γ.τ μιγαδικοι αριθμοι

****** 11 ΛΛΤΤΚΚΔΔΗΗΟΟ ΕΕΑΑΚΚΤΤΝΝΘΘΟΟΤΤ ******

Γεωμετρικοί τόποι (γ.τ)

Μιγαδικοί αριθμοί Μεθοδολογία - Ασκήσεις

Γ΄ Λυκείου – Κατεύθυνσης

Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο

Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ

Εάθπλζνο 2010 - 11

Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ http://lisari.blogspot.com

Γεωμετρικοί τόποι μιγαδικού αριθμού Σελίδα 2

Καηεγνξία 1ε Αζθήζεσλ

Α. Μνξθή: Είδος ηριγώνοσ

Β. Μεζνδνινγία: Αλ δεηείηαη ή καο δίλνπλ ην είδνο ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ, όπνπ Α, Β ,Γ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ z1,

z2, z3, πξέπεη λα γλσξίδνπκε ηα εμήο:

AB

ηζνζθειέο ΑΒ = ΑΓ 1 2 1 3z z z z

AB

ηζόπιεπξν AB A 1 2 2 3 1 3z z z z z z

AB

νξζνγώλην ( 090 ) 2 2 22 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

AB

ακβιπγώλην ( 090 )2 2 22 2 2 2 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

Αλ α ε μεγαλύηερη πλεσρά ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ή ε μεγαλύηερη γωνία ηνπ ηξηγώλνπ, ηζρύεη:

AB

νμπγώλην 2 2 22 2 2 2 2 2

2 3 1 2 1 3z z z z z z

Σα ζεκεία Α, Β, Γ ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν αν, και μόνο αν, ηα ζεκεία είλαη κε ζπλεπζεηαθά, δει.

det AB,A 0

Β’ ηξόπνο: Αξθεί λα ηζρύεη ε ηξηγσληθή αληζόηεηα ζην ηξίγσλν ΑΒΓ, δει. αλ ΒΓ =α ε κεγαιύηεξε

πιεπξά ηνπ ηξηγώλνπ, ηόηε ηζρύεη:

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3z z z z z z z z z z

Γ. Αζθήζεηο

1. Έζησ Α, Β νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ z, w όπνπ w = iz αληίζηνηρα, κε z 0 .Να απνδείμεηε όηη:

α. 22AB 2 z β. Σν ηξίγσλν ΟΑΒ, όπνπ Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ, είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο

2. Γηα ηνλ κηγαδηθό z ηζρύεη: z 1

α. Να απνδείμεηε όηη: 2 2

z 1 z 1 4

β. Αλ Α(-1,0) θαη Β (1,0), πνηα είλαη ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ (α) εξσηήκαηνο;

3. Έζησ ν κηγαδηθό z.

α. Να παξαγνληνπνηεζεί 3 2z 3z 3z 9

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: 3 2z 3z 3z 9 0 (1)

γ. Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο (1) αξρηθά ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν, πνπ είλαη ηζόπιεπξν.

4. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο 1 2 3z ,z ,z , κε

2z 0 θαη ηνπο κηγαδηθνύο

1 1 2 2 1 2 3 1 2w iz z , w iz z , w iz i 3z

κε Α, Β, Γ νη αληίζηνηρεο εηθόλεο ηνπο.

α. Βξείηε ηηο απνζηάζεηο ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ

β. Να απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν

5. Έζησ νη κε κεδεληθνί κηγαδηθνί αξηζκνί 1 2z ,z , γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ζρέζε:

v v

1 2 1 2

1 3i z z i z z , v , v 1

2 2

Να απνδείμεηε όηη:

α. Ο αξηζκόο 1

2

z

z είλαη θαληαζηηθόο αξηζκόο β.

1 2z z

γ. Αλ Α,Β νη εηθόλεο ησλ 1 2z ,z αληίζηνηρα θαη Ο ε αξρή ησλ αμόλσλ, ηόηε ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην.




