1. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.) - 2008 Tema 5 : FLEXIN: TENSIONES G x z y n n MAX(COMPRESIN) MAX(TRACCIN) Problemas resueltos

2. 5.1.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura. Clculo de reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio: Diagramas de esfuerzos: 15 kN/m 10 kN.m 20 kN 8 kN A B 2 m 1 m 1 m 1 m RA RB : 23 35 A B resolviendo R kN R kN = = 0 15.2 20 8 (1) 0 .4 15.2.1 20.3 8.5 (2) A B A B F R R M R = + = + + = = + + 0 2 23 15. 0 23 2 7 0 23 15. 0 1,53 23. 15. . 0 0 2 16 . 2 1,53 17,63 . y y y y z z z z x V x x V kN x V kN V x x m x M x x x M x M kN m x M kN m = = = = = = = = = = = = = = = 2 3 23 15.2 7 23. 15.2.( 1) 10 2 26 . 3 19 . y z z z x V M x x x M kN m x M kN m = = = + = = = = 27 7 8 23 1,53 m x Vy (kN) 17,63 16 19 26 8 Mz (kN.m) x - + + 3. 3 4 23 15.2 20 27 23. 15.2.( 1) 10 20.( 3) 3 19 . 4 8 . 0 3,7 4 5 8 8.(5 ) 4 8 . 5 0 y z z z z y z z z x V kN M x x x x M kN m x M kN m M x m x V kN M x x M kN m x M = = = + = = = = = = = = = = = = 4. 5.2.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura Clculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio: Diagramas de esfuerzos: 1 0 .2,5.1,5 10 11,87 2 1 1 0 .2,5.1,5.(2 .1,5) 10.1 14,68 . 2 3 A A A F R kN M M kN m = = + = = = + + = 2,5 kN/m 10 kN 1,5 m 1 m 1 m RAMA h x 2,5 : 1,67. 1,5 h por semejanza de tringulos h x x = = 0 1,5 1 1 . . . .1,67. 0 0 1,5 1,87 2 2 1 1 . .1,67. . . 0 0 1,5 0,94 . 2 3 1,5 2,5 1 .1,5.2,5 1,87 2 1 2 .1,5.2,5.( .1,5) 1,5 0,94 . 2,5 2,81 . 2 3 y y y z z z y z z z x V x h x x x V x V kN M x x x x M x M kN m x V kN M x x M kN m x M kN m = = = = = = = = = = = = = = = = = = 11,87 1,87 Vy (Kg) x 14,68 2,81 0,94 Mz (Kg.m) x - - 5. 2,5 3,5 11,87 11,87.(3,5 ) 14,68 2,5 2,81 . 3,5 14,68 . y z z z x V kN M x x M kN m x M kN m = = = = = = 6. 5.3.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura sometida a las cargas verticales y horizontales indicadas Clculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: Resolviendo: Diagramas de esfuerzos: 10 kN 8 kN z y 1 m 2 m 1 m VA VB HA HB 0 10 (1) 0 8 (2) 0 .4 10.1 (3) 0 .4 8.3 (4) y A B z A B zA B yA B F V V F H H M V M H = + = = + = = = = = 7,5 2,5 2 6 A B A B V kN V kN H kN H kN = = = = 0 1 7,5 2 7,5. 0 0 1 7,50 . 2. 0 0 1 2 . y z z z z y y y x V kN V kN M x x M x M kN m M x x M x M kN m = = = = = = = = = = = = 2,5 7,5 6 2 7,5 6 2 2,5 Vy (kN) Vz (kN) Mz (kN.m) My (kN.m) x x x x - - + + + + 7. 1 3 7,5 10 2,5 2 7,5. 10.( 1) 1 7,5 . 3 2,5 . 2. 1 2 . 3 6 . 3 4 7,5 10 2,5 2 8 6 7,5. 10.( 1) 3 2,50 . 4 0 2. 8.( 3) 3 6 . y z z z z y y y y z z z z y y x V kN V kN M x x x M kN m x M kN m M x x M kN m x M kN m x V kN V kN M x x x M kN m x M M x x x M kN m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 4 0yx M= = 8. 5.5.-Representar los diagramas de solicitaciones de la estructura de nudos rgidos de la figura Clculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: Resolviendo: Diagramas de esfuerzos: 10 kN 6 kN/m 3 m 4 m VA VB HA A C D B 0 10 0 6.4 0 .4 10.3 6.4.2 H A V A B A B F H kN F V V M V = = = + = = = + 4,5 19,5 A B V kN V kN = = 4,5 10 10. 0 0 3 30 . y z z z Pilar AC N kN V kN M x x M x M kN m = = = = = = = - - + ++ 4,5 N (kN) Mz (kN.m) 19,5 10 4,5 19,5 30 30 31,69 Vy (kN) - 9. : 10 10 0 4,5 6. 0 4,5 4 19,5 0 0,75 4,5. 10.3 6. . 2 0 30 . 4 0 0,75 31,69 . : 19,5 0 0 y y y Y z z z z y z Viga CD N V x x V kN x V kN R x m x M x x x M kN m x M x M kN m Pilar BD N kN V M = = = = = = = = = = + = = = = = = = = = 10. 5.7.-Representar los diagramas de solicitaciones de la viga de la figura Clculo de reacciones: 20 kN/m 18 kN/m 10 kN.m 8 kN.m 50 kN 22 kN 3 m2 m1 m 65,6 47,6 2,4 62,4 14,8 7,210 97,2 8 21,6 Vy Vz Mz My x x x x Solucin: + + - - + + - - VA VB HA HB 1 0 .18.2 50 20.3 (1) 2 0 22 (2) 1 2 0 .5 10 18.(3 .2) 50.3 20.3.1.5 (3) 2 3 0 .5 8 22.3 (4) resolviendo (1), (2), (3), (4) 65,6 62,4 14,8 7,2 y A B z A B zB A yB A A B A B F V V F H H M V M H V kN V kN H kN H kN = + = + + = + = = = + + + + = = + = = = = 11. [ ] [ ] 0 1: 0 8 . 1 1 3: 65,6 9.(3 ).( 1) .( 1). 18 9.(3 ) 2 1 65,6 3 47,6 14,8 ( 1) 1 2 65,6.( 1) 9.(3 ).( 1). .( 1). 18 9.(3 ) . .( 1) 10 2 2 3 1 10 . 3 97,2 y z z y y y y z z z z x V V M M kN m x V x x x x x V kN x V kN V kN x M x x x x x x x M kN m x M kN = = = = = = = = = = = = = = = . 8 14,8.( 1) 1 8 . 3 21,6 . 1 3 6: 65,6 .18.2 50 20.( 3) 2 3 2,4 6 62,4 14,8 22 7,2 1 1 ( 3) 65,6.( 1) .18.2.( 1 .2) 10 50.( 3) 20.( 3). 2 3 2 3 97,2 . 6 y y y y y y z z z m M x x M kN m x M kN m x V x x V kN x V kN V kN x M x x x x x M kN m x = = = = = = = = = = = + = = = = = 0 . 8 14,8.( 1) 22.( 3) 3 21,6 . 6 0 . z y y y M kN m M x x x M kN m x M kN m = = + = = = = 18 h x 1 2 18 9.(3 ) 2 3 h h x x = = 12. 