ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - polymenis.compolymenis.com/images/pdfs/Typologio Front...

[Πληκτρολογήστε το όνομα του συντάκτη] [Πληκτρολογήστε την επωνυμία της εταιρείας]

1/1/2015

Αποτελεσματική Συμβολή στην Επιτυχή Προετοιμασία προς τις

Εξετάσεις για την Εισαγωγή στα Πανεπιστήμια

Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία, Έκθεση, Αρχαία, Λατινικά

Όλοι οι τύποι που χρειάζονται για κάθε άσκηση.

Οδηγός σύντομης (αλλά ουσιαστικής) επανάληψης.

Πλήρες και πρωτότυπο βοήθημα

Με το επιστημονικό κύρος των

ΦΦρροοννττιισσττηηρρίίωωνν ΠΠοολλυυμμέέννηη

Αυλίδος 20, Αμπελόκηποι, τηλ. 210 7777055, 210 7782201, www.polymenis.com

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΥΛΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

http://www.polymenis.com/

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


1

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


2

Πίνακας περιεχομένων

Πρόλογος ......................................................................................................................................... 3

Μονάδες ........................................................................................................................................... 4

Μαθηματικά ..................................................................................................................................... 5

Φυσική ........................................................................................................................................... 20

Χημεία ........................................................................................................................................... 33

Έκθεση ........................................................................................................................................... 54

Αρχαία ........................................................................................................................................... 57

Λατινικά ......................................................................................................................................... 66

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


3

Πρόλογος

H Συνοπτική Επανάληψη της Ύλης του Λυκείου με το Νέο Σύστημα αποτελεί ένα δείγμα της

δουλειάς που γίνεται στα Φροντιστήρια Πολυμένη. Η χρησιμότητα αυτής της προσπάθειας

έγκειται στο γεγονός ότι για πρώτη φορά συγκεντρώνονται σε μία επιτομή όλες οι

απαραίτητες γνώσεις των κυριοτέρων μαθημάτων για την επιτυχή εισαγωγή στα ΑΕΙ. Έτσι ,

ο υποψήφιος είναι σε θέση όχι μόνο να επαναλάβει την ύλη εν τάχει αλλά επιπλέον

διευκολύνεται να την εμπεδώσει συγκρίνοντας και συνδυάζοντας τα επιμέρους λήμματα.

Η προετοιμασία των υποψηφίων, με ορίζοντα τις Εισαγωγικές Εξετάσεις στα ΑΕΙ,

αποσκοπεί στην ουσιαστική κατανόηση της ύλης, αποφεύγοντας την άσκοπη αποστήθιση

και τον μηχανιστικό τρόπο σκέψης. Η διδακτική μας μεθοδολογία στηρίζεται στην

πολυπρισματική προσέγγιση της ύλης, ώστε να προσαρμόζεται ευκολότερα στις

προσλαμβάνουσες παραστάσεις και στις απορίες του κάθε υποψήφιου. Επιπλέον, η

εκπαιδευτική διαδικασία υποστηρίζεται μέσω των συγγραμμάτων που έχουν καταρτιστεί

από τους διδάσκοντες καθηγητές του Φροντιστηρίου και καλύπτουν διεξοδικά όλη την ύλη

των Εξετάσεων για κάθε μάθημα.

Η συνεχής συνεργασία ανάμεσα στoν υποψήφιο και τους καθηγητές θεωρούμε ότι αποτελεί

βασικό συστατικό για την επιτυχία των σπουδαστών μας. Ειδικά για τους μαθητές, εκτός

των καθορισμένων τετραμηνιαίων συναντήσεων, όλοι οι διδάσκοντες βρίσκονται σε συνεχή

επικοινωνία τόσο με τους ίδιους όσο και με τους γονείς τους.

Πιστεύουμε ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι η ενεργοποίηση των δημιουργικών δυνάμεων

που διαθέτουν οι νέοι. Για τον σκοπό αυτόν απαιτούνται: όραμα από την πλευρά του

υποψηφίου, οικοδόμηση της αυτοπεποίθησής του και συστηματική μετάδοση της γνώσης

από τους διδάσκοντες ώστε να μπορέσει να την οργανώσει και να την εμπεδώσει.