Α. Μνξθή: Γεσκεηξηθνί ηόπνη (γ.η) κε ζσγκεκριμένη μορθή μέηροσ

Β. Μεζνδνινγία: ε απηή ηελ ελόηεηα αλαθέξνπκε εμηζώζεηο κέηξσλ πνπ ρσξίο θάπνηα ηδηαίηεξε δηαδηθαζία ζα

γλσξίδνπκε ηνλ γ.η ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ z από ηε κνξθή ηεο εμίζσζεο θαη κόλν. Οη βαζηθέο κνξθέο είλαη νη

αθόινπζεο:

Μνξθή εμίζσζεο Γεσκεηξηθόο ηόπνο – ζηνηρεία ρήκα

1. 0z z p, p 0

όπνπ z0 γλσζηόο κηγαδηθόο

Οη εηθόλεο ηνπ Μ(z) αλήθνπλ:

Κύκλορ με κένηρο 0K z και ακηίνα ρ

2. 0z z p, p 0


Κςκλικόρ δίζκορ με κένηρο 0K z

και ακηίνα ρ

3. 0z z p, p 0


Εξωηεπικά ζημεία κύκλος με κένηρο

0K z και ακηίνα ρ

4. 1 0 2 1p z z p , p 0


Κςκλικόρ δακηύλιορ με κένηρο

0K z και ακηίνες ρ1,ρ2



5. 1 2z z z z

όπνπ 1 2z ,z γλσζηνί κηγαδηθνί


ηε κεζνθάζεην (ε) ηνπ ΑΒ, όποσ Α,

Β οι εικόνες ηων μιγαδικών 1 2z ,z

ανηίζηοιτα

6. 1 2z z z z

όπνπ 1 2z ,z γλσζηνί κηγαδηθνί


ην εκηεπίπεδν πνπ νξίδεηαη από ηε

κεζνθάζεην ηνπ ΑΒ,( όποσ Α, Β οι

εικόνες ηων μιγαδικών 1 2z ,z

ανηίζηοιτα) και ηο ζημείο Α

εκείσζε 1ε : Τπάξρνπλ θαη άιιεο 3 κνξθέο πνπ θπθινθνξνύλ ζε εμσζρνιηθά βηβιία, έιιεηςε, παξαβνιή θαη

ππεξβνιή, αιιά γηα ιόγνπο ιηηόηεηαο θαη εκβάζπλζεο ηνπιάρηζηνλ ησλ βαζηθώλ πεξηπηώζεσλ ηνπ βηβιίνπ, δελ ζα

ηηο αλαθέξνπκε.

εκείσζε 2ε : Ζ εύξεζε ηεο εμίζσζε ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ γίλεηαη κε κηα απιή αληηθαηάζηαζε όπνπ z =x + yi

κε x,y πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο (όπσο ζα δνύκε θαη ζηελ Καηεγνξία αζθήζεσλ 3ε) . Φπζηθά αλ ν γ.η είλαη θύθινο,

γλσξίδνπκε (από ηελ Β΄ Λπθείνπ) ηελ εμίζσζή ηνπ (άξα δελ ρξεηάδεηαη λα ηελ βξνύκε- απνδείμνπκε).

Γ. Αζθήζεηο 1. Να βξείηε ησλ γεσκεηξηθό ηόπν (δηαηύπσζε, ζρήκα θαη εμίζσζε) ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α) z 3 4i 2 β) z 1 3 γ) z 2i 5 δ) 1 iz 2 3 ε) z 1 z 2i ζη) z i z 2i

2. Γξάςηε ηελ ζρέζε ησλ κέηξσλ γηα ηνλ κηγαδηθό z ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζε θύθιν κε θέληξν (1, 3) θαη αθηίλα 2

β. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζε θπθιηθό δίζθν κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 4

γ. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ηνπ θύθινπ (2,-5) κε αθηίλα 1

δ. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζηνλ θπθιηθό δαθηύιην κε θέληξν (0, 4) θαη αθηίλεο 1, 3.

ε. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζηελ κεζνθάζεην ηνπ ΑΒ, όπνπ Α(-1,2) θαη Β(-2,0).

ζη. Οη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζην εκηεπίπεδν πνπ νξίδεηαη από ηελ κεζνθάζεην ηνπ ΑΒ, όπνπ Α(0,0) θαη Β (-1,-2) θαη

ην ζεκείν Β.

