Μιγαδικοί Αριθμοί · ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ § 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ...

Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Στοιχεία Θεωρίας

Μεθοδολογίες

Λυμένα Παραδείγματα

Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 2421302598

Κεφ. 1ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ

§ 1.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού ........................................................................................................ 3

§ 1.2 Πράξεις στο Σύνολο των Μιγαδικών Αριθμών ............................................................................. 3

Μεθοδολογία – Λυμένα Παραδείγματα ......................................................................................................... 5

Μεθοδολογία 1. Ασκήσεις Κατανόησης ................................................................................................................. 5

Μεθοδολογία 2. Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών .................................................................................................... 5

Μεθοδολογία 3. Πραγματικός – Φανταστικός – Μηδέν ................................................................................... 6

Μεθοδολογία 4. Επίλυση Συστήματος ................................................................................................................... 7

Μεθοδολογία 5. Εύρεση Τετραγωνικής Ρίζας ...................................................................................................... 8

Μεθοδολογία 6. Δυνάμεις Μιγαδικών .................................................................................................................... 9

Μεθοδολογία 7. Συνευθειακά Σημεία ..................................................................................................................... 9

Μεθοδολογία 8. Εύρεση Γεωμετρικού Τόπου.................................................................................................... 10

§ 1.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού .................................................................................................................. 12

Μεθοδολογία – Λυμένα Παραδείγματα ...................................................................................................... 13

Μεθοδολογία 1. Υπολογισμός Μέτρου ................................................................................................................. 13

Μεθοδολογία 2. Εύρεση Μέτρου ............................................................................................................................ 13

Μεθοδολογία 3. Εξισώσεις ....................................................................................................................................... 14

Μεθοδολογία 4. Σχέσεις με μετρα .......................................................................................................................... 15

Μεθοδολογία 5. Πραγματικός ή Φανταστικός .................................................................................................. 16

Μεθοδολογία 6. Μιγαδικοί με Γνωστό Μέτρο ................................................................................................... 17

Μεθοδολογία 7. Μέτρο και Δυνάμεις .................................................................................................................... 18

Μεθοδολογία 8. Ανισοτικές Σχέσεις ...................................................................................................................... 19

Μεθοδολογία 9. Μιγαδικοί και Τρίγωνα.............................................................................................................. 20

Μεθοδολογία 10. Γεωμετρικοί Τόποι ................................................................................................................... 21

Μεθοδολογία 11. Γεωμετρικοί Τόποι και Μέτρα ............................................................................................. 25

Μεθοδολογία 12. Μέγιστο – Ελάχιστο Μέτρο ................................................................................................... 26

Φροντιστήριο «Αιχμή» | Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου 2


ΜΙ ΓΑΔ Ι Κ ΟΙ Α ΡΙ ΘΜΟ Ι

§ 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Παράσταση Μιγαδικού Αριθμού Ένας μιγαδικός αριθμός z μπορεί να παρασταθεί κατά μοναδικό τρόπο στην μορφή z a iβ= + όπου

,a β ∈ Ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται πραγματικό μέρος του μιγαδικού z και συμβολίζεται με

( )Re z a= Ο πραγματικός αριθμός β ονομάζεται φανταστικό μέρος του μιγαδικού z και συμβολίζεται με

( )Im z β= Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών Έστω 1 2,z z ∈δύο μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει ότι: 1z a iβ= + και 2z iγ δ= + με

, , ,a β γ δ ∈ Οι μιγαδικοί αυτοί θα καλούνται ίση μεταξύ τους αν και μόνο αν α = γ και β = δ

1 2z z= ⇔ α =γ και β = δ Ισχύει ακόμη ότι ένας μιγαδικός αριθμός z a iβ= + με ,α β ∈ είναι ίσος με το μηδέν αν και μόνο αν α = 0 και β = 0.

0z = ⇔ α = 0 και β = 0

§ 1.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

• Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών iβα + και iδγ + έχουμε:

iδβγαδiγβiα )()()()( +++=+++ .

• Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού iδγ + από τον iβα + , έχουμε:

iδβγαδiγβiα )()()()( −+−=+−+ .

• Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών iβα + και iδγ + έχουμε: iβγαδβδαγδiγβiα )()())(( ++−=++ .

• Ο αριθμός z iα β′ = − λέγεται συζυγής του z iα β= + και συμβολίζεται με z iα β= + . Δηλαδή,

βiαβiα −=+ . Επειδή είναι και iβαiβα +=− , οι iβα + , iβα − λέγονται συζυγείς μιγαδικοί.



• Για να εκφράσουμε το πηλίκο iδγiβα

++ , όπου 0≠+ iδγ , στη μορφή iλκ + ,

πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε:

iδγαδβγ

δγβδαγ

δiγβiα

2222 +−

+++

=++ .

Δύναμη Μιγαδικού Αριθμού

=−===

====== +

3αν,2αν,1-1αν,0αν,1

1)( 444

υiυυiυ

iiiiiiii υυρυρυρυρν

Ιδιότητες Συζυγών Μιγαδικών Έστω ένας μιγαδικός αριθμός z a iβ= + με ,a β ∈ και z a iβ= − . Τότε για τους μιγαδικούς αυτούς θα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

( )( )

2 Re 2

2Im 2

z z z a

z z z i iβ

+ = =

− = =

Αν τώρα 1 2,z z ∈ θα ισχύει ότι:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2 2

z z z z

z z z z

z z z z

z zz z

+ = +

− = −

⋅ = ⋅

=

Επίλυση της Εξίσωσης 02 =++ γβzαz με , ,a β γ ∈ και 0≠α

• Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες που δίνονται από τον τύπο:

1,2 2z

aβ− ± ∆

=

• Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική λύση την 2

zaβ−

=

• Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές λύσεις που δίνονται από τον τύπο

1,2 2iza

β− ± −∆=

Παρατηρούμε ότι οι μιγαδικοί 1z και 2z είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Παρατήρηση !!! Παρατηρούμε ότι οι τύποι του Vietta 1 2S z zaβ−

= + = και 1 2P z zaγ

= = ισχύουν

και για λύσεις που βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο.



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Παράδειγμα 1. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε το κάθε αποτέλεσμα στην κανονική μορφή

, ,a i aβ β+ ∈ .

i) ( ) ( )3 31 1i i− − + ii) 1 1

2 2i i−

+ − iii)

( )223

ii

−+

Λύση

i) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα ( )( )3 3 2 2aα β β α αβ β− = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 1 2 2 4 2 2 2 4

i i i i i i i i

i i i i i i i i i

− − + = − − + ⋅ − + − + + + =

= − ⋅ − + + − + + + = − ⋅ − = − ⋅ = −

ii) Εργαζόμαστε όπως και στην περίπτωση κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων: Δηλαδή βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και εκτελούμε τις πράξεις.

( )( ) ( )( )( )

2 2

2 21 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 4 1 5

i ii i i ii i i i i i i

− − +− + −− = − = = = −

+ − + − + − − +

iii) Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα μιγαδικών αριθμών στην κανονική μορφή του αρκεί

να πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον συζυγή μιγαδικό του παρονομαστή.

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 3 4 32 2 2 3 4 9 3 12 4 4 153 3 3 3 3 3 104 15

10 10

i i ii i i i i i ii i i i i i

i

− − ⋅ −− ⋅ + − − − + −= = = = = =

+ + + + ⋅ − −

= −

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 2. ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να βρούμε την ισότητα μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών 1 2,z z ∈ αρκεί να εξισώσουμε το πραγματικό και το φανταστικό τους μέρος. Δηλαδή αρκεί να λύσουμε το σύστημα:

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

Re Re

Im Im

z z

z z

=

=

Παράδειγμα 2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ για τους οποίους ισχύει: ( ) ( )2 1 4 5i i iκ λ+ + − = +

Λύση Αρχικά θα φέρουμε τον μιγαδικού του πρώτου μέλους στην κανονική μορφή , ,a i aβ β+ ∈



Έχουμε διαδοχικά ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 5 2 4 5 2 4 5

2 4 3 9 35 5 2

i i i i i i i iκ λ κ κ λ λ κ λ κ λ

κ λ κ κκ λ κ λ λ

+ + − = + ⇔ + + − = + ⇔ + + − = + ⇔

+ = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = = −

Για την λύση αυτής της άσκησης κάναμε χρήση της ιδιότητας που αναφέρεται στην ισότητα των μιγαδικών αριθμών και εξισώσαμε τους συντελεστές.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ – ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΣ – ΜΗΔΕΝ Για να είναι ένας μιγαδικός αριθμός: 1. Πραγματικός αρκεί Im(z)=0 ή 𝑧 = 𝑧̅ 2. Φανταστικός αρκεί Re(z)=0 ή 𝑧 + 𝑧̅ = 0

3. Μηδέν αρκεί το σύστημα �𝑅𝑒(𝑧) = 0

𝐼𝑚(𝑧) = 0 να δίνει λύση.

Παράδειγμα 3. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ο αριθμός: 3𝑖7 − 2𝜆𝑖2 + (1− 𝜆)𝑖 + 5 είναι:

i) Πραγματικός ii) Φανταστικός iii) Ίσος με το μηδέν

Λύση: Αρχικά πρέπει να φέρουμε τον μιγαδικό αριθμό στην κανονική του μορφή. Έχουμε διαδοχικά

3𝑖7 − 2𝜆𝑖2 + (1 − 𝜆)𝑖 + 5 = 3𝑖4𝑖3 − 2𝜆𝜄2 + (1 − 𝜆)𝑖 + 5 = −3𝑖 − 2𝜆(−1) + (1− 𝜆)𝑖 + 5= −3𝑖 + 2𝜆 + (1 − 𝜆)𝑖 + 5 = (2𝜆 + 5) + (−2 − 𝜆)𝑖

i) Για να είναι ο αριθμός πραγματικός θέλουμε το φανταστικό μέρος να είναι μηδέν: Im(z) = 0 ⟺−2− 𝜆 = 0 ⟺ 𝜆 = −2

ii) Για να είναι φανταστικός θέλουμε το πραγματικό μέρος να είναι μηδέν:

Re(z) = 0 ⇔ 2𝜆 + 5 = 0 ⇔ 2𝜆 = −5 ⇔ 𝜆 = −52

iii) Για να είναι ο μιγαδικός αριθμός ίσος με το μηδέν θέλουμε:

�𝑅𝑒(𝑧) = 0

𝐼𝑚(𝑧) = 0 ⇔ �5𝜆 + 2 = 0−2 − 𝜆 = 0 αδύνατο. Άρα δεν υπάρχει καμία τιμή του λ ώστε να μηδενίζεται ο

μιγαδικός αριθμός. Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι τα x, y ικανοποιούν την εξίσωση της υπερβολής 𝑥2 − 𝑦2 = 1 αν και μόνο αν ο z ικανοποιεί την 𝑧2 + 𝑧2 = 2 ,όπου 𝑥,𝑦 ∈ ℝ Λύση: Από την

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ⇔ �𝑥 =

𝑧 + 𝑧2

𝑦 =𝑧 − 𝑧

2𝑖

Επομένως

𝑥2 − 𝑦2 = 1 ⇔ �𝑧 + 𝑧

2�2

− �𝑧 − 𝑧

2𝑖�2

= 1 ⇔



𝑧2 + 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4−𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4𝑖2= 1 ⇔

𝑧2 + 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4+𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4= 1 ⇔

2𝑧2 + 2𝑧2

4= 1 ⇔ 2𝑧2 + 2𝑧2 = 4 ⇔ 𝑧2 + 𝑧2 = 2

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εδώ κάνουμε χρήση των σχέσεων

𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧) = 2𝑥 𝑧 − 𝑧 = 2𝑖𝐼𝑚(𝑧) = 2𝑖𝑦

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για να λύσουμε ένα σύστημα μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούμε τις ίδιες μεθόδους με αυτές των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή:

• Μέθοδος Αντικατάστασης • Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών • Μέθοδος Οριζουσών

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θυμίζουμε ότι

Αν �𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝜅𝛾𝑥 + 𝛿𝑦 = 𝜆

𝐷 = �𝛼 𝛽𝛾 𝛿� = 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾

𝐷𝑥 = �𝜅 𝛽𝜆 𝛿

� = 𝜅𝛿 − 𝛽𝜆

𝐷𝑦 = �𝑎 𝜅𝛾 𝜆� = 𝛼𝜆 − 𝛽𝜅

• Αν 𝐷 ≠ 0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την

𝑥 =𝐷𝑥𝐷

,𝑦 =𝐷𝑦𝐷

• Αν D=0 και 𝐷𝑥 ≠ 0 ή 𝐷𝑦 ≠ 0 τότε το σύστημα αδύνατο • Αν D=0 και 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = 0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Εάν καμία από τις παραπάνω μεθόδους δεν δίνει λύση τότε προχωράμε στην αντικατάσταση των μιγαδικών με την κανονική τους μορφή z a iβ= + . Η μέθοδος αυτή της αντικατάστασης ενός μιγαδικού από την κανονική του μορφή είναι μία συνήθης τακτική επίλυσης ασκήσεων, στους μιγαδικούς και δίνει λύση σε μεγάλο πλήθος προβλημάτων. Είναι όμως, αρκετά χρονοβόρα καθώς περιπλέκει τις πράξεις και αυξάνει την πιθανότητα λάθους. Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η χρήση της είναι επιτακτική. Για παράδειγμα αν ένα σύστημα περιέχει ένα μιγαδικό και τον συζυγή του τότε υποχρεωτικά θα γίνει χρήση της μεθόδου που μόλις παρουσιάσαμε. Παράδειγμα 5. Να λυθεί το σύστημα: � 𝑖𝑧 − 3𝑤 = 2− 3𝑖

(1 + 𝑖)𝑧 + 2𝑖𝑤 = 5 − 𝑖

Λύση: α΄ τρόπος: Έστω 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 και 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 με 𝑥,𝑦,𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Τότε το σύστημα γράφεται διαδοχικά:



(𝛴) ⇔ � 𝑖(𝑥 + 𝑦𝑖) − 3(𝑎 + 𝑏𝑖) = 2 − 3𝑖(1 + 𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) + 2𝑖(𝑎 + 𝑏𝑖) = 5 − 𝑖 ⇔ � 𝑖𝑥 + 𝑦𝑖2 − 3𝑎 − 3𝑏𝑖 = 2− 3𝑖

𝑥 + 𝑦𝑖 + 𝑖𝑥 + 𝑖2𝑦 + 2𝑖𝑎 + 2𝑖2𝑏 = 5 − 𝑖

⇔ � −𝑦 − 3𝑎 + (𝑥 − 3𝑏)𝑖 = 2 − 3𝑖𝑥 − 𝑦 − 2𝑏 + (𝑦 + 𝑥 + 2𝑎)𝑖 = 5− 𝑖 ⇔ �

−𝑦 − 3𝑎 = 2𝑥 − 3𝑏 = −3𝑥 − 𝑦 − 2𝑏 = 5𝑥 + 𝑦 + 2𝑎 = −1

⇔ �

𝑦 = −2 − 3𝑎𝑥 = −3 + 3𝑏

(−3 + 3𝑏)— (−2 − 3𝑎) − 2𝑏 = 5−3 + 3𝑏 + (−2 − 3𝑎) + 2𝑎 = −1

⇔ �

𝑦 = −2 − 3𝑎𝑥 = −3 + 3𝑏𝑏 − 3𝑎 = 63𝑏 − 𝑎 = 4

⇔

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 𝑥 =

125

𝑦 = −315

𝑎 =75

𝑏 =95

και η λύση του συστήματος είναι: 𝑧 = 12

5− 31

5𝑖 και 𝑤 = 7

5+ 9

5𝑖

β΄ τρόπος: Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των οριζουσών: (Μέθοδος Grammer) είναι: 𝐷 = � 𝑖 −3

1 + 𝑖 2𝑖 � = 2𝑖 ∙ 𝑖 − (−3)(1 + 𝑖) = 2𝑖2 + 3 + 3𝑖 = 1 + 3𝑖

𝐷𝑧 = �2− 3𝑖 −35 − 𝑖 2𝑖 � = (2 − 3𝑖) ∙ 2𝑖 − (−3)(5− 𝑖) = 21 + 𝑖

𝐷𝑤 = � 1 2 − 3𝑖1 + 𝑖 5 − 𝑖 � = 5 − 𝑖 − (2− 3𝑖)(1 + 𝑖) = −4 + 6𝑖

Οπότε:

𝑧 =𝐷𝑧𝐷

=21 + 𝑖1 + 3𝑖

=(21 + 𝑖)(1 − 3𝑖)(1 + 3𝑖)(1 + 3𝑖)

=21 + 3 + 𝑖 − 63𝑖

1 + 9=

2410

−6210

𝑖 =125−

315𝑖

𝑤 =𝐷𝑤𝐷

=−4 + 6𝑖1 + 3𝑖

=(−4 + 6𝑖)(1− 3𝑖)(1 + 3𝑖)(1− 3𝑖)

=−4 + 18 + 6𝑖 + 12𝑖

1 + 9=

1410

+1810

𝑖 =75

+95𝑖

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ Για την εύρεση μιας τετραγωνικής ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού εργαζόμαστε ως εξής: Έστω ότι δίνεται ο μιγαδικός z=a+bi. Θεωρούμε τον μιγαδικό x+yi τέτοιο ώστε να ισχύει (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 𝑧. Από την λύση της εξίσωσης προκύπτει η ζητούμενη λύση. Παράδειγμα 6. Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του μιγαδικού z=3+4i Λύση: Για να μπορέσουνε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού εργαζόμαστε ως εξής: Βήμα 1ο Θεωρούμε τον μιγαδικό x+yi. Έστω ότι ο μιγαδικός αριθμός αυτός είναι η τετραγωνική ρίζα του z. Τότε:

(𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 3 + 4𝑖 ⇔ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 + (𝑦𝑖)2 = 3 + 4𝑖 ⇔ 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑖 = 3 + 4𝑖 ⇔ �𝑥2 − 𝑦2 = 32𝑥𝑦 = 4

Βήμα 2ο Για να λύσουμε το σύστημα εργαζόμαστε ως εξής: Υψώνουμε και τις δύο σχέσεις στο τετράγωνο:

(𝑥2 − 𝑦2)2 = 32 ⇔ 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2𝑦2 = 9 4𝑥2𝑦2 = 16



Προσθέτουμε τις παραπάνω σχέσεις.

𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2𝑦2 + 4𝑥2𝑦2 = 9 + 16 ⇔ 𝑥4 + 𝑦4 + 2𝑥2𝑦2 = 25 ⇔ (𝑥2 + 𝑦2)2 = 52 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 = 5

Βήμα 3ο Τώρα δημιουργούμε το σύστημα

�𝑥2 − 𝑦2 = 3𝑥2 + 𝑦2 = 5

⇔ �2𝑥2 = 8

2𝑦2 = 2 ⇔ �𝑥2 = 4𝑦2 = 1 ⇔ �𝑥 = ±2

𝑦 = ±1

και επειδή έχουμε ότι 2xy=4 προκύπτει ότι οι αριθμοί x και y είναι ομόσημοι. Άρα οι πιθανές λύσεις του συστήματος είναι οι (x=2, y=1) και (x=-2. y=-1).

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Από την Θεωρεία γνωρίζουμε ότι ισχύει: �𝑖4𝑣 = 1𝑖4𝑣+1 = 𝑖𝑖4𝑣+2 = −1𝑖4𝑣+3 = −𝑖

Παράδειγμα 7. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w

i) Να δείξετε ότι αν 𝑧2 +𝑤2 = 0 τότε 𝑧 = ±𝑖𝑤 ή 𝑤 = ±𝑖𝑧 ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 𝐴 = 𝑧4𝑣+2 +𝑤4𝑣+2, 𝑣 ∈ ℕ

Λύση:

i) Έχουμε ότι: 𝑧2 + 𝑤2 = 0 ⇔ 𝑧2 − (𝑖𝑤)2 = 0 ⇔ 𝑧2 = (𝑖𝑤)2 ⇔ 𝑧 = ±𝑖𝑤

Όμοια 𝑤 = ±𝑖𝑧

ii) α΄ τρόπος: Έχουμε διαδοχικά ότι: 𝐴 = 𝑧4𝑣+2 +𝑤4𝑣+2 = 𝑧2𝑣𝑧2 +𝑤2𝑣𝑤2 = 𝑧4𝑣+2 + (−𝑧2)2𝑣(−𝑧2) =

= 𝑧4𝑣+2 − 𝑧4𝑣+2 = 0 β΄ τρόπος: Έχουμε διαδοχικά ότι:

𝐴 = 𝑧4𝑣+2 +𝑤4𝑣+2 = 𝑧4𝑣+2 + (±𝑖𝑧)4𝑣+2 = 𝑧4𝑣+2 + (±𝑖)4𝑣+2𝑧4𝑣+2 = = 𝑧4𝑣+2 − 𝑧4𝑣+2 = 0

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εδώ θα κάνουμε χρήση της υπόθεσης του πρώτου ερωτήματος δηλαδή ότι 𝑧2 +𝑤2 = 0 οπότε 𝑧2 = −𝑤2 ή 𝑤2 = −𝑧2 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν ισχύει η ιδιότητα

2 2 0α β+ = ⇔ α = 0 και β = 0

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Έστω ότι δίνονται τρείς μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3, ,z z z ∈ με εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ ,του μιγαδικού επιπέδου. Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε μία από τις παρακάτω σχέσεις:

( )det , 0AB B

AB BAB B

AB B

κλ λ

Γ

= ΓΓ ⇔ =

Γ =



Παράδειγμα 8. Αν Α, Β, Γ, είναι οι εικόνες των μιγαδικών 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν 𝑧1 − 𝑧2𝑧1 − 𝑧3

∈ ℝ

Λύση: Για να είναι τα σημεία Α, Β, Γ συνευθειακά πρέπει και αρκεί

𝛢𝛣��⃗ ∥ 𝛢𝛤��⃗ ⇔ 𝛢𝛣��⃗ = 𝜅𝛢𝛤��⃗ Όπου 𝛢𝛣��⃗ = 𝑧2 − 𝑧1 και 𝛢𝛤��⃗ = 𝑧3 − 𝑧1 Άρα η ζητούμενη σχέση γράφεται:

𝛢𝛣��⃗ = 𝜅𝛢𝛤��⃗ ⇔ 𝑧2 − 𝑧1 = 𝜅(𝑧3 − 𝑧1) ⇔𝑧2 − 𝑧1𝑧3 − 𝑧1

= 𝜅 ∈ ℝ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε ασκήσεις που περιέχουν την φράση αν και μόνο αν εργαζόμαστε με ισοδυναμίες. Διαφορετικά πρέπει να αποδεικνύουμε το ευθύ και το αντίστροφο της πρότασης

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 8. ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ Για να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο ενός μιγαδικού βάζουμε στην δοσμένη σχέση όπου z το x+yi και εκτελούμε τις πράξεις. Η σχέση που θα προκύψει μεταξύ x και y είναι η εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Θυμίζουμε ότι:

0Ax By+ +Γ = είναι ευθεία

( ) ( )2 2 20 0x x y y ρ− + − = κύκλος με κέντρο ( )0 0,K x y και ακτίνα ρ

2 2 0x y Ax By+ + + +Γ = κύκλος με ακτίνα 2 21 42

A Bρ = + − Γ και κέντρο ,2 2A BK − −

2 2y px= παραβολή με εστία ,0

2pE

και διευθετούσα :2pxδ = −

2 2x py= παραβολή με εστία 0,2pE

και διευθετούσα :2pyδ = −

2 2

2 2 1x ya β

+ = με α > β και 2 2 2β α γ= − έλλειψη με εστίες τα σημεία ( ),0γ′Ε − και ( ),0γΕ

2 2

2 2 1x ya β

− = 2 2 2β γ α= − υπερβολή με εστίες τα σημεία ( ),0γ′Ε − και ( ),0γΕ

Παράδειγμα 9. Στο μιγαδικό επίπεδο να βρείτε το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει ότι:

i) (1 + 𝑖)𝑧 + (1− 𝑖)𝑧̅ + 2 = 0 ii) 𝑅𝑒�(1 + 𝑖)𝑧� = 2

Λύση:

i) Έχουμε ότι: (1 + 𝑖)𝑧 + (1− 𝑖)𝑧̅ + 2 = 0 ⇔ (1 + 𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) + (1− 𝑖)(𝑥 − 𝑦𝑖) + 2 = 0 ⇔ 𝑥 + 𝑦𝑖 + 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖2 + 𝑥 − 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖2 + 2 = 0 ⇔ 2𝑥 + 2− 2𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 ⇔ 𝑦 = 𝑥 + 1



Που παριστάνει την εξίσωση μιας ευθείας.

ii) Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε τον μιγαδικό (1 + 𝑖)𝑧 όπου 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (1 + 𝑖)𝑧 = (1 + 𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑥 + 𝑦𝑖 + 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖2 = (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 + 𝑦)𝑖 Το πραγματικό μέρος του μιγαδικού (1 + 𝑖)𝑧 είναι 𝑅𝑒�(1 + 𝑖)𝑧� = 𝑥 − 𝑦 Θέλουμε

𝑅𝑒�(1 + 𝑖)𝑧� = 2 ⇔ 𝑥 − 𝑦 = 2 ⇔ 𝑦 = 𝑥 − 2 Που παριστάνει την εξίσωση μιας ευθείας. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εδώ κάνουμε χρήση των σχέσεων

𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧) = 2𝑥 𝑧 − 𝑧 = 2𝑖𝐼𝑚(𝑧) = 2𝑖𝑦

Παράδειγμα 10. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α + βi, όπου ,α β ∈ και w=3z –𝑧̅i+4, όπου 𝑧 �είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 Ιm(w)=3β–α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2.

(ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 2003) Λύση: α. Έχουμε ότι: 𝑤 = 3𝑧 − 𝑧̅𝑖 + 4 = 3(𝑎 + 𝛽𝑖) − (𝛼 − 𝛽𝑖)𝑖 + 4 = 3𝑎 + 3𝛽𝑖 − 𝑎𝑖 − 𝛽 + 4 = 3𝛼 − 𝛽 + 4 + (3𝛽 − 𝛼)𝑖

Άρα 𝑅𝑒(𝑤) = 3𝑎 − 𝛽 + 4 και Ιm(w)=3β–α. β. Έχουμε ότι:

𝑦 = 𝑥 − 12 ⇔ 𝐼𝑚(𝑤) = 𝑅𝑒(𝑤) − 12 ⇔ 3𝛽 − 𝛼 = 3𝛼 − 𝛽 + 4− 12 3𝛽 + 𝛽 = 3𝛼 + 𝛼 − 8 ⇔ 4𝛽 = 4𝛼 − 8 ⇔ 𝛽 = 𝛼 − 2

Άρα ο z κινείται στην ευθεία y=x – 2 Παράδειγμα 11. Να αποδείξετε ότι τα x, y ικανοποιούν την εξίσωση της υπερβολής 𝑥2 − 𝑦2 = 1 αν και μόνο αν ο z ικανοποιεί την 𝑧2 + 𝑧2 = 2 ,όπου 𝑥,𝑦 ∈ ℝ Λύση: Από την

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ⇔ �𝑥 =

𝑧 + 𝑧2

𝑦 =𝑧 − 𝑧

2𝑖

Επομένως

𝑥2 − 𝑦2 = 1 ⇔ �𝑧 + 𝑧

2�2

− �𝑧 − 𝑧

2𝑖�2

= 1 ⇔

𝑧2 + 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4−𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4𝑖2= 1 ⇔

𝑧2 + 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4+𝑧2 − 2𝑧𝑧 + 𝑧2

4= 1 ⇔

2𝑧2+2𝑧2

4= 1 ⇔ 2𝑧2 + 2𝑧2 = 4 ⇔ 𝑧2 + 𝑧2 = 2



§ 1.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Ως μέτρο του μιγαδικού αριθμού z a iβ= + ορίζουμε την παράσταση 2 2z a β= + Από τον ορισμό του μέτρου προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες z z z iz= = − =

2z z z= ⋅

Αν 0 0z z= ⇔ =

Προσοχή Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν ισχύει γενικά ότι: 2 2z z= Η παραπάνω σχέση ισχύει αν και μόνο αν ο μιγαδικός z είναι πραγματικός αριθμό. Για τους μιγαδικούς 1 2,z z ∈ ισχύει ότι:

• |||||| 2121 zzzz ⋅=⋅

• 2

1

2

1

zz

zz

=

• vvz z=

Τριγωνική Ανισότητα Για τους μιγαδικούς αριθμούς 1z και 2z ισχύει η παρακάτω σχέση:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

z z z z z z

z z z z z z

− ≤ + ≤ +

− ≤ − ≤ +

Γεωμετρικοί Τόποι

Η εξίσωση 0,0 >=− ρρ|zz| παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K z( )0 και ακτίνα ρ.

Ένας μιγαδικός z θα λέμε ότι ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο αν και μόνο αν 1z = Η εξίσωση ||| 21 zzzz| −=− παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A z( )1 και B z( )2 . Η εξίσωση 1 2 2z z z z a− + − = παριστάνει έλλειψη με εστίες τις εικόνες τα σημεία ( )1E z′ , ( )2E zκαι 2 2 2β α γ= − .Θυμίζουμε ακόμη ότι το μήκος του μεγάλου άξονα είναι 2α και το μήκος του μικρού άξονα 2β Η εξίσωση 1 2 2z z z z a− − − = παριστάνει υπερβολή με εστίες τις εικόνες τα σημεία ( )1E z′ , ( )2E z

και 2 2 2β γ α= − .Θυμίζουμε ακόμη ότι το μήκος του άξονα είναι 2α.



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z∈ πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε τον μιγαδικό στην μορφή z a iβ= + όπου ,a β ∈ Δηλαδή στην μορφή ( ) ( )Re Imz z z i= +

Το μέτρο του μιγαδικού θα δίνεται από την σχέση ( ) ( )2 2 2 2Re Imz a z zβ= + = + Μια από τις συνήθεις πρακτικές σε τέτοιου είδους ασκήσεις, που περιέχουν σχέσεις με μέτρα και μιγαδικούς είναι η σχέση |𝑧|2 = 𝑧 ∙ 𝑧̅ Δηλαδή να υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της δοσμένης ισότητας. Παράδειγμα 1. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού:

𝑧 =1 + 2𝑎𝑖2 − 𝑎2

1 + 𝑎2 ,𝑎 ∈ ℝ

Λύση: Είναι

𝑧 =1 + 2𝑎𝑖2 − 𝑎2

1 + 𝑎2=

(1 + 𝑖𝑎)2

1 + 𝑎2

Επομένως:

|𝑧| = �(1 + 𝑖𝑎)2

1 + 𝑎2 � =|(1 + 𝑖𝑎)2|

1 + 𝑎2 =|(1 + 𝑖𝑎)|2

1 + 𝑎2 =�√1 + 𝑎2�

2

1 + 𝑎2 = 1

Παράδειγμα 2. Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z όταν ισχύει: 3 1 3z z+ = + Λύση: Υψώνουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης στο τετράγωνο.

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 2

2

3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3

3 1 3 1 3 3 9 3 3 1 3 3 9

8 8 1 1 1

z z z z z z z z

z z z z zz z z zz z z

zz zz z z

+ = + ⇔ + = + ⇔ + + = + + ⇔

+ + = + + ⇔ + + + = + + + ⇔

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 2. ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΤΡΟΥ Αν έχουμε μία ισότητα της μορφής ( )f z a= με α >0 (1) ή μία ισότητα της μορφής ( ) ( )f z g z= (2) και θέλουμε να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού έστω w που είναι μία παράσταση του μιγαδικού z δηλαδή ( )w h z= (3) τότε λύνουμε την σχέση (3) ως προς z και αντικαθιστούμε σε μία από τις (1) και (2). Παράδειγμα 3. Έστω z∈ . Αν 10 3 2z z− = − , να βρείτε το 1z − Λύση: Θέτουμε 1 1w z z w= − ⇔ = − Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι:



10 3 2 1 10 3 1 2 9 3 1z z w w w w− = − ⇔ + − = + − ⇔ − = − (1)

Υψώνουμε και τα δύο μέλη της (1) στο τετράγωνο οπότε έχουμε ότι:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 2

2 2

9 3 1 9 3 1 9 9 9 1 1

9 9 9 1 1 9 9 81 9 9 9 9

8 72 9 3

w w w w w w w w

w w w w ww w w ww w w

w w w

− = − ⇔ − = − ⇔ − − = − − ⇔

⇔ − − = − − ⇔ − − + = − − + ⇔

= ⇔ = ⇔ =

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών έχουμε ότι: Έστω μία εξίσωση της μορφής 2 0az zβ γ+ + = με , ,a β γ ∈ τότε οι λύσεις της θα δίνονται από:

• Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες που δίνονται από τον τύπο:

1,2 2z

aβ− ± ∆

=

• Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική λύση την 2

zaβ−

=

• Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές λύσεις που δίνονται από τον τύπο

1,2 2iza

β− ± −∆=

Αν η εξίσωση είναι βαθμού μεγαλύτερου του 2 τότε χρησιμοποιούμε τις τεχνικές παραγοντοποίησης που ισχύουν και στα πολυώνυμα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν τώρα η εξίσωση που καλούμαστε να λύσουμε περιέχει εκτός από τον μιγαδικό z τα z ή z τότε θέτουμε z x yi= + και λύνουμε την εξίσωση με τα x, y που έχει προέκυψε. Παράδειγμα 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2z i z+ = β) 2 4 3 0z z− + = γ) 2z i z− = Λύση: α) Θέτουμε z x yi= + με ,x y∈ . Άρα η δοσμένη σχέση γράφεται:

( ) ( )

( ) ( )( )2 22 2

2 2 1 2 2

1 2 2 0 1 2 2 0

z i z x yi i x yi x y i x yi

x y x yi x y x yi

+ = ⇔ + + = + ⇔ + + = + ⇔

⇔ + + − − = ⇔ + + − − =

Για να ισχύει η τελευταία σχέση θέλουμε και το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού που βρήκαμε να είναι μηδέν.

