN
5 cm a
0,8 cm 20 cm
15 cm
y
z
A
B
C D
tramo s3 :
tramo s4 :
tramo s5 :
2)
323
3 34
3 3
30.10 .( 768. )0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768.
xs xs xs
f z
ss s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ−= = → = = → = −
= = = − = −
324
3 44
4 4
30.10 .( 768. )0 0 75 7,1 /
8.3043,7.10
: ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768.
xs xs xs
f z
ss s N mm
siendo t s t mm Q s s s
τ τ τ−= = → = = → = −
= = = − = −
3 25 5
4
2 2 25 5 5
255 5 5
30.10 .( 4. 736. 57600)
8.3043,7.10
0 7,1 / 92 11, 27 / 184 7,1 /
: ( ) 8 ( ) 75.8.96 8. .(92 ) 4. 736. 576002
xs
xs xs xs
w z
s s
s N mm s N mm s N mm
ssiendo t s t mm Q s s s s
τ
τ τ τ
− + +=
= → = = → = = → =
= = = + − = − + +
211,27 /MAX N mm enel centro delas almasτ = →
3230.10
( ) 9,37 /2. . 2.200.8
y yxsmedia
almas w
V Valmas N mm
A h tτ = = = =
3 3 4 41 1.200.150 .(200 2.8).(150 2.8) 1935,64.10
12 12yI mm= − − − =
sec
tan , sec ( )o
z
xs
Al ser la ción simétrica respecto del eje z y estar sometida ahora sólo aV las tensiones
cor tes enlos puntos decortedela ciónconel eje z puntosC y D sonceroτ
[ ]
25
320 0
4
0
( ) ( 42 ) 10 /
. ( ) 20.10 . 50.8.(75 4). ( )( ) 3,67 /
( ) ( ). 8.1935,64.10
: 0
y xs xs
z yxsz xs
y
xs
debido aV a s mm N mm
V Q st sdebido aV a N mm
t s t s I
siendo
τ τ
ττ
τ
→ = = = ↓
−→ = + = = ↑
=
2( ) 10 3,67 6,33 /y z xsdebido a V V a N mmτ+ → = ↓ − ↑= ↓
5.20.-En la sección de la figura sometida a los esfuerzos: Vy = 3 kN y Mz = 1 kN.m. se pide calcular: 1) Tensiones normales máximas de tracción y de compresión. 2) Diagrama de distribución de tensiones cortantes en la sección
Cálculo de G:
Cálculo de Iz , Iy, Izy:
10 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
Vy=3 kN
Mz=1 kN.m G
9 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
G
G2
G1
4,5 cm
5 cm
yG=2,87 cm
zG=2,87 cm cmz
AA
zAzAz
cmy
AA
yAyAy
G
GGG
G
GG
G
87,21.91.10
5,0.1.95.1.10
..
87,21.91.10
5,5.1.95,0.1.10
..
21
21
21
21
21
21
=+
+=
++
=
=++=
++
=
9 cm
1 cm
10 cm
1 cm
z
y
G
G2
G1
4,5 cm
5 cm
yG=2,87 cm
zG=2,87 cm
7,13 cm
1)Tensiones máximas de tracción y compresión: Cálculo de la línea neutra:
4232
4231
421
123)5,413,7.(1.99.1.12
1
57)5,087,2.(1.101.10.12
1
180
cmI
cmI
cmIII
z
z
zzz
=−+=
=−+=
=+=
41 2
3 2 41
3 2 42
180
1.1.10 10.1.(10 2,87 5) 128,7
121
.9.1 9.1.(2,87 0,5) 51,312
y y y
y
y
I I I cm
I cm
I cm
= + =
= + − − =
= + − =
[ ] [ ]
41 2
41
42
106,58
0 10.1.(2,87 0,5).(10 2,87 5) 50, 48
0 9.1. (7,13 4,5) . (2,87 0,5) 56,1
zy zy zy
zy
zy
I I I cm
I cm
I cm
= + =
= + − − − =
= + − − − − =
7,13 cm
1 cm
2,87 cm
z
y
G
2,87 cm
n
α = 30,63º
n
1
2
º63,30
592,0180
58,106
.
.
0
..
..
=
===−
−=
=
−−
−=
α
α
α
y
yz
yz
yzz
y
yzyyz
yzzzy
I
I
IM
IMtag
Mcomo
IMIM
IMIMtag
22 .
)..()..()0(
.
)...()...(
yzzy
yzzyzy
yzzy
yzzzyyzyyz
III
zIMyIMM
III
zIMIMyIMIM
−−
===−
−+−=σ
6 4 6 42
1 4 4 4 2
(1.10 .180.10 ).( 71,3) (1.10 .106,58.10 ).( 18,7)51,52 / ( )
180.10 .180.10 (106,58.10 ) MAXN mm Cσ σ− − −= = − =−
6 4 6 42
2 4 4 4 2
(1.10 .180.10 ).(28,7) (1.10 .106,58.10 ).( 28,7)39,09 / ( )
180.10 .180.10 (106,58.10 ) MAXN mm Tσ σ− −= = =−
2) Diagramas de τ:
tramo s1
siendo:
tramo s2
95 mm
10 mm
95 mm
10 mm
z
y
G
s1
28,7 mm
71,3 mm cm
s2
71,3 mm cm
2
2
.( . ( ) . ( )) .( . ( ) . ( ))
( ).( . )
0
. . ( ) . ( )
( ).( . )
y y z yz y z z y yz zxs
y z yz
z
y y z yz y
xsy z yz
V I Q s I Q s V I Q s I Q s
t s I I I
comoV
V I Q s I Q s
t s I I I
τ
τ
− + −=
−
=
− =−
1 1
211 1 1
( ) 1
( ) .10.23,7 237.
( ) .10.(71,3 ) 5. 713.2
z
y
t s cm
Q s s s
sQ s s s s
== =
= − = − +
3 4 4 21 1 1
4 4 4 2
3.10 . 180.10 .237. 106,58.10 .( 5. 713. )
10.(180.10 .180.10 (106,58.10 )xs
s s sτ
− − + =−
21 1 1
21 1
1
0 0 95 2,34 / 0 62,5
0 31,3 ( 31,3) 0,744 /
xs xs xs
xsxsMAX xsMAX xs
s s N mm s mm
ds mm s N mm
ds
τ τ τττ τ τ
= → = = → = = → =
→ = → = = = = −
3 4 2 42 2 2
4 4 4 2
3.10 . 180.10 .(5. 713. ) 106,58.10 .( 237. )
10.(180.10 .180.10 (106,58.10 )xs
s s sτ
− − − =−
siendo:
222 2 2
2 2
( ) 10
( ) .10. (71,3 ) 5. 713.2
( ) .10.( 23,7) 237.
z
y
t s mm
sQ s s s s
Q s s s
=
= − − = −
= − = −
22 2
2
22 2
2
0 0 95 2,38 /
0 115 ( 0 10)
0 57,3 ( 57,3) 4, 213 /
xs xs
xs
xsxsMAX xsMAX xs
s s N mm
s mm fuera del campo
ds mm s N mm
ds
τ ττ
ττ τ τ
= → = = → = −= → = −
→ = → = = = = −
z
y
G
4,213
2,38
2,34 0,744
57,3 mm
31,3 mm
5.21.-En la viga de la figura se pide: 1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección, empleando los criterios plástico,
elástico y de Von Mises y para los siguientes casos de sección: a) Perfil IPE b) sección rectangular bxh siendo h=2b c) sección circular
Datos: fy = 275 N/mm2; coeficiente de minoración del material: γγγγM =1,1; coeficiente de mayoración de cargas: γγγγ =1,5 Nota: El angular mediante el cual se transmite la carga a la viga se supone rígido y a su vez rígidamente unido a la misma. No se considerará el peso propio de la viga. Se trasladará el efecto de la carga de 5000 Kg que actúa sobre el angular a la viga a través de la unión de ambos.
Cálculo de reacciones
Diagramas
50 kN 1 m 2,8 m
0,2 m
1 m 3 m
50 kN
10 kN.m
RA RB
A B
0 50 (1)
0 .4 50.1 10 (2)
: 35
15
A B
A B
A
B
F R R
M R
resolviendo R kN
R kN
= + =
= = +
==
∑∑
0 1
35
35.
0 0
1 35 .
y
z
z
z
x
V kN
M x
x M
x M kN m
− −=
== → == → =
1 4
15
15.(4 )
1 45 .
4 0
y
z
z
z
x
V kN
M x
x M kN m
x M
− −= −
= −= → == → =
15
35 Vy
35
45 Mz
+
+
-
2) Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico: Sección mas solicitada: x= 1+: Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN
max
*,
6 3 3
*,
45 .
.
275: 45.10 .1,5 . 270.10
1,1
) :
tan :
220
15
.3
: ( )
z
z zpl d zpl yd
zpl zpl
y
y
ydy ypl d v
v
M kN m
M M W f
sustituyendovalores W W mm
a caso de IPE
entrandoentablas IPE
comprobación a cor teV
V kN
fV V A
siendo A area del a ma
IP
l
E
=
≤ =
≤ → ≥
→
=
≤ =
=
−
2
3
*
. ( 220) 220.5,9 1298
2751,1:15.10 .1,5 1298. : 22500 187350,13
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.187350,1 93675
¡
w
y ypl
h t IPE mm
sustituyendovalores y operando
sí cumplea cor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector co
= = − = =
≤ ≤
= < = =
3 3
2 23 3
* 3
tan
) sec tan : 257,7.10
. .(2. )( 2. ) 270.10
4 4tan :
2751,1. 15.10 .1,5 8354,47. 22500
64,
120583 3
63 129,27
zpl
zpl
y
ydy ypl v
b mm h mm
n fuerza cor te
b caso de ción rec gular W mm
b h b bW como h b b
comprobación a cor teV
fV V A
=
= = = = = = == →
≤ = ≤ → <
2
*
3 3
3
63 ¡ !
. 64,63.129,27 8354,47
: 22500 0,5. 602932
¡ tan
) sec : 270.10
4.
3
v
y ypl
zpl
zpl
si cumple
siendo A A b h mm
y además V V sí severifica
noes necesariocombinar momento flector con fuerza cor te
c caso de cióncircular W mm
W R
→
= = = =
= < = →
=
= = 3
* 3
2 2 2
*
270.10
tan :
2751,1. 15.10 .1,5 10833,5. 22500 1563676,7 ¡ !
3 3
. .58,72
58
10833,5
: 22500 0,5. 781838,3
,
¡
72
y
ydy ypl v
v
y ypl
comprobación a cor teV
fV V A si cumple
siendo A A R mm
y además V V sí severifica
R mm
noes ne
π π
=→
≤ = ≤ → < →
= = = =
= < = →
tancesariocombinar momento flector con fuerza cor te
Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio elástico: Sección mas solicitada: x= 1+: Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN
*max ,
6 3 3
*,
45 . .
275: 45.10 .1,5 . 270.10
1,1
)
tan :
15
24
.3
(
0
: )
z z zel d zel yd
zel zel
y
ydy y ypl d v
v
M kN m M M W f
sustituyendovalores W W mm
a caso de IPE
entrandoentablas IPE
comprobación a cor teV
fV kN V V A
siendo A area del alm
IPE
a
= ≤ =
≤ → ≥
→
= ≤ =
=
−
= 2
3
*
. ( 240) 240.6,2 1488
2751,1:15.10 .1,5 1488. : 22500 214774,33
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.214774,3 107387,1
¡
w
y ypl
h t IPE mm
sustituyendovalores y operando
sí cumplea cor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector
= − = =
≤ ≤
= < = =
2 23 3 3 3
* 2,
tan
) sec tan :
. .(2. ) 2270.10 ( 2. ) . 270.10
6 6 3
tan :
15 . : . 74.148 10952
4
3
7 148
zel zel
y
ydy y ypl d v v
con fuerza cor te
b caso de ción rec gular
b h b bW mm W como h b b
comprobación a cor teV
fV kN V V A sie
b mm h mm
ndo A A b h mm
s
= = = = = = =
→
= ≤ = = = = =
= =
3
*
2751,1:35.10 .1,5 10952. : 22500 15807853
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.1580785 790392,5
¡ tan
) sec
y ypl
ustituyendovalores y operando
sí cumplea cor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector con fuerza cor te
c caso de ción
≤ ≤
= < = =
33 3 3
* 2 2 2,
3
7
:
.270.10 270.10
4tan :
15 . : . .70 15393,83
2751,1:15.10 .1,5 15393,8. : 22500 2221 03
0
93
zel zel
y
ydy y ypl d v v
circular
RW mm W
comprobación a cor teV
fV kN V V A siendo A A R mm
sustituyendovalores y operando
R mmπ
π π
= = = →
= ≤ = =
=
= = =
≤ ≤
*
,6
¡ tan ! : 22500 0,5. 0,5.2221903,6 1110951,8
¡ tany yplsí cumplea cor te y además V V
noes necesariocombinar momento flector con fuerza cor te
= < = =
Dimensionamiento a resistencia de la sección con el criterio de Von Mises: Secciónes más solicitada:
Puntos más solicitados: se predimensionará en el punto 1 (σmax) y se comprobarán puntos 2 y 3
1 15 45 . ( )
1 35 ( ) 35 .
y z
y z
x V kN M kN m máx
x V kN máx M kN m
+
−
= → = − =
= → = =
1 15 45 . ( )y zx V kN M kN m máx+= → = − =
3
3 3
3 3
max
4
3
)sec : 270.10 : 240
)sec tan * 2. :
1 1. . . .(2 )
12 12270.10 270.10 74
2148
)sec :
.4270.10 270.
zel
zzel zel
zzel zel
máx
a ción IPE W tablas IPE
b ción rec gular h b siendo h b
b h b bIW W b mm
hy b
h mm
c cióncircular
RI
W Wy R
π
≥ → −=
≥ → = = = ≥ → ≥
→ ≥
≥ → = = ≥ 310 70R mm→ ≥
* * 6* 11
*1
6*2 *2 * 3 3
1 1 1 1
1:
. 45.10 .1,5
0
45.10 .1,5 2753. 270.10
1,1
z z
z zel zel
co zelzel
punto
M y M
I W W
W mmW
σ
τ
σ σ τ σ
= = =
=
= + = = ≤ → ≥
:sec32 cionesdetipostreslosparaypuntosonescomprobaci
*2
* 3 3*2 4
)sec 240
2:
0
. (2) 15.10 .1,5.183.1017,07
(2). 6,2.3890.10y z
z
a ciónIPE
punto
V Q
t I
σ
τ
−
=
−= = = −
227529,57 2501,1coσ = < =
y
1
3
2
1 y
3
y
z
1
2
3 z 2
z
Por último se comprobarían de nuevo los puntos 1, 2 y 3, para los tres casos, en la sección:
(como se ve coincide con el criterio de dimensionamiento elástico
3 4 4
*2
3*
*2 4
1)sec tan : 148 74 .74.148 1991,05.10
122 :
0
148 14815.10 .1,5.(74. . ). (2) 2 4 3,09
(2). 74.1991,05.10
z
y z
z
b ción rec gular h mm b mm I mm
punto
V Q
t I
σ
τ
= = → = =
=
−= = = −
2 5,36 250coσ = <
* 6* 33 4
3*
*3 4
3 :
. 45.10 .1, 5.37125, 4
1991, 05.10
3715.10 .1, 5. 74.37.(37 )
. (3) 22, 32
(3). 74.1991, 05.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
− + = = = −
3 125,5 250coσ = <
44 4
*2
3 2 2 3/2*
*2 4
.70)sec : 70 1885,7454.10
42:
0
215.10 .1,5. .(70 0 )
. (2) 31,95
(2). 140.1885,7454.10
z
y z
z
c cióncircular R mm I mm
punto
V Q
t I
π
σ
τ
= → = =
=
− − = = =−
2 3,38 250coσ = <
* 6* 33 4
3 2 2 3/ 2*
*3 2 2 4
3:
. 45.10 .1,5.35125,28
1885,7454.10
215.10 .1,5. .(70 35 )
. (3) 31,46
(3). 2. 70 35 .1885,7454.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
− − = = = −−
3 125,3 250coσ = <
3 31 35.10 ( ) 35.10 .y zx V kN máx M kN m−= → = =
6*
* 33 4
3 3*
*3 4
3:
190,445.10 .1,5.. 2 165,2
3890.10
190,4 190,415.10 .1,5. 183.10 .6,2.
. (3) 2 414,45
(3). 6,2.3890.10
z
z
y z
z
punto
M y
I
V Q
t I
σ
τ
= = =
− − = = = −
3 167,1 250coσ = <
5.22.-En la viga de la figura se pide el dimensiona miento de la sección a resistencia usando un criterio plástico de dimensionamiento. Datos: perfil IPE; f y = 275 N/mm 2; γγγγM = 1,1; γγγγ= 1,35
Cálculo de
reacciones en los apoyos:
Diagramas de esfuerzos:
30 kN
5 kN
1 m 1 m 2 m
A B
z
y
VA VB
HA
HB
0 30 (1)
0 5 (2)
0 .4 30.3 (3)
0 .4 5.1 (4)
resolviendo (1),(2),(3),(4): 22,5 ; 7,5 ; 1,25 ; 3,75
y A B
z A B
zB A
yB A
A B A B
F V V
F H H
M V
M H
V kN V kN H kN H kN
= → + =
= → + =
= → =
= → =
= = = =
∑∑∑∑
Vy
Vz
Mz
My
22,5
7,5
1,25
3,75
22,5
3,75
+
-
-
+
+ 1,25
7,5
Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico Comprobación a flexión:
Tanteamos secciones, pero partiendo de un predimensionado Predimensionado rápido: Estudio separados Mz y My:
**
, ,
1yz
zpl d ypl d
MM
M M+ ≤
* 6 3 3,
* 6 6
* 6 3 3,
* 6 6
275. 30,38.10 . 121,5.10
1,1
: . 22,5.10 .1,35 30,38.10 .
275. 5,06.10 . 20,25.10
1,1
: . 3,75.10 .1,35 5,06.10 .
z zpl d zpl yd zpl zpl
z z
y ypl d ypl yd ypl ypl
y y
M M W f W W mm
siendo M M N mm
M M W f W W mm
siendo M M N
γ
γ
≤ = → ≤ ⇒ ≥
= = =
≤ = → ≤ ⇒ ≥
= = =3 3 3 3121,5.10 20,25.10
lg 160
1º tan : 160 :
sec :
1 : 22,5 . ; 1,25 . ; 22,5 ; 1,25
zpl ypl
z y y z
mm
conlos valores deW mm y deW mm
buscoentablasun perfil queva a para los dos IPE
teo IPE
ciónes mas solicitadas a flectores
x M kN m M kN m V kN V kN−
≥ ≥
⇒ −
−
= = = = =* 6 6 * 6 6
3 3 3 6,
3 3 3 6,
22,5.10 .1,35 30,30.10 . ; 1,25.10 .1,35 1,687.10 .
275123,9.10 . 123,9.10 30,975.10 .
1,1
27526,1.10 . 26,1.10 6,525.10 .
1,1
sustituyendo
z y
zpl zpl d zpl yd
ypl ypl d ypl yd
M N mm M N mm
W mm M W f N mm
W mm M W f N mm
= = = =
= → = = =
= → = = =
** 6 6
6 6, ,
3 3 3 6,
en la fórmula de dimensionamiento:
30,38.10 1,687.101 1,24 1 No vale
30,975.10 6,525.10
2º tan : 180 :
275166,4.10 . 166,4.10 41,6.10 .
1,1
34,6.1
yz
zpl d ypl d
zpl zpl d zpl yd
ypl
MM
M M
teo IPE
W mm M W f N mm
W
+ ≤ → + = > →
−
= → = = =
= 3 3 3 6,
** 6 6
6 6, ,
2750 . 34,6.10 8,65.10 .
1,1
sustituyendo en la fórmula de dimensionamiento:
30,38.10 1,687.101 0,92 1 Si vale
41,6.10 8,65.10
ypl d ypl yd
yz
zpl d ypl d
mm M W f N mm
MM
M M
→ = = =
+ ≤ → + = < →
Comprobación a cortantes:IPE-180
*,
* 3
2
*,
2751,1. 30375 954. 137698
3 3:
. 22,5.10 .1,35 30375
. 180.5,3 954
1 1y además : 30375 .137698 Si
2 2¡no hay que interactuar con los mom
ydy y ypl d v
y y
v w
y ypl d
fV V V A N N Si cumple
siendo
V V N
A área alma h t mm
V V
γ
→ ≤ = → ≤ = ⇒
= = =
= = = =
≤ → ≤ ⇒
*,
* 3
2 2
*,
entos flectores!
2751,1. 1687,5 1616,2. 233278,4
3 3:
. 1,25.10 .1,35 1687,5
. 23,9.10 146.5,3 1616,2
1 1y además : 1687,5 .233278
2 2
ydz z zpl d v
z z
v w
z zpl d
fV V V A N N Si cumple
siendo
V V N
A área alas A d t mm
V V
γ
→ ≤ = → ≤ = ⇒
= = =
= = − = − =
≤ → ≤ , 4 Si
¡no hay que interactuar con los momentos flectores!
⇒
+Se podría comprobar también la sección: x = 3 :
7,5 . ; 3,75 . ; 7,5 ; 3,75
repitiendo los mismos cálculos anteriores pero con estos valores de las solicitaciones ¡Sí cumple!z y y zM kN m M kN m V kN V kN= = = =
→
5.23.- La figura muestra la viguería del suelo de un piso de un edificio. Las vigas son metálicas y se consideran articuladas en sus extremos. La carga permanente que actúa sobre el suelo se compone de: a) Forjado unidireccional de viguetas metálicas con bloques cerámicos: 3,5 kN/m2, b) Pavimento del suelo: 1 kN/m2. Se pide dimensionar a resistencia la sección de las vigas de los tipos 1 y 4, utilizando perfiles IPE y un criterio elástico de dimensionamiento Dato: fy = 275 N/mm2; γγγγM = 1,1; γγγγ = 1,35 Nota: Sólo se tendrá en cuenta la carga permanente
Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 1 (criterio elástico): (Como la longitud de la viga es menor de 6 m. no añadimos el peso propio de la misma)
Carga total permanente sobre el suelo: Forjado:…….3,5 kN/m2 Pavimento:…1 kN/m2 TOTAL:……..4,5 kN/m2
2arg : 4,5 / .2 9 /c a q kN m m kN m= =
( 2 ) 18.2 9.2.1 18 .
( 0 ) 18 .zmáx z
ymáx y
M M x m kN m
V V x m kN m
= = = − == = =
3
2 m 2 m 2 m
3
2
2
2
2
1 1
1 1
4
4 m
4 m
A A
B B
A A
C D
9 kN/m
2 m
RA= 18 kN RB= 18 kN
18
Mz (kN.m)
2 m
x
A B
+
Vy (kN)
18
x +
-
18
Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 4 (criterio elástico): (Como la longitud de la viga es mayor de 6 m. añadimos el peso propio de la misma, estimado en 1kN/m)
z y
* * 6,
3
dim :
sección más solicitada a flectores: x = 2 m: M 18 . ;V 0
27518.1,35 24,3 . . 24,3.10 .
1,1
97200 160
sección más solici
z z zel d zel yd zel
zel
criterio elástico de ensionamiento
kN m
M kN m M M W f W
W mm tablas IPE
= =
= = ≤ = ≤
= → → −
z y
*,
* 2
3
tada a cortantes: x = 0 m: M 0;V 18 kN
: .3
: 18.1,35 24,3 ( ) . 160.5 800
2751,1: 24,3.10 800. 24300 115470 ¡ !3
ydy y ypl d v
y v w
fComprobación a cortadura V V V A
siendo V kN A área alma h t mm
sustituyendo sí cumple
= =
≤ =
= = = = = =
≤ → < →
Vigas tipo 1 →→→→ IPE-160
2 m 2 m 2 m C D
B B
36 kN 36 kN RC= 39 kN RD= 39 kN
76,5 Mz(kN.m)
x
1 kN/m
76 76
Vy(kN)
x
39
39
37
37
1
1
+
+
-
Vigas tipo 4 →→→→ IPE-270
z ysección más solicitada a flectores: x = 3 m: M 76,5 . ;V 0kN m= =
* * 6,
3
z y
dim :
27576,5.1,35 103,3 . . 103,3.10 .
1,1
413200 270
sección más solicitada a cortadura: x = 0 m: M 0 . ;V39
z z zel d zel yd zel
zel
criterio elástico de ensionamiento
M kN m M M W f W
W mm tablas IPE
kN m kN
Comprobació
= = ≤ = ≤
= → → −= =
*,
* 2
3
: .3
: 39.1,35 52,65 ( ) . 270.6,6 1782
2751,1: 52,65.10 1782. 52650 257209,5 ¡ !3
ydy y ypl d v
y v w
fn a cortadura V V V A
siendo V kN A área alma h t mm
sustituyendo sí cumple
≤ =
= = = = = =
≤ → < →
5.24.-Las vigas que soportan la cubierta de una nave industrial “correas”, se encuentran apoyadas sobre los cordones superiores de dos cerchas, separadas entre sí 5 m y con una pendiente de 22º. La separación entre correas es de 1,175 m. Las carga que han de soportar estas correas son: - Carga permanente:
• Peso de la uralita, incluidos ganchos y solapes…………….0,2 kN/m2 • Peso estimado de las correas:……………………………….0,18 kN/m
- Sobrecarga de nieve:………………………………………………..0,8 kN/m2
Se pide dimensionar a resistencia la sección de dichas correas, utilizando perfiles IPE y empleando un criterio plástico de dimensionamiento Datos: coeficientes de mayoración de cargas : -cargas permanentes: γγγγ=1,35 -sobrecarga de nieve: γγγγ=1,5. No se tendrá en cuenta la acción del viento. Material: f y =275 N/mm2; γγγγM =1,1
Cargas sobre las correas:
22º cercha
1,175 m 1,175 m correas
cercha
5 m
1,175 m
22º cercha
2
2
2
arg ( )
: 0,2 / .1,175 0,235 /
: 0,18 /
: 0,415 /
arg ( )
sup : 0,8 /
sup : 0,8.cos 22º /
:
p
n
C a permamente CP
cubierta kN m m kN m
peso propiocorreas kN m
Total q kN m
Sobrec a denieve SN
sobre erficiehorizontal kN m
sobre erficie inclinada kN m
Total q
=
=
20,8 / .cos 22º.1.175 0,87 /kN m m kN m= =
qpz= 0,155
y
z
qpy= 0,385
qp= 0,415
CP
qnz= 0,326
y
z
qny= 0,807 qn= 0,87
SN
.cos 22º 0,385 / . 22º 0,155 /
.cos 22º 0,807 / . 22º 0,326 /py p pz p
ny n nz n
q q kN m q q sen kN m
q q kN m q q sen kN m
= = = =
= = = =
Dimensionamiento a resistencia de la sección de las correas utilizando un criterio plástico:
combinaciones de cargas:
2,5 m
qpy = 0,385 kN/m
qpz=0,155 kN/m
Mz (kN.m)
My kN.m)
1,2
0,483
CP
2,5 m
0,963
Vy (kN)
0,387
Vz (kN)
0,963
0,387
+
-
+
+
-
-
qny = 0,807 kN/m
qnz=0,326 Kg/m
Mz (kN.m)
My (kN.m)
2,5
1,01
SN
2,5 m
Vy (kN)
Vz (kN)
2,01
2,01
2,5 m
0,815 0,815
+
-
+
+
-
-
max max max max
max max max max
1,2 . 0,483 . 0,963 0,387
2,5 . 1,01 . 2,01 0,815z y y z
z y y z
CP M kN m M kN m V kN V kN
SN M kN m M kN m V kN V kN
→ = = = =
→ = = = =
* *
* *
.1,35 .1.5
1,2.1,35 2,5.1,5 5,37 . 0,483.1,35 1,01.1,5 2,167 .
0,963.1,35 2,01.1,5 4,315 0,387.1,35 0,815.1,5 1,75
z y
y z
CP SN
M kN m M kN m
V kN V kN
+= + = = + =
= + = = + =
Correas → IPE-120
**
, ,
* * * *
* 6 3,
*,
comprobación a flexión: 1
predimensionado rápido :
sección 2,5 5,37 . ; 2,167 . ; 0; 0
275. sustituyendo :5,37.10 . 21480
1,1
yz
zpl d ypl d
z y y z
z zpl d zpl yd zpl zpl
y ypl d ypl
MM
M M
x m M kN m M kN m V V
M M W f W W mm
M M W
+ ≤
= → = = = =
≤ = ≤ → =
≤ = 6 3
3 3
275. sustituyendo : 2,167.10 . 8668
1,1
con los valoresde: 21480 y 8668 se busca una sección que
valga para los dos IPE-100
yd ypl ypl
zpl ypl
f W W mm
W mm W mm
≤ → =
= =
⇒
er 3 3
,
,
1 tanteo : 100 : 39410 9150
275. 39410. 9852500 . 9,8525 .
1,1
275. 9150. 2287500 . 2,2875 .
1,1
5,37 2,167sustituyendo : 1 ¡ !
9,8525 2,2875
2º tant
zpl ypl
zpl d zpl yd
ypl d ypl yd
IPE W mm W mm
M W f N mm kN m
M W f N mm kN m
noes válida
− = =
= = = =
= = = =
+ > →
3 3
,
,
eo : 120 : 60730 13580
275. 60730. 15182500 . 15,1825 .
1,1
275. 13580. 3395000 . 3,395 .
1,1
5,37 2,167sustituyendo : 1 ¡ !
15,1825 3,395
(No haría
zpl ypl
zpl d zpl yd
ypl d ypl yd
IPE W mm W mm
M W f N mm kN m
M W f N mm kN m
sí es válida
− = =
= = = =
= = = =
+ < →
falta la comprobación de cortantes en esa sección, ya que son cero)
* * * *
* 2,
3
*,
comprobación a cortantes:(IPE-120)
sección x = 0: 4,315 ; 1,75 ; 0; 0
. siendo : (área alma) . 120.4,4 5283
2751,1sustituyendo : 4,315.10 528. ¡ !3
.
y z z y
ydy ypl d v v w
yz zpl d v
V kN V kN M M
fV V A A h t mm
sí cumple
fV V A
= = = =
≤ = = = = =
≤ →
≤ = 2
3
siendo : (área alas) . 1320 93,4.4,4 9093
2751,1sustituyendo :1,75.10 909. ¡ !3
(no haría falta combinar momentos flectorescon fuerzascortantes, pues los momentos flectores
en dicha sección so
dv wA A d t mm
sí cumple
= = − = − =
≤ →
n cero)
