La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

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La recta Encontraremos la ecuacin vectorial de una recta r que pasa por el punto nal P de un vector ! OP , con la direccin de un vector ! d . Como muestra la gura: () May 5, 2014 1 / 36

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La recta

Encontraremos la ecuación vectorial de una recta r que pasa por el punto�nal P de un vector

�!OP, con la dirección de un vector

�!d . Como muestra

la �gura:

() May 5, 2014 1 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación vectorial de una recta

Cada punto sobre la recta r es el punto�nal de la diagonal de un paralelogramo

con lados�!OP y λ

�!d para algún λ

Vemos que todos los puntos sobre r son

de la forma�!OP + λ

�!d

Ecuación vectorial de la recta�!OX=

�!OP+λ

�!d

Un punto X está en la recta si y sólo sisatisface la ecuación.

�!OP es el vector posición

�!d es el vector director o generador delarectar.

() May 5, 2014 2 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta

Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector

�!d = (d1, d2) es:

r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2

con λ 2 R

Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.

Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de

�!d = (d1, d2, d3) es:

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

() May 5, 2014 3 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta

Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector

�!d = (d1, d2) es:

r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2

con λ 2 R

Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.

Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de

�!d = (d1, d2, d3) es:

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

() May 5, 2014 3 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta

Una representación paramétrica de la recta r en el plano, que contiene alpunto P = (p1, p2) y tiene la dirección del vector

�!d = (d1, d2) es:

r :�x = p1 + λd1y = p2 + λd2

con λ 2 R

Un punto (x , y) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación.

Una representación paramétrica de la recta r en el espacio, que contieneal punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección de

�!d = (d1, d2, d3) es:

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

() May 5, 2014 3 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Una representación paramétrica de la recta en el espacio, quecontiene al P = (0, 1, 3) y tiene la dirección del vector

�!d = (1, 5, 0) es:

r :

8<:x = λy = 1+ 5λz = 3

con λ 2 R

() May 5, 2014 4 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Una representación paramétrica de la recta en el espacio, quecontiene al P = (0, 1, 3) y tiene la dirección del vector

�!d = (1, 5, 0) es:

r :

8<:x = λy = 1+ 5λz = 3

con λ 2 R

() May 5, 2014 4 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?

Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =

�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)

Como punto a P = (�1, 1, 0) .

Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (1)

() May 5, 2014 5 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?

Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =

�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)

Como punto a P = (�1, 1, 0) .

Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (1)

() May 5, 2014 5 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?

Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =

�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)

Como punto a P = (�1, 1, 0) .

Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (1)

() May 5, 2014 5 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo: Encontrar una representación paramétrica de la recta en elespacio que contiene a los puntos P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál esla representación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?

Solución: Como vector director podemos considerar el vector�!d =

�!PQ = (0+ 1, 0� 1, 1� 0) = (1,�1, 1)

Como punto a P = (�1, 1, 0) .

Así una representación paramétrica de la recta en el espacio es;

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (1)

() May 5, 2014 5 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?

Consideremos la representación de la recta

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (2)

Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es

PQ :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con 0 � λ � 1.

() May 5, 2014 6 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (2)

Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es

PQ :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con 0 � λ � 1.

() May 5, 2014 6 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (2)

Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .

Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es

PQ :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con 0 � λ � 1.

() May 5, 2014 6 / 36

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (2)

Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.

El segmento de recta que une a P y Q es

PQ :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con 0 � λ � 1.

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Ecuación de una recta. Ejemplos

Ejemplo (continuación) Si P = (�1, 1, 0) y Q = (0, 0, 1) . ¿cuál es larepresentación paramétrica del segmento de recta que está entre lospuntos P y Q?Consideremos la representación de la recta

s :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con λ 2 R. (2)

Si λ = 0, el punto (x , y , z) es (�1, 1, 0) y si λ = 1 el punto (x , y , z) es(0, 0, 1) .Así los puntos (x , y , z) están entre los puntos P = (�1, 1, 0) yQ = (0, 0, 1) cuando 0 � λ � 1.El segmento de recta que une a P y Q es

PQ :

8<:x = �1+ λy = 1� λz = λ

con 0 � λ � 1.