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


4

Μονάδες

Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια μονάδων

ΠΡΟΘΕΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟ ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Mega M 106 1 Mm = 106 m

kilo k 103 1 kg = 103 g

deci d 10-1 1 dm = 10-1 m

centi c 10-2 1 cm = 10-2 m

milli m 10-3 1 mg = 10-3 g

micro μ 10-6 1 μm = 10-6 m

nano n 10-9 1 ns = 10-9 s

pico p 10-12 1 pm = 10-12 m

1 L = 1 dm3 , 1 mL = 1 cm3 , 1 m3 = 103 L , 1 L = 103 mL = 103 cm3

Το σύστημα μονάδων SI

Φυσικό μέγεθος Σύμβολο Μονάδα Σύμβολο μονάδας

μήκος ℓ μέτρο – meter m

μάζα m χιλιόγραμμο–kilogram kg

χρόνος t δευτερόλεπτο– second s

ένταση ηλεκτρικού ρεύματος I αμπέρ – Ampere A

θερμοκρασία T κέλβιν – Kelvin K

φωτεινή ένταση I0 κανδήλα – candela cd

αριθμήσιμη ποσότητα ύλης n μολ – mole mol

Χρήσιμες μονάδες εκτός SI

Φυσικό μέγεθος Σύμβολο Μονάδα Σύμβολο

μονάδας

όγκος V λίτρο – liter L

πίεση p ή P

ατμόσφαιρα – atmosphere

χιλιοστόμετρο στήλης υδραργύρου

– millimeter of mercury

atm

mmHg

(Torr)

θερμοκρασία θ βαθμός Κελσίου – Celsius degree oC

θερμότητα

(ενέργεια) q θερμίδα - calorie cal

Μετατροπές

Συνήθων μονάδων σε μονάδες SI Μονάδων SI σε συνήθεις

1 L = 1 dm3 = 10-3 m3

1 atm = 760 mm Hg = 1,013·105 Pa

(1 Pa = 1 N/m2)

1 mm Hg = 1,315·10-3 atm =1,333·102 Pa

T = 273 + θ

1 cal = 4,184 J

1 m3 = 103 L

1 Pa = 9,869·10-6 atm

1 Pa = 7,5·10-3 mm Hg

θ = Τ – 273

1 J = 0,239 cal

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


5

Μαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

(α+β)2=α2+2αβ+β2 (α−β)3=α3−3α2β+3αβ2−β3

(α−β)2= α2−2αβ+β2 α3+β3=(α+β)(α2−αβ+β2)

(α−β)(α+β)=α2−β2 α3−β3=(α−β)(α2+αβ+β2)

(α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2αγ+2βγ α3+β3+γ3−3αβγ=(α+β+γ)(α2+β2+γ2−αβ−βγ−γα)=

=1/2(α+β+γ)[(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2] Εuler

(α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3 Aν α+β+γ=0 ή α=β=γ τότε α3+β3+γ3=3αβγ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

α2+β2 2αβ

22 2α β α+β

2 2

+

ν1 2

ν1 2ν1 2

α +α +…α νν α +α +…α1 1 1

+ +…+α α α

ν

(1+α)ν 1+να, νΝ*, α -1

ΡΙΖΕΣ

ν

ν νν

ν ν ν

ν

νν

μ νμν

νρ μρ μν

μμν ν

α α α = α

α β α β

α α

ββ

α α

α α

α α

= ,

=

=

=

=

=

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

x, x 0x =

x, x < 0

x y x+y x + y

−|x| x |x|

|x|2 = x2

|x·y| = |x|·|y| x =α x=±α, α>0

|−x| = |x| xx

=y y

, y0 |x|θ −θxθ, θ>0

|x|θ xθ ή x≤ −θ, θ>0

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


6

ΤΡΙΩΝΥΜΟ – ΕΞΙΣΩΣΗ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f(x) = αx2 + βx + γ, α 0 Δ = β2 − 4αγ

Δ > 0: ρ1 ρ2 με 1 2β± Δ

ρ ,ρ =2α

παραγοντοποίηση: f(x) = α(x−ρ1)(x−ρ2)

