1

Print 31-40selides

Δυαδικό σύστημα

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαριστά αριθμητικές τιμές

χρησιμοποιώντας δύο σύμβολα, το 0 και το 1. Πιο συγκεκριμένα, το δυαδικό

είναι ένα θεσιακό σύστημα με βάση το δύο. Κάθε ψηφίο ανήκει σε μία τάξη

μεγέθους μεγαλύτερη κατά ένα από αυτήν του ψηφίου στα δεξιά του. Έτσι,

κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού από δεξιά προς τ' αριστερά δηλώνει

μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες κ.ο.κ.

Ονομάζεται δυαδικό επειδή η αναπαράσταση της πληροφορίας γίνεται

με χρήση δύο συμβόλων.

Παράδειγμα

Ο δυαδικός αριθμός 11012 αναπαριστά ποσότητα ίση με 1 μονάδα (1 *

20), 0 δυάδες (0 * 21), 1 τετράδα (1 * 22) και 1 οκτάδα (1 * 23). Διαβάζεται :

"ένα,ένα,μηδέν,ένα με βάση 2". Ισούται δηλαδή με τον αριθμό 13 του

δεκαδικού συστήματος, 1 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 13.

Δυαδικό σύστημα στους υπολογιστές

Η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδομένων στους ηλεκτρονικούς

υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. Οδηγώντας, για παράδειγμα, την είσοδο ενός

λογικού κυκλώματος με τάση ρεύματος μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής

(π.χ +3 Volts )αναπαριστούμε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο με

τάση ρεύματος μικρότερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +2 Volts )

αναπαριστούμε το ψηφίο "0". Λόγω της σχετικά απλής υλοποίησης στα

ηλεκτρονικά κυκλώματα το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται εκτεταμένα

στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την αναπαράσταση αριθμητικών

δεδομένων. Άλλα χρησιμοποιούμενα συστήματα είναι το σύστημα κινητής

υποδιαστολής, το σύστημα σταθερής υποδιαστολής, η δυαδική κωδικοποίηση

δεκαδικού, και άλλα.

1

Μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα

Παρακάτω παρουσιάζεται μέσω παραδείγματος ένας απλός τρόπος

μετατροπής φυσικών αριθμών από δεκαδική σε δυαδική μορφή.

Έστω ότι έχουμε τον αριθμό 1310, όπως στο αρχικό παράδειγμα.

Γράφουμε τις δυνάμεις του 2, μέχρι να προκύψει αριθμός μικρότερος ή ίσος

από τον ζητούμενο αριθμό, οπότε σταματάμε.

20=1

21=2

22=4

23=8

Στην προκειμένη περίπτωση ο ζητούμενος αριθμός είναι το 13, άρα

σταματάμε στο 23=8, γιατί 24=16>13. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 23 χωράει

μια φορά στο 13, άρα σημειώνουμε x1. To αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 5.

Το 22 χωράει μια φορά στο 5 άρα σημειώνουμε x1. Μένει 1 , όμως το 21 δε

χωράει στο ένα άρα σημειώνουμε x0. Τέλος το 20 χωράει μια φορά στο ένα ,

άρα σημειώνουμε x1.

13

-23 x1

5

-22 x1

1

-21 x0

1

-20 x1

0

Γράφοντας τις σημειώσεις στη σειρά από πάνω ως κάτω, προκύπτει ο

αριθμός σε δυαδική μορφή. Δηλαδή, 11012 = 1310. Με τον ίδιο τρόπο

μπορούμε να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε σύστημα,

χρησιμοποιώντας κάθε φορά τις δυνάμεις της βάσης του εκάστοτε

συστήματος αρίθμησης (οκταδικό, δεκαεξαδικό κτλ.).

1

Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

Για την πρόσθεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι

κανόνες:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 και 1 το κρατούμενο

1 + 1 + 1 = 1 και 1 το κρατούμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να προσθέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους

αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121) 01111001

(107) 01101011 +

(228) 11100100

Όπου η πρόσθεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την

λιγότερο σημαντική θέση.

Αφαίρεση δυαδικών αριθμών

Για την αφαίρεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι

κανόνες:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 και 1 το δανειζόμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να αφαιρέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους

αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121) 01111001

1

(107) 01101011 -

(014) 00001110

Όπου η αφαίρεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την

λιγότερο σημαντική θέση.

Αναπαράσταση αρνητικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα

Για να αναπαρασταθούν αρνητικοί αριθμοί με το δυαδικό σύστημα

αρίθμησης χρησιμοποιούνται δύο βασικά τρόποι, το συμπλήρωμα ως προς 1

και το συμπλήρωμα ως προς 2.

Συμπλήρωμα ως προς 1

Σε αυτήν την μέθοδο αντιστρέφονται τα ψηφία του δυαδικού αριθμού,

όπου δηλαδή 0 γίνεται 1 και όπου 1 γίνεται 0, και ο αριθμός που προκύπτει

θεωρείται ο αρνητικός του πρώτου.

Έτσι για παράδειγμα, ο (θετικός) αριθμός 7 σε μορφή ψηφιολέξης

(byte) είναι ο ακόλουθος:

0000 0111

και ο αρνητικός -7 σε μορφή συμπληρώματος ως προς 1 γίνεται:

1111 1000

Το πρόβλημα με την συγκεκριμένη μέθοδο είναι πως υπάρχουν δύο

αναπαραστάσεις για το μηδέν:

0000 0000 (για ένα "θετικό" μηδέν)

και

1111 1111 (για ένα "αρνητικό" μηδέν)

Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα δημιουργήθηκε μια δεύτερη

μέθοδος, το συμπλήρωμα ως προς 2

Συμπλήρωμα ως προς 2

Στο συμπλήρωμα ως προς 2, μετά την αντιστροφή των δυαδικών

ψηφίων προστίθεται επιπλέον ο αριθμός 1. Έτσι, και πάλι με παράδειγμα τον

αριθμό 7 σε μορφή ψηφιολέξης (byte):

0000 0111

1

αντιστρέφουμε όπως στο συμπλήρωμα ως προς 1:

1111 1000

και τελικά προσθέτουμε το 1:

1111 1001

Πρόσημο και μέτρο

Υπάρχει και ένας τρίτος τρόπος αναπαράστασης των αρνητικών

αριθμών, ο οποίος δε χρησιμοποιείται πολύ συχνά, αλλά είναι πιο προσιτός

στον άνθρωπο , καθώς μοιάζει πολύ με τον τρόπο αναπαράστασης

αρνητικών αριθμών στο δεκαδικό σύστημα.

Στο σύστημα αυτό, το πρώτο από αριστερά δυαδικό ψηφίο λαμβάνεται

ως το πρόσημο του δυαδικού αριθμού, ενώ τα ψηφία που ακολουθούν

χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του μέτρου του. Αν το πρώτο ψηφίο

από τα αριστερά είναι 0, ο αριθμός θεωρείται θετικός, ενώ αν το πρώτο ψηφίο

από τα αριστερά είναι 1, ο αριθμός θεωρείται αρνητικός.

Έτσι, αν χρησιμοποιούμε 8 bits (δυαδικά ψηφία ) για την

αναπαράσταση του αριθμού, το 7 είναι

00000111

ενώ , το -7 θα είναι αντίστοιχα

10000111

Φυσικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά ο όρος φυσικός αριθμός μπορεί να σημαίνει είτε ένα

στοιχείο του συνόλου {1, 2, 3, ...} (δηλαδή τους θετικούς ακέραιους ή

"απαριθμητικούς αριθμούς") ή ένα στοιχείο του συνόλου {0, 1, 2, 3, ...}

(δηλαδή τους μη αρνητικούς ακέραιους.) Η πρώτη ερμηνεία χρησιμοποιείται

γενικά στη θεωρία αριθμών, ενώ η δεύτερη συνήθως προτιμάται στη

μαθηματική λογική, τη θεωρία συνόλων και την επιστήμη υπολογιστών.

Οι φυσικοί αριθμοί έχουν δύο κύριες χρήσεις: μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για απαρίθμηση ("υπάρχουν 3 μήλα στο τραπέζι"), και

1

μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν μια διάταξη ("είναι η 3η

μεγαλύτερη πόλη στη χώρα"). Οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών που

σχετίζονται με τη διαιρεσιμότητα, όπως είναι η κατανομή των πρώτων

αριθμών, μελετώνται στη θεωρία αριθμών. Προβλήματα σχετικά με την

απαρίθμηση μελετώνται στη συνδυαστική.

Ορισμοί και συμβολισμοί για το σύνολο των φυσικών αριθμών

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί ανήκουν με βάση την θεωρία συνόλων στο

σύνολο των φυσικών αριθμών που αποτελείται από όλους τους θετικούς

ακέραιους.

Το δε σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται ως εξής:

εμπεριέχει ανάλογα με τον ορισμό του, τους θετικούς ακέραιους

αριθμούς, δηλ.

ή τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, δηλ.

Το σύμβολο χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τη γαλλική

μαθηματική ομάδα Νικολά Μπουρμπακί (Nicolas Bourbaki) στην πραγματεία

τους "Éléments de mathématique". Για λόγους πρακτικούς και ευκολίας

αντικαταστάθηκε με την πάροδο του χρόνου από το σύμβολο , το οποίο

χρησιμοποιείται κατά κόρον στη σύγχρονη διεθνή βιβλιογραφία. Όμοια ήταν

και η εξέλιξη των συμβόλων και .

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι το 0 (μηδέν) δεν θεωρείται πάντα στοιχείο του

συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι καλό να μιλάμε για θετικούς (1,2,3...)

και μη αρνητικούς (0,1,2,3...) ακέραιους αριθμούς.

Έτσι λοιπόν, όταν σε κείμενα γίνεται χρήση του συμβόλου , για να

ορίσουμε του σύνολο των φυσικών αριθμών χωρίς το μηδέν, αντίθετα

χρησιμοποιούμε τα σύμβολα ή για ορίσουμε το σύνολο των

φυσικών αριθμών που περιέχει και το 0 (μηδέν).

1

Αντίθετα όταν γίνεται χρήση του συμβόλου , για τον ορισμό του

συνόλου των φυσικών αριθμών με το 0 (μηδέν), χρησιμοποιούμε τα σύμβολα

, , , ή για να ορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών

που δεν περιλαμβάνει το 0 (μηδέν).

Είναι χαρακτηριστικό να αναφέρουμε ότι για αιώνες οι μόνοι γνωστοί

αριθμοί ήταν οι φυσικοί χωρίς το 0 μηδέν. Στην Ευρώπη η χρήση του

μηδενός ξεκίνησε από τον 13ο αιώνα.[εκκρεμεί παραπομπή] Επίσης, λόγω των

ιδιαιτέρων ιδιοτήτων του μηδενός στην πράξη του πολλαπλασιασμού, δεν

συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και αποφεύγεται η

χρήση του στο πεδίο της θεωρίας των αριθμών. Αντίθετα, στα επιστημονικά

πεδία της μαθηματικής λογικής, της θεωρίας συνόλων και της πληροφορικής

είναι επιθυμητή η χρήση του 0 (μηδέν) για λόγους απλούστευσης. Τέλος είναι

χαρακτηριστικό το γεγονός πως σύμφωνα με τον γερμανικό κανονισμό DIN-

Norm 5473 ο αριθμός 0 (μηδέν) συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των

φυσικών αριθμών. Τέλος καλό είναι να ορίζεται το σύνολο των φυσικών

αριθμών κάθε φορά ανάλογα με τις ανάγκες του κάθε μαθηματικού μοντέλου.

Αξιώματα Πεάνο

Ακολουθεί η περιγραφή του συνόλου των φυσικών αριθμών με βάση

τα αξιώματα του Πεάνο (Giuseppe Peano) έτσι όπως δημοσιεύτηκαν το 1889.

Στην πραγματικότητα ο Πεάνο υιοθέτησε τα αξιώματα του Ντέντεκιντ (Richard

Dedekind) ο οποίος το 1888 εξέδωσε την πραγματεία του "Was sind und was

sollen die Zahlen?" και τους έδωσε μια καθαρά λογική-μαθηματική μορφή

κάνοντας χρήση συμβόλων. Είναι πιο ορθό να μιλάμε λοιπόν για τα αξιώματα

Πεάνο-Ντέντεκιντ.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και ο Πεάνο έκανε κάποιες παραδοχές.

Μια από αυτές είναι ότι δεν ορίζει το μηδέν στο σύνολο των φυσικών

αριθμών. Ξεκινάει τον ορισμό των φυσικών αριθμών από το 1. Αργότερα

αποδείχθηκε ότι ισχύουν τα αξιώματα αυτά και για το 0.

