ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν...

31
ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α’ ΜΕΡΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012 - ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 Α’ 3 1

Transcript of ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν...

Page 1: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

Α’ ΜΕΡΟΣ

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012 - ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013

Α’ 3

1

Page 2: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

MNEIA• Μάγια

1. Παπαχρήστου Μάριος

• Κινέζοι

1. Παπαδάκης Δημήτρης

2. Πλαφουντζής Σπύρος

• Αιγύπτιοι

1. Παναγοπούλου Μαρία

2. Πολυχρονοπούλου Πετρούλα

3. Ρένεση Μαριάννα

4. Ρεντίφη Μαρία

• Σουμέριοι

1. Πρίντζη Δανάη

2. Πετράκου Κωνσταντίνα

3. Ρουντζούνη Χριστίνα

4. Μπούμης Άγγελος

• Βαβυλώνιοι

1. Παπαβασιλόπουλος Γιώργος

2. Πανούση Ευδοκία

3. Ποδογύρου Μαρία

4. Ντόλιτζε Κωνσταντίνα

• Έλληνες

1. Παπαζιάν Χρήστος

2. Μπάτσιος Θανάσης

3. Παράσχου Ζωή

4. Μπελδέκος Δημήτρης

• Ινδοί – Ίνκα

1. Παρτσακλός Χρήστος

2. Ξιαρχογιαννόπουλος Θοδωρής

3. Νεράντζη Κατερίνα

4. Ξυλάς Νίκος

2

Page 3: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

ΠΡΟΛΟΓΟΣΤην αναδίπλωση της λογικής του ανθρώπου θα μπορούσαμε κάλλιστα να

την αποδώσουμε στην επιστήμη των Μαθηματικών, η οποία εξελλίσεται δυναμικά και αποτελεί, ουσιαστικά, τον τροχό πάνω στον οποίο είναι στημένες όλες οι ανθρώπινες και φυσικές δραστηριότητες. Γνωρίζουμε πως η Μαθηματική Επιστήμη αναπτύχθηκε από πολλούς αρχαίους λαούς, οι οποίοι είναι οι Αιγύπτιοι, οι Κινέζοι, οι Σουμέριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Έλληνες, οι Ινδοί, οι Μάγια και οι Ίνκα.

Εκτός αυτού, οι άνθρωποι είχαν αρχίσει ήδη από την αρχαιότητα να μελετούν τα Μαθηματικά και έκτοτε δόμησαν πραγματικά εκλπηκτικά αριθμητικά συστήματα τα οποία φέτος μελετούμε στο μάθημα της Ερευνητικής Εργασίας (Project).

Η ολομέλεια του Α3 του 2ου Γενικού Λυκείου Υμηττού συγκέντρωσε πληροφορίες για τους λαούς του Αρχαίου Κόσμου, εστιάζοντας στα συστήματα αρίθμισης που οδήγησαν στην ανάπτυξη της επιστήμης των Μαθηματικών η οποία, με τη σειρά της, τους βοήθησε στην απλούστευση των καθημερινών τους δραστηριοτήτων. Από την μέτρηση του χρόνου από τους Βαβυλώνιους και τους Μάγια, λοιπόν, μέχρι τις αρχαίες αιγυπτιακές πυραμίδες, τα Μαθηματικά στιγμάτιζαν, στιγματίζουν και θα στιγματίζουν τον Άνθρωπο και τη Φύση.

3

Page 4: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Μνεία.......................................................................σελ. 2

2. Πρόλογος..................................................................σελ. 3

3. Μάγια.......................................................................σελ. 5

4. Κινέζοι......................................................................σελ. 9

5. Αιγύπτιοι..................................................................σελ. 12

6. Βαβυλώνιοι................................................................σελ.15

7. Σουμέριοι.................................................................σελ. 18

8. Έλληνες...................................................................σελ. 20

9. Ίνκα.......................................................................σελ. 25

10.Ινδοί.......................................................................σελ. 28

11.Επίλογος

4

Page 5: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Μάγια (2000πΧ - 1540μΧ)

Αριθμητικό Σύστημα

Οι Μάγια είχαν θεσιακό, δηλαδή σύστημα αρίθμησης στο οποίο οι αριθμοί παριστάνονται με ορισμένα σύμβολα ή συνδυασμούς τους και η αξία των αριθμών αυτών υπολογίζεται με βάση τις αξίες των συμβόλων και τη θέση των συμβόλων, εικοσαδικό, σύστημα που είχε ως βάση τον αριθμό είκοσι (20), αριθμητικό σύστημα. Υπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν. Αξίζει, επίσης, να παρατηρήσουμε πως οι Μάγια ήταν από τους μόνους αρχαίους λαούς που είχαν κατανοήσει την σημασία του μηδένος. Η χρήση του μηδενός τους επέτρεπε να γράφουν πολύ μεγάλους αριθμούς.

Αριθμός Τιμή1 Συμβολισμός των Μάγια

Μηδέν 0

ή

Ένα 1

Πέντε 5

Τα συγκεκριμένα (3) σύμβολα επέτρεπαν αρίθμηση 0-19. Που σημαίνει ότι ο αριθμός π.χ. 13 θα ήταν

13 = 5 + 5 + 3, δηλαδή τον αναπαριστούσε το σύμβολο

Μετά το 20 οι αριθμοί αναλύονται σε πολλαπλάσια δυνάμεων του 20 ( ). Δηλαδή, από το 1 έως το δεκαεννέα οι αριθμοί παριστάνονταν ως εξής:

400 ( )

20 ( )

1 Αναφέρεται στο αραβικό δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (0-9)

5

Page 6: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

1 ( )

Αριθμός 33 429 5125

Αναλύοντας, παραδείγματος χάρη, την τελευταία στήλη έχουμε (αναλυτικά):

Στην πρώτη θέση έναν αριθμό από το 0-19.

Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι:

Στην δεύτερη θέση έναν αριθμό από το 20-399 που αναπαρίσταται όπως ο

προηγούμενος. Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι:

Στην τρίτη θέση (εδώ) έχουμε έναν αριθμό από το 400-7999, γραμμένος κατά τον

ίδιο τρόπο. Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι:

Τέλος, αθροίζοντας τους αριθμούς βλέπουμε ότι προκύπτει ο αριθμός 5125

Η σημασία του μηδενός για τους Μάγια

Ο λαός των Μάγια έκανε χρήση ξεχωριστού συμβόλου για το μηδέν. Οι περισσότεροι λαοί του Αρχαίου Κόσμου δεν αναπαριστούσαν καν τον συγκεκριμένο αριθμό διότι θεωρούσαν ότι είχε τη θέση του “κενού” ή του “τίποτα”, πράγμα το οποίο δυσκόλευε πολύ την αναπαράσταση αριθμών που είχαν κενές θέσεις ανάμεσα στα ψηφία όπως και μαθηματικές πράξεις. Έτσι, με την χρήση ξεχωριστού συμβόλου για το μηδέν, οι Μάγια μπορούσαν να εξελίξουν την επιστήμη των Μαθηματικών ευκολότερα από άλλους λαούς

6

Page 7: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Μαθηματικά

Οι Μάγια ανέπτυξαν τα Μαθηματικά κυρίως για την επιστήμη της Αστρονομίας, στην οποία συνείσφεραν κατά το μέγιστο. Είχαν δύο ημερολόγια τα οποία είχαν ως έτος έναρξης το 3114π.Χ. Αυτά είναι:

● Tzolkin. Αποτελούνταν από 260 μέρες, χωρισμένο σε 13 μήνες (που είχαν ονόματα θεών), οι οποίοι είχαν 20 ημέρες ο καθένας.

● Haab. Αποτελούνταν από 365 μέρες, χωρισμένο σε 18 μήνες, οι οποίοι είχαν 20 ημέρες ο καθένας - πλην ενός ο οποίος είχε 5. Ο παρακάτω πίνακας αναλύει το συγκεκριμένο ημερολόγιο και το χωρίζει σε μήνες, όπως έκαναν οι Μάγια:

1 Pop 10 Yax

2 Wo' 11 Sak'

3 Sip 12 Keh

4 Sotz' 13 Mak

5 Sek 14 K'ank'in

6 Xul 15 Muwan'

7 Yaxk'in' 16 Pax

8 Mol 17 K'ayab

9 Ch'en 18 Kumk'u

7

Page 8: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

19 Wayeb'

● Ημερολογιακός Κύκλος. Διαρκούσε 32 Haab, δηλαδή 11.680 ημέρες.1

Επιπλέον, είχαν και άλλα συστήματα μέτρησης μεγαλυτέρων περιόδων (επιγραμματικά):

● Μεγάλος Κύκλος (Long Count)● Μικρός Κύκλος (Short Count)● Κύκλος της Αφροδίτης (Venus Cycle)

Επιρροές στον κόσμο των Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Μάγια και των λαών της Μέσης Αμερικής εκείνη την περίοδο δεν είχαν επηρεαστεί από κανέναν λαό του Αρχαίου Κόσμου, λόγω της γεωγραφικής τους θέσης. Εκτός αυτού, δεν έχουν διασωθεί πολλά στοιχεία για τον πολιτισμό των Μάγια. Κατά την άφιξη του Κορτές (Cortéz) και του ισπανικού στρατού στην Μέση Αμερική το 1518, οι πολιτισμοί των Αζτέκων και των Μάγια ισοπεδώθηκαν Οι μόνες γραπτές πηγές που υφίστανται είναι τα κείμενα του μοναχού Ντιέγκο ντε Λάντα (Diego de Landa). Εν τέλει, δεν επηρέασαν κανέναν άλλο λαό διότι δεν επεκτάθηκαν πέραν της Μέσης Αμερικής.

Εκτός αυτού, η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στον κόσμο των Μαθηματικών υπήρξε ο τρόπος μέτρησης των χρονικών περιόδων, τα ημερολόγια.

1 Ο Ημερολογιακός Κύκλος χρησιμοποιείται ακόμα από κατοίκους των νησιών της Γουατεμάλας

8

Page 9: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Κινέζοι (περ. 2.500πΧ -)

Αριθμητικό Σύστημα

Η διαφορά του κινεζικού συστήματος αριθμών από τα άλλα συστήματα οφείλεται στην “ξενική” για εμάς δομή της κινέζικης γλώσσας. Ένα από τα παράδοξα της γλώσσας των Κινέζων, είναι ότι δεν υπάρχουν χρόνοι, γένη ή άρθρα. Ωστόσο, υπάρχουν πάνω από σαρανταπέντε χιλιάδες (45.000) ξεχωριστά πικτογράμματα και χαρακτήρες και ο κάθε χαρακτήρας επαρκεί για να εκφράσει μια ολόκληρη ιδέα. Έτσι συμπεραίνουμε ότι , αν και η κινέζικη γλώσσα αποτελεί μια φτωχή γλώσσα στην προφορική της μορφή, έχοντας λίγες λέξεις (αλλά πολλές διαλέκτους) και μην έχοντας χρόνους , γένη ή άρθρα ,η γραπτή μορφή της περιέχει πολλές χιλιάδες σύμβολα (σε αντίθεση με το δικό μας αλφάβητο).Εν κατακλείδι, το αριθμητικό σύστημα των Κινέζων ήταν εξίσου πολύπλοκο με το αλφάβητό τους.

Το βασικό σύστημα αριθμών ήταν δεκαδικό και είχε ξεχωριστές λέξεις για τους αριθμούς από το 1 έως το 9. Η λέξη για τον αριθμό 10 είναι “σιρ” και αποτελούσε την αρχή ενός νέου κύκλου. Ο αριθμός 1 ονομαζόταν “ι” και ο αριθμός δύο “ερ”. Αριθμοί όπως το 11 , το 12 και ούτω καθεξής σχηματίζονταν με συνδυασμό της λέξης σιρ (δέκα) με τις λέξεις που αποτελούσαν τους μικρότερους αριθμούς. Για παράδειγμα το 11 ήταν το σιρ-ι , το 12 το σιρ-ερ. Οι δεκάδες από το 20 έως το 90 ,σχηματίζονταν απλά αντιστρέφοντας τις λέξεις των μονάδων και του σιρ: το 20 ήταν απλώς ερ-σιρ. Ξεχωριστές λέξεις υπήρχαν για το εκατό (μπάι) , το χίλια (τσιέν) και για το δέκα χιλιάδες (γουαν).

9

Page 10: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Η σημασία του μηδενός για τους Κινέζους

Αρχικά, το μηδέν απουσίαζε τόσο από τη γραπτή , όσο και από την προφορική μορφή του Κινέζικου συστήματος αρίθμησης .Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με το δικό μας αριθμητικό σύστημα στην προφορική του μορφή. Οι Κινέζοι μέχρι τον 13 αι. μ.Χ. δεν χρησιμοποιούσαν το 0 ούτε στη γραπτή, ούτε στην προφορική γλώσσα , οπότε και αποφάσισαν να προσθέτουν ένα σύμβολο για το μηδέν, επηρεαζόμενοι από την παρουσία του μηδενός σε Ευρώπη, αλλά και στον πολιτισμό των Μάγια στον νέο κόσμο, πράγμα το οποίο εξυπηρετούσε στο εμπόριο και την επικοινωνία με τον υπόλοιπο κόσμο.

Τα Μαθηματικά

Τα μαθηματικά της Κίνας αποτελούν,όπως και η γλώσσα της μια απομακρυσμένη από πολιτισμικές αλλοιώσεις πολιτισμική οντότητα .Οποιαδήποτε αναφορά στην Κίνα, άλλωστε, από το λαό μας, μας παραπέμπει σε δυσνόητα και δυσεπίλυτα ζητήματα πόσο μάλλον τα μαθηματικά τους, που από μόνα τους κάνουν τη ζωή μας πιο δύσκολη .Το αριθμητικό σύστημα της Κίνας έχει δεχτεί μόλις μια αλλοίωση και αυτήν όσον αφορά την μη ύπαρξη του μηδενός στη γραπτή μορφή της Κινέζικης αριθμητικής .Συμπεραίνουμε ότι ένας αδύναμος πολιτισμός , που οδηγείται στην αλλοίωση.

Η συνεισφορά των Κινέζων στα μαθηματικά

ΟΙ Κινέζοι αν και δεν δημιούργησαν το πιο απλό και πρακτικό αριθμητικό σύστημα, κατάφεραν να εμπλουτίσουν την επιστήμη των Μαθηματικών, προσθέτοντας ένα ακόμα μέσο με το οποίο θα εξασκείται ο νους μας, αποδεικνύοντας και αυτοί, όπως και τόσοι άλλοι, την αναγκαιότητα αυτής της επιστήμης στη ζωή του ανθρώπου . Ακόμη, μας κάνει να θεωρούμε τα δικά μας μαθηματικά απλούστερα, συγκριτικά με τα δικά τους, που είναι πολύ πιο πολύπλοκα. Με την συγγραφή των ΄΄Εννέα Κεφαλαίων΄΄, βιβλίο που αναφέρεται στην Επιστήμη των Μαθηματικών αναφέρθηκαν σε προβλήματα, μηχανική φορολογία, επίλυση εξισώσεων και γραμμικών συστημάτων, όπως και αναφορά στις ιδιότητες των ορθογωνίων συστημάτων, τα οποία βασίστηκαν στην λογική των Βαβυλωνιακών και των Αιγυπτιακών μαθηματικών.

10

Page 11: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών της Κίνας

Το κινεζικό σύστημα αρίθμησης έχει μια σημαντική ιδιαιτερότητα .Δεν είναι θεσιακό (η αξία δηλαδή του αριθμού δεν καθορίζεται από τη θέση του συμβόλου μέσα σε αυτόν), αφού οι διάφοροι αριθμοί μπορούν να μετακινηθούν χωρίς να χάσουν τις διατακτικές τους ιδιότητες .Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει στο Αγγλικό, όχι όμως στο ινδοαραβικό σύστημα. Στα Κινέζικα, ο αριθμός γράφεται από πάνω προς τα κάτω αντί να γράφεται από αριστερά προς τα δεξιά. Ακόμη οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν ένα ζεύγος συμβόλων για να ερμηνεύσουν το αριθμητικό ψηφίο και τη θέση του. Άρα μας δίνεται η δυνατότητα να αλλάζουμε τις θέσεις των ζευγών των συμβόλων χωρίς να χαθεί η διάταξη, κάτι που στο δικό μας σύστημα δεν είναι εφικτό. Τέλος μια αδυναμία των μαθηματικών των Κινέζων είναι ότι το σύμβολο του μηδενός δεν είχε αποδυθεί σε προφορικό αλλά ούτε και σε γραπτό λόγο .Αυτό ανάγκασε τους Κινέζους μαθηματικούς να ορίσουν ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει το μηδέν.

11

Page 12: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Αιγύπτιοι (3.000 – 2500π.Χ.)

Αριθμητικό Σύστημα

Το αριθμητικό σύστημα των Αρχαίων Αιγυπτίων εμφανίστηκε περίπου το 3.000 – 2.500π.Χ. Οι Αιγύπτιοι δημιούργησαν δυο ειδών γραφές την αιγυπτιακή ιερογλυφική την οποία χρησιμοποιούσαν καθημερινά και την αιγυπτιακή ιερατική που χρησιμοποιούνταν κυρίως από το ιερατείο. Ήταν οι πρώτοι που παρίσταναν τον κάθε αριθμό με το ίδιο κατακόρυφο σημάδι που μοιάζει με δάχτυλο. Τα ιερογλυφικά είναι ελάχιστες εικόνες που αντιπροσωπεύουν λέξεις, αλλά χωρίς περαιτέρω ανάπτυξη αυτό το σύστημα γραφής δεν μπορεί να αντιπροσωπεύσει πολλά λόγια. Οι Αιγύπτιοι είχαν ένα σύστημα με βάση δέκα ιερογλυφικά, δηλαδή είχαν ξεχωριστά σύμβολα για τις μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κ.τ.λ. Δεν είναι σύστημα θέσης αφού η αξία κάθε συμβόλου είναι πάντοτε ίδια, ανεξάρτητα από τη θέση που έχει μέσα στον αριθμό. Επίσης οι αριθμοί γράφονταν πάντα από τα δεξιά προς τα αριστερά. Οι Αιγύπτιοι δεν χρησιμοποιούσαν το μηδέν στα μαθηματικά τους ενώ φαίνεται να έχουν σύμβολο για το άπειρο.

Αριθμοί στην ιερογλυφική γραφή Αριθμοί στην ιερατική γραφή

Στην ιερογλυφική γραφή, οι δυνάμεις του 10 από το 100ως το 106 γράφονταν ως εξής: Μετα επτά παρακάτω σύμβολα οι Αιγύπτιοι ήταν σε θέση να γράφουν οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό από το 1 ως το 9.999.999, και αυτό αρκούσε για τις καθημερινές απαιτήσεις τους.

12

Page 13: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Για να καταλάβουμε τον τρόπο της γραφής του αριθμητικού συστήματος τους να ο αριθμός 276:

Οι Πράξεις των Αιγυπτίων

Η πρόσθεση καθώς και αφαίρεση ακέραιων αριθμών ήταν απλές για τους Αιγύπτιους. Για να προσθέσουν αριθμούς άθροιζαν τα σύμβολά τους και στη συνέχεια τα αντικαθιστούσαν με ένα σύμβολο της επόμενης τάξης. Την αφαίρεση την αντιμετώπιζαν ως αντίθετη πράξη της πρόσθεσης. Για τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούσαν τη μέθοδο του διπλασιασμού και της πρόσθεσης. Η συγκεκριμένη μέθοδος αποτελεί τη βάση ολόκληρης της αιγυπτιακής αριθμητικής. Την διαίρεση την αντιμετώπιζαν ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Για να εκτελέσουν την διαίρεση α:β έβρισκαν έναν αριθμό γ έτσι ώστε β* γ= α. Όσον αφορά τα κλάσματα οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τα κλάσματα που είχαν στον αριθμητή το 1(μονοειδή) και τα κλάσματα 2/3 και 3/4.

Αδυναμίες και Ιδιαιτερότητες

Παρόλο που τα Μαθηματικά των Αιγυπτίων υστερούσαν σε σχέση με αυτά των Βαβυλώνιων, οι Αιγύπτιοι κατάφεραν μεγάλους άθλους όσον αφορά τις μετρήσεις. Για τις διαστάσεις των πυραμίδων, σύμφωνα με κάποιους επιστήμονες, οι Αιγύπτιοι φαίνεται να γνώριζαν ορισμένες ανώτερες μαθηματικές σχέσεις. Από την άλλη πλευρά, οι Αιγύπτιοι είχαν και κάποιες αδυναμίες. Δεν γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα, παρ’ όλα αυτά το εφάρμοζαν χωρίς να το καταλαβαίνουν. Δεν γνώριζαν και τους άρρητους αριθμούς. Επίσης δεν κατόρθωσαν να δώσουν ζωή σε κάποια μαθηματική θεωρία, ούτε να γράψουν ένα κεφάλαιο Αριθμητικής ή Γεωμετρίας. Ο λόγος αυτής της αδυναμίας πρέπει να αναζητηθεί στην γενική τάση των ερευνών να μην έχουν στόχο την αποκατάσταση αληθειών θεωρητικού χαρακτήρα αλλά μόνο την εξυπηρέτηση πρακτικών αγαθών (αστρολογία, μηχανική).

13

Page 14: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Η Επίδραση τους στα Μαθηματικά

Οι Αρχαίοι Έλληνες επαινούσαν συχνά τις μαθηματικές ικανότητες των Αιγυπτίων και θεωρούσαν ότι τα μαθηματικά κατάγονται από την Αίγυπτο. Μάλιστα, στα ελληνικά σχολεία των πρώτων μεταχριστιανικών αιώνων διδασκόταν ως «αιγυπτιακός λογισμός». Η αιγυπτιακή γεωμετρία βρισκόταν στο ίδιο περίπου στοιχειώδες επίπεδο όπως και στη Μεσοποταμία. Βρήκαν πολύ ακριβέστερη τιμή του π δηλ. 3,16 η οποία είναι αρκετά καλή και ασφαλώς πολύ καλύτερη από την τιμή π = 3 που χρησιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι.

14

Page 15: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Βαβυλώνιοι (4.000 πΧ – 539 πΧ)

Αριθμητικό Σύστημα

Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων ήταν εξηνταδικό,θεσιακό και δηλαδή το κάθε σύμβολο αναγραφόταν όσες φορές χρειαζόνταν.Θεωρείται ως ένα απο τα αρχαιότερα αριθμητικά συστήματα.Αρχικά χρησιμοποιήθηκε απο τους Σουμέριους κατά την 4η χιλιετία π.Χ. Κατά τον 18ο αιώνα όμως όταν οι Βαβυλώνιοι κατέκτησαν τους Σουμέριους άρχισε να χρησιμοποιήτε απο αύτους οι οποίοι και το ανέπτυξαν. Υπάρχουν αρκετοί λόγοι για τους οποίους επέλεξαν αυτό το αριθμητικό σύστημα οι δύο πιο πιθανοί λόγοι ήταν α) επείδη υπήρχαν πολλοί διαιρέτες από το 1 μέχρι το 60 και β) προέκυψε μέσα από νομισματικές μονάδες, τον τρόπο μέτρησης των βαρών και των μονάδων μήκους. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν δύο μόνο σύμβολα για τα μαθηματικά τους το καρφί για τις μονάδες και τη σφήνα για τις δεκάδες.

Συνδύαζαν αυτά τα ΄σύμβολα και παρίσταναν όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 59 χρησιμοποιώντας την πρόσθεση με βαση το 10. Στην πραγματικότητα το αριθμητικό τους σύστημα δεν είχε καμία σχέση με αυτό των Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι μαζί με τους Ινδούς είχαν από τα πιο αξιόπιστα αριθμητικά συστήματα όπου έγραφαν τον αριθμό αριστερά και στα δεξιά ανάλυαν τα ψηφία του ώστε να φαίνεται η αξία του.

Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα;

15

Page 16: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Οι Βαβυλώνιοι δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν για αυτό και αφήναν κενό στη θέση του. Η έλλειψη ενός συμβόλου για το μηδέν δημιουργούσε πολλά προβλήματα, δηλαδή μπέρδευαν τους αριθμούς που είχαν μηδέν π.χ δεν μπορούσαν να ξεχωρίσουν το 22 από το 202. Ωστόσο , κατά την εποχή του Μ.Αλεξάνδρου είχαν εφεύρει ένα σύμβολο για το μήδεν δύο πλάγιες σφήνες για να ανικαθιστούν το κενό όπου έλειπε το ψήφιο μηδέν. Παρ΄ όλα αυτά το σύμβολο αυτό για το μηδέν δεν έβαλε τέρμα σε όλα τα προβλήματα γιατί φαίνεται ότι το χρησιμοποιούσαν μόνο για να δηλώσουν κενές θέσεις στα ενδιάμεσα ενός αριθμού. Από τις τελευταιές πληροφορίες δεν έχουμε στοιχεία για το μηδέν που σημαίνει ότι οι Βαβυλώνιοι στην αρχαιότητα ποτέ δεν κατάφεραν να χρησιμοποιήσουν ένα σύστημα απόλυτης θέσης.

Ποιές ήταν οι ιδιαιτερότητες και οι αδυναμίες των μαθηματικών τους;

Τα μαθηματικά τους είχαν κάποιες ιδιαιτερότητες:

• Ήξεραν να υπολογίζουν σωστά την επιφάνεια τριγώνου, τετραγώνου , ορθογωνίου και τραπεζίου.

• Γνώριζαν να υπολογίζουν την επιφάνεια και τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

• Το μήκος c της περιφέρειας του κύκλου το θεωρούσαν ίσο με το τριπλάσιο της διαμέτρου.

• Γνώριζαν να υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα πολλών αριθμών με την βοήθεια ανίστοιχων πινακίδων τετραγώνων.

• Γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

• Ήξεραν να χειρίζονται τις πράξεις ( πρόσθεση , αφαίρεση και πολλαπλασιασμό)

Οι αδυναμίες των Μαθηματικών τους:

• Τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά ήταν περισσότερο πρακτικά παρά θεωρητικά ( περιορισμένη χρήση θεωρημάτων)

• Δεν χρησιμοποιούσαν αποδείξεις με αποτέλεσμα να μην μπορούν να ισχυροποιήσουν τίποτα.

• Η έλλειψη ειδικού συμβόλου για το μηδέν.

16

Page 17: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

• Το ίδιο σύμβολο παρίστανε τις ίδιες βασικές μονάδες όλων των τάξεων με αποτέλεσμα να προκαλεί δυσκολίες και σύγχυση στην αναγνώριση των αριθμών.

• Δεν μπορούσαν να λύσουν σύνθετες διαιρέσεις.

Τα μαθηματικά τους επηρέασαν ή επιρεάστηκαν από άλλους λαούς;

Ο κύριος λαός από τον οποίον επιρεάστηκαν οι Βαβυλώνιοι ήταν οι Σουμέριοι. Αφού τους κατέκτησαν πήραν το βασικό σύστημα αρίθμησής τους που είχε ως βάση το δέκα και το εξήντα. Παρ΄ όλα αυτά εγκατέλειψαν τα σύμβολα τα οποία χρησιμοποιούσαν οι Σουμέριοι για τα νούμερα και κράτησαν μόνο το τρίγωνο με την κάθετη ουρά που ονομαζόταν καρφι και συμβόλιζε το 1 και το τρίγωνο με τις δύο ουρές στα πλάγια που ονομαζόταν σφήνα και συμβόλιζε το 10.

Ποιά ήταν η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στα μαθηματικά;

Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας και το σύστημα τους είναι πολύ σημαντικό διότι έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα και χρησιμοποιείται στο μέτρημα του χρόνου. Για παράδειγμα όταν ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75 έλεγαν <<1,15>> όπως και εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

17

Page 18: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Σουμέριοι (3500π.Χ. – 1500π.Χ.)

Οι Σουμέριοι είχαν τη σφηνοειδή γραφή, η οποία κατά τους ειδικούς εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη νότια Μεσοποταμία το 3500 π.Χ. Κύρια γραφική ύλη ήταν η πήλινη πλάκα που κατασκευαζόταν από ένα σβώλο πηλού, δίνοντάς του σχήμα στρογγυλό, επίμηκες ή τετράγωνο. Για να γράφουν, χρησιμοποιούσαν τη γραφίδα, που ήταν κατασκευασμένη από ένα καλαμένιο στέλεχος. Περίπου το 2500 π.Χ. είχαν αναπτύξει ένα πολύπλοκο σύστημα μετρολογίας, το εξηνταδικό θεσιακό σύστημα, σε συνδιασμό στοιχείων του δεκαδικού. Οι σφηνοείδεις αριθμοί γράφτηκαν σε ανώτερη τάξη, την εξηντάδα. Όταν έφταναν στο δέκα, η γραφίδα πιεζόταν κάθετα μέσα στον πηλό κι έτσι σχηματιζόταν ένας μικρός κύκλος (ο). Το σύστημα, όμως, των Σουμερίων δεν είχε ως βάση το δέκα, αλλά το εξήντα. Από το ένα εώς το πενήντα εννιά, χρησιμοποιούνταν ένας συνδυασμός μονάδων και δεκάδων. Για το εξήντα ζωγραφιζόταν ένα μεγάλο σύμβολο με το σχήμα του D, πάλι ακουμπισμένο στα πλάγια το επόμενο βήμα ήταν το εξακόσια ή εξήντα επι δέκα, το οποίο συμβολιζόταν με ένα D, που είχε ένα μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Το εξήντα επι εξήντα η αλλιως το τρεις χιλιάδες εξακόσια, ζωγραφιζόταν με ένα μεγάλο κύκλο (Ο) και το τριανταέξι χιλιάδες (10*60*60) ήταν ένας μεγάλος κύκλος με ένα μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Με εξηντάδες έφτιαχναν μια μονάδα επίσης ανώτερης τάξης μια τρισχιλιοεξακοσάδα και ούτο κάθε εξής. Θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικό σημάδι για κάθε αριθμό αλλά προτίμησαν να μην το κάνουν γιατί θα έπρεπε να αποστηθύζουν χιλιάδες διαφορετικά σημάδια.

Ήταν λαός που δούλευε με πολύ μεγάλους αλλά και μικρούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τόσο ακέραιους όσο και κλάσματα. Π.χ.για να χαράξουν τον αριθμό ένα πίεζαν την γραφίδα πάνω στον πηλό υπό γωνία. Το σύμβολο για το ένα επαναλαμβανόταν για τον σχηματισμό μεγαλύτερων αριθμών. Ο γραφέας διαχώρηζε τα αριθμητικά ψηφία που συμβόλιζαν έναν αριθμό απο την υπόλοιπη γραφή τοποθετώντας τα σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Σε αντίθεση με το σύγχρονο σύστημα που είναι καθοριζόμενο δηλαδή εξαρτάται απο την θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό, το πρώτο αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων ήταν ένα μη καθοριζόμενο από την θέση σύστημα. Αυτό το συμπεραίνουμε διότι ο γραφέας απλώς πρόσθετε τις τιμές των διάφορων συμβόλων για να φτάσει στο άθροισμα. Ακόμα μια ιδιαιτερότητα των Σουμερίων είναι το γεγονός ότι χρησιμοποιούσαν τα κλάσματα ½ , 1/3 και 5/6. Αυτή είναι η παλαιότερη γνωστή αναγνώριση ότι τα κλάσματα είναι αριθμοί. Για παράδειγμα σε ένα μη καθοριζόμενο από τη θέση σύστημα, ο αριθμός 743 θα ήταν 7+4+3, ενώ στο δικό μας σύστημα είναι 7*100+4*10+3 = 700+40+3 ή 743. Στο σημερινό σύστημα για να αναπαραστήσουμε κλάσματα, τοποθετούμε μία υποδιαστολή στα δεξιά και τα υπόλοιπα στοιχεία συμβολίζουν δέκατα, εκατοστά κ.λ.π. Συνεπώς, το 57,32 είναι : 5*10+7+3*(1/10 ) +2*(1/10)=50+7+0,3+0,02=57,32. Ενώ το καθοριζόμενο από τη θέση σύστημα λειτουργούσε με τον ίδιο τρόπο , αλλά είχε ως βάση το εξήντα και

18

Page 19: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

όχι το δέκα. Π.χ 6*60+2*60+1=21600+120+1=21721.Ένα ακόμα χαρακτηριστικό είναι η έλλειψη υποδιαστολής. Π.χ τα ψηφία 4321789 θα μπορούσαν να αναφέρονται στον αριθμό 4.321.789 , αλλά και στον 43.217.891.Όμως αυτό παρακάμπτονταν απ’τα συμφραζόμενα στο κείμενο που περιεχόταν ο αριθμός. Επίσης , παρείχε ευελιξία , αφού στις πράξεις όλοι οι αριθμοί αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι. Όπως και σήμερα ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών αριθμών γίνεται σαν να είναι ακέραιοι και το μόνο που χρειάζεται είναι η τοποθέτηση της υποδιαστολής στην κατάλληλη θέση , μετά την εκτέλεση τον πολλαπλασιασμό.

Πολλοί λαοί επηρεάστηκαν από το αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων. Ένας από αυτούς ήταν οι Βαβυλώνιοι , οι οποίοι κράτησαν το βασικό αριθμητικό σύστημα , το οποίο είχε ως βάση το δέκα και το εξήντα.

19

Page 20: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Έλληνες (7ος αι. π.Χ. -)

Αριθμητικό Σύστημα

Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν δυο είδη αριθμητικών συστημάτων. Το ένα ήταν το ηρωδιανό ή αττικό σύστημα , το οποίο χρησιμοποιούνταν από τότε που ξεκίνησε η γραφή μέχρι την σταδιακή αποχώρισή του, ανάμεσα στο 100 π.Χ. και 50 π.Χ. Το δεύτερο σύστημα ονομαζόταν ιωνικό ή αλεξανδρινό και χρησιμοποιήθηκε κυρίως μετά το 100 π.Χ. Στο Αττικό σύστημα το 1 συμβολιζόταν από μια απλή κάθετη γραμμή, ενω τα άλλα πέντε σύμβολα ήταν όλα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου.

1=|, 5=Γ, 10=Δ, 100=Η, 1000=Χ, 10000=Μ

Τα σύμβολα γράφονταν συνήθως αλλά όχι πάντα με φθίνουσα σειρά

Το ιωνικό αριθμητικό σύστημα περιέχει είκοσι επτά ξεχωριστά σύμβολα, ωστόσο στο αρχαίο ελληνικό αλφάβητο υπήρχαν μόνο είκοσι τέσσερα γράμματα. Για αυτό χρειάστηκε να προστεθούν τρία επιπλέον σύμβολα, το δίγραμμα F, για το έξι, το κόππα Q για το ενενήντα και το σαμπί για το ενιακόσια.

Σύμφωνα με το Αττικό σύστημα, οι αριθμοί από το ένα ως το τέσσερα συμβολίζονταν με επαναλαμβανόμενες κατακόρυφες γραμμές. Υιοθέτησαν και ένα νέο σύμβολο για τον αριθμό 5 το γράμμα Π ή Γ. Οι Έλληνες, για να συμβολίσουν το 50 έγραφαν πέντε φορές το 10, για το 500 έγραφαν πέντε φορές το 100, και με τον ίδιο τρόπο έγραφαν και τα υπόλοιπα (5000, 50000 κλπ). Π.χ. 500=ΓΗ

Για τους αριθμούς 1-9999 χρησιμοποιούνταν τα εξής γράμματα:Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα ΑξίαΑ´ 1 Ι´ 10 Ρ´ 100 Α 1000͵Β´ 2 Κ´ 20 Σ´ 200 Β 2000͵Γ´ 3 Λ´ 30 Τ´ 300 Γ 3000͵Δ´ 4 Μ´ 40 Υ´ 400 Δ 4000͵Ε´ 5 Ν´ 50 Φ´ 500 Ε 5000͵

´ 6 Ξ´ 60 Χ´ 600 6000Ϛ ͵Ϛ

20

Page 21: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Ζ´ 7 Ο´ 70 Ψ´ 700 Z 7000͵

Άρα το Ελληνικό αριθμητικό σύστημα ειναι μη θεσιακό και βάση του είναι το 10.

21

Page 22: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα;

Τον αριθμό μηδέν τον επινόησε ο Brahmagupta. Στο βιβλιο του αναφέρεται ΄΄οτι όταν το μηδέν προστιθεται ή αφαιρείται αυτός ο αριθμός δεν αλλάζει, όταν όμως ένα οποισδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται με το 0 τότε γινεται και αυτός 0, δεν αναφέρεται όμως τίποτα για την διαίρεση. Το ελληνικό μηδέν εμφανίστηκε μετά τον 3ο αιώνα π.Χ., για αυτό και το ιωνικό σύστημα δεν υπάρχει μηδέν.Το μηδέν στην Ελλάδα το ξεκίνησε ο Πτολεμαιος. Πιθανότατα το σύμβολο μηδέν (0) προήλθε από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης <<ουδέν>> ή της λέξης <<οβολός>> που σήμαινε το σχεδόν μηδενικό ποσό για την εποχή. Τα Ελληνικά μαθηματικά επιρέασαν τα Ινδουϊστικα(Ινδών).

Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών:

Οι Αρχαίοι Έλληνες, αντί για αριθμούς χρησιμοποιούσαν γράμματα, για να μπορούν να κανουν τους πολύπλοκους υπολογισμούς τους με απόλυτη ακρίβεια. Τα σημερινά ψηφία (1,2,3...) δεν είχαν εφευρεθεί ακόμη, καθώς οι Άραβες ήταν αυτοί που τα εφάρμοσαν πρώτοι. Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφαν όλους τους αριθμούς τους από το 1 εως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με την βοήθεια σημείων στίξεως:<<'>> η κεραία επάνω μετά από το γράμμα , <<,>> η ανάποδη κεραία κάτω πριν από το γράμμα, <<.>> η τελεία μεταξύ των γραμμάτων, <<¨>> τα διαλυτικά επάνω από το γράμμα. Έτσι έχουμε: α',β',γ',δ',ε',ζ',η'θ' τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9 αντίστοιχα.

Ας δούμε τί είπε ο διάσημος γεωμέτρης του Χάρβαρντ, Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά:

Είναι εκπληκτικό πόσες από τις σημαντικές εξελίξεις των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής έχουν την προέλευση τους σε εργασίες που έγιναν δύο χιλιετηρίδες πριν, από τους αρχαίους Έλληνες. Όπως άρεσε να λέει ο διάσημος γεωμέτρης του Χάρβαρντ Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ (Julian Lowell Coolidge), που έζησε στις αρχές του αιώνα μας: Τότε στη γη κατοικούσαν γίγαντες.

Ας δούμε τώρα την ιδιαιτεροτητα των αρχαιων ελληνικών: Με τα αρχαια ελληνικα μαθηματικα ανοίγεται ένας δρόµος για τη διείσδυση στο υπόβαθρο της µαθηµατικής σκέψης και συµπεριφοράς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού, µε προσανατολισµό τα γνωστικά και συλλογικά χαρακτηριστικά κι όχι διαµέσου ενός προπετάσµατος από τεχνοκρατικάεπιτεύγµατα και ατοµοκεντρική σπουδαιολογία.

Μια από τις πρώτες ενδείξεις του νέου τρόπου σκέψης την περίοδο της αρχαίας ελληνικής Αναγέννησης, του 6ου π.Χ. αιώνα, είναι η µέτρηση του ύψους της πυραµίδας. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο (περ. 50-130 µ.Χ.) και τον ∆ιογένη Λαέρτιο

22

Page 23: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

(3οςαιώνας µ.Χ.) ο Θαλής ο Μιλήσιος(περ. 625-546 π.Χ.) µέτρησε το ύψος της πυραµίδας συσχετίζοντας τη σκιά της µε τη σκιά µιας ράβδου.

Όπως υποδεικνύουν όλες οι ιστορικές ανακατασκευές για το σκοπό αυτό οµιλήσιος σοφός µέτρησε τη σκιά της πυραµίδας, όταν η σκιά της ράβδου είναι ίση µε το ύψος της, οπότε το µήκος της σκιάς της πυραµίδας θα ήταν όσο και το ύψος της.

Τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν ή επηρέασαν άλλους λαούς;

Το αττικό σύστημα των Ελλήνων είναι πιο πρωτόγονο, καθώς βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική γραφή την οποία συναντάμε στην πρώτη αιγυπτιακή ιερογλυφική αρίθμηση και στα μεταγενέστερα Ρωμαϊκά νούμερα. Οι Έλληνες, επίσης, παρέλαβαν τα θεμελιώδη κλάσματα από τους Αιγυπτίους, γιατί χρησιμοποιούν όπως και οι Αιγύπτιοι ειδικά σύμβολα γαι τα κλάσματα. Γενικότερα, διατήρησαν αριθμητικές μεθόδους οι οποίες διαμορφώθηκαν στις όχθες του Νείλου.

Επίσης, Έλληνες ακολούθησαν τις έννοιες των Βαβυλωνίων για τη διαμόρφωση των <<αστρονομικών κλασμάτων>>. Τα στοιχεία που περιλάμβάνει το σύστημα αυτο, χρησιμοποιείται και στα σημερινά μαθηματικά.

Ποιά ήταν η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στα μαθηματικά;

Αυτός που κατόρθωσε να χρησιμοποιόντας γεωμετρικούς αλλά και αριθμητικούς υπολογισμούς να εκτιμήσει των αριθμό των κόκκων της άμμου ήταν ο Αρχιμήδης. Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι τον αριθμό μυριαδα μυριάδων εις την μυριακή μυριάδα και όλο εις την μυριακή μυριάδα. Το έργο του αυτό είναι πλέον ορόσημο της μαθηματικής επιστήμης καθως στην εποχή του θεωρούταν αφάνταστο και αδύνατο, αφου οι τότε επιστήμονες αρκούνταν να πιστέψουν ότι οι κόκκοι της άμμου είναι αμέτρητοι. Το έργο του Αρχιμήδη είχε τίτλο Ψαμμίτης και για να πετύχει έπρεπε πρώτα να επινοηθεί ένα σύστημα μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα ανώτατο όριο, ξεκινώντας απ'τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής την μυριάδα μυριάδων. Ο Πυθαγόρας (580-500 π.Χ.) υπήρξε ο σπουδαιότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Αυτός έπλασε τη λέξη μαθηματικά, δηλαδή εκείνο που έχουμε μάθει. Ο Πυθαγόρας μεταμόρφωσε την επιστήμη των μαθηματικών σε στοιχείο ελεύθερης μόρφωσης. Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.) Οι γραμμές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που μπορείς να δεις στην άμμο, αλλά ήταν αντικείμενα σκέψης στη φαντασία μας. Πήρε φυσικά σχήματα και τα έκανε νοητικά σχήματα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του.Επίσης έκανε λογικές απαγωγές,

23

Page 24: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

που τον οδήγησαν από τη μία αλήθεια που αφορούσαν τα θεωρητικά σχήματά του στην ανακάλυψη κι άλλων αληθειών, αυτό επηρέασε τη Δυτική σκέψη για 2.000 έτη. Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Η εμβάθυνση στον κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσμος που ζει ένας μαθηματικός, οδηγεί στον κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσμος, όχι μόνο είναι « αντικειμενικός » , αλλά είναι ο μόνος που δυνάμεθα να κατανοήσουμε εις βάθος. Δεν είναι τυχαίο ότι σήμερα οι περισσότεροι ώριμοι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές. Η «Οδός Μαθηματικής» είναι το πρώτο ελληνικό μαθηματικό εγχειρίδιο της νεότερης ιστορίας μας, γραμμένο από τον Μεθόδιο Ανθρακίτη και τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, για χρήση μαθητών στα ελληνικά σχολεία την εποχή της Τουρκοκρατίας.

24

Page 25: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Ινκα (1410 – 1530μ.Χ.)

Αριθμητικό Σύστημα

1410-1530μ.Χ. Οι ‘Ινκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10,για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους.Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα Quipou.Αυτά ήταν περίπλοκα συστήματα σκοινιών με κόμπους που ήταν χρήσιμα στην καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών.Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό,θεσιακό,μη ψηφιακό.

Ο αριθμός 586

Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα;

Στο αριθμητικό τους σύστημα το 0 αναπαριστά το τίποτα.Στο Quipou το 0 αναπαριστάτο με το να μην υπάρχουν κόμποι ανάμεσα σε μία συγκεκριμένη θέση δεσμών.

Οι ιδιαιτερότητες και οι αδυναμίες των μαθηματικών τους;

Οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν ένα είδος άβακα το γιουπάνα για να κάνουν τις πράξεις τους.Το γιουπάνα χωριζόταν σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους.Όσον αφορά τα Quipou αποτελούνταν από έναν

25

Page 26: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

οριζόντιο σπάγκο που ήταν περίπου ένα μέτρο και πάνω του ήταν δεμένοι κατακόρυφα πολλοί άλλοι σπάγκοι ποικίλων χρωμάτων. Οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν 24 διαφορετικάχρώματα σπάγκων για τη δημιουργία ενός κουίπου.Οι Ίνκας σε αντίθεση με άλλους πολιτισμούς της περιόχης χρησιμοποίουσαν δεκάδικο σύστημα αρίθμησης και δεν χρησιμοποίουσαν μολύβι και χάρτι .

ΓΙΟΥΠΑΝΑ

Τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν από άλλους λαούς;

Δεν υπάρχουν μαρτυρίες ότι τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν από άλλους λαούς.

Ποια ήταν η μεγαλύτερή τους συνεισφορά στα μαθηματικά;

Είχαν ανακαλύψει τον δυαδικό κώδικα, 500 χρόνια πριν εφευρεθεί ο ηλεκτρονικός υπολογιστής!

Μια πιο σύγχρονη έρευνα έγινε από τον ανθρωπολόγο του Harvard, καθηγητή Gary Urton, ο οποίος κατάφερε να μελετήσει 450 από τα διασωθέντα quipu. Τα ευρήματα του, προκαλούν δέος για τον πολιτισμό των Ίνκας:

Τα κορδόνια και οι κόμποι των quipu περιέχουν ένα δυαδικό κώδικα παρόμοιο με αυτόν που χρησιμοποιούν σήμερα οι υπολογιστές, ικανό να μεταβιβάσει περισσότερους από 1.500 χαρακτήρες. Ο δημιουργός του quipu κάθε φορά έπρεπε να πάρει μια απόφαση μεταξύ δύο πιθανοτήτων: παραδείγματος χάρη να κρεμάσει το κορδόνι στο μπροστινό ή στο πίσω μέρος του βασικού οριζόντιου σπάγκου ή να δέσει ένα μάλλινο ή ένα βαμβακερό κορδόνι κλπ. Με δεδομένο ότι οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν 24 διαφορετικά χρώματα σπάγκων για την δημιουργία ενός quipu, οι πιθανότητες που τελικά είχαν σε έναν κώδικα 7 bit ήταν 1536.

26

Page 27: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Με απλά λόγια, εάν δεχτούμε πως όλα αυτά είναι γεγονότα, τότε οι Ίνκας είχαν ανακαλύψει έναν δυαδικό κώδικα που τους επέτρεπε να μεταφέρουν περίπου 1536 μονάδες πληροφοριών και ο όποιος μοιάζει πολύ με αυτόν των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο Urton υποστηρίζει ότι με το σύστημα αυτό οι Ίνκας όχι μόνο κατέγραφαν αριθμητικές πληροφορίες αλλά είναι πολύ πιθανό να περνούσαν στα quipu και την ιστορία του πολιτισμού τους.

Αναπαράσταση των αριθμών στο Quipou

27

Page 28: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Ινδοί (300 π.Χ-)

Αριθμητικό σύστημα

Είναι ένα σύστημα που έχει ως βάση το 10 και περιέχει ένα σύνολο ξεχωριστών συμβόλων για τους αριθμούς από το 1-9, έχει γραφή θέσης-τιμής, καθώς και ένα 0.

Εμφανίστηκε, τον 3 αιώνα π.Χ, στις επιγραφές ένα σύνολο ξεχωριστών συμβόλων για τους αριθμούς από το 1-9.Αυτά ήταν τα Βραχμανικά αριθμητικά ψηφία,που ακόμα δεν είχαν εξελιχθεί στα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα.

Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα;

Το μηδέν ουσιαστικά,προήλθε από το κενό κατά τον 6οαι.μ.Χ.και ονομάστηκε kha που σημαίνει κενό.Κατα τον 9οαι. εμφανίστηκε μια πιο σίγουρη χρήση του 0 σαν ψήφιο και γραφόταν με μια τελεία που λεγόταν bindu. Επισης οι Ινδοί πήραν την έννοια του μηδενός από τους έλληνες.

Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών τους;

Χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό σύστημα ,τους αρνητικούς αριθμούς ,το δυαδικό σύστημα ,το άπειρο ενώ αυτοί είναι που φέρνουν στο φως τη χρήση του 0 και τις τεχνικές της Άλγεβρας των Αλγορίθμων της κυβικής και τετραγωνικής ρίζας.Επίσης ήξεραν τις δυνάμεις του δέκα,τη μέθοδο των τριών και άλλες μεθόδους σαν και αυτές(πρόσθεση,αφαίρεση,πολλαπλασιασμό,διαίρεση).

28

Page 29: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Τα μαθηματικά τους επηρέασαν ή επηρεάστηκαν από άλλους λαούς;

Αρχικά, οι αριθμοί Μπραχμί προήλθαν από την Ινδική πεδιάδα περίπου το 2000π.Χ.

1) Επηρεάστηκαν από το αλφάβητο Μπραχμί.

2)Από ένα παλαιότερο αριθμητικό σύστημα.

3)Από την Αίγυπτο.

4)Από το Καρόσθι αλφάβιτο.(το αλφάβητο Καρόσθι ευεβρεθηκε κατά τον 3ο αιώνα π.Χ και χρησιμοποιούνταν στην ευρήτερη περιόχη της βορειοδυτικής Ινδιας και κεντρικής Ασίας μέχρι τον 4ο αιώνα μ.Χ.)

5)Επηρεάστηκαν από τους Έλληνες.Πιο συγκεκριμένα ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε ένα <<ο>> για την ελληνική λεξη ουδέν.Ετσι οι ινδοί υιοθέτησαν το σύμβολο του Πτολεμαίου για το 0.Γενικά δεν υπάρχουν απευθείας μαρτυρίες ότι όντως το πήραν από τη σχολή του Πτολεμαίου.Αυτό μας δείχνει ότι ο συμβολισμός του μηδενός ως <<ο>> ή ως μικρός κύκλος μπορεί να είναι ο φυσικός τρόπος του ανθρώπινου νου να συμβολίζει το τίποτα.

Σε σχέση με τις επιρροές τους σε άλλους λαούς υπήρξαν πολλές και ειδίκα με το Αραβικό σύστημα που είναι ουσιαστικά το ίδιο με τον Ινδών.

29

Page 30: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

Kharosthi alphabet

Ποια ήταν η μεγαλύτερη συνησφορά τους στα μαθηματικα;

Η σπουδαιότερη συνεισφορά των Ινδων σχετίζεται με 2 τομείς:

Με την αποδοχή των αρνητικών αριθμών και του μηδενός ,και με το συνδυασμό τεσσάρων ξεχωριστών στοιχείων που σχηματίζουν το σύγχρονο σύστημα των αριθμών μας.Οι Ινδοί συνείσφεραν σημαντικά

χαρακτηρίζοντας τους αρνητικούς αριθμούς ως χρέη,ταυτίζοντάς τους με μια καθημερίνη εφαρμογή .

30

Page 31: ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ2lyk-ymitt.att.sch.gr/atetr_despot.pdfΥπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν.

ΕΠΙΛΟΓΟΣΣτην εργασία που μόλις διαβάσατε, παρατηρήσατε ότι πολλοί λαοί

διαφέρουν ως προς τα αριθμητικά συστήματα και τις τεχνικές που είχαν αναπτύξει εκείνη την εποχή. Ωστόσο, όσες διαφορές παρουσίαζαν, τόσες ομοιότητες είχαν, όπως: μια βάση (π.χ. 10, 20, κλπ), ένα σύστημα θέσης και το μηδέν. Δηλαδή, παρότι τα συστήματα αριθμών αναπτύχθηκαν ανεξάρτητακαι σε διαφορετικές χρονικές περιόδους κατά βάση είναι παρόμοια, πράγμα που σημαίνει ότι οι άνθρωποι ακολουθούσαν σε γενικές γραμμές τον ίδιο δρόμο για να λύσουν προβλήματα που αφορούν την ανάπτυξη του εμπορίου, της αγροτικής παραγωγής και γενικά την διαχείρηση των καθημερινών προβλημάτων τους.

Στις μέρες μας, επίσης, έχουμε υιοθετήσει το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης που δεν είναι άλλο από αυτό που χρησιμοποιούνταν χιλιάδες χρόνια πριν, δημιουργώντας, έτσι, μια γέφυρα στην Παγκόσμια Ιστορία.

Ωστόσο, παρατηρείται έντονη ασυμβατότητα ανάμεσα στους συμβολισμούς των οποίων γίνονταν χρήση, πόσο μάλλον όταν οι λαοί αυτοί ήταν γειτονικοί. Επιπλέον, πλήθος θεωριών έρχονταν σε σύγκρουση με τις ήδη “κατοχυρωμένες αξίες”, προκαλώντας πολλαπλές διενέξεις ανάμεσα στους μελετητες της “επιστήμης της λογικής”.

Συνεπώς, θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι τα Μαθηματικά συνέδεαν τους ανθρώπους, όπως, άλλωστε, συνεχίζουν να τους συνδέουν και σήμερα. Είναι μια επιστήμη οικοιμενική, που ως τώρα έχει προσφέρει τα μέγιστα στο ανθρώπινο ον και ουσιαστικά αποτελεί τον “κορμό” για την ανάπτυξη όλων των επιστημών∙ από τη Φυσική μέχρι τη Φιλοσοφία και την Ιστορία.

31