2. Ζ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ z θηλείηαη ζε θύθιν κε θέληξν (0,0) θαη αθηίλα 1. Αλ ν κηγαδηθόο w δίλεηαη από ηελ ζρέζε

w = z 2 + 3i ηόηε λα απνδείμεηε όηη:

α. w 3i 1

β. Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ z,w αλήθνπλ ζε θύθινπο θαη λα βξείηε ην θέληξν θαη ηηο αθηίλεο ηνπο.

γ. Βξείηε ηελ ζρεηηθή ζέζε ησλ παξαπάλσ θύθισλ θαη λα γίλεη ην ζρήκα.



δ. Βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηνπ z w . Πνηεο είλαη θάζε θνξά νη εηθόλεο ησλ z,w, όηαλ ην z w

γίλεηαη κέγηζην ή ειάρηζην; (δεο θαηεγνξία αζθήζεσλ 4ε)

3. Έζησ ν κηγαδηθόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε: 3 z 2 z 10

α. Να απνδείμεηε όηη: z 1 3

β. Βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ z.

4. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε iz 1 (1 2i)z 2i

α. Να ην γξάςεηε ζηελ κνξθή: 1 2z z z z

β. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ z

5. Γίλνληαη νη κηγαδηθνί z, w ηέηνηνη ώζηε: z 2 2w i .Αλ νη εηθόλεο ηνπ w αλήθνπλ ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν ηόηε:

α. Να απνδείμεηε όηη θαη νη εηθόλεο ηνπ z αλήθνπλ ζε θύθιν κε θέληξν ην (2,1) θαη αθηίλα 2

β. Γξάςηε ηηο εμηζώζεηο θαη ηελ ζρεηηθή ζέζε ησλ γ.η ησλ εηθόλσλ z, w



Καηεγνξία 3ε – Αζθήζεσλ

Α. Μνξθή: Γεσκεηξηθνί ηόπνη πνπ δεν ανήκοσν ζηις προηγούμενες περιπηώζεις

Β. Μεζνδνινγία: Όηαλ καο δεηάεη κηα άζθεζε λα βξνύκε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ κηγαδηθνύ θαη δεν

ανήκει ζηις προηγούμενες περιπηώζεις, ηόηε

Αληηθαζηζηνύκε ηνλ κηγαδηθό κε x + yi

Δθηεινύκε πξάμεηο, ηδηόηεηεο κηγαδηθώλ θαη θαηαιήγνπκε ζε κηα ηζόηεηα κε x, y.

Αλάινγα ηελ ζρέζε πνπ θαηαιήγνπκε, έρνπκε θαη ηνλ θαηάιιειν γεσκεηξηθό ηόπν .

Παξαθάησ παξνπζηάδνπκε έλα λέν πίλαθα πνπ καο δίλεη όιεο ηηο εμηζώζεηο θαη κε πνην γεσκεηξηθό ηόπν

αληηζηνηρνύλ ( δώζηε έκθαζε ζηα «Πξνζνρή»).

Δμίζσζε Γεσκεηξηθόο

ηόπνο

ηνηρεία ηνπ γ.η. ρήκα

Ax By 0

κε A 0 ή B 0

Δπζεία

-

2 2 2

0 0x x y y p

Κύθινο

Κέληξν 0 0K x ,y

θαη αθηίλα ξ

2 2x y Ax By 0

κε 2 2 4 0

Κύθινο

Κέληξν A B

K ,2 2

θαη αθηίλα

2 2A B 4p

2

-

2y 2px

Παξαβνιή

εζηίεο ζηνλ

άμνλα ρ΄ρ

εζηία ,02

θαη

δηεπζεηνύζα

: x2



2x 2py

Παξαβνιή


άμνλα y΄y

εζηία 0,2

θαη

δηεπζεηνύζα

: y2

2 2

2 2

x y1

Έιιεηςε


άμνλα ρ΄ρ

εζηίεο

' ,0 , ,0

2 2 2 θαη

,

2 2

2 2

y x1

Έιιεηςε


άμνλα y΄y

εζηίεο

' 0, , 0,

2 2 2 θαη

,

2 2

2 2

x y1

Υπεξβνιή


άμνλα ρ΄ρ

εζηίεο

' ,0 , ,0

2 2 2 θαη

2 2

2 2

y x1

Υπεξβνιή


άμνλα y΄y

εζηίεο

' 0, , 0,

2 2 2 θαη

Πξνζνρή 1ε : Όηαλ ζέινπκε λα βξνύκε ην γ.η ησλ εηθόλσλ ελόο κηγαδηθνύ z, πξνζέρνπκε, αλ ππάξρνπλ, ηνπο