Θα πρέπει να τονίσουμε ότι μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του

συνόλου των φυσικών αριθμών είναι η ύπαρξη ενός στοιχείου έναρξης

αλλά και η ύπαρξη ενός επόμενου στοιχείου που ακολουθεί αυτό. Πρόκειται

1

για την αρχή της καλής διάταξης, η οποία είναι άμεσα συνυφασμένη με τη

Μαθηματική επαγωγή ή τέλεια επαγωγή.

Παραδοσιακά, οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται σύμφωνα με τα αξιώματα

του Πεάνο (Peano) ως εξής:

1. To 0 είναι φυσικός αριθμός.

2. Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.

3. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο)

το 0.

4. Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n,m έχουν διαφορετικούς

επόμενους αριθμούς n',m'.

5. Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό

από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους

φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή).

-Τα αξιώματα Πεάνο περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν

αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.

-Το τελευταίο αξίωμα καλείται επαγωγικό αξιώμα και αποτελεί το

θεμέλιο της Μαθηματικής επαγωγής.

Στα παραπάνω αξιώματα γίνεται χρήση των όρων: αριθμός, επόμενο

στοιχείο και μηδέν.

Ο Μπέρτραντ Ράσελ (Bertrand Russell) παρατήρησε ότι τα παραπάνω

αξιώματα δεν ισχύουν μόνο για τους φυσικούς αριθμούς αλλά και για

οποιοδήποτε άλλο απαριθμήσιμο σύστημα αριθμών ή σύνολο.

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να αναπαραστήσουμε τα αξιώματα Πεάνο.

Ένα δημοφιλές, όπου εισάγονται έννοιες της θεωρίας συνόλων είναι και το

παρακάτω, το οποίο έρχεται σε αρμονία με την υπόθεση του Ράσελ,

επιτρέποντάς μας να κάνουμε πράξεις με σύνολα.

1.

2.

1

3.

4.

5.

Με βάση τα παραπάνω, ορίζονται στο σύνολο η πρόσθεση και ο

πολλαπλασιασμός.

Για την πρόσθεση

1.

2.

Για τον πολλαπλασιασμό

1.

2.

Με βάση το 5ο αξίωμα (αξίωμα της επαγωγής), ορίζεται πλήρως η

πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αν θέσουμε αντί για το 0 (μηδέν) το 1 (ένα) προκύπτει .

Τέλος τα παραπάνω αξιώματα αποτελούν τα θεμέλια της αριθμητικής

Πεάνο.

Συνολοθεωρητική προσέγγιση

Ο Πεάνο, μολονότι περιέγραψε τις ιδιότητες των φυσικών αριθμών,

δεν θεώρησε αναγκαίο να αποδείξει και την υπαρξή τους. Αντίθετα ο Τζον φον

Νόιμαν (John von Neumann), αντικατέστησε τους φυσικούς αριθμούς με

σύνολα. Έτσι συνέταξε το παρακάτω μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στην

θεωρία συνόλων. Ξεκίνησε με την παραδοχή ενός κενού συνόλου και το

ονόμασε 0.

Έτσι έχουμε:

1

Όπου όπως έχουμε αναφέρει παραπάνω το "0" είναι ένα κενό σύνολο

, ενώ το "1" ένα σύνολο που εμπεριέχει το κενό σύνολο "0". Το επόμενο

σύνολο "2" εμπεριέχει το προηγούμενο σύνολο "1" το περιεχόμενο του οποίου

είναι το κενό σύνολο "0" κ.τ.λ.

Μολονότι η ύπαρξη μεμονωμένων φυσικών αριθμών αποδεικνύεται

στη θεωρία συνόλων σχετικά εύκολα, για την απόδειξη της ύπαρξης του

συνόλου όλων των φυσικών αριθμών απαιτούνται τα αξιώματα της θεωρίας

συνόλων των Τσερμέλο-Φρένκελ (Zermelo-Fraenkel, ZF).

Συναρτησιακή προσέγγιση

Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus Logico-Philosophicus (1921) έγραφε "Ο

αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης", δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό

νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων

στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο

Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του

λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά

Τσερτς (Church numerals) ως εξής:

Έτσι, το αριθμιακό , δηλαδή ο φυσικός αριθμός n, εκφράζεται μέσα

από τις n διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f σε ένα όρισμα x. Μια απλή και

εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών

αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 και της συνάρτησης διαδοχής S:

Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της

συνάρτησης διαδοχής S στο μηδέν, n διαδοχικές φορές:

1

Ακέραιος αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους

τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:

συμβολίζεται με το γράμμα , αρχικό της λέξης Zahlen που στα

γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Το σύνολο ορίζεται επίσης ως εξής:

.

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι

άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν).

Αλγεβρικές Ιδιότητες

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την

πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο

ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και

προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο

πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστοφος ενός ακεραίου

ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το

μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

σύνολο

κλειστό ως προς

τις πράξεις

1

αντιμεταθετι

κή ιδιότητα

προσεταιρι

στική ιδιότητα

ουδέτερο

στοιχείο

δεν υπάρχειαντίθετο

στοιχείο

επιμεριστικ

ή ιδιότητα

Διάταξη

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

... < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < ...

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή

Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς

αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και

ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

1

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ορίζει τους φυσικούς

αριθμούς . Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a,b) τη συμβολίζουμε με

[(a,b)] ή a − b. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ

τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός (a,b) είναι θετικός, όταν a > b, αρνητικός όταν

a < b και 0 όταν a = b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής

(n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της

αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα

με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την

αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους:

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

Πληθάριθμος

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν), όπως και

το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης

και επί συνάρτησης , σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των

φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοιχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των

ακεραίων:

Ρητός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

1

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που

μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και

παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Συμβολίζεται με . Το σύνολο των

ρητών περιγράφεται από το σύνολο:

και ισοδύναμα από το:

Όλοι οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρους

διαφορετικούς τρόπους ως πηλίκα δύο ακεραίων μ/ν όπου το ν δεν είναι ίσο

με μηδέν. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος γραφής κάθε ρητού

στην μορφή μ/ν με ν φυσικό, όπου ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, μκδ(μ, ν) των

μ και ν είναι η μονάδα η οποία είναι και η πιο απλή μορφή του.

Η δεκαδική αναπαράσταση κάθε ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Το σύνολο των ρητών είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των πραγματικών

αριθμών, υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Οι

αριθμοί αυτοί ονομάζονται άρρητοι. Επιπλέον το σύνολο των ακεραίων και

κατά συνέπεια και το σύνολο των φυσικών, είναι υποσύνολο αυτού των ρητών

αφού κάθε ακέραιος α γράφεται στη μορφή α/1 που είναι ρητός.

Αριθμητική

Δύο ρητοί αριθμοί και λέμε ότι είναι ίσοι και γράφουμε αν και

μόνο αν αδ = βγ

Γενικά οι ρητοί αριθμοί όπως και οι ακεραίοι έχουν την αντιμεταθετική

και την προσεταιριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και τον

πολλαπλασιασμό και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως

προς την πρόσθεση.

Η πρόσθεση δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

1

Ο πολλαπλασιασμός δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

Ιδιότητες

Αλγεβρικές ιδιότητες

• Το σύνολο των ρητών αριθμών αποτελεί ένα διατεταγμένο

σώμα. Είναι το μικρότερο σώμα με χαρακτηριστική 0 και για το λόγο αυτό είναι

πρώτο σώμα.

Απαρίθμηση των ρητών αριθμών

• Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Υπάρχει

δηλαδή μια ένα προς ένα συνάρτηση από το στο σύνολο των φυσικών

αριθμών . Ο πληθάριθμος του συνόλου των ρητών αριθμών επομένως είναι

(άλεφ-μηδέν), όπως και του συνόλου των φυσικών.

Τοπολογικές ιδιότητες

• Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι πυκνό στο σύνολο των

πραγματικών. Με αυτό εννοούμε ότι μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών

μπορεί να βρεθεί πάντα ένας ρητός και κατά συνέπεια μεταξύ δύο

πραγματικών αριθμών μπορούν να βρεθούν άπειροι σε πλήθος ρητοί αριθμοί.

1

• Επίσης είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι και μεταξύ δύο

οποιονδήποτε ρητών αριθμών μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον ένας άλλος

ρητός αριθμός και κατά συνέπεια άπειροι σε πλήθος ρητοί.

Θεωρητική Κατασκευή

Κάθε γραμμή του διαγράμματος (χωρίς το 0) αντιστοιχεί σε μια κλάση

ισοδυναμίας

Οι ρητοί αριθμοί κατασκευάζονται από κλάσεις ισοδυναμίας

διατεταγμένων ζεύγων ακεραίων (μ, ν) με ν διάφορο του μηδενός. Θεωρούμε

τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:

Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε αυτές των κλασμάτων (βλ.

Αριθμητική).

Ως σχέση ισοδύναμίας ορίζουμε

που αντιστοιχεί στην ισοδυναμία κλασμάτων (π.χ. 1/2=2/4 αφού

1.4=2.2).

Το σύνολο είναι σύμφωνα με τα παραπάνω ισοδύναμο με το σύνολο

πηλίκο

1

Πραγματικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, οι πραγματικοί αριθμοί γίνονται αντιληπτοί

διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε ένα προς ένα

αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται ευθεία των

πραγματικών αριθμών ή πραγματικός άξονας. Ο όρος "πραγματικός αριθμός"

πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς

αριθμούς", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους μιγαδικούς.

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της πραγματικής

ανάλυσης. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται

ως εξής:

Άν για τον αριθμό L ισχύει , όπου an μια ρητή προσέγγιση

του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει

ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε μια

δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό π~3,14.

Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε ρητούς αριθμούς (που

μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και

παρονομαστή) και σε άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφραστούν

επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα

συνεχές.

Κάθε "φυσικό μέγεθος" που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως

με έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

συμβολίζεται με .

Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών

Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο το

οποίο ικανοποιά τα παρακάτω τρία αξιώματα:

• Το σύνολο αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:

o Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and

x(yz) = (xy)z.

1

o Για όλα τα x και y στο , x + y = y + x και xy = yx.

o Για όλα τα x, y, και z στο , ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).

o Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 =

x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.

o Για όλα τα x στο , υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε

x + (−x) = 0 = (-x) + x.

o Για όλα τα x ≠ 0 στο , υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο

ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.

• Το σώμα είναι διατεταγμένο. Αναλυτικά για x, y, και z στο

o ισχύει ακριβώς μια από τις: x<y, x=y, x>y (τριχοτομία)

o αν x<y τότε x+z<y+z

o αν x>0 και y>0 τότε xy>0.

• Το διατεταγμένο σώμα είναι πλήρες: Κάθε μη κένό άνω

φραγμένο υποσύνολό του έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (suprimum).

Ισοδύναμα μπορούμε να ορίσουμε την πληρότητα με τον ορισμό

στους μετρικούς χώρους, δηλαδή κάθε ακολουθία Κωσύ συγλίνει.

Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία

αξιώματα είναι ισομορφικά, κάτι που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο

ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το

σύνολο των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την Αρχή

της πληρότητας ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν

σώματα.

Κατασκευή

Για την κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούμε ως

αφετερία το σύνολο των ρητών αριθμών . Ζητούμε ένα σύνολο που είναι

διατεταγμένο σώμα όπως το και επιπλέον ικανοποιεί το αξίωμα της

πληρότητας. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους.

• Τομές Dedekind:

1

Οι τομές Dedekind είναι άνω φραγμένα ανοιχτά υποσύνολα του . Για

κάθε ρητό αριθμό θεωρουμε την τομή Dedekind

. To κατασκευάζεται από το σύνολο των τομών Dedekind.

• Ακολουθίες Κωσύ

Θεωρούμε τις ακολουθίες Κωσύ στον και ορίζουμε την ακόλουθη

σχέση ισοδυναμίας: Δύο ακολουθίες Κωσύ (αν) και (βν) είναι ισοδύναμες ανν η

διαφορά τους τείνει στο μηδέν, δηλαδή ανν για κάθε ρητό ε>0 υπάρχει

φυσικός Ν, τέτοιος ώστε |αν - βν|<ε για κάθε ν>Ν. To κατασκευάζεται από το

σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια

ευθεία, της οποίας κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό

αριθμό. Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι

από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται.

Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί

σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε

σημείο δεξιά απ'αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό. Αν x=0,

τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς

πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν

στους θετικούς.

Το σύνολο είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο

αριθμούς , τότε θα ισχύει μία από τις τρεις παρακάτω σχέσεις:

.

Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία α

και β πάνω του, τότε ή το α είναι αριστερά του β ή το α θα συμπέσει με το β ή

το α θα είναι δεξιά του β. Η πρόταση αυτή ακούγεται προφανής.

1

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν

έχει κενά. Αντίστοιχα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό

που πάντα μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή απόσταση κι αν

έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.

Πληθάριθμος

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο. Σε

αντίθεση δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς δεν μπορούμε να

απαριθμίσουμε όλους τους πραγματικούς. Ο πληθάριθμος του συμβολίζεται

με τον πληθάριθμο του συνεχούς . Σύμφωνα με την υπόθεση του συνεχούς

του Καντόρ, ότι δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεταξύ αυτου των

φυσικών και αυτού των πραγματικών αριθμών, ο πληθάριθμος του συνεχούς

είναι ίσος με (άλεφ-ένα).

Τοπολογικές ιδιότητες

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την ευκλείδεια μετρική

αποτελούν μετρικό χώρο. Η συνήθης τοπολογία προκύπτει από ανοιχτα

διαστήματα της μορφής .

O δεν είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Υπάρχει ανοιχτή κάλυψη του

για την οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη. Π.χ.

θεωρούμε τα σύνολα Un = (n − 1,n + 1). Η ένωσή τους είναι μια

κάλυψη του . Δεν υπάρχει όμως πεπερασμένος αριθμός των Un που

μπορούν να καλυψουν τον . Ο είναι όμως τοπικά συμπαγής, για κάθε

πραγματικό αριθμό υπάρχει περιοχή του, της οποίας η κλειστή θήκη είναι

συμπαγής.

O είναι συναφής χώρος, αφού δε μπορεί να διαιρεθεί σε δυο ανοιχτά

ξένα μεταξύ τους σύνολα.

1

Μιγαδικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου

των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται

φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα:

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα

α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και

φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3

και φανταστικό μέρος 2.

Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,της

αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους

πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι

το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.

Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμούς με τους πραγματικούς είναι

η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο

τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους

μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο

μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή

μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη

λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών

προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.

Ιστορικό

Οι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό

Τζερόλαμο Καρντάνο, ο οποίος τους αποκαλούσε φανταστικούς, στην

προσπάθεια του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις. Η διαδικασία

επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι

1

μπορεί να περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κι

όταν η ρίζα είναι πραγματικός αριθμός. Το γεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο

θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που δείχνει ότι στους μιγαδικούς

αριθμούς είναι πάντοτε δυνατόν να βρεθούν λύσεις σε πολυωνυμικές

εξισώσεις.

Ορισμοί

Συμβολισμοί και πράξεις

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως ως C, ή

και ορίζεται ως εξής:

Το σύνολο των μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς

αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως ένας

μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος: α = α + 0i.

Αν το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μηδέν, τότε

αυτός ο μιγαδικός ταυτίζεται με τον πραγματικό αριθμό α.

Το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού z= a + bi συμβολίζεται με Re(z)

ενώ το φανταστικό μέρος με Im(z), δηλαδή ισχύει:

• Re(z)=a

• Im(z)=b

Δύο μιγαδικοί αριθμοί, z1=x1+iy1 και z2=x2+iy2, είναι ίσοι μεταξύ τους αν

και μόνο αν τα πραγματικά τους μέρη και τα φανταστικά τους μέρη είναι

μεταξύ τους ίσα. Δηλαδή, αν x1=x2 και y1=y2.

Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται με βάση τους γνωστούς

κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμού και επιμερισμού, της άλγεβρας:

• (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

• (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

• (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

1

Πιο αυστηρα, οι μιγαδικοί αρίθμοί ορίζονται ως το σώμα

με και

προσθετική πράξη

πολλαπλασιαστική πράξη

όπου + και η κοινή πρόσθεση και ο κοινός πολλαπλασιασμός των

πραγματικών.

Αποδεικνύεται εύκολα οτι το υποσύνολο του

={(a,0):a }

είναι υπόσωμα του και είναι ισόμορφο με το . Με βάση αυτό,

πολλές φορές συμβολίζουμε το (a,0) με a, έτσι π.χ. συμβολίζουμε το (3,0) με

3, το (5/11,0) με 5/11.

Το στοιχείο το συμβολίζουμε i και το ονομάζουμε

φανταστική μονάδα.

Το αυστηρά ορισμένο αυτό σώμα έχει ολες τις ιδιότητες που

προαναφέρθηκαν για τους μιγαδικούς και αποφεύγει την 'αντιδιαισθητική'

αναφορά στην ρίζα του -1. Για το σώμα αυτό ισχύει

όπου όμως το -1 δεν είναι ο πραγματικός -1 αλλά ο εναλλακτικός

συμβολισμός του μιγαδικού (-1,0), κι έτσι δεν δημιουργήται πρόβλημα, οι

μιγαδικοί δηλαδή δεν είναι μια αυθαίρετη επικληση στην ύπαρξη ριζών

αρνητικών πραγματικών, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σώμα του οποίου

τουλάχιστον ένα υπόσωμα είναι ισόμορφο με τους πραγματικούς.

Μιγαδικό επίπεδο

1

Ένας μιγαδικός z=a+bi παριστάνεται και με το διάνυσμα με αρχή το

κέντρο των αξόνων και πέρας το σημείο (a,b).

Κάθε μιγαδικός αριθμός z=a+bi μπορεί να αντιστοιχισθεί σε ένα σημείο

Μ(a,b) ενός διδιάστατου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Κάθε

τέτοιο σημείο Μ λέγεται εικόνα του αντίστοιχου μιγαδικού αριθμού z και

συμβολίζεται με M(z) ή M(a,b). Σε αυτή την περίπτωση, το καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων λέγεται μιγαδικό επίπεδο (ή διάγραμμα Argand).

Λόγω της παραπάνω αντιστοίχισης μιγαδικού με σημείο, κάθε

μιγαδικός αριθμός z μπορεί να αναπαρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο με το

διάνυσμα , που έχει αρχή το κέντρο Ο των αξόνων και τέλος το σημείο

Μ(a,b).

Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως το μέτρο του διανύσματος

ή, ισοδύναμα, ως η απόσταση του Μ από το κέντρο Ο του μιγαδικού

επιπέδου:

Συζυγής μιγαδικός

Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z = a + ib ορίζεται ως a - ib, και

συμβολίζεται ή . Γεωμετρικά, ο αποτελεί τον κατοπτρισμό του z ως προς

τον άξονα των πραγματικών (σχήμα). Για ένα μιγαδικό αριθμό z, τον συζυγή

και το μέτρο του ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

•

1

•

•

•

•

• αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός

• αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός

•

• για z μη μηδενικό.

Τριγωνομετρική μορφή

•

• Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, ένας

μιγαδικός μπορεί να γραφεί και με πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Οι

πολικές συντεταγμένες ενός μιγαδικού z είναι το ζευγάρι (r,φ), όπου r =

|z|, είναι το μέτρο του μιγαδικού και φ = arg(z), το πρωτεύον όρισμα του

z.

• Όρισμα ενός μιγαδικού z είναι κάθε μία από τις γωνίες

που σχηματίζει ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας R με το αντίστοιχο

διάνυσμα του z. Πρωτεύον όρισμα είναι η γωνία εκείνη που βρίσκεται

1

στο διάστημα [0, 2π], και συμβολίζεται με Arg(z). Οπότε κάθε άλλο

όρισμα του z, διαφέρει κατά 2kπ από το Arg(z), όπου k ακέραιος.

• Ισχύει ότι:

•

• όπου:

•

• και το όρισμα φ προσδιορίζεται με προσθετέο 2kπ,

δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του

2π είναι ισοδύναμα.

Εκθετική μορφή

• Χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα του Όιλερ, η

τριγωνομετρική μορφή μετατρέπεται σε

•

• που λέγεται εκθετική μορφή.

• Με βάση την εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών,

μπορούν να οριστoύν ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεσή τους ως εξής:

•

• και

•

• Κατά αυτό τον τρόπο, η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται

με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ ο πολλαπλασιασμός μπορεί να

θεωρηθεί ως μία στροφή (και ομοιοθεσία, δηλ. επιμήκυνση ή

σμίκρυνση) διανύσματος. Ο πολλαπλασιασμός με τον φανταστικό

αριθμό i αντιστοιχεί σε μία στροφή 90 μοιρών (με φορά αντίθετη των

δεικτών του ρολογιού). Η γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης

i2 = −1, που ορίζει τον φανταστικό αριθμό, είναι πως δύο διαδοχικές

στροφές 90 μοιρών ταυτίζονται με μία στροφή 180 μοιρών.

1

Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας

Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-

Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά.

Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν

τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.

Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι:

Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, βαθμού μεγαλύτερου της μονάδας

και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των

μιγαδικών αριθμών.

Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της

άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι

αλγεβρικά κλειστό.

Ιστορική αναδρομή

Η πρώτη αναφορά στην ουσία του θεωρήματος έγινε από τον Peter

Rothe (Petrus Roth) στο βιβλίο του Arithmetica Philosophica (1608), όπου

σημείωνε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n (με πραγματικούς

συντελεστές) μπορεί να έχει n λύσεις. Έπειτα, ο Albert Girard, στο βιβλίο του

L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική

εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να

είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η πρώτη απόπειρα απόδειξης του θεωρήματος έγινε από το Γάλλο

μαθηματικό και φιλόσοφο Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ το 1746, αλλά η απόδειξη

του ήταν ατελής. Για παράδειγμα, προαπαιτούσε την ισχύ ενός θεωρήματος

(που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Puiseux), το οποίο όμως

αποδείχτηκε μόλις έναν αιώνα μετά και μάλιστα η απόδειξη του βασιζόταν στο

θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας.

Προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος έγιναν και από άλλους

μαθηματικούς, όπως οι Όιλερ (1749), Λαγκράνζ (1772), και Λαπλάς (1795).

Όλες αυτές οι προσπάθειες βασιζόντουσαν ουσιαστικά στον ισχυρισμό του

Girard. Για την ακρίβεια, δεχόντουσαν την ύπαρξη αυτών των λύσεων οπότε

1

προσπαθούσαν να αποδείξουν ότι οι λύσεις είχαν τη μορφή a + bi για

κάποιους πραγματικούς a και b.

Στα τέλη του 18ου αιώνα εμφανίστηκαν δύο νέες και καλύτερες

απόπειρες απόδειξης του θεωρήματος. Η πρώτη ήταν του James Wood,

δημοσιεύθηκε το 1798 και ήταν κυρίως αλγεβρική, αλλά αγνοήθηκε εντελώς

μια και είχε κενά. Αντίθετα, πιο γνωστή έγινε η δεύτερη απόπειρα απόδειξης,

που ήταν γεωμετρική και δημοσιεύθηκε ένα χρόνο αργότερα, το 1799, από το

Γερμανό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss. Και πάλι, όμως, η απόδειξη δεν

ήταν πλήρης.

Αποδείξεις

Η πρώτη αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος δημοσιεύθηκε από τον

Ελβετό μαθηματικό Ζαν-Ρομπέρ Αργκάν το 1806. Σε αυτήν την απόδειξη, και

για πρώτη φορά, το θεμελιώδες θεώρημα εκφραζόταν για πολυώνυμα με

μιγαδικούς συντελεστές, αντί για πραγματικούς.

Αργότερα, ο Γκάους δημοσίευσε δύο νέες αποδείξεις, το 1816, καθώς

και μία νέα εκδοχή της αρχικής του απόδειξης, το 1849.

υποσύνολα φυσικών

Άρτιοι και περιττοί αριθμοί

Κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να είναι είτε άρτιος είτε περιττός

σύμφωνα με τον πάρακάτω κανόνα: αν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του δύο

τότε είναι άρτιος, διαφορετικά είναι περιττός. Για παράδειγμα οι αριθμοί −2, 0,

8 είναι άρτιοι ενώ οι −3, 1, 21 είναι περιττοί.

Οι άρτιοι καλούνται επίσης ζυγοί και οι περιττοί καλούνται μονοί και

συχνά εννοούμε μόνο τους φυσικούς αριθμούς (δεν περιλαμβάνονται

αρνητικοί).

• Κάθε άρτιος αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 2ν όπου ν∈

• Κάθε περιττός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 2ν+1

όπου ν∈

1

Ιδιότητες

Πρόσθεση και αφαίρεση

• άρτιος ± άρτιος = άρτιος

2ν+2κ=2(ν+κ)=2λ που είναι αρτιος

• άρτιος ± περιττός = περιττός

2ν+(2κ+1)=2(ν+κ)+1=2λ+1 που είναι περιττός

• περιττός ± περιττός = άρτιος

(2ν+1)+(2κ+1)=2(ν+κ)+2=2λ+2=2(λ+1)=2μ που είναι άρτιος

Πολλαπλασιασμός

• άρτιος * άρτιος = άρτιος

• άρτιος * περιττός = άρτιος

• περιττός * περιττός = περιττός

Διαίρεση

Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών δεν είναι

αναγκαστικά ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα το πηλίκο της διαίρεσης του 1

με το 2 είναι το κλάσμα 1/2 που δεν είναι ούτε άρτιος ούτε περιττός αφού

αρτιοί ή περιττοί μπορούν να είναι μόνο οι ακεραίοι. Αν όμως το πηλίκο της

διαίρεσης δύο ακεραίων είναι ακέραιος τότε αυτός είναι άρτιος αν και μόνο αν

ο διαρεταίος έχει περισσότερους παράγοντες του δύο από τον διαιρέτη.

Πρώτος αριθμός

Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός

αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες

του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.

Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Το μηδέν συχνά δεν

θεωρείται ούτε φυσικός.

Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,

67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

1

Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι

άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών

και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Διάσημες και

άλυτες εικασίες, όπως η Εικασία του Ρίμαν και η Εικασία του Γκόλντμπαχ

εμπλέκουν ή αφορούν πρώτους αριθμούς.

Σχέση φυσικών με πρώτους

Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής βεβαιώνει ότι κάθε θετικός

ακέραιος γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων με μοναδικό τρόπο. Για

παράδειγμα:

Πλήθος πρώτων

Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος. Η πρόταση αυτή έχει

αποδειχτεί με διάφορους τρόπους. Η πρώτη γνωστή απόδειξη είναι του

Ευκλείδη:

Έστω ότι οι πρώτοι έχουν πεπερασμένο πλήθος n και είναι οι

p1,p2,p3,...,pn. Ορίζουμε τον ακέραιο

αυτός ο αριθμός δεν διαιρείται με κανένα πρώτο και αυτό είναι άτοπο

ΟΕΔ.

Εύρεση πρώτων

1

Κόσκινο του Ερατοσθένη

Η εύρεση των πρώτων αριθμών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους

μαθηματικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για

(μαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη:

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών - πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν -

αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2 μετά τα

πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ. έως το Ν.

Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προς διαγραφή.

Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι. Το κόσκινο του Ερατοσθένη

είναι ένας αργός αλγόριθμος για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός Ν είναι

πρώτος ή όχι, διότι μεταξύ άλλων απαιτεί ουσιαστικά και την εύρεση όλων

των πρώτων μικρότερων ίσων του (αν ένας αριθμός Ν δεν έχει διαιρέτες

μικρότερους ίσους του , τότε είναι πρώτος).

Αλγόριθμοι εύρεσης πρώτων

Παρατίθενται μερικοί αλγόριθμοι (κατά σειρά ταχύτητας ή και

απλότητας) για την εύρεση αν ο Ν>=2 είναι πρώτος. Η σειρά επίσης αυτών

των αλγορίθμων είναι παιδευτική για την εισαγωγή σε μια σειρά από

προγράμματα για ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

Απλός 1 - από τον ορισμό του πρώτου αριθμού

• Εξετάζουμε διαδοχικά όλους τους ακέραιους Μ < Ν

• Μόλις βρεθεί διαιρέτης του Ν σταματάμε και ο Ν δεν είναι

πρώτος

• Αν εξαντληθούν οι Μ χωρίς να βρεθεί διαιρέτης, τότε ο Ν είναι

πρώτος

Απλός 2

Βασιζόμενοι στην παρατήρηση ότι κανένας αριθμός 'Ν' δεν έχει

διαιρέτη μεγαλύτερο του 'Ν'/2, τροποποιούμε τον παραπάνω αλγόριθμο

εξετάζοντας όλους τους αριθμούς 'Μ' < 'Ν'/2.

1

Απλός 3

Παρατηρούμε ότι αν ένας αριθμός Ν δεν είναι πρώτος τότε έχει

(τουλάχιστον) δύο διαιρέτες μεγαλύτερους από 1. Σε αυτήν την περίπτωση

τουλάχιστον ένας διαιρέτης είναι μικρότερος από την τετραγωνική ρίζα του

αριθμού. Τροποποιούμε τον αλγόριθμο 2 εξετάζοντας όλους τους αριθμούς Μ

που είναι μικρότεροι από την τετραγωνική ρίζα του N, αν η τελευταία δεν είναι

ακέραιος. Αλλιώς ο αριθμός δεν είναι πρώτος, επειδή τον διαιρεί και η

τετραγωνική του ρίζα.

Απλός 4

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Ουίλσον μπορούμε να εξετάσουμε, αν

ένας αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό ο Ν είναι

πρώτος ανν ισχύει

αν δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν-1 παραγοντικό με το Ν,

είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσης του -1 με το N.

Η μέθοδος αυτή δεν εφαρμόζεται για μεγάλο Ν, αφού είναι δύσκολο να

υπολογιστεί το παραγοντικό.

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός

Μέχρι τον Σεπτέμβριο του 2010, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος

αριθμός είναι ο:

243.112.609 − 1.

Η ανακάλυψη του έγινε στις 23 Αυγούστου 2008, μέσω του

διαδικτυακού προγράμματος κατανεμημένης επεξεργασίας GIMPS (Great

Internet Mersenne Prime Search)[1]. Ο αριθμός αυτός έχει 12.978.189 ψηφία

(ο πρώτος πρώτος με πάνω από 10 εκατομμύρια ψηφία) και έχει την

πρόσθετη ιδιότητα να είναι ο 45ος Μερσέν πρώτος (Mersenne prime) που

ανακαλύφθηκε. Ο 46ος Μερσέν πρώτος, ο 237.156.667 − 1, ανακαλύφθηκε δύο

βδομάδες αργότερα -- είναι πρώτος, αλλά μικρότερος.

Στο πρόσφατο παρελθόν, όλοι οι πρώτοι που ανακαλύφθηκαν ήταν

Μερσέν πρώτοι. [2]

1

Ιδιότητες πρώτων

• Αν ο p είναι πρώτος και διαιρεί το γινόμενο ab γιά κάποιους

ακέραιους a, b τότε ο p διαιρεί το a ή το b. (Ευκλείδης)

• Αν p πρώτος και a ακέραιος, τότε το ap − a διαιρείται από το p

(Μικρό Θεώρημα του Φερμά).

• Ένας ακέραιος p > 1 είναι πρώτος αν και μόνο αν p - 1

παραγοντικό + 1 δηλ. το (p − 1)! + 1 διαιρείται από το p (Θεώρημα του

Ουίλσον).

• Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα, εκτός του 2 και

του 5, έχουν ως τελευταίο ψηφίο ένα από τα 1, 3, 7 ή 9, διότι οι αριθμοί που

τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8 είναι πολλαπλάσια του 2 ενώ οι αριθμοί που

τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5.

Ανοικτά ερωτήματα

Ένα από τα ανοιχτά ερωτήματα της σύγχρονης θεωρίας αριθμών είναι

το πρόβλημα της παραγοντοποίησης μεγάλων ακεραίων, δηλαδή της εύρεσης

αλγορίθμου παραγοντοποίησης σε πολυωνυμικό χρόνο. Στην "σκιά" αυτού

του προβλήματος αναπτύχθηκε η κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και

ειδικότερα του κρυπτοσυστήματος RSA.

Οι εικασίες του Γκόλντμπαχ

Είναι πολύ γνωστή η πρώτη εικασία που διατύπωσε ο Κρίστιαν

Γκόλντμπαχ 1690-1764, η οποία σχετίζεται με τους πρώτους αριθμούς. Ο

Γκόλντμπαχ υποστήριξε οτι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί

να γραφεί σαν άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Η απόδειξη της παραπάνω

εικασίας ταλανίζει ακόμα και σήμερα τους μαθηματικούς, καθώς παράλληλα οι

υπολογιστές επιβεβαιώνουν την εικασία για όλο και μεγαλύτερους αριθμούς.

Το 1998, η εικασία επιβεβαιώθηκε για αριθμούς μέχρις και της τάξης του 1014

Η δεύτερη εικασία του Γκόλντμπαχ έγκειται στο ότι κάθε περιττός

αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Και αυτή

η εικασία παραμένει αναπόδειχτη, αν και επιβεβαιώνεται από ηλεκτρονικούς

υπολογιστές. Τυχόν απόδειξη της πρώτης εικασίας του Γκόλντμπαχ θα

αποδείκνυε αμέσως και τη δεύτερη εικασία.

1

Πρώτος Μερσέν

Στα μαθηματικά πρώτος Μερσέν ονομάζεται ένας πρώτος αριθμός

της μορφής 2p − 1. Ο νιοστός πρώτος αυτής της μορφής συμβολίζεται με Mν.

Οι αριθμοί αυτοι ονομάστηκαν έτσι προς τιμή του γάλλου θεολόγου και

μαθηματικού Μαρέν Μερσέν.

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος είναι ο M45 = 243.112.609 − 1 και βρέθηκε

στις 23 Αυγούστου 2008 μέσω του διαδικτυακού προγράμματος

κατανεμημένης επεξεργασίας GIMPS (Great Internet Mersenne Prime

Search)[1].

Τέλειος αριθμός

Τέλειος λέγεται ένας ακέραιος αριθμός όταν το άθροισμα των θετικών

διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλ. ο n είναι τέλειoς

αν και μόνο αν σ(n) = 2n.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Oι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2,

3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6). Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι

οι 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και

ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.

Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33550336 και ακολουθούν οι

8589869056, 137438691328, 2305843008139952128,

2658455991569831744654692615953842176,

191561942608236107294793378084303638130997321548169216.

Άρτιοι τέλειοι αριθμοί

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί

παράγονται από τον τύπο 2n−1(2n − 1):

Για n = 2: 21(22 − 1) = 6

Για n = 3: 22(23 − 1) = 28

Για n = 5: 24(25 − 1) = 496

Για n = 7: 26(27 − 1) = 8128

1

Παρατηρώντας ότι τα n στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο

Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2n−1(2n − 1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν

το 2n − 1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους

τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν

λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο 2n − 1 είναι πρώτος, τότε ο n είναι

πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της

μορφής 2n − 1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (Mersenne), από το

όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε

πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο

τύπος 2n−1(2n − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το

αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι

γνωστοί 44 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 44 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο

μεγαλύτερος από αυτούς - ο 44ος - αποτελείται από 19.616.714 ψηφία. Δεν

είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS

ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

Περιττοί τέλειοι αριθμοί

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν

ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει

στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός

τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να

ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

• N είναι της μορφής

όπου q, p1, …, pk είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod

4) (Όιλερ).

1

• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και

ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).

• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους

είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)

• Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από

108 (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).

• Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι

μεγαλύτερος από 104 , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος

από 100 (Iannucci 1999, 2000).

• Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του,

υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2ek επαναλήψεις του pk χωριστά (Kevin Hare

2005).

• Ο N είναι μικρότερος από όπου n είναι ο αριθμός των

διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν)

(Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10500 σύμφωνα με τους

υπoλογισμούς του [1].

υποσύνολα πραγματικών

Άρρητος αριθμός

Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι

δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών (μ/ν,

όπου μ και ν είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί), σε αντίθεση με τους ρητούς

αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων.

Παραδείγματα άρρητων αριθμών είναι το π ή το e και η τετραγωνική

ρίζα του 2 ( ).

Οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι δεν είναι

ρητοί. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων

περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων.

1

Ιστορικό

Η πρώτη ένδειξη για τη γνώση των άρρητων αριθμών ξεκινά από τον

Ίππασο[1], έναν Πυθαγόρειο που πιθανόν να τους ανακάλυψε όπως

προσπαθούσε να αναγνωρίσει τις πλευρές του πενταγράμμου [2]. Οι

Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να

εκφραστεί ως λόγος δυο φυσικών αριθμών. Στην πεποίθηση αυτή είχαν

στηρίξει όλη τη κοσμοθεωρία τους και προσπαθούσαν να επιλύσουν

προβλήματα απο τον πραγματικό κόσμο. Η πρώτη κρίση στα Μαθηματικά

εμφανιστηκε όταν, σύμφωνα με την παραδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος

(450 π.Χ.) αποκάλυψε τον άρρητο.

θεωρία συνόλων

Πληθάριθμος

Στα Μαθηματικά ο πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός είναι το πλήθος

των στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα, ο πληθάριθμος του συνόλου

Α={2.92, 6.28, -1.35} είναι 3, ενώ το σύνολο Β={5, 10, 15, 20, 25} έχει

πληθάριθμο 5. Ο πληθάριθμος μπορεί να ανήκει στο σύνολο των φυσικών, ή

στο σύνολο των πληθικών αριθμών που είναι υπερσυνολο των φυσικών. Ο

πληθάριθμος του συνόλου Α συμβολίζεται με cardΑ (<(Αγγλικά) cardinality

που σημαίνει πληθάριθμος).

Σύγκριση πληθάριθμων

Έστω δύο σύνολα Α, Β. Η σύγκριση δύο συνόλων μπορεί να αφορά

απειροσύνολα, για αυτό το λόγο οι έννοιες της σύγκρισης ορίζονται εκ νέου.

Τα Α, Β λέγονται ισοδύναμα ή ότι έχουν ίσους πληθάριθμους όταν

υπάρχει συνάρτηση ένα προς ένα από το Α επί του Β. Τότε ισχύει

cardA=cardΒ, ενώ η ισοδυναμία συμβολίζεται με Α~Β. Αν δύο σύνολα δεν

1

είναι ισοδύναμα, αυτό συμβολίζεται με . Τη διαδικασία

αυτής της αντιστοίχισης χρησιμοποιούμε ουσιαστικά κάθε φορά που μετράμε

τα στοιχεία ενός συνόλου, αφού σε κάθε στοιχείο αντιστοιχούμε έναν αριθμό

τον οποίο λέμε ή έχουμε στο μυαλό μας.

Αν τα δύο σύνολα δεν είναι ισοδύναμα, τότε το ένα θεωρητικά είναι

ισοδύναμο με γνήσιο υποσύνολο του άλλου. Αν υπάρχει συνάρτηση ένα προς

ένα από το Α στο Β, τότε αυτό συμβολίζεται με . Αν

επιπλέον ισχύει , τότε αυτό συμβολίζεται με cardA < cardB.

Η διαφορά των δύο παραπάνω περιπτώσεων βρίσκεται στη φράση επί

του Β. Αυτή η φράση δηλώνει ότι ισχύει και η αντίστροφη περίπτωση, δηλαδή

ότι υπάρχει συνάρτηση ένα προς ένα από το Β επί του Α. Στη δεύτερη

περίπτωση αυτό δεν ισχύει απαραίτητα.

Για τη σύγκριση πληθάριθων ισχύουν όλες οι ιδιότητες της σύγκρισης.

Αριθμήσιμο σύνολο

Ένα σύνολο Α λέγεται αριθμήσιμο όταν είναι πεπερασμένο ή

ισοδύναμο του συνόλου των φυσικών αριθμών, δηλαδή όταν .

Παρά τη διαισθησή μας, ο πληθάριθμος των αρτίων φυσικών, των περιττών

φυσικών, των πρώτων αριθμών και των ρητών είναι επίσης , όχι όμως και

των πραγματικών. Διαισθητικά ένα αριθμίσιμο σύνολο μπορούμε να το

φαντασούμε ως ένα σύνολο στο οποίο αν αρχίσουμε να μετράμε τα στοιχεία

του μπορούμε κάποια στιγμή θα μετρήσουμε οποιοδήποτε στοιχείο του.

Για κάθε άπειρο συνόλο Α αποδεικνύεται ή γίνεται δεκτό αξιωματικά ότι

.

Υπεραριθμήσιμο σύνολο

Υπεραριθμήσιμο σύνολο ονομάζεται το σύνολο το οποίο δεν είναι

αριθμήσιμο. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει και το Α είναι

αναγκαστικά άπειρο σύνολο. Το διάστημα [0,10) είναι υπεραριθμίσιμο, όπως

και το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι πληθάριθμοι αριθμίσιμων

συνόλων είναι οι υπεραριθμίσιμοι αριθμοί.

κατά βάση αρίθμησης

1

Τριαδικό σύστημα αρίθμησης

Το τριαδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση

τον αριθμό 3.

Αν και το τριαδικό συχνότερα αναφέρεται σε ένα σύστημα στο οποίο τα

τρία ψηφία, 0, 1, και 2, είναι όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, το επίθετο

δανείζει επίσης τ' όνομά του στο ισορροπημένο τριαδικό σύστημα, που

χρησιμοποιείται στη λογική σύγκρισης και τους τριαδικούς υπολογιστές.

Πίνακας σύγκρισης

Τριαδι

κός1 2

1

0

1

1

1

2

2

0

2

1

2

2

1

00

1

01

1

02

1

10

1

11

1

12

1

20

Δυαδι

κός1

1

0

1

1

1

00

1

01

1

10

1

11

1

000

1

001

1

010

1

011

1

100

1

101

1

110

1

111

Δεκαδ

ικός1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

Δεκαε

ξαδικός1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης

Το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα θεσιακό σύστημα

αναπαράστασης αριθμών. Έχει ως βάση του τον αριθμό 16. Αυτό σημαίνει

ότι, σε μια σειρά ψηφίων, κάθε ψηφίο έχει αξία 16 φορές μεγαλύτερη από

εκείνο που βρίσκεται αμέσως δεξιά του. Δηλαδή, οι θέσεις των ψηφίων στο

δεκαεξαδικό σύστημα δηλώνουν μονάδες, 16άδες, άδες

κ.ο.κ., σε αναλογία με το δεκαδικό σύστημα, όπου οι θέσεις δηλώνουν

δυνάμεις του δέκα (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες...)

Για την αναπαράστασή του, το δεκαεξαδικό σύστημα έχει ανάγκη 16

ψηφίων. Για τα πρώτα δέκα, χρησιμοποιούνται τα ψηφία 0 - 9 της αραβικής

αναπαράστασης του δεκαδικού συστήματος. Για να αναπαρασταθούν οι αξίες

από το 10 έως και το 15, δανειζόμαστε τα πρώτα 6 κεφαλαία γράμματα του

λατινικού αλφαβήτου: A, B, C, D, E και F.

1

Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός (79)10 (79, βάση 10)

απεικονίζεται στο δεκαεξαδικό σαν (4F)16 (4F, βάση 16), δηλαδή:

Χρήση

Η αρχική χρήση του ήταν στους υπολογιστές, μιας και είναι εύκολη η

μεταφορά ενός αριθμού από το δυαδικό, δηλαδή την γλώσσα μηχανής. Η

μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού στο δεκαεξαδικό σύστημα είναι εύκολη

υπόθεση αρκεί να σκεφτούμε ότι κάθε δεκαεξαδικός αριθμός αποτελείται από

έναν 4ψήφιο δυαδικό πχ το 7 = 0111 και το F = 1111 (βλέπε πίνακα).

Οι εντολές στους αρχικούς υπολογιστές γράφονταν σαν δεκαεξαδικοί

αριθμοί και η γλώσσα μηχανής είναι βασισμένη σε αυτούς. Παράδειγμα η

εντολή επανέλαβε (loop) είναι 039A.

Ο πίνακας ASCII είναι ένας πίνακας που αποτελείται από δυο 16δικούς

αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τα Αγγλικά στοιχεία και όχι μόνο.

Παράδειγμα στο μέρος της διεύθυνσης στον φυλλομετρητή σας

μπορείτε να δείτε την αντιπροσώπευση των Ελληνικών. Η λέξη

Δεκαεξαδικό_σύστημα μεταφράζεται σαν %CE%94%CE%B5%CE%BA%CE

%B1%CE%B5%CE%BE%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C_

%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1

Η πιο κοινή μετάφραση είναι του κενού (%20) που δεν επιτρέπεται σαν

ονομασία (URL).

Το δεκαεξαδικό σύστημα παρουσιάζει ειδικό ενδιαφέρον, γιατί υπάρχει

μια 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα σε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο και σε κάθε μία από

τις ομάδες 4 ψηφίων του δυαδικού συστήματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός

ότι το 16 είναι δύναμη του 2, 24 = 16. Εύκολα προκύπτει από αυτό ότι

υπάρχουν 16 δυνατοί συνδυασμοί 4 ψηφίων, το καθένα από τα οποία μπορεί

να είναι είτε "0" είτε "1", δηλ. τα ψηφία του δυαδικού συστήματος. Κάθε ένας

από αυτούς τους συνδυασμούς αντιστοιχεί στο δεκαεξαδικό ψηφίο που

παριστάνει την αριθμητική αξία του, ως εξής:

Λόγω της αντιστοιχίας αυτής, το δεκαεξαδικό σύστημα, όπως και το

οκταδικό, παίζουν σπουδαίο ρόλο στον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών

1

υπολογιστών. Η κύρια χρησιμότητά τους είναι να συμπτύσσουν ομάδες από

bits (κάθε bit αναπαριστά ένα δυαδικό ψηφίο). Για παράδειγμα, δύο

δεκαεξαδικά ψηφία μπορούν να κωδικοποιήσουν μια ψηφιολέξη (byte), δηλ.

μια σειρά από 8 bits.

κατά σύστημα αρίθμησης

Ινδικό σύστημα αρίθμησης

Το παραδοσιακό ινδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται σήμερα

στην Ινδία, το Πακιστάν, το Μπαγκλαντές, την Μυανμάρ (Μπούρμα) και

βασίζεται σε ομαδοποίηση εκατοντάδων αντί για χιλιάδων στο σύστημα

αρίθμησης που χρησιμοποιείται στο δυτικό κόσμο και δέκα χιλιάδων που

χρησιμοποιείται στην Κίνα και την Ιαπωνία. Σήμερα, στην Ινδία

χρησιμοποιούνται συχνά οι όροι κρόρε (krore) και λάκχ (lakh).

Ελληνικό σύστημα αρίθμησης

Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς,

κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να κάνουνε πολύπλοκους υπολογισμούς

με απόλυτη ακρίβεια. Τα ψηφία 1, 2, 3, ... μου συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν

είχαν ανακαλυφτεί, αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν οι μεταγενέστεροι Άραβες.

Παρόλα αυτά, ο Αρχιμήδης κατόρθωσε με γεωμετρικούς, αλλά και

αριθμητικούς υπολογισμούς να εκτιμήσει τον αριθμό των κόκκων άμμου της

Γης, πράγμα αφάνταστο για την εποχή του, αφού οι τότε επιστήμονες

αρκούνταν να πιστεύουν ότι οι κόκκοι της άμμου είναι «αμέτρητοι». Το έργο

του αυτό, με τον τίτλο Ψαμμίτης είναι ορόσημο της μαθηματικής επιστήμης.

1

Πολλαπλασιασμός από χειρόγραφο του Ευτόχιου. Αριστερά: αρχαίο

Ελληνικό σύστημα, Δεξιά: σημερινή γραφή.

Ακέραιοι αριθμοί

Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφαν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 999

με γράμματα του αλφαβήτου και με την βοήθεια σημείων στίξεως, τα οποία

ήταν

• «΄» η κεραία επάνω και μετά από το γράμμα,

• «,» η ανάποδη κεραία κάτω και πριν από το γράμμα,

• «.» η τελεία μεταξύ των γραμμάτων

• «¨» τα διαλυτικά επάνω από το γράμμα.

Χρησιμοποιούνται και κεφαλαία, προ πάντων για δυναστικά ονόματα

και κεφάλαια βιβλίων.

Σε ελληνικά νομίσματα της εποχής του 19ου- αρχών 20ου αιώνα, αντί

για το σύμβολο (´), έχει χρησιμοποιηθεί και το θαυμαστικό, π.χ. Α!

Έτσι έχουμε

• α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ ΄ ζ΄ η΄ θ΄ τους αριθμούς 1 2 3 4 5 6 7 8 9ϛ

αντίστοιχα

• ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ ΄ τους αριθμούς 10 20 30 ... 90 αντίστοιχαϟ

• ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ ΄ τους αριθμούς 100 200 300 ... 900ϡ

αντίστοιχα

Το ´Ϝ χρησιμοποιείτο ως έξι στην αρχαιότητα. Αντικαταστάθηκε από το

στίγμα σταδιακά, αφού είχε πάψει πρώτα να χρησιμοποιείται ως γράμμα. Τις

τελευταίες δεκαετίες το στίγμα εξαφανίστηκε από τον γραπτό λόγο για

πρακτικούς κυρίως λόγους και τη θέση του πήρε το ΣΤ΄.

Ξεκινώντας από αυτό το σύστημα γραφής, οι πιο σύνθετοι αριθμοί

γράφονταν ως σειρά γραμμάτων, έτσι ώστε το άθροισμα να μας δίνει τον

συγκεκριμένο αριθμό. Τα γράμματα γράφονταν και διαβάζονταν από τα

αριστερά προς τα δεξιά.

Παραδείγματα

1

• Ο αριθμός 153 γραφόταν «ρνγ΄» ή «ρνγ».

• Ο αριθμός 780 γραφόταν «ψπ΄» ή «ψπ».

• Ο αριθμός 306 γραφόταν «τ ΄».ϛ

Οι χιλιάδες (1000, 2000, κλπ) εκφραζόντουσαν με τα ίδια γράμματα

όπως οι εννιά μικροί αριθμοί, είχαν όμως για διακριτικό τον τόνο εμπρός και

κάτω του γράμματος.

Παραδείγματα

• Το «,δ΄» σήμαινε 4.000, ενώ

• το 1823 γραφόταν «,αωκγ΄», και

• το «,αζ΄» σήμαινε 1.007.

Συνοπτικά

Για τους αριθμούς 1-9999 χρησιμοποιούνταν τα εξής γράμματα:

Μυριάδες

Για τους αριθμούς μεγαλύτερους του 9.999 χρησιμοποιούταν ο όρος

μυριάς ή μυριάδες, το οποίο υποδηλώνονταν με το γράμμα «Μ» ή την

συντόμευση «Μυ», το οποίο προηγείτο του αριθμού, και είχε τα γράμματα

από πάνω. Ο Διόφαντος χρησιμοποιούσε για απλούστευση την τελεία,

χρησιμοποιώντας τα ίδια γράμματα, και μάλιστα με τρόπο πολύ ανάλογο του

σημερινού δεκαδικού συστήματος.

Παράδειγμα

• Ο Διόφαντος έγραφε τον αριθμό 3.069.000 ως «τ .θ» και τονϛ

αριθμό 331.776 ως «λγ.,αψο »ϛ

Μερικές φορές συναντάμε δύο τελείες πάνω από έναν αριθμό που

συμβολίζει την λέξη «μυριάδες». Π.χ. ¨ρ είναι 100 μυριάδες. Διπλά διαλυτικά,

το ένα πάνω στο άλλο και πάνω από το γράμμα σημαίνουν δέκα μυριάδες

μυριάδες, δηλαδή ένα δισεκατομμύριο (1.000.000.000).

1

Κλάσματα

Τα κλάσματα γράφονταν ως ζεύγος αριθμών. Πρώτα γραφόταν ο

αριθμητής και μετά ακολουθούσε ο παρονομαστής, ο οποίος διακρινόταν από

διπλή κεραία.

Παραδείγματα

• το «ένα τρίτο» γραφόταν ως γ΄΄, ενώ ο αριθμητής στην

περίπτωση αυτή παραλειπόταν.

• τα δύο πέμπτα γράφονταν ως «β΄ ε΄΄».

Αρμενικό σύστημα αρίθμησης

Το Αρμενικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα ιστορικό αριθμητικό

σύστημα που δημιουργήθηκε χρησιμοποιώντας τα κεφαλαία γράμματα του

Αρμενικού αλφαβήτου.

Δεν υπήρχε σύμβολο για το μηδέν στο παλιό σύστημα, και οι

αριθμητικές αξίες των γραμμάτων προστίθενται για να εξαχθεί ο τελικός

αριθμός. Οι αρχές που διέπουν αυτό το σύστημα είναι οι ίδιες με του

ελληνικού συστήματος αρίθμησης και του Εβραϊκού συστήματος αρίθμησης.

Στη σύγχρονη Αρμενία χρησιμοποιούνται οι γνωστοί αραβικοί αριθμοί. Οι

Αρμενικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται βασικά όπως οι Ρωμαϊκοί αριθμοί. Για

παράδειγμα, Գարեգին Բ. σημαίνει Garegin II και Գ. գլուխ σημαίνει

Κεφάλαιο III.

Επειδή μερικοί browsers δεν υποστηρίζουν χαρακτήρες του

Αρμενικού αλφαβήτου, δίνεται και η μεταγραφή σε Λατινικό αλφάβητο.

Σημειώνεται πως τα τελευταία δυο γράμματα του Αρμενικού

αλφαβήτου, τα "o" (Օ) και "fe" (Ֆ) προστέθηκαν στο αλφάβητο μετά την

έναρξη της χρήσης των αραβικών αριθμών, για να διευκολύνουν τη

μεταγραφή λέξεων από άλλες γλώσσες. Έτσι, δεν τους αποδόθηκε κάποια

αριθμητική αξία.

Αλγόριθμος

Οι αριθμοί στο Αρμενικό αριθμητικό σύστημα προκύπτουν με απλή

πρόσθεση των αξιών των ψηφίων. Οι αριθμοί γράφονται από αριστερά προς

1

τα δεξιά (όπως και οι λέξεις της Αρμενικής γλώσσας). Αν και η σειρά με την

οποία γράφονται δεν παίζει ρόλο στο αποτέλεσμα, καθώς αυτό προκύπτει με

πρόσθεση, τα ψηφία κατά σύμβαση γράφονται με φθίνουσα αριθμητική αξία.

Παραδείγματα

• = 1000 + 900 + 70 + 5 = 1975ՌՋՀԵ

• = 2000 + 200 + 20 + 2 = 2222ՍՄԻԲ

• = 2000 + 4 = 2004ՍԴ

• = 100 + 20 = 120ՃԻ

• = 50Ծ

μαθηματικές σταθερές

Αριθμός π

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί

να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη

διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ

συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός

προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει

καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν

είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης

ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του

Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.

Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος

της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του

εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση

με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π

αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα

ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το

μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι

ισοδύναμοι.

Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο

με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

1

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για

πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π

περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται

ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν

καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων

ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον

όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήση υπερυπολογιστών

σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο

ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του.

Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας

κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια

ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.

Ιδιότητες

Όταν η διάμετρος

του κύκλου είναι 1, η περιφέρειά του είναι ίση με π.

Το π είναι ένας άρρητος αριθμός· αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να

εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών, πράγμα που αποδείχθηκε το

1761 από τον Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (Johann Heinrich Lambert)..

Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός, όπως αποδείχθηκε από τον

Φέρντιναντ φον Λίντεμανν (Ferdinand von Lindemann) το 1882. Αυτό σημαίνει

ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί

ρίζα το π. Μια σημαντική συνέπεια της υπερβατικότητας του π είναι το

γεγονός ότι δεν είναι κατασκευάσιμο. Επειδή οι συντεταγμένες όλων των

σημείων που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη είναι

κατασκευάσιμοι αριθμοί, είναι αδύνατον να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, με

άλλα λόγια, είναι αδύνατον να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο

1

κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο προς το εμβαδόν

δοσμένου κύκλου.

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί...»

Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του

αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η

παρακάτω φράση,που την επινόησε ο Ν. Χατζιδάκης (1872-1942) καθηγητής

Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, με την οποία μπορεί να θυμάται

κανείς τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του π:

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση

διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον

θνητοί θα εύρωσι

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί

σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π (3,14159...)

Το ρεκόρ Γκίνες είναι 67.890 ψηφία και το κατέχει ο Lu Chao, 24-

χρονος κινέζος φοιτητής. Του πήρε 24 ώρες και 4 λεπτά για να θυμηθεί και τα

67.890 δεκαδικά ψηφία του π χωρίς λάθος.

Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό

υπολογιστή

Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό υπολογιστή

έγιναν από τους Alexander J. Yee & Shigeru Kondo στον 2 x Intel Xeon

X5680 στα 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded) - με μνήμη

96GB DDR3 χρησιμοποιώντας Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Ο

Kondo κατάφερε να υπολογίσει περί τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία που

ακολουθούν μετά το 3,14. Ο υπολογισμός των ψηφίων διήρκεσε 90 ημέρες

αρχίζοντας στις 4 Μαΐου 2010. Μάλιστα, όπως δήλωσε ο ίδιος, παρ΄ ολίγον η

όλη προσπάθεια να πάει στράφι όταν η κόρη του θέλοντας να χρησιμοποιήσει

ένα πιστολάκι για τα μαλλιά δημιούργησε βραχυκύκλωμα και έπεσε ο γενικός

διακόπτης του σπιτιού, αλλά ευτυχώς ο υπολογιστής ενεργοποίησε αυτόματα

έναν μηχανισμό διατήρησης της λειτουργίας του για λίγα λεπτά έως ότου

αποκατασταθεί το πρόβλημα.

1

Η σελίδα του Stu's μεταγλωττίζει μια λίστα από μεγάλους αριθμούς

(πάνω από 1 δισ. ή 1.073.741.824).

Το προηγούμενο ρεκόρ ανήκε σε έναν γάλλο προγραμματιστή, τον

Fabrice Βellard, που είχε καταφέρει να υπολογίσει 2,7 τρισ. δεκαδικά ψηφία

του αριθμού.

Χρυσή τομή

Η χρυσή τομή ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν

ισχύει που ισούται περίπου με 1,618. Θεωρείται ότι δίνει

αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην

αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά

την Αναγέννηση. Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (585

- 500 π.Χ.) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική

σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τομή

συμβολίζεται με το γράμμα προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο

γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής

περιόδου.

Μαθηματικός τύπος

Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο

τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον

λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο.

Από το (2)=(3) έχουμε και αντικαθιστώντας στο (1)=(3)

προκύπτει

Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, την =

1.618033988749895

1

Ιδιότητες

• Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει

σύμφωνα με την οποία μπορούμε να εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό

κλάσμα:

Το αποτελεί το όριο του πηλίκου δύο διαδοχικών αριθμών

Φιμπονάτσι.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο).

2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το

τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία

διαγώνιο (γκρι).

3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του

τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.

4. Προεκτείνουμε την πλευρα του τετραγώνου πάνω στην οποία

βρίσκεται το κέντρο του κύκλου ως τον κύκλο (μπλε).

Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του

τετραγώνου μαζί με την προέκταση εχει μήκος φ.

1

Ιστορία

Το σήμα των Πυθαγορείων μαζί με την επισήμανση του χρυσού λόγου

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους

σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους

αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της

κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής,

όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα

χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική

χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.[1]

Ο χρυσός λόγος εντοπίζεται και στη φύση. Για παράδειγμα στον

ναυτίλο, ο λόγος των ακτίνων του κάθε θαλάμου με τον προηγούμενο ισούται

με το χρυσό λόγο. Στο ανθρώπινο σώμα ο χρυσός λόγος εντοπίζεται σε

πολλές ανατομικές αναλογίες, τις οποίες παρατήρησε και κατέγραψε ο

Λεονάρντο ντα Βίντσι στον βιτρούβιο άντρα.

Αριθμός e (μαθηματικά)

O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε") είναι ένας

άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων

λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του

Ναπιέρ. Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά.

Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e. Η αξία του, με

προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Ορισμοί

Με όριο

1

Ο e είναι το όριο της ακολουθίας καθώς το n

προσεγγίζει το άπειρο.

Ο παραπάνω όρος εμφανίζεται στο πρόβλημα του αέναου

ανατοκισμού. Συγκεκριμένα είναι το μέγιστο ποσό που μπορεί να εισπράξει

κάποιος, ο οποίος καταθέτει σήμερα μία νομισματική μονάδα με επιτόκιο

100% για ένα δεδομένο (οποιοδήποτε) χρονικό διάστημα, υπό την

προϋπόθεση ότι η κατάθεση ανατοκίζεται με επιτόκιο (100/n)% σε κάθε n-

οστό κλάσμα του δεδομένου χρόνικού διαστήματος της κατάθεσης. Έτσι ο

καταθέτης θα εισέπραττε 2 νομισματικές μονάδες εάν ο τόκος 100%

αποδιδόταν μία φορά, στο τέλος του χρόνου της κατάθεσης. Εάν όμως ο

τόκος υπολογιζόταν δύο φορές (μία στη μέση και μία στο τέλος του χρόνου)

με επιτόκιο το μισό, ο καταθέτης θα εισέπραττε 2,25 μονάδες. Εάν

συνεχίζουμε να χωρίζουμε το χρονικό διάστημα της κατάθεσης σε ίσα

κομμάτια και να ανατοκίζουμε το ποσόν με το επιτόκιο που αναλογεί στο κάθε

κομμάτι, διαπιστώνουμε ότι το τελικό ποσόν δεν απειρίζεται, αλλά αρχίζει να

συγκλίνει προς έναν αριθμό. Αν πάρουμε την οριακή περίπτωση ο αριθμός

των περιόδων να τείνει στο άπειρο τότε θα εισπράξουμε e νομισματικές

μονάδες. Το πρόβλημα σε αυτή τη διάσταση μελέτησε ο Γιακόμπ Μπερνούλι

ο οποίος έδειξε ότι το ανάπτυγμα σε απειροσειρά του συγκλίνει σε

ένα αριθμό στο διάστημα (2,3), δηλαδή μεγαλύτερο του 2 και μικρότερο του 3.

Ο e, όπως και ο π, αποδεικνύεται ότι έχει άπειρα, μη

επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία. Μπορεί να υπολογισθεί με όση ακρίβεια

θέλουμε, δηλαδή με όσα δεκαδικά ψηφία χρειαζόμαστε κάθε φορά, αλλά ποτέ

με απόλυτη ακρίβεια (δηλαδή με όλα του τα δεκαδικά ψηφία). Συνεπώς, ενώ

είναι πραγματικός αριθμός, δεν είναι ούτε ακέραιος, ούτε κλάσμα, ούτε

περιοδικός, αλλά "άρρητος" (δηλαδή αριθμός που η τιμή του δεν μπορεί ποτέ

να "ρηθεί", να ειπωθεί, επειδή τα ψηφία του δεν τελειώνουν ποτέ). Ο πιο

πρόσφατος υπολογισμός του e, τον Ιούλιο του 2010, περιέχει 1 τετράκις

εκατομμύριο δεκαδικά ψηφία.

Με το άθροισμα μιας άπειρης σειράς

1

Με εμβαδό υπερβολής f(t) = 1 / t

Από τον αριθμό στη Συνάρτηση

Αν και πέρασαν πολλά χρόνια μέχρι να οριστεί η εκθετική συνάρτηση,

από την στιγμή του ορισμού της έγινε μία από τις διασημότερες (αν όχι η

διασημότερη) συνάρτηση. Η συνάρτηση έχει την εξαιρετική ιδιότητα να ισούται

με την παράγωγο της. Αυτό σημαίνει περιγράφει μεγέθη που

πολλαπλασιάζονται με σταθερό ρυθμό (ή σταθερή ένταση) κάτι το οποίο

συναντάμε σε πάρα πολλές εφαρμογές ως το πρώτο βήμα για να δομήσουμε

πιο πολύπλοκα μοντέλα.

Η συνάρτηση f(x) = ex προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της

σειράς

Μια σχέση φανταστική!

O Όυλερ κατελήξε στην παρακάτω σχέση για έναν φανταστικό αριθμό

Για να δείξει το παραπάνω αποτέλεσμα ο Όυλερ έκανε κάποια λάθη

στον χειρισμό των σειρών που ανέπτυξε αλλά το αποτέλεσμα παραμένει.

Αν θέσουμε παίρνουμε

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση του Όυλερ και είναι μία

από τις σημαντικότερες στην φιλοσοφία των Μαθηματικών. Συνδέει τους

με την μονάδα και το μηδέν, χρησιμοποιώντας πρόσθεση, πολλαπλασιασμό

και ύψωση σε δύναμη! Πέρα από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή μας έδωσε και

κάτι παραπάνω. Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο π είναι υπερβατικός,

1

δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Τέτοιος

αριθμός είναι και ο e.

Πρόταση: Για n διαφορετικούς αλγεβρικούς αριθμούς a1,a2,..,an και

επίσης αλγεβρικούς αριθμούς A1,A2,..,An όχι όλους ίσους με το μηδέν η

παράσταση

δεν ισούται με το μηδέν.(Λιντερμαν)

Η εξίσωση του Όυλερ όμως μας δίνει ένα τέτοιο αποτέλεσμα για τον αριθμό iπ

άρα και για τον π. Συνεπώς ο π είναι υπερβατικός. Αυτό έδωσε τέλος στις

προσπάθειες τετραγωνισμού του κύκλου, αφού αποδεικνύει ότι είναι

αδύνατος.

Τριγωνομετρική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις

γωνιών, δηλαδή συναρτήσεις της οποίας το όρισμα είναι γωνία. Πολλές φορές

το όρισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν είναι άμεσα αντιληπτό ως

γωνία, οπότε ονομάζεται (φάση). Είναι σημαντικές στη μελέτη τριγώνων και

την μοντελοποίηση περιοδικών φαινομένων, μεταξύ των άλλων. Οι

τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως ως λόγος των δυο πλευρών

ενός ορθογωνίου τριγώνου που περιέχει τη δεδομένη γωνία, και μπορούν

ισοδύναμα να οριστούν ως το μήκος διαφόρων ευθύγραμμων τμημάτων σε

ένα μοναδιαίο κύκλο. Νεώτεροι ορισμοί εκφράζουν τις τριγωνομετρικές

συναρτήσεις ως εκθετικές συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Επιπλέον οι

τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφρασθούν και σαν αθροίσματα

απειροσειρών που επιτρέπουν τον αριθμητικό υπολογισμό της τιμής τους.

Στη σύγχρονη τριγωνομετρία, υπάρχουν έξι βασικές τριγωνομετρικές

συναρτήσεις, που παρουσιάζονται εδώ μαζί με τις εξισώσεις που τις

συσχετίζουν μεταξύ τους. Ειδικά στην περίπτωση των τελευταίων τεσσάρων,

αυτές οι σχέσεις συχνά δίνονται ως ορισμοί των συναρτήσεων αυτών, αλλά

μπορούν να οριστούν εξίσου καλά γεωμετρικά ή με άλλα μέσα, και στη

συνέχεια να αποδειχθούν οι σχέσεις αυτές.

1

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί και τριγωνομετρία

Σχήμα 1

Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούν να

οριστούν οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαπτομένη, το

ημίτονο και το συνημίτονο. Επιπλέον μπορεί να οριστεί και η συνάρτηση

συνεφαπτομένη. Αυτές οι συναρτήσεις ορίζονται ως προς μια οξεία γωνία θ

του τριγώνου. Η θ συνήθως μετριέται σε ακτίνια ή μοίρες. Αν η γωνία δε

μετριέται σε ακτίνια, τότε η γωνία γράφεται μαζί με τις μονάδες μέτρησης.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές και μια

υποτείνουσα. Οι κάθετες είναι αυτές που σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή

γωνία, ενώ η υποτείνουσα είναι η τρίτη πλευρά που σχηματίζει οξείες γωνίες

με τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Στο Σχήμα 1, οι κάθετες είναι οι πλευρές c και

b, ενώ η υποτείνουσα είναι η a.

Με βάση μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ορίζουμε ως

προσκείμενη (κάθετη) πλευρά την πλευρά του τριγώνου που είναι ταυτόχρονα

και πλευρά της γωνίας. Επιλέον, ως απέναντι (κάθετη) πλευρά της γωνίας

ορίζουμε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. Στο συγκεκριμένο σχήμα

προσκείμενη πλευρά είναι η b, και απέναντι πλευρά η c.

Οι τρεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις μόνο

της γωνίας θ, γιατί αποδεικνύεται ότι η τιμή τους δεν εξαρτάται από το μήκος

των πλευρών, αλλά μόνο από τη γωνία θ. Το πεδίο ορισμού των

συναρτήσεων όπως ορίζονται με βάση ορθογώνιο τρίγωνο είναι από μηδέν

μέχρι π/2 ακτίνια, δηλαδή η γωνία θ πρέπαι να είναι οξεία.

Εφαπτομένη

1

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως εφαπτομένη της γωνίας θ του

τριγώνου το πηλίκο της απέναντι πλευράς διά την προσκείμενη πλευρά.

Συμβολίζεται με εφθ, στα ελληνικά ή tanθ διεθνώς. Η εφαπτομένη, όπως έχει

οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.

Ημίτονο

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο της γωνίας θ του

τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά την υποτείνουσα.

Συμβολίζεται με ημθ, στα ελληνικά ή sinθ διεθνώς. Το ημίτονο, όπως έχει

οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και

μικρότερη του ενός. Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της

υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα της

συνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο

τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες.

Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι το μισό

του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.

Συνημίτονο

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνημίτονο της γωνίας θ του

τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς διά την υποτείνουσα.

Συμβολίζεται με συνθ, στα ελληνικά ή cosθ διεθνώς. Το συνημίτονο, όπως

έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός

και μικρότερη του ενός. Η προσκείμενη πλευρά είναι πάντα μικρότερη της

υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομά του

οφείλεται στο όνομα του ημιτόνου, συνημίτονο είναι ο τριγωνομετρικός

αριθμός που συνοδεύει το ημίτονο. Γενικά κάθε τριγωνομετρικός αριθμός

συνοδεύεται από κάποιον άλλον, και το όνομά του προκύπτει από την

προσθήκη του προθέματος συν πριν από το όνομά του.

Συνεφαπτομένη

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνεφαπτομένη της γωνίας θ

του τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενης πλευράς δια την απέναντι πλευρά.

Συμβολίζεται με σφθ, στα ελληνικά ή cotθ διεθνώς. Η συνεφαπτομένη, όπως

έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.

Επιπλέον ορίζονται και οι εξής τριγωνομετρικοί αριθμοί:

1

• Τέμνουσα(sec): Το κλάσμα 1/cosθ.

• Συντέμνουσα(csc): Το κλάσμα 1/sinθ.

Παρατηρούμε ότι δεδομένου των συναρτήσεων ημίτονο και

συνημίτονο. Αν ορίσουμε έναν άλλο τριγωνομετρικό αριθμό με μία σχέση που

περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα, ο αντίστοιχος συν- τριγωνομετρικός

αριθμός προκύπτει, αν στη σχέση αντιμεταθέσουμε τα ημίτονα και τα

συνημίτονα.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει η

βασική τριγωνομετρική ταυτότητα ότι sin2x+cos2x=1.

Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους

πραγματικούς αριθμούς)

Τριγωνομετρικός κύκλος

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να γενικευθούν μέσω του

καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα

συντεταγμένων και πάνω σε αυτό μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή των

αξόνων. Θεωρούμε τη γωνία θ ως τη γωνία του θετικού ημιάξονα x'x και της

θέσης που θα λάβει ο θετικός ημιάξονας x'x, αν περιστραφεί κατά τη θετική

φορά, για να διαγράψει γωνία θ. Ως θετική φορά θεωρείται η φορά κατά την

οποία η μεταβλητή πλευρά αρχίζει την πορεία της στο πρώτο τεταρτημόριο,

δηλαδή κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η μεταβλητή

πλευρά της γωνίας τέμνει το μοναδιαίο κύκλο σε ένα σημείο. Έστω οι

συντεταγμένες του χ, ψ. Το τόξο που αντιστοιχεί στη γωνία προφανώς είναι

του ίδιου μεγέθους με τη γωνία. Επειδή ο κύκλος είναι μοναδιαίος, δηλαδή

έχει ακτίνα ίση με τη μονάδα, το μήκος του τόξου ισούται με το μέτρο της

γωνίας (σε ακτίνια).

Τότε μπορούμε να ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς,

ώστε σαν πεδίο ορισμού να δέχονται οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό,

δηλαδή η γωνία θ δεν είναι ανάγκη πλέον να είναι οξεία, μπορεί να είναι

οποιαδήποτε. Αν η γωνία θ είναι μεγαλύτερη από μία πλήρη γωνία, τότε η

μεταβλητή πλευρά εκτελεί μια πλήρη περιστροφή και συνεχίζει. Αν η γωνία θ

είναι αρνητική, τότε η περιστροφή θεωρείται κατά την αρνητική φορά. Με

αυτήν τη γενίκευση οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ως ανεξάρτητη

1

μεταβλητή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και όχι υποχρεωτικά γωνία. Γι'

αυτό η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ονομάζεται

φάση.

Ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ορίζουμε ως ημίτονο την τεταγμένη ψ του σημείου και ως συνημίτονο

την τετμημένη χ. Έτσι, οι συναρτήσεις αυτές πλέον μπορούν να λάβουν

οποιαδήποτε τιμή μεταξύ του ένα και του πλην ένα.

Για τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε τη

σχέση τους με το ημίτονο και το συνημίτονο. Έτσι:

• tanθ=sinθ/cosθ

• cotθ=cosθ/sinθ

• secθ=1/cosθ

• cscθ=1/sinθ

•

Γεωμετρική ερμηνεία των τριγωνομετρικών αριθμών

Γεωμετρικά στο καρτεσιανό επίπεδο αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν σε

ευθύγραμμα τμήματα, ενώ η τιμή τους είναι ίση με το μήκος τους (κατά

απόλυτη τιμή). Πιο συγκεκριμένα:

• Το ημίτονο ισούται με το απόστημα στον άξονα x'x.

• Το συνημίτονο ισούται με το απόστημα στον άξονα y'y.

1

• Η εφαπτομένη ισούται με την τεταγμένη της τομής της

μεταβλητής πλευράς με τον άξονα των εφαπτομένων. Ο άξονας αυτός

προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα y'y κατά μία μονάδα στον άξονα x'x.

Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο (1,0).

• Η συνεφαπτομένη ισούται με την τετμημένη της τομής της

μεταβλητής πλευράς με τον άξονα των συνεφαπτομένων. Ο άξονας αυτός

προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα x'x κατά μία μονάδα στον άξονα y'y.

Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο (0,1).

Θεωρούμε την εφαπτομένη ευθεία στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο

τομής του κύκλου με τη μεταβλητή πλευρά. Τότε αυτή έχει σημείο τομής με

τον άξονα x'x (άξονας των συνημιτόνων) και τον άξονα y'y (άξονας των

ημιτόνων).

• Η τέμνουσα ισούται με την τετμημένη του σημείου τομής με τον

άξονα των συνημιτόνων.

• Η συντέμνουσα ισούται με την τεταγμένη του σημείου τομής με

τον άξονα των ημιτόνων.

Θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο, που προκύπτει από τη γωνία θ,

και το κάθετο στον άξονα x'x ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο τομής της

μεταβλητής πλευράς με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αν η γωνία θ είναι

οξεία, με βάση του ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου στο

ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι ημθ=ψ/1=ψ και συνθ=χ/1=χ. Έτσι, αποδείχθηκε

ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί που ορίστηκαν με βάση τον τριγωνομετρικό

κύκλο είναι γενίκευση των τριγωνομετρικών αριθμών που ορίστηκαν με βάση

το ορθογώνιο τρίγωνο.

Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι πραγματικές συναρτήσεις

πραγματικής μεταβλητής. Η φάση είναι πραγματικός αριθμός, αντιστοιχίζεται

πρώτα στην αντίστοιχη γωνία με μέτρο την ανεξάρτητη μεταβλητή σε ακτίνια

και έπειτα στον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό. Για παράδειγμα

1

sin5=sin(5rad). Από τη μελέτη τους ως συναρτήσεις προκύπτουν τα

παρακάτω:

Ημίτονο

Κύριο άρθρο: ημίτονο

Η δημιουργία της γραφικής παράστασης του ημιτόνου. Χρησιμοποιείται

ο ακόμη πιο γενικευμένος ορισμός με το μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.

Η γραφική παράσταση του ημιτόνου.

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ημίτονο είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα,

ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (sinx)'=cosx. Σε

διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό)

η συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [0,π/2], γνήσια

φθίνουσα και κοίλη στο [π/2,π], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [π,3π/2],

γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή 1 στο

π/2, ελάχιστο την τιμή -1 στο 3π/2 και δύο σημεία καμπής, ένα στο 0 και ένα

στο π.

Συνημίτονο

1

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνημίτονο είναι οι πραγματικοί

αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα

προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (cosx)'=-

sinx. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [0,2π) ως

αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνημίτονο είναι γνήσια φθινουσα και κοίλη

στο [0,π/2], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [π/2,π], γνήσια αύξουσα και κυρτή

στο [π,3π/2], γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει μέγιστο

την τιμή 1 στο 0, ελάχιστο την τιμή -1 στο π και δύο σημεία καμπής, ένα στο

π/2 και ένα στο 3π/2.

Εφαπτομένη

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφαπτομένη είναι οι πραγματικοί

αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο,

δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ +π/2, όπου κ ακέραιος αριθμός.

Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση

δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη

με (tanx)'=1/cos2x=sec2x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα

(-π/2,π/2) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση εφαπτομένη είναι γνήσια

αύξουσα και κοίλη στο (-π/2,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2).

Παρουσιάζει σημείο καμπής στο μηδέν και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις

ευθείες y=-π/2, y=π/2.

Γεωμετρικά, όταν η φάση είναι μηδέν, η γωνία θ είναι μηδενική, τότε

προφανώς και η εφαπτομένη της θ θα είναι μηδενική, αφού η υποτείνουσα

του τριγώνου θα είναι παράλληλη στον άξονα x, δηλαδή θα έχει μηδενική

κλίση και η απέναντι κάθετη πλευρά θα είναι κι αυτή μηδενική, δηλαδή Δy=0.

Η εφαπτομένη της γωνίας θ απειρίζεται όταν θ=90ο, αφού σ'αυτήν την

περίπτωση, η απόσταση Δy είναι άπειρη και η κλίση της υποτείνουσας είναι

κάθετη προς τον άξονα x.

1

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της εφαπτομένης φαίνεται

παρακάτω. (προσοχή η γωνία μετριέται σε μοίρες!)

Συνεφαπτομένη

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη είναι οι πραγματικοί

αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή

των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι

το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς

ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη με

(cotx)'=1/sin2x=csc2x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (0,π)

ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι γνήσια φθίνουσα

και κυρτή στο (0,π/2], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2,π). Παρουσιάζει

σημείο καμπής στο π/2 και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=0, y=π.

Τέμνουσα

Γραφική παράσταση της τέμνουσας

1

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί,

εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή των

αριθμών της μορφής x=κπ+π/2, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι

το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ

η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι

παραγωγίσιμη με (secx)'=sinx/cos2x=tanx/cosx. Σε διάστημα μιας περιόδου

(θεωρείται το διάστημα (-π/2,π/2)U(π/2,3π/2) ως αντιπροσωπευτικό) η

συνάρτηση τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (-π/2,0], γνήσια

αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2), γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (π/2,π], γνήσια

φθίνουσα και κοίλη στο [π,3π/2). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο

0, τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο π και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες

y=π/2, y=3π/2.

Συντέμνουσα

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συντέμνουσα είναι οι πραγματικοί

αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή

των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι

το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ

η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι

παραγωγίσιμη με (cscx)'=-cosx/sin2x=-cotx/sinx. Σε διάστημα μιας περιόδου

(θεωρείται το διάστημα (0,π)U(π,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση

τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (0,π/2], γνήσια αύξουσα και

κυρτή στο [π/2,π), γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (π,3π/2], γνήσια φθίνουσα

και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο π/2,

τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο 3π/2 και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες

y=0, y=π.

Αρμονική συνάρτηση

1

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι οι ίδιες συναρτήσεις, η μία

είναι αποτέλεσμα της μετατόπισης της άλλης.

Παρατηρήθηκε ότι ισχύει cosx=sin(x+π/2). Επιπλέον, στη

μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως η απλή αρμονική

ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφής sin(x+α), όπου α μπορεί να

είναι οποιαδήποτε γωνία (σε ακτίνια). Έτσι, μπορεί να οριστεί μια

τριγωνομετρική συνάρτηση, η αρμονική συνάρτηση, η οποία είναι της

παραμετρικής μορφής sin(x+α). Ουσιαστικά η αρμονική συνάρτηση είναι η

συνάρτηση ημίτονο μετατομπισμένη στον άξονα x'x κατά -α μονάδες.

Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα,

ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με

(sin(x+α))'=sin(x+α+π/2), δηλαδή η παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης

είναι αρμονική συνάρτηση. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα

[-α,2π-α) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα

και κοίλη στο [-α,π/2-α], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2-α,π-α], γνήσια

φθίνουσα και κυρτή στο [π-α,3π/2-α], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2-

α,2π-α). Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή 1 στο π/2-α, ελάχιστο την τιμή -1 στο

3π/2-α και δύο σημεία καμπής, ένα στο -α και ένα στο π-α.

Η αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες

της. Επιπλέον έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις

κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα μέγιστα και τα ελάχιστά της.

Με βάση τον ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οι

συναρτήσεις sinx, cosx, -sinx, -cosx, είναι περιπτώσεις της αρμονικής

συνάρτησης. Επιπλέον, η αρμονική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως

cos(x+α). Ανεξάρτητα ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί ως

βάση για τον ορισμό της το νόημα είναι ότι οι συναρτήσεις ημίτονο και

συνημίτονο, όπως και άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικές

μορφές της ίδιας συνάρτησης.

1

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Για κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση ορίζεται αντίστοιχη αντίστροφη

τριγωνομετρική συνάρτηση. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις,

ορίζονται με βάση τμήμα του πεδίου ορισμού των τριγωνομετρικών, στο

οποίο αυτές είναι ένα προς ένα. Προφανώς αυτό το τμήμα είναι τμήμα

περιόδου. Για παράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο είναι ένα προς ένα στο [-

π/2,π/2], και με βάση αυτό ορίζεται η αντίστροφη της. Ονομάζονται και τόξο

της τριγωνομετρικής συνάρτησης που αντιστοιχούν, γιατί αντιστοιχούν το

δοσμένο τριγωνομετρικό αριθμό σε αντίστοιχη γωνία, άρα και στο μήκος του

αντίστοιχου τόξου του μοναδιαίου κύκλου. Η γωνία στην οποία αντιστοιχούν οι

αντίστροφες πάντα εντός μιας πλήρης περιστροφής. Συνήθως οι αντίστροφες

τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε θετικές γωνίες, εκτός αν

προκύπτει ασυνεχής η αντίστροφη συνάρτηση, ή δεν είναι δυνατό να οριστεί

πλήρως η αντίστροφη, οπότε αντιστοιχούν και σε αρνητικές γωνίες.

Αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου

Γραφική παράσταση του τόξου ημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση ημίτονο στο [-π/2,π/2], όπου είναι ένα προς

ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο ημιτόνου και συμβολίζεται με

arc sin x.

Πεδίο ορισμού του τόξου ημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών είναι το

σύνολο [-π/2,π/2], ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι

1

παραγωγίσιμη με .Η συνάρτηση τόξο ημιτόνου

είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-1,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,1].

Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή π/2 στο 1, ελάχιστο την τιμή -π/2 στο -1 και

σημείο καμπής στο 0.

Αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση συνημίτονο στο [0,π], όπου είναι ένα προς

ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο συνημιτόνου και συμβολίζεται

με arc cos x.

Πεδίο ορισμού του τόξου συνημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών

είναι το σύνολο [0,π], ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη.

Είναι παραγωγίσιμη με . Η συνάρτηση τόξο

συνημιτόνου είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [-1,0], γνήσια φθίνουσα και

κοίλη στο [0,1]. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή π στο -1, ελάχιστο την τιμή 0

στο 1 και σημείο καμπής στο 0.

Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ορισμός υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ορίζονται με βάση την εκθετική συνάρτηση ex. Ουσιαστικά είναι η

περιττή και άρτια συνάρτηση των οποίων το άθροισμα ισούται με τη

συνάρτηση ex. Ορίζεται:

• Υπερβολικό ημίτονο

• Υπερβολικό συνημίτονο

• Υπερβολική εφαπτομένη

1

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

• Υπερβολική τέμνουσα

• υπερβολική συντέμνουσα

Σύγκριση υπερβολικών (τριγωνομετρικών) συναρτήσεων και

(κυκλικών) τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σύγκριση κυκλικών και υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Προσέξτε ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το εμβαδόν του

γραμμοσκιασμένου χωρίου.

Παρατηρούμε ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν άμεση σχέση

με τις κωνικές τομές. Πιο συγκεκριμένα οι απλές ή κυκλικές τριγωνομετρικές

συναρτήσεις αντιστοιχούν σε κύκλο (και κατ' επέκταση σε έλλειψη), ενώ οι

υπερβολικές συναρτήσεις στην ισοσκελή υπερβολή (και κατ' επέκταση στις

υπερβολές). Αυτό γίνεται αντιληπτό από τις βασικές σχέσεις που συνδέουν τα

ημίτονα και τα συνημίτονα:

1

• cos2x+sin2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα και τα συνημίτονα στις

απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο (cos2x,sin2x) ανήκει σε κύκλο

ακτίνας 1. Είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

• cosh2x-sinh2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα και συνημίτονα στις

υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο (cosh2x,sinh2x) ανήκει

στο δεξιό κλάδο ισοσκελούς υπερβολής.

Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ένα μοναδιαίο

κύκλο και μια ισοσκελής υπερβολή με εξισώσεις x2+y2=1 και x2-y2=1

αντίστοιχα. Θεωρούμε και έναν μεταβλητό ημιάξονα Οz. Έστω το εμβαδόν

που περικλείεται από τον ημιάξονα, τον άξονα x'x και το μοναδιαίο κύκλο Εc,

και το σημείο τομής του ημιάξονα με τον κύκλο Μc. Έστω, επίσης, το εμβαδόν

που περικλείεται από τον ημιάξονα, τον άξονα x'x και την υπερβολή Eh και το

σημείο Μh. Αποδεικνύεται ότι όταν το εμβαδόν Ε έιναι θ/2, τότε το σημείο Μ

έχει συντεταγμένες (συνημίτονο,ημίτονο). Δηλαδή η ανεξάρτητη μεταβλητή

των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι το εμβαδόν (για την ακρίβεια είναι

ολοκλήρωμα).

Όμως στις κυκλικες τριγωνομετρικές συναρτήσεις οι ορισμοί βασίζονται

στη γωνία και όχι το εμβαδόν. Το φαινομενικό παράδοξο λύνεται από τον

τύπο Ε=θ/2, που δίνει το εμβαδόν κυκλικού τομέα συναρτήσει της γωνίας θ

(μετρημένη σε ακτίνια.

Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους μιγαδικούς

αριθμούς)

Η γενίκευση αυτή δε μπορεί να γίνει άμεσα, επειδή δεν υπάρχουν

(αντιληπτές) μιγαδικές γωνίες ή εμβαδά. Αρχικά, αποδείχθηκαν ποιες σειρές

Taylor αντιστοιχούν στο ημίτονο, το συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονο και το

υπερβολικό συνημίτονο. Επαναθεωρώντας τους ορισμούς του ημιτόνου και

του συνημιτόνου, μπορούμε να τα ορίσουμε ως σειρές Taylor, δηλαδή ως

πολυώνυμα άπειρων όρων. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως

ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό. Επίσης, αποδείχθηκαν

με βάση αυτές τις σειρές και οι εξής σχέσεις:

1

Η δημιουργία της γραφικής παράστασης του ημιτόνου. Χρησιμοποιείται

ο ακόμη πιο γενικευμένος ορισμός με το μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.

• eix=cosx+isinx

• eiπ+1=0

• sinx=(eix-e-ix)/2i

• cosx==(eix+e-ix)/2

Στην περίπτωση της πρώτης εξίσωσης, αν θεωρήσουμε την

ανεξάρτητη μεταβλητή στον πραγματικό άξονα και την εξαρτημένη στο

μιγαδικό επίπεδο, τότε η τρισδιάστατη γραφική παράσταση είναι έλικας.