ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

21
2 3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; . 3 3 2 2 2. Aν α, β θετικοι , να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β , Β =α β+αβ H Εννοια του διανυσματος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ν ο λ α του ● Το συνολο των φυσικων αριθμων: = {0,1,2,3,…} ● Το συνολο των ακεραιων αριθμων: = {…,-2,-1,0,1,2,…}. ● Το συνολο των ρητων αριθμων: = {ρ/ρ= μ ν , με μ και ν * }. ● Το συνολο των αρρητων αριθμων: {x/ το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα}. ● Το συνολο των πραγματικων αριθμων είναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρ- ρητων αριθμων. ● Το συνολο των περιττων αριθμων: {1,3,5,…} η {2ν+1/οπου ν }. ● Το συνολο των αρτιων αριθμων: {0,2,4,…} η {2ν/οπου ν }. 1 Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Αν α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε ότι: α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3. 2. Αν ο αριθμος α είναι αρρητος τοτε και ο αριθμος α-23 είναι επισης αρρητος. 1. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β=α+1 και γ=α+2 Οποτε: α+β+γ=α+(α+1)+(α+2)=3α+3=3(α+1)=(οπου κ=α+1) Αρα α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3. 2. Εστω ότι ο αριθμος α-23 είναι ρητος. Τοτε α-23=ρ, οπου ρ είναι ρητος αριθμος. Όμως α-23=ρ α=ρ+23 ατοπο, γιατι: είναι αριθμος είναι αριθμος. είναι αριθμος α αρρητος α - 23 αρρητος ρ + 23 ρητος Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετικη α+β=β+α α.β=β.α Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α.(β.γ)=(α.β).γ Επιμεριστικη α.(β+γ)=α.β+α.γ Ουδετερο στοιχειο α+0=α α.1=α Αντιθετος (προσθ) Αντιστροφος (πολ) α+(-α)=0 α. 1 α =1, α≠0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Αν οι αριθμοι α,β ειναι πραγματικοι και ισχυει: α=β και 5α--2(γ+δ-1)=2-β, να δειχτει οτι οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι. Αφου α=β τοτε η δοσμενη ισοτητα γινεται: --2(γ+δ-1)=2-α ---2δ+2)=2-α ---2δ=0 --2δ=0 -2(γ+δ)=0 γ+δ=0 Αρα οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/

Transcript of ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Page 1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

23. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον;.3 3 2 22. Aν α, β θετικοι , να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β , Β = α β+ αβ

H Εννοια του διανυσματος

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ν ο λ α του ● Το συνολο των φυσικων αριθμων: = {0,1,2,3,…}● Το συνολο των ακεραιων αριθμων: = {…,-2,-1,0,1,2,…}.

● Το συνολο των ρητων αριθμων: = {ρ/ρ= μν

, με μ και ν * }.

● Το συνολο των αρρητων αριθμων: {x/ το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα}.● Το συνολο των πραγματικων αριθμων είναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρ- ρητων αριθμων.● Το συνολο των περιττων αριθμων: {1,3,5,…} η {2ν+1/οπου ν }.● Το συνολο των αρτιων αριθμων: {0,2,4,…} η {2ν/οπου ν }.

1

Π α ρ α δ ε ι γ μ α1. Αν α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε ότι: α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3.2. Αν ο αριθμος α είναι αρρητος τοτε και ο αριθμος α-23 είναι επισης αρρητος.1. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β=α+1 και γ=α+2 Οποτε: α+β+γ=α+(α+1)+(α+2)=3α+3=3(α+1)=3κ (οπου κ=α+1) Αρα α+β+γ είναι πολλαπλασιο του 3.2. Εστω ότι ο αριθμος α-23 είναι ρητος. Τοτε α-23=ρ, οπου ρ είναι ρητος αριθμος. Όμως α-23=ρ α=ρ+23 ατοπο, γιατι:

είναι αριθμος είναι αριθμος.   είναι αριθμος

α αρρητος α - 23 αρρητοςρ + 23 ρητος

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑντιμεταθετικη α+β=β+α α.β=β.α

Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α.(β.γ)=(α.β).γ

Επιμεριστικη α.(β+γ)=α.β+α.γ

Ουδετερο στοιχειο α+0=α α.1=αΑντιθετος (προσθ) Αντιστροφος (πολ)

α+(-α)=0 α. 1α

=1, α≠0

Π α ρ α δ ε ι γ μ αΑν οι αριθμοι α,β ειναι πραγματικοι και ισχυει: α=β και 5α-6β-2(γ+δ-1)=2-β, να δειχτει οτι οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι.Αφου α=β τοτε η δοσμενη ισοτητα γινεται:5α-6α-2(γ+δ-1)=2-α 5α-6α-2γ-2δ+2)=2-α 5α-5α-2γ-2δ=0 -2γ-2δ=0-2(γ+δ)=0 γ+δ=0Αρα οι αριθμοι γ και δ ειναι αντιθετοι.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2

Σ υ ν ε π ε ι ε ςα = β α + γ = β + δ α ± γ = β ± γ

• • α = βγ = δ α.γ = β.δ α.γ = β.γ, γ 0

● α.0=0 ● α.β=0 α=0 η β=0 ● α.β≠0 α≠0 και β≠0 ● α.(-1)=-α ● (–α).β=-α.β ● (–α).(-β)=α.β ● –(α+β)=-α-β

α β α ± β α γ α.δ ± β.γ• ± = , γ 0 • ± = , β.δ 0γ γ γ β δ β.δ

1 1 1 α γ α.γ• = . , α.β 0 • . = , β.δ 0α.β α β β δ β.δ

● Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α-β=α+(-β)

● Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α:β=α. 1 , β 0 β

I δ ι ο τ η τ ε ς Α ν α λ ο γ ι ω ν α γ α γ α β• = α.δ = β.γ • = = β δ β δ γ δα γ δ γ α γ α + β γ + δ• = = • = =

(β.δ 0) (β.γ.δ 0)

(α.β.δ 0) (β.δ β δ β α β δ β δα γ α γ α + γ α• = =

0)

[β.= • β δ

δ(β + δ) 0]β δ β + δ

γ α + β α + γ= = β δ α - β γ - δ

• .

α γ• , εστω : =β δ

• Οι αριθμοι λεγονται της αναλογιας. • Οι αριθ

(β.δ 0, α β,

μοι

γ δ)

αΛογος του α ως προς β λεγεται το πηλικο β

Αναλογια λεγεται η ισοτητα δυο λογων

α, β,γ,δ οροια

λεγονται οροι της αναλογιας. • Οι αριθμοι λεγονται οροι της αναλογιας.

α β • Στη περιπτωση που η αναλογια ειναι της μορφης = ο αριθμος λεγεται β γ

των και .

,δ ακροιβ,γ μεσοι

β μεσος ανα -

λογος α γ

Π α ρ α δ ε ι γ μ αΑν οι αριθμοι α,β,γ ειναι αναλογοι των αριθμων 3,2,1 αντιστοιχα και ισχυει: α-β+2γ=6, να βρεθουν οι α, β και γ.

Αφου οι αριθμοι α,β,γ είναι αναλογοι των αριθμων 3,2,1 αντιστοιχα τοτε: α β γ= = (1)3 2 1

α-β+2γ=6

β -β γ 2γΕπισης ισχυει : = και = 2 -2 1 2

α -β 2γ α - β + 2γ 6Οποτε η (1) γινεται : = = = = = 2. 3 -2 2 3 - 2 + 2 3

.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 3: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3

Δ υ ν α μ ε ι ς

1. Ορισμοι ● Για κάθε α και ν *

+ οριζουμε: να = α.α…α (ν παραγοντες), ν>1

● Για κάθε α * και ν * οριζουμε: αº = 1 και -νν

1α =α

● Αν α *+ και μ , ν *

+ οριζουμε: μ

μννα = α ● Αν α *

+ και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη xα και είναι xα > 0.2. Ιδιοτητες ● μ ν μ+να α = α ● μ ν μ-να : α = α ● μ ν μν(α ) = α ● ν ν ν(α β) = α β

● ν

νν

α α( ) =β β

● ν

-νν

α β( ) =β α

● 2κ 2κ(-α) = α ● 2κ+1 2κ+1(-α) = -α3. Παρατηρηση ● α=β τοτε ν να =β ● x²+y²=0 ⇔ (x=0 και y=0) ● Αν καποιος αριθμος εχει πολύ μικρη η πολύ μεγαλη απολυτη τιμη, μπορει να γρα- φτει σε τυποποιημενη μορφη: α.10ν , με 1 ≤ |α| < 10 και ν ακεραιο.

Αραα• = 2 α = 3.23β -β• = = 2 β = 2.22 -2γ 2γ• = = 2 γ = 1.21 2

α = 6

β = 4

γ = 2

.

Π α ρ α δ ε ι γ μ αΝα λυθει η εξισωση: (x-1)2 +(y-3)2 = 0.

2

2 2

2

x = 1

y = 3

Ειναι(x - 1) = 0 x - 1 = 0

(x - 1) + (y - 3) = 0 και και καιy - 3 = 0(y - 3) = 0

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 4: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4

Τ α υ τ ο τ η τ ε ς● (α±β)²=α²±2αβ+β² (χρησιμη : α²+β²=(α+β)²-2αβ)

● α²-β²=(α+β)(α-β)

● (α+β+γ)²= α²+β²+γ²+2αβ+2αγ+2βγ

● α³±β³=(α+β)( α²∓2αβ+β²)=(α±β)³∓3αβ(α±β)

● (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³

● (α+β)⁴=α⁴+4α³β+6α²β²+4αβ³+β⁴

● (α-β)⁵=α⁵-5α⁴β+10α³β²-10α²β³+5αβ⁴-β⁵

● αν-βν=(α-β)( αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1)

● αν+βν=(α+β)( αν-1-αν-2β+…-αβν-2+βν-1), (ν περιττος φυσικος)

● α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ= 12

[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²]

● α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)= 12

(α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²]

● α³+β³+γ³-3αβγ, αν α+β+γ=0 η α=β=γ (Euler)

Η Α π ο δ ε ι ξ η σ τ α Μ α θ η μ α τ ι κ αΚαθε τι νεο που δημιουργειται στα Μαθηματικα ειναι μια αληθης προταση, που ομως πρεπει να στηριζεται σε αλλες γνωστες αληθεις προτασεις. Η αληθεια ομως μιας προτασης - θεωρηματος προκυπτει μεσα απο την διαδικασια της αποδειξης. Οι κυριοτερες μεθοδοι αποδειξης ειναι:α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο

Π α ρ α δ ε ι γ μ α1. Να λυθει η εξισωση: (x-2)3+(6-2x)3+(x-4)3=0Παρατηρουμε ότι:(x-2)+(6-2x)+(x-4)=x-2+6-2x+x-4=0(Αν α+β+γ=0 τοτε α3+β3+γ3=3αβγ Euler) Οποτε η εξισωση γινεται:

3(x-2).(6-2x).(x-4)=0

x = 2x = 3x = 4

x - 2 = 0 x = 26 - 2x = 0 2x = 6x - 4 = 0 x = 4

2. Να παραγοντοποιηθει η παρασταση: 9x-2.6x+4x

Είναι 9x-2.6x+4x =(32)x-2.(2.3)x+(22)x = (3x)2-2.2x.3x+(2x)2 = (3x-2x)2

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 5: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5

β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο (Π α ρ α δ ε ι γ μ α)Αν  

ΥΠΟΘΕΣΗ

2α  ακεραιος και α  αρτιος 

να δειχθει οτι ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

α  αρτιος

Αποδειξη

Εστω α ΟΧΙ αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορ- φης α=2κ+1 , κ .

Εχουμε :α2 = (2κ+1)2=2(

2

λ2κ + 2κ )+1=2λ+1, λ .

Δηλαδη α2 περιττος . Αυτο ομως ειναι α τ ο π ο (αδυνατο) γιατι ο α2 ειναι αρτιος.

Αρα η παραδοχη οτι ο ακεραιος α ειναι περιττος ειναι λαθος . Οποτε ο ακεραιος α ειναι αρτιος

α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η (Π α ρ α δ ε ι γ μ α)Αν

ΥΠΟΘΕΣΗ

α + β+γ = 0 να αποδειχθει οτι

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

3 3 3α + β +γ = 3αβγ

Αποδειξηα+β+γ =0 α+β =-γ (α+β)3 =(-γ)3

α3+3α2β+3αβ2+β3=-γ3 α3+β3+γ3 =-3αβ(α+β)

α3+β3+γ3 =-3αβ(-γ) α3+β3+γ3=3αβγ

Ξεκιναμε απο την υποθεση και με διαδοχικους συλλογισμους, στηριζομε-νοι στις ιδιοτητες των πραξεων και σε κανονες της λογικης, μετα απο καποια βηματα καταληγουμε στο συμπερασμα.

Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει το συμπερασμα. Με ορθους συλλογισμους και με λογικα βηματα καταληγουμε σε κατι που ερχεται σε αντιθε-ση με τα δεδομενα του προβλη-ματος ή σε κατι που δεν ισχυει (α τ ο π ο )Αναφερουμε γιατι φτασαμε σε ατοπο και συμπεραινουμε την α-ληθεια της αποδεικτεας προτα-σης.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 6: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6

• Εστω οι δυο αρτιοι αριθμοι : α = 2κ καιβ = 2λ (κ, λ ). Τοτε

Να δειξετε οτι :• το αθροισμα δυο αρτιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.• το γινομενο δυο διαδοχικων ακεραιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.

κ+λ=ν

ν= 2κ + 2λ = 2(κ + λ) = , που σημαινει οτι α + β αρτιος αριθμος.

• Εστω οι δυο διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι ειναι : α και β . • Αν ο α ειναι αρτιος τοτε : α = 2κ και β = 2κ + 1 (κ ). Οποτε

=

α + β 2ν

α β

2

2

2κ +κ=ν2 2

ν

2κ +3κ+1=μ2 2

μ

2κ(2κ + 1) = 4κ + 2κ = 2(2κ + κ) = , που σημαινει οτι α β ειναι αρτιος .

• Αν ο α ειναι περιττος τοτε : α = 2κ + 1 και β = 2κ + 2 (κ ). Οποτε

= (2κ + 1)(2κ + 2) = 4κ + 6κ + 2 = 2(2κ + 3κ + 1) =

α β 2μ

, που σημαινει οτι

α β ειναι αρτιος αριθμος.

• Για να εχει νοημα η παραστα

λ - 1Δινεται η παρασταση : Α = 1λ -λ

• Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει νοημα η παρασταση.• Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α να ειναι ισος με τον αντιστροφο του.

2

ση Α, πρεπει :λ 0λ 0 λ 0

λ 1 1 (λ - 1)(λ + 1) 0λ - 0 λ -1λ Aρα Α εχει νοημα για καθε λ - {-1, 0, 1}. • Ειναι

λ (λ - 1)λ - 1 λ - 1 Α = = =1 λ - 1λ -λ λ

,

(λ - 1)

22 2

λ=λ + 1(λ + 1)

Αφου λ 0 ο αριθμος Α εχει αντιστροφο. ια να ειναι ισος με τον αντιστροφο του πρεπει :

λ Α.Α = 1 Α = 1 = 1 λλ + 1

Γ

2= λ + 2λ + 1 (δεκτο).1λ = -2

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 7: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7

Εστω οτι ο αριθμος 4α - 1 = ρ, οπου ρ ρητος.ρ + 1 Τοτε, 4α - 1 = ρ 4α = ρ + 1 α =

4ρ + 1 Ομως ο αριθμος ειναι ρητος οποτε και

4

Εστω οτι ο αριθμος α ειναι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος 4α - 1 ειναι αρρητος.

ο α ειναι ρητος. Ατοπο γιατι απ'την υποθεση ο α

ειναι αρρητος. Αρα, ο αριθμος ειναι .4α - 1 αρρητος

Ειναι (απο τις ιδιοτητες των αναλογιων)y 2yx z 3x -2z 3x= = = = = = =

1 2 3 1.3 2.2 -2 3 3.

Εστω οι αριθμοι x, y, z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1,2,3 αντιστοιχα.Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1), τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x, y, z.

(1)2y 3x + 2y - 2z-2z 20= = = = 20

4 -6 3 + 4 - 6 1 Αρα

x = 201y = 20 Eπαληθευση : 3x + 2y - 2z = 3.20 + 2.40 - 2.60 = 60 + 80 - 120 = 20.2z = 203

x = 20y = 40z = 60

x x x 2 x x 2 x x 2 x x

• Eιναι • Α = 25 - 2 15 + 9 = (5 ) - 2 (5 3) + (3 ) = (5 ) - 2 5 3 + (3

x x x

3 3 3

3 3 3

• Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις : • A = 25 - 2 15 + 9 • B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α)• Να λυθει η εξισωση : (x + 2) + (4x - 12) + (10 - 5x) = 0

x 2 x x 2

2 2 2 x x

3 3

3 3 3

) = (5 - 3 )

• Επειδη : (α - β) + (β - γ) + (γ - α) = α - β + β - γ + γ - α = 0, τοτε B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α) = 3(α - β)(β - γ)(

(Η ταυτοτητα : (α - β) = α - 2αβ + β , με α = 5 ,β = 3 )

(Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε γ -

+ y)

+ 3

3 3 3

3 3 3

• Eιναι (x + 2) + (4x - 12) + (10 - 5x) = 0 (αφου x + 2 + 4x - 12 + 10 - 5x = 0)

x + 2 = 0 3(x + 2)(4x - 12)(10

z = 3xyz)

(Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτ

- 5x) = 0 4x - 12 = 010 - 5x =

ε x + y + z = 3xyz)

0

x = -2x = 3x = 2

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 8: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8

ν ν ν-1 ν-2 ν-2 ν-1

(1)2ν+1 2ν+1 2ν+1 2ν 2ν-1 2ν

Ισχυει : α - β = α + α β + ... + αβ + β (1) Οποτε

4 - 1 = 4 - 1 =(4 - 1)(4 + 4 .1 + ... + 4.1

2ν +1Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3, αν ν ειναι θετικος ακεραιος αριθμος.

-1 2ν

2ν 2ν-1 2ν-1 2ν

το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος)

2ν+1

+ 1 ) = = 3(4 + 4 .1 + ... + 4.1 + 1 ) = 3κ

Αρα ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3.

Πρεπει x(x -2) 0 x 0 και x 2 (x - 1)(x + 2) 0 x 1 και x -2

2 2x - 1 x - 2xΓια ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα  Α =   και  Β =   x(x - 2) (x - 1)(x + 1)

Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι.

2 2

x - 1 x -2x (x -1)(x + 1) x(x -2) ΑΒ =   =   = 1, αρα

x(x -2) (x -1)(x + 1) x(x -2) (x -1)(x + 1) Α,Β αντιστροφοι.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 9: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9

Να δειξετε οτι :• το αθροισμα δυο περιττων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.• το γινομενο δυο διαδοχικων αρτιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.• το γινομενο δυο διαδοχικων περιττων αριθμων ει - ναι αριθμος περιττος.

1λ -λΔινεται η παρασταση : Α =

λ - 1• Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει νοημα η παρασταση.• Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α να εχει αντι - στροφο τον αριθμο 2.

x x x

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3

• Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις : • A = 16 + 2 12 + 9 • B = (2α - β) + (2β - γ) + (2γ - α) , αν α + β + γ = 0 • Γ = (α - 3) + (3β - 2) + (4γ - 5) , αν α + 3β + 4γ = 10• Να λυθει η εξισωση : • (3x - 10) + (4 - x) + (6 - 2x) = 0 • 27x + (x 3 3+ 4) = 64(1 + x)

Εστω x, y, z oι γωνιες ενος τριγωνου που ειναι ανα -λογες των αριθμων 2, 3, 4 αντιστοιχα.Να βρεθουν οι γωνιες του τριγωνου.

Εστω οτι ο αριθμος 3α - 6 ειναι αρρητος.Να δειξετε οτι και ο αριθμος α ειναι αρρητος.

Περιττος : 2ν+1Αρτιος : 2νΔιαδοχικοι :Περιττοι : 2ν-1, 2ν+1, 2ν+3Αρτιοι: 2ν-2, 2ν, 2ν+2

●Πρεπει οι πορονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος. ●α, β ειναι αντιστροφοι αν: αβ = 1.

Εφαρμοστε τη γνωστη μεθοδο του βοηθητικου αγνωστου στις αναλογιες.

Εφαρμοστε απαγωγη σε ατοπο.

3 3 3

2 2 2

Ισχυει : αν x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz

(α + β) = α + 2αβ + β

ν+1Να δειξετε οτι ο αριθμος 5 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 4, αν ν ειναι θετικος ακεραιος αριθμος.

Φερνουμε τις παραστασεις στην μορφη αν – βν και κανουμε χρη-ση γνωστων ταυτοτητων.

Αν z = y, να δειχτει οτι οι αριθμοι:α = x-3y+4z και β = y-x-2z ειναι αντιθετοι.

α και β ειναι αντιθετοι αν:α+β=0

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 10: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10

Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν• Ο αριθμος α λεγεται μεγαλυτερος απ’τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α-β ειναι θετικος αριθμος (α-β > 0). Συμβολιζουμε: α > β Ο αριθμος α βρισκεται δεξιοτερα του β στον αξονα των πραγματικων. -∞ β α +∞

• Ο αριθμος α λεγεται μικροτερος απ’τον αριθμο β, αν και μονο η διαφορα α-β ειναι αρνητικος αριθμος (α-β < 0). Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται αριστεροτερα του β στον αξονα των πραγματικων. -∞ α β +∞

Ι δ ι ο τ η τ ε ς• Αν α > β και β > γ, τοτε α > γ.• Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ.

• Αν γ > 0 τοτε: α > βαγ > βγα β>γ γ

• Αν γ < 0 τοτε: α > β αγ < βγ .• Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ.• Αν α > β και γ > δ, τοτε: α.γ > β.δ (α,β,γ,δ θετικοι αριθμοι).• Αν α,β θετικοι και ν *

, τοτε: α > β α ν > β ν

ΔΕΝ αφαιρουμε- διαιρουμε κατα μελη ανισοτητες

Π α ρ α δ ε ι γ μ α1. Αν α+β=6 να αποδειξετε ότι: ● α.β ≤ 9 ● α2+β2 ≥ 18Είναια+β=6 β=6-α (1)

● α.β ≤ 9(1)

α(6-α) ≤ 9 6α-α2 ≤ 9 α2-6α+9 ≥ 0 (α-3)2 ≥ 0 , που αληθευει.

● α2+β2 ≥ 18(1)

α2+(6-α)2 ≥ 18 α2+36-12α+α2 ≥ 18 α2+36-12α+α2-18 ≥ 0 2α2+18-12α ≥ 0 2(α2-6α+9) ≥ 0 (α2-6α+9) ≥ 0 (α-3)2 ≥ 0 , που αληθευει.

2. Να συγκρινετε τους αριθμους: Α=α2-αβ+β2 και Β=2(α - β)

2.

Θα ελεγξουμε την διαφορα των δυο αριθμων, προκειμενου να βρουμε ποιος είναι μεγα-λυτερος.Είναι

Α-Β = α2-αβ+β2-2(α - β)

2= 0

2 2 2 2 2 22α - 2αβ + 2β - α + 2αβ - β α + β=2 2

Δηλαδη, Α-Β ≥ 0 Α ≥ Β ● Η ισοτητα ισχυει όταν: α = β = 0.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 11: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 11

Δ ι α σ τ η μ α τ α Πρακτικα διαστημα ειναι ενα κομματι της ευθειας x’x των πραγματικων αριθμων δηλαδη ενα συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βοηθεια μιας ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων.

ανισωση διαστημα (με άκρα α , β) συμβολισμος

α x β κλειστο διαστημα [α , β]

α < x < β ανοικτο διαστημα (α , β)

α < x β ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α , β]

α x < β κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια [α , β)

α x κλειστο αριστερα, μη φραγμενο ανω [α , + )

α < x ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο ανω (α , + )

x β μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια (- ,β]

x < β μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια (- ,β)

x το συνολο των πραγματικων (- , )

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 12: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 12

22 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2

• Ειναι

α + β α + β α + β α + β + 2αβ 4α + 4β 2α + 2β + 4αβ2 2 2 4

2α + 2β - 4αβ 0 2(α + β - 2αβ) 0 2(α + β) 0 ,

22 2

2 2 2

Να αποδειξετε οτι :α + β α + β•

2 2• α + β + γ + 3 2(α + β + γ)

α β• + 2, αν α > 0 και β > 0β α

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

α > 02 2

β > 0

που αληθευει. • Ειναι α + β + γ + 3 2(α + β + γ) α + β + γ + 2α + 2β + 2γ (α - 2α + ) + (β - 2β + ) + (γ - 2γ + ) 0 (α - 1) + (β - 1) + (γ - 1) 0 , που αληθευει. •

31

Ειναια β α β + 2 αβ.

1 1

+ αβ. 2.αβ α + ββ α β α

2 2 22αβ α + β - 2αβ 0 (α - β) 0,

που αληθευει.

2 2 2 (+)2 2 2

2 2 2

• Ισχυει :(α - γ) 0 α -2αγ + γ 0

α - 2αγ + γ +β -(β - δ) 0 β -2βδ + δ 0

2 2 2 2

2 2

• Αν α + β = 2 και γ + δ = 4, να δειξετε οτι : αγ + βδ 3κ - λ• Αν 1 κ 4 και 2 λ 3, μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται ο αριθμος ;

κλ

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2βδ + δ 0

2αγ + 2βδ + + + 2(αγ +βδ) + • Ειναι • 1 κ 4 1 κ 16 (1) • 2 λ 3 4 λ 9 -9 -λ -4 (2) Απο (1) + (2) κατα μελη, προκυπτ

α β 2

- 8 κ - λ 12 (3)ει : 1 1 1 • 1 κ 4 1 κ 4

γ δ 4

4

αγ + βδ 3

2 2 2 2

1 1 1 (6)12

1 1 (

κλ

4)κ

1 1 1 1 1 1 • 2 λ 3 (5)2 λ 3 3 λ 2

Απο (4).(5) κατα μελη, προκυπτει :

-8 κ - λ 12 2 κ - λ Απο (3).(6) κατα μελη, προκυπτει τελικα : - 612 κ 2 3 λ

2

λ κ

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 13: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13

22 2

2

4

Να αποδειξετε οτι :(α + β)• α - αβ + β

41 α• 4 4 + αα + β• < 1, αν α > 1 και β > 11 + αβ

2 2 2 2

2 2

• Αν x + y = 1 και z + ω = 5, να δειξετε οτι : xz + yω 3• Αν 1 α 2 και 3 β 4, μεταξυ ποιων αριθ - μων βρισκονται οι παραστασεις :

α + β • α + β • α - β • αβ

● Aν 3α < β να αποδειξετε οτι : α +β βα < <4 3

● Αν α,β,γ > 0, τοτε να δειξετε οτι : ● α2+1 2α ● (α2+1)(β2+1)(γ2+1) 8αβγ

● Ολα στο μεγαλο μελος και καταληγουμε σε κατι αληθινο.● Αν πολλαπλασιασουμε με θε- τικο αριθμο τα μελη ανισοτη- τας, δεν αλλαζει η φορα της.

● Ισχυει: (α-β)2= α2-2αβ + β2

και (α-β)2≥ 0● Προσθεση κατα μελη των δο- σμενων αφου τις μετασχημα- τισουμε καταλληλα.

● Προσθετουμε διαδοχικα α και β στη δοσμενη σχεση και ...● Ολα στο πρωτο μελος για τη πρωτη και .... Για τη δευτερη χρησιμοποιουμε τη πρωτη και ...

● Να δειξετε οτι: ● 2α -4α+5 > 0 ● 2β +6β+11 > 0● Αν α>β>γ τότε να δείξετε ότι : (α-β)(β-γ)(γ-α) < 0

● Μετασχηματιζω το α μελος σε αθροισμα θετικων και ... ● Βρειτε το προσημο των διαφο- ρων με τη βοηθεια της δοσμε- νης σχεσης και ...

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 14: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 14

Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η ΟρισμοςΓια κάθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως:

|α|= α αν α 0 -α αν α < 0

Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ ∙ |α| ≥ 0, η απολυτη τιμη του α είναι μη αρνητικος αριθμος.∙ -|α| ≤ α ≤ |α| ∙ 2α =|α|, |-α|=|α|, | vα |= v|α| , |α|2=α2

∙ |αβ|=|α|.|β| α |α|| |=β |β|

με β≠0

∙ ||α|-|β|| ≤ |α±β| ≤ |α|+|β|∙ |α|<|β| ⇔ α²< β²∙ |α|+|β|=0 ⇔ α=0 και β=0∙ Αν θ > 0 ισχυουν: 1. |x| < θ ⇔ -θ < x < θ 2. |x| > θ ⇔ x < -θ η x > θ

∙ η εξισωση |x|=θ ⇔x = ± θ αν θ > 0x = 0 αν θ = 0αδυνατη αν θ < 0

∙ Αν Α(α,0) και Β(0,β) σημεια του x’x τοτε d(Α,Β)=|a-β|.

● Αν θ > 0 τοτε |x|< θ - θ < x < θ x|<θ |x|2<θ2 x2<θ2 x2-θ2<0 (x+θ)(x-θ)<0 (x-θ< x+θ)

x + θ > 0 x > - θ - θ < x < θx - θ < 0 x < θ

● Αν θ > 0 τοτε |x| > θ x < - θ η x > θ |x|> θ |x|2> θ2 x2> θ2 x2-θ2> 0 (x+θ)(x-θ)>0

x + θ < 0 x + θ > 0 x < -θ x > -θ η η x < - θ η x > θx - θ < 0 x - θ > 0 x < θ x > θ

● |α+β| ≤ |α|+|β| |α+β| ≤ |α|+|β| |α+β|2 ≤ (|α|+|β|)2 (α+β)2 ≤ |α|2+2|α||β|+|β|2 α2+2αβ+β2≤ α2+2|αβ|+β2 2|αβ| ≥ 2αβ |αβ| ≥ αβ που αληθευει. Σημειωση: Η ισοτητα ισχυει αν οι α,β ειναι ομοσημοι.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 15: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 15

0

0 0 0

ο

Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση |x - x | < ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος(x - ρ,x + ρ) που εχει κεντρο το x και ακτινα ρ.

x -ρ x

0

0 0 0 0 0

Για x και ρ > 0, ισχυει :| x - x | < ρ x (x - ρ,x + ρ) x - ρ < x < x + ρ

ρ μοναδεςd(x,x ) ρ μοναδεςο

ο οx' x

Στην

x x -ρ

π ριπε

0τωση που x = 0, ειναι : | x | < ρ x (-ρ,ρ) - ρ < x < ρ

0

0

Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση |x - x | > ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξονα x'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(x ) αποσταση μεγα

0

0 0 0 0 0

Για x και ρ > 0, ισχυει :| x - x | > ρ x (- ,x - ρ)U (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ

d(x,x )ορ μοναδες ρ μοναδες

ο ο οx' x

λυτερη του ρ.

x x -ρ x x -ρ

0Στην περιπτωση που x = 0, ειναι : | x | > ρ x < - ρ η x > ρ

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 16: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 16

2 2 2 2

2 2 2 2

• Ειναι| α |< 1 | α | < 1 α < 1 α - 1 < 0

(1)|β |< 1 |β | < 1 β < 1 1 - β > 0

Να αποδειξετε οτι :α + β• Αν | α | < 1 και | β | < 1, τοτε : | | < 11 + αβ

• Αν | α - 1 | < 2 και | β - 2 | < 3, τοτε : | α - β | < 6

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2αβ 2α

Ετσια + β | α + β | < 1 < 1 | α + β |<|1 + αβ | | α + β | <|1 + αβ | 1 + αβ |1 + αβ |

(α + β) < (1 + αβ) α + β + < 1 + + α β α +β - 1 - α β < 0

α (1 - β ) - (1 - β ) < 0 (1 - β )(α - 1) < 0, που αληθευει λογω της (1).

β

(+) 4< 6

• Ειναι| α - 1 |< 2 -2 < α - 1 < 2 -2 + 1 < α - 1 + 1 < 2 + 1 -1 < α < 3

-3 < β - 2 < 3 -3 + 2 < β - 2 + 2 < 3 + 2 -1 < β < 5|β - 2|< 3

-1 < α < 3 -1 < α < 3 - 6 < α - β < - 6 < α - β < .

1 > -β > -5 -54 6

< -β < 1| α - β | < 6

• Ειναι • α > β α - β > 0 • β < α β

• Να απλοποιηθει η παρασταση : Α = 3 | α - β | + 5 | β - α | - | α + 2β | + | 2α - β |, αν α > β > 0.• Να υπολογιστουν οι τιμες του ακεραιου α, αν : • | α - 5 |= 5 - α και • | 2α - 3 |= 2α - 3.

(+) (+)

- α < 0α > 0 α > 0 α > 0 α > 0

• α + 2β > 0 • 2α - β > 0β > 0 2β > 0 α > β α - β > 0

Ετσι, η παρασταση Α γινεται : = 3(α - β) + 5[-(β - α)] - (α + 2β) + (2α - β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - 2β + 2α - β = • Αφου

Α 9α - 11β

α < 5 3| α - 5 |= 5 - α α - 5 < 0 α < 5τοτε 232α - 3 0| 2α - 3 |= 2α - 3 α α ακεραιος2 Αρα οι τιμες του α ειναι : 2, 3 και 4.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 17: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

Να αποδειξετε οτι :α β• Αν αβ 0, τοτε : + 2β α

• Αν | 2α - 1 | 1 και | β + 1 | 2, τοτε : | α - β | 4

● Ισχυει: α | α || |=β | β |

για αβ≠0

και ... ● Βρειτε πρωτα μεταξυ ποιων αριθμων βρισκονται οι α και β και ...

• Να αποδειξετε οτι : • | 1 - α | + | 1 - β |=| α - β |, αν α < 1 < β. • | 1 - α | + | 2 - β | + | 3 - γ |= 6 + | α + β + γ |, αν α < β < γ < 0.• Να υπολογιστει η τιμη του ακεραιου α, αν : • | 3α - 7 |= 3α - 7 και • | 2α - 8 |= 8 - 2α.

● Βρειτε το προσημο των παρα- στασεων μεσα στα απολυτα και ... ● Χρησιμοποιειστε τον ορισμο της απολυτης τιμης και ...

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 18: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 18

Ρ ι ζ ε ςΟρισμοςΓια κάθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μοναδικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ώστε νx =α.Ο αριθμος x ονομαζεται θετικη νιοστη ριζα του α και συμβολιζεται ν αΔηλαδη: νx =α ⇔ x = ν α με α,x ≥ 0 ν * + .Ιδιοτητες

● μ

ν μνα = α ● ν ν να β = αβ ● νν α = α ● νν να β = α β

● μμν ν( α ) = α ●

νν

ν

α α=ββ

● μ νμν α = α ● νμ μν α = α

Αποδειξη● Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 τοτε νν να.β = α . β

● νν α.β = αβ ● ν ν νν νν να . β = α . β = αβ

Αρα ν νν νν ν ν να.β = α . β οποτε και α.β = α . β

● Αν α ≥ 0 τοτε μ μνν α = α

● μνμν α = α ●

νμν μ νμ μν ν να = α = α = α

Αρα μν μνμ μμν μνν να = α οποτε και α = α

Π α ρ α δ ε ι γ μ α

22 2= 1 + 2 - 2 2 = 1 + 2 - 2.1. 2 = (1 - 2) =| 1 - 2 |=

Να γραψετε χωρις ριζες την παρασταση : 3 - 2 2

3 - 2 2 2 - 1

• = 7 9.5 - 3 25.5 - 6 5 = 7 9 5 - 3 25 5 - 6 5 = = 7.3. 5 - 3.5. 5 - 6 5 = 21 5 - 15 5 - 6 5 =• Ε.Κ.Π.(2,3, 6) = 6, οποτε

6

3

3Να βρεθει η τιμη της παραστασης : • 7 45 - 3 125 - 6 5 • 27 4

. 4 . 325 - 3 125 - 6 5

0

2 . 4 . 32 6 6 6 6 663 2 3 4 5 3 4 5 12 2 6 266 6= 2 . 4 32 = 2 . 2 2 = 2 .2 .2 = 2 = (2 ) = 2 =6 4

2 2

1 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2= . = = = =13 - 2 3 + 2 ( 3 - 2)( 3 + 2) ( 3) - ( 2)

=

1Να γραψετε με ρητο παρονομαστη την παραστασ

13

η :

-

3 - 2

23 + 2

4 4 44 6.43 6 6 243 2 3 3 6 3 6 3 6 42 2 2 = 2 2.2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 8

4 3Να γραψετε με τη βοηθεια μιας ριζας τη παρασταση : 2 2 2

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 19: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

2 2 2

3 62 53 6

Ειναι • 8 = 4.2 = 4. 2 = 2 2

• - 2 2 = - 2 2 = ( 2) + 1 - 2.1. 2 = ( 2 - 1) =| 2 - 1 |=

= 2 -

3 2 +

1, αφου 2 > 1 • 45 = 9.5 = 9. 5 = 3 5

• 2. 4. 32 = 2. 2

1

. 2 =

3 6

Να βρεθει η τιμη της παραστασης :

Α = 8 + 3 5 - 2 3 - 2 2 - 45 + 2 . 4 . 32

6 6 6 63 4 5 3 4 5 12 2 66 62 . 2 . 2 = 2 .2 .2 = 2 = (2 ) = 4 Οποτε η παρασταση γινεται

= 2 2 + 3 5 Α - 2( 2 - 1) - 3 5 + 4 = 2 2 - 2 2 + 2 + 4 = 6

• Για να οριζεται η π

3

4 3

• Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : Α = 5- | x - 2 | + | x | -x• Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση :

Β = 5 5 5 5• Να συγκρινετε τους αριθμους : • 2 + 1 • 5 - 1

4 44 3 46 243 2 3 3 6 96

αρασταση Α, πρεπει :-5 x - 2 55- | x - 2 | 0 | x - 2 | 5

| x | x, αληθευει για καθε x| x | -x 0 | x | x

- 5 + 2 x - 2 + 2 5 + 2 -3 x 7

• Ειναι

5 5 5 5 = 5 5 5.5 = 5 5 5 = 5 5 .5 = 5 5

• Εστω : 2 + 1 > 5

(2)2 2

2 2

- 1 (1) Ειναι 5 > 2 5 > 2 5 - 2 > 0 (2) Οποτε η (1)

2 + 1 > 5 - 1 5 - 2 < 2 ( 5 - 2) < 2 5 - 2 5. 2 + 2 < 4 2 10 > 3 (2 10) > 3 4.10 > 9 40 > 9, που αληθευει. Αρα 2 + 1 > 5 - 1

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 20: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 20

6

6 5

• Ειναι

3. 33 Α = =3

3 36 5

Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με ρητο παρονομαστη :3 2 2• Α = • Β = • Γ =

5 - 3 5 - 33

6 5 63 . 3

6 6 66

65 66

3 3 3 3 3 3= = = = 333 .3 3

• Ειναι

2( 5 + 3)2 Β = =5 - 3 ( 5 - 3) ( 5 + 3)

2 2

2 23 3 3 3

3 3

2( 5 + 3) 2( 5 + 3)= = =5 - 3( 5) - ( 3)

2( 5 + 3) = = 5 + 32

• Ειναι

2 ( 5) + 5. 3 + ( 3)2 Γ = =5 - 3 2 23 3 3 3 3 3( 5 - 3) ( 5) + 5. 3 + ( 3)

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3

3 33 3

2 23 3 3 32 23 3 3 3 3 3 3

=

2 ( 5) + 5. 3 + ( 3) 2 ( 5) + 5. 3 + ( 3) = = =

5 - 3( 5) - ( 3)

2 ( 5) + 5. 3 + ( 3) = = ( 5) + 5. 3 + ( 3) = 25 + 15 + 9

2

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/

Page 21: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21

3 3 3 3

3 3

Να βρεθει η τιμη των παραστασεων :Α = ( 117 - 7 + 48)( 63 - 48)Β = ( 24 - 5 81 + 2 375) 3Γ = (4 32 - 5 72 + 3 40) : 8

Δ = 24 3 - 3 3 + 3

Ε = 14 + 6 5 - 14 - 6 5

Ζ = 20 - 14 2 + 20 + 14 2

35 58

• Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση :

Α = | x - 1 | + | x - 2 | -4• Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρα - σταση :

Β = 3 3 3 Γ = 5 25 25 5• Να συγκρινετε τους αριθμους : • 2 + 3 • 3 + 2

5 2 24

2 2

3 3 33 3

Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με ρητο παρονομαστη :

α 2 α - 1• Α = Β = Γ =0, 0016α α - 1

α - β 1 - 2 α + 1 + α - 1• Δ = Ε = Ζ =α + β 1 + 2 α + 1 - α - 1α - β 1 3• Η = Θ = Ι =α - β 7 - 6 4 - 1

● Mετατρεψτε σε καταλληλα γινομενα τα υπορριζα και ... ● Να κανετε πραξεις μεταξυ των ριζων και ...

● Το υπορριζο ειναι μη αρνητι- κος αριθμος και ... ● Χρησιμοποιειστε την ιδιοτητα: μ μνν α = α και ...● Θεωρειστε τον εναν μεγαλυ- τερο απ’τον αλλο και ...

● Πολλαπλασιαστε με καταλλη- λη παρασταση, αριθμητη και παρονομαστη, ωστε να προ- κυψει οπαρονομαστης ρητος. ● Κανετε χρηση δυναμεων και ταυτοτητων.

Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com

/