πεξηνξηζκνύο. Γει. αλ ην z είλαη παξνλνκαζηήο πξέπεη λα ην απαηηήζνπκε δηάθνξν ηνπ κεδελόο. Σηο ηηκέο ησλ x, y

πνπ βξήθακε από ηνπο πεξηνξηζκνύο, εμεηάδνπκε αλ αλήθνπλ ζην γ.η, αλ αλήθνπλ ηηο εμαηξνύκε.

Πξνζνρή 2ε: Όηαλ ζέινπκε λα βξνύκε ηνλ γ.η ελόο κηγαδηθνύ, δνπιεύνπκε κε ηζνδπλακίεο ( ) γηα λα επαιεζεύεη ν

γ.η ηελ αξρηθή ζρέζε ηνπ z. Άξα ηελ ζρέζε z w z w δελ ηελ ρξεζηκνπνηνύκε γηαηί δελ ηζρύεη ην αληίζηξνθν.




1. Έζησ νη κηγαδηθνί: z1 = (x - 2) + (y + 1)i θαη z2 = 1 + 2i.

Να βξεζεί ζην κηγαδηθό επίπεδν ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ (x, y) ώζηε z1 z2 I.

2. Πξνζδηνξίζηε ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ ησλ ζεκείσλ Μ(z) (δειαδή ησλ γ.η) γηα ηηο νπνίεο νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ

i, z, iz είλαη ζεκεία ζπλεπζεηαθά.

3. Να βξεζεί ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ Μ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z - 1 γηα ηνπο νπνίνπο ν iz

z

2

1 + είλαη θαληαζηηθόο

αξηζκόο.

4. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ(z) αλ 2 1

2z -

z R, Im(z) 0.

5. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο w. Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Μ(z) ηνπ κηγαδηθνύ επηπέδνπ γηα ηα νπνία

α = w - wz

1 - z R.

6. Έζησ z = x + iy κε z 2 θαη w = z - z +

z -

3 2

2. Γείμηε όηη αλ w I ηόηε νη εηθόλεο ηνπ z ζην κηγαδηθό επίπεδν είλαη

πάλσ ζε ππεξβνιή.

7. Έζησ f(z) =(2+ i2

3)z - ,

2

5iz όπνπ z =ρ+ςi, κε ρ,ς .

a) Να βξεζνύλ ηα Re(f(z)), Im(f(z)).

b) Να βξείηε ηo γ.η. ησλ ζεκείσλ Μ(f(z)) ζην κηγαδηθό επίπεδν.

c) Να δεηρηεί όηη .52)( xzf

d) Να βξείηε ηo γ.η. ησλ εηθόλσλ ηνπ z = ρ + ςi, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη 5)( zf .

8. Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο z1θαη z2 νη νπνίνη είλαη ηέηνηνη ώζηε:

1

1

1 iz

z i

θαη iziz 22 21

a) Να βξείηε ηνλ γ.η. (C1) ηεο εηθόλαο ηνπ z1

b) Να βξείηε ηνλ γ.η. (C2) ηεο εηθόλαο ηνπ z2

c) Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ησλ εηθόλσλ z1 θαη z2.

(δεο Καηεγνξία 4ε αζθήζεσλ)

9. Γύο μικπέρ μύγερ Α και Β κινούνηαι πάνω ζηο μιγαδικό επίπεδο και είναι εικόνερ ηων μιγαδικών z1 και z2 ανηίζηοισα,

ώζηε να ιζσύει ζςνεσώρ z1 = 5

34 i z2. Να αποδεισθεί όηι:

a) Οι δύο μύγερ Α και Β ιζαπέσοςν ζςνεσώρ από ηην απσή ηων αξόνων. b) Αν η μύγα Α κινείηαι πάνω ζηον οπιζμένο κύκλο (Κ,π), ηόηε και η μύγα Β κινείηαι πάνω ζε έναν οπιζμένο

κύκλο, ηος οποίος να βπεθούν κένηπο και ακηίνα.