- ρ1 ρ2 + ---------------------ο-----------------ο-----------------

ομόσημo ετερόσημο ομόσημο

του α του α του α

Δ = 0: 1 2β

ρ ,ρ =2α

παραγοντοποίηση: f(x) = α(x-ρ)2, ρ = ρ1 = ρ2

- ρ1 = ρ2 + ------------------------ο-------------------------

ομόσημο του α ομόσημο του α

Δ < 0: Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες

Δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων

- +

--------------------------------------------------

ομόσημο του α

ΒΑΣΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

f: AB Λόγος μεταβολής: 11 2

2 1 2

1 2

f(x ) f(x )λ= , x ,x A, x x

x x

f γν. αύξουσα: x1,x2 A, με x1 < x2 f(x1) < f(x2) (λ>0)

f γν. φθίνουσα: x1,x2 A, με x1 < x2 f(x1) > f(x2) (λ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


7

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΞΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ

α μ=

π 180 , όπου α, μ το μέτρο του τόξου σε ακτίνια, μοίρες αντίστοιχα

συν

ημ

εφ

σφ

x

y

O

Τριγωνομετρικός Κύκλος

π/2

3π/2

0 π

2π

+

ημ

+

εφ,σφ

+

συν

+

όλα

+

Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ημ (2κπ+θ) = ημθ κ Ζ

συν (2κπ+θ)=συνθ κ Ζ

Βασική περίοδος στο ημ και το συν:T=2π

εφ(κπ+θ) = εφθ κ Ζ

σφ(κπ+θ) = σφθ κ Ζ

Βασική περίοδος στη σφ και την εφ: Τ=π

Περιορισμοί Περιορισμοί συνάρτησης Περιορισμοί τόξων

f(x)=ημx −1 ημx 1 x R

f(x)=συνx −1 συνx 1 x R

f(x)=εφχ εφx R x κπ+π/2

f(x)=σφx σφx R x κπ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΝΩΣΤΩΝ ΤΟΞΩΝ

0 30ο ή

π/6

45ο ή

π/4

60ο ή

π/3 90ο ή π/2

ημ 0 1/2 22

32

1

συν 1 32

22

1/2 0

εφ 0 33

1 3 δεν

ορίζεται

σφ δεν

ορίζεται 3 1 3

3 0

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


8

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΞΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ

0 π/2 π 2π

ημ(−x) = −ημx

συν(−x) = συνx

εφ(−x) = −εφx

σφ(−x) = −σφx

ημ(π/2−x) = συνx

συν(π/2−x) = ημx

εφ(π/2−x) = σφx

σφ(π/2−x) = εφx

ημ(π−x) = ημx

συν(π−x) = −συνx

εφ(π−x) = −εφx

σφ(π−x) = −σφx

ημ(2π−x) = − ημx

συν(2π−x) = συνx

εφ(2π−x) = − εφx

σφ(2π−x) = − σφx

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2 22 2

2 2

ημ θ=1 συν θημ θ+συν θ=1

συν θ=1 ημ θ

1ημθεφθ =εφθ=

σφθσυνθεφθ σφθ=1

συνθ 1σφθ= σφθ =

ημθ εφθ

x=2κπ+θ

ημx=ημθ ή κ Ζ

x=2κπ+π θ

συνx=συνθ x=2κπ±θ, κ Ζ

εφx=εφθ x=κπ+θ, κ Ζ

σφx=σφθ x=κπ+θ, κ Ζ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ:

f x x

ΚΑΝΟΝΑΣ: Τα τόξα της μορφής κπ

±φ2

, ακολουθούν τον παρακάτω κανόνα:

κ=άρτιος παραμένει ο τριγ. αριθμόςκπ±φ πρόσημο ανάλογα τεταρτημορίου

κ=περιττός αλλάζει ο τριγ.αριθμός2

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


9

f x x

f x x

ΤΥΠΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΤΟΞΩΝ

ημ α±β =ημα συνβ±συνα ημβ συν α±β =συνα συνβ ημα ημβ

εφα±εφβ

εφ α±β =1 εφα εφβ

σφα σφβ 1

σφ α±β =σφβ±σφα

ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ

ημ2α=2ημα∙συνα συν2α=συν2α−ημ2α=2συν2α−1=1−2ημ2α

2

2εφαεφ2α=

1 εφ α

2σφ α 1σφ2α=

2σφα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


10

ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΥΠΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ f(εφα)