( )2 2 22 2

02 0 0 031 41 2 0 1 2

3

yy y yx x xx y x x x

== = = ⇔ ⇔ ⇔ + = = ±+ + − = + =

Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι:

13

3z = και 2

33

z = −



β΄ τρόπος Από την θεωρεία έχουμε ότι το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού είναι πάντοτε πραγματικός αριθμός. Άρα από την δοσμένη σχέση 2z i z+ = έχουμε ότι το φανταστικό μέρος του z θα είναι μηδέν. Επομένως z x yi z x= + ⇔ =

2 32 2 1 2 ...3

z i z x i x x x x+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ⇔ = ±

β) Θέτουμε z x yi= + με ,x y∈ . Άρα η δοσμένη σχέση γράφεται:

( ) ( )

( ) ( )( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 3 0 4 3 0 2 4 3 0

2 0 14 3 2 0

4 3 0 2

z z x yi x y x xyi yi x y

xyx y x y xyi

x y x y

− + = ⇔ + − + + = ⇔ + + − + + = ⇔

=⇔ − − + + + = ⇔ − − + + =

Από την (1) έχουμε ότι: 0x = ή 0y = Για 0x = η (2) γράφεται:

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΡΑ Για να δείξουμε μία σχέση με μέτρα ή με να βρούμε κάποιο μέτρο με δεδομένες κάποιες σχέσεις μία από τις συνήθεις τακτικές είναι να υψώνουμε την ζητούμενη σχέση στο τετράγωνο και να εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα 2z z z= ⋅ Παράδειγμα 5. Αν 2z = , 3w = και 4z w+ = να βρείτε το μέτρο του z w− . Λύση: Παρατηρούμε ότι ο απευθείας υπολογισμός του ζητούμενου μέτρου είναι αδύνατος. Ας υψώσουμε λοιπόν στο τετράγωνο

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2

4 9 1

z w z w z w z w z w zz zw wz ww z zw wz w

zw wz

− = − − = − − = − − + = − − + =

= − + +

Από τα δεδομένα έχουμε ότι: ( )( )2

2 2

4 16 16 16

16 4 9 16 3

z w z w z w z w zz zw wz ww

z zw wz w zw wz zw wz

+ = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + + + = ⇔

+ + + = ⇔ + + + = ⇔ + =

Άρα η (1) γράφεται διαδοχικά 2 213 3 10 10z w z w z w− = − ⇔ − = ⇔ − =

β΄ τρόπος Έχουμε ότι

( )( ) ( )( )2 2

2 2

z w z w z w z w z w z w zz zw wz ww zz zw wz ww

z w

+ + − = + + + − − = + + + + − − + =

= +

Από τα δεδομένα προκύπτει ότι: 2 2 2 2 22 2 16 8 18 10z w z w z w z w z w+ + − = + ⇔ + − = + ⇔ − =

2 2 2 2 2 24 3 0 4 3 0 4 3 0x y x y y y y y− − + + = ⇔ − − + = ⇔ + − =



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ Η ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΣ

Για να είναι ένας μιγαδικός αριθμός: 1. Πραγματικός αρκεί Im(z)=0 ή 𝑧 = 𝑧̅ 2. Φανταστικός αρκεί Re(z)=0 ή 𝑧 + 𝑧̅ = 0

3. Μηδέν αρκεί το σύστημα �𝑅𝑒(𝑧) = 0

𝐼𝑚(𝑧) = 0 να δίνει λύση.

4. z z z∈ ⇔ = και z I z iz∈ ⇔ = − με ( ) ( )Re , Im 0z z >

Η τελευταία σχέση θέλει απόδειξη. Παράδειγμα 6. Έστω *z∈

α) Αν 1w zz

= + να δείξετε ότι ή 1w z z∈ ⇔ ∈ =

β) Αν 3w zz

= − να δείξετε ότι ή 3w I z I z∈ ⇔ ∈ =

Λύση: α) Στην συγκεκριμένη άσκηση μπορούμε να την δείξουμε με δύο τρόπους α΄ τρόπος: Θέτοντας z x yi= + και εκτελώντας τις πράξεις στον w. Στη συνέχεια απαιτούμε

( )Im 0w w∈⇔ = από όπου θα προκύψουν οι ζητούμενες σχέσεις. β΄ τρόπος: Κάνοντας χρήση των σχέσεων w w w∈ ⇔ = Θα προτιμήσουμε τον δεύτερο τρόπο καθώς απαιτεί λιγότερες πράξεις. Θέλουμε

( ) ( ) 2

2

1 1 1 1 10 1 0

10 ή 1 0 ή 1 ή 1

z zw w w z z z z z z z zz z z z zz z

z z z z z z I zz

−∈ ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

⇔ − = − = ⇔ = = ⇔ ∈ =

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε ασκήσεις που περιέχουν την φράση αν και μόνο αν ή το σύμβολο της ισοδυναμίας ( )⇔ εργαζόμαστε με ισοδυναμίες. Διαφορετικά πρέπει να αποδεικνύουμε το ευθύ και το αντίστροφο της πρότασης β) Θα κάνουμε χρήση της ιδιότητας w I w w∈ ⇔ = −

( )

( ) 2 2

3 3 3 3 0 3 0

3 31 0 0 ή 1 0 ή 3 ή 3

z zw I w w z z z z z zz z z z zz

z z z z z z z z I zz z

+ ∈ ⇔ = − ⇔ − = − + ⇔ + − − = ⇔ + − = ⇔

⇔ + − = ⇔ + = − = ⇔ = − = ⇔ ∈ =

Παράδειγμα 12. Να δείξετε ότι: i) 𝑧 ∈ 𝐼 ⇔ |𝑧|2 + 𝑧2 = 0, 𝑧 ≠ 0 ii) 𝑧 ∈ ℝ ⇔ |𝑧|2 − 𝑧2 = 0, 𝑧 ≠ 0

Λύση:

i) Είναι: |𝑧|2 + 𝑧2 = 0 ⇔ 𝑧𝑧̅ + 𝑧2 = 0 ⇔ 𝑧(𝑧̅ + 𝑧) = 0 ⇔ 𝑧 = 0 ή 𝑧̅ + 𝑧 = 0

Και επειδή 𝑧 ≠ 0 έχουμε ότι 𝑧̅ + 𝑧 = 0 ⇔ 𝑧 ∈ 𝐼 ii) Είναι:



|𝑧|2 − 𝑧2 = 0 ⇔ 𝑧𝑧̅ − 𝑧2 = 0 ⇔ 𝑧(𝑧̅ − 𝑧) = 0 ⇔ 𝑧 = 0 ή 𝑧̅ − 𝑧 = 0

Και επειδή 𝑧 ≠ 0 έχουμε ότι 𝑧̅ − 𝑧 = 0 ⇔ 𝑧 ∈ ℝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΜΕΤΡΟ

Στις ασκήσεις με μέτρα μία ακόμη σημαντική είναι σχέση η

2

2 2 22

azzz a z a zz aazz

== ⇔ = ⇔ = ⇔

=όταν αυτή δίνεται στα δεδομένα. Από το ορισμό του μέτρο έχουμε ακόμη ότι: z z z z iz iz= = − = − = = Παράδειγμα 7. Έστω οι μιγαδικοί 1z και 2z με 1 2 1z z= = . Να δείξετε ότι ο μιγαδικός

( )51 25 51 2

z zw

z z+

=+

είναι πραγματικός.

Λύση: Για να δείξουμε ότι ο μιγαδικός w είναι πραγματικός αρκεί να δείξουμε ότι w w= Από τα δεδομένα τις άσκησης έχουμε ότι:

21 1 1 1 1

1

11 1 1z z z z zz

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = και 22 2 2 2 2

2

11 1 1z z z z zz

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( ) ( )( )

( )

5 5 51 21 2

5 5 55 51 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

5 5 5 55 5 5 5 5 51 21 2 1 2 1 2

5 5 5 51 2 1 21 2

1 1

1 11 1

z zz zz z z z z zz z z z z zw w

z zz z z z z zz z z zz z

+++ + + + = = = = = = =

++ + + ++

Άρα ο w είναι πραγματικός. Παράδειγμα 8. Έστω ,z w∈ με 1z = και 2w = α) Να δείξετε ότι: 1 0 2 2 0z w zw z w zw+ − + = ⇔ + + − = β) Αν 1 0z w zw+ − + = να βρείτε τους z, w γ) Να δείξετε ότι: 2 1 2 2z w zw z w zw+ − + = + + − Λύση: Από τα δεδομένα τις άσκησης έχουμε ότι:

2 11 1 1z z zz zz

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = και 2 22 2 2w w ww ww

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

α) Έχουμε ότι:

( ) 1 2 1 2 11 0 1 0 1 0 01

2 2 0 2 2 0

z w zw z w zw z w z wz w z w

w z zw z w zwzw

+ − + = ⇔ + − + = ⇔ + − ⋅ + = ⇔ + − ⋅ + = ⇔

+ + −⇔ = ⇔ + + − =

β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι 1 0 2 2 0z w zw z w zw+ − + = ⇔ + + − =



Για να βρούμε τους z, w αρκεί να λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων.

( ) 2

1 31 0 3 2 1 2

2 2 0 1 0 1 3 1 3 1 02 2

1 3 1 32 2

2 1 3 1 3 2 0 3 2 3 0

zwz w zw z wz w zw z w zw z zz z

z zw w

z z z z z z

− =+ − + = + = ⇔ ⇔ ⇔ + + − = + − + = − − + − + =

− − = = ⇔ ⇔ + − − − + = − + =

Έχουμε: 4 4 3 3 32∆ = − ⋅ ⋅ = −

Άρα: 1

1,2

2

1 2 22 32 3

6 1 2 23

iziz

iz

+=± = ⇔

− =

Για 11 2 2

3iz +

= έχουμε ότι: 11

1 2 21 31 3 2 23 22 2 2

iz iw i

+−− −

= = = = −

Για 21 5

3iz −

= έχουμε ότι: 22

1 2 21 31 3 2 23 22 2 2

iz iw i

−−−

= = = =

γ) Έχουμε ότι:

1 2 1 1 2 21 1 1 1

2 2 2 2 2 22 1 2 2

2

z w zwz w zw z w zw z w z wz w z w zw

z w zw z w zw z w zwz w zw z w zw

zw z w

+ + −+ − + = + − + = + − ⋅ + = + − ⋅ + = =

+ + − + + − + + −= = = ⇔ + − + = + + −

⋅

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Εάν σε μία άσκηση μας ζητείται να βρούμε την δύναμη ενός μιγαδικού τότε η συνήθης πρακτική είναι να φορέσουμε μέτρα στην σχέση.