Α. Μνξθή: Δύξεζε κέγηζησλ (max) θαη ειάρηζησλ (min) κέηξσλ

B. Μεζνδνινγία: ηνλ παξαθάησ πίλαθα θαίλεηαη ε εύξεζε ηνπ κέηξνπ δηαθνξάο z w όισλ ησλ πεξηπηώζεσλ.

Πποζοσή θαη ην z γξάθεηαη σο z z 0 0i δειαδή εθθξάδεη ηελ απόζηαζε OM , ηεο εηθόλαο M z από ηελ

αξρή ησλ αμόλσλ, άξα είλαη κέηξν δηαθνξάο δύν κηγαδηθώλ.

Γεσκεηξηθόο ηόπνο – ζρήκα Μέγηζην κέηξν: z w max Διάρηζην κέηξν: z w min

1. εκείν – επζεία

M z ανήκει ζε εσθεία και P(w) ζημείο

Γελ ππάξρεη

z w min = ΡΜ = d( P, ε)

ε απόζηαζε ηνπ Ρ από

ηελ επζεία (ε)

2. Δπζεία – επζεία (παξάιιειεο)

M z αλήθεη ζε επζεία θαη ην P(w) ζε

παξάιιειε επζεία

Γελ ππάξρεη

z w min = d( ε, δ)

ε απόζηαζε ησλ παξάιιεισλ

επζεηώλ



3. Κύθινο θαη ζεκείν

M z αλήθεη ζε θύθιν

θαη P(w) ζεκείν

z w max = ΡΛ = ΡΚ + ξ

z w min = ΡB = ΡΚ - ξ

4. Κύθινο θαη επζεία

M z ανήκει ζε κύκλο

και P(w) εσθεία (ε)

Γελ ππάξρεη, αιιά ππάξρεη όκσο

ε κέγηζηε απόζηαζε ηνπ Μ(z)

από ηελ επζεία (ε) θαη ηζνύηαη:

ΛΔ = d(K, ε) + ξ

z w min = ΒΔ = d(K, ε) - ξ

5. Κύθινο θαη θύθινο

M z ανήκει ζε κύκλο( C)

και P(w) κύκλο(d)

z w max =ΠΝ =ΚΛ + ξ1 + ξ2

z w min = ΗΘ = ΚΛ - ξ1 - ξ2

εκείσζε 1ε : Όηαλ δεηάκε θαη ηα ζεκεία πνπ καο δίλεη κέγηζην ή ειάρηζην κέηξν, αξθεί λα ιύζνπκε ην ζύζηεκα

ησλ εμηζώζεσλ ησλ γ.η πνπ αλήθνπλ νη κηγαδηθνί.

εκείσζε 2ε : Ζ κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή κέηξνπ πξνθύπηεη πνιιέο θνξέο θαη από ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα γηα

ηνπο κηγαδηθνύο.




1. (Δπζεία θαη ειάρηζην κέηξν) Γίλεηαη ν κηγαδηθόο z 1 2i 4 3i t, t . Να πξνζδηνξίζεηε:

α. Σν Re(z) θαη ην Im(z) ζπλαξηήζεη ηνπ t.

b. Σνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ M(x, y) ηνπ z

c. Σελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ z

d. Σνλ κηγαδηθό z γηα ηνλ νπνίν πξνθύπηεη ε ειάρηζηε ηηκή z

2. (Κύθινο θαη επζεία) Θεσξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο z, w πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο:

z 10i 3 z 2i θαη w 2 2i w 6 6i

α. Να δείμεηε όηη: z i 3

β. Να βξείηε ηνλ γ.η ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z, w (δηαηύπσζε, εμίζσζε, ζρήκα)

γ. Βξείηε πνηνη κηγαδηθνί ηνπ γ.η ησλ εηθόλσλ ηνπ z, καο δίλνπλ z w max θαη z w min;

3. (Κύθινο θαη ζεκείν) Γηα ηνλ κηγαδηθό z ηζρύεη ε ζρέζε z 2 3i 3

α. Να βξείηε ην ζύλνιν ησλ εηθόλσλ ηνπ Μ(z) πνπ αλήθνπλ ζην κηγαδηθό επίπεδν.