2 1 συν2αημ α=2

1+συν2ασυνα=

2

2

2εφαημ2α=

1+εφ α

2

2

1 εφ ασυν2α=

1+εφ α

2 1 συν2αεφ α=1+συν2α

2 1+συν2ασφ α=1 συν2α

2

2εφαεφ2α=

1 εφ α

21 εφ ασφ2α=

2εφα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ

2ημα · συνβ = ημ(α+β) + ημ(α-β)

2συνα · συνβ =συν(α−β)+συν(α+β)

2ημα· ημβ = συν(α−β)=συν(α+β)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

Α±Β Α ΒημΑ±ημΒ=2ημ συν

2 2

Α+Β Α ΒσυνΑ+συνΒ=2συν συν

2 2

Α+Β Β ΑσυνΑ συνΒ=2ημ ημ

2 2

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

α β γ= = =2R

ημΑ ημΒ ημΓ

α2 = β2 + γ2 − 2βγ · συνΑ

β2 = γ2 + α2 − 2γα · συνΒ

γ2 = α2 + β2 − 2αβ · συνΓ

ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Ορισμός: αν+1 = αν + ω, για κάθε νΝ

Γενικός όρος: αν = α1+(ν−1)ω

Μονοτονία: ω>0: γν. αύξουσα ω1 και α1>0 γν.αύξουσα

λ>1 και α1

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


11

Άθροισμα ν πρώτων όρων:

ν1ν ν 1

α λ 1Σ = ,λ 1 και Σ =ν α , λ=1

λ 1

Άθροισμα απείρων όρων με |λ|0, α1

Ιδιότητες:

f συνάρτηση “1-1”

αν α>1 η f , αν 00

y=logαx x=αy

Iδιότητες(Ι)

f συνάρτηση “1-1”

αν α>1 η f , αν 0

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


12

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

ΟΡΙΣΜΟΣ

OA+AB=OB

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν λ 0 και α 0 , τότε το γινόμενο λ α ή λα

είναι ένα διάνυσμα , το οποίο:

Είναι ομόρροπο του α , αν λ>0 και αντίρροπο

του α αν λ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


13

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

α β συν α , β , αν α 0 και β 0α β =

0 , αν α = 0 ή β = 0

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου:

1 1 2 2 1 2 1 2Aν α = x , y και β = x , y , τότε : αβ = x x + y y

ΧΡΗΣΙΜΑ

22

2 2

1 1α = α = x + y

1 2 1 2

α β α β = 0

α β x x + y y = 0

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων: 1 2 1 22 2 2 2

1 1 2 2

α β x x + y yσυν α , β = =

α β x + y x + y

ΕΥΘΕΙΑ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Δ/ΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ:

Για ευθείες που δεν είναι παράλληλες στον y΄y

2 1

2 1

λ = εφω

y yλ =

x x

(ω: η γωνία ευθείας και άξονα x΄x και A(x1,y1), Β(x2,y2) δύο σημεία της ευθείας)

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

α) Η ευθεία διέρχεται από ένα σημείο Α(x0,y0) και έχει συντελεστή δ/νσης λ

0 0y y = λ (x x )

β) Η ευθεία διέρχεται από δύο σημεία 1 1 2 2A(x , y ) , B(x , y )

2 11 12 1

y yy y = (x x )

x x

Οι παραπάνω εξισώσεις παίρνουν τη μορφή:

y = λ x +β

γ) Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας: Ax + By + Γ = 0 (συν/στής δ/νσης A

λ =B

)

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ

1 2 1 2

1 2 1 2

ε // ε λ = λ

ε ε λ λ = 1

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


14

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Α(x1,y1) από ευθεία (ε)

1 1

2 2

Ax + By + Γd(A,ε) =

A + B

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (ΑΒΓ) Α(x1,y1) Β(x2,y2) Γ(x3,y3)

1

ABΓ = det( , ΑΓ)2

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ

Κ.ΤΟΜΗΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΣΤΟ Α(x1,y1) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΚΥΚΛΟΣ

2 2 2

2 2 2

0 0

2 2

x + y = ρ

x x + y y = ρ

x + y + Ax + By + Γ = 0

2 2A + B 4Γ > 0

Κέντρο:

A BK( , )

2 2

Ακτίνα:

2 2A + B 4Γ

ρ =2

2

1 1

2

0 1 0 0 1 0

x x + y y = ρ

x x x x + y y y y = ρ

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

2

2

y = 2px

x = 2py

1 1

1 1

y y = p x + x

x x = p y + y

ΕΛΛΕΙΨΗ

2 2

2 2

2 2

2 2

x y+ = 1

α β

y x+ = 1

α β

1 1

2 2

1 1

2 2

xx yy+ = 1

α β

yy xx+ = 1

α β

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

2 2

2 2

2 2

2 2

x y= 1

α β

y x= 1

α β

1 1

2 2

1 1

2 2

xx yy= 1

α β

yy xx= 1

α β

βy = ± x

α

βx = ± y

α

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


15

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

0

0 0 00

x x h 00

f(x) f(x ) f(x + h) f(x )f (́x ) = lim = lim

x x h

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ

2

(f + g) (́x) = f (́x) + g (́x)

c f (́x) = c f (́x)

f g (́x) = f (́x).g(x) + f(x).g (́x)

f f (́x).g(x) - f(x).g (́x)(x) =

g g (x)

f g (́x) = f (́g(x)).g (́x)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L' HOSPITAL

0 0

0 0

0

0

x x x x

x x x x

f(x) f (́x)lim = lim

g(x) g (́x)

f(x) f (́x)lim = lim

g(x) g (́x)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


16

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

Κατακόρυφες: Η ευθεία 0x = x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη του fC αν:

+0 0x x x x

lim f(x) = ± ή lim f(x) = ±

Πλάγιες: Η ευθεία xy , αν ισχύει: 0)()(lim

xxfx

Εύρεση των λ και β: xxfx

xf

xx

)(lim

)(lim

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

α+1α

x x

dx = x + c

xx dx = + c, α 1

α +1

1dx = ln x + c

x

e dx = e + c

ημxdx = συνx + c

συνxdx = ημx + c

β α

α β

β γ β

α α γ

α

α

λf x dx = λ f x dx

f x + g x dx = f x dx + g x dx

f x dx = f x dx

f x dx = f x dx + f x dx

f x dx = 0

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Α. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ: f (́x) g(x)dx = f(x) g x f x g (́x)dx

Β. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: I = f g(x) g΄ x dx

u = g x du = g΄ x dx

Άρα I = f u du

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


17

ΤΥΠΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Μέση τιμή ( x )

ν κ

i i i κi=1 i=1

i iκi=1

i

i=1

t x ν

x = , x = , x = x fν

ν

ν

i i

i=1

ν

i

i=1

x w

x =

w

wi συντελεστής στάθμισης

Διάμεσος (δ)

πλήθος παρατηρήσεων περιττό (ν = 2ρ − 1) : δ = xρ

πλήθος παρατηρήσεων άρτιο (ν = 2ρ) :ρ ρx + x +1

δ =2

Εύρος (R)

R = (μεγαλύτερη παρατήρηση − μικρότερη παρατήρηση)

Διακύμανση (s2)

2

ν

iν ν2 i=12 2

i i

i=1 i=1

t1 1

s = (t x), s = tν ν ν

2κ

i iκ κ2 i=12 2 2

i i i i

i=1 i=1

x ν1 1

s = (x x) ν , s = x νν ν ν

Τυπική απόκλιση (s)

2s = s

Κατανομή παρατηρήσεων σε κανονική καμπύλη συχνοτήτων

68% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (x s, x + s)

95% » » » » » (x 2s, x + 2s)

99,7% » » » » » (x 3s, x + 3s)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


18

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας: ( )

( )

N AP A

N

Πράξεις με ενδεχόμενα:

A B : Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ,A B . Περιέχει τα κοινά

και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

A B : Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιύνται συγχρόνως τα ,A B . Περιέχει μόνο τα κοινά

στοιχεία των δύο συνόλων

A΄ : Πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το A . Περιέχει τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο Α

A B : Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το A και δεν πραγματοποιείται το B . Περιέχει τα

στοιχεία του που δεν ανήκουν στο .

