1

ΑΡΙΘΜΟΙ

Βασική Θεωρία Αριθμών

(number theory)

2

Πρακτικοί λόγοι (εξετάσεις)

προτεινόμενο ερώτημα εξετάσεων για ΠΠΛ

(αν α, β, γ είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, να

αποδείξετε ότι ο αριθμός 2α+β+γ+5 είναι άρτιος)

μέρος ερωτημάτων προαγωγικών εξετάσεων στο

σχολείο

(ποια η πιθανότητα από τους διαιρέτες του 50 να

επιλέξουμε άρτιο)

μαθηματικοί διαγωνισμοί (Θαλής κλπ)

Μαθηματική χρησιμότητα

Κατανόηση μαθηματικής απόδειξης

Μαθηματική ομορφιά

"Αν τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών

τότε η θεωρία αριθμών είναι η κορωνίδα τους" (Hardy)

Ενδιαφέρουσες εφαρμογές εκτός Μαθηματικών

κρυπτογραφία, ασφάλεια Η/Υ, κλπ

γιατί;

3

- Φυσικοί αριθμοί: Ν = {0,1,2,3,... }

Για οποιουσδήποτε φυσικούς α,β υπάρχουν φυσικοί π, υ ώστε:

β = α∙π + υ

π = πηλίκο, υ = υπόλοιπο με 0 ≤ υ < α.

Αν υ = 0 τότε η διαίρεση είναι τέλεια και ο α διαιρεί τον β.

π.χ 40 = 4·10 + 0 και ο 4 διαιρεί το 40 Αν ο α διαιρεί τους β και γ τότε διαιρεί και το β+γ π.χ 3 διαιρεί τους 6 και 21, άρα θα διαιρεί και το 6+21 = 27 Αν ο α διαιρεί το β τότε θα διαιρεί και κάθε

πολλαπλάσιο του β. π.χ 5 διαιρεί το 15, άρα θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του 15 όπως το 4·15 = 60. Ένας φυσικός ν λέγεται άρτιος (ζυγός) όταν

διαιρείται ακριβώς με το 2 και γράφεται ως: ν = 2 · κ , όπου κ φυσικός. Κάθε περιττός ν γράφεται στην μορφή: ν = 2 · κ + 1, όπου κ φυσικός (γιατί;)

Διαίρεση

4

5

Πρώτος αριθμός λέγεται ένας φυσικός (>1) που

διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Οι πρώτοι αριθμοί είναι "τα ατομικά σωματίδια" από

τα οποία συνθέτονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί, γιατί:

(Ευκλείδης) Κάθε φυσικός (>1) μπορεί να γραφεί ως

γινόμενο δυο ή περισσότερων πρώτων.

π.χ 50 = 2·5·5 = 2·52

Πρώτοι αριθμοί

6

Έστω α,β δυο φυσικοί (όχι μηδέν). Τότε,

ΕΚΠ των α,β (συμβολίζεται ΕΚΠ(α,β)) λέγεται ο

μικρότερος φυσικός που διαιρείται και από τους δυο.

π.χ ΕΚΠ (180, 84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1260 γιατί: 180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 22 · 32 · 5

84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 22 · 3 · 7

ΜΚΔ των α,β (συμβολίζεται ΜΚΔ(α,β)) λέγεται ο μεγαλύτερος φυσικός που τους διαιρεί ταυτόχρονα.

π.χ ΜΚΔ (180, 84) = 22 · 3 = 12 γιατί: 180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 22 · 32 · 5

84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 22 · 3 · 7

Ιδιότητα: π.χ ΜΚΔ (18, 10) = 2, ΕΚΠ (18, 10) = 90, οπότε 18 · 10 = 180 ΜΚΔ (18, 10) · ΕΚΠ (18, 10) = 2 · 90 = 180

ΜΚΔ και ΕΚΠ

α∙β = ΜΚΔ(α,β) ∙ ΕΚΠ(α,β)

7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι 1. Να εξεταστεί αν ο αριθμός 29 ·3 είναι διαιρετός από α) το 5 β) το 8 γ) το 9 δ) το 6 2. Αν ένας αριθμός διαιρείται από το 4 και το 3 τότε διαιρείται και από το 4·3 = 12; 3. Αν ένας αριθμός διαιρείται από το 4 και το 6 τότε διαιρείται και από το 4·6 = 24; 4. Ο αριθμός α δεν διαιρείται από το 3. Μπορεί ο αριθμός 2α να διαιρείται από το 3; 5. Ο αριθμός α είναι άρτιος. Δείξτε ότι ο 3α διαιρείται από το 6. 6. Αν ο αριθμός 15α διαιρείται από το 6 τότε διαιρείται και από το 4·6 = 24; 7. Να βρεθεί ο μικρότερος τριψήφιος φυσικός που όταν διαιρεθεί με το 2, το 3 , το 7 αφήνει υπόλοιπο 1. 8. Να δειχθεί ότι το γινόμενο τριών διαδοχικών αριθμών διαιρείται από το 6. 9. Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2α+β+γ+5 είναι άρτιος. 10. Αν το κλάσμα 12 / ν - 1 είναι θετικός ακέραιος αριθμός και ν φυσικός αριθμός να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του ν. 11. Να βρείτε την πιθανότητα ώστε ένας αριθμός να μικρότερος 900 που επιλέγεται τυχαία να είναι διαιρείται από το 10. 12. Να δείξετε ότι α) το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών είναι άρτιος β) το τετράγωνο περιττού φυσικού αριθμού έχει τη μορφή: 8κ+1 γ) ότι ανάμεσα σε 3 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς ο ένας είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 3 δ) η διαφορά ν3-ν είναι πολλαπλάσιο του 3.

13. Να βρείτε όλους τους διψήφιους πρώτους αριθμούς, στους οποίους κανένα ψηφίο δεν είναι πρώτος αριθμός. 14. Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων του 416 · 525

8

Η κρυπτογραφική μέθοδος του Καίσαρα: Αντιστοιχούμε σε κάθε γράμμα του αλφαβήτου

έναν αριθμό από το 0 έως το 23, δηλαδή Α ↔ 0, Β↔1, Γ↔2, Δ↔3, Ε↔4, ..., Ω↔23 Αντικαθιστούμε κυκλικά το γράμμα που

αντιστοιχεί σε έναν αριθμό ν με το γράμμα που αντιστοιχεί στον αριθμό ν+3, δηλαδή:

Α ↔ 0 και 0 + 3 = 3 ↔ Δ οπότε Α ↔ Δ, όμοια Β ↔ 1 και 1 + 3 = 4 ↔ Ε οπότε Β ↔ Ε, και Γ↔Ζ, Δ↔Η, Ε↔Θ, ..., Ω↔Γ ( f(ν) = (ν+3) mod24 ) Παράδειγμα

Η λέξη: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ γίνεται: ΟΔΛΚΟΔΧΜΝΔ

Αποκρυπτογράφηση: κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία: π.χ η λέξη ΟΔΛΔΜΠΓ

αντιστοιχεί ως εξής: Ο↔15 και 15 - 3 = 12 ↔ Μ οπότε Ο ↔ Μ. Όμοια καταλήγουμε στην λέξη ΜΑΘΑΙΝΩ

( f-1(ν) = (ν-3) mod24 )

Κρυπτογραφία

9

Στην παραπάνω περίπτωση λέμε το κλειδί είναι το

3 (ή αλλιώς το Δ γιατί το Α αντιστοιχεί στο Δ). Όμως ως κλειδί μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε αριθμό ή γράμμα.

Στο λατινικό αλφάβητο οι αριθμοί είναι από το 0

έως το 25 (26 γράμματα).

Πώς μπορούμε να σπάσουμε τον κώδικα αν δεν ξέρουμε το κλειδί; Κάνουμε ανάλυση συχνότητας γλώσσας. Στα Αγγλικά το πιο κοινό γράμμα είναι το Ε και δεύτερο έρχεται το Α (και το πιο σπάνιο το z). Στα ελληνικά είναι το Α και δεύτερο έρχεται το Ε.

Αν το κείμενο είναι μικρό τότε δεν μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε το τρόπο αυτό. Τι μπορούμε να κάνουμε;

Ερώτηση Αποκρυπτογραφήστε το παρακάτω κείμενο στα Αγγλικά αφού βρείτε πρώτα το κλειδί: A DGNW ESLZWESLAUK SFV KGDNAFY WPWJUAKWK

10

11

12

ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΗ (RSA)

Ασύμμετρη κρυπτογράφηση (δημόσιο / ιδιωτικό κλειδί)

Μαθηματική αρχή: η δυσκολία εύρεσης των πρώτων παραγόντων ενός πολύ μεγάλου αριθμού.

π.χ έστω ο 1459160519. Πόσος χρόνος χρειάζεται ένας υπολογιστής να βρει πρώτους p,q ώστε 1459160519 = p·q ; χρειάζεται να ελέγξει περίπου 38.000 δυνατά γινόμενα. Αν αντί για τον 1459160519 είχαμε 400 ψηφία θα χρειαζόταν 10176 φορές η ηλικία του σύμπαντος

Πώς λειτουργεί: επιλέγουμε δυο μεγάλους πρώτους p , q (100 ή 200 ψηφία ο καθένας). Τους κρατάμε μυστικούς (ιδιωτικό κλειδί). Τους πολ/με και ο Ν = p ·q είναι το δημόσιο κλειδί.

Με το δημόσιο κλειδί κρυπτογραφούν μηνύματα τα οποία για να τα αποκρυπτογραφήσω χρειάζεται να παραγοντοποιήσω το Ν, το οποίο δεν μπορεί να το κάνει κάποιος άλλος χωρίς να ξέρει τα p,q.

13

Ε

Network

Plain Text

Cipher Text

Cipher Text

D

Plain Text

Secret Key

14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΙ

1. Να κρυπτογραφήσετε τη φράση: Θα έρθω σε μια ώρα με τον κώδικα του Καίσαρα και κλειδί 5. 2. Αποκρυπτογραφήστε στα Αγγλικά: esp ntaspc sld mppy mczvpy

15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Δυο φυσικοί α,β λέγονται σχετικά πρώτοι μεταξύ τους αν ΜΚΔ(α,β) = 1. Παραδείγματα

Οι 8 και 45 είναι σχετικά πρώτοι. Αν α, β είναι πρώτοι τότε είναι σχετικά πρώτοι. Ο 1 είναι σχετικά πρώτος με κάθε άλλο φυσικό.

Παρατήρηση Αν οι α,β είναι σχετικά πρώτοι τότε δεν έχουν κανένα πρώτο ως κοινό παράγοντα στην ανάλυση τους (γιατί;)

Σχετικά πρώτοι

16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΙ

1. Αν p και q είναι πρώτοι, να βρεθεί το πλήθος των διαιρετών του: α) p·q, β) p2·q, γ) p2·q2 δ) pν·qμ

2. Να βρεθούν οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του 1000 και διαιρούνται με το 13. Πόσοι αριθμοί έως το 1000 είναι σχετικά πρώτοι με το 13; 3. Να δειχθεί ότι το γινόμενο πέντε διαδοχικών αριθμών διαιρείται από το 30. (Υπόδ. δείξτε ότι διαιρείται από το 5 και μετά από το 3 και το 2). 4. Έστω ο πρώτος p. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών που είναι α) μικρότεροι από τον p και σχετικά πρώτοι με αυτόν, β) μικρότεροι από τον p2

και σχετικά πρώτοι με αυτόν. 5.Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός ν ώστε ο αριθμός ν! = 1·2·3·4·...·(ν-1)·ν να διαιρείται από τον 990 (Υπόδ. 990 = 2·32·5·11 άρα ο ν! περιλαμβάνει ως παράγοντα το 11...) 6. Μπορεί ένας αριθμός που γράφεται με 100 μηδενικά, 100 μονάδες και 100 φορές το ψηφίο 2 να είναι τέλειο τετράγωνο; (Υπόδ. θα διαιρείται με το 3 γιατί έχει άθροισμα ψηφίων 3 αλλά όχι από το 9). Αν αποτελείτο από 200 μηδενικά, 200 μονάδες και 200 φορές το ψηφίο 2;

17

ΤΕΛΕΙΟΙ Τέλειοι είναι οι αριθμοί που είναι ίσοι με το

άθροισμα των διαιρετών τους (εκτός του εαυτού τους). Π.χ 6 = 1 +2 + 3, 28 (γιατί;)

Έως σήμερα έχουν βρεθεί 42 τέλειοι. Ο

μεγαλύτερος έχει 2.663 ψηφία. (Euler) Κάθε άρτιος τέλειος είναι της μορφής:

(2ν -1)·2ν-1 όπου ο 2ν -1 είναι πρώτος. Π.χ για ν = 2, 3, 5 ,7 παίρνουμε τους τέλειους: 6, 28, 496, 8.128.

Δεν έχει ανακαλυφθεί περιττός τέλειος.

Ειδικές κατηγορίες αριθμών

18

ΦΙΛΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φίλιοι είναι δυο αριθμοί που το άθροισμα των

διαιρετών (εκτός του εαυτού τους) του ενός είναι ίσο με το αντίστοιχο άθροισμα του άλλου.

Π.χ 220 και 284 γιατί: διαιρέτες του 220 είναι: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 και το άθροισμα τους είναι 284 διαιρέτες του 284 είναι: 1, 2, 71, 142 και το άθροισμα τους είναι 220.

The First Thirteen Amicable Pairs

1 220 284

2 1,184 1,210

3 2,620 2,924

4 5,020 5,564

5 6,232 6,368

6 10,774 10,856

7 12,285 14,595

8 17,296 18,416

9 63,020 76,084

10 66,928 66,992

11 67,095 71,145

12 69,615 87,633

13 79,750 88,730

19

ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Τριγωνικοί είναι οι αριθμοί που μετρούν τον

αριθμό των αντικειμένων που σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο όπως στο σχήμα.

Ισχύει Τν = 1+2+3+...+ν Το άθροισμα δυο διαδοχικών τριγωνικών

αριθμών είναι τετραγωνικός (απόδειξη;) Ο γενικός τύπος είναι: Τν = ν(ν+1)/2 (απόδειξη;)

20

ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Type

1st

2nd 3rd 4th 5th 6th

Triangu

lar

Value 1 3 6 10 15 21

Square

Value 1 4 9 16 25 36

Pentago

nal

Value 1 5 12 22 35 51

Hexago

nal

6 15 28 45 66

21

ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI

Αριθμοί Fibonacci είναι οι αριθμοί που δημιουργούνται με το άθροισμα των αμέσως δυο προηγούμενων τους. Δηλαδή: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ; Η σειρά των αριθμών που ικανοποιεί κάποιον κανόνα παραγωγής των όρων της λέγεται ακολουθία αριθμών.

αν πάρουμε τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci, δηλαδή:

,...813,58,35,23,12 τότε οι λόγοι διαρκώς πλησιάζουν τον

αριθμό 2

15 ≈1,618 ο οποίος λέγεται φ.

Οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να βρεθούν

στη φύση (σπείρες ναυτίλου/οστράκων, σπείρες λουλουδιών, αναλογίες ανθρώπινου σώματος)

στην τέχνη (αρχιτεκτονική, γλυπτική, ζωγραφική) Ποιο είναι το πρόβλημα από το οποίο ξεκίνησε η ανακάλυψη τους από τον Fibonacci; (project)

22

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΙΙ 1. Σε ένα πάρτυ ο καθένας χαιρετάει με χειραψία όλους τους υπόλοιπους. Πόσες χειραψίες θα γίνουν αν υπάρχουν στο δωμάτιο α) 5 άνθρωποι β) 10 άνθρωποι γ) ν άνθρωποι 2. Αν ν άνθρωποι τσουγκρίσουν τα ποτήρια τους έτσι ώστε ο καθένας να τσουγκρίσει ακριβώς μια φορά το ποτήρι καθενός άλλου, πόσα τσουγκρίσματα θα γίνουν; 3. Δείξτε ότι αν ν είναι τριγωνικός, τότε ο 8ν+1 είναι τετραγωνικός. 4. Υπολογίστε το άθροισμα των πολλαπλασίων του 3 α) έως το 300 β) έως το 3ν 5. Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δυο τριγωνικών είναι τριγωνικός.

23

ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ

PASCAL ΚΑΙ Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ

ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ

24

Γάλλος μαθηματικός (και φυσικός και φιλόσοφος)

Έζησε 1623 - 1662.

Έφτιαξε τις πρώτες υπολογιστικές μηχανές

Πιο γνωστή ρήση του: Η φύση είναι μια άπειρη

σφαίρα της οποίας το κέντρο είναι παντού και η

περιφέρεια πουθενά.

Blaise Pascal

25

Είναι πολύ απλό και μαθηματικά όμορφο και

μαθαίνεται εύκολα.

Με αυτό υπολογίζουμε συντελεστές σε

οποιαδήποτε ταυτότητα (διωνυμική) μάθουμε

έως ότου αποφοιτήσουμε από το

Πανεπιστήμιο.

Οι ταυτότητες που το χρησιμοποιούν είναι

από τα πιο σημαντικά θέματα εξετάσεων (και

στο Λύκειο).

Έχει εφαρμογές και σε άλλα μαθηματικά

(Πιθανότητες, Συνδυαστική).

Γιατί το μαθαίνουμε;

26

Πώς κατασκευάζεται:

ξεκινάμε γράφοντας το 1 στην πρώτη γραμμή και στη δεύτερη γραμμή άλλα δυο 1 ώστε το αρχικό 1 να είναι μεταξύ τους:

1 1 1

στην συνέχεια γράφουμε στην τρίτη γραμμή στα ενδιάμεσα κενά τα αθροίσματα των από πάνω δυο αριθμών (όταν δεν υπάρχει ένας θεωρούμε ότι είναι το 0):

1

1 1 1 2 1

συνεχίζουμε έτσι για κάθε επόμενη γραμμή:

Αριθμητικό τρίγωνο του

Pascal

27

Πώς αναπτύσσεται το διώνυμο (α+β)n

γραμμή 0: (α+β)0 = 1

γραμμή 1: (α+β)1 = 1·α + 1·β

γραμμή 2: (α+β)2 = 1·α2 + 2·α·β + 1·β2 (τετράγωνο αθροίσματος)

γραμμή 3: (α+β)3 = 1·α3 + 3·α2·β + 3·α·β2 + 1·β3

(κύβος αθροίσματος) γραμμή 4: (α+β)4 = = 1·α4 + 4·α3·β + 6·α2·β2 + 4·α3·β + 1·β4

γραμμή 0

γραμμή 1

γραμμή 2

γραμμή 3

γραμμή 4

γραμμή 5

Διώνυμο (ταυτότητες)

28

Binomial Expansion

Pascal's Triangle

2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1

3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1

4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1

... etc ...

29

ν! = 1·2·3·4·...·(ν-1)·ν

))(321()321(321

)!(!!

κν

kkkk

Συμβολίζουμε:

Συνδυασμοί

30

1. Μπορείτε να συνάγετε τις ταυτότητες των (α-β)2 και (α-β)3 ; 2. Ποιες οι ταυτότητες (α+β)4 και (α-β)4 ; 3. Να αναπτυχθούν οι παραστάσεις: α) (1+χ)3

β) (2-α)2

γ) (-2-χ)2

δ) (χ-α)3

ε) (2χ-1)2

στ) (-2-4χ)3

ζ) 2)12( x

4. Που βρίσκονται οι αριθμοί Fibonacci στους συντελεστές του τριγώνου του Pascal; 5. Με πόσους τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε από 4 λουλούδια διαφορετικού χρώματος ένα μπουκέτο που έχει δυο λουλούδια; 6. Πόσα δυνατά αποτελέσματα υπάρχουν αν ρίξουμε ένα νόμισμα τέσσερις φορές; Ποια η πιθανότητα να έρθουν 2 γράμματα; 7. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε ένα παγωτό με 3 διαφορετικές μπάλες παγωτού, αν μπορούμε να επιλέξουμε από 5 γεύσεις; 8. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε ένα παγωτό με 2 όχι κατ' ανάγκη διαφορετικές μπάλες παγωτού, αν μπορούμε να επιλέξουμε από 5 γεύσεις; 9. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε ένα παγωτό με 3 όχι κατ' ανάγκη διαφορετικές μπάλες παγωτού, αν μπορούμε να επιλέξουμε από 4 γεύσεις; 10. Πόσες ομάδες μπάσκετ μπορούμε να φτιάξουμε από 6 διαθέσιμους παίκτες; Από 7; Από 8;

11. Αν x2 + 4y2 = 20xy να δείξετε ότι : (x+2y)2 / (x-2y)2 = 2/3

31

Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής

είναι διπλάσιο του αθροίσματος της προηγούμενης.

Η πρώτη διαγώνιος περιέχει μόνο 1, η

δεύτερη τους αριθμούς 1,2,3... με σειρά, η τρίτη τους τριγωνικούς αριθμούς 1,2,6, ... , η επόμενη τους τετραεδρικούς αριθμούς κλπ

Ο αριθμός των συνδυασμών κ αντικειμένων

από ν είναι

κ

ν

Το τρίγωνο Pascal οδηγεί σε ένα φράκταλ

Sierpinski (project)

Ιδιότητες

32

τρίγωνο Sierpinski

http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/Excel/Sierpinski.html7

33

34

35

A Quincunx or "Galton Board

http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html

36

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ

ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ

ΚρυπτογραφίαΌμιλος Μαθηματικών |

Μητσάνη Ιωάννα

Τμήμα: Γ2

Υπ. Καθηγητής: Ν. Μεταξάς

Σχ. Έτος: 2013-2014

Πίνακας Περιεχομένων Εισαγωγή

Κρυπτογράφηση – Αποκρυπτογράφηση

1η περίοδος κρυπτογραφίαςi. Ο αλγόριθμος του Καίσαρα (Caesar cipher)ii. «Σπάζοντας» τον αλγόριθμο του Καίσαραiii. Πολυαλφαβητική Αντικατάσταση iv. Μέθοδος Κασίσκι

2η περίοδος κρυπτογραφίας

i. Γενική εικόνα εποχής

ii. Μηχανή ENIGMA

3η περίοδος κρυπτογραφίας

i. Γενική εικόνα εποχής

ii. Αλγόριθμος RSA

Βιβλιογραφία - Πηγές

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

1

Εισαγωγή Η κρυπτογραφία είναι ένας επιστημονικός κλάδος ο οποίος μελετά

και αναπτύσσει τεχνικές που αποσκοπούν στη κρυπτογράφηση και

στην αποκρυπτογράφηση μηνυμάτων με σκοπό την απόκρυψη του

περιεχομένου τους.

Η κρυπτογραφία είναι ένα παρακλάδι της κρυπτολογίας, η οποία

ασχολείται με την ασφάλεια των επικοινωνιών. Η κρυπτολογία

χωρίζεται σε 2 κλάδους: Την Κρυπτογραφία και την Κρυπτανάλυση.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

2

Κρυπτογραφία Κρυπτανάλυση Κρυπτολογία

Κρυπτογράφηση - Αποκρυπτογράφηση Τι είναι η κρυπτογράφηση;

Η κρυπτογράφηση (encrypton) είναι η διαδικασία μετατροπής ενός

μηνύματος σε μια μη κατανοητή μορφή με τη χρήση κάποιου

κρυπτογραφικού αλγόριθμου (cipher) ώστε να μην μπορεί να διαβαστεί

από κανέναν άλλο εκτός του νόμιμου παραλήπτη.

Τι είναι η αποκρυπτογράφηση;

Η αποκρυπτογράφηση (decryption) είναι η αντίστροφη διαδικασία και σε

αυτή παράγεται το αρχικό κείμενο από το κρυπτογραφημένο.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

3

1η περίοδος κρυπτογραφίας (π.Χ.-0)• Ο αλγόριθμος του Καίσαρα (Caesar cipher)

• «Σπάζοντας» τον αλγόριθμο του Καίσαρα

• Πολυαλφαβητική Αντικατάσταση

• Μέθοδος Κασίσκι

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

4

Ο αλγόριθμος του Καίσαρα

Ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα εκείνης της εποχής αποτελεί ο

αλγόριθμος του Καίσαρα-Caesar cipher (μέθοδος μονοαλφαβητικής

αντικατάστασης).

Πως λειτουργεί:Για την κρυπτογράφηση του μηνύματος, κάθε γράμμα του αντικαθιστάται

από κάποιο άλλο, το οποίο προκύπτει με προχώρηση στην αλφάβητο κατα

ορισμένες εκ τω προτέρων θέσεις.

Π.χ.: Αν έχει συμφωνηθεί προχώρηση 2 θέσεων, τότε το Α αντικαθιστάται

από το Γ, το Β από το Δ, το Γ από το Ε κ.ο.κ.

Ο πίνακας αντικατάστασης που προκύπτει είναι:

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

5

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Α Β

Ο αλγόριθμος του Καίσαρα «Σπάζοντας» τον κώδικα του Καίσαρα:

Ο κώδικας του Καίσαρα μπορεί εύκολα να σπάσει ακόμα και με σενάριο κρυπτοκειμένου μόνο (ciphertext-only scenario). Μπορούν να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις:

I. Ο επιτιθέμενος γνωρίζει (ή υποθέτει) ότι έχει χρησιμοποιηθεί κάποιου είδους κώδικας απλής αντικατάστασης, αλλά όχι ότι πρόκειται για τον κώδικα του Καίσαρα συγκεκριμένα.

II. Ο επιτιθέμενος γνωρίζει ότι πρόκειται για κώδικα του Καίσαρα, αλλά δεν γνωρίζει την τιμή της μετατόπισης.Στην πρώτη περίπτωση ο κώδικας μπορεί να σπάσει χρησιμοποιώντας τις ίδιες τεχνικές όπως και σε ένα γενικό απλό κώδικα αντικατάστασης, όπως η ανάλυση συχνότητας ή οι λέξεις μοτίβα. Ενώ θα λύνεται, είναι πιθανό ότι ο επιτιθέμενος θα διαπιστώσει σύντομα την κανονικότητα στη λύση και θα συμπεράνει ότι χρησιμοποιείται ο κώδικας του Καίσαρα.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

6

Ο αλγόριθμος του Καίσαρα

«Σπάζοντας» τον κώδικα του Καίσαρα:

Στην πρώτη περίπτωση ο κώδικας μπορεί να σπάσει χρησιμοποιώντας τις

ίδιες τεχνικές όπως και σε ένα γενικό απλό κώδικα αντικατάστασης, όπως

η ανάλυση συχνότητας ή οι λέξεις μοτίβα. Ενώ θα λύνεται, είναι πιθανό ότι

ο επιτιθέμενος θα διαπιστώσει σύντομα την κανονικότητα στη λύση και θα

συμπεράνει ότι χρησιμοποιείται ο κώδικας του Καίσαρα.

Στη δεύτερη περίπτωση το σπάσιμο του κώδικα είναι ακόμα πιο εύκολο.

Καθώς υπάρχει περιορισμένος μόνο αριθμός πιθανών μετακινήσεων (24

στα Ελληνικά), μπορούν να εξεταστούν με τη σειρά σε μία brute force

attack. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να γραφτεί ένα τμήμα του

κρυπτογραφημένου κειμένου σε ένα πίνακα για όλες τις πιθανές

μετατοπίσεις - τεχνική που κάποιες φορές ονομάζεται «completing the

plain component» (ολοκληρώνοντας το απλό συστατικό).

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

7

Πολυαλφαβητική αντικατάσταση

Η μέθοδος αυτή εφευρέθηκε από τον Ιταλό Τζιοβάνι Πόρτα και

τελειοποιήθηκε από τον Γάλλο Μπλαιζ ντε Βιζνέρ. Στην τελική της μορφή,

η μέθοδος χρησιμοποιεί έναν διψήφιο ή και πολψήφιο αριθμό, ο οποίος

αποτελεί και τον κώδικά της.

Ο αριθμός γράφεται κάτω από το κείμενο, έτσι ώστε κάθε ψηφίο του να

αντιστοιχεί σε ένα γράμμα. Το ψηφίο που είναι κάτω από το γράμμα

δείχνει πόσες θέσεις θα προχωρήσει το γράμμα στην αλφάβητο.

Παράδειγμα: Θέλουμε να κρυπτογραφήσουμε το μήνυμα ΣΤΕΙΛΑΤΕ

ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ με αριθμό το 23. Η κωδικοποίηση θα είναι:

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

8

Α Π Ο Σ Τ Ε Ι Λ Α Τ Ε Ε Ν Ι Σ Χ Υ Σ Ε Ι Σ

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

Γ Τ Ρ Φ Φ Θ Λ Ξ Γ Χ Η Θ Ο Μ Υ Α Χ Φ Η Μ Υ

Αρχικό κείμενο

Κρυπτογράφημα

Πολυαλφαβητική αντικατάσταση

Για την αποκρυπτογράφηση μηνυμάτων που έχουν κρυπτογραφηθεί με την πολυαλφαβητική αντικατάσταση, έχουν διατυπωθεί θεωρήματα τα οποία δίνουν κάποιες πιθανότητες επιτυχίας.

Μέθοδος Κασίσκι:Η Μέθοδος Κασίσκι, Εξέταση Κασίσκι ή αλλιώς Τεστ Κασίσκι είναι μια μέθοδος διάσπασης πολυαλφαβητικών κρυπτοσυστημάτων.

Τα βήματα για το Τεστ Κασίσκι είναι τα εξής:

1. Αναγνώριση των επαναλαμβανόμενων μοτίβων τριών ή περισσότερων χαρακτήρων

2. Για κάθε μοτίβο γράφουμε την διεύθυνση που ξεκινάνε τα μοτίβα

3. Υπολογίζουμε τη απόσταση μεταξύ των μοτίβων

4. Προσδιορίζουμε όλους τους παράγοντες των αποστάσεων ΜΚΔ

5. Επιλέγουμε τον παράγοντα που εμφανίζεται πιο συχνά

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

9

Πολυαλφαβητική αντικατάσταση

Η βασική ιδέα βρίσκεται πίσω από την παρατήρηση ότι λόγω της

επανάληψης κάποιων λέξεων μέσα στο μήνυμα, κρυπτογραφούνται και

παράγονται ίδια κρυπτοκείμενα όταν είναι ευθυγραμμισμένα με το κλειδί.

Τα επαναλαμβανόμενα συμπλέγματα θα πρέπει να είναι τουλάχιστον τρία.

Μετρώντας την απόσταση ανάμεσα στα επαναλαμβανόμενα μοτίβα

δημιουργείται μια λίστα από αποστάσεις και ο ΜΚΔ όλων αυτών είναι

συνήθως το μήκος του κλειδιού. Αν ο κρυπταναλυτής βρει το μήκος του

κλειδιού, π.χ. έστω 5, τότε σε ένα κρυπτογραφημένο κείμενο τα γράμματα

στην θέση (1, 1 + 5n) δημιουργούν μια λίστα μιας μονοαλφαβητικής

αντικατάστασης η οποία αναλύεται εύκολα με την ανάλυση συχνότητας

γραμμάτων.

Καταλήγουμε με τόσες λίστες όσα είναι τα στοιχεία του κλειδιού και

αντιμετωπίζουμε πλέον την πολυαλφαβητική αντικατάσταση σαν πολλές

απλές μονοαλφαβητικές αντικαταστάσεις.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

10

2η περίοδος κρυπτογραφίας (1900-1950)

• Εισαγωγή

• Μηχανή ENIGMA

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

11

Γενική εικόνα εποχής

Η 2η περίοδος κρυπτογραφίας τοποθετείται χρονολογικά στις αρχές του

20ου αιώνα και τελειώνει το 1950. Κατα τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η

κρυπτογραφία παρουσίασε ραγδαία ανάπτυξη. Αύτο είναι αποτέλεσμα των

δύο παγκοσμίων πολέμων, καθώς η ανάγκη που υπήρξε για ασφάλεια

μετάδοσης μηνυμάτων ήταν εξαιρετικά μεγάλη.

Τα κρυπτοσυστήματα εκείνης της περιόδου αρχίζουν να γίνονται

εξαιρετικά πολύπλοκα και να αποτελούνται από κρυπτομηχανές. Η

κρυπτανάλυσή τους απαιτούσε μεγάλο αριθμό προσωπικού και πολύ

χρόνο.

Εκείνη την περίοδο θα γίνει αισθητή η ανάγκη για μεγάλη υπολογιστική

ισχύ.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

12

Μηχανή ENIGMA

Η μηχανή Αίνιγμα χρησιμοποιήθηκε

κυρίως στη Γερμανία. Ο Πολωνός Marian

Renews, προσπάθησε και τελικά

παραβίασε την πρώτη μορφή του

γερμανικού στρατιωτικού

συστήματος Enigma χρησιμοποιώντας

θεωρητικά μαθηματικά το 1932. Ήταν η

μεγαλύτερη σημαντική ανακάλυψη στην

κρυπτολογική ανάλυση της εποχής. Αυτό

συνεχίστηκε μέχρι το 1939, μέχρι που ο

γερμανικός στρατός έκανε κάποιες

σημαντικές αλλαγές που οι Πολωνοί δεν

μπόρεσαν να παρακολουθήσουν, επειδή

η αποκρυπτογράφηση χρειαζόταν

περισσότερους πόρους από αυτούς που

μπορούσαν να διαθέσουν.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

13

3η περίοδος κρυπτογραφίας (1950-Σήμερα)

• Εισαγωγή

• Αλγόριθμος RSA

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

14

Γενική εικόνα εποχής

Αυτή η περίοδος χαρακτηρίζεται από την έξαρση της ανάπτυξης στους

επιστημονικούς κλάδους των μαθηματικών, της μικροηλεκτρονικής και

των υπολογιστικών συστημάτων.

Η εποχή της σύγχρονης κρυπτογραφίας αρχίζει ουσιαστικά με τον Claude

Shannon, αναμφισβήτητα ο πατέρας των μαθηματικών συστημάτων

κρυπτογραφίας. Το 1949 δημοσίευσε το έγγραφο «Θεωρία επικοινωνίας

των συστημάτων μυστικότητας» (Communication Theory of Secrecy

Systems) στο τεχνικό περιδικό Bell System και λίγο αργότερα στο βιβλίο

του, «Μαθηματική Θεωρία της Επικοινωνίας» (Mathematical Theory of

Communication), μαζί με τον Warren Weaver. Αυτά, εκτός από τις άλλες

εργασίες του πάνω στη θεωρία δεδομένων και επικοινωνίας καθιέρωσε

μια στερεά θεωρητική βάση για την κρυπτογραφία και την κρυπτανάλυση.

Εκείνη την εποχή η κρυπτογραφία εξαφανίζεται και φυλάσσεται από τις

μυστικές υπηρεσίες κυβερνητικών επικοινωνιών όπως η NSA.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

15

Αλγόριθμος RSA

Ο RSA είναι ένας κρυπταλγόριθμος ασύμμετρου κλειδιού, το όνομα του

οποίου προέρχεται από τους δημιουργούς του, Ron Rivest, Adi Shamir and

Len Adleman. Επιτρέπει όχι μόνο την κωδικοποίηση μηνυμάτων αλλά

μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί και ως ψηφιακή υπογραφή.

Ο RSA βασίζεται στη δυσκολία παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών

(σήμερα, συνήθως της τάξης των 1024 με 2048 μπιτς1). Χρησιμοποιούνται

δυο κλειδιά, ένα δημόσιο κατά τη διάρκεια της κρυπτογράφησης και ένα

ιδιωτικό για την αποκρυπτογράφηση.

1: Το bit (διαβάζεται μπιτ, συμβολίζεται ως b) είναι η στοιχειώδης μονάδα πληροφορίας στην

Επιστήμη Υπολογιστών και στις Τηλεπικοινωνίες.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

16

Αλγόριθμος RSA

Δημιουργία των κλειδιών

i. Επιλέγουμε 2 τυχαίους (μεγάλους) πρώτους αριθμούς p και q, έτσι ώστε p ≠ q

ii. Υπολογίζουμε n=pq

iii. Υπολογίζουμε τη συνάρτηση του Όιλερ, φ(n)=(p-1)(q-1).

iv. Επιλέγουμε έναν αριθμό e>1 έτσι ώστε eφ(n) ≡ 1 (mod n).

v. Υπολογίζουμε τον αριθμό d έτσι ώστε d ≡e-1 (mod φ(n)).

Για την εύρεση πρώτων αριθμών χρησιμοποιούνται πιθανολογικοί αλγόριθμοι.

Συνηθισμένες επιλογές για το e είναι το 3, 7 και 216 + 1. Μικροί αριθμοί οδηγούν σε ταχύτερους υπολογισμούς αλλά και σε πιο αδύνατη ασφάλεια.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

17

Αλγόριθμος RSA

Τα κλειδιά είναι τα εξής:

δημόσιο: (n,e)

ιδιωτικό: (n,d)

Μπορούμε τώρα να δημοσιεύσουμε το πρώτο κλειδί, δίνοντας έτσι τη

δυνατότητα σε οποιονδήποτε να μας στείλει κρυπτογραφημένα μηνύματα

που μόνο εμείς (χάρη στο ιδιωτικό κλειδί) μπορούμε να

αποκρυπτογραφήσουμε.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

18

Αλγόριθμος RSA

Κρυπτογράφηση:

Το μήνυμα μπορεί να αντιπροσωπευθεί από έναν αριθμό (π.χ. "RSA" →

0x525341, όπου 0x52 είναι ο δεκαεξαδικός κωδικός ASCII του χαρακτήρα R,

0x53 του S και τέλος 0x41 του A). Το κρυπτογραφημένο μήνυμα c

υπολογίζεται με τον εξής τρόπο:

c = me mod n

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

19

Αλγόριθμος RSA

Αποκρυπτογράφηση:

Αφού ληφθεί ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα , για να διαβάσουμε το αρχικό μήνυμα προβαίνουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

m=cd mod n≡(me)d mod n≡med mod n

Ξέρουμε πως e.d ≡ 1 (mod p-1) και e.d ≡ 1 (mod q-1), όποτε με το μικρό θεώρημα του Φερμά, έχουμε:

med≡m1≡m mod p-1και

med≡m1≡m mod q-1

Οι αριθμοί p και q είναι πρώτοι μεταξύ τους, χρησιμοιποιώντας λοιπόν το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων, έχουμε:

med≡m mod n

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

20

Βιβλιογραφία - Πηγές

Μαθηματικά και Κρυπτογραφία, 1ο λύκειο Βύρωνα

Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot and Scott A. Vanstone, Handbook

of Applied Cryptography, §1.8.4 31-32

Εγκυκλοπαίδια Πάπυρος Larousse Britannica, τόμος 31, σελ.243-246

www.wikibooks.org

www.wikpedia.org

Google Εικόνες

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

21

Μ Π Ε Θ Α Ν Η Π Ε Ν Υ – Γ ’ 2 Ε Υ Α Γ Γ Ε Λ Ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η 2 0 1 4

Σ Τ Ο Π Λ Α Ι Σ Ι Ο Τ Ο Υ Ο Μ Ι Λ Ο Υ Τ Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν

Υ Π . Κ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ : Ν . Μ Ε Τ Α Ξ Α Σ

π

Κύκλος – η απλούστερη μορφή στο σύμπαν. Οι κύκλοι βρίσκονται παντού στη φύση, όπως και στις ζωές των ανθρώπων από τους αρχαιότερους πολιτισμούς. Πηγαίνοντας πίσω στο χρόνο, θα δούμε πως τα πρώτα σπίτια υπήρξαν κυκλικά, ή ακόμη νωρίτερα πριν τους πολιτισμούς, οι άνθρωποι ζωγράφιζαν κύκλους εμπνευσμένοι από τη μητέρα φύση βλέποντας τις σταγόνες της βροχής, τον ήλιο και το φεγγάρι.

Τετράγωνο – αποκλειστικά φτιαγμένο με τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ίσες γωνίες. Από την αρχαιότητα, το τετράγωνο υπήρξε το ακριβώς αντίθετο του κύκλου. Δύσκολο να βρούμε τετράγωνα στη φύση – ίσως μόνο σε ειδικευμένες μορφές κρυστάλλων. Τα απλούστερα τετράγωνα προέρχονται από τον κύκλο: Όταν ζωγραφίζεις δύο κάθετες γραμμές να διαπερνούν το κέντρο ενός κύκλου, τα σημεία τομής τους με τον κύκλο σχηματίζουν ένα τέλειο τετράγωνο.

To πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου είναι ένα από τα σημαντικότερα της ιστορίας των μαθηματικών. Απασχόλησε για 2500 χρόνια όχι μόνο τους μαθηματικούς αλλά και το ευρύ κοινό. Η έκφραση «τετραγωνισμός του κύκλου» στην καθομιλουμένη, έφτασε να σημαίνει μεταφορικά πρόβλημα δυσεπίλυτο έως και άλυτο. Ο όρος «τετραγωνισμός» δημιουργήθηκε στην αρχαία Ελλάδα και σημαίνει την κατασκευή ενός τετραγώνου ισεμβαδικού προς το δοθέν σχήμα, με τη χρήση κανόνα και διαβήτη, σε πεπερασμένα το πλήθος βήματα.

Μοιάζει τόσο απλό πρόβλημα: Ας ζωγραφίσουμε ένα τετράγωνο το οποίο να καλύπτει την ίδια περιοχή όπως ένας κύκλος, χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Πόσο δύσκολο μπορεί να είναι;

Το πρόβλημα είχε αντιμετωπιστεί εμπειρικά πριν την ακμή του ελληνικούπολιτισμού, και ήταν ήδη γνωστό ότι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός. Κι όμως αυτή η τιμή που εκφράζεται με το

σύμβολο π προβληματίζει τους μαθηματικούς ανά τους αιώνες. Στο σύγχρονο

κόσμο, που χρησιμοποιούμε προηγμένα όργανα ακριβείας, είναι δύσκολο να παραδεχτούμε ότι υπάρχει ένας αριθμός που δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς. Το π δοκιμάζει τα όρια της αντίληψής μας και θέτει τη διαχωριστική γραμμή ανάμεσα στο πεπερασμένο και στο άπειρο.

Κανένας αριθμός δεν αιχμαλώτισε τόσο πολύ την προσοχή και τη φαντασία των ανθρώπων ανά τους αιώνες όσο ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς την ακτίνα του. Το π είναι άπειρος αριθμός όπως άπειρο είναι και το ενδιαφέρον που ξυπνάει.

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

Μεσοποταμία

Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν (βρέθηκε σε αρχαία πινακίδα στην περιοχή) ότι:

ο λόγος της περιμέτρου ενός κανονικού εξαγώνου προς την περιφέρεια του περιγεγραμμένου

κύκλου (6r/Γ), είναι ίσος με 6𝑟

Γ=

57

60+

36

(60)2

όπου: r είναι η ακτίνα, και Γ είναι η περιφέρεια του περιγεγραμμένου κύκλου.

Αφού Γ = 2 ⋅π ⋅ r

προκύπτει 3

𝜋=

57

60+

36

(60)2

Κάνοντας τις πράξεις, η τιμή του π που προκύπτει είναι 3,125, την οποία προφανώς πρέπει να γνώριζαν οι Βαβυλώνιοι

• Οι Αιγύπτιοι θεωρούσαν την τιμή του π ίση με 256/86. • Διαπίστωσαν με πολυάριθμες δοκιμές ότι ο λόγος π της περιφέρειας προς

τη διάμετρο είναι σταθερός. • Τους ενδιέφερε να βρουν μόνο τη σχέση του κύκλου με το τετράγωνο για

να είναι σε θέση να μετρούν με ακρίβεια εκτάσεις και κτίρια.

Πάπυρος του Rind ή πάπυρος του Ames, που περιέχει κείμενο του 1800 π.Χ. περίπου, στο οποίο αναφέρεται ένα πρόβλημα προσδιορισμού του εμβαδού ενός κυκλικού αγρού γνωστής διαμέτρου(πρώτη καταγεγραμμένη απόπειρα «τετραγωνισμού του κύκλου», δηλαδή η προσπάθεια κατασκευής ενός τετραγώνου

που να έχει το ίδιο εμβαδόν με αυτό ενός κύκλου)

Μια από τις εκπληκτικότερες αναλογίες της μεγάλης πυραμίδας της Giza (αποτελούσε ένα από τα 7 θαύματα

της αρχαιότητας) είναι ο λόγος του ύψους της προς τη βάση της, ο οποίος είναι ίσος περίπου με τον αριθμό π

Σύμφωνα με το αρχικό της ύψος, υπολογίζεται ότι ο λόγος είναι 3,1428571, δηλαδή 3 1/7 ακριβώς.

•O Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (499-428 π.Χ.) ήταν ο πρώτος Έλληνας που προσπάθησε να βρει μια συγκεκριμένη σχέση ανάμεσα στον κύκλο και στο τετράγωνο.

Οι Έλληνες γεωμέτρες δεν απέβλεπαν σε εμπειρική εκτίμηση του π. Γι’ αυτούς η γεωμετρία ήταν επιστήμη «καθαρής γνώσης» και έπρεπε να φτάσουν θεωρητικά στην κατασκευή της πλευράς τετραγώνου ίσου εμβαδού με το δοθέντα κύκλο, με χρήση κανόνα και διαβήτη.

Ο ελληνικός πολιτισμός (5ος αι. π. Χ. και μετά)

Η Αλεξανδρινή περίοδος (300 π.Χ. – 415 μ.Χ.)

Η Αλεξανδρινή περίοδος των Μαθηματικών ξεκινά με την ακμή του Ευκλείδη (300 π. Χ.) και τελειώνει με το θάνατο της Υπατίας (416 μ. Χ.). Χαρακτηριστικό αυτής της περιόδου δεν είναι οι φιλοσοφικές αναζητήσεις πάνω στη φύση των Μαθηματικών, όπως συνέβη προγενέστερα, αλλά στο πώς και πού μπορεί να μας χρησιμεύσουν.

Υπατία (370-416 μ.Χ.), νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός.

Ο Ευκλείδης σε λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών.

Εξαιρετικός εφευρέτης, μαθηματικός και φυσικός, ένας εκ των μεγαλύτερων στοχαστών της ιστορίας.

Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287-212 π.Χ.)

Όταν έστρεψε το ενδιαφέρον του στον κύκλο, χρησιμοποίησε τη μέθοδο του Αντιφώντα και του Βρύσωνα, ωστόσο ο Αρχιμήδης επικέντρωσε το ενδιαφέρον του στις περιμέτρους των δύο πολυγώνων αντί στα εμβαδά τους, κι έτσι βρήκε κατά προσέγγιση την περιφέρεια του κύκλου.

Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287-212 π.Χ.)

•Ο Αρχιμήδης δεν ενδιαφέρεται για την αφηρημένη, αριθμητική φύση του π, αλλά για μια σχέση ανάμεσα σε συγκεκριμένα γεωμετρικά μεγέθη.

•Η μέθοδός του έγκειται στο ότι η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου ν-πλευρών εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι μικρότερη της περιφέρειας του κύκλου, και άρα και της περιμέτρου του περιγεγραμμένου πολυγώνου. • Θεώρησε τις ακολουθίες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων πλευρών 6, 12, 24, 48 και 96 αντίστοιχα. Ξεκινώντας από ένα κανονικό 6-γωνο και διπλασιάζοντας τις πλευρές του, έφτασε σε ένα κανονικό πολύγωνο 96 πλευρών. Αυξάνοντας αρκετά τον αριθμό των πλευρών, οι δύο περίμετροι προσεγγίζουν εξωτερικά και εσωτερικά την περιφέρεια του κύκλου.

Συνοψίζοντας λοιπόν, ο Αρχιμήδης στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις» αναφέρει χαρακτηριστικά στην πρόταση 3:

•Έτσι φτάνοντας σε πολύγωνο 96 πλευρών ο Αρχιμήδης περιόρισε την τιμή του π στο διάστημα

3,14084... <π < 3,14285...

δηλαδή ότι το άνω και κάτω όριο του π είναι

3 (10/71) < π < 3 (1/7),

Η τιμή του π που προκύπτει από το μέσο όρο των άκρων είναι περίπου 3, 1419.

Το π στην Ανατολή: 100 – 700 μ.Χ

Μέχρι το 1000 μ.Χ. οι κινέζοι είχαν 2 τεράστια πλεονεκτήματα σε σχέση με τον υπόλοιπο κόσμο:• Χρησιμοποιούν δεκαδικούς αριθμούς (στη Δύση χρησιμοποιούνται λόγοι

ακεραίων).• Χρησιμοποιούν το μηδέν. Μοιάζει κάτι προφανές, που όμως δεν είχαν

σκεφτεί οι Ευρωπαίοι μέχρι τα τέλη του Μεσαίωνα.

Μειονεκτούν όμως, διότι λόγω πολιτικών πολιτευμάτων, οι ίδιοι δεν δημοσίευαν κανέναν από τους τρόπους υπολογισμού που ανακάλυπταν και έτσι, παρά τις καλές προσεγγίσεις του π, επικρατεί τελικά σχεδόν σε όλη την Ανατολή, η «πιο

τετραγωνική τιμή» √10.

3ος αιώνας μ.Χ. Ο Wang Fau χρησιμοποιεί π=142/45=3,5555 …

263 μ.Χ. Ο Liu Hui χρησιμοποιεί π=157/50=3,14 …

450 μ.Χ. Tsu Ch’ung-chich δημοσιεύει 355/133

530 μ.Χ. Ο Aryabhata χρησιμοποιεί π=62.832/20.000=3,1416

Μεταξύ 600-1600 μ.Χ. η Ιαπωνία και η Κίνα δεν έκανε καμία πρόοδο στην εξέλιξη του π.

Το 1631 όμως, ο Muramatsu Shigekiyo δημοσίευσε το Sanso του στην Ιαπωνία, αποδεικνύοντας πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο για να προσεγγίσουμε την περιφέρεια ενός κύκλου. Το Sanso ήταν σημαντικό για δύο λόγους: Πρώτον, ο Muramatsu δημοσίευσε τον τρόπο υπολογισμού (κάτι εντελώς ασυνήθιστο) και δεύτερον, παρ' ότι κατάφερε να βρει 7 ψηφία του π με ακρίβεια, δεν ήταν σίγουρος για τα αποτελέσματά του, και δημοσίευσε μόνο την προσέγγιση του π ως 3,14.

Μέχρι το 1800 περίπου στην Κίνα, χρησιμοποιώντας πάντα την μέθοδο του Αρχιμήδη, επιτυγχάνεται όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια (40 ψηφία, 25 σωστά). Το 1874 χρησιμοποιώντας τη σειρά του Gregory, ο Tseng υπολόγισε περίπου 100 ψηφία.

Το π στην Ανατολή: 100 – 700 μ.Χ

Μια χιλιετία προόδου: 600 – 1600 μ.Χ

Στα πρώτα σκοτεινά χρόνια του Μεσαίωνα στην Ευρώπη, οι μαθηματικές ανακαλύψεις των Πτολεμαίων διασώθηκαν από τους Άραβες.Τον 9ο αιώνα στη περιοχή του σημερινού Ιράκ, ο μεγάλος άραβας μαθηματικός Al’Khwarizimi παρουσίαζε τους υπολογισμούς του για το π χρησιμοποιώντας για πρώτη φορά τα ινδο-αραβικά νούμερα (που χρησιμοποιούμε σήμερα) καθώς και το μηδέν και την υποδιαστολή.

Στην αρχή της 2ης χιλιετίας, αναζωπυρώνεται το ενδιαφέρον στην Ευρώπη για τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία. Τα διασωθέντα από τους Άραβες κείμενα, περνάνε μέσω των Ισπανικών-Αραβικών κτήσεων και πάλι στην Ευρώπη.

Το 1202, o Leonardo de Pisa (Fibonacci) χρησιμοποιώντας και αυτός τα αραβικά νούμερα (συμπεριλαμβανομένου του μηδενός) προσέγγισε το π σε 3,1418.

Το 1579, ο Viète με τη μέθοδο του Αρχιμήδη υπολογίζει 10 ψηφία, γεγονός που αποτελεί την μεγαλύτερη ακρίβεια στην ιστορία, αν και το μεγάλο του κατόρθωμα είναι ότι περιέγραψε για πρώτη φορά το π ως ένα γινόμενο άπειρων όρων.

2

𝜋=

1

2×

1

2+

1

2

1

2×

1

2+

1

2

1

2+

1

2

1

2× ⋯

Επαναστατική εξίσωση αλλά συγκλίνει πολύ αργά στις τιμές του π, εξαιτίας των περίπλοκων τετραγωνικών ριζών.

Η περίοδος αυτή κλίνει με το ρεκόρ υπολογισμού 35 ψηφίων από τον Van Ceulen, έργο στο οποίο αφιέρωσε όλη του τη ζωή.

Μια χιλιετία προόδου: 600 – 1600 μ.Χ

Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Francoise Viète 1540 - 1603

Ludolph van Ceulen 1540 –1610

1600-1900 μ.Χ. Εποχή Μαθηματικών επιτευγμάτων

Το 1621, ο ολλανδός μαθηματικός Willebrod Snell (γνωστός από τον νόμο των συνημίτονων της διάθλασης στην γεωμετρική οπτική) επινόησε έναν τρόπο υπολογισμού που επιτάγχυνε τους υπολογισμούς στη βάση της κραταιάς μεθόδου του Αρχιμήδη.

Με τον τρόπο αυτό πέτυχε μεγαλύτερη ακρίβεια με πολύ μικρότερο αριθμό περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων πολυγώνων.

Το 1626, ο ολλανδός Christian Huygens (γνωστή αρχή του στη κυματική οπτική) απέδειξε τα θεωρήματα του Snell, και χρησιμοποιώντας περιγεγραμμένα και εγγεγραμμένα τρίγωνα απλοποίησε ακόμη περισσότερο την μέθοδο προσέγγισης του π.

Αυτοί οι δύο ήταν οι τελευταίοι μεγάλοι μαθηματικοί που επικεντρώθηκαν στην λύση που προτάθηκε από τον Αρχιμήδη, χρησιμοποιώντας πολύγωνα.

Την ίδια εποχή, ο John Wallis (άγγλος μαθηματικός και κρυπτογράφος) χρησιμοποίησε μια καινούργια προσέγγιση εύρεσης του εμβαδού του κύκλου, προσεγγίζοντας ένα τεταρτοκύκλιο με άπειρα μικρά τετράγωνα:

𝜋

2=

2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 …

1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 …

Άπειρο γινόμενο, όπως του Viète, χωρίς όμως τις τετραγωνικές ρίζες. Συγκλίνει και αυτό αργά.

Μια εξαιρετικά κομψή λύση δόθηκε από τον σκωτσέζο μαθηματικό James Gregory το 1675 και στη συνέχεια, μεγάλοι μαθηματικοί όπως ο Leibniz, ο Νεύτωνας, ο Euler διατύπωσαν απειροσειρές για τον υπολογισμό του π. Με αυτές, το ρεκόρ υπολογισμού ψηφίων του π, έφτασε στα 707 ψηφία από τον Shanks το 1873 (όπως αποδείχθηκε από τον Ferguson 72 χρόνια αργότερα, υπήρχε λάθος μετά το 527ο ψηφίο).

1600-1900 μ.Χ. Εποχή Μαθηματικών επιτευγμάτων

John Wallis (1616 – 1703)

Εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών1900 μ.Χ. έως σήμερα

To 1947 o Ferguson, χρησιμοποιώντας έναν από τους πρώτους υπολογιστές, εφάρμοσε την απειροσειρά των Gregory-Leibnitz υπολόγισε 808 ψηφία του π.

Η εξέλιξη ήταν ραγδαία. Μέσα σε λίγα χρόνια με τη βοήθεια των υπολογιστών, βρέθηκαν χιλιάδες και στη συνέχεια εκατομμύρια ψηφία του π.

Το τελευταίο ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π καταρρίφτηκε στις 28 Δεκεμβρίου 2013, μετά από μία εργασία 93 ημερών, ο Shigeru Kondo κατάφερε να φτάσει τους υπολογισμούς στα 12 περίπου τρισεκατομμύρια ψηφία.

Πρόσωπο/Λαός Χρονολογία Τιμή

Βαβυλώνιοι ~2000 π.Χ.3 1/8

Αιγύπτιοι ~2000 π.Χ. (16/9) 2= 3,1605

Κινέζοι ~1200 π.Χ. 3

Παλαιά Διαθήκη ~550 π.Χ. 3

Αρχιμήδης ~300 π.Χ.αποδεικνύει 3 10/71<π<3 1/7

χρησιμοποιεί 211875/67441=3.14163

Πτολεμαίος ~200 μ.Χ. 377/120=3.14166...

Chung Huing ~300 μ.Χ. ρίζα(10)=3.16...

Wang Fau 263 μ.Χ. 157/50=3.14

Tsu Chung-Chi ~500 μ.Χ. αποδεικνύει 3.1415926<π<3.1415929

Aryabhatta ~500 3.1416

Brahmagupta ~600 ρίζα(10)

Fibonacci 1220 3.141818

Ludolph van Ceulen 1596 Υπολογίζει 35 ψηφία του π

Machin 1706 100 ψηφία

Lambert 1766 Αποδεικνύει πως το π είναι άρρητος

Richter 1855 500 ψηφία

Lindeman 1882 Αποδεικνύει πως το π είναι υπερβατικός

Ferguson (χρησιμοποιώντας έναν από τους πρώτους υπολογιστές)

1947 808 ψηφία

Pegasus Computer 1957 7,840 ψηφία

IBM 7090 1961 100,000 ψηφία

CDC 6600 1967 500,000 ψηφία

Gregory V. Chudnovsky & David V. Chudnovsky, IBM 3090

1989 1,011,196,691 ψηφία

Shigeru Kondoy-cruncher by Alexander Yee, 2 x Intel Xeon E5-

2690 @ 2.9 GHz - (16 physical cores, 32 hyperthreaded) 128 GB DDR3 @ 1600 MHz - 8 x 16 GB - 8 channels

28 Δεκεμβρίου 2013 12,100,000,000,050 ψηφία

Μεγάλοι μαθηματικοί 20ου αιώνα για τον υπολογισμό του π

Srinivasa Ramanujan

22 Δεκεμβρίου 1887 – 26 Απριλίου 1920 ήταν αυτοδίδακτος Ινδός μαθηματικός. Παρότι είχε ελάχιστη έως καθόλου τυπική εκπαίδευση στα καθαρά μαθηματικά, κατάφερε σημαντικά επιτεύγματα στους τομείς της μαθηματικής ανάλυσης, την θεωρία αριθμών, τις απειροστικές σειρές και τα συνεχή κλάσματα. Στα μέσα της δεκαετίας του ‘80, οι Jonathan και Peter Borwein ανέπτυξαν μία εξαιρετικά ισχυρή εξίσωση για τον υπολογισμό του π βασισμένοι στις μελέτες των εξισώσεων του Ramanujan. Τα αποτελέσματά τους είναι εκπληκτικά, αφού χρησιμοποιώντας ‘τες, μπορείς να διπλασιάσεις ή ακόμα και να τετραπλασιάσεις τα ψηφία του π, κάθε φορά που τις εκτελείς.

Μεγάλοι μαθηματικοί 20ου αιώνα για τον υπολογισμό του π

Αδελφοί Chudnovsky (David & Gregory)

Οι αδελφοί Chudnovskys είναι Ουκρανοί μαθηματικοί που ζουν στην Αμερική. Για τον υπολογισμό του π, πέρα από τις μελέτες, χρησιμοποίησαν υπερυπολογιστή που είχαν στήσει στο δωμάτιό τους*, εκτελώντας εκατομμύρια πράξεις και καταρρίπτοντας το ρεκόρ υπολογισμού ψηφίων του π τη δεκαετία του ‘90.

* Πιθανώς εμπνεύστηκε ο Aronofsky για την ταινία του «π»

Γιατί η εμμονή με το π;

Μαθηματικοί στη πορεία της ιστορίας έχουν αφιερώσει χιλιάδες χρόνια για να υπολογίσουν όσα περισσότερα ψηφία από το π μπορούσαν. Το πιο πρόσφατο ρεκόρ, πάνω από 12 τρισεκατομμύριο ψηφία, είναι μια πρόκληση για την τεράστια δύναμη μυαλού και υπολογιστή. Αλλά γιατί το κάνουν αυτό οι άνθρωποι;

Ένας μηχανικός δεν θα χρειαζόταν ποτέ πάνω από 7 ψηφία, ενώ ένας φυσικός δεν θα χρησιμοποιούσε περισσότερα από 15 με 20 ψηφία. Γιατί λοιπόν οι μαθηματικοί επιμένουν τόσο πολύ;

Πρόκληση για την ανθρώπινη νόηση. (Όπως η ανάβαση στο Έβερεστ: Γιατί το κάνουμε; Επειδή είναι εκεί!)

Εφαρμογές στον έλεγχο υπολογιστώνΟ υπολογισμός του π είναι μία από τις δυσκολότερες προκλήσεις για έναν υπολογιστή. Ένας λάθος υπολογισμός σε ένα ψηφίο, προκαλεί λάθος σε όλα τα ψηφία που το ακολουθούν. Κάθε φορά που γίνεται προσπάθεια να καταρριφτεί το ρεκόρ, ανακαλύπτονται ατέλειες στο hardware ή στον software των υπολογιστών.

Γιατί η εμμονή με το π;

Το π μας διδάσκει για τα όρια της ανθρώπινης νόησης, μια λεπτή γραμμή ανάμεσα στο πεπερασμένο και το άπειρο. Δεν γνωρίζουμε το π μόνο μέσα από την αναλογία του κύκλου, αλλά και μέσω τον μαθηματικών, της φυσικής, της στατικής, της μηχανικής, της αρχιτεκτονικής, της βιολογίας, της αστρονομίας, ακόμη και μέσα από τις τέχνες.

Υπάρχει η μικρή αμφιβολία πως αν γνωρίζαμε καλύτερα αυτόν τον αριθμό, θα είχαμε μια βαθύτερη κατανόηση για τα μαθηματικά και τη φυσική στο σύμπαν μας. Δυστυχώς όμως, ο αριθμός κρατάει καλά τα μυστικά του.

Γιατί η εμμονή με το π;

Το σύμβολο «π»

Μοιάζει περίεργο, αλλά οι αρχαίοι έλληνες δεν χρησιμοποιούσαν το γράμμα π για να συμβολίσουν την αναλογία που συμβολίζει σήμερα. Ούτε οι Ρωμαίοι, ούτε οι Άραβες, ούτε οι Κινέζοι. Στην πραγματικότητα, σχεδόν κανένας δεν χρησιμοποιούσε οποιοδήποτε σύμβολο για να συμβολίσει το π, μέχρι δύο χιλιάδες χρόνια μετά την μελέτη του Αρχιμήδη πάνω στους κύκλους. Το σύμβολο π χρησιμοποιείται τα τελευταία 250 χρόνια για τη σύγχρονη σημασία του.

Το σύμβολο «π»

Αρχικά ως «π/δ» συμβολιζόταν ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου (William Oughtred), ενώ λίγα χρόνια αργότερα ο λόγοα αυτός συμβολίστηκε με ένα κουτί () από τον John Wallis. Ο Wallis, το 1685, χρησιμοποίησε πρώτος το π για να περιγράψει τελικά το λόγο αυτόν.

Αν και ο Wallis εισήγαγε πρώτος το σύμβολο π, ήταν ο μεγάλος μαθηματικός Leonhard Euler που 30 χρόνια αργότερα επέβαλε, μέσω της τεράστιας απήχησης του έργου του, το σύμβολο π.

Leonhard Euler John Wallis

Η φύση του π

Για αιώνες οι μαθηματικοί πίστευαν πως το π ήταν άρρητος (δεν μπορούσε να γραφτεί σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών), μέχρι που το 1761 ο Johann Heinrich Lambert απέδειξε το αντίθετο. Μια πιο αυστηρή απόδειξη έδειξε το 1794 ο Legendre ο οποίος απέδειξε πως όχι μόνο ο π είναι άρρητος, αλλά και ο 𝜋2.

Johann Heinrich Lambert Adrien-Marie Legendre

Αρκετά χρόνια αργότερα, το 1882, ο Ferdinand von Lindemann απέδειξε (βασιζόμενος σε σημαντικές μαθηματικές μεθόδους που είχαν αναπτυχθεί τα προηγούμενα 200 χρόνια) πως το π είναι υπερβατικός αριθμός.

Η απόδειξη αυτή, αποκλείει την επίλυση του τετραγωνισμού του κύκλου (με κανόνα και διαβήτη, κατασκευή τετραγώνου ίσου με το εμβαδό ενός κύκλου) αφού σύμφωνα με τον Lindemann, δεν μπορεί να κατασκευαστεί με αυτόν τον τρόπο ευθύγραμμο τμήμα μήκους π, αντίθετα από έναν άρρητο που είναι λύση

δευτεροβάθμιας εξίσωσης όπως π.χ. 2 (σχήμα 1). Αν μπορούσαμε να το κάνουμε αυτό, τότε εύκολα θα πετυχαίναμε τον τετραγωνισμό του κύκλου χρησιμοποιώντας π.χ. την ιδέα του Αρχιμήδη (σχήμα 2).

Σχήμα 1

2

Σχήμα 2

Υπάρχει δομή στο π;

Ο ανθρώπινος νους αντιλαμβάνεται μοτίβα. Τα σήματα που λαμβάνουμε με την όραση, ακοή τα αντιλαμβανόμαστε ξεχωρίζοντάς τα από την τυχαιότηταεξαιτίας της δομής τους. Παρ’ όλες τις προσπάθειες που έχουν γίνει δεν έχουμε καταφέρει να βρούμε κάποια χαρακτηριστικά ώστε τα δεκαδικά ψηφία του π να ξεφεύγουν από την τυχαιότητα.

Η σταθερά π αντιπροσωπεύεται σε αυτό το μωσαϊκό έξω από το μαθηματικό κτίριο στο Technische Universität Berlin.

Αν συσχετίσουμε τα ψηφία του π με νότες, δεν προκύπτει κάποια μελωδία.

Βίντεο: Τα ψηφία του π συσχετισμένα με νότες

Αν αντιστοιχήσουμε τα ψηφία με χρώματα, δεν παρατηρούμε κάποιο μοτίβο.

Εκτός αν ακούμε ή παρατηρούμε για πολύ ώρα, οπότε ίσως και να αρχίσουμε να πιστεύουμε πως υπάρχει…

Τα ψηφία του π αντιστοιχισμένα με χρώματα.

Τον 19ο αιώνα, ο Augustus De Morgan παρατήρησε ότι υπήρχαν λιγότερα 7άρια στα 600 πρώτα ψηφία. Όπως αποδείχτηκε το 1950, αυτό οφειλόταν στο ότι υπήρχαν λίγα ψηφία και ότι π.χ. στα 10 χιλιάδες ψηφία του π το πλήθος των 7 εξισωνόταν περίπου με αυτό των υπολοίπων ψηφίων (0-9).

Σήμερα στο 12 τρισεκατομμύρια ψηφία, δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια στατιστική ιδιαιτερότητα στο πλήθος των διαφορετικών ψηφίων.

Augustus De Morgan

Το να εξερευνείς το π, είναι σαν να εξερευνείς το διάστημα.

– David Chudnovsky

Είναι περισσότερο σαν μια υποβρύχια εξερεύνηση, όπου κοιτάς τη λάσπη του βυθού και όλα μοιάζουν το ίδιο.

– Gregory Dhudnovsky

Ευχαριστώ πολύ!

Βιβλιογραφία:

• The Joy of π – David Blatner• Διπλωματική εργασία «Η Ιστορία του π» - Αρώνη Παρασκευή

Υπερβατικοί αριθμοί

Υπερβατικοί είναι οι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί.

Αλγεβρικός είναι ο πραγματικός αριθμός που είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιος συντελεστές.

28/4/14Κρυπτογραφία - Μητσάνη Ιωάννα

62