β. Αλ Α(z1), Β(z2) είλαη δύν ηπραία ζεκεία ηνπ γ.η, ηόηε λα δείμεηε όηη: 1 2z z 6

γ. Αλ w = 1 + i κηγαδηθόο, ηόηε:

i. Πνηα είλαη ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ κέηξνπ z w ;

ii. Να απνδείμεηε όηη: 2 z w 8 (πξνθύπηεη κε δύν ηξόπνπο)

4. (Γύν θύθινη) Οη κηγαδηθνί αξηζκνί z, w ηθαλνπνηνύλ αληίζηνηρα ηηο ζρέζεηο:

z 4i 2 θαη w 3 1

α. Να βξείηε ηνπο γ.η ησλ z θαη w

β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ z w

γ. Να βξείηε ηνπο κηγαδηθνύο z θαη w πνπ καο δίλνπλ ηελ κέγηζηε – ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ z w

5. (Έιιεηςε) Έζησ ν κηγαδηθόο z ώζηε λα ηζρύεη: z 3 z 3 10 . Να απνδείμεηε όηη:

α. Οη εηθόλεο ηνπ z θηλνύληαη ζε έιιεηςε, πνπ λα βξείηε ηελ εμίζσζή ηεο, ηηο θνξπθέο θαη ηηο εζηίεο.

β. 4 z 5

γ. 216 z 9 25

6. Έζησ νη κηγαδηθνί αξηζκνί z =ιi1

i3

, ι .

α) Να ζεκεηώζεηε ηε ζσζηή απάληεζε. Ο κηγαδηθόο z έρεη κέηξν :

A) Μεγαιύηεξν ηνπ 3 B) Μηθξόηεξν ή ίζν ηνπ 1

C) Μεγαιύηεξν ή ίζν ηνπ 1 θαη

κηθξόηεξν ηνπ3

D) Ίζν κε 1

E) Ίζν κε 3

β) Ν.δ.ν: νη εηθόλεο όισλ ησλ κηγαδηθώλ z αλήθνπλ ζε θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα.

γ) Αλ z1 θαη z2 είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί από ηνπο παξαπάλσ, λ.δ.ν: 21 zz 4

7. Aλ ε εμίζσζε z2 +α z +β = 0, όπνπ α, β , έρεη ξίδεο ηνπ κηγαδηθνύο z1 = 3+2i θαη z2, ηόηε:

a) Να βξείηε ηνπο α, β θαη z2.

b) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην λ ν κηγαδηθόο w = z1λ + z2

λ είλαη πξαγκαηηθόο.



c) Να βξείηε ηε κηθξόηεξε ηηκή ηεο παξάζηαζεο f(z) = ,21 zzzz z C.

8. Έζησ f(z) =z

zz )Im(4)Re(3 , z C-{0}.

Α. Να βξείηε ηνλ γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z 0 γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη 3)( zf

Β. Αλ Re(z) =ι Im(z), ηόηε: α. Να εθθξάζεηε ην )(zf σο ζπλάξηεζε ηνπ ι.

β. Να βξείηε ηε κεγαιύηεξε ηηκή ηνπ )(zf .



Μιγαδικοί αριθμοί – Τα θέματα ομαδοποιημέμα

1. Δίμξμςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί z1 , z2 .

Να απξδείνεςε όςι: z1 z2 = z1 z2 . (Θέμα 1Α1/2001 -2007)

2. Να υαοακςηοίρεςε ςιπ ποξςάρειπ πξσ ακξλξσθξύμ, γοάτξμςαπ ρςξ ςεςοάδιό ραπ

ςημ έμδεινη Σχρςό ή Λάθξπ δίπλα ρςξ γοάμμα πξσ αμςιρςξιυεί ρε κάθε ποόςαρη.

Για κάθε μιγαδικό αοιθμό z ιρυύει:

α. 2

z z z β. 2 2 z z γ. z - z

δ. z z ε. z z i (Θέμα 1Α2/2001)

3. Αμ z = α + β i με α, β R , είμαι έμαπ μιγαδικόπ αοιθμόπ, μα γοάφεςε ρςξ

ςεςοάδιό ραπ ςα γοάμμαςα ςηπ Σςήληπ Ι ςξσ επόμεμξσ πίμακα, και δίπλα ρε κάθε

γοάμμα ςξμ αοιθμό ςηπ Σςήληπ ΙΙ πξσ αμςιρςξιυεί ρςη ρχρςή απάμςηρη.

(Θέμα 1Α/2001 Δρπ)

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ A. Re(z) Β. Im(z) Γ. -z

Δ. z

Ε. z

ΣΤ. z z

1. -α - βi

2. α - βi

3. α + β

4. α

5. 2 2α β

6. α2 + β

2

7. β

4. α. Να βοείςε ςξμ γεχμεςοικό ςόπξ ςχμ εικόμχμ ςχμ μιγαδικώμ z για ςξσπ ξπξίξσπ

ιρυύει: z 16 4 z 1

β. Να βοείςε ςξμ γεχμεςοικό ςόπξ ςχμ εικόμχμ ςχμ μιγαδικώμ z για ςξσπ ξπξίξσπ

ιρυύει: z 1 z i (Θέμα 2/ΙΟΥΛ 2001)

5. Να βοεθξύμ ςα ρημεία ςξσ επιπέδξσ, πξσ είμαι εικόμεπ ςχμ μιγαδικώμ z, για ςξσπ

ξπξίξσπ ιρυύει: z - 1 1 z - i

. (Θέμα 2βΤΔΧ/2000)

6. Αμ για ςξ μιγαδικό αοιθμό z ιρυύει z =1, μα δείνεςε όςι 1 z

z (Θέμα 1Β2/2001)



7. Δίμξμςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί z 1 , z2 , z3 με z1 = z2 = z3 =3.

α. Δείνςε όςι: 1z = 1

9

z

β. Δείνςε όςι ξ αοιθμόπ 1 2

2 1

z z

z zείμαι ποαγμαςικόπ .

γ. Δείνςε όςι : z1+ z2+z3 = 1

3 z1z2+z2z3 +z1 z3 (Θέμα 2/2005)

8. α. Αμ z1 , z2 είμαι ξι οίζεπ ςηπ ενίρχρηπ z 2+2z+2=0, μα απξδείνεςε όςι 201z - 20

2z = 0.

β. Αμ z1 είμαι οίζα ςηπ ενίρχρηπ ςξσ α. εοχςήμαςξπ, με ταμςαρςικό μέοξπ θεςικό

αοιθμό, μα βοείςε ςιπ ςιμέπ ςξσ θεςικξύ ακεοαίξσ μ για ςιπ ξπξίεπ ν1z είμαι

ποαγμαςικόπ αοιθμόπ (Θέμα 2/Σεπ 2001)

9. Αμ 1 2 z 3 4 i θαη z 1 - 3 i, μα γοάφεςε ρςξ ςεςοάδιό ραπ ςξσπ αοιθμξύπ ςηπ

Σςήληπ Α και δίπλα ρε κάθε αοιθμό ςξ γοάμμα ςηπ Σςήληπ Β έςρι, ώρςε μα

ποξκύπςει ιρόςηςα.

Στήλη Α Στήλη Β

1. z1z2 α. 4 β. 2

2. z12 γ. 25

3. z22 δ. –5

4. 1z ε. –2

5. iz2 στ. 5

ζ. 10

(Θέμα 1Β1/2001)

10. Δίμξμςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί z=α+βi, όπξσ α,βIR και

w=3z –i z +4, όπξσ z είμαι ξ ρσζσγήπ ςξσ z.

α. Να απξδείνεςε όςι Re(w)=3α–β+4 και Ιm(w)=3β–α.

β. Να απξδείνεςε όςι, αμ ξι εικόμεπ ςξσ w ρςξ μιγαδικό επίπεδξ κιμξύμςαι ρςημ

εσθεία με ενίρχρη y=x–12, ςόςε ξι εικόμεπ ςξσ z κιμξύμςαι ρςημ εσθεία με

ενίρχρη y=x–2.

γ. Να βοείςε πξιξπ από ςξσπ μιγαδικξύπ αοιθμξύπ z , ξι εικόμεπ ςχμ ξπξίχμ

κιμξύμςαι ρςημ εσθεία με ενίρχρη y=x–2, έυει ςξ ελάυιρςξ μέςοξ. (Θέμα 2/2003)



11. α. Αμ z1 , z2 είμαι μιγαδικξί αοιθμξί για ςξσπ ξπξίξσπ ιρυύει

z1+z2=4+4i και 2z1 2z =5 + 5ί, μα βοείςε ςξσπ z 1 , z2 .

β. Αμ για ςξσπ μιγαδικξύπ αοιθμξύπ z, w ιρυύξσμ

z 1 3i ≤ 2 και w 3 i ≤ 2

i . μα δείνεςε όςι σπάουξσμ μξμαδικξί μιγαδικξί αοιθμξί z, w έςρι, ώρςε z = w

ii . μα βοείςε ςη μέγιρςη ςιμή ςξσ z w . (Θέμα 2ο /ΙΟΥΛ 2005 )

12. α. Να πεοιγοάφεςε γεχμεςοικά ςξ ρύμξλξ (Σ) ςχμ εικόμχμ ςχμ μιγαδικώμ

αοιθμώμ z πξσ ικαμξπξιξύμ ςιπ ρυέρειπ: z 2 και Ιm (z) 0 .

β. Να απξδείνεςε όςι, αμ η εικόμα ςξσ μιγαδικξύ αοιθμξύ z κιμείςαι ρςξ ρύμξλξ

(Σ), ςόςε η εικόμα ςξσ μιγαδικξύ αοιθμξύ 1 4

w z 2 z

κιμείςαι ρε

εσθύγοαμμξ ςμήμα ςξ ξπξίξ βοίρκεςαι ρςξμ άνξμα x ΄x .(Θέμα2/ΙΟΥΛ 2003)

13. Δίμξμςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί z 1 , z2 , z3 με z1= z2= z3= 1 και z1+z2+z3=0

α. Να απξδείνεςε όςι:

i . z1z2 = z2z3 = z3z1

ii. z1 z2 4 και Re( 1 2z z ) 1

β. Να βοείςε ςξ γεχμεςοικό ςόπξ ςχμ εικόμχμ ςχμ z 1 , z2 , z3 ρςξ μιγαδικό επίπεδξ,

καθώπ και ςξ είδξπ ςξσ ςοιγώμξσ πξσ ασςέπ ρυημαςίζξσμ. (Θέμα 3/ 2006)

14. Δίμεςαι ξ μιγαδικόπ αοιθμόπ 2 iz

2i

με αIR .

α. Να απξδειυθεί όςι η εικόμα ςξσ μιγαδικξύ z αμήκει ρςξμ κύκλξ με κέμςοξΟ(0,0)

και ακςίμα ο =1.

β. Έρςχ z1 , z2

ξι μιγαδικξί πξσ ποξκύπςξσμ από ςξμ ςύπξ 2 iz

2i

για α = 0

και α = 2 αμςίρςξιυα.

i. Να βοεθεί η απόρςαρη ςχμ εικόμχμ ςχμ μιγαδικώμ αοιθμώμ z 1 και z2

.

ii. Να απξδειυθεί όςι ιρυύει: (z1)2μ = (z2)μ για κάθε τσρικό αοιθμό μ.

(Θέμα 2/ 2007)



15. Δίμξμςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί z 1 = α+βi και z2 = 1

1

2 z

2 z

, όπξσ α, β IR με β 0.

Δίμεςαι επίρηπ όςι z 2 z1 IR .

α. Να απξδειυθεί όςι z 2 z1 = 1.

β. Να βοεθεί ξ γεχμεςοικόπ ςόπξπ ςχμ εικόμχμ ςξσ z 1 ρςξ μιγαδικό επίπεδξ.

γ. Αμ ξ αοιθμόπ z 12 είμαι ταμςαρςικόπ και αβ>0, μα σπξλξγιρθεί ξ z 1

και μα δειυθεί όςι (z 1+1+i)20 (1z +1 i)20= 0. (Θέμα 4/ΙΟΥΛ 2007)

γ.τ μιγαδικοι αριθμοι

Documents

Transcript of γ.τ μιγαδικοι αριθμοι