() May 5, 2014 6 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos

Una representación paramétrica de la recta l , que contiene a los puntosP = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:

8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)

con λ 2 R y (x , y , z) es un punto cualquiera de l

() May 5, 2014 7 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos

Una representación paramétrica de la recta l , que contiene a los puntosP = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)

con λ 2 R y (x , y , z) es un punto cualquiera de l

() May 5, 2014 7 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos

Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:

PQ :

8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)

con 0 � λ � 1

Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:

PQ =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + λ

��!OQ ��!OP

�con λ 2 [0, 1]

oGra�car...En particular si λ = 1

2 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.

�!OXm =

�!OP+

12

��!OQ ��!OP

�=

�!OP +

�!OQ

2=

�x1 + x22

,y1 + y22

,z1 + z22

() May 5, 2014 8 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos

Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:

PQ :

8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)

con 0 � λ � 1

Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:

PQ =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + λ

��!OQ ��!OP

�con λ 2 [0, 1]

oGra�car...

En particular si λ = 12 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.

�!OXm =

�!OP+

12

��!OQ ��!OP

�=

�!OP +

�!OQ

2=

�x1 + x22

,y1 + y22

,z1 + z22

() May 5, 2014 8 / 36

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Ecuación paramétrica de una recta dado dos puntos

Una representación paramétrica del segmento de la recta l , que esta entrelos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) es:

PQ :

8<:x = x1 + λ(x2 � x1)y = y1 + λ(y2 � y1)z = z1 + λ(z2 � z1)

con 0 � λ � 1

Es decir, que el segmento que une los puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) es el conjunto de puntos X = (x , y , z) tal que:

PQ =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + λ

��!OQ ��!OP

�con λ 2 [0, 1]

oGra�car...En particular si λ = 1

2 ,obtenemos el punto medio Xm del segmento PQ.

�!OXm =

�!OP+

12

��!OQ ��!OP

�=

�!OP +

�!OQ

2=

�x1 + x22

,y1 + y22

,z1 + z22

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Posiciones relativas de las rectas

En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.

En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.

Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.

En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.

Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....

() May 5, 2014 9 / 36

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Posiciones relativas de las rectas

En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.

En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.

Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.

En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.

Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....

() May 5, 2014 9 / 36

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Posiciones relativas de las rectas

En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.

En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.

Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.

En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.

Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....

() May 5, 2014 9 / 36

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Posiciones relativas de las rectas

En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.

En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.

Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.

En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.

Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....

() May 5, 2014 9 / 36

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Posiciones relativas de las rectas

En el plano R2 dos rectas distintas se cortan o no se cortan.

En caso que no se cortan decimos que son paralelas distintas.

Cuando las rectas son coincidentes o iguales decimos que son paralelascoincidentes.

En el espacio R3 al igual que en el plano las rectas se cortan o no secortan.

Cuando las rectas no se cortan hay dos posibilidades: paralelas distintaso se cruzan. Gra�car....

() May 5, 2014 9 / 36

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Rectas paralelas

Las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R s :

8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03

con α 2 R

son paralelas si los vectores directores�!d y

�!d 0 son paralelos

Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ

�!d 0 , para algún λ 2 R.

Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y

solo si�!d �

�!d 0 =

�!0 .

() May 5, 2014 10 / 36

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Rectas paralelas

Las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R s :

8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03

con α 2 R

son paralelas si los vectores directores�!d y

�!d 0 son paralelos

Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ

�!d 0 , para algún λ 2 R.

Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y

solo si�!d �

�!d 0 =

�!0 .

() May 5, 2014 10 / 36

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Rectas paralelas

Las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R s :

8<:x = q1 + αd 01y = q2 + αd 02z = q3 + αd 03

con α 2 R

son paralelas si los vectores directores�!d y

�!d 0 son paralelos

Es decir, r es paralela a s, si�!d = λ

�!d 0 , para algún λ 2 R.