Λογισμός Πιθανοτήτων:

,

,

1

P A B P A P B A B

P A B P A P B P A B A B

P A΄ P A

P A B P A B΄ P A P A B

A B P A P B

Τύποι De Morgan

A B ΄ A΄ B΄

A B ΄ A΄ B΄

ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΡΙΓΩΝΟ

1 1E = β υ, E = β γ ημΑ

2 2

τ = ημιπεριμετροςΕ = τ ρ

ρ = ακτινα εγγεγρ. κυκλου

αβγΕ = R = ακτινα περιγεγρ. κυκλου

4R

Ε = τ(τ α)(τ β)(τ γ)

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Ε = α β

Ε = β υ (ορθογωνιο)

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

2Ε = α

ΡΟΜΒΟΣ 1 2

1 2

δ δΕ = (δ ,δ διαγωνιοι)

2

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


19

ΤΡΑΠΕΖΙΟ (β + Β)υ

E =2

ΚΥΚΛΟΣ

2 o o2

κ.τ

πR μ πRμΕ = πR , L = 2πR, E = , =

360 180

ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ

2V = πR υ, Ε = 2πRυ

ΚΩΝΟΣ 21V = πR υ, Ε = πRλ (λ = γενετειρα)

3

ΣΦΑΙΡΑ 3 24V = πR , E = 4πR

3

ΠΡΙΣΜΑ

V = (εμβαδον βασης)×(υψος)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


20

Φυσική

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

Ταχύτητα: Δx

υ =Δt

Μέση ταχύτητα: μs

υ =t

Επιτάχυνση: Δυ

α =Δt

Ομαλή κίνηση: υ=σταθ. x = υ t

Ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: α=σταθ. , υ = υo ± α t, x = υo t ±21 at

2

Ομαλά επιβραδυνόμενη όπου το κινητό σταματά: oυ

t=α

2

oυx=2α

Συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν ίδια διεύθυνση (μέτρο): F = F1 + F2

Συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν αντίθετη κατεύθυνση (μέτρο): F = | F1 − F2 |

ΔΥΝΑΜΙΚΗ

2ος νόμος του Newton: ΣF = m α

Διερεύνηση Αν ΣF = 0 τότε υ=0 ή υ=σταθ. (1ος ν.)

του 2ου νόμου Αν ΣF = σταθ. τότε α=σταθ.

του Newton: Αν ΣF = μεταβλ. τότε α=μεταβλ.

Βάρος: B = m g

Αδρανειακή μάζα: m =ΣF

α

Βαρυτική μάζα: m = Β

g

Ελεύθερη πτώση: υ = g t y =21 g t

2

Σύνθεση δύο καθέτων δυνάμεων: 2 2

1 2F= F +F 2

1

Fεφθ=

F

Σύνθεση πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων: Σ2 2

x yF= (ΣF ) +(ΣF ) y

x

ΣFεφθ=

ΣF

Ισορροπία ομοεπιπέδων δυνάμεων: ΣFx = 0 ΣFy = 0

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


21

Τριβή ολίσθησης: Τ = μ Ν

Οριζόντια βολή: x yυ=υ +υ

Μέτρο: 2 2

x yυ= υ +υ

Κατεύθυνση: y

x

υεφθ=

υ

Ομαλή κυκλική κίνηση: υ = ωR

1 Nf= =

T t

θ 2πω= = =2πf

t T

1 tT= =

f N

S 2πRυ= = =2πRf

t T

2 22 2 2

κ 2

υ 4πα = =ω R= R=4π f R

R Τ

2 22 2 2

κ κ 2

mυ 4πF =mα = =mω R=m R=m4π f R

R Τ

Νόμος παγκόσμιας έλξης: F = G 1 22

m m

r

Ένταση βαρυτικού πεδίου της Γης: 2

F B Mg= = =G

m m r r = Rr + h

Δορυφόροι: υ = rGM

r, T = 2π

3

r

r

GM, GMr = goRr

2

Ορμή: p=mυ

Αρχή της διατήρησης της ορμής: Αν εξΣF = 0 τότε ΟΛ,αρχ. ΟΛ,τελ.p =p

Δύναμη και μεταβολή της ορμής: τελ. αρχ.p pΔp

F = =Δt Δt

Έργο σταθερής δύναμης: W = F x συνθ

ΘΜΚΕ: Κτελ − Καρχ =Wολ

Δυναμική βαρυτική ενέργεια: U = mgh

Έργο δύναμης αλληλεπιδράσεων: WF(1→2) = − ΔU = − (U2 − U1) = U1 − U2

Μηχανική ενέργεια: E = K + U = 21 mυ

2+ mgh

Ισχύς: P = W

t, αν F=σταθ. και υ=σταθ. τότε P = Fυ

x΄x -

άξονας

y΄y -

άξονας

αx = 0

υx = υo

x = υ o t

αy = g

υy = g t

y = 21 gt

2

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


22

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

Νόμος του Coulomb: F = kηλ 1 2

2

Q Q

r

Ένταση ηλεκτρικού πεδίου: Ε = Fq

Ένταση πεδίου Coulomb: Ε = kηλ 2Q

r

Χωρητικότητα πυκνωτή: C = Q

V

Σχέση έντασης και διαφοράς δυναμικού

σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο: Ε = V

Έργο συντηρητικής δύναμης: W = −ΔU ή W = − (Uτελ – Uαρχ)

Δυναμική ενέργεια φορτίου στη θέση (A): U(A) = WA

Δυναμική ενέργεια συστήματος δύο φορτίων: U = kηλ Q q

r

Δυναμικό ηλ. πεδίου στη θέση (A): V(A) = (A)U

q ή V(A) =

AW

q ή V(A) = ηλ

Qk

r

Διαφορά δυναμικού ηλεκτρικού

πεδίου μεταξύ δύο θέσεων (Α) και (Γ): VAΓ = A ΓW

q ή VAΓ = kηλ Q

1 2

1 1r r

Έργο δύναμης ηλεκτρικού πεδίου: WAΓ = qVΑΓ ή WAΓ = kηλ Qq1 2

1 1r r

Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή: C = ε0S

Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή

με διηλεκτρικό: C = ε · ε0 S

Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή: U = 12

Q · V ή U = 12

C·V2 ή U =21 Q

2 C

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


23

ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ

Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος: Ι = q

t

1ος κανόνας Kirchhoff: ΣΙ = 0

Αντίσταση αγωγού: R = V

I

Νόμος του Ohm για αντιστάτη: I = V

R

Αντίσταση αγωγού συναρτήσει

των γεωμετρικών στοιχείων του: R = ρS

Ειδική αντίσταση: ρθ = ρ0 (1 + αθ)

Σύνδεση αντιστατών σε σειρά: Rολ = R1 + R2 + ... + Rν

Ι = Ι1 = Ι2 = ... = Ιν

V = V1 + V2 + ... + Vν

Παράλληλη σύνδεση αντιστατών: ολ 1 2 ν

1 1 1 1= + + ... +

R R R R

Ι = Ι1 + Ι2 + ... + Ιν

V = V1 = V2 = ... = Vν

Ενέργεια ηλεκτρικού ρεύματος: W = V I t (γενικά),

W = I2 R t, W = 2V

R t (σε αντιστάτη)

Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος: Ρ = W

t, Ρ = V I (γενικά),

Ρ = I2 R, Ρ = 2V

R (σε αντιστάτη)

Νόμος Joule: Q = I2 R t

ΗΕΔ πηγής: E = W

q, E =

P

I

Νόμος Ohm για κλειστό κύκλωμα: I = ολ

E

R

Πολική τάση πηγής: Vπ = Ε – Ι r

Συντελεστής απόδοσης αποδέκτη: α = ωφ

δαπ

P

P

Απόδοση αποδέκτη: α 100% = ωφ

δαπ

P

P 100%

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


24

ΠΕΔΙΑ

Ένταση μαγνητικού πεδίου

ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού: Β = kμ 2Ι

r

Ένταση μαγνητικού πεδίου στο κέντρο

κυκλικού ρευματοφόρου αγωγού: Β = kμ 2πI

r

Ένταση μαγνητικού πεδίου στο

εσωτερικό σωληνοειδούς: Β = kμ 4πI N

Ένταση μαγνητικού πεδίου στα

άκρα σωληνοειδούς: Β =B

2

Δύναμη Laplace: FL = ΒΙ · ημφ

Μαγνητική διαπερατότητα: μ = 0

B

B

Μαγνητική ροή: Φ = Β · S · συνα

Νόμος επαγωγής(Faraday): εεπ = ΔΦ

NΔt

Ένταση επαγωγικού ρεύματος: Ι = επ

ολR

ε

Μετακινούμενο φορτίο λόγω

επαγωγής (Neumann): Q = ολ

ΔΦ