Αν λοιπόν ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )v vv vf z g w f z g w f z g w= ⇒ = ⇔ =

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι αν 𝑧1 = 𝑧2 ⇒ |𝑧1| = |𝑧2| ΠΡΟΣΟΧΗ!!! το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Παράδειγμα 9. Να βρείτε το v∈ αν ισχύει ότι ( )1 16vi+ = Λύση: Έχουμε ότι :



( ) ( ) ( )2 2 4 421 16 1 16 1 16 1 1 16 2 2 2 2

4 82

vv vvv vi i i

v v

+ = ⇒ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

⇔ = ⇔ =

Παράδειγμα 10. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 5 2 1z z⋅ = , να δείξετε ότι: α) 1z = β) 3 1z = Λύση: α) Έχουμε ότι:

5 2 75 2 5 2 5 21 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z⋅ = ⇒ ⋅ = ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = β) ( ) 425 2 3 2 2 3 3 31 1 1 1 1z z z z z z zz z z z⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 8. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Για την λύση ανισοτικών σχέσεων ένα χρήσιμο εργαλείο είναι η τριγωνική ανισότητα.

|||||||||| 212121 || zzzzzz +≤+≤−

Εάν μας δίνεται ένα μέτρο της μορφής |𝑧 − 𝑧1| = 𝜌 και μας ζητείται να βρούμε που βρίσκεται η σχέση |𝑧 − 𝑧2| τότε εργαζόμαστε με τον εξής τρόπο: 𝜌 = |𝑧 − 𝑧1| = |𝑧 − 𝑧2 + 𝑧2 − 𝑧1| ≥ �|𝑧 − 𝑧2|− |𝑧2 − 𝑧1|� οπότε

�|𝑧 − 𝑧2| − |𝑧2 − 𝑧1|� ≤ 𝜌 −𝜌 + 𝛼 ≤ |𝑧 − 𝑧2| ≤ 𝜌 + 𝛼

Όπου |𝑧2 − 𝑧1| = 𝛼 Παράδειγμα 13. Έστω ο μιγαδικός z τέτοιος ώστε: |𝑧 − 4 − 3𝑖| = 4. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |𝑧 − 1 + 𝑖| Λύση: Έχουμε ότι:

4 = |𝑧 − 4 − 3𝑖| = |𝑧 − 1 + 𝑖 + 1 − 𝑖 − 4− 3𝑖| = |𝑧 − 1 + 𝑖 − 3 − 4𝑖| |𝑧 − 1 + 𝑖 − 3 − 4𝑖| ≥ �|𝑧 − 1 + 𝑖| − |3 + 4𝑖|�

Άρα: �|𝑧 − 1 + 𝑖|− |3 + 4𝑖|� ≤ 4 ⇔ −4 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| − |3 + 4𝑖| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| − 5 ≤ 4 ⇔ 1 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| ≤ 9

Άρα η μέγιστη τιμή είναι το 9 και η ελάχιστη το 1. Παράδειγμα 14. Έστω ο μιγαδικός z τέτοιος ώστε |𝑧| = 1

i) Αν είναι: w=2z-3i, να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |𝑤|. ii) Αν είναι |𝑤 − 4 − 3𝑖| = 2 να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων z,

w. Λύση:

i) Έχουμε ότι: �|2𝑧|− |3𝑖|� ≤ |𝑤| ≤ |2𝑧| + |3𝑖| ⇔ �2|𝑧|− |3𝑖|� ≤ |𝑤| ≤ 2|𝑧| + |3𝑖| ⇔ |2− 3| ≤ |𝑤| ≤ 2 + 3 ⇔

1 ≤ |𝑤| ≤ 5 Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 1 και η μέγιστη το 5.



ii) Θέλουμε να βρούμε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |𝑧 − 𝑤|.

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι: |𝑤 − 𝑧 + 𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ �|𝑤− 𝑧|− |𝑧 − 4− 3𝑖|� ⇔

−2 ≤ |𝑧 − 4− 3𝑖| − |𝑤 − 𝑧| ≤ 2 ⇔ −2 − |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ −|𝑤 − 𝑧| ≤ 2− |𝑧 − 4− 3𝑖| ⇔

−2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| (1) Έχουμε: |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ �|𝑧|− |4 + 3𝑖|� ⇔

|𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ �1−�42 + 32� ⇔ |𝑧 − 4− 3𝑖| ≥ |1− 5| ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ 4 (2) Ισχύει ακόμη ότι:

|𝑧 − 4− 3𝑖| ≤ |𝑧| + |4 + 3𝑖| ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ 1 + 5 ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ 6 (3) Επομένως η (1) από τις (2) και (3) γράφεται:

−2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| ⇔ −2 + 4 ≤ −2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| ≤ 2 + 6 ⇔ 2 ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ 8

Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 2 και η μέγιστη το 8.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 9. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΑ Για να δείξουμε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3, ,z z z ∈με εικόνες τα σημεία ( ) ( ) ( )1 2 3, ,A z B z zΓαντίστοιχα είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου αρκεί να δείξουμε ότι:

1 2 2 3 3 1z z z z z z− = − = − Για να δείξουμε ότι οι μιγαδικοί 1 2 3, ,z z z ∈με εικόνες τα σημεία ( ) ( ) ( )1 2 3, ,A z B z zΓ αντίστοιχα είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει μία από τις παρακάτω σχέσεις:

1 2 2 3z z z z− = − ή 2 3 3 1z z z z− = − ή 1 2 3 1z z z z− = − Παράδειγμα 15. Αν για τους μιγαδικούς 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3 ισχύουν: 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0 και 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧32 = 0 να αποδείξετε ότι:

i) |𝑧1| = |𝑧2| = |𝑧3| ii) Οι εικόνες των 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.

Λύση:

i) Έχουμε: 𝑧1 + 𝑧2 = −𝑧3 ⇔ (𝑧1 + 𝑧2)2 = (−𝑧3)2 ⇔ 𝑧12 + 𝑧22 + 2𝑧1𝑧2 = 𝑧32 ⇔ −𝑧32 + 2𝑧1𝑧2 = 𝑧32 ⇔ 2𝑧32 = 2𝑧1𝑧2

⇔ 𝑧32 = 𝑧1𝑧2 ⇔ 𝑧33 = 𝑧1𝑧2𝑧3 Όμοια αποδεικνύουμε ότι: 𝑧13 = 𝑧1𝑧2𝑧3 και 𝑧23 = 𝑧1𝑧2𝑧3 οπότε 𝑧13 = 𝑧23 = 𝑧33 άρα

�𝑧13� = �𝑧23� = �𝑧33� ⇔ |𝑧1| = |𝑧2| = |𝑧3| ii) Αρκεί να δείξουμε ότι:

|𝑧1 − 𝑧2| = |𝑧2 − 𝑧3| = |𝑧1 − 𝑧3| Έστω ότι |𝑧1 − 𝑧2| = |𝑧2 − 𝑧3| (1) Αντικαθιστούμε και στα δύο μέτρα το 𝑧2 με 𝑧2 = −𝑧1 − 𝑧3 Άρα η (1) γράφεται:

|𝑧1 − 𝑧2| = |𝑧2 − 𝑧3| ⇔ |𝑧1 + 𝑧1 + 𝑧3| = |−𝑧1 − 𝑧3 − 𝑧3| ⇔ |2𝑧1 + 𝑧3| = |−𝑧1 − 2𝑧3| ⇔ |2𝑧1 + 𝑧3| = |𝑧1 + 2𝑧3| ⇔

|2𝑧1 + 𝑧3|2 = |𝑧1 + 2𝑧3|2 ⇔ (2𝑧1 + 𝑧3)(2𝑧1̅ + 𝑧3̅) = (𝑧1 + 2𝑧3)(𝑧1̅ + 2𝑧3̅) ⇔



4𝑧1𝑧1̅ + 2𝑧1𝑧3̅ + 2𝑧3𝑧1̅ + 𝑧3𝑧3̅ = 𝑧1𝑧1̅ + 2𝑧1𝑧3̅ + 2𝑧3𝑧1̅ + 4𝑧3𝑧3̅ ⇔

3|𝑧1|2 = 3|𝑧3|2 ⇔ |𝑧1|2 = |𝑧3|2 ⇔ |𝑧1| = |𝑧3| Όμοια αποδεικνύουμε ότι |𝑧2 − 𝑧3| = |𝑧1 − 𝑧3| Άρα |𝑧1 − 𝑧2| = |𝑧2 − 𝑧3| = |𝑧1 − 𝑧3| ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Έχουμε ότι 𝛢𝛣��⃗ = 𝑧2 − 𝑧1 Άρα τα μέτρα |𝑧1 − 𝑧2|, |𝑧2 − 𝑧3|, |𝑧1 − 𝑧3| αντιπροσωπεύουν τις πλευρές του τριγώνου. Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Παράδειγμα 16. Να λυθούν οι εξισώσεις: 𝑧2 − 𝑧 + 1 = 0 (1) και 𝑧2 + √3𝑧 + 1 = 0 (2) και να δείξετε ότι εικόνες των ριζών τους είναι κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου. Λύση: Από την (1) έχουμε:

𝛥 = 1− 4 = −3 = (𝑖√3)2 Οπότε οι ρίζες της είναι:

𝑧1 =12

+𝑖√3

2 𝜅𝛼𝜄 𝑧2 =

12−𝑖√3

2

Και 𝐴(𝑧1) = �12

, √32� , 𝐵(𝑧2) = �1

2,−√3

2�

Από την (2) έχουμε: 𝛥 = 3− 4 = −1 = 𝑖2

Οπότε οι ρίζες της είναι:

𝑧3 =−√3

2+𝑖2

𝜅𝛼𝜄 𝑧4 =−√3

2−𝑖2

Και 𝛤(𝑧3) = �− √32

, 12� , 𝛥(𝑧4) = �−√3

2,−1

2�

Τα σημεία Α και Β έχουν την ίδια τετμημένη που σημαίνει ότι 𝛢𝛣 ∥ 𝑦΄𝑦 ομοίως για τον ίδιο λόγο είναι 𝛤𝛥 ∥ 𝑦΄𝑦 . Άρα 𝛢𝛣 ∥ 𝛤𝛥 που σημαίνει ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Είναι (𝛣𝛤) = �𝛣𝛤��⃗ � = |𝑧3 − 𝑧2| = |𝑧3 − 𝑧2��| = |𝑧3� − 𝑧2� | = |𝑧4 − 𝑧1| = �𝐴𝛥��⃗ � = (𝛢𝛥) Άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Δίνονται δύο μιγαδικοί z και w που συνδέονται από τη σχέση ( )w f z= . Έστω Μ η εικόνα του z και Ν η εικόνα του w. Α. Αν μας ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ του z, ώστε ο w να είναι αντίστοιχα πραγματικός ή φανταστικός τότε:

• Θεωρούμε z x yi= + και θέτουμε τους απαραίτητους μιγαδικούς.

• Γράφουμε τη σχέση ( )w f z= στη μορφή a iβ+ , δηλαδή w a iβ= + με ,a β ∈ . • Απαιτούμε β=0, να θέλουμε ο w να είναι πραγματικός και α =0 αν θέλουμε ο w να είναι

φανταστικός. • Οι σχέσεις β =0 και α =0 μας οδηγούν στις επιθυμητές εξισώσεις. Αν υπάρχουν περιορισμοί

για τον z, τότε πρέπει να εξετάσουμε μήπως εξαιρούνται τα αντίστοιχα σημεία. Β. Αν μας δίνεται ότι η εικόνα Μ του z κινείται στη γραμμή 1C και μας ζητείται η γραμμή 2C στην οποία κινείται η εικόνα Ν του w τότε:



• Θέτουμε z a iβ= + και w x yi= + • Εκτελούμε τις πράξεις και βρίσκουμε:

( ) ( )( )( )

,, ,

,

x f ax yi f a g a i

y g a

ββ β

β

=+ = + ⇔ =

(Σ)

Με τη βοήθεια της γραμμής 1C απαλείφουμε από τις εξισώσεις (Σ) τα α, β και βρίσκουμε μία εξίσωση με x και y. Αυτή είναι η εξίσωση της ζητούμενης γραμμής 2C . Άλλος τρόπος Αν είναι δυνατών, λύνουμε την εξίσωση ( )w f z= ως προς z, οπότε ( )1z f w−= . Έτσι :

( ) ( ) ( )( )( )

1,

, ,,

a g x yz f w a i g x y ih x y

h x yβ

β−

== ⇔ + = + ⇔ =

(1)

Όμως τα α και β επαληθεύουν την εξίσωση 1C , οπότε αμέσως με αντικατάσταση των σχέσεων (1) και την εκτέλεση των πράξεων οδηγούμαστε στην εξίσωση της γραμμής 2C . Εντελώς ανάλογα εργαζόμαστε αν μας δίνουν την γραμμή 2C της εικόνας Ν του w και μας ζητούν την εξίσωση της γραμμής 1C στην οποία κινείται η εικόνα Μ του z. Εδώ φυσικά θέτουμε w a iβ= + και z x yi= + , ώστε η γραμμή 1C που θα προκύψει να έχει μεταβλητές x και y.

Παράδειγμα 17. i) Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: |𝑧| = 2 και Ιm (z) ≥ 0 ii) Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού

𝑤 =12�𝑧 +

4𝑧�

κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x΄x . (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ 2003)

Λύση:

i) Έστω z=x+yi επομένως από την δοσμένη σχέση |𝑧| = 2 έχουμε ότι: |𝑧| = 2 ⇔ �𝑥2 + 𝑦2 = 2 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 = 4

Δηλαδή κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=2 Επίσης 𝐼𝑚(𝑧) ≥ 0 ⇔ 𝑦 ≥ 0. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι το ημικύκλιο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Σημείωση: Όταν δίνεται η εξίσωση ενός γεωμετρικού τόπου ενός μιγαδικού αριθμού z τότε Re(z)=x και Im(z)=y

ii) Έστω 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑎 + 𝑏𝑖 =12�𝑥 + 𝑦𝑖 +

4𝑥 + 𝑦𝑖

� ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 =12�𝑥 + 𝑦𝑖 +

4(𝑥 − 𝑦𝑖)𝑥2 + 𝑦2

� ⇔

𝑎 + 𝑏𝑖 =12�𝑥 + 𝑦𝑖 +

4𝑥 − 4𝑦𝑖4

� ⇔

𝑎 + 𝑏𝑖 =12�

4𝑥 + 4𝑦𝑖4

+4𝑥 − 4𝑦𝑖

4� ⇔

𝑎 + 𝑏𝑖 =12

8𝑥4⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥 ⇔ �𝑎 = 𝑥

𝑏 = 0



Ο γεωμετρικός τόπος του w είναι η ευθεία y=0 . Από την πρώτη σχέση έχουμε ότι α=x και

επειδή το x ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=2 συνεπάγεται ότι παίρνει τιμές −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Από την δεύτερη σχέση b=0 έχουμε ότι βρίσκεται στον άξονα x΄x άρα

γεωμετρικός τόπος του w είναι η το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ όπου Α(-2,0) και Β(2,0) Παράδειγμα 18. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, όπου α,β∈IR και w=3z –𝑧̅i+4, όπου 𝑧 �είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 Ιm(w)=3β–α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2.

(ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 2003) Λύση: α. Έχουμε ότι: 𝑤 = 3𝑧 − 𝑧̅𝑖 + 4 = 3(𝑎 + 𝛽𝑖) − (𝛼 − 𝛽𝑖)𝑖 + 4 = 3𝑎 + 3𝛽𝑖 − 𝑎𝑖 − 𝛽 + 4 = 3𝛼 − 𝛽 + 4 + (3𝛽 − 𝛼)𝑖

Άρα 𝑅𝑒(𝑤) = 3𝑎 − 𝛽 + 4 και Ιm(w)=3β–α. β. Έχουμε ότι:

𝑦 = 𝑥 − 12 ⇔ 𝐼𝑚(𝑤) = 𝑅𝑒(𝑤) − 12 ⇔ 3𝛽 − 𝛼 = 3𝛼 − 𝛽 + 4− 12 3𝛽 + 𝛽 = 3𝛼 + 𝛼 − 8 ⇔ 4𝛽 = 4𝛼 − 8 ⇔ 𝛽 = 𝛼 − 2

Άρα ο z κινείται στην ευθεία y = x – 2. Παράδειγμα 19. α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει 𝑧1 + 𝑧2 = 4 + 4𝑖 και 2𝑧1 − 𝑧2̅ = 5 + 5𝑖 να βρείτε τους z1και z2 β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν |𝑧 − 1− 3𝑖| ≤ √2 και |𝑤 − 3 − 𝑖| ≤ √2 i. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z=w και ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του |𝑧 − 𝑤|

(ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ 2005) Λύση: α. Θέτουμε 𝑧1 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝜅𝛼𝜄 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 Επομένως οι δοσμένες σχέσεις γράφονται:

� 𝑥 + 𝑦𝑖 + 𝑎 + 𝑏𝑖 = 4 + 4𝑖2(𝑥 + 𝑦𝑖)− (𝑎 − 𝑏𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇔ � 𝑥 + 𝑎 + (𝑦 + 𝑏)𝑖 = 4 + 4𝑖

2𝑥 − 𝑎 + (2𝑦 + 𝑏)𝑖 = 5 + 5𝑖

�

𝑥 + 𝑎 = 4 (1)𝑦 + 𝑏 = 4 (2)2𝑥 − 𝑎 = 5 (3)2𝑦 + 𝑏 = 5 (4)

Από τι (1) και (3) έχουμε ότι: � 𝑥 + 𝑎 = 42𝑥 − 𝑎 = 5 ⇔ � 3𝑥 = 9

𝑥 + 𝑎 = 4 ⇔ �𝑥 = 3𝑎 = 1

Από τις (2) και (4) έχουμε ότι:

� 𝑦 + 𝑏 = 42𝑦 + 𝑏 = 5 ⇔ �𝑦 = 1

𝑏 = 3

Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι: 𝑧1 = 3 + 𝑖 𝜅𝛼𝜄 𝑧2 = 1 + 3𝑖 β.

i) Έχουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ(1,3) και ακτίνα 𝜌1 = √2. Ο γεωμετρικός τόπος του w είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο Λ(3,1) και ακτίνα 𝜌2 = √2. Βρίσκουμε την απόσταση των κέντρων:



𝛫𝛬 = (3− 1,1 − 3) = (2,−2) ⇔ |𝛫𝛬| = �22 + 22 = 2√2 = 𝜌1 + 𝜌2

Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά επομένως έχουν μόνο ένα κοινό σημείο δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί z, w τέτοιοι ώστε z=w.

ii) Η μέγιστη απόσταση των z ,w δηλαδή |𝑧 − 𝑤|, ισούται με |𝑧 − 𝑤| = 2𝜌1 + 2𝜌2 = 4√2 Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σχετικές Θέσεις δύο Κύκλων (Κ1,ρ1) και (Κ2,ρ2) είναι: • Αν |𝛫1𝛫2| = 𝜌1 + 𝜌2 τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. • Αν |𝛫1𝛫2| = 𝜌1 − 𝜌2 τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. • Αν |𝛫1𝛫2| ≥ 𝜌1 + 𝜌2 τότε οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. • Αν 𝜌1 − 𝜌2 ≤ |𝛫1𝛫2| ≤ 𝜌1 + 𝜌2 τότε οι κύκλοι τέμνονται. • Αν |𝛫1𝛫2| ≤ 𝜌1 − 𝜌2 τότε οι κύκλοι περιέχονται ο ένας στον άλλον. Παράδειγμα 20. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός

𝑧 =2 + 𝑎𝑖𝑎 + 2𝑖

με α∈IR . α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =1. β. Έστω z1, z2 οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο

𝑧 =2 + 𝑎𝑖𝑎 + 2𝑖

για α = 0 και α = 2 αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z1 και z2. ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: (𝑧1)2𝑣 = (−𝑧2)𝑣 για κάθε φυσικό αριθμό ν.

(ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 2006) Λύση: α. Αρκεί να δείξουμε ότι |𝑧| = 1. Έχουμε:

𝑧 =2 + 𝑎𝑖𝑎 + 2𝑖

=(2 + 𝑎𝑖)(𝑎 − 2𝑖)

𝑎2 + 4=

2𝑎 + 𝑎2𝑖 − 4𝑖 + 2𝑎𝑎2 + 4

=4𝑎 + (𝑎2 − 4)𝑖

𝑎2 + 4

Άρα:

|𝑧| = �4𝑎 + (𝑎2 − 4)𝑖

𝑎2 + 4� =

�(4𝑎)2 + (𝑎2 − 4)2

𝑎2 + 4=

√16𝑎2 + 𝑎4 − 8𝑎2 + 16𝑎2 + 4

=√𝑎4 + 8𝑎2 + 16

𝑎2 + 4=�(𝑎2 + 4)2

𝑎2 + 4= 1

β. i. Έχουμε ότι:

𝑧1 =22𝑖

=1𝑖

= −𝑖 𝜅𝛼𝜄 𝑧2 =2 + 2𝑖2 + 2𝑖

= 1 Επομένως:

|𝑧2 − 𝑧1| = |1 + 𝑖| = √1 + 1 = √2

ii. (𝑧1)2𝑣 = (−𝑧2)𝑣 ⇔ (−𝑖)2𝑣 = (−1)𝑣 (1) Η (1) για ν=2κ (άρτιο) γράφεται: (−𝑖)4𝜅 = (−1)2𝜅 ⇔ 1 = 1 αληθές. Η (1) για ν=2κ+1 γράφεται: (−𝑖)4𝜅+2 = (−1)2𝜅+1 ⇔ −1 = −1 αληθές.



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 11. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ

Γεωμετρικοί τόποι: • |𝑧 − 𝑧0| = 𝜌 κύκλος με κέντρο την εικόνα του μιγαδικού 𝑧0 και ακτίνα ρ. • |𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝜌 κυκλικός δίσκος με κέντρο την εικόνα του μιγαδικού 𝑧0 και ακτίνα ρ. • |𝑧 − 𝑧1| + |𝑧 − 𝑧2| = 2𝛼 Έλλειψη με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών 𝑧1 και 𝑧2 και μεγάλο άξονα ίσο με 2α • �|𝑧 − 𝑧1| − |𝑧 − 𝑧2|� = 2𝛼 Υπερβολή με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών 𝑧1 και 𝑧2 • ||| 21 zzzz| −=− μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες των μιγαδικών 𝑧1 και 𝑧2. Παράδειγμα 21. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ = 1, να αποδειχθεί ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού αριθμού

, z iwizλ λ

λ−

= ∈+

Λύση: Από την θεωρεία έχουμε ότι να ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο με κέντρο ( )0 0,K x y την εικόνα του

μιγαδικού 0z και ακτίνα ρ τότε: 0 1z z zρ− = ⇔ = (Αφού το δοσμένο κέντρο είναι το σημείο Ο(0,0))

Έχουμε: 2 11 1 1z z zz zz

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ρ

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι: 11 1 1w w ww ww

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Έχουμε ότι 1

11

iziz i z i izz zw z iiz i z z i wiz z

λλλ λ λλλ λ λλ

++− + + = = = = = = −+ ⋅ + − − +

Και το ζητούμενο έχει δειχθεί. Σημείωση: Έχουμε ότι i i= − Παράδειγμα 22. Έστω z∈ με ( )1 2 2i z i− + = (1)

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων ( )M z για τα οποία ισχύει η σχέση (1).

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων ( )N w για τα οποία ισχύει: 1wz = Λύση: α) Παρατηρούμε ότι το δοσμένο μέτρο θυμίζει την εξίσωση του κύκλου. Το μόνο πρόβλημα είναι ο μιγαδικός 1 – i που βρίσκεται μπροστά από το z. Βγάζουμε λοιπόν κοινό παράγοντα το 1 – i από το ζητούμενο μέτρο επομένως έχουμε:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

22 2

2 2

2 12 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1 21 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2

i ii i ii z i i z i z zi i i

z i z i

+ + − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + + = ⇔ − − − +

+ − = ⇔ − − =

Άρα ο z κινείται σε κύκλο με κέντρο την εικόνα του μιγαδικού ( )1 i− δηλαδή το σημείο ( )1, 1K − και

ακτίνα 2ρ =



β) Έχουμε 11zw zw

= ⇔ =

Άρα η (1) γράφεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

1 21 211 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

11 1 12 2 2 2 2 22 2 2 2 2

i iwi iwi z i i i i iw w

w w w

i ii i ii w w i w w w w w wi i

− +− +− + = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔

−− + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ − + =

Άρα ο w κινείται στην μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με 1 1,2 2

A

την εικόνα του

μιγαδικού 112 2

iz = + και Β(0,0) την εικόνα του μιγαδικού 0z =

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 12. ΜΕΓΙΣΤΟ – ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ Έστω 1 2, ,M M M οι εικόνες των μιγαδικών 1 2, ,z z z ∈ στο μιγαδικό επίπεδο.

Αν ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι: • Μία ευθεία (ε) τότε:

Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας (ε) και την μετατρέπουμε στην μορφή ( ) : 0Ax Byε + + Γ = Στην συνέχεια έχουμε ότι

( )2 2

min ,z d OA B

εΓ

= =+

Γι α να βρούμε τον μιγαδικό z με το μικρότερο μέτρο εργαζόμαστε ως εξής: Θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της ευθείας (ε) και εκείνης που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το Ο(0,0). Έστω ( )

11 : y xεε λ= ⋅

Ισχύει 1 1

11ε ε εε

λ λ λλ−

⋅ = − ⇔ = άρα ( )11: y xε

ελ

= −

Από την λύση του συστήματος ( )

( )1

: 01:

Ax By

y xε

ε

ελ

+ + Γ = = −

Θα προκύψει ο ζητούμενος μιγαδικός z με το ελάχιστο μέτρο. Έστω τώρα ότι έχουμε ένα σημείο εκτός ευθείας 1M την εικόνα του μιγαδικού 1z

Τότε θα ισχύει ότι ( ) 1 11 1 2 2

min ,Ax By

z z d MB

ε+ + Γ

− = =Α +

Γι α να βρούμε τον μιγαδικό z με το μικρότερο μέτρο εργαζόμαστε ως εξής: Θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της ευθείας (ε) και εκείνης που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το ( )1 1M z όπου 1 1 1z x y i= +



Έστω ( ) ( )

11 1 1: y y x xεε λ− = −

Ισχύει 1 1

11ε ε εε

λ λ λλ−

⋅ = − ⇔ = άρα ( ) ( )1 1 11: y y x xε

ελ

− = − −

Από την λύση του συστήματος ( )

( ) ( )1 1 1

: 01:

Ax By

y y x xε

ε

ελ

+ + Γ = − = − −

Θα προκύψει ο ζητούμενος μιγαδικός z με το ελάχιστο μέτρο.

• Ένας κύκλος C:(Κ, ρ) με ( )0 0,K x y την

εικόνα του μιγαδικού 0z τότε: Έστω τότε έχουμε ότι:

( ) ( )min z OA OK ρ= = −

( ) ( )max z OB OK ρ= = + Για να βρούμε τον μιγαδικό με το μέγιστο ή το ελάχιστο μέτρο τότε εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου C με x, y δηλαδή ( ) ( )2 2 2

0 0:C x x y y ρ− + − = και όχι με την μορφή μέτρου. Αναζητούμε την εξίσωση της ευθείας ΟΒ όπως αυτή φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Έχουμε ότι επειδή Ο(0,0) ανήκει στην ΟΒ αυτή θα είναι της μορφής ( ) : y xε λ= . Θέλουμε επίσης το

κέντρο Κ του κύκλου να είναι σημείο της ευθείας δηλαδή να ισχύει ότι: 00 0

0

yy xx

λ λ= ⇔ =

Άρα ( ) 0

0

: yy xx

ε =

Από την λύση του συστήματος ( ) ( )

( )

2 2 20 0

0

0

:

:

C x x y yyy xx

ρ

ε

− + − =

= ⋅

θα προκύψουν δύο μιγαδικοί.

Βρίσκουμε τα μέτρα τους και παρατηρούμε ότι ο ένας είναι αυτός με το ελάχιστο μέτρο και ο άλλος με το μέγιστο μέτρο. Έστω τώρα ότι έχουμε ένα σημείο, εκτός του κύκλου, 1M την εικόνα του μιγαδικού 1z

( ) ( )1 1 1min z z M A M K ρ− = = −

( ) ( )1 1 1max z z M B M K ρ− = = + Για να βρούμε τον μιγαδικό με το μέγιστο ή το ελάχιστο μέτρο τότε εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου C με x, y δηλαδή ( ) ( )2 2 2

0 0:C x x y y ρ− + − = και όχι με την μορφή μέτρου. Αναζητούμε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Κ και ν 1M

( ) ( )0 10 0

0 1

: y yy y x xx x

ε −− = −

−



Από την λύση του συστήματος ( ) ( )

( ) ( )

2 2 20 0

1 01 1

1 0

:

:

C x x y yy yy y x xx x

ρ

ε

− + − = −

− = − −

θα προκύψουν δύο μιγαδικοί.

Βρίσκουμε τα μέτρα τους και παρατηρούμε ότι ο ένας είναι αυτός με το ελάχιστο μέτρο και ο άλλος με το μέγιστο μέτρο.

• Έλλειψη της μορφής 2 2

2 2: 1x yCa β

+ = με 2 2 2β α γ= − τότε:

( ) ( )min z OB OB β′= = =

( ) ( )max z OA OA a′= = = Οι μιγαδικοί με το ελάχιστο μέτρο είναι οι z iβ= ± Και οι μιγαδικοί με το μέγιστο μέτρο θα είναι οι z a= ±

• Υπερβολή 2 2

2 2: 1x yCa β

− = με 2 2 2β γ α= −

( ) ( )min z OA OA a′= = = Και οι μιγαδικοί με το ελάχιστο μέτρο είναι οι z a= ± Αν τα ( ) ( )1 1 2 2,M z M z διατρέχουν • Δύο ευθείες 1 2,ε ε παράλληλες, τότε

( )1 2 1 2min ,z z d ε ε− =

Θυμίζουμε ότι αν ( )1 1: y xε λ β= + και ( )2 2: y xε λ β= + τότε

( ) 1 21 2 2,

1d

β βε ε

λ

−=

+

• Έναν κύκλο C(Κ, ρ), τότε:

1 2max 2z z ρ− =

• Μία έλλειψη της μορφής 2 2

2 2 1x ya β

+ = ή 2 2

2 2 1x yaβ

+ = με a β>

1 2max 2z z a− = και 1 2min 2z z β− = Οι μιγαδικοί για τους οποίους το μέτρο της διαφοράς γίνεται μέγιστο είναι οι:

1

2

z az a=

= −αν η έλλειψη είναι οριζόντια (δηλαδή ο μεγαλύτερος

αριθμός βρίσκεται κάτω από το x)

1

2

z a iz a i= ⋅

= − ⋅αν η έλλειψη είναι κατακόρυφη (δηλαδή ο μεγαλύτερος

αριθμός βρίσκεται κάτω από το y) Οι μιγαδικοί για τους οποίους το μέτρο της διαφοράς γίνεται ελάχιστο είναι οι:

Α(α, 0)

Α΄(-α, 0)

Β΄(0, -β)

B(0, β)

Α(0, α)

Α΄(0,-α)

Β(β, 0) Β΄(-β, 0)

2 2

2 2 1x yaβ

+ =

2 2

2 2 1x ya β

+ =



1

2

z iz i

ββ

= ⋅ = − ⋅

αν η έλλειψη είναι οριζόντια (δηλαδή ο μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται κάτω από το x)

1

2

zz

ββ

= = −

αν η έλλειψη είναι κατακόρυφη (δηλαδή ο μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται κάτω από το y)

• Την ευθεία (ε) και τον κύκλο C(Κ, ρ), τότε:

( ) ( )1 2min ,z z d ε ρ− = ΑΓ = Κ − Για να βρούμε τους μιγαδικούς 1z και 2z εργαζόμαστε ως εξής:

Έστω ότι η εξίσωση του κύκλου είναι η 2 2: 0C x y Ax By+ + + +Γ = και η εξίσωση της ευθείας ( ) : y xε λ β= + Αρχικά βρίσκουμε την ευθεία (δ) που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το Κ, όπου

,2 2A BK − −

το κέντρο του κύκλου.

( ) ( ) 11δ ε δε

δ ε λ λ λλ

⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ = − Άρα ( ) ( )0 01: y y x xε

δλ

− = − −

Από την λύση των συστημάτων

( ) ( )

( ) ( )

0 0

2 2 20 0

1:

:

y y x x

C x x y yε

δλ

ρ

− − = − − + − =

και ( ) ( )

( )

0 01:

:

y y x x

y xε

ε

δλ

ε λ β

− − = − = +

θα προκύψουν οι ζητούμενοι

μιγαδικοί.

• Δύο κύκλους ( )1 1 1,C K ρ και ( )2 2 2,C K ρ με:

Αν ( )1 2 1 2K K ρ ρ> + , τότε: Δηλαδή οι κύκλοι είναι εξωτερικοί

( ) ( )1 2 1 2 1 2min z z K K ρ ρ− = ΒΓ = − −

( ) ( )1 2 1 2 1 2max z z A K K ρ ρ− = ∆ = + + Αν ( )1 2 1 2K K ρ ρ= + τότε

Δηλαδή οι κύκλοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι

1 2 1 2max 2 2z z ρ ρ− = + Αν ( )1 2 1 2K K ρ ρ= − τότε

Δηλαδή οι κύκλοι είναι εσωτερικά εφαπτόμενοι

1 2 1 2max 2 2z z ρ ρ− = − Αν ( )1 2 1 2K K ρ ρ< − με 1 2ρ ρ> τότε

Δηλαδή οι κύκλοι είναι εσωτερικοί ( )1 2 1 1 2min z z K Kρ− = −



( )1 2 1 1 2max z z K Kρ− = +

Αν ( )1 2 1 2 1 2ρ ρ ρ ρ− < Κ Κ < + τότε:

Δηλαδή οι κύκλοι τέμνονται: ( )1 2 1 2 1 2max z z K K ρ ρ− = + +

Παράδειγμα 23. Έστω ο μιγαδικός z τέτοιος ώστε: |𝑧 − 4 − 3𝑖| = 4. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |𝑧 − 1 + 𝑖| Λύση: Έχουμε ότι:

4 = |𝑧 − 4 − 3𝑖| = |𝑧 − 1 + 𝑖 + 1 − 𝑖 − 4− 3𝑖| = |𝑧 − 1 + 𝑖 − 3 − 4𝑖| |𝑧 − 1 + 𝑖 − 3 − 4𝑖| ≥ �|𝑧 − 1 + 𝑖| − |3 + 4𝑖|�

Άρα: �|𝑧 − 1 + 𝑖|− |3 + 4𝑖|� ≤ 4 ⇔ −4 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| − |3 + 4𝑖| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| − 5 ≤ 4 ⇔ 1 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖| ≤ 9

Άρα η μέγιστη τιμή είναι το 9 και η ελάχιστη το 1. Παράδειγμα 24. Έστω ο μιγαδικός z τέτοιος ώστε |𝑧| = 1

i) Αν είναι: w=2z-3i, να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |𝑤|. ii) Αν είναι |𝑤 − 4 − 3𝑖| = 2 να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων z,

w. Λύση:

i) Έχουμε ότι: �|2𝑧|− |3𝑖|� ≤ |𝑤| ≤ |2𝑧| + |3𝑖| ⇔ �2|𝑧|− |3𝑖|� ≤ |𝑤| ≤ 2|𝑧| + |3𝑖| ⇔ |2− 3| ≤ |𝑤| ≤ 2 + 3 ⇔ 1

≤ |𝑤| ≤ 5 Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 1 και η μέγιστη το 5.

ii) Θέλουμε να βρούμε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |𝑧 − 𝑤|. Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι:

|𝑤 − 𝑧 + 𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ �|𝑤− 𝑧|− |𝑧 − 4− 3𝑖|� ⇔ −2 ≤ |𝑧 − 4− 3𝑖| − |𝑤 − 𝑧| ≤ 2 ⇔

−2 − |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ −|𝑤 − 𝑧| ≤ 2− |𝑧 − 4− 3𝑖| ⇔ −2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| (1) Έχουμε: |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ �|𝑧|− |4 + 3𝑖|� ⇔

|𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ �1−�42 + 32� ⇔ |𝑧 − 4− 3𝑖| ≥ |1− 5| ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≥ 4 (2) Ισχύει ακόμη ότι:

|𝑧 − 4− 3𝑖| ≤ |𝑧| + |4 + 3𝑖| ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ 1 + 5 ⇔ |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ 6 (3) Επομένως η (1) από τις (2) και (3) γράφεται:

−2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| ⇔ −2 + 4 ≤ −2 + |𝑧 − 4 − 3𝑖| ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ +2 + |𝑧 − 4− 3𝑖| ≤ 2 + 6 ⇔ 2 ≤ |𝑤 − 𝑧| ≤ 8

Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 2 και η μέγιστη το 8. Παράδειγμα 25. Αν για τους μιγαδικούς z , w ισχύουν: |𝑧 + 2 − 𝑖| = 3 και |𝑤 − 2− 4𝑖| = 1 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων:

i) |𝑧 − 1 − 5𝑖| ii) |𝑤 − 𝑧|

Λύση:



i) Η εικόνα Μ(z) του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο με κέντρο

Κ(-2,1) και ακτίνα ρ=3 Η απόσταση της εικόνας Ν(1,5) του 𝑧1 = 1 + 5𝑖 από το Κ(-2,1) είναι

𝛫𝛮 = �(−2 − 1)2 + (5 − 1)2 = �32 + 42 = 5 Επομένως:

𝑚𝑖𝑛|𝑧 − 1 − 5𝑖| = 5− 3 = 2 𝑚𝑎𝑥|𝑧 − 1− 5𝑖| = 5 + 3 = 8

ii) Η εικόνα του w, Ν(w) κινείται σε κύκλο με κέντρο Λ(2,4) και ακτίνα ρ=1. Η διάκεντρος ΚΛ των

κύκλων έχει μήκος: 𝛫𝛬 = �(2 + 2)2 + (4− 1)2 = 5 οπότε:

𝑚𝑖𝑛|𝑧 − 𝑤| = 5 − 3 − 1 = 1 𝑚𝑎𝑥|𝑧 − 𝑤| = 5 + 3 + 1 = 9

Παράδειγμα 26. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:

|𝑧 − 6 + 8𝑖| = |𝑧 + 2𝑖| Να βρείτε:

i) Την ελάχιστη τιμή του |𝑧| ii) Την ελάχιστη τιμή του |𝑧 − 1 + 𝑖|

Λύση: i) Αν θέσουμε z x y i= + ⋅ με ,x y∈ έχουμε:

|𝑧 − 6 + 8𝑖| = |𝑧 + 2𝑖| ⇔ |𝑥 + 𝑦𝑖 − 6 + 8𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖| ⇔ ⇔ |𝑥 − 6 + (𝑦 + 8)𝑖| = |𝑥 + (𝑦 + 2)𝑖| ⇔ ⇔ (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 8)2 = 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 ⇔

𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 Επομένως η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στην ευθεία ε: 𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 οπότε:

𝑚𝑖𝑛|𝑧| = 𝑑(𝑂, 𝜀) =8√2

= 4√2

ii) Η ελάχιστη τιμή του |𝑧 − 1 + 𝑖| ισούται με την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού 1 – i από την (ε), δηλαδή ισούται με την απόσταση του σημείου Μ(1,-1) από την (ε). Άρα είναι:

𝑚𝑖𝑛|𝑧 − 1 + 𝑖| = 𝑑(𝑀, 𝜀) =|1 + 1 − 8|

√2=

6√2

= 3√2

Παράδειγμα 27. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

�(2 + 𝑖)𝑧 − 5𝑖�𝑣

= �2√5𝑖�𝑣

και �(4 + 3i)w− 25i5iw− 5i + 10

� = �1− 3i3 + i

�

α. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(1, 2) και ακτίνα ρ=2 β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού w είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(3,4) και Β(1,2) γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου |𝑧 − 𝑤| Λύση: Α. Έχουμε ότι: �(2 + 𝑖)𝑧 − 5𝑖�

𝑣= �2√5𝑖�

𝑣⟺ |(2 + 𝑖)𝑧 − 5𝑖|𝜈 = �2√5𝑖�

𝑣⟺ |(2 + 𝑖)𝑧 − 5𝑖| = �2√5𝑖�

⟺ �(2 + 𝑖) �𝑧 −5𝑖

2 + 𝑖�� = 2√5|𝑖| ⟺ |2 + 𝑖| �𝑧 −

5𝑖(2 − 𝑖)(2 + 𝑖)(2 − 𝑖)

� = 2√5

⟺�22 + 12 �𝑧 −5(1 + 2𝑖)22 + 12

� = 2√5 ⟺ √5|𝑧 − (1 + 2𝑖)| = 2√5 ⟺ |𝑧 − (1 + 2𝑖)| = 2

Άρα ο z ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(1,2) και ακτίνα ρ=2



Β. Έχουμε ότι:

�(4 + 3i)w − 25i5iw − 5i + 10

� = �1− 3i3 + i

� ⟺|(4 + 3i)w − 25i||5iw− 5i + 10| =

|1− 3𝑖||3 + i|

⟺|(4 + 3i)w− 25i||5iw− 5i + 10| =

√10√10

⟺|(4 + 3i)w − 25i||5iw− 5i + 10| = 1 ⟺ |(4 + 3i)w− 25i| = |5iw− 5i + 10|

⟺ �(4 + 3i) �w −25i

4 + 3i�� = �5i �w− 1 +

2i�� ⟺ |4 + 3i| �𝑤 −

25i(4 − 3i)(4 + 3i)(4− 3i)

�

= |5𝑖||𝑤− 1− 2𝑖| ⟺�42 + 32|𝑤 − (3 + 4𝑖)| = 5|𝑤 − (1 + 2𝑖)| ⟺ |𝑤 − (3 + 4𝑖)|= |𝑤 − (1 + 2𝑖)|

Άρα η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(3,4) και Β(1,2) Γ. Έχουμε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο και η εικόνα του w ανήκει σε ευθεία. Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού z – w δίνεται από την σχέση: Η εξίσωση της ευθείας που ανήκουν οι εικόνες του w δίνεται από την σχέση (ε): 𝑦 − 𝑦𝑀 = 𝜆(𝑥 − 𝑥𝑀) Όπου Μ το μέσο του ΑΒ δηλαδή 𝛭�3+1

2, 4+22� ≡ 𝛭(2,3)

Και 𝜆 ∙ 𝜆𝛢𝛣 = −1 (1)

𝜆𝛢𝛣 =4 − 23 − 1

= 1 ά𝜌𝛼 𝛼𝜋ό 𝜏𝜂𝜈 (1) έ𝜒𝜊𝜐𝜇𝜀 𝜆 = −1 Και η (ε) γράφεται:

(𝜀): 𝑦 − 3 = −𝑥 + 2 ⟺ 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 Η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία (ε) είναι

𝑑(𝐾, 𝜀) =|1 + 2 − 5|

√12 + 12=

2√2

= √2

Παρατηρούμε ότι 𝑑(𝐾, 𝜀) < 𝜌 αφού ρ=2 Άρα ο κύκλος και η ευθεία τέμνονται επομένως 𝑚𝑖𝑛|𝑧 − 𝑤| = 0 Παράδειγμα 28. Αν z μιγαδικός με 𝑅𝑒 �1

𝑧� = 1

4 τότε:

α. Αν 𝐼𝑚(𝑧) = 1 να βρείτε το 𝑅𝑒(𝑧) β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του |𝑧| Λύση: α) Έστω ο μιγαδικός z x yi= + με ,x y∈ Έχουμε ότι:

( )( )( ) 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1x yi x yi x yiz x yi z x yi x yi z x y z x y x y

− −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

+ + − + + +

Άρα 2 2

1Re xz x y

= + (1)

Από υπόθεση έχουμε ότι ( )Im 1 1z y= ⇔ =

Επομένως η (1) γράφεται:



1

12 22 2 2

2

2 31 1 1 1Re 1 4 4 1 04 4 1 4 2 3

y xx x x x x xz x y x x

= = − = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ + + = +

β)Έχουμε από την (1) ότι

( )

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2

1 1 1Re 4 4 0 4 4 44 4

2 2

x x y x x y x x x yz x y

x y

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ +

⇔ − + =

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο ( )2,0K και ακτίνα 2ρ = γ) Σύμφωνα με όσα αναφέραμε στην παρούσα μεθοδολογία όταν ο μιγαδικός z ανήκει σε κύκλο τότε μέγιστο μέτρο θα δίνεται από τη σχέση

( ) 2 2max 2 0 2 2 2 4z OK ρ= + = + + = + = Παράδειγμα 29. Έστω ότι για το μιγαδικό z ισχύει ότι: 3 3 10z z− + + = α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. β) Αν 1 2,z z δύο μιγαδικοί αριθμοί που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z να δείξετε

ότι 1 28 10z z≤ − ≤

γ) Για ποίους 1 2,z z το μέτρο γίνεται ελάχιστο και για ποιους γίνεται μέγιστο. Λύση: α) Έχουμε ότι ο μιγαδικός z κινείται σε έλλειψη με σταθερό άθροισμα 2 10 5a a= ⇔ = και εστίες τα σημεία ( )3,0E και ( )3,0E′ − που ανήκουν στον άξονα x x′ . Ισχύει ακόμη ότι

2 2 2 2 2 2 25 3 16 4β α γ β β β= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = β) Ισχύει ότι 1 2max 2 2 5 10z z a− = = ⋅ = και 1 2min 2 2 4 8z z β− = = ⋅ = και επειδή

1 2 1 2 1 2 1 2min max 8 10z z z z z z z z− ≤ − ≤ − ⇔ ≤ − ≤ γ) Επειδή η έλλειψη είναι οριζόντια (καθώς οι εστίες ( )3,0E και ( )3,0E′ − που ανήκουν στον άξονα

x x′ ) έχουμε ότι οι μιγαδικοί για τους οποίους το μέτρο γίνεται μέγιστο είναι:

1 1

2 2

55

z a zz a z= =

⇔ = − = −

Και οι μιγαδικοί για τους οποίους το μέτρο γίνεται ελάχιστο είναι:

1 1

2 2

44

z i z iz i z i

ββ

= ⋅ = ⇔ = − ⋅ = −


Μιγαδικοί Αριθμοί · ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ § 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ...

Documents

Transcript of Μιγαδικοί Αριθμοί · ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ § 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ...