Askisiologio.gr μιγαδικοι αριθμοι

1 | Μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί

ΑΣΚΗΣΙΟΛΟΓΙΟ - Μποζατζίδης Βασίλης



ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ



Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α1. ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C

Α2. ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ – ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α4. ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Α5. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α6. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Β. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Β1. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ iv

Β2. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (α + βi)ν, με α + βi γνωστό μιγαδικό

Β3. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (α + βi)ν, με α + βi άγνωστο μιγαδικό

Β4. Χρήση της ταυτότητας z2 + w2 = (z + iw)(z – iw)

Γ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΟ C

Γ1 – Πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές

Γ2 – Εξισώσεις με z, 𝐳 και |𝐳|

Δ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

Ε1 – ΖΗΤΟΥΜΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Ε1.1– Ο μιγαδικός ανήκει στο R ή στο I

Ε1.2– Η δοσμένη σχέση περιέχει παράσταση της μορφής Re(f(z)) ή Im(f(z))



Ε1.3– Δοσμένη σχέση μεταξύ μιγαδικού κινούμενου σε γνωστό γεωμετρικό

τόπο και μιγαδικού ζητούμενου γεωμετρικού τόπου

Ε2 – ΖΗΤΟΥΜΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΟΤΑΝ ΔΙΝΕΤΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΜΕ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ Ή ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. ΔΗΛΑΔΗ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ

z = f(κ) + g(κ)i

Ε3 – ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΕ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΡΩΝ

Ζ. ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Ζ1 - ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟΥ

Ζ2 - ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΑΠΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΠΟ

Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Θ. ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΤΡΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Ι. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΡΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ



ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α1. ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου R των

πραγματικών αριθμών, στο οποίο:

1) Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι,

ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο R, με το μηδέν να είναι το

ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα το ουδέτερο στοιχείο του

πολλαπλασιασμού

2) Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i2 = -1

3) Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z = α + βi,

όπου α,β∈R.

Η παράσταση z = α + βi, α,β∈R λέγεται κανονική μορφή μιγαδικού. Το α λέγεται

πραγματικό μέλος και συμβολίζεται με Re(z) και το β λέγεται φανταστικό μέλος

και συμβολίζεται με Im(z).

Αν α = 0 και β ≠ 0 ο z λέγεται φανταστικός αριθμός

Αν α ≠ 0 και β = 0 ο z λέγεται πραγματικός αριθμός

Α2. ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ – ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μηδενικός λέγεται ο μιγαδικός αριθμός του οποίου το πραγματικό και το φανταστικό

μέρος ισούται με μηδέν. Δηλαδή ισχύει ότι z = 0 αν και μόνο αν Re(z) = Im(z) = 0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε ο μιγαδικός z = (α – 1) + (α – β)i να

είναι ο μηδενικός μιγαδικός.

ΛΥΣΗ

Θα πρέπει να ισχύει ότι α – 1 = 0 και α – β = 0, από όπου προκύπτει ότι α = 1 και β = 1

Δύο μιγαδικοί είναι ίσοι αν έχουν ίσα τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέλη

αντίστοιχα. Δηλαδή αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύει z = w αν και μόνο αν

Re(z) = Re(w) και Im(z) = Im(w).




Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε οι μιγαδικοί z = (2α – β) + (β – 2)i και

w = (α – 1) + (β – α)i να είναι ίσοι.

ΛΥΣΗ

Θα πρέπει να ισχύει 2α – β = α – 1 και β – 2 = β – α, από όπου προκύπτει ότι α = 2 και

β = 3.

Α3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο Μ(α, β)

και αντίστροφα.

Το σημείο Μ(z) λέγεται εικόνα του μιγαδικού z.

Το διάνυσμα με αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας την εικόνα του μιγαδικού λέγεται

διανυσματική ακτίνα του z.

Το επίπεδο του οποίου τα σημεία αποτελούν εικόνες μιγαδικών λέγεται μιγαδικό

επίπεδο.

Ο άξονας x’x λέγεται πραγματικός άξονας και σ’ αυτόν ανήκουν οι εικόνες των

μιγαδικών της μορφής z = α + 0i, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί.

Ο άξονας y’y λέγεται φανταστικός άξονας και σ’ αυτόν ανήκουν οι εικόνες των

μιγαδικών της μορφής z = 0 + βi, δηλαδή οι φανταστικοί αριθμοί.

Α4. ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Έστω z = α + βi ένας μιγαδικός αριθμός, τότε αντίστοιχα ο μιγαδικός α – βi ονομάζεται

συζυγής του z και συμβολίζεται z.

Για να βρούμε τον συζυγή ενός μιγαδικού διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

α) Ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Σ’ αυτή την περίπτωση ο συζυγής του z είναι ο μιγαδικός με ίδιο πραγματικό και με

αντίθετο φανταστικό μέρος.


Να βρεθούν οι συζυγείς των παρακάτω μιγαδικών αριθμών:

α) z = 2 + 3i β) z = -3 + 5i

γ) z = 1453 δ) z = -1821i

ΛΥΣΗ



α) z = 2 – 3i β) z = -3 – 5i

γ) z = 1453 δ) z = 1821i

β) Ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΔΕΝ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Σ’ αυτή την περίπτωση θα πρέπει να γίνει χρήση των ιδιοτήτων των συζυγών

μιγαδικών.


Να βρεθούν οι συζυγείς των παρακάτω μιγαδικών αριθμών:

α) w = (3 + 2i)(5 – i) β) w = 2−i

5+3i

γ) w = (4 + 5i)2 δ) w = z−i

z+2i

ε) w = (z – 3i)2 ζ) w = (z – i)(z + 2)

η) w = 2z−i

2z+1

ΛΥΣΗ

α) w = (3 – 2i)(5 + i) β) w = 2+i

5−3i

γ) w = (4 - 5i)2 δ) w = z+i

z−2i

ε) w = (z + 3i)2 ζ) w = (z + i)(z + 2)

η) w = 2z+i

2z+1

Α5. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών εκτελούνται

όπως και οι αντίστοιχες πράξεις διωνύμων στους πραγματικούς αριθμούς.

Στο πηλίκο μιγαδικών θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με

τον συζυγή του παρονομαστή.


Να γίνουν οι πράξεις και να γραφούν σε κανονική μορφή οι παρακάτω μιγαδικοί:

α) z = 2 + 3i – 5i + 3 β) z = (2 – i)(3 – 5i)



γ) z = (2 + i)2 δ) z = 2 −i

1+3i

ΛΥΣΗ

α) z = (2 + 3) + (3 – 5)i = 5 – 2i

β) z = 6 – 10i – 3i + 5i2 = 6 – 13i – 5 = 1 – 13i

γ) z = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i

δ) z = (2−i)(1−3i)

(1+3i)(1−3i) =

2−6i−i+3i2

1−(3i)2 =

−1−7i

10 = -

1

10 -

7

10i

Α6. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Έστω z = α + βi ένας μιγαδικός, τότε η απόσταση της εικόνας του από την αρχή των

αξόνων ορίζεται ως μέτρο του μιγαδικού z, συμβολίζεται με |z| και ισούται με

|z| = √α2 + β2.

Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

α) Ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Σ’ αυτή την περίπτωση κάνουμε άμεση χρήση του ορισμού του μέτρου μιγαδικού.


Να βρεθούν τα μέτρα των παρακάτω μιγαδικών αριθμών:

α) z = -3 + 4i β) z = -6 – 8i

γ) z = √3 + √6i δ) z = ημθ + συνθi

ΛΥΣΗ

α) |z| = √(−3)2 + 42 = 5 β) |z| = √(−6)2 + (−8)2 = 10

γ) |z| = √(√3)2 + (√6)2 = 3 δ) |z| = √ημ2θ + συν2θ = 1

β) Ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΔΕΝ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Σ’ αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού.


Να βρεθούν τα μέτρα των παρακάτω μιγαδικών αριθμών:

α) w = (2 + 5i)(3 – i) β) w = 1+i

2−i



γ) w = (2 – 3i)2 δ) w = - (1 – i)3

ΛΥΣΗ

α) |w| = |2 + 5i||3 − i| = √29√10 = √290

β) |w| = |1+i

2−i| =

|1+i|

|2−i| =

√2

√5 = √

2

5

γ) |w| = |2 − 3i|2 = 13

δ) |w| = |−(1 − i)3| = |1 − i|3 = √8

Β. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Β1. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ iv

Εκτελούμε την διαίρεση του ν με το 4, οπότε γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι θα ισχύει

iv = iυ, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης.


Να υπολογιστούν οι δυνάμεις:

α) i42 β) i501

ΛΥΣΗ

α) i42 = i4∙10+2 = i2 = -1 β) i501 = i4∙125+1 = i1 = i

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Οι δυνάμεις της μορφής iv ορίζονται μόνο αν ν∈Ζ, αφού σε διαφορετική περίπτωση

μπορεί να οδηγηθούμε σε «περίεργα» αποτελέσματα. Για παράδειγμα:

-1 = i2 = i4

2 = (i4)1

2 = 11

2 = 1


Να βρεθούν οι τιμές του μιγαδικού z = (1 + iv)(1 – i3v).

ΛΥΣΗ



Αρχικά κάνουμε την διαίρεση του ν με το 4, οπότε έχουμε ν = 4κ + υ, με υ = 0, 1, 2, 3 και

στην συνέχεια διακρίνουμε τέσσερις περιπτώσεις για τις διάφορες τιμές του υπολοίπου

υ.

Έχουμε λοιπόν, ότι ν = 4κ + υ και ισχύει iv = iυ, οπότε ο z γίνεται:

z = (1 + iv)(1 - (i3)v) = (1 + iv)(1 – (−i)v) = (1 + iυ)(1 – (-1)viυ) και έχουμε:

υ = 0, z = (1 + 1)(1 – 1) = 0

υ = 1, z = (1 + i)(1 + i) = 2i

υ = 2, z = (1 – 1)(1 + 1) = 0

υ = 3, z = (1 – i)(1 – i) = -2i


Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β ώστε να ισχύει α + βi = i2v+1

ΛΥΣΗ

Εκτελώντας την διαίρεση του ν με το 4 έχουμε ν = 4κ + υ, με υ = 0, 1, 2, 3, οπότε

διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

υ = 0, άρα ν = 4κ, επομένως έχουμε α + βi = (i4)2κ i α + βi = i α = 0 και β = 1

υ = 1, άρα ν = 4κ + 1, επομένως έχουμε α + βi = i8κ+3 α + βi = (i4)2κ i3 α + βi = -i

α = 0 και β = -1

υ = 2, άρα ν = 4κ + 2, επομένως έχουμε α + βi = i8κ+5 α + βi = (i4)2κ+1 i = i α = 0 και

β = 1

υ = 3, άρα ν = 4κ + 3, επομένως έχουμε α + βi = i8κ+7 α + βi = (i4)2κ+1 i3 α = 0 και

β = -1


Να δειχθεί ότι αν i2v = -1, τότε ο ν είναι περιττός.

ΛΥΣΗ

i2v = -1 i2v = i4κ+2 2ν = 4κ + 2 ν = 2κ + 1 ν = περιττός

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Γενικά ισχύει ότι:

i4v = 1, i4v+1 = i, i4v+2 = -1, i4v+3 = -i



Β2. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (α + βi)ν, με α + βi γνωστό μιγαδικό

Υπολογίζουμε αρχικά την τιμή των παραστάσεων (α + βi)2 ή (α + βi)3, οπότε είναι πολύ

πιθανό να προκύψει κάποιο ιδιαίτερα «βολικό» αποτέλεσμα για τον υπολογισμό της

αρχικής δύναμης.


Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης (1 – i)1821

ΛΥΣΗ

Αρχικά θα υπολογίσουμε την παράσταση (1 – i)2

(1 – i)2 = 1 – 2i + i2 = -2i

Οπότε έχουμε:

(1 – i)1821 = [(1 − i)2]910 (1 – i) = (-2i)910 (1 – i) = 2910 i4∙227+2 (1 – i) = 2910 i2 (1 – i) =

= -2910 (1 – i)

Β3. ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (α + βi)ν, με α + βi άγνωστο μιγαδικό

Σ’ αυτή την περίπτωση είναι πιθανό να πρέπει να βγάλουμε κοινό παράγοντα το i και

να προκύψει ο αντισυζηγής του α + βi, δηλαδή ο β – αi.


Να δειχθεί ότι (α + βi)14 + (β – αi)14 = 0

ΛΥΣΗ

Έχουμε ότι:

(α + βi)14 + (β – αi)14 = [i(β − αi)]14 + (β – αi)14 = i14(β – αi)14 + (β – αi)14 =

= (β – αi)14(i2+1) = (β – αi)14 ∙ 0 = 0

Β4. Χρήση της ταυτότητας z2 + w2 = (z + iw)(z – iw)


Έστω οι μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει z2 + w2 = 0. Να δείξετε ότι

z2014 + w2014 = 0.

ΛΥΣΗ

Ισχύει ότι z2 + w2 = 0 (z + iw)(z – iw) = 0. Άρα έχουμε z = iw ή z = -iw.



Οπότε z2014 + w2014 = (±iw)2014 + w2014 = w2014(i2014 + 1) = w2014(i2 + 1) = 0.

Γ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΟ C

Για την επίλυση εξισώσεων στο C, αρχικά θα διακρίνουμε δύο κατηγορίες.

α) Πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές και μόνο άγνωστο το z.

β) Εξισώσεις με συντελεστές στο C, ή εξισώσεις που, εκτός του z, περιέχουν και z, ή |z|.

Γ1 – Πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές

Γενικά θα πρέπει να θυμόμαστε ότι:

α) Σε εξίσωση της μορφής αz2 + βz + γ = 0, α, β, γ πραγματικοί αριθμοί ισχύει:

αν Δ > 0, τότε z1,2 = −β±√Δ

2α ∈ R

αν Δ = 0, τότε z1,2 = −β

2α ∈ R

αν Δ < 0, τότε z1,2 = −β±i√−Δ

2α ∈ C – R

β) Ισχύουν οι τύποι του Vietta και δεδομένου ότι για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας

πολυωνυμικής εξίσωσης με Δ < 0 ισχύει ότι z2 =z1, διαμορφώνονται ως εξής:

z1 + z2 = - β

α z1 + z1 = -

β

α 2Re(z1) = -

β

α Re(z1) = -

β

2α

z1∙z2 = γ

α z1∙z1 =

γ

α |z1|2 =

γ

α ≥ 0, αφού για να είναι Δ < 0 θα πρέπει α και γ

να είναι ομόσημοι.

γ) Ισχύει το σχήμα Horner

δ) Οι παραστάσεις z2 + z + 1 και z2 – z + 1 είναι παράγοντες των ταυτοτήτων z3 – 1 και

z3 + 1 αντίστοιχα.


Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση

z2 + αz + (β – α) = 0 έχει ρίζα τον μιγαδικό z1 = 1 - √3i.

ΛΥΣΗ

Αφού οι ρίζες είναι μεταξύ τους συζυγείς μιγαδικοί, η άλλη ρίζα της εξίσωσης θα είναι η

z2 = 1 + √3i. Οπότε από τους τύπους του Vietta προκύπτουν οι σχέσεις:

z1 + z2 = - α 2 = -α α = -2



z1∙z2 = β – α 1 + 3 = β + 2 β = 2


Να λυθεί η εξίσωση z3 – 5z2 + 10z – 12 = 0.

ΛΥΣΗ

Χρησιμοποιώντας σχήμα Horner διαπιστώνουμε ότι μία ακέραια ρίζα είναι το z1 = 3 και

οι υπόλοιπες δύο προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης z2 – 2z + 4 = 0 και είναι οι

z2 = 1 + √3i και z3 = 1 - √3i.


Να λυθεί η εξίσωση z2 +z+1

z+1 +

z2−z+1

z−1 = 0.

ΛΥΣΗ

Χρησιμοποιώντας τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων z3 + 1 και z3 – 1 έχουμε:

z3 – 1

(z+1)(z−1) +

z3+ 1

(z+1)(z−1) = 0 z3 – 1 + z3 + 1 = 0 2z3 = 0 z = 0

Γ2 – Εξισώσεις με z, 𝐳 και |𝐳|

Για την επίλυση εξισώσεων που εκτός του z περιλαμβάνουν και τον z ή το |z|, συνήθως

πρέπει να θεωρήσουμε z = x + yi, οπότε μετά από πράξεις οδηγούμαστε σε ισότητα

μιγαδικών και επίλυση συστήματος για την εύρεση των x και y και κατ’ επέκταση των

ζητούμενων μιγαδικών.


Να λυθεί η εξίσωση z + 2z - 3i = 6.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε z = x + yi και αντικαθιστώντας έχουμε:

x + yi + 2(x – yi) – 3i = 6 3x – (y + 3)i = 6

οπότε θα πρέπει να ισχύουν οι ισότητες 3x = 6 και –y – 3 = 0 και τελικά έχουμε x = 2 και

y = -3.

Άρα η λύση της εξίσωσης είναι ο μιγαδικός z = 2 – 3i.



Δ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Τα συστήματα μιγαδικών εξισώσεων αντιμετωπίζονται με τις μεθόδους επίλυσης

συστημάτων εξισώσεων που γνωρίζουμε. Είτε με τη μέθοδο των αντίθετων

συντελεστών, είτε με τη μέθοδο της αντικατάστασης.


Να λυθεί το σύστημα {zi + w = 1

(1 − i)z − iw = i

ΛΥΣΗ

Για την επίλυση του παραπάνω συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των

αντίθετων συντελεστών.

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με i το σύστημα γίνεται:

{−z + iw = i

(1 − i)z − iw = i

οπότε με πρόσθεση των δύο εξισώσεων κατά μέλη προκύπτει:

-iz = 2i z = -2

και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

-2i + w = 1 w = 1 + 2i


Να λυθεί το σύστημα {z + 2iw = 1 − 2iz − w = 3 + 5i

ΛΥΣΗ

Για την επίλυση του παραπάνω συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της

αντικατάστασης.

Θεωρούμε z = x + yi και w = α + βi. Αντικαθιστώντας στις δύο εξισώσεις και κάνοντας

τις απαραίτητες πράξεις έχουμε:

{(x − 2β) + (y + 2α)i = 1 − 2i

(x − α) + (β − y)i = 3 + 5i

Οι δύο εξισώσεις αποτελούν ισότητες μιγαδικών, οπότε εξισώνοντας πραγματικά και

φανταστικά μέλη αντίστοιχα καταλήγουμε στις εξισώσεις:

x – 2β = 1, y + 2α = -2, x – α = 3, β – y = 5

από την επίλυση του 4x4 συστήματος έχουμε:



α = 4

5, β =

7

5, x =

19

5, y = -

18

5

Άρα τελικά οι λύσεις του συστήματος είναι οι μιγαδικοί:

z = 19

5 -

18

5i και w =

4

5 +

7

5i

Ε. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

Ε1 – ΖΗΤΟΥΜΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Ε1.1– Ο μιγαδικός ανήκει στο R ή στο I

α) Αν η σχέση έχει μόνο τον μιγαδικό του οποίου ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της

εικόνας του, τον φέρνουμε στην κανονική μορφή και «απαιτούμε» να είναι Im(z) = 0 ή

Re(z) = 0 αντίστοιχα.


Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικου w = x + yi, όταν για τον

μιγαδικό z = (x2 + y2 – 4) + (y – 3)i γνωρίζετε ότι:

α) z∈R

β) z∈I

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι z∈R θα πρέπει Im(z) = 0, άρα έχουμε y = 3. Επομένως ο ζητούμενος

γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία y = 3.

β) Για να είναι z∈C θα πρέπει Re(z) = 0, άρα έχουμε x2 + y2 = 4. Επομένως ο ζητούμενος

γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 2.

β) Αν η σχέση έχει δύο μιγαδικούς z, w και ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του ενός από

αυτούς, έστω του z , ενώ δίνεται ότι ο w είναι πραγματικός ή φανταστικός, λύνουμε τη

σχέση ως προς w και χρησιμοποιούμε τις ισοδυναμίες:

w∈R w = w ή αντίστοιχα w∈I w = - w


Για τους μιγαδικούς z, w ισχύει η σχέση w + izw = z + i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος

του z, αν δίνεται ότι w∈R.

ΛΥΣΗ



Αρχικά λύνουμε τη σχέση ως προς w και γίνεται w = z+i

1+iz, z ≠ i.

Τότε έχουμε w∈R w = w z+i

1+iz =

z−i

1−iz z - izz + i + z = z – i + izz + z

2izz – 2i = 0 zz = 1 |z| = 1

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Επειδή όμως θα πρέπει z ≠ i, από τον παραπάνω κύκλο έχει εξαιρεθεί το σημείο Α(0, 1).

Ε1.2– Η δοσμένη σχέση περιέχει παράσταση της μορφής Re(f(z)) ή Im(f(z))

Στην περίπτωση αυτή για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση θα πρέπει

αρχικά να φέρουμε την παράσταση f(z) στην κανονική μορφή μιγαδικού.


Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z αν δίνεται ότι ισχύει

Re(z + i

z) = Re(z + 1).

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε z = x + yi και φέρνουμε τις παραστάσεις z + i

z και z + 1 στην κανονική μορφή.

Οπότε έχουμε:

z + i

z = z +

iz

zz = x + yi +

i(x−yi)

x2 + y2 = x + yi +

x

x2 + y2i +

y

x2 + y2 = (x +

y

x2+ y2 ) + (y +x

x2+ y2 )i

και z + 1 = x + yi + 1 = (x + 1) + yi

Άρα από την αρχική σχέση έχουμε:

x +y

x2+ y2 = x + 1 x2 + y2 – y = 0

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 1

2) και ακτίναι ρ =

1

2.

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Αν συναντήσουμε το Re(f(z)) ή το Im(f(z)), πιθανόν να βοηθάει να πολλαπλασιάσουμε

με το 2 και να εκμεταλλευτούμε τις ισότητες:

2Re(f(z)) = f(z) + f(z)

2Im(f(z)) = f(z) - f(z)



Ε1.3– Δοσμένη σχέση μεταξύ μιγαδικού κινούμενου σε γνωστό γεωμετρικό

τόπο και μιγαδικού ζητούμενου γεωμετρικού τόπου

α) Αν η δοσμένη σχέση λύνεται ως προς τον μιγαδικό του οποίου γνωρίζουμε τον

γεωμετρικό τόπο που κινείται η εικόνα του, την λύνουμε ως προς αυτόν και την

χρησιμοποιούμε στην εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του.


Αν η εικόνα του w ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των

εικόνων του z, αν ισχύει wiz – i = 3(z + w).

ΛΥΣΗ

Αρχικά λύνουμε την σχέση ως προς w και έχουμε:

w = 3z+i

iz−3 , z ≠ -3i

Αφού η εικόνα του w ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο θα ισχύει ότι |w| = 1, οπότε

αντικαθιστώντας έχουμε:

|3z+i

iz−3| = 1 |3z + i| = |iz − 3| |3z + i|2 = |iz − 3|2 ………… 8|z|2 = 8 |z| = 1

Άρα ο γεωμετρικός τόπος στον οποίο ανήκει η εικόνα του z είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

β) Αν η δοσμένη σχέση δεν λύνεται ως προς τον μιγαδικό του οποίου γνωρίζουμε τον

γεωμετρικό τόπο των εικόνων του (έστω του z), θεωρούμε z = α + βi και w = x + yi και

λύνουμε ως προς τα μέρη του z, δηλαδή ως προς α και β.

Έπειτα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις στις οποίες καταλήξαμε αντικαθιστώντας στην

εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του z.


Δίνονται οι μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει η σχέση w = z + 2

z. Αν γνωρίζετε

ότι |z| = 1, να δείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε έλλειψη.

ΛΥΣΗ

Έχουμε ότι w = z + 2

z w = z +

2z

zz w = z +

2z

|z|2 w = z + 2z w = (z + z) + z

οπότε θεωρώντας z = α + βi και w = x + yi έχουμε:

x + yi = 2α + α – βi x + yi = 3α – βi

άρα είναι x = 3α και y = -β, οπότε έχουμε α = x

3 και β = -y.

Όμως είναι |z| = 1, άρα α2 + β2 = 1 και τελικά προκύπτει x2

9 + y2 = 1.



Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w είναι έλλειψη.

Ε2 – ΖΗΤΟΥΜΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΟΤΑΝ ΔΙΝΕΤΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΜΕ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ Ή ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. ΔΗΛΑΔΗ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ

z = f(κ) + g(κ)i

Σ’ αυτή την περίπτωση θεωρούμε x = f(κ) και y = g(κ) και χρησιμοποιώντας τις δύο

αυτές σχέσεις κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου κ. Η σχέση με x και y που θα

προκύψει είναι η εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου.


Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο στον οποίο κινείται η εικόνα του μιγαδικού

z = (2κ – 1) + 3κi, κ∈R.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε x = 2κ – 1 και y = 3κ, οπότε απαλείφοντας το κ καταλήγουμε στην σχέση

3x – 2y + 3 = 0. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ε: 3x – 2y + 3 = 0.

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Αν η παράμετρος «κρύβεται» μέσα σε τριγωνομετρικούς αριθμούς, για να γίνει

απαλοιφή της, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλες τριγωνομετρικές

ταυτότητες και κυρίως την ημ2θ + συν2θ = 1.


Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z = 2συνθ + 3ημθi, θ∈[0, 2π).

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε x = 2συνθ και y = 3ημθ. Για να χρησιμοποιήσουμε τη βασική τριγωνομετρική

ταυτότητα, αρχικά υψώνουμε στο τετράγωνο τις δύο σχέσεις. Οπότε έχουμε

x2 = 4συν2θ και y2 = 9ημ2θ.

Έπειτα λύνουμε ως προς τα τετράγωνα των δύο τριγωνομετρικών αριθμών και έχουμε:

συν2θ = x2

4 και ημ2θ =

y2

9 και προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη, οπότε

καταλήγουμε στη σχέση x2

4 +

y2

9 = 1.

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη.



Ε3 – ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΕ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΡΩΝ

Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει την απόσταση των

εικόνων τους. Βασισμένοι σ’ αυτό το στοιχείο διαπιστώνουμε από σχέσεις μέτρων

μιγαδικών μπορούν να προκύψουν άμεσα οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των

μιγαδικών αυτών.

Γενικότερα θα πρέπει να θυμόμαστε ότι:

α) Μια σχέση της μορφής |z − z1| = |z − z2| με z τυχαίο μιγαδικό και z1, z2 σταθερούς

μιγαδικούς, παριστάνει την μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ με Α(z1) και Β(z2).

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Αν υπάρχει ανισοτική σχέση μεταξύ των παραστάσεων |z − z1| και |z − z2| τότε ο

γεωμετρικός τόπος είναι ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την μεσοκάθετο

του ΑΒ.

β) Μια σχέση της μορφής |z − zo | = ρ, ρ > 0, παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα του

μιγαδικού zo και ακτίνα ρ. Φυσικά αν η σχέση έχει την μορφή |z| = ρ, ρ > 0, ο

γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ.



ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Μια σχέση της μορφής |z − zo| < 0 ή |z − zo | > 0 παριστάνει κυκλικό δίσκο με κέντρο

το Μ(zo) και ακτίνα ρ, ή τον χώρο έξω από τον κυκλικό δίσκο αντίστοιχα. Φισικά αν η

ανισοτική σχέση είναι της μορφής ≤ ή ≥ στους παραπάνω τόπους συμπεριλαμβάνεται

και ο κύκλος.

γ) Μια σχέση της μορφής |z − z1| + |z − z2| = 2α, α > 0 παριστάνει έλλειψη με εστίες

Ε(z1) και Ε’(z2) και μεγάλο άξονα 2α.



δ) Μια σχέση της μορφής ||z − z1| − |z − z2|| = 2α, α > 0 παριστάνει υπερβολή με

εστίες Ε(z1) και Ε’(z2).


Να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει η σχέση:

(z – i)1 8 2 1 = (z + 3i)1 8 2 1

ΛΥΣΗ

Αρχικά, για να «απαλλαγούμε» από τους εκθέτες παίρνουμε μέτρα και η σχέση γίνεται:

(z – i)1 8 2 1 = (z + 3i) 1 8 2 1 => |z − i|1821 = |z + 3i|1821 |z − i| = |z + 3i|



Στη συνέχεια μπορούμε να χειριστούμε την άσκηση με τους εξής δύο τρόπους:

α’ τρόπος

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ, με Α(0, 1) και

Β(0, -3).

Το μέσο του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ(0, -1), ενώ ο συντελεστής του ΑΒ δεν ορίζεται,

άρα το ΑΒ είναι κάθετο στον x’x. Οπότε η μεσοκάθετός του θα είναι κάθετη στον y’y και

θα διέρχεται από το Μ. Άρα θα είναι η ευθεία y = -1.

Φυσικά στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσαμε να βρούμε την ευθεία αυτή

άμεσα μέσο σχήματος αφού τα Α και Β βρίσκονται πάνω στον y’y. Γενικότερα όμως θα

πρέπει να κινηθούμε με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω.

β’ τρόπος

Αν χρειαζόμαστε την εξίσωση της μεσοκαθέτου, ίσως είναι ευκολότερο να χειριστούμε

το ζήτημα αλγεβρικά και να λειτουργήσουμε υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας

τις απαραίτητες πράξεις. Δηλαδή:

|z − i| = |z + 3i| |z − i|2 = |z + 3i|2 (z – i)(z + i) = (z + 3i)(z – 3i) ………

-8y = 8 y = -1


Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που πληρούν την σχέση:

|z − i| = 4

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το Κ(0, 1) και ακτίνα ρ = 4.

Η εξισωση του παραπάνω κύκλου είναι x2 + (y – 1)2 = 16.

Φυσικά θα μπορούσαμε να εργαστούμε και αλγεβρικά όπως στον δεύτερο τρόπο του

προηγούμενου παραδείγματος.



|z + 5| > 1

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο χώρος έξω από τον κυκλικό δίσκο με κέντρο το

Κ(-5, 0) και ακτίνας ρ = 1.





|z + 1 − 4i| ≤ 2

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το Κ(-1, 4) και

ακτίνα ρ = 2, συμπεριλαμβανομένου του κύκλου.



|z − 4i| + |z + 4i| = 10

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο των σημείων που το άθροισμα των

αποστάσεών τους από τα σταθερά σημεία Ε(0, 4) και Ε’(0, -4) είναι ίσο με 10. Δηλαδή

αν είναι Μ(z) η εικόνες των μιγαδικών z, θα ισχύει (ΜΕ) + (ΜΕ’) = 10.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με εστίες τα Ε και Ε’ και μεγάλο άξονα 10. Η

εξίσωση της έλλειψης είναι C: x2

9 +

y2

25 = 1.

Αν η δοσμένη σχέση ήταν κάποια ανίσωση ο γεωμετρικός τόπος θα ήταν ο εσωτερικός

ή ο εξωτερικός χώρος της έλλειψης αντίστοιχα.



||z − 5| − |z + 5|| = 8

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο των σημείων που η διαφορά των

αποστάσεών τους από τα σταθερά σημεία Ε(5, 0) και Ε’(-5, 0) είναι ίση με 8. Δηλαδή αν

είναι Μ(z) η εικόνες των μιγαδικών z, θα ισχύει |(ΜΕ) − (ΜΕ’) | = 8.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι υπερβολή με εστίες τα Ε και Ε’ και μεγάλο άξονα 8. Η

εξίσωση της υπερβολής είναι C: x2

16 -

y2

9 = 1.

Αν η δοσμένη σχέση ήταν χωρίς την απόλυτη τιμή, ο γεωμετρικός τόπος θα ήταν ο ένας

από τους δύο κλάδους της υπερβολής.



Ζ. ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Αν z1, z2 δύο μιγαδικοί με εικόνες Μ1 και Μ2 αντίστοιχα, τότε η παράσταση |z1 − z2|

εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους. Δηλαδή ισχύει |z1 − z2| = (Μ1Μ2)

Ζ1 - ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟΥ

Μια παράσταση της μορφής |z − zο| με zo σταθερό μιγαδικό, εκφράζει την απόσταση

της εικόνας του τυχαίου μιγαδικού z από την εικόνα του σταθερού μιγαδικού zo.

Όταν δίνεται ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z και ζητείται η

ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή της παράστασης |z − zο | γεωμετρικά ζητούνται οι

αποστάσεις του τόπου από την εικόνα του zo, δηλαδή από ένα σταθερό σημείο.


Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z − 1| = 2, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των

παραστάσεων:

α) |z + 3 − i|

β) |z|

ΛΥΣΗ

α) Αφού |z − 1| = 2, οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(1, 0) και ακτίνα ρ =

2. Επομένως ζητείται η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση της εικόνας του z, δηλαδή του

σημείου Α(-3, 1), από τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο.

ΒΗΜΑ 1: Σχεδιάζουμε τον γεωμετρικό τόπο και σημειώνουμε το σημείο Α.

ΒΗΜΑ 2: Φέρνουμε την ευθεία ΑΚ και σημειώνουμε Β και Γ τα σημεία τομής της με τον

κύκλο.

ΒΗΜΑ 3: Η μέγιστη τιμή της παράστασης |z − z1| είναι η (ΑΓ) = (ΑΚ) + ρ και η

ελάχιστη η (ΑΒ) = (ΑΚ) − ρ



Στο παράδειγμά μας ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα βρίσκουμε ότι η ελάχιστη

απόσταση είναι (ΑΒ) = √17 − 2 και η μέγιστη (ΑΓ) = √17 + 2.

β) Στη περίπτωση αυτή ισχύει ότι |z| = |z − (0 + 0i)|, δηλαδή ζητείται η μέγιστη και η

ελάχιστη απόσταση των εικόνων των z από την αρχή των αξόνων.

ΒΗΜΑ 1: Σχεδιάζουμε τον κύκλο

ΒΗΜΑ 2: Φέρνουμε την ευθεία ΟΚ και σημειώνουμε Λ και Μ τα σημεία στα οποία

τέμνει τον κύκλο.

ΒΗΜΑ 3: Η ελάχιστη τιμή του |z| είναι (ΟΛ) = ρ − (ΟΚ) (αφού το Ο είναι εσωτερικό

σημείο του κύκλου) και η μέγιστη είναι (ΟΜ) = ρ − (ΟΚ).

Ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα βρίσκουμε ότι η ελάχιστη τιμή του |z| είναι

(ΟΛ) = 2 − 1 = 1 και η μέγιστη (ΟΜ) = 2 + 1 = 3.

Ζ2 - ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΑΠΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΠΟ


Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν οι σχέσεις |z| = 1 και

|w − 2 − 2i| = |w − 3 − 3i|, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |z − w|.

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκουμε τους δύο γεωμετρικούς τόπους. Οι εικόνες των z ανήκουν σε κύκλο C

με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα 1, ενώ οι εικόνες των w ανήκουν στην μεσοκάθετο ε του

τμήματος ΑΒ, με Α(2, 2) και Β(3, 3).

ΒΗΜΑ 1: Σχεδιάζουμε τους δύο γεωμετρικούς τόπους στο ίδιο σύστημα αξόνων .

ΒΗΜΑ 2: Φέρνουμε την κάθετη από το Κ στην ε και έστω Δ το σημείο στο οποίο τέμνει

τον κύκλο.



ΒΗΜΑ 3: Η ελάχιστη τιμή της παράστασης |z − w| είναι η απόσταση του Δ από την ε και ισούται με d(Δ, ε) = d(Κ, ε) − ρ.

Ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα έχουμε ότι ε: x + y − 5 = 0 οπότε

d(Δ, ε) =5√2

2− 1.


Έστω οι μιγαδικοί z και w για τους οποίους γνωρίζετε ότι z = (κ – 2) + (2κ – 7)i, κ∈R και

ότι η εικόνα του w κινείται στην ευθεία η: y = 2x + 1. Να βρείτε:

α) τον γεωμετρικό τόπο του z

β) την τιμή της παράστασης |z − w|

ΛΥΣΗ

α) Θεωρούμε x = κ – 2 και y = 2κ – 7. Οπότε έχουμε κ = x + 2 και y = 2(x + 2) – 7

y = 2x – 3.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: y = 2x – 3.



β) Η παράσταση |z − w| εκφράζει την απόσταση των εικόνων των z, w.

Αφού κινούνται σε δύο παράλληλες ευθείες, η τιμή της παράστασης |z − w| θα είναι

σταθερή και ίση με την απόσταση των δύο ευθειών. Δηλαδή ισχύει |z − w| = 4.


Έστω οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

|z − 2| = 1 και |w − 5 − 4i| = 2

Να βρείτε:

α) τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων των μιγαδικών z και w

β) την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της παράστασης |z − w|

ΛΥΣΗ

Η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(2, 0) και ακτίνα ρ = 1, ενώ η εικόνα του w

ανήκει σε κύκλο με κέντρο Λ(5, 4) και ακτίνα R = 2.



β) Η ελάχιστη τιμή του |z − w| είναι η απόσταση (ΒΓ) και η μέγιστη η απόσταση (ΑΔ).

Αρχικά βρίσκουμε την απόσταση (ΚΛ).

Είναι (ΚΛ) = √(5 − 2) 2 + (4 − 0) 2 = 5.

Άρα θα έχουμε:

min|z − w| = (ΒΓ) = (ΚΛ) – ρ – R = 2 και max|z − w| = (ΑΔ) = (ΚΛ) + ρ + R = 8

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Αν αντί να ζητείται η ελάχιστη απόσταση των δύο γεωμετρικών τόπων, ζητούνται οι

μιγαδικοί που απέχουν την απόσταση αυτή, θα πρέπει να ακολουθηθούν τα παρακάτω

βήματα:

ΒΗΜΑ 1: Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ε και του κύκλο C.

BHMA 2: Βρίσκουμε την ευθεία ΚΔ κάθετο στην ε.

ΒΗΜΑ 3: Από τα σημεία Δ και Ε βρίσκουμε τους μιγαδικούς που έχουν αυτά για εικόνες.

Είναι πιθανό να ζητείται η ελάχιστη ή μέγιστη απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών οι οποίες κινούνται στον ίδιο γεωμετρικό τόπο (πχ κύκλο).


Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:

|(2 − i)z + 1| = √5



α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

β) Αν z1, z2 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο,

να βρείτε ποια είναι η μέγιστη δυνατή απόσταση των εικόνων τους.

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι:

|(2 − i)z + 1| = √5 |(2−i)z+1|

|2−i| =

√5

|2−i| |z +

1

2−i| =

√5

√5 |z +

2+i

5| = 1

|z + 2

5+

1

5i| = 1

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(- 2

5, -

1

5) και ακτίνα

ρ = 1.

β) Αφού οι εικόνες των δύο μιγαδικών βρίσκονται πάνω στον κύκλο, η μεγαλύτερή τους

απόσταση θα συμβαίνει όταν είναι αντιδιαμετρικά σημεία και θα είναι ίση με 2.


Αν z∈C και ισχύει |z + 3| + |z − 3| = 10 (1), τότε:

α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.

β) Αν z1, z2 μιγαδικοί που επαληθεύουν την παραπάνω σχέση, να βρείτε την μέγιστη

τιμή της παράστασης |z1 − z2|.

ΛΥΣΗ

α) Έστω Μ(z) η εικόνα του z. Οι παραστάσεις |z + 3| και |z − 3| εκφράζουν τις

αποστάσεις (ΜΕ’) και (ΜΕ) αντίστοιχα, με Ε’(-3, 0) και Ε(3, 0).

Τότε η σχέση (1) γίνεται:



(ΜΕ’) + (ΜΕ) = 10

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’ και Ε και

μεγάλο άξονα 10.

Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης είναι:

x2

25 +

y2

16 = 1

β) Αφού z1, z2 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ανήκουν στη παραπάνω έλλειψη, η

μέγιστη απόστασή τους θα συμβαίνει όταν είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του μεγάλου

άξονα της έλλειψης. Δηλαδή είναι max|z1 − z2| = 10.

Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους. Άρα το μήκος μιας πλευράς οποιουδήποτε σχήματος μπορεί να εκφραστεί από μια παράσταση της μορφής |z − w|, με τα άκρα της πλευράς να είναι οι εικόνες των δύο μιγαδικών z και w. Επομένως, γενικότερα, διάφορα προβλήματα γεωμετρίας μπορούν να λυθούν με χρήση μιγαδικών αριθμών. Όταν λοιπόν σε μια άσκηση ζητείται να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο είναι π.χ. ισόπλευρο, εμείς «μεταφράζουμε» την ζητούμενη ισότητα των πλευρών του σε ισότητα μέτρων και την αποδεικνύουμε με χρήση γενικών γνώσεων μιγαδικών.


Έστω οι μιγαδικοί z και w και Α, Β οι εικόνες τους αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τρίγωνο

ΑΒΟ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει zw + zw = 0.



ΛΥΣΗ

Έστω το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο στο Ο, τότε ισχύει ΑΒ2 = ΑΟ2 + ΒΟ2. Όμως

ισχύουν οι σχέσεις ΑΟ = |z| και BO = |w|.

Επομένως έχουμε ότι:

|z − w|2 = |z|2 + |w|2 (z – w)(z - w) = zz + ww … zw + zw = 0


Έστω οι μιγαδικοί z, w και u με εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα. Αν |z| = |w| = |u| = 1 και

z + w + u = 0, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

ΛΥΣΗ

Για να είναι το ΑΒΓ ισόπλευρο θα πρέπει να ισχύει:

|z − w| = |w − u| = |u − z|

Θα δείξουμε αρχικά ότι |z − w| = |w − u|. Έχουμε ότι z + w + u = 0, άρα είναι u = - z – w

επομένως έχουμε:

|z − w| = |w + z + w| |z − w| = |z + 2w| |z − w|2 = |z + 2w|2

(z – w)(z - w) = (z + 2w)(z + 2w) … zw + zw = -1

που ισχύει αφού είναι:

|u| = 1 |z + w| = 1 |z + w|2 = 1 (z + w)(z + w) = 1 … zw + zw = -1

Όμοια αποδεικνύουμε ότι |w − u| = |u − z|. Άρα τελικά το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.


Έστω οι μιγαδικοί z = (1 + ημθ) + iσυνθ και w = συνθ + i(1 + ημθ), θ∈R. Αν Α, Β είναι οι

εικόνες των z και w αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ

είναι ισοσκελές.

ΛΥΣΗ

Γνωρίζουμε ότι (ΑΟ) = |z| και (ΒΟ) = |w|.

Όμως |z| = √(1 + ημθ) 2 + συν2θ = |w|. Επιπλέον |z − w| = √2(1 + ημθ − συνθ)2 =

= √2(1 + ημθ – συνθ) ≠ |z|.

Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.




Έστω οι μιγαδικοί a, b, z = a + (a – b)i και w = b + (a – b)i, διαφορετικοί μεταξύ τους. Να

δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών a, b, z και w είναι κορυφές τετραγώνου.

ΛΥΣΗ

Αρκεί να δείξουμε ότι οι πλευρές του τετραπλεύρου είναι ίσες και επιπλέον οι διαγώνιοί

του είναι ίσες.

Έστω Α, Β, Γ, Δ οι εικόνες των a, b, z και w αντίστοιχα. Όμως είναι:

|z − w| = |a − b|, άρα ΓΔ = ΑΒ

|z − b| = |w − a|, άρα ΒΓ = ΑΔ

|a − b| = |b − z|, άρα ΑΒ = ΒΓ

Επομένως οι πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες.

Επιπλέον είναι:

|z − a| = |w − b|, άρα ΑΓ = ΒΔ

Επομένως οι διαγώνιοι του ΑΒΓΔ είναι ίσες.

Οπότε το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.


Δίνονται οι εξισώσεις z2 + √3z + 1 = 0 και z2 – z + 1 = 0. Να δείξετε ότι οι ρίζες των

εξισώσεων αποτελούν κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου.

ΛΥΣΗ

Αρχικά λύνουμε τις εξισώσεις και βρίσκουμε τις ρίζες τους, οι οποίες είναι:

z1 = - √3

2 –

1

2i, z2 = -

√3

2 +

1

2i, z3 =

1

2 -

√3

2i, z4 =

1

2 +

√3

2i

Οι εικόνες τους είναι αντίστοιχα Α(- √3

2, –

1

2), Β(-

√3

2, +

1

2), Γ(

1

2, -

√3

2) και Δ(

1

2,

√3

2).

Παρατηρούμε ότι δεν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών ΑΒ και ΓΔ, άρα

ΑΒ//ΓΔ.

Επιπλέον ισχύει λΒΓ ≠ λΑΔ. Άρα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.

Όμως είναι (ΒΓ) = (ΑΔ), άρα τελικά το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.



Θ. ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΤΡΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Όταν ζητείται να αποδείξουμε μια σχέση με μέτρα μιγαδικών συνήθως προσπαθούμε να

κάνουμε χρήση της ιδιότητας |z|2 = zz. Αν υπάρχουν μέτρα υψωμένα στο τετράγωνο

τότε χρησιμοποιούμε άμεσα την ιδιότητα, σε άλλη περίπτωση επιλέγουμε αρχικά να

τετραγωνίσουμε.


Αν z1, z2 ∈ C με |z1|=|z2| να δείξετε ότι |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 4|z1|2

ΛΥΣΗ

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα που προαναφέραμε έχουμε:

(z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 – z2)( z1 - z2) =

= |z1|2 + z1z2 + z2z1 + |z2|2 + |z1|2 - z1z2 - z2z1 + |z2|2 =

= 4|z1|2

αφού είναι |z1|=|z2|.

Όταν στα δεδομένα της άσκησης υπάρχει κάποια ισότητα της μορφής |z| = ρ, αρχικά θα

πρέπει να υψώσουμε στο τετράγωνο και να την φέρουμε στη μορφή z = ρ2

z (1).

Έπειτα ξεκινάμε από το ένα μέρος της σχέσης που είναι προς απόδειξη, χρησιμοποιούμε

την ιδιότητα |z| = |z| και παράλληλα με την σχέση (1) καταλήγουμε στο άλλο μέρος.


Αν |z1| = |z2|……….|zv| = ρ > 0 και z1 + z2 + …….. +zv = κ να δείξετε ότι

|1

z1+

1

z2+ ⋯

1

zv| =

|κ|

ρ2 (1).

ΛΥΣΗ

Έχουμε |z1| = ρ z1 = ρ2

z1

1

z1 =

z1

ρ2 , όμοια τροποποιούμε και τις υπόλοιπες σχέσεις.

Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της (1) έχουμε:

|1

z1+

1

z2+ ⋯

1

zv| = |

z1

ρ2+

z2

ρ2+ ⋯ +

zν

ρ2| = |

z1+ z2+⋯+ zv

ρ2| = |

z1+ z2+⋯+ zv

ρ2| = |

z1+ z2+⋯+ zv

ρ2| =

|κ|

ρ2



Ι. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΡΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Γενικά θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι μιγαδικοί δεν διατάσσονται. Οπότε δεν ορίζονται

ανισοτικές σχέσεις μεταξύ μιγαδικών, εκτός αν αυτοί ανήκουν στο R. Αφού όμως το

μέτρο μιγαδικού είναι πραγματικός αριθμός, είναι σύνηθες να συναντάμε ανισοτικές

σχέσεις μέτρου μιγαδικού.

Σ’ αυτές τις περιπτώσεις το κυριότερο εργαλείο μας είναι η τριγωνική ανισότητα.

Γενικότερα, για δύο ή και περισσότερους μιγαδικούς ισχύει:

||z| − |w|| ≤ |z ± w| ≤ |z| + |w|

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Αν |z + w| = |z| + |w|, οι διανυσματικές ακτίνες των δύο μιγαδικών είναι διανύσματα

ομόρροπα.

Αν |z + w| = ||z| − |w||, οι διανυσματικές ακτίνες των δύο μιγαδικών είναι διανύσματα

αντίρροπα.


Έστω οι μιγαδικοί z, w με |z| = 3 και |w| = 5 . Να αποδείξετε ότι 2 ≤ |z + w| ≤ 8.

ΛΥΣΗ

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε:

||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|

άρα γίνεται 2 ≤ |z + w| ≤ 8.


Αν |z − 1 − i| = 5, δείξτε ότι 10 ≤ |z − 10 − 13i| ≤ 20

ΛΥΣΗ

Έχουμε ότι |z − 10 − 13i| = |z − 1 − i − 9 − 12i|. Οπότε από την τριγωνική ανισότητα

προκύπτει ότι:

||z − 1 − i| − |9 + 12i|| ≤ |z − 1 − i − 9 − 12i| ≤ |z − 1 − i| + |9 + 12i|

από όπου τελικά έχουμε:

10 ≤ |z − 10 − 13i| ≤ 20




Αν z∈C, να δειχθούν οι σχέσεις:

α) 6 + |(z + 3)(z − 2)| ≥ |z||z + 1|

β) |z + 8| + |z + 7| - |z + 4| + |z + 3| - |z + 1| - |z| ≤ 13

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ότι 6 + |(z + 3)(z − 2)| = 6 + |z2 + z − 6| ≥ |6 + z2 + z − 6 | = |z2 + z| =

= |z||z + 1|

β) Από την τριγωνική ανισότητα προκύπτουν οι σχέσεις:

|z + 8| ≤ |z| + 8 |z + 8| - |z| ≤ 8

|z + 7| = |z + 4 + 3| ≤ |z + 4| + 3 |z + 7| - |z + 4| ≤ 3

|z + 3| = |z + 1 + 2| ≤ |z + 1| + 2 |z + 3| - |z + 1| ≤ 2

από όπου, με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει:

|z + 8| + |z + 7| - |z + 4| + |z + 3| - |z + 1| - |z| ≤ 13


Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z είναι:

|z + 1| ≥ 1

√2 ή |z2 + 1| ≥ 1

ΛΥΣΗ

Έστω z = x + yi τότε είναι z2 = x2 – y2 + 2xyi.

Θεωρούμε ότι |z + 1| < 1

√2 και |z2 + 1| < 1.

Τότε ισχύει |z + 1| < 1

√2 (1 + x)2 + y2 <

1

2 και (1 + x2 – y2)2 + 4x2y2 < 1.

Άρα έχουμε: 2(x2 + y2) + 4x + 1 < 0 και (x2 + y2)2 + 2(x2 – y2) < 0

από όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

(x2 + y2)2 + (2x + 1)2 < 0 ΑΤΟΠΟ

Άρα τελικά θα είναι |z + 1| ≥ 1

√2 ή |z2 + 1| ≥ 1


Δίνονται οι μιγαδικοί u, v, w και z τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:



|u| ≤ 1, |v| = 1 και w = v(u−z)

uz−1. Να δείξετε ότι |w| ≤ 1 |z| ≤ 1

ΛΥΣΗ

|w| ≤ 1 |v(u−z)

uz−1| ≤ 1

|v||u−z|

|uz−1| ≤ 1 Όμως είναι |v| = 1, άρα προκύπτει ότι:

|u − z| ≤ |uz − 1| (u – z)(u - z) ≤ (uz − 1)(uz – 1) και μετά από πράξεις έχουμε:

|u|2 - |u|2|z|2 ≤ 1 - |z|2 |u|2 (1 - |z|2) - (1 - |z|2) ≤ 0 (1 - |z|2)( |u|2 – 1) ≤ 0

Όμως είναι |u| ≤ 1 |u|2 – 1 ≤ 0, άρα έχουμε 1 - |z|2 ≥ 0 |z| ≤ 1.



Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ

1. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός, τότε ισχύει |z| = |−z|.

Σ Λ

2. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους.

Σ Λ

3. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. Σ Λ

4. Αν z = α + βi=0 τότε α = 0 ή β = 0. Σ Λ

5. Αν z∈C τότε |z| = 0 z = 0 Σ Λ

6. Αν z1, z2∈C ισχύει z1 = z2 |z1| = |z2| Σ Λ

7. Αν z1,z2 ∈C με Re(z1 – z2) = 0 τότε Re(z1) = Re(z2). Σ Λ

8. Ισχύει z1 = z2 z1̅ = z2̅. Σ Λ

9. Aν z1 + z2 ∈R τότε ισχύει Im(z1) = Im(z2). Σ Λ

10. Η εξίσωση |z + 2 − 3i| = 4 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(–2, 3) και ακτίνα 2.

Σ Λ

11. Αν |z − 6 + 2014i| ≤ 9, τότε η εικόνα του z είναι σημείο του κυκλικού δίσκου με κέντρο το (6, -2014) και ακτίνα 9.

Σ Λ

12. Aν Δ < 0 τότε η εξίσωση αz2 + βz + γ = 0 με α ≠ 0 είναι αδύνατη στο σύνολο C. Σ Λ

13. Aν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 έχει ρίζα το 2014 + i τότε έχει ρίζα και το 2014 – i. Σ Λ

14. Για τους μιγαδικούς z1, z2 ισχύει ότι Re(z1 z2) = Re(z1) Re(z2) Σ Λ

15. Ισχύει i2000 + i2001 + i2002 + i2003 + i2004 = 1 Σ Λ

16. Ισχύει z12 + z22 = 0 z1 = z2 = 0 Σ Λ

17. Οι εικόνες των μιγαδικών z, -z, z̅, -z̅ είναι κορυφές ορθογωνίου. Σ Λ



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

2.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

α. Πραγματικό και φανταστικό μέρος μιγαδικού αριθμού

1. Να βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των παρακάτω μιγαδικών

α) 2 + 5i β) 3 - √3i γ) (1 + 3i)(2 – i) δ) -3 + (3 + 5i)(3 – 5i)

2. Να γραφούν στη μορφή α + βi οι μιγαδικοί αριθμοί:

α) z = (1 + 3i)(1 - i) + (2 + i)2 β) z = (-3 + 5i)(8 - 2i)

γ) z = 1+i

1+3i δ) z =

5+i

2−i

ε) z = (1 + i)3 + 1+2i

1−i

ζ) z = 3+i

2i−4

3. Αν z = x + yi, x, y ∈ R.

α) Nα βρείτε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού w = z + 1

z

β) Να δείξετε ότι Re(z + 1

z) = Re(z) + Re(

1

z)

4. Αν z = x + yi, x, y ∈ R. α) Να βρείτε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού w = z2 β) Να δείξετε ότι Re(z2) ≥ (z - z )2 + 2(Im(z))2 + 2Re(z).Im(z).

5. Αν z = x + yi, x, y ∈ R.

α) Nα βρείτε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού w = 1

z

β) Aν x2 + y2 = 1 και Re(w) = 1 να δείξετε ότι Re(z) = 1.

6. Αν z = x + yi, x, y ∈ R, Re(z) 0.

α) Να βρείτε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού w = 1−z

z+1

β) Αν Re(1−z

z+1) = Im(

1−z

z+1) να δείξετε ότι z = i .

7. Αν z = x + yi, x,y∈R και (z + z )2 – (z - z )2 – 2(z + z ) – 4(z - z )i + 5 = 0 να δείξετε ότι

z = 1

2 - i.

8. Για το μιγαδικό αριθμό z είναι γνωστό ότι Re(z) = 2 και Im(z) = -1 . Να βρείτε τα Re(z2) και Im(z2).



9. Για το μιγαδικό αριθμό z είναι γνωστό ότι z = 3Im(z) + (Re(z) + 1)i. Να βρείτε το μιγαδικό z.

10. Αν z = 2 + 5i να υπολογιστεί η παράσταση Re(z + 1) + Im(iz) .

β. Συζυγής μιγαδικός αριθμός

11. Αν z1 = (2x + y) + (1 + i)(x - y) και z2 = x + (2 + 3i)2y + 30, να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y ώστε οι z1 και z2 να είναι συζυγείς.

12. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει : α) z - 3 = 2 z + i β) z + 2 z = 3i

13. Έστω α, β R με α, β 0. Αν z = x+yi

x−yi και w =

x−yi

x+yi, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z

+ w είναι πραγματικός αριθμός και ο z - w είναι φανταστικός αριθμός.

14. Αν z1, z

2 είναι μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε (z

1 + z

2) R και z1, z2 ∈ R και να

αποδείξετε ότι οι αριθμοί z1, z

2 είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί ή είναι πραγματικοί

αριθμοί.

γ. Τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού

15. Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των μιγαδικών αριθμών

α) 7 + 24i β) 3 - 3√3i

16. Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των μιγαδικών αριθμών α) –2 β) –2i

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2: ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

17. Να βρεθεί λ∈R ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α) 2 + 3i = 2 + (λ + 1)i

β) λ + 1 + 5i = 2 + (λ2 - 3λ + 7) i

γ) λ(1 + i) = 2 + 2i

18. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει:

α) (x + yi)2 = 2y - xi β) (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i



γ) (2 + i)x - (2 - i)y = x - y + 2i δ) √x2 + x + 1 + (lny – 3)i = √3 – 2i

ε) x−3

3+i +

y−3

1−i = i ζ)

x−2

1−i +

y−3

2+i = 1 – 2i

19. Έστω η συνάρτηση f(z) = αz+β

z−1. Αν είναι f(i) = −

1

2 −

5

2i να βρείτε το f(2 + i).

20. Δίνεται ο μιγαδικός z = 6i – (3 – 4i)x – 3yi – (4 – 2y)i , x,yR α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi β) Να βρείτε τα x, y ώστε ο μιγαδικός να είναι πραγματικός . γ) Να βρείτε τα x, y ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός .

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

21. Έστω ο μιγαδικός z = κ – 4 + (λ – 3)i. Να βρείτε τα κ, λ ∈ R ώστε : α) z = 2 + i β) Η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο να είναι η αρχή των αξόνων. γ) z ∈ I και Im(z) = 8

22. Έστω ο μιγαδικός z = κ – 1 + (λ – 2)i. Να βρείτε τα κ, λ ∈ R ώστε: α) z = -i β) Η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο να είναι η αρχή των αξόνων γ) z ∈ R και Re(z) = 2

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 4: ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

23. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις και να βρεθεί η εικόνα και το διάνυσμα θέσεως του μιγαδικού που προκύπτει .

α) (2 + 3i) + (6 + 11i) β) (12 - i) (3 + 4 i) γ) (4 + 5i) + (6 - 2i)

δ) ( 1 + i ) ( 2 + i) ε) (3 - 9i) - (6 - 8i) ζ) (4 + 6i) (7 - 3i)



24. Να αναλύσετε το μιγαδικό z = 6 + 9i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1, z2 που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες (ε): y = x + 1 και (ε1): y = 2x - 2.

25. Να αναλύσετε το μιγαδικό z = 5 + 10i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1, z2 που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες (ε): y = x + 1 και (ε1): y = 3x + 2.

26. α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός w = α + βi . Αν η εικόνα του Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε με εξίσωση 2x - 3y – 6 = 0 , να αποδειχθεί

ότι Im(w) = 2α−6

3.

β) Έστω ο μιγαδικός z = 2 + i . Να αναλυθεί σε άθροισμα δυο μιγαδικών z1 και z2 των οποίων οι εικόνες να βρίσκονται αντίστοιχα πάνω στις ευθείες (ε1): y = x - 2 και (ε2): y = 2x - 1.

27. Για ποία τιμή του κ ∈ R ισχύει (2 + i)3 = κ + (5κ + 1)i ;

28. Να αναλύσετε το μιγαδικό z = 1 + 3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1 , z2 των οποίων οι εικόνες βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες ε1: y = x + 3 και ε2: y = 3x −1.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 5: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

α. Δυνάμεις του i

29. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: α) i15+i25+i27+i37+i40+i50 β) i-5+i-8-i-12-i-23+i-30-i-34

30. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 1− iv

1 − i, για τις διάφορες τιμές του

φυσικού αριθμού ν.

31. Έστω οι αριθμοί α, β, γ, δ ∈ N* τέτοιοι ώστε αν διαιρεθούν με το 4 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο . Να δείξετε ότι iα = iβ = iγ = iδ και iα + β + γ + δ = 1.

32. Αν f(v) = iv, v ∈ N* να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α) f(1) + f(2) + f(3) + f(4) β) f(v) + f(v + 1) + f(v + 2) + f(v + 3)

33. Να υπολογίσετε το v ∈ N* όταν: α) i3v + 2 = -1 β) (-i)3v + 1 = i

34. Να υπολογίσετε το ν ∈ Ν , σε καθεμιά περίπτωση : α) (−i)3ν+2=1 β) (−i)3ν = −1



β. Δυνάμεις της μορφής (α+βi)ν

35. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = (1 + i)20, B = (1 – i)6, Γ = (√2 - √2i)10.

36. Να υπολογιστούν οι τιμές του ν ∈ N για τις οποίες ισχύει η σχέση (1 – 2i)v + (i + 2)v = 0 .

37. Αν ν Ν, να βρεθούν οι δυνατές τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

α) Α = (1 + iv)(1 + i2v)

β) B = (1 + iv)(1 + i2v)(1 + i3v) ... (1 + iv2)

38. Αν α, βR και νΝ* , να δειχθεί ότι ο (α+βi)2ν+1 Ι, αν και μόνο αν ο (β+αi)2ν+1 R .

39. Αν f(v) = (1 + i)v + (-1 + i)v, να δείξετε ότι: α) f(2) = 0 β) Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο ν για τον οποίο ισχύει f(v) = 0.

40. Έστω ν∈Ν* και z∈C, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: zν = 3 + 4i και zv+1 = 2 + 11i. α) Να βρείτε τους αριθμούς ν και z. β) Να βρείτε κάθε μ∈N*, ώστε να ισχύει zμ = (-1 + 2i)μ

41. Έστω z ∈ C και f(z) = z6v με ν ∈ N α) Για ν = 4 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f(1 – i) + f(1 + i). β) Να βρείτε το ν∈N ώστε f(3 + 4i) + f(4 – 3i) = 0.

42. Έστω z ∈ C και f(z) = z4v με ν ∈ N α) Για ν = 1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f(2 – i) + f(1 + 2i). β) Να βρείτε το ν ∈ N ώστε f(8 + 10i) + f(10 – 8i) = 0.

43. Δίνεται ο μιγαδικός z ≠ 0 και η συνάρτηση f: N* →C με f(v) = (iv – 1).z. α) Να δείξετε ότι για κάθε v ∈ N* ισχύει f(v) . f(v + 1) . f(v + 2) . f(v + 3) = 0 β) Αν ισχύει f(3) = -1 – 3i να δείξετε ότι z = 2 + i.

44. Για ν Ζ να αποδείξετε ότι (1 + i)v + (1 - i)v R.

45. Έστω ο μιγαδικός z 0 για τον οποίο ισχύει z + 1

z = 1. Να αποδείξετε ότι :

α) z3 = -1 β) z20 + 1

z20 = -1

46. Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z2 + z + 1 = 0. Να αποδείξετε ότι: α) z3 = 1 β) z100 + z50 + 1 = 0



47. Έστω ο μιγαδικός z 0 για τον οποίο ισχύει z + 1

z = 1.

α) Να βρεθεί ο z3 και z6 β) Δείξτε ότι z6v + 2 + 1

z6v+1 ≠ -1

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6: ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αz2 + βz+ γ = 0, α, β, γ ∈ R, με α ≠ 0 και z ∈C

48. Αν η εξίσωση z2 – κz + λ = 0 , κ, λ Ζ έχει ρίζα τον αριθμό 2+i, να βρεθούν τα κ, λ

49. Δίνεται η εξίσωση z2 + βz + γ = 0 με β, γR και zC .Αν εξίσωση έχει λύση το

μιγαδικό z1 = 1 + i√3 τότε: α) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης z2. β) Δείξτε ότι β = -2 και γ = 4 .

50. Δίνεται η εξίσωση z2 + βz + γ = 0 με β, γ ∈ R και zC. Αν εξίσωση έχει λύση το

μιγαδικό z1 = 1 - i√2 τότε : α) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης z2. β) Δείξτε ότι β = -2 και γ = 3 .

51. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) z3 + z2 + z + 1 = 0 β) z3 – 3z2 + 4z – 2 = 0

52. α) Να λυθεί η εξίσωση z3 – 3z2 + 3z – 28 = 0 (1) β) Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των ριζών της (1) να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

53. α) Να λυθεί η εξίσωση z3 – 7z2 + 16z – 10 = 0 (1) β) Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των ριζών της (1) να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 7: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

54. Αν z1 = (2x + y) + (1 + i)(x - y) και z2 = x + (2 + 3i)2y + 30, να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y ώστε οι z1 και z2 να είναι συζυγείς.

55. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει : α) z - 3 = 2z̅ + i β) z + 2z̅ = 3i

56. Να βρεθούν οι τιμές των x,y ώστε να είναι συζυγής οι μιγαδικοί: α) z = 5x + 8y + (x + 6y)i και w = y - 3x + 11 + (2x – y - 7)i β) z = x2 + x + (4 - 4y)i και w = -5x + 9 - y2i

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ



57. Να λυθεί το σύστημα {2iz − w = 1 − 6iz + 2iw = i

58. Να λυθεί το σύστημα {(1 + i)z + (1 + 2i)w = 1 + 5i(3 − i)z + (4 − 2i)w = 2 − i

.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 9: ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ-ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

59. Αν ισχύει zz̅ = ww̅ = 1 να δείξετε ότι ο μιγαδικός u = (z+w)v

zv+ wv είναι πραγματικός

60. Αν zz̅ = ww̅ = 1 να δείξετε ότι ο αριθμός u+zwu̅

z+w είναι πραγματικός αριθμός .

61. Έστω z1, z2 ∈ C με z1z2̅ ∈ R και w = z1− z2

z1+ z2. Να δείξετε ότι ο w είναι πραγματικός

62. Έστω z1, z2 ∈ C με z1z1̅ ∈ R και w = z1− 1

z1+ 1. Να δείξετε ότι ο w είναι φανταστικός

63. Αν w = 2+iz

1−iz , να αποδείξετε ότι , αν wR τότε ο z είναι φανταστικός .

64. Αν για τον μιγαδικό w ≠ 1 ισχύει ww̅ = 1 , να δειχθεί ότι ο z = 1+w

1−w είναι

φανταστικός .

65. Δίνεται ο μιγαδικός z = (5 + √2i)5

+ (5 − √2i)5

. Να δείξετε ότι ο z είναι

πραγματικός

66. Δίνεται ο μιγαδικός z = (3 + 5i)15 + (3 − 5i)15. Να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός

67. Έστω z = (4 + 5i)8v + (5 + 4i)8v ,νΝ* .Να δειχθεί ότι z ∈ R.

68. Έστω οι μιγαδικοί z1 = 2 + λi, z2 = (1 – λ) + i, λ∈R, δείξτε ότι ο z1

z2 δεν είναι

πραγματικός .

69. Έστω οι μιγαδικοί z15 = 2 + 3i, z25 = 3 + 2i δείξτε ότι ο z1

z2 δεν είναι πραγματικός.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 10: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

70. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = 2 + λ + (λ2 - 4)i . α) Να βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού .



β) Να βρείτε το λ ώστε ο μιγαδικός να είναι πραγματικός . γ) Να βρείτε το λ ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός . δ) Να βρείτε το λ ώστε ο η εικόνα του μιγαδικού να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ε) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η παραβολή y = x2 - 4x .

71. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z = (1 – κ) + (2κ + 1)i, κ∈R. α) Ποίο σημείο είναι η εικόνα του μιγαδικού z ; β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωσης y = -2x + 3.

72. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): y = x + 1 , να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού w = (1 + i)z + z̅ + i.

73. Δίνεται ο μιγαδικός z = 2+λi

1−i.

α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi β) Αν η εικόνα του z βρίσκεται στην ευθεία y = x + 3 να βρείτε το z . γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z . δ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ αν: α) z ∈ I β) z ∈ R

74. Δίνονται οι μιγαδικοί z = α + βi, α, β πραγματικοί και w = z+i

z+1. Να βρείτε το

γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z , αν ο w είναι φανταστικός .

75. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τους οποίους ο αριθμός z = (w + 2 - 3i)(2 - i)

α) είναι πραγματικός β) είναι φανταστικός γ) έχει εικόνα που βρίσκετε στην ευθεία με εξίσωση y = -2x + 3.

76. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α(1 + 2i) – 1 – 3i, α ∈ R. α) Ποίο σημείο είναι η εικόνα του z . β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του α για τις οποίες η εικόνα του μιγαδικού z είναι σημείο του κύκλου x2 + y2 = 1.

77. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = 2x + 3yi με x, y ∈ R και w = z−6

z+6.

Αν η εικόνα του w βρίσκεται στον άξονα y’y , να αποδείξετε ότι : α) το σημείο Μ(x, y) ανήκει σε έλλειψη με εστίες E(√5, 0), E’(-√5, 0)

β) η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο .

78. Έστω οι μιγαδικοί z ≠ i , w = z+i

1+iz

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο , αν ο w είναι πραγματικός. β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο , αν ο z είναι φανταστικός.



79. Έστω οι μιγαδικοί z1 = x – 2 + yi, z2 = x + yi, x, y ∈ R. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) αν ο μιγαδικός w =

z1

z2 είναι φανταστικός .

80. Έστω z = x + yi , y 0 και w = 2z−1

z2. Να αποδείξετε ότι αν wR τότε η εικόνα

Μ(z) του μιγαδικού z διατρέχει κύκλο από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί τα σημεία O(0, 0) και A(1, 0).

81. Αν ο μιγαδικός αριθμός w = z+2

z−i ανήκει στο R να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

εικόνων των μιγαδικών z .

82. Δίνονται οι μιγαδικοί z1 = (x – 2) + yi, z2 = x + yi. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x, y) , αν ο μιγαδικός z =

z1

z2 είναι φανταστικός .

83. Δίνεται ο μιγαδικός z = x + yi με x, y πραγματικοί αριθμοί .

α) Να εκφραστεί ο μιγαδικός w = z+8i

z+6 στη μορφή α + βi .

β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z όταν o w είναι φανταστικός .

84. Έστω ο μιγαδικός z = x + yi και ο μιγαδικός w = 1−iz

1+iz.

α) Για ποίες τιμές του z έχει νόημα ο w ; β) Να βρείτε το συζυγή του w . γ) Αν ο w είναι φανταστικός αριθμός , τότε i) να αποδείξετε ότι zz̅ = 1. ii) να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ(x, y) του z .

85. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , αν οι εικόνες των μιγαδικών 1 , iz , 1 - z2 είναι σημεία συνευθειακά .

86. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , αν οι εικόνες των μιγαδικών 1 , z , 1 + z2 είναι σημεία συνευθειακά.

87. Δίνεται ο μιγαδικός z = x + yi με z ≠ 0, x, y ∈ R .

α) Να εκφραστεί ο μιγαδικός 1

z στη μορφή α + βi .

β) Να αποδειχθεί ότι Re(z + 1

z ) = Re(z) + Re(

1

z) .

γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους

ισχύει Re(z + 1

z ) = 10Re(z).

88. Δίνεται ο μιγαδικός z = x + yi με z ≠ 0, x, y ∈ R. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z για τον οποίο ισχύει

Re(z - 8

z̅ ) + Im(iz) = 0.



89. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z με z ≠ 0, Re(1

z) =

1

4. Να αποδειχθεί ότι ο

γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος .

90. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z που ικανοποιούν τη σχέση

Re(z + 1

z ) = 2Im(z̅i).

91. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους

ισχύει Im(1

z) = -

1

4.

92. Έστω ότι η εικόνα του z = α + 2 + 4βi, α, β πραγματικοί αριθμοί, κινείται στην ευθεία y = x + 1.

α) Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w = z + 1 + 1

i.

β) Να βρείτε τον μιγαδικό w του ερωτήματος α) του οποίου η εικόνα είναι πλησιέστερα στο Ο(0, 0) .

93. Έστω ότι η εικόνα του z = α + βi, κινείται στην ευθεία y = 2x + 2. α) Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w = z̅ + 2 – i5. β) Να βρείτε τον μιγαδικό w του ερωτήματος α) του οποίου η εικόνα είναι πλησιέστερα στο Ο(0, 0) .

94. Έστω Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών z και w αντιστοίχως , για τους οποίους

ισχύει w = i5z + i2014

z. Αν το Α κινείται στον μοναδιαίο κύκλο, να δείξετε ότι το Β

κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα .

95. Έστω οι μιγαδικοί z = 2

λ−i , λ ∈ R.

α) Να εκφράσετε τα λ συναρτήσει των z . β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z .

96. Έστω z = x + yi και w = z2 - 2z. Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου όταν :

α) O w είναι φανταστικός αριθμός β) Ο w είναι πραγματικός αριθμός

97. Οι μιγαδικοί αριθμοί z = x + yi με (x, y) (2, 0) και w = z−3z̅+2

z−2 παριστάνονται στο

μιγαδικό επίπεδο με τα σημεία Ρ(z) και Σ(w). Να αποδείξετε ότι όταν το Σ(w) διαγράφει τον άξονα yy τότε το P(z) κινείται πάνω σε υπερβολή.

98. Έστω z = x + yi, x, y R και w = z+1

z−2i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου όταν : α) O w είναι πραγματικός αριθμός β) Ο w είναι φανταστικός αριθμός.



99. Δίνεται η συνάρτηση f με f(z) = z2 + z , z ∈ C . Να βρείτε Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει :

α) f(z) = f(z̅) β) Re(f(z)) = 1 + Re(z)

100. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = 1 − 2συνθ + i(3 + 2ημθ), θ ∈ [0,2π]

και w = εφω +i

συνω , ω ∈ (−

π

2,

π

2) . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο

των εικόνων των μιγαδικών z και w.

101. Αν η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία ε: y = 2x − 1 , να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού w = iz − (1 − i)z̅ − i5 .

102. Έστω οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει z2 + w2 = 0 . Αν η εικόνα του w βρίσκεται στην ευθεία ε: y = 2x − 1 , να βρείτε που βρίσκεται η

εικόνα του μιγαδικού z .

103. Αν η εικόνα του z ∈ C∗ κινείται στην ευθεία y = x , να δείξετε ότι η

εικόνα του μιγαδικού w = z +1

z κινείται σε μια ισοσκελή υπερβολή .

104. Έστω οι μιγαδικοί z , z1 = (λ − i)z̅ + 3λRe(z) , z2 =2(1+λ2)

1−λi , λ ∈ R∗ .

105. Να δείξετε ότι , αν το λ μεταβάλλεται στο R∗ και ισχύει z1 = z̅2 , τότε η εικόνα Μ του z κινείται σε μια έλλειψη .

2.3. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 11: ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΤΡΟΥ

106. Να υπολογίσετε το μέτρο των παρακάτω μιγαδικών αριθμών α) z = 2 - 5i β) z = (3 - i)2

γ) z = (2 - 3i)i δ) z = (1 – i)3 – (2 + 3i)2

ε) z = 3−2i

2+i ζ) z =

(1−i)2(3+4i)i

√3(1− √3i)



η) z = 2+3i

1+2i θ) z = (−

1

2− i

√3

2)

v

107. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμό z όταν: α) 3|z − 1| = |z − 9| β) |4z − 1| = |z − 4| γ) |z + 5| = |5z + 1| δ) |3z − 1| = |z − 3|

108. Αν z ∈ C και z. z̅ = 1, να βρείτε το μέτρο του w = z2−iz

1+iz .

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 12: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

109. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z όταν ισχύουν οι σχέσεις: α) |z − i| = |z + 1| = |z + iz| β) |z| = |1 − z| = |z2|

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 13: ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

α. Γενικές αποδεικτικές μέτρου

110. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με z i . Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w = z+i

z−i

έχει μέτρο 1, αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός .

111. Δίνεται ο μιγαδικός z -1 .Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w = z−1

z+1 είναι

φανταστικός αν και μόνο αν |z| = 1 .

112. Δείξτε ότι αν |z + 16| = 4|z + 1| τότε ισχύει |z| = 4 .

113. Δείξτε ότι αν |2z - i| = |iz + 2| τότε ισχύει |z| = 1 .

114. Αν |z + 5| = √6|z − 5| να δείξετε ότι |z − 7| = 2√6.

115. Αν |z + 8| = 3|z − 8| να δείξετε ότι |z − 10| = 6.

116. Δείξτε ότι αν |z - 10| = 3|z - 2| τότε ισχύει |z - 1| = 3 .

117. Αν z C και |z + 3| = 2|z − 3| δείξτε ότι |z − 5| = 4.

118. Αν |z + 1| = |z| = 1 δείξτε ότι |z − 1| = √3.

119. Αν z, w ∈ C και ισχύουν |z| = 1, |w| = 3, |z + w| = 4 να δείξετε ότι : α) Re(zw̅) = 3 β) |w − z| = 2



120. Αν z, w ∈ C και ισχύουν |z| = 3, |w| = 5, |z + w| = 8 να δείξετε ότι : α) Re(zw̅) = 15 β) |w − z| = 2.

121. Αν z, w ∈ C να δείξετε ότι |z − w|2 = |z|2 + |w|2 Re(zw̅) = 0

122. Αν z, w ∈ C να δείξετε ότι |z + w|2- |z − w|2 = 4Re(zw̅)

123. Αν z, w ∈ C να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς z και w ισχύει |w̅ − z|2 − (|z| − |w|)2 = 2|wz| – 2Re(zw)

124. Αν z, w ∈ C να αποδείξετε ότι |z − w|2 ≤ (1 + |z|2)(1 + |w|2).

125. Έστω z1z2z3 ≠ 0 να δείξετε ότι |z1 + z2 + z3| = ||z1|2

z1+

|z2|2

z2+

|z3|2

z3 |

126. Αν z1, z2 ∈ C με |z1|=|z2| να δείξετε ότι |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 4|z1|2.

127. Αν z C να αποδείξετε ότι |z + 3| + |z + 2| - |z| - |z + 1| ≤ 4.

128. Αν |z1 − z2| = |z1| = |z2| δείξτε ότι |z1 + z2| = √3|z1|.

129. Αν z1, z2 C

δείξτε ότι όταν |z1 + z2| = |z1 − z2| τότε z1

z2 είναι

φανταστικός.

130. Αν z1, z2 C να αποδείξετε ότι |z1 + z2|2 − |z1 − z2|2 = 4Re(z1𝑧2̅)

β. Αποδεικτικές με χρήση ιδιοτήτων συζυγών μιγαδικών αριθμών

131. Αν |z1| = |z2|……….|zv| = ρ > 0 και z1 + z2 + …….. +zv = κ να δείξετε ότι

|1

z1+

1

z2+ ⋯

1

zv| =

|κ|

ρ2.

132. Αν z1, z2, z3 C και |z1| = |z2| = |z3| = 3 να δείξετε ότι

|z1 + z2 + z3| = 1

3|z1z2 + z2z3 + z3z1|.

133. Αν z1, z2, z3 C* τέτοιοι ώστε: |z1| = |z2| = |z3| και

Re(z1

z2)=Re(

z2

z3)=Re(

z3

z1) = −

1

2 να δείξετε ότι z1 + z2 + z3 = 0.

134. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z1, z2, z3 C, με |z1| = |z2| = |z3| = 1. Να

δείξετε ότι Re(z1

z2)+Re(

z3

z2)+Re(

z3

z1) ≥ −

3

2.



(Υπόδειξη: Παρατηρείστε ότι z1+ z2+ z3 2 0)

135. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 και z2 ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο α) να δείξετε ότι : z1 + z2 − z1. z2 + 1 = 0 ⟺ z1 + z2 + z1. z2 − 1 = 0 β) να βρείτε τους z1, z2 για τους οποίους ισχύει : z1 + z2 − z1. z2 + 1 = 0 γ) να δείξετε ότι : | z1 + z2 − z1 . z2 + 1| = |z1 + z2 + z1. z2 − 1|

136. Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με z1 + z2 + z3 = 0 και z1. z2 + z2. z3 +z3 . z1 = 0.

Να δείξετε ότι z12 + z2

2 + z32 = 0 και |z1| = |z2| = |z3| .

γ. Αποδεικτικές με χρήση γεωμετρικών εννοιών

137. Αν z1, z2, z3 C*, με z1 ≠ z2 ≠ z3 για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις |z2| = |z3| και z1 + z2 + z3 = 0. Αν Α(z1), Β(z2), Γ(z3), να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Α.

138. Δίνονται οι μιγαδικοί z1, z2 με |z2| ≠ 0. Να δείξετε ότι οι εικόνες Α(w),

B(u), Γ(v) των μιγαδικών w = 3z1+2z2 , u = 3z1-2z2, v = 3z1+2i√3z2 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

139. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει |z| = 3, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = |z − 3i|2 + |z + 3i|2. Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία όταν z 3i.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 14: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

α. Γενικές γεωμετρικών τόπων

140. Έστω ο μιγαδικός z = x + yi, x, y ∈ R διαφορετικός του –i. Να αποδείξετε

ότι ο μιγαδικός w = 1+zi

z+i είναι πραγματικός αν και μόνο αν x2 + y2 = 1.

141. Δίνονται οι μιγαδικοί u, z, w, με w = z2+z+1

z2−z+1 . Έστω ότι η εικόνα Μ του z

κινείται στον κύκλο x2 + y2 = 1.



α) Να αποδείξετε ότι uR u̅ = u.

β) Να αποδείξετε ότι z̅ = 1

z .

γ) Να εξετάσετε αν ο w είναι πραγματικός .

142. Έστω w = 3|z|2 + z2 + 2z με z = x + yi, x, y R. Να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου όταν,

α) w είναι φανταστικός β) w είναι πραγματικός

143. Έστω z = x + yi, x, y R και w = z−2i

z− z̅ με z C.

Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των z όταν α) w είναι φανταστικός

β) |w| = 1

2

144. Έστω w = z−4

z+i με z = x + yi -i, x, y R. Να βρεθεί το σύνολο των

σημείων Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου όταν |w| = √2.

145. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η ανίσωση |1 − z|2 ≤ 1 − |z|2.

146. Να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ του μιγαδικού επιπέδου, για τους μιγαδικούς z, που επαληθεύουν την ανισότητα 2|z| < |1 + z|.

147. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση |z - 3i| + |z + 3i| = 10 .

148. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση |z - 3i| - |z + 3i| = 3.

β. Γεωμετρικοί τόποι σχέσεων της μορφής |𝐳 − 𝐳𝐨 | = 𝛒 και |𝐳 − 𝐳𝟏 | = |𝐳 − 𝐳𝟐|

149. Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z που αναφέρεται στην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία της δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους:

Συνθήκη Ευθεία

A) |z − i| = |z + 3i| α) y = x

B) |𝑧 − 1| = |𝑧 + 3| β) x = -1

Γ) |z − 2| = |z − 2i|

i2z2z

γ) y = -1

δ) y = -x

ε) x ’x



150. Έστω z ∈ C με |(1 − i)z + 2i| = 2 (1) α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) για τις οποίες ισχύει η σχέση (1) . β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν(w) για τα οποία ισχύει z w = 1.

151. Έστω z = x + yi, x, y R. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

Μ(z) του μιγαδικού επιπέδου όταν |z − 1 + 2i| = |z − √3i|.

152. Έστω z = x + yi, x, y R. να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ(x, y) του μιγαδικού επιπέδου όταν:

α) 0 Re(z) 1 β) Im(z) 1

γ) Re(z) = Im(z2) δ) 1 |z + i| 3

153. Δίνεται ο μιγαδικός z = x + yi, με (x, y) ≠ (0, 1) τέτοιος ώστε |z−2i

z+i| = 2 Να

βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z.

154. Αν η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα 1 , να

αποδείξετε ότι τι ίδιο ισχύει και για την εικόνα του u = z+2

2z+1

155. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει σε κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα

ρ = 1 , να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού w = 3z+i

iz−3.

γ. Συσχέτιση δύο γεωμετρικών τόπων

156. Έστω Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών z και w αντιστοίχως , για τους

οποίους ισχύει w = z + 2

z. Αν το Α κινείται στον μοναδιαίο κύκλο, να δείξετε ότι το Β

κινείται σε έλλειψη .

157. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z - 2| = 3 , να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w = 2z - 1 .

158. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει |z - 1| = 1 , να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών: α) w = 2z + 1 β) h = z – 2 + i

159. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |iz - 4| = 3 , να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w = 3z - 2.

δ. Γεωμετρικοί τόποι από σχέση της μορφής (α+βi)ν = (κ+λi)ν

160. Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει (2z − 3i)2015 = (z + 6i)2015.

α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση



και την ακτίνα. β) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w με 3w = 2z + 6 ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση και την ακτίνα.

161. Έστω z = x + yi, με x, y ∈R, ένας μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: (z − 1)22 = (z − i)22. Να αποδείξετε ότι: α) x = y β) ο z22 είναι φανταστικός

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 15: ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

162. Έστω οι μιγαδικοί z, w με |z| = 3 και |w| = 5 . Να αποδείξετε ότι 2 ≤ |z + w| ≤ 8.

163. Έστω οι μιγαδικοί z, w με |z| = 2, |w| = 3 . Να αποδείξετε ότι 1 ≤ |z + w| ≤ 5.

164. Έστω οι μιγαδικοί z, w με |z| = 1 και w = 3-4i . Να αποδείξετε ότι 4 ≤ |z + w| ≤ 6

165. Αν |z| = 2 και w = 3 - 4i να δείξετε ότι 3 ≤ |z + w| ≤ 7

166. Αν |z| = 4 και w = 9 - 12i να δείξετε ότι 11 ≤ |z + w| ≤ 19

167. Αν |z - i| = 1 να δείξετε ότι 4 ≤ |z + 4 + 2i| ≤ 6

168. Αν |z − 1 − i| = 5, δείξτε ότι 10 ≤ |z − 10 − 13i| ≤ 20

169. Αν για τους μιγαδικούς z , w ισχύουν οι σχέσεις |z + 3i| = 1 και |w - 4| = 2, να δείξετε ότι |z − w| ≤ 8.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 16: ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ



170. Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει |z + 8| = 2|2z + 1| α) Να αποδείξετε ότι |z| = 2 β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του |z − 3 + 4i|.

171. Δίνονται οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει |z + 2 − i| = 3 .Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αριθμού α) |z|, β) |z − 1|, γ) |3z − 6|.

172. Δίνονται οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει |z + 4 − 3i| = 2. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

α) |z| β) |z + 2| γ) |2z − 1|.

173. Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου , για τα οποία ισχύει ότι |z + 3 - 3i| 4. Για κάθε zΑ ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση f(z) = |z – 2 + 2i|

α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α . β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z) . γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z).

174. Αν zC και |z + 6 − 3i| ≤ 7 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του αριθμού |z − 2 + 3i|.

175. Αν zC και |z + 2 − i| ≤ 3 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του αριθμού |z − 2 + 2i|.

176. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις |z − 3i| = 1 και |w − 4| = 2 .

α) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις σχέσεις αυτές . β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του |z - w| .

177. Δίνονται οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει |z − 3 − 4i| = 1. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του |z| .

178. Δίνονται οι μιγαδικοί z, με |z − 2 − 2i| = 3√2 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z . β) Από τους παραπάνω μιγαδικούς να βρείτε εκείνον που έχει το μικρότερο μέτρο και εκείνον που έχει το μεγαλύτερο μέτρο.

179. Δίνονται οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση |z – 1 + i| = √2 (1) α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν την (1) β) Να βρείτε ποίος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο μέτρο και ποίος έχει το μικρότερο μέτρο .

180. Αν για το μιγαδικό z ισχύει |z – 2 + 2i| = √2, να βρεθεί : α) ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο . β) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του |z| .



γ) ποιος μιγαδικός έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο .

181. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z που ικανοποιούν τη σχέση |z - 2i| = |z - 5| , και να βρείτε ποίος από τους μιγαδικούς αυτούς απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων .

182. Έστω z = (2α - 1) + (3β - 2)i . Αν τα σημεία Α(α, β) ανήκουν στην ευθεία δ: y = 2x + 3, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου του z. Ποίος είναι ο μιγαδικός που παίρνει την ελάχιστη τιμή;

183. Έστω z ̅= (α + 2) + (2α + 1)i . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, καθώς και zo με το ελάχιστο μέτρο .

184. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν οι σχέσεις |(1 − √3i)z − 4| = 4

και |w−2|

|w+i| = 1 , τότε :

α) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w , β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του |z − w|.

185. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν οι σχέσεις |z| = 1 και (3 – 4i)w + (3 + 4i)w̅ = 24 τότε :

α) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w

β) να δείξετε ότι 7

5 ≤ |z − w|.

186. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις |z + 3i| = 2 και |w − 2 − 2i| = 1.

α) Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των z, w. β) Να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του |z − w|.

187. Έστω z = 1+i και w ένας μιγαδικός με |w| = 2|z|. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του w η παράσταση |z − w| γίνεται: i) μέγιστη ii) ελάχιστη β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα παραπάνω αποτελέσματα.

188. Αν για τους μιγαδικούς z C ισχύει z ≠-i και |iz − 1|8 = |z − i|10, να βρείτε ποιος απ’ αυτούς έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο.

189. Να βρεθεί ποίος από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τη σχέση |z - 2i| + |z + 2i| = 8 έχει το ελάχιστο και ποίος το μέγιστο μέτρο .

190. Να βρεθεί ποίος από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τη σχέση |z - 3i| + |z + 3i| = 10 έχει το ελάχιστο και ποίος το μέγιστο μέτρο .

191. Να βρεθεί ποίος από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τη σχέση |z - 3i| - |z + 3i| = 3 έχει το ελάχιστο μέτρο .



192. Να βρεθεί ποίος από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τη σχέση |z - 4i| - |z + 4i| = 4 έχει το ελάχιστο μέτρο .

193. α) Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ∈ C για τον οποίο

ισχύει 1

|z−3i|+

1

|z+3i|=

10

|z2+9| (1) .

β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1, z2 ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του προηγούμενου ερωτήματος και είναι συμμετρικές ως προς την αρχή Ο, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του | z1 − z2| .

194. Έστω ότι για το μιγαδικό z ισχύει |z − 3| + |z + 3| = 10 . α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z . β) Ποιος z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο ;

Askisiologio.gr μιγαδικοι αριθμοι

Education

Transcript of Askisiologio.gr μιγαδικοι αριθμοι