1

ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2,…} Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R= Q A Δηλαδή αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Ισχύει:N Z Q R Τέλος: Ν* = N – {0}, Ζ* = Ζ – {0}, Q* = Q – {0}, R* = R – {0} ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

(α±β)2=α2±2αβ+β²

(α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³

(α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα

(α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α)

α2 - β2=(α - β)(α + β)

α2 + β2=(α - iβ)(α + iβ)

α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²)

α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²)

Γενικά: αν - βν = (α - β)(αν-1 + αν-2β + αν-3β² + … + αβν-2 + βν-1) και

για ν περιττό: αν + βν = (α + β)(αν-1 - αν-2β + αν-3β² - … - αβν-2 + βν-1)

(Αδίδακτες αλλά με άμεση απόδειξη. Πράξεις στο 2ο μέλος.)

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ P(x) = ανχ

ν + αν-1χν-1 + … + α1χ + α0, αν,…,α0 R και ν Ν

Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του. Πιθανές ακέραιες ρίζες της: ανχ

ν + αν-1χν-1 + … + α1χ + α0 = 0, αν,…,α0 Ζ, είναι οι

ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου α0 Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το χ – ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x),

δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ) = 0. Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται πιο γρήγορα με το σχήμα Horner.

Bbs

2

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ορισμοί στο ορθογώνιο τρίγωνο

o ημΒ =

, συνΒ =

,

o εφΒ =

, σφΒ =

Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο

o τετμημένη του σημείου Μ: συνω

o τεταγμένη του σημείου Μ: ημω

τεταγμένη του σημείου Ε: εφω

o τετμημένη του σημείου Σ: σφω

o Ο άξονας xx' είναι ο άξονας των συνημιτόνων

o Ο άξονας yy' είναι ο άξονας των ημιτόνων

o Η ευθεία ε λέγεται ευθεία των εφαπτομένων

o Η ευθεια δ λέγεται ευθεία των συνεφαπτομένων

o -1 ≤ ημω ≤ 1

o -1 ≤ συνω ≤ 1

Μοίρες – ακτίνια: π(rad) = 1800 και

=

Bbs

3

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΟΞΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

o ημ2ω + συν2ω = 1

o εφω =

, σφω =

, εφωσφω = 1

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

Παραπληρωματικά τόξα: Έχουν ίσα ημίτονα

o ημ(180 – θ) = ημθ, συν(180 – θ) = -συνθ, εφ(180 – θ) = -εφθ, σφ(180 – θ) = -σφθ

o Αντίθετα τόξα: Έχουν ίσα συνημίτονα

o συν(– θ) = συνθ, ημ(– θ) = -ημθ, εφ(– θ) = -εφθ, σφ(– θ) = -σφθ

o Συμπληρωματικά τόξα: Το ημίτονο του ενός είναι ίσο με το συνημίτονο του άλλου

o ημ(90-θ) = συνθ,συν(90 – θ) = ημθ, εφ(90 – θ) = εφθ,σφ(90 – θ) = σφθ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΛΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

o Αν συνχ = α τότε υπολογίζουμε ένα θ ώστε συνθ = α και παίρνουμε συνχ = συνθ τότε πρέπει: χ= 2κπ θ, k Z

o Αν ημx = ημθ τότε:χ = 2κπ + θ ή χ = 2(κ+1)π –θ, k Z

o Αν εφχ = εφθ, τότε:χ = κπ + θ, k Z

o Αν σφχ = σφθ τότε: χ= κπ + θ, k Z

Bbs

4

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ-ΑΡΤΙΑ-ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

o Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει: 1. χ + Τ Α , χ – Τ Α 2. F(x + T) = f(x – T) = f(T) O Τ ονομάζεται περίοδος της f. π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

o Μια συνάρτηση f : A → R λέγεται άρτια αν: 1. για κάθε x Α ισχύει -x Α και 2. f(-x) = f(x) για κάθε x Α

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy'

o Μια συνάρτηση f : A → R λέγεται περιττή αν: 1 για κάθε. x Α ισχύει -x Α και 2. f(-x) = -f(x) για κάθε x Α

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0)

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Ως εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f: R R με f(x) = αx , α > 0 και α 1δηλαδή α (0,1) ( (1,+ ) Αν α > 1τότε ισχύουν: 1. έχει πεδίο ορισμού το R 2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+ )των θετικών πραγματικών αριθμών 3. είναι γνησίως αύξουσα στο R H γρ. παράσταση της τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των x

Bbs

5

Αν 0 < α < 1τότε ισχύουν: 2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+ )των θετικών πραγματικών αριθμών 3. είναι γνησίως φθίνουσα στο R 4. H γρ. παράσταση της τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη το θετικό ημιάξονα των x Προσοχή: Αν χ1 χ2 τότε αχ

1 αχ2 (λόγω της μονοτονίας της) οπότε με απαγωγή σε άτοπο έχουμε:

αχ1 = αχ

2 χ1 = χ2

Επίσης για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της αχ προσέχοντας αν α > 1 ή 0 < α < 1

Τέλος στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΟΡΙΣΜΟΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ) Ως γνωστόν έχουμε: logαx = θ αθ = χ Όταν α = e γράφουμε lnx και έχουμε το φυσικό λογάριθμο του x. Όταν α=10, τότε γράφουμε logx. Ως λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f: R R με f(x) = logαχ , α > 0 και α 1, χ > 0 Για τη logx ισχύουν: x (0,+ ) και y = logx R

Αν 0 < α < 1η f είναι γνησίως φθίνουσα και Αν α > 1 η f είναι γνησίως αύξουσα Έτσι η f(x) = lnx, όπου α = e, είναι γνησίως αύξουσα.

Bbs

6

Ιδιότητες Λογαρίθμων

Log10=1 lne=1

Log1=0 ln1= 0

log(βγ)=logβ+logγ ln(βγ)=lnβ+lnγ

log(β

γ)=logβ-logγ ln(

β

γ)=lnβ-lnγ

logβκ=κlogβ lnβκ=κlnβ

log

=

logα ln

=

lnα

log10β = β lneβ = β

β = 10logβ β = elnβ

αβ = 10βlogα αβ = eβlnα

Αν: (i) α > 1 τότε logx1 < logx2 x1 < x2 (ii) 0 < α < 1 τότε logx1 < logx2 x1 > x2

Προσοχή:

Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει:

Αν χ1 χ2 τότε logx1 logx2 οπότε με απαγωγή σε άτοπο έχουμε:

logx1 = logx2 χ1 = χ2

Bbs

7

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία αν αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της προόδου και τον συμβολίζουμε με ω. Δηλαδή: αν+1 = αν + ω αν+1 - αν = ω Ισχύει ότι:

αν = α1 + (ν – 1)ω , ν Ν*

αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι Α.Π. τότε β =

και ο β λέγεται αριθμητικός

μέσος των α και γ. • Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου αν με διαφορά ω είναι:

Sν =

( α1 + αν)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία αν αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό λ, τον οποίο ονομάζουμε λόγο της προόδου.

Αν λ τότε αν+1 = ανλ ή λ =

Ισχύει ότι: αν = α1λν-1, ν Ν*

αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι Γ.Π. τότε β2 = αγ και ο λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου αν με λόγο λ 1είναι

Sν = α1

Bbs

8

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Έστω διάνυσμα με άκρα τα Α(x1, y1), B(x2, y2) τότε: + = ή = - και

= (x2 - x1, y2 - y1).

Tο μέσο Μ του εχει συντεταγμένες: (

,

)

Συντελεστής διεύθυνσης του καλείται η εφω = λ, όπου ω είναι η γωνία του . με τον άξονα των χ, και

λ =

. με

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων και : = |α| |β|συνω = χ1χ2 + y1y2 (ω είναι η

γωνία των και )

Υπολογισμός ω: συνω =

=

ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1. Αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι ίσοι (λ1 = λ2)

2. Δύο διανύσματα είναι παράλληλα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα (det) των

συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:det( , ) =

= x1y2 –x2 y1 = 0

3. Αν είναι συγγραμμικά ( = κ )

4. Το εσωτερικό γινόμενό τους είναι = |α| |β| (Αφού = |α| |β|συνω και ω = 00)

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Αν για τους συντελεστές διεύθυνσής τους ισχύει: λ1 λ2 = -1

Το εσωτερικό γινόμενό τους είναι μηδέν (Αφού = |α| |β|συνω και ω = 900) Αλλιώς: χ1χ2 + y1y2 = 0 χ1χ2 = -y1y2

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ.

Εξίσωση ευθείας: y = αx + β Αχ + Βy + Γ = 0 y - y0 = λ(x – x0) (Με συντ. διεύθυνσης λ και διερχόμενη από γνωστό σημείο (χ0, y0)

+

= 1

Bbs

9

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ Απόσταση d σημείου A(x0, y0) από την ευθεία: Αχ + Βy + Γ = 0

d =

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (ΑΒΓ)

Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου A(χ1, y1), B(χ2, y2), Γ(χ3, y3): Ε =

|det( , )|

ΚΥΚΛΟΣ

Εξίσωση κύκλου: (x – x0)

2 + (y – y0)2 = ρ2, όπου (χ0, y0) είναι το κέντρο του και ρ η ακτίνα του.

x2 + y2 = ρ2 (Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων) και χ2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0 H εξίσωση της εφαπτομένης (ε) σε ένα σημείο του A(χ1, y1), είναι χχ1 + yy1 = ρ2

ΜΕΓΙΣΤΗ-ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Είναι τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία ΟΚ (ΟΑ)=ελάχιστη απόσταση από το Ο(0,0), (ΟΜ)=μέγιστη απόσταση από το Ο(0,0)

ΕΛΛΕΙΨΗ

O γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων,

μεγαλύτερο από ΕΕ΄, από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄ του επιπέδου. Τα σημεία

Ε και Ε΄ λέγονται εστίες της έλλειψης και η

απόσταση ΕΕ΄ λέγεται εστιακή απόσταση.

Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία Ε΄(-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερή απόσταση από αυτές 2α είναι:

+

= 1 όπου β =

Ο λόγος ε =

λέγεται εκκεντρότητα της

έλλειψης και είναι < 1

Η εφαπτόμενη της έλλειψης C στο σημείο της A(χ1, y1), έχει εξίσωση

+

= 1

x

y

0 Ε΄ Ε

2γ

2α

2β

Β΄

A΄ A

B

Bbs

10

ΠΑΡΑΒΟΛΗ O γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία

δ και ένα σταθερό σημείο Ε -

εκτός της ευθείας δ. Η ευθεία

δ ονομάζεται διευθετούσα και

το σημείο Ε ονομάζεται εστία

της παραβολής. Η απόσταση

της εστίας από την

διευθετούσα ευθεία ΑΕ = ρ

απόλυτη τιμή του p παριστάνει

την.

y2 = 2ρχ (|ρ| = AE)

Η εφαπτόμενη της παραβολής y2 = 2ρχ στο σημείο A(χ1, y1), έχει εξίσωση:

yy1 = ρ(χ + χ1)

ΥΠΕΡΒΟΛΗ O γ. τ. των σημείων του επιπέδου των οποίων η

απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων

από δύο δεδομένα σταθερά σημεία Ε και Ε΄

είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄.Τα σημεία Ε

και Ε΄ ονομάζονται εστίες της υπερβολής και η

απόσταση ΕΕ΄ ονομάζεται εστιακή απόσταση

Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε΄(-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά από αυτές 2α είναι:

-

= 1 όπου β =

Ο λόγος ε =

λέγεται εκκεντρότητα της υπερβολής και είναι > 1

Η εφαπτόμενη της υπερβολής C στο σημείο της A(χ1, y1), έχει εξίσωση

-

= 1

Αν α = β τότε έχουμε χ2 – y2 = α2 και έχουμε ισοσκελή υπερβολή

x

y

Ε΄ Ε

Σ

2γ

2α

Σ

Ε Κ ΑΚ

δΚ

Bbs