5.11.-Una seccin de una viga est sometida a las siguientes solicitaciones: Vy = 90 kN., Vz = -70 kN., Mz = 40 kN.m., My = -50 kN.m. La seccin es rectangular de 30 cm x 40 cm. Calcular: 1) Tensiones normal y cortante en un punto de la seccin de coordenadas: y= -10 cm., z= 8 cm 2) Lnea neutra, indicando las zonas de la seccin de traccin y de compresin 3) Tensin normal mxima, indicando el punto donde se dar. 4) Diagramas de tensiones cortantes y Tensin cortante mxima 5) Tensin cortante media 50 kN.m 40 kN.m 70 kN 90 kN 40 cm 30 cm 8 cm 10 cm A z y x x )(0 9000030.40. 12 1 16000040.30. 12 1 43 43 sprincipaleEjessimetriadeejesI cmI cmI zy y z = == == 6 6 2 4 4 .. 40.10 .( 100) 50.10 .(80) 6,94 / 160000.10 90000.10 y Az A xA z y M zM y N mm I I = + = + = 3 3 2 4 . ( ) . ( ) 70.10 .(3220.10 ) 0,626 / ( ). ( ). 40.10.90000.10 y z z y xzA z y R Q z R Q z N mm t z I t z I = + = = 3 3 2 4 . ( ) . ( ) 90.10 .( 4500.10 ) 0,84 / ( ). ( ). 30.10.160000.10 y z z y xyA z y R Q y R Q y N mm t y I t y I = + = = 3 ( ) 30 ( ) 30.10.( 15) 4500 ( ) 0 z y t y cm Q y cm Q y por simetra = = = = 3 ( ) 40 ( ) 0 ( ) 40.7.11,5 3220 z y t z cm Q z por simetra Q z cm = = = = z y 40 8 7 A xz z y 30 10 10 A xy 13. 2) Lnea neutra: . 50.160000 2,22 . 40.90000 y z z y M I tag M I = = = 3) Tensiones normales mximas: = 65,8 = 65,8 n n z y G z z y y n n n n T T T T C C C C Mz > 0 My < 0 T C T C G n n z x x B D y MAX(C) MAX(T) 6 6 2 4 4 .. 40.10 .20.10 50.10 .( 15.10) ( ) 13,33 / 160000.10 90000.10 y Bz B MAX xB z y M zM y T N mm I I = = + = + = 6 6 2 4 4 .. 4010 .( 20.10) 50.10 .15.10 ( ) 13,33 / 160000.10 90000.10 y Dz D MAX xD z y M zM y C N mm I I = = + = + = 14. 4) Diagramas de tensiones cortantes Diagramas de xy: siendo: Diagramas de xz: siendo: 3 2 2 3 4 . ( ) . ( ) 90.10 .15.(20 ).10 ( ). ( ). 30.10.160000.10 y z z y xy z y R Q y R Q y y t y I t y I = + = 20 0 0 1,125 20 0 xy xy xy y y y = = = = = = z y y 20 30 xy XYMAX XYMAX 2 2 3 ( ) 30 20 ( ) 30.(20 ). 15.(20 ) 2 ( ) 0 z y t y cm y Q y y y cm Q y por simetra = + = = = 3 2 2 3 4 . ( ) . ( ) 70.10 .20.(15 ).10 ( ). ( ). 40.10.90000.10 y z z y xz z y R Q z R Q z z t z I t z I = + = 15 0 0 0,875 15 0 xz xz xz z z z = = = = = = 2 2 3 ( ) 30 15 ( ) 40.(15 ). 20.(15 ) 2 ( ) 0 y z t z cm z Q z z z cm Q z por simetra = + = = = y 40 15 z z xzMAX xzMAX 15. 5) Tensin cortante media: 2 2 1,125 / 0,875 / xyMAX xzMAX N mm enlos puntos del eje z N mm enlos puntos del eje y = = 2 2 2 1,425 /MAX xyMAX xzMAX N mm enel centro de gravedad G = + = xyMAX xzMAX MAX G y z XYmediaXYmedia xzmedia xzmedia 3 2 3 2 90.10 0,75 / 300.400 70.10 0,583 / 300.400 y xymedia z xzmedia V N mm A V N mm A = = = = = = 16. 5.12.-La seccin de una viga IPE-300 est solicitada por los esfuerzos cortantes: Vy=30 kN., Vz=20 kN. Se pide calcular: 1) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la seccin, debidas slo a Vy. 2) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la seccin debidas slo a Vz 3) Valores medios de las tensiones cortantes en alas y alma Tramo s1: Tramo s2: h/2=150 mm h/2=150 mm b/2=75 mm b/2=75 mm tw= 7,1 mm tf=10,7 mm 10,7 mm z y Vy=30 kN s1s2 s5 Vz=20 kN s4 s3 d=248,6 4 4 4 4 300 8360.10 604.10 z y IPE I mm I mm = = . ( ) . ( ) ( ). ( ). y z z y xs z y V Q s V Q s t s I t s I = + 1 1 21 1 1 1 3 1 4 3 2 1 ( ) 10,7 10,7 ( ) 10,7. .(150 ) 1547,75. 2 ( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5. 2 . ( ) 30.10 .1547,75. ( ). 10,7.8360.10 . ( ) 20.10 .( 5,35. 802 ( ). f z y y z y xs z z y z xs y t s t Q s s s s Q s s s s V Q s s debidoaV t s I V Q s s debidoaV t s I = = = = = = + = = + = = 1 4 ,5. ) 10,7.604.10 s 1 2 1 0 0 75 3,9 / xs xs s s N mm = = = = 1 2 1 0 0 75 9,176 / xs xs s s N mm = = = = [ 2 2 22 2 2 2 3 2 4 3 2 2 ( ) 10,7 10,7 ( ) 10,7. .(150 ) 1547,75. 2 ( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5. 2 . ( ) 30.10 .1547,75. ( ). 10,7.8360.10 . ( ) 20.10 .(5,35. 802, ( ). f z y y z y xs z z y z xs y t s t Q s s s s Q s s s s V Q s s debidoaV t s I V Q s s debidoaV t s I = = = = = = = = = = 2 4 5. ) 10,7.604.10 s 2 2 2 0 0 75 3,9 / xs xs s s N mm = = = = 2 2 2 0 0 75 9,176 / xs xs s s N mm = = = = 17. Tramo s3: Tramo s4: Tramo s5: [ ]3 3 23 3 3 3 3 3 4 3 3 ( ) 10,7 10,7 ( ) 10,7. . (150 ) 1547,75. 2 ( ) 10,7. .(75 ) 5,35. 802,5. 2 . ( ) 30.10 .( 1547,75. ) ( ). 10,7.8360.10 . ( ) 20.10 .( 5,35. ( ). f z y y z y xs z z y z xs y t s t Q s s s s Q s s s s V Q s s debidoaV t s I V Q s s debidoaV t s I = = = = = = + = = = = 2 3 4 802,5. ) 10,7.604.10 s+ 3 2 3 0 0 75 3,9 / xs xs s s N mm = = = = 3 2 3 0 0 75 9,176 / xs xs s s N mm = = = = [ ] [ ] 4 4 23 3 4 4 3 4 4 3 2 4 ( ) 10,7 10,7 ( ) 10,7. . (150 ) 1547,75. 2 ( ) 10,7. . (75 ) 5,35. 802,5. 2 . ( ) 30.10 .( 1547,75. ) ( ). 10,7.8360.10 . ( ) 20.10 .(5,35. ( ). f z y y z y xs z z y z xs y t s t Q s s s s Q s s s s V Q s s debidoaV t s I V Q s s debidoaV t s I = = = = = = = = = = 4 4 802,5. ) 10,7.604.10 s 4 2 4 0 0 75 3,9 / xs xs s s N mm = = = = 4 2 4 0 0 75 9,176 / xs xs s s N mm = = = = 2 35 5 , 5 2 3 3 5 4 ( ) 7,1 ( ) / 2 7,1. . 314.10 7,1. 2 2 ( ) 0 ( ) 30.10 .(314.10 7,1. ). ( ) 2 ( ). 7,1.8360.10 . ( ) 0 ( ). w z pl y y y z y xs z z y z xs y t s t s s Q s W s Q s por simetra s V Q s debidoaV e s I V Q s debidoaV e s I = = = = = = = = = 2 5 2 5 0 15,87 / 124,3 13,1 / xs xs s N mm s N mm = = = = 18. Debido a Ry: hay tensiones cortantes en el alma y en las alas Observacin: Las tensiones cortantes en las alas, debidas a Vy , se suelen despreciar Debido a Vz: slo hay tensiones en las alas 3) Valores medios de las tensiones cortantes en alma y alas 2 15,87 / ( )MAX N mm enel centro del alma G = 2 9,176 /MAX N mm enel centro delas alas = d/2=12,43 cm d/2=12,43 cm z 15,87 13,1 13,1 3,9 3,9 MAX G MAX * * alma ala ala 14,08 media 91,76 9,176 MAX MAX z Diagramas de xs debidas a Vy: Diagramas de xs debidas a Vz: media 5,53 3 2 3 2 2 30.10 ( ) 14,08 / . 300.7,1 20.10 ( ) 5,53 / . 53,8.10 248,6.7,1 y y xymedia alma w z z xzmedia alas w V V alma N mm A h t V V alas N mm A A d t = = = = = = = = 19. 5.13.-En la viga de la figura y para los tres casos de seccin indicados, calcular las tensiones normales y cortantes en los puntos 1,2 y 3 sealados de la seccin ms solicitada. Clculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio: Resolviendo: Diagramas de esfuerzos Seccin ms solicitada: 1 15 15 .y zx V kN M kN m = = = a) Seccin rectangular: 0 20 (1) 0 .4 20.1 (2) A B A B F R R M R = + = = = 15 5 A B R kN R kN = = 15 15 5 Vy Mz x x + + - 0 1 15 15. 0 0 1 15 . y z z z x V kN M x x M x M kN m = = = = = = 1 4 15 20 5 15. 20.( 1) 1 15 . 4 0 y z z z x V kN M x x x M kN m x M = = = = = = = 45 mm 90 mm 22,5 mm y z 1 2 3 22,5 mm 3 4 41 .45.90 273,4.10 12 0 z zy I mm I ejes de simetra ejes principales = = = z z I yM . = ( ) ( ). y z xy z V Q y t y I = ( ) ( ). y z xz z V Q z t z I = y 1 3 2 1 2,25 cm IPE-140 R= 5 cm 2,5 cm y d/2=5,6 cm 3 y 20 kN 1 m 3 m 9 cm 4,5 cm z 1 2 3 z 2 z RA RB 20. punto 1: siendo: punto 2: siendo: punto 3: siendo: 6 2 21 1 4 . 15.10 .45 / 246,9 / 273,4.10 z z M y N mm N mm I = = = 1 1 1 ( ) 0 ( ). y z xy z V Q y t y I = = 1 1 1 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 1 1 1 1 1 45 0 ( ) 45 ( ) 0 ( ) 0 z z y mm z t y mm Q y Q z por simetra = = = = = 0 . 2 2 == z z I yM 3 3 2 2 2 4 2 ( ) 15.10 .45,6.10 5,55 / ( ). 45.273,4.10 y z xy z V Q y N mm t y I = = = 2 2 2 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 2 2 2 3 3 2 2 0 0 ( ) 45 ( ) 45.45.22,5 45,6.10 ( ) 0 z z y z t y mm Q y mm Q z por simetra = = = = = = 6 2 23 3 4 . 15.10 .22,5 / 123,45 / 273,4.10 z z M y N mm N mm I = = = 3 3 3 2 3 4 3 ( ) 15.10 .34,2.10 4,17 / ( ). 45.273,4.10 y z xy z V Q y N mm t y I = = = 3 3 3 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 3 3 3 3 3 3 3 22,5 0 ( ) 45 22,5 ( ) 45.22,5.(22,5 ) 34,2.10 2 ( ) 0 z z y mm z t y mm Q y mm Q z por simetra = = = = + = = 1 3 x y z 1 2 3 xy2 xy3 21. b) seccin circular Clculo de t(y) y de Qz(y) para un punto cualquiera punto 1: siendo: punto 2: siendo: yR z y G y dy 4 4 4 4. .50 490,9.10 4 4 0 z zy R I mm I ejes de simetra ejes principales = = = = z z I yM . = ( ) ( ). y z xz z V Q z t z I = 25 mm R = 50 mm z y 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 ( ) 2. 2 ( ) 2. . . .( ) 3 R z y t y R y Q y R y dy y R y = = = 6 21 1 4 . 15.10 .50 152,78 / 490,9.10 z z M y N mm I = = = 1 1 1 ( ) 0 ( ). y z xy z V Q y t y I = = 1 1 1 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 1 1 1 1 1 50 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 z z y mm z t y Q y Q z por simetra = = = = = 0 . 2 2 == z z I yM 3 3 2 2 2 4 2 ( ) 15.10 .83,3.10 2,55 / ( ). 100.490,9.10 y z xy z V Q y N mm t y I = = = 2 2 2 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 2 2 2 3 2 2 3 32 2 2 0 0 ( ) 100 2 ( ) .(50 0 ) 83,3.10 3 ( ) 0 z z y z t y mm Q y mm Q z por simetra = = = = = = ( ) ( ). y z xy z V Q y t y I = 22. punto 3: siendo: c) seccin IPE-140 punto 1: punto 2: siendo: 6 23 3 4 . 15.10 .25 76,39 / 490,9.10 z z M y N mm I = = = 3 3 3 2 3 4 3 ( ) 15.10 .54,1.10 1,91 / ( ). 87.490,9.10 y z xy z V Q y N mm t y I = = = 3 3 3 ( ) 0 ( ). y z xz z V Q z t z I = = 3 3 2 2 3 2 2 2 3 33 3 3 25 0 ( ) 2. 50 25 87 2 ( ) .(50 25 ) 54,1.10 3 ( ) 0 z z y mm z t y mm Q y mm Q z por simetra = = = = = = = x y z 1 3 xy2 xy3 1 2 3 1 2 3 z y d/2 = 56 mm 4,7 mm 6,9 mm 6,9 mm 140 mm 73 mm 4 4 541.10 0 z zy I tablas mm I = = = z z I yM . = ( ) ( ). y z xs z V Q s t s I = 6 21 1 4 . 15.10 .70 194,08 / 541.10 z z M y N mm I = = = 1 1 1 ( ) 0 ( ). y z xs y z V Q s despreciamos debidas aV enlas alas t s I = = 0 . 2 2 == z z I yM 3 3 2 2 2 4 2 ( ) 15.10 .44,2.10 26,07 / ( ). 4,7.541.10 y z xs z V Q s N mm t s I = = = 2 3 2 , ( ) 4,7 ( ) / 2( ) 44,2z pl y t s mm Q y W tablas cm = = = 23. punto 3 siendo: 3 3 3 2 3 4 3 ( ) 15.10 .36,8.10 21,73 / ( ). 4,7.541.10 y z xy z V Q s N mm t s I = = = 6 23 3 4 . 15.10 .56 155,27 / 541.10 z z M y N mm I = = = 3 3 3 2 , ( ) 4,7 112 112 ( ) / 2( ) . . 44,2 .4,7. 36,8.10 2 4 2 4 z pl y t s mm d d Q y W tablas e mm = = = = 1 2 3 z y x 1 3 xs2 xs3 24. 5.14.-La viga de la figura es una HEB-200. Se pide calcular: 1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Tensiones normales mximas de traccin y compresin en la seccin de empotramiento 3) Tensin cortante mxima en el alma y alas en la seccin de empotramiento 1) Diagramas de esfuerzos. Proyectamos las cargas sobre los ejes principales z e y: Clculo de las reacciones: 7,07.cos45 7,07.sen45 10.cos30 10.sen30 z y 5 kN 5 kN 8,66 kN 5 kN z y 5 kN 5 kN x y z 1 m 1 m 5 kNVA HA MAz MAy A 8,66 kN 0 8,66 5 13,66 0 5 5 0 0 8,66.1 5.2 18,66 . 0 5.1 5.2 5 . y A z A A Az Az Ay Ay Ay F V kN F H H M M kN m M M M kN m = = + = = + = = = = + = = = = = 30 10 kN z 7,07 kN 45 y 10 kN 7,07 kN 1 m 1 m Seccin 25. 2) Lnea neutra: MAX en la seccin x=0 5 kN 5 kN x y z 1 m 1 m 5 kN 13,66 kN 18,66 kN.m 5 kN.m A 8,66 kN 0 1 13,66 0 13,66. 18,66 0 18,66 . 1 5 . 5 . y z z z z y x V kN V M x x M kN m x M kN m M kN m = = = = = = = = 1 2 13,66 8,66 5 5 13,66. 18,66 8,66.( 1) 1 5 . 2 0 5 5.( 1) 1 5 . 2 0 y z z z z y y y x V kN V kN M x x x M kN m x M M x x M kN m x M = = = = = = = = = + = = = = z y = 37,3 n n GT C x MAX(T) MAX(C) A B 3 4 3 4 4 4 4 4 ( 0). 5.10 .5696.10 0,76 ( 0). 18,66.10 .2003.10 37,3 : ( ) 5696.10 ( ) 2003.10 y z z y z y M x I tag M x I siendo I tablas mm I tablas mm = = = = = = = = 6 6 2 4 4 .. 18,66.10 .( 100) 5.10 .( 100) ( ) 57,72 / 5696.10 2003.10 y Az A MAX A z y M zM y T N mm I I = = + = + = 6 6 2 4 4 .. 18,66.10 .(100) 5.10 .(100) ( ) 57,72 / 5696.10 2003.10 y Bz B MAX B z y M zM y C N mm I I = = + = + = - 5 13,66 Vy Vz 5 5 My - + + 18,66 5 26. 3) Debido a Vy la tensin cortante mxima se dar en el centro del alma (G) . Observacin: Debido a Vz: como en la seccin x=0 es Vz=0 = 0 z y MAX(alma) MAX(alma) G MAX(ala) MAX(ala)E 3 2 ( ) 4 3 3 , . ( ) 13,66.321.10 8,55 / ( ). 9.5696.10 : ( ) ( ) 9 ( ) /2( ) 321.10 y z MAX alma G z w z pl y V Q G N mm t G I siendo t G t tablas mm Q G W tablas mm = = = = = = = = 3 2 ( ) 4 3 3 . ( ) . ( ) 13,66.138,75.10 2,22 / ( ). ( ). 15.5696.10 : ( ) ( ) 15 15 ( ) 100.15. 100 138,75.10 2 y z z y MAX ala G z y f z V Q G V Q E N mm t G I t E I siendo e E t tablas mm Q E cm = = + = = = = = = 27. 5.15.-La seccin de una viga tiene la forma indicada en la figura y est sometida a una fuerza cortante Vy=30 kN. Se pide: 1) Los diagramas de tensiones cortantes. Tensin cortante mxima y tensin cortante media 2) Si tambin estuviese solicitada con Vz = 20 kN., calcular la tensin cortante total en el punto a indicado en la figura tramo s1 : tramo s2 : 3 3 4 41 1 .150.200 .(150 2.8).(200 2.8) 3043,7.10 12 12 zI mm= = sec , tan , sec ,( )o y xs Al ser la cin simtrica respectodel eje y y estar sometida soloaV lastensiones cor tes enlos puntos decortedela cinconel eje y puntos A y B soncero 0 0 0 . ( ) . ( ). ( ) ( 0 ) ( ) ( ). ( ). y z y zxs xs xs xs z z V Q s V Q st s como en A y B t s t s I t s I = + = = 3 21 1 14 1 1 30.10 .(768. ) 0 0 75 7,1 / 8.3043,7.10 : ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768. xs xs xs f z s s s N mm siendo t s t mm Q s s s = = = = = = = = = 3 22 2 24 2 2 30.10 .(768. ) 0 0 75 7,1 / 8.3043,7.10 : ( ) 8 ( ) 8. .(96) 768. xs xs xs f z s s s N mm siendo t s t cm Q s s s = = = = = = = = = 8 mm 200 mm y z s1s2 s3s4 s5s6 xs0=0 92 mm 92 mm 75 mm 75 mm 7,17,1 7,17,1 11,27 11,27 7,1 7,1 7,17,1 MAXMAX Solucin: media(almas)=9,37 Vy = 30 kN 5 cm a 0,8 cm 20 cm 15 cm y z A B C D 28. tramo s3 : tramo s4 : tramo s5 : 2) 3 23 3 34 3 3 30.10 .( 768. ) 0 0 75 7,1 / 8.3043,7.10 : ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768. xs xs xs f z s s s N mm siendo t s t mm Q s s s = = = = = = = = = 3 24 3 44 4 4 30.10 .( 768. ) 0 0 75 7,1 / 8.3043,7.10 : ( ) 8 ( ) 8. .( 96) 768. xs xs xs f z s s s N mm siendo t s t mm Q s s s = = = = = = = = = 3 2 5 5 4 2 2 2 5 5 5 25 5 5 5 30.10 .( 4. 736. 57600) 8.3043,7.10 0 7,1 / 92 11,27 / 184 7,1 / : ( ) 8 ( ) 75.8.96 8. .(92 ) 4. 736. 57600 2 xs xs xs xs w z s s s N mm s N mm s N mm s siendo t s t mm Q s s s s + + = = = = = = = = = = + = + + 2 11,27 /MAX N mm enel centro delas almas = 3 230.10 ( ) 9,37 / 2. . 2.200.8 y y xsmedia almas w V V almas N mm A h t = = = = 3 3 4 41 1 .200.150 .(200 2.8).(150 2.8) 1935,64.10 12 12 yI mm= = sec tan , sec ( )o z xs Al ser la cin simtrica respectodel eje z y estar sometida ahora sloaV lastensiones cor tes enlos puntos decortedela cinconel eje z puntosC y D soncero [ ] 2 5 3 20 0 4 0 ( ) ( 42 ) 10 / . ( ) 20.10 . 50.8.(75 4). ( ) ( ) 3,67 / ( ) ( ). 8.1935,64.10 : 0 y xs xs z yxs z xs y xs debidoaV a s mm N mm V Q st s debidoaV a N mm t s t s I siendo = = = = + = = = 2 ( ) 10 3,67 6,33 /y z xsdebidoa V V a N mm+ = = 29. 5.20.-En la seccin de la figura sometida a los esfuerzos: Vy = 3 kN y Mz = 1 kN.m. se pide calcular: 1) Tensiones normales mximas de traccin y de compresin. 2) Diagrama de distribucin de tensiones cortantes en la seccin Clculo de G: Clculo de Iz , Iy, Izy: 10 cm 1 cm 10 cm 1 cm z y Vy=3 kN Mz=1 kN.m G 9 cm 1 cm 10 cm 1 cm z y G G2 G1 4,5 cm 5 cm yG=2,87 cm zG=2,87 cm cmz AA zAzA z cmy AA yAyA y G GG G G GG G 87,2 1.91.10 5,0.1.95.1.10 .. 87,2 1.91.10 5,5.1.95,0.1.10 .. 21 21 21 21 21 21 = + + = + + = = + + = + + = 9 cm 1 cm 10 cm 1 cm z y G G2 G1 4,5 cm 5 cm yG=2,87 cm zG=2,87 cm 7,13 cm 30. 1)Tensiones mximas de traccin y compresin: Clculo de la lnea neutra: 423 2 423 1 4 21 123)5,413,7.(1.99.1. 12 1 57)5,087,2.(1.101.10. 12 1 180 cmI cmI cmIII z z zzz =+= =+= =+= 4 1 2 3 2 4 1 3 2 4 2 180 1 .1.10 10.1.(10 2,87 5) 128,7 12 1 .9.1 9.1.(2,87 0,5) 51,3 12 y y y y y I I I cm I cm I cm = + = = + = = + = [ ] [ ] 4 1 2 4 1 4 2 106,58 0 10.1.(2,87 0,5).(10 2,87 5) 50,48 0 9.1. (7,13 4,5) . (2,87 0,5) 56,1 zy zy zy zy zy I I I cm I cm I cm = + = = + = = + = 7,13 cm 1 cm 2,87 cm z y G 2,87 cm n = 30,63 n 1 2 63,30 592,0 180 58,106 . . 0 .. .. = === = = = y yz yz yzz y yzyyz yzzzy I I IM IM tag Mcomo IMIM IMIM tag 22 . )..()..( )0( . )...()...( yzzy yzzyz y yzzy yzzzyyzyyz III zIMyIM M III zIMIMyIMIM === + = 6 4 6 4 2 1 4 4 4 2 (1.10 .180.10 ).( 71,3) (1.10 .106,58.10 ).( 18,7) 51,52 / ( ) 180.10 .180.10 (106,58.10 ) MAXN mm C = = = 6 4 6 4 2 2 4 4 4 2 (1.10 .180.10 ).(28,7) (1.10 .106,58.10 ).( 28,7) 39,09 / ( ) 180.10 .180.10 (106,58.10 ) MAXN mm T = = = 31. 2) Diagramas de : tramo s1 siendo: tramo s2 95 mm 10 mm 95 mm 10 mm z y G s1 28,7 mm 71,3 mm cm s2 71,3 mm cm 2 2 .( . ( ) . ( )) .( . ( ) . ( )) ( ).( . ) 0 . . ( ) . ( ) ( ).( . ) y y z yz y z z y yz z xs y z yz z y y z yz y xs y z yz V I Q s I Q s V I Q s I Q s t s I I I comoV V I Q s I Q s t s I I I + = = = 1 1 21 1 1 1 ( ) 1 ( ) .10.23,7 237. ( ) .10.(71,3 ) 5. 713. 2 z y t s cm Q s s s s Q s s s s = = = = = + 3 4 4 2 1 1 1 4 4 4 2 3.10 . 180.10 .237. 106,58.10 .( 5. 713. ) 10.(180.10 .180.10 (106,58.10 ) xs s s s + = 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 95 2,34 / 0 62,5 0 31,3 ( 31,3) 0,744 / xs xs xs xs xsMAX xsMAX xs s s N mm s mm d s mm s N mm ds = = = = = = = = = = = 3 4 2 4 2 2 2 4 4 4 2 3.10 . 180.10 .(5. 713. ) 106,58.10 .( 237. ) 10.(180.10 .180.10 (106,58.10 ) xs s s s = 32. siendo: 22 2 2 2 2 2 ( ) 10 ( ) .10. (71,3 ) 5. 713. 2 ( ) .10.( 23,7) 237. z y t s mm s Q s s s s Q s s s = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 95 2,38 / 0 115 ( 0 10) 0 57,3 ( 57,3) 4,213 / xs xs xs xs xsMAX xsMAX xs s s N mm s mm fuera del campo d s mm s N mm ds = = = = = = = = = = = z y G 4,213 2,38 2,34 0,744 57,3 mm 31,3 mm 33. 5.21.-En la viga de la figura se pide: 1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Dimensionamiento a resistencia de la seccin, empleando los criterios plstico, elstico y de Von Mises y para los siguientes casos de seccin: a) Perfil IPE b) seccin rectangular bxh siendo h=2b c) seccin circular Datos: fy = 275 N/mm2 ; coeficiente de minoracin del material: M =1,1; coeficiente de mayoracin de cargas: =1,5 Nota: El angular mediante el cual se transmite la carga a la viga se supone rgido y a su vez rgidamente unido a la misma. No se considerar el peso propio de la viga. Se trasladar el efecto de la carga de 5000 Kg que acta sobre el angular a la viga a travs de la unin de ambos. Clculo de reacciones Diagramas 50 kN 1 m 2,8 m 0,2 m 1 m 3 m 50 kN 10 kN.m RA RB A B 0 50 (1) 0 .4 50.1 10 (2) : 35 15 A B A B A B F R R M R resolviendo R kN R kN = + = = = + = = 0 1 35 35. 0 0 1 35 . y z z z x V kN M x x M x M kN m = = = = = = 1 4 15 15.(4 ) 1 45 . 4 0 y z z z x V kN M x x M kN m x M = = = = = = 15 35 Vy 35 45 Mz + + - 34. 2) Dimensionamiento a resistencia de la seccin con criterio plstico: Seccin mas solicitada: x= 1 + : Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN max * , 6 3 3 * , 45 . . 275 : 45.10 .1,5 . 270.10 1,1 ) : tan : 220 15 . 3 : ( ) z z zpl d zpl yd zpl zpl y y yd y ypl d v v M kN m M M W f sustituyendovalores W W mm a casode IPE entrandoentablas IPE comprobacinacor teV V kN f V V A siendo A area del a ma IP l E = = = = = 2 3 * . ( 220) 220.5,9 1298 275 1,1 :15.10 .1,5 1298. : 22500 187350,1 3 tan ! : 22500 0,5. 0,5.187350,1 93675 w y ypl h t IPE mm sustituyendovalores y operando s cumpleacor te y adems V V noes necesariocombinar momento flector co = = = = = < = = 3 3 2 2 3 3 * 3 tan ) sec tan : 257,7.10 . .(2. ) ( 2. ) 270.10 4 4 tan : 275 1,1 . 15.10 .1,5 8354,47. 22500 64, 12058 3 3 63 129,27 zpl zpl y yd y ypl v b mm h mm n fuerza cor te b casode cin rec gular W mm b h b b W como h b b comprobacinacor teV f V V A = = = = = = = == = < 2 * 3 3 3 63 ! . 64,63.129,27 8354,47 : 22500 0,5. 602932 tan ) sec : 270.10 4 . 3 v y ypl zpl zpl sicumple siendo A A b h mm y adems V V s severifica noes necesariocombinar momento flector con fuerza cor te c casode cincircular W mm W R = = = = = < = = = = 3 * 3 2 2 2 * 270.10 tan : 275 1,1 . 15.10 .1,5 10833,5. 22500 1563676,7 ! 3 3 . .58,72 58 10833,5 : 22500 0,5. 781838,3 , 72 y yd y ypl v v y ypl comprobacinacor teV f V V A sicumple siendo A A R mm y adems V V s severifica R mm noes ne = = < = = = = = < = tancesariocombinar momento flector con fuerza cor te 35. Dimensionamiento a resistencia de la seccin con criterio elstico: Seccin mas solicitada: x= 1 + : Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN * max , 6 3 3 * , 45 . . 275 : 45.10 .1,5 . 270.10 1,1 ) tan : 15 24 . 3 ( 0 : ) z z zel d zel yd zel zel y yd y y ypl d v v M kN m M M W f sustituyendovalores W W mm a casode IPE entrandoentablas IPE comprobacinacor teV f V kN V V A siendo A area del alm IPE a = = = = = = 2 3 * . ( 240) 240.6,2 1488 275 1,1 :15.10 .1,5 1488. : 22500 214774,3 3 tan ! : 22500 0,5. 0,5.214774,3 107387,1 w y ypl h t IPE mm sustituyendovalores yoperando s cumpleacor te y adems V V noes necesariocombinar momento flector = = = = < = = 2 2 3 3 3 3 * 2 , tan ) sec tan : . .(2. ) 2 270.10 ( 2. ) . 270.10 6 6 3 tan : 15 . : . 74.148 10952 4 3 7 148 zel zel y yd y y ypl d v v con fuerzacor te b casode cin rec gular b h b b W mm W comoh b b comprobacinacor teV f V kN V V A sie b mm h mm ndo A A b h mm s = = = = = = = = = = = = = = = 3 * 275 1,1 :35.10 .1,5 10952. : 22500 1580785 3 tan ! : 22500 0,5. 0,5.1580785 790392,5 tan ) sec y ypl ustituyendovalores yoperando s cumpleacor te y adems V V noes necesariocombinar momento flector con fuerzacor te c casode cin = < = = 3 3 3 3 * 2 2 2 , 3 7 : . 270.10 270.10 4 tan : 15 . : . .70 15393,8 3 275 1,1 :15.10 .1,5 15393,8. : 22500 2221 03 0 9 3 zel zel y yd y y ypl d v v circular R W mm W comprobacinacor teV f V kN V V A siendo A A R mm sustituyendovalores y operando R mm = = = = = = = = = = * ,6 tan ! : 22500 0,5. 0,5.2221903,6 1110951,8 tan y ypls cumpleacor te y adems V V noes necesariocombinar momento flector con fuerzacor te = < = = 36. Dimensionamiento a resistencia de la seccin con el criterio de Von Mises: Seccines ms solicitada: Puntos ms solicitados: se predimensionar en el punto 1 (max) y se comprobarn puntos 2 y 3 1 15 45 . ( ) 1 35 ( ) 35 . y z y z x V kN M kN m mx x V kN mx M kN m + = = = = = = 1 15 45 . ( )y zx V kN M kN m mx+ = = = 3 3 3 3 3 max 4 3 )sec : 270.10 : 240 )sec tan * 2. : 1 1 . . . .(2 ) 12 12270.10 270.10 74 2 148 )sec : . 4270.10 270. zel z zel zel z zel zel mx a cin IPE W tablas IPE b cin rec gular h b siendo h b b h b b I W W b mm hy b h mm c cincircular R I W W y R = = = = = = 3 10 70R mm * * 6 * 1 1 * 1 6 *2 *2 * 3 3 1 1 1 1 1: . 45.10 .1,5 0 45.10 .1,5 275 3. 270.10 1,1 z z z zel zel co zel zel punto M y M I W W W mm W = = = = = + = = :sec32 cionesdetipostreslosparaypuntosonescomprobaci * 2 * 3 3 * 2 4 )sec 240 2: 0 . (2) 15.10 .1,5.183.10 17,07 (2). 6,2.3890.10 y z z a cinIPE punto V Q t I = = = = 2 27529,57 250 1,1co = < = y 1 3 2 1 y 3 y z 1 2 3 z2 z 37. Por ltimo se comprobaran de nuevo los puntos 1, 2 y 3, para los tres casos, en la seccin: (como se ve coincide con el criterio de dimensionamiento elstico 3 4 4 * 2 3 * * 2 4 1 )sec tan : 148 74 .74.148 1991,05.10 12 2: 0 148 148 15.10 .1,5.(74. . ). (2) 2 4 3,09 (2). 74.1991,05.10 z y z z b cinrec gular h mm b mm I mm punto V Q t I = = = = = = = = 2 5,36 250co = < * 6 * 3 3 4 3 * * 3 4 3 : . 45.10 .1,5.37 125, 4 1991, 05.10 37 15.10 .1,5. 74.37.(37 ) . (3) 2 2,32 (3). 74.1991, 05.10 z z y z z punto M y I V Q t I = = = + = = = 3 125,5 250co = < 4 4 4 * 2 3 2 2 3/2 * * 2 4 .70 )sec : 70 1885,7454.10 4 2: 0 2 15.10.1,5. .(70 0 ) . (2) 3 1,95 (2). 140.1885,7454.10 z y z z c cincircular R mm I mm punto V Q t I = = = = = = = 2 3,38 250co = < * 6 * 3 3 4 3 2 2 3/2 * * 3 2 2 4 3: . 45.10 .1,5.35 125,28 1885,7454.10 2 15.10 .1,5. .(70 35 ) . (3) 3 1,46 (3). 2. 70 35 .1885,7454.10 z z y z z punto M y I V Q t I = = = = = = 3 125,3 250co = < 3 3 1 35.10 ( ) 35.10 .y zx V kN mx M kN m = = = 6 * * 3 3 4 3 3 * * 3 4 3: 190,4 45.10 .1,5.. 2 165,2 3890.10 190,4 190,4 15.10 .1,5. 183.10 .6,2. . (3) 2 4 14,45 (3). 6,2.3890.10 z z y z z punto M y I V Q t I = = = = = = 3 167,1 250co = < 38. 5.22.-En la viga de la figura se pide el dimensionamiento de la seccin a resistencia usando un criterio plstico de dimensionamiento. Datos: perfil IPE; fy = 275 N/mm 2 ; M = 1,1; = 1,35 Clculo de reacciones en los apoyos: Diagramas de esfuerzos: 30 kN 5 kN 1 m 1 m2 m A B z y VA VB HA HB 0 30 (1) 0 5 (2) 0 .4 30.3 (3) 0 .4 5.1 (4) resolviendo (1),(2),(3),(4): 22,5 ; 7,5 ; 1,25 ; 3,75 y A B z A B zB A yB A A B A B F V V F H H M V M H V kN V kN H kN H kN = + = = + = = = = = = = = = Vy Vz Mz My 22,5 7,5 1,25 3,75 22,5 3,75 + - - + +1,25 7,5 39. Dimensionamiento a resistencia de la seccin con criterio plstico Comprobacin a flexin: Tanteamos secciones, pero partiendo de un predimensionado Predimensionado rpido: Estudio separados Mz y My: ** , , 1 yz zpl d ypl d MM M M + * 6 3 3 , * 6 6 * 6 3 3 , * 6 6 275 . 30,38.10 . 121,5.10 1,1 : . 22,5.10 .1,35 30,38.10 . 275 . 5,06.10 . 20,25.10 1,1 : . 3,75.10 .1,35 5,06.10 . z zpl d zpl yd zpl zpl z z y ypl d ypl yd ypl ypl y y M M W f W W mm siendo M M N mm M M W f W W mm siendo M M N = = = = = = = = 3 3 3 3 121,5.10 20,25.10 lg 160 1 tan : 160: sec : 1 : 22,5 . ; 1,25 . ; 22,5 ; 1,25 zpl ypl z y y z mm conlos valores deW mm y deW mm buscoentablasun perfil queva a paralos dos IPE teo IPE cines mas solicitadas a flectores x M kN m M kN m V kN V kN = = = = = * 6 6 * 6 6 3 3 3 6 , 3 3 3 6 , 22,5.10 .1,35 30,30.10 . ; 1,25.10 .1,35 1,687.10 . 275 123,9.10 . 123,9.10 30,975.10 . 1,1 275 26,1.10 . 26,1.10 6,525.10 . 1,1 sustituyendo z y zpl zpl d zpl yd ypl ypl d ypl yd M N mm M N mm W mm M W f N mm W mm M W f N mm = = = = = = = = = = = = ** 6 6 6 6 , , 3 3 3 6 , en la frmula de dimensionamiento: 30,38.10 1,687.10 1 1,24 1 No vale 30,975.10 6,525.10 2 tan : 180: 275 166,4.10 . 166,4.10 41,6.10 . 1,1 34,6.1 yz zpl d ypl d zpl zpl d zpl yd ypl MM M M teo IPE W mm M W f N mm W + + = > = = = = = 3 3 3 6 , ** 6 6 6 6 , , 275 0 . 34,6.10 8,65.10 . 1,1 sustituyendo en la frmula de dimensionamiento: 30,38.10 1,687.10 1 0,92 1 Si vale 41,6.10 8,65.10 ypl d ypl yd yz zpl d ypl d mm M W f N mm MM M M = = = + + = < 40. Comprobacin a cortantes:IPE-180 * , * 3 2 * , 275 1,1 . 30375 954. 137698 3 3 : . 22,5.10 .1,35 30375 . 180.5,3 954 1 1 y adems : 30375 .137698 Si 2 2 no hay que interactuar con los mom yd y y ypl d v y y v w y ypl d f V V V A N N Si cumple siendo V V N A rea alma h t mm V V = = = = = = = = = * , * 3 2 2 * , entos flectores! 275 1,1 . 1687,5 1616,2. 233278,4 3 3 : . 1,25.10 .1,35 1687,5 . 23,9.10 146.5,3 1616,2 1 1 y adems : 1687,5 .233278 2 2 yd z z zpl d v z z v w z zpl d f V V V A N N Si cumple siendo V V N A rea alas A d t mm V V = = = = = = = = = ,4 Si no hay que interactuar con los momentos flectores! + Se podra comprobar tambin la seccin: x = 3 : 7,5 . ; 3,75 . ; 7,5 ; 3,75 repitiendo los mismos clculos anteriores pero con estos valores de las solicitaciones S cumple! z y y zM kN m M kN m V kN V kN= = = = 41. 5.23.- La figura muestra la viguera del suelo de un piso de un edificio. Las vigas son metlicas y se consideran articuladas en sus extremos. La carga permanente que acta sobre el suelo se compone de: a) Forjado unidireccional de viguetas metlicas con bloques cermicos: 3,5 kN/m2 , b) Pavimento del suelo: 1 kN/m2 . Se pide dimensionar a resistencia la seccin de las vigas de los tipos 1 y 4, utilizando perfiles IPE y un criterio elstico de dimensionamiento Dato: fy = 275 N/mm2 ; M = 1,1; = 1,35 Nota: Slo se tendr en cuenta la carga permanente Dimensionado a resistencia de la seccin de las vigas tipo 1 (criterio elstico): (Como la longitud de la viga es menor de 6 m. no aadimos el peso propio de la misma) Carga total permanente sobre el suelo: Forjado:.3,5 kN/m 2 Pavimento:1 kN/m 2 TOTAL:..4,5 kN/m 2 2 arg : 4,5 / .2 9 /c a q kN m m kN m= = ( 2 ) 18.2 9.2.1 18 . ( 0 ) 18 . zmx z ymx y M M x m kN m V V x m kN m = = = = = = = 3 2 m 2 m2 m 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 m 4 m A A B B A A C D 9 kN/m 2 m RA= 18 kN RB= 18 kN 18 Mz (kN.m) 2 m x A B + Vy (kN) 18 x + - 18 42. Dimensionado a resistencia de la seccin de las vigas tipo 4 (criterio elstico): (Como la longitud de la viga es mayor de 6 m. aadimos el peso propio de la misma, estimado en 1kN/m) z y * * 6 , 3 dim : seccin ms solicitada a flectores: x = 2 m: M 18 . ;V 0 275 18.1,35 24,3 . . 24,3.10 . 1,1 97200 160 seccin ms solici z z zel d zel yd zel zel criterioelstico de ensionamiento kN m M kN m M M W f W W mm tablas IPE = = = = = = z y * , * 2 3 tada a cortantes: x = 0 m: M 0;V 18 kN : . 3 : 18.1,35 24,3 ( ) . 160.5 800 275 1,1 : 24,3.10 800. 24300 115470 ! 3 yd y y ypl d v y v w f Comprobacin a cortadura V V V A siendo V kN A rea alma h t mm sustituyendo s cumple = = = = = = = = = < Vigas tipo 1 IPE-160 2 m 2 m 2 m C D B B 36 kN 36 kN RC= 39 kN RD= 39 kN 76,5 Mz(kN.m) x 1 kN/m 7676 Vy(kN) x 39 39 37 37 1 1 + + - 43. Vigas tipo 4 IPE-270 z yseccin ms solicitada a flectores: x = 3 m: M 76,5 . ;V 0kN m= = * * 6 , 3 z y dim : 275 76,5.1,35 103,3 . . 103,3.10 . 1,1 413200 270 seccin ms solicitada a cortadura: x = 0 m: M 0 . ;V 39 z z zel d zel yd zel zel criterioelstico de ensionamiento M kN m M M W f W W mm tablas IPE kN m kN Comprobaci = = = = = = * , * 2 3 : . 3 : 39.1,35 52,65 ( ) . 270.6,6 1782 275 1,1 :52,65.10 1782. 52650 257209,5 ! 3 yd y y ypl d v y v w f n a cortadura V V V A siendo V kN A rea alma h t mm sustituyendo s cumple = = = = = = = < 44. 5.24.-Las vigas que soportan la cubierta de una nave industrial correas, se encuentran apoyadas sobre los cordones superiores de dos cerchas, separadas entre s 5 m y con una pendiente de 22. La separacin entre correas es de 1,175 m. Las carga que han de soportar estas correas son: - Carga permanente: Peso de la uralita, incluidos ganchos y solapes.0,2 kN/m2 Peso estimado de las correas:.0,18 kN/m - Sobrecarga de nieve:..0,8 kN/m2 Se pide dimensionar a resistencia la seccin de dichas correas, utilizando perfiles IPE y empleando un criterio plstico de dimensionamiento Datos: coeficientes de mayoracin de cargas : -cargas permanentes: =1,35 -sobrecarga de nieve: =1,5. No se tendr en cuenta la accin del viento. Material: fy =275 N/mm2 ; M =1,1 Cargas sobre las correas: 22 cercha 1,175 m 1,175 m correas cercha 5 m 1,175 m 22 cercha 2 2 2 arg ( ) : 0,2 / .1,175 0,235 / :0,18 / : 0,415 / arg ( ) sup :0,8 / sup : 0,8.cos 22 / : p n C a permamente CP cubierta kN m m kN m peso propiocorreas kN m Total q kN m Sobrec a denieve SN sobre erficiehorizontal kN m sobre erficieinclinada kN m Total q = = 2 0,8 / .cos22.1.175 0,87 /kN m m kN m= = qpz= 0,155 y z qpy= 0,385 qp= 0,415 CP qnz= 0,326 y z qny= 0,807 qn= 0,87 SN .cos22 0,385 / . 22 0,155 / .cos22 0,807 / . 22 0,326 / py p pz p ny n nz n q q kN m q q sen kN m q q kN m q q sen kN m = = = = = = = = 45. Dimensionamiento a resistencia de la seccin de las correas utilizando un criterio plstico: combinaciones de cargas: 2,5 m qpy = 0,385 kN/m qpz=0,155 kN/m Mz (kN.m) My kN.m) 1,2 0,483 CP 2,5 m 0,963 Vy (kN) 0,387 Vz (kN) 0,963 0,387 + - + + - - qny = 0,807 kN/m qnz=0,326 Kg/m Mz (kN.m) My (kN.m) 2,5 1,01 SN 2,5 m Vy (kN) Vz (kN) 2,01 2,01 2,5 m 0,815 0,815 + - + + - - max max max max max max max max 1,2 . 0,483 . 0,963 0,387 2,5 . 1,01 . 2,01 0,815 z y y z z y y z CP M kN m M kN m V kN V kN SN M kN m M kN m V kN V kN = = = = = = = = * * * * .1,35 .1.5 1,2.1,35 2,5.1,5 5,37 . 0,483.1,35 1,01.1,5 2,167 . 0,963.1,35 2,01.1,5 4,315 0,387.1,35 0,815.1,5 1,75 z y y z CP SN M kN m M kN m V kN V kN + = + = = + = = + = = + = 46. Correas IPE-120 ** , , * * * * * 6 3 , * , comprobacin a flexin: 1 predimensionado rpido : seccin 2,5 5,37 . ; 2,167 . ; 0; 0 275 . sustituyendo :5,37.10 . 21480 1,1 yz zpl d ypl d z y y z z zpl d zpl yd zpl zpl y ypl d ypl MM M M x m M kN m M kN m V V M M W f W W mm M M W + = = = = = = = = 6 3 3 3 275 . sustituyendo : 2,167.10 . 8668 1,1 con los valoresde: 21480 y 8668 se busca una seccin que valga para los dos IPE-100 yd ypl ypl zpl ypl f W W mm W mm W mm = = = er 3 3 , , 1 tanteo : 100: 39410 9150 275 . 39410. 9852500 . 9,8525 . 1,1 275 . 9150. 2287500 . 2,2875 . 1,1 5,37 2,167 sustituyendo : 1 ! 9,8525 2,2875 2 tant zpl ypl zpl d zpl yd ypl d ypl yd IPE W mm W mm M W f N mm kN m M W f N mm kN m noesvlida = = = = = = = = = = + > 3 3 , , eo : 120 : 60730 13580 275 . 60730. 15182500 . 15,1825 . 1,1 275 . 13580. 3395000 . 3,395 . 1,1 5,37 2,167 sustituyendo : 1 ! 15,1825 3,395 (No hara zpl ypl zpl d zpl yd ypl d ypl yd IPE W mm W mm M W f N mm kN m M W f N mm kN m s esvlida = = = = = = = = = = + < falta la comprobacin de cortantes en esa seccin, ya que son cero) * * * * * 2 , 3 * , comprobacin a cortantes:(IPE-120) seccin x = 0: 4,315 ; 1,75 ; 0; 0 . siendo : (rea alma) . 120.4,4 528 3 275 1,1 sustituyendo : 4,315.10 528. ! 3 . y z z y yd y ypl d v v w y z zpl d v V kN V kN M M f V V A A h t mm s cumple f V V A = = = = = = = = = = 2 3 siendo : (rea alas) . 1320 93,4.4,4 909 3 275 1,1 sustituyendo :1,75.10 909. ! 3 (nohara falta combinar momentosflectorescon fuerzascortantes, pues los momentos flectores en dicha seccin so d v wA A d t mm s cumple = = = = n cero)