Proposición: Sean r y s dos rectas en R3. La recta r es paralela a s si y

solo si�!d �

�!d 0 =

�!0 .

() May 5, 2014 10 / 36

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Rectas paralelas

Si las rectas son paralelas pueden ser coincidentes o distintas. Paradeterminar si ocurre lo uno o lo otro, sustituimos un punto perteneciente ar en la recta s y si se veri�can las ecuaciones, son la misma recta.

() May 5, 2014 11 / 36

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Rectas no paralelas

Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.

Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03

en el cual las incógnitas son λ y µ.

Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.

() May 5, 2014 12 / 36

Page 38: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas no paralelas

Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.

Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03

en el cual las incógnitas son λ y µ.

Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.

() May 5, 2014 12 / 36

Page 39: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas no paralelas

Si los vectores directores son no son paralelos, las rectas en el espacio secortan o se cruzan.

Para ello tendremos que resolver el siguiente sistema8<:p1 + λd1 = q1 + µd 01p2 + λd2 = q2 + µd 02p3 + λd3 = q3 + µd 03

en el cual las incógnitas son λ y µ.

Si el sistema tiene solución las rectas se cortan, en otro caso se cruzan.

() May 5, 2014 12 / 36

Page 40: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ

con λ 2 R s :

8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ

con µ 2 R

Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a

�!d 0 = (10,�2, 2) ya que

�!d �

�!d 0 =

������i j k�5 1 �110 �2 2

������ = �!0o bien veri�camos que

�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d

Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.

() May 5, 2014 13 / 36

Page 41: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ

con λ 2 R s :

8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ

con µ 2 R

Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a

�!d 0 = (10,�2, 2) ya que

�!d �

�!d 0 =

������i j k�5 1 �110 �2 2

������ = �!0

o bien veri�camos que�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d

Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.

() May 5, 2014 13 / 36

Page 42: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ

con λ 2 R s :

8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ

con µ 2 R

Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a

�!d 0 = (10,�2, 2) ya que

�!d �

�!d 0 =

������i j k�5 1 �110 �2 2

������ = �!0o bien veri�camos que

�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d

Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.

() May 5, 2014 13 / 36

Page 43: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ

con λ 2 R s :

8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ

con µ 2 R

Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a

�!d 0 = (10,�2, 2) ya que

�!d �

�!d 0 =

������i j k�5 1 �110 �2 2

������ = �!0o bien veri�camos que

�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d

Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .

Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.

() May 5, 2014 13 / 36

Page 44: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 3� 5λy = 2+ λz = 5� λ

con λ 2 R s :

8<:x = 1+ 10µy = 4� 2µz = 2µ

con µ 2 R

Solución:�!d = (�5, 1,�1) es paralelo a

�!d 0 = (10,�2, 2) ya que

�!d �

�!d 0 =

������i j k�5 1 �110 �2 2

������ = �!0o bien veri�camos que

�!d 0 = (10,�2, 2) = 2 (�5, 1,�1) = 2�!d

Además se veri�ca que (1, 4, 0) pertenece a s y no pertenece a r .Por lo tanto las rectas son paralelas distintas.

() May 5, 2014 13 / 36

Page 45: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 46: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 47: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.

Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 48: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 49: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 50: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 51: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 52: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 53: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.

Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 54: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas. Ejemplos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

r :

8<:x = 2� 3λy = 3+ 5λz = λ

con λ 2 R

8<:x = 1� µy = µz = 5

s : con µ 2 R.

Solución: los vectores directores�!d = (�3, 5, 1) y

�!d 0 = (�1, 1, 0) no

son paralelos (veri�carlo)

Por lo tanto las rectas no son paralelas.Resolvamos el sistema:

8<:2� 3λ = 1� µ3+ 5λ = µλ = 5

8<:3λ� µ = �15λ+ µ = �3λ = 5

Ya que λ = 5

3λ� µ = �1) µ = 16

5λ+ µ = �3) µ = 28

Por lo tanto no existe µ que veri�que las dos ecuaciones.Es decir, el sistema no tiene solución (incompatible) las rectas se cruzan.

() May 5, 2014 14 / 36

Page 55: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Rectas paralelas y no paralelas.

Cortan No se cortanParalelas

Producto vectorial igual a�!0

Iguales Paralelas distintas

No ParalelasProducto vectorial distinto de

�!0

Cortan en un punto Cruzan

() May 5, 2014 15 / 36

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Ángulo entre rectas

Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....

Dadas las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03

s : con µ 2 R

que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.

ang(r , s) = arccos

0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���

1A .Consideramos

����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....

() May 5, 2014 16 / 36

Page 57: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ángulo entre rectas

Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03

s : con µ 2 R

que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.

ang(r , s) = arccos

0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���

1A .Consideramos

����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....

() May 5, 2014 16 / 36

Page 58: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ángulo entre rectas

Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03

s : con µ 2 R

que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.

ang(r , s) = arccos

0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���

1A .

Consideramos����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.

Gra�car....

() May 5, 2014 16 / 36

Page 59: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ángulo entre rectas

Cuando dos rectas como en el ejemplo anterior se cortan podemosdeterminar cual es el menor ángulo (o simplemente ángulo) que forman,por lo tanto el ángulo que determinan dos rectas se mide entre 0� y 90�.Gra�car....Dadas las rectas

r :

8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

8<:x = q1 + µd 01y = q2 + µd 02z = q3 + µd 03

s : con µ 2 R

que se cortan en un punto, el ángulo (agudo) entre ellas es el quedeterminan los vectores directores.

ang(r , s) = arccos

0@����!d � �!d 0 �������!d ��� ����!d 0 ���

1A .Consideramos

����!d � �!d 0 ��� para determinar el ángulo agudo entre las rectas.Gra�car....

() May 5, 2014 16 / 36

Page 60: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 61: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 62: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 63: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 64: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 65: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Para determinar una ecuaciónde un plano π se necesitan:

Un vector posición�!OP que nos

sitúe en un punto P del plano;

Dos vectores �!u = (u1, u2, u3, )y �!v = (v1, v2, v3) no paralelos

Para acceder desde P a cualquierpunto X del plano realizamos�!OP+α�!u +β�!v con α,β 2 R

π =nX 2 R3 /

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R

o

() May 5, 2014 17 / 36

Page 66: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es

π :�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.

Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:

π :

8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3

con α, β 2 R (3)

A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.

() May 5, 2014 18 / 36

Page 67: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación del plano

Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es

π :�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.

Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:

π :

8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3

con α, β 2 R (3)

A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.

() May 5, 2014 18 / 36

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Ecuación del plano

Una ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y es paralelo alos vectores �!u y �!v es

π :�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v con α, β 2 R.

Si en la ecuación vectorial, sustituimos cada vector por sus coordenadas,da lugar a una representación paramétrica:

π :

8<:x = p1 + αu1 + βv1y = p2 + αu2 + βv2z = p3 + αu3 + βv3

con α, β 2 R (3)

A los vector �!u y �!v los denominamos vector directores o generadoresdel plano π.

() May 5, 2014 18 / 36

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Ecuación del plano

Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).

Solución: Una ecuación vectorial es

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v

(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R

Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β

con α, β 2 R

() May 5, 2014 19 / 36

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Ecuación del plano

Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).Solución: Una ecuación vectorial es

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v

(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R

Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β

con α, β 2 R

() May 5, 2014 19 / 36

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Ecuación del plano

Ejemplo: Hallar una ecuación vectorial y representación paramétrica delplano que pasa por P = (2, 3, 5) y es paralelo a �!u = (�1,�2,�3) y�!v = (1, 3, 5).Solución: Una ecuación vectorial es

�!OX =

�!OP + α�!u + β�!v

(x , y , z) = (2, 3, 5) + α(�1,�2,�3) + β(1, 3, 5) con α, β 2 R

Representación paramétrica:8<:x = 2� α+ βy = 3� 2α+ 3βz = 5� 3α+ 5β

con α, β 2 R

() May 5, 2014 19 / 36

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Ecuación implícita del plano

Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo

π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0

con

�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3

���� i� ���� u1 v1u3 v3

���� j+ ���� u1 v1u2 v2

���� k. (4)

Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car

() May 5, 2014 20 / 36

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Ecuación implícita del plano

Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo

π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0

con

�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3

���� i� ���� u1 v1u3 v3

���� j+ ���� u1 v1u2 v2

���� k. (4)

Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car

() May 5, 2014 20 / 36

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Ecuación implícita del plano

Si en la representación paramétrica (3) eliminamos α y β nos quedaremoscon una ecuación del tipo

π : a (x � p1) + b (y � p2) + c (z � p3) = 0

con

�!n = ai+ bj+ ck =���� u2 v2u3 v3

���� i� ���� u1 v1u3 v3

���� j+ ���� u1 v1u2 v2

���� k. (4)

Ejercicio: El vector �!n = ai+ bj+ ck, es perpendicular al plano π, esdecir, es perpendicular a todos los vectores del tipo �!w = α�!u + β�!v ,donde α, β 2 R, al vector �!w se dice que es combinación lineal (C.L.) de�!u y �!v . Gra�car

() May 5, 2014 20 / 36

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Ecuación implícita del plano

Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es

�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0

Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.

() May 5, 2014 21 / 36

Page 76: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación implícita del plano

Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es

�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0

Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.

(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.

() May 5, 2014 21 / 36

Page 77: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación implícita del plano

Una ecuación implícita del plano π que pasa por el punto (x0, y0, z0) yque es normal al vector �!n = ai+ bj+ ck es

�!n � (x � x0, y � y0, z � z0) = 0

Al vector �!n lo denominamos vector normal al plano π.(a, b, c) determinan π salvo un múltiplo escalar.

() May 5, 2014 21 / 36

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Ecuación implícita del plano

Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos

P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).

Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),

Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v

�!u ��!v =

������i j k�3 �3 5�6 �4 2

������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es

14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.

() May 5, 2014 22 / 36

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Ecuación implícita del plano

Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos

P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).

Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),

Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v

�!u ��!v =

������i j k�3 �3 5�6 �4 2

������ = 14i� 24j� 6k

Elegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es

14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.

() May 5, 2014 22 / 36

Page 80: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación implícita del plano

Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos

P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).

Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),

Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v

�!u ��!v =

������i j k�3 �3 5�6 �4 2

������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,

Así una ecuación implícita es

14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.

() May 5, 2014 22 / 36

Page 81: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación implícita del plano

Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos

P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).

Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),

Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v

�!u ��!v =

������i j k�3 �3 5�6 �4 2

������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es

14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o

14x � 24y � 6z = 44.

() May 5, 2014 22 / 36

Page 82: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Ecuación implícita del plano

Ejemplo: Determine una ecuación implícita del plano que pasa por lospuntos

P1 = (1,�2, 3), P2 = (4, 1,�2) y P3 = (�2,�3, 0).

Solución: Sea �!u = ��!P2P1 = (�3,�3, 5) y �!v =��!P2P3 = (�6,�4, 2),

Como �!u ��!v es perpendicular a �!u y �!v , por lo tanto es perpendicularal plano que estamos determinando.Calculemos �!u ��!v

�!u ��!v =

������i j k�3 �3 5�6 �4 2

������ = 14i� 24j� 6kElegimos (arbitrariamente) a P2 = (4, 1,�2) para formar el vectorposición (o punto del plano) y como vector normal 14i� 24j� 6k,Así una ecuación implícita es

14(x � 4)� 24(y � 1)� 6(z + 2) = 0 o 14x � 24y � 6z = 44.() May 5, 2014 22 / 36

Page 83: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Posiciones relativas de Planos

Dos planos en R3,

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...

Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que

Recta%

Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%

Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes

() May 5, 2014 23 / 36

Page 84: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Posiciones relativas de Planos

Dos planos en R3,

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.

Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que

Recta%

Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%

Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes

() May 5, 2014 23 / 36

Page 85: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Posiciones relativas de Planos

Dos planos en R3,

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).

Así tenemos que

Recta%

Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%

Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes

() May 5, 2014 23 / 36

Page 86: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Posiciones relativas de Planos

Dos planos en R3,

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

pueden cortarse, o no cortarse. Gra�car...Si no se cortan decimos que son paralelos distintos.Si se cortan, entonces se cortan en una recta o son iguales (paraleloscoincidentes).Así tenemos que

Recta%

Cortan �! Iguales ( paralelos coincidentes)%

Planos �! No se cortan �! Paralelos distintos o no coincidentes

() May 5, 2014 23 / 36

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Planos paralelos

Los planos

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.

Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si�!n ��!n, = �!0

Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0)

son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces

analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:

Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.

Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).

() May 5, 2014 24 / 36

Page 88: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Los planos

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si

�!n ��!n, = �!0

Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0)

son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces

analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:

Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.

Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).

() May 5, 2014 24 / 36

Page 89: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Los planos

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si

�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y

�!n0 = (a0, b0, c 0)

son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces

analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:

Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.

Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).

() May 5, 2014 24 / 36

Page 90: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Los planos

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si

�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y

�!n0 = (a0, b0, c 0)

son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces

analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:

Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.

Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).

() May 5, 2014 24 / 36

Page 91: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Los planos

π1 : ax + by + cz = d y π2 : a0x + b0y + c 0z = d 0

son paralelos (o coincidentes) si los vectores normales �!n y �!n, sonparalelos.Proposición π1 es paralelo a π2 si y solo si

�!n ��!n, = �!0Observación: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y

�!n0 = (a0, b0, c 0)

son paralelos, es decir existe k 2 R, tal que �!n = k�!n0 .. Entonces

analizamos los términos independientes de los planos π1 y π2:

Si d 6= kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) no son paralelos.Entonces los planos son paralelos no coincidentes.

Si d = kd , por lo tanto (a, b, c , d) y (a0, b0, c 0, d 0) son paralelos.Entonces los planos son paralelos coincidentes (o iguales).

() May 5, 2014 24 / 36

Page 92: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40

Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4

En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes

() May 5, 2014 25 / 36

Page 93: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40

Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4

En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes

() May 5, 2014 25 / 36

Page 94: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π1 : x � 3y + 4z = 11π2 : 4x � 12y + 16z = �40

Solución: Notamos que los vectores normales son n1 = (1,�3, 4) yn2 = (4,�12, 16) son proporcionales (paralelos) con k = 4

En el término independiente no conserva la proporcionalidad �40 6= 4.11.Luego los planos son paralelos no coincidentes

() May 5, 2014 25 / 36

Page 95: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0) no son paralelos,

los planos no son paralelos y se cortan en una recta.

Proposición: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y �!n, = (a0, b0, c 0) noson paralelos, entonces el vector �!n ��!n, es un vector director de la rectaintersección de los planos. Gra�car...

() May 5, 2014 26 / 36

Page 96: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y�!n0 = (a0, b0, c 0) no son paralelos,

los planos no son paralelos y se cortan en una recta.

Proposición: Si los vectores normales �!n = (a, b, c) y �!n, = (a0, b0, c 0) noson paralelos, entonces el vector �!n ��!n, es un vector director de la rectaintersección de los planos. Gra�car...

() May 5, 2014 26 / 36

Page 97: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28

(5)

Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)

�!n ��!n, =

������i j k2 �1 �54 5 4

������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0

Por lo tanto los planos se cortan.

El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).

() May 5, 2014 27 / 36

Page 98: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28

(5)

Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)

�!n ��!n, =

������i j k2 �1 �54 5 4

������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0

Por lo tanto los planos se cortan.

El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).

() May 5, 2014 27 / 36

Page 99: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28

(5)

Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)

�!n ��!n, =

������i j k2 �1 �54 5 4

������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0

Por lo tanto los planos se cortan.

El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).

() May 5, 2014 27 / 36

Page 100: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Planos no paralelos

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos:

π : 2x � y � 5z = �14π1 : 4x + 5y + 4z = 28

(5)

Los vectores normales son �!n = (2,�1,�5) y �!n, = (4, 5, 4)

�!n ��!n, =

������i j k2 �1 �54 5 4

������ = 21i� 28 j+ 14 k 6= �!0

Por lo tanto los planos se cortan.

El vector generador de la recta es17(21,�28, 14) = (3,�4, 2).

() May 5, 2014 27 / 36

Page 101: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)

Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema��y � 5z = �145y + 4z = 28

resulta que y = 4 y z = 2.Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:

r :

8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ

con λ 2 R.

() May 5, 2014 28 / 36

Page 102: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema�

�y � 5z = �145y + 4z = 28

resulta que y = 4 y z = 2.

Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:

r :

8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ

con λ 2 R.

() May 5, 2014 28 / 36

Page 103: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

A continuación determinamos un punto sobre la recta como el puntoP = (0, 4, 2)Haciendo x = 0, en (5) y resolviendo el sistema�

�y � 5z = �145y + 4z = 28

resulta que y = 4 y z = 2.Tenemos que una representación paramétrica de la recta intersección es:

r :

8<:x = 3λy = 4� 4λz = 2+ 2λ

con λ 2 R.

() May 5, 2014 28 / 36

Page 104: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el

origen de coordenadas

Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector

�!d . Gra�car...

Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.

() May 5, 2014 29 / 36

Page 105: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el

origen de coordenadas

Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector

�!d . Gra�car...

Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.

() May 5, 2014 29 / 36

Page 106: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el

origen de coordenadas

Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector

�!d . Gra�car...

Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.

() May 5, 2014 29 / 36

Page 107: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Dada la recta 8<:x = p1 + λd1y = p2 + λd2z = p3 + λd3

con λ 2 R

Lo primero que podemos hacer es dibujar el vector�!d = (d1, d2, d3) en el

origen de coordenadas

Luego sobre el punto P = (p1, p2, p3), trazamos una recta paralela alvector

�!d . Gra�car...

Otra forma de proceder es determinan los puntos (si existen) deintersección de la recta con los planos coordenados.

() May 5, 2014 29 / 36

Page 108: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...

() May 5, 2014 30 / 36

Page 109: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.

- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...

() May 5, 2014 30 / 36

Page 110: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .

- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...

() May 5, 2014 30 / 36

Page 111: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .

- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...

() May 5, 2014 30 / 36

Page 112: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...

() May 5, 2014 30 / 36

Page 113: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Representar la recta

r :

8>>><>>>:x = 1+ 2λ

y =12+ λ

z =12� λ

con λ 2 R (6)

Esta recta pasa por el punto P = (1, 1/2, 1/2) y tiene como vectordirector a

�!d = (2, 1,�1)

Puntos de intersección de la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.6, obtenemos que λ = �1/2, lo que nos determina el punto (0, 0, 1) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.6, obtenemos que λ = 1/2, lo que nos determina el punto (2, 1, 0) .

Gra�car ...() May 5, 2014 30 / 36

Page 114: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector

�!d = (3,�2, 0).

Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:

r :

8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3

con λ 2 R (7)

Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 31 / 36

Page 115: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector

�!d = (3,�2, 0).

Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:

r :

8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3

con λ 2 R (7)

Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.

- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 31 / 36

Page 116: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector

�!d = (3,�2, 0).

Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:

r :

8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3

con λ 2 R (7)

Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .

- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 31 / 36

Page 117: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector

�!d = (3,�2, 0).

Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:

r :

8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3

con λ 2 R (7)

Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .

- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 31 / 36

Page 118: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

Ejemplo: Gra�car la recta en el espacio, que contiene al P = (0, 2, 3) ytiene la dirección del vector

�!d = (3,�2, 0).

Solución La ecuación paramétrica de esta recta es:

r :

8<:x = 3λy = 2� 2λz = 3

con λ 2 R (7)

Lo primero que determinamos son los puntos (si existen) de intersecciónde la recta con los planos coordenados.- La intersección de r con el plano yz , se obtiene haciendo x = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 0, lo que nos determina el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , se obtiene haciendo y = 0, en laec.7, obtenemos que λ = 1, lo que nos determina el punto (3, 0, 3) .- La intersección de r con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0, en laec.7, en este ejemplo podemos observar que nunca z puede ser 0, lo queno indica que la recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 31 / 36

Page 119: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

- La intersección de r con el plano yz , es el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , es el punto (3, 0, 3) .- La recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 32 / 36

Page 120: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de rectas

- La intersección de r con el plano yz , es el punto (0, 2, 3) .- La intersección de r con el plano xz , es el punto (3, 0, 3) .- La recta no corta al plano xy , es paralela a él.

() May 5, 2014 32 / 36

Page 121: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.

- La intersección de un plano

π : ax + by + cz + d = 0

Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es

ax + d = 0! x =�da

Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0

�.

Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.

() May 5, 2014 33 / 36

Page 122: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano

π : ax + by + cz + d = 0

Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.

Por tanto es

ax + d = 0! x =�da

Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0

�.

Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.

() May 5, 2014 33 / 36

Page 123: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano

π : ax + by + cz + d = 0

Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es

ax + d = 0! x =�da

Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0

�.

Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.

() May 5, 2014 33 / 36

Page 124: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano

π : ax + by + cz + d = 0

Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es

ax + d = 0! x =�da

Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0

�.

Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.

() May 5, 2014 33 / 36

Page 125: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

La mejor forma de representar un plano es señalar su intersección con losejes y con los planos coordenados.- La intersección de un plano

π : ax + by + cz + d = 0

Con un eje, por ejemplo el eje x , es el punto que se consigue haciendoy = 0 y z = 0.Por tanto es

ax + d = 0! x =�da

Se trata de un punto sobre el eje x de la forma��da, 0, 0

�.

Observe que a tiene que ser distinto de cero. ¿Qué podemos decir delplano si a = 0?.

() May 5, 2014 33 / 36

Page 126: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

- La intersección de un plano π, con un plano coordenado, por ejemplocon el plano xy , cuya ecuación es z = 0, es�

ax + by + cz + d = 0z = 0

,�ax + by + d = 0

z = 0

Obtenemos una recta ax + by + d = 0 situado en al plano xy .

() May 5, 2014 34 / 36

Page 127: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

- La intersección de un plano π, con un plano coordenado, por ejemplocon el plano xy , cuya ecuación es z = 0, es�

ax + by + cz + d = 0z = 0

,�ax + by + d = 0

z = 0

Obtenemos una recta ax + by + d = 0 situado en al plano xy .

() May 5, 2014 34 / 36

Page 128: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6

Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 129: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:

Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 130: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0!

3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 131: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6!

x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 132: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2!

(2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 133: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)

Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 134: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0!

y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

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Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6!

(0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

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Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)

Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

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Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0!

� 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 138: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6!

z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 139: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3!

(0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 140: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

Page 141: La recta - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90 hs.)

Representación grá�ca de Planos

Ejemplo: Representar el plano 3x + y � 2z = 6Solución: La intersección con los ejes son:Eje x : y = 0, z = 0! 3x = 6! x = 2! (2, 0, 0)Eje y : x = 0, z = 0! y = 6! (0, 6, 0)Eje z : y = 0, x = 0! � 2z = 6! z = �3! (0, 0,�3)

() May 5, 2014 35 / 36

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Representación grá�ca de Planos

Observaciones: 1) Si el termino independiente d de la ecuación del planoes cero, el plano corta a los tres ejes el punto (0, 0, 0) .

2) Si en la ecuación del plano falta un variable, por ejemplo z , elplano será paralelo al eje z .

() May 5, 2014 36 / 36

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Representación grá�ca de Planos

Observaciones: 1) Si el termino independiente d de la ecuación del planoes cero, el plano corta a los tres ejes el punto (0, 0, 0) .

2) Si en la ecuación del plano falta un variable, por ejemplo z , elplano será paralelo al eje z .

() May 5, 2014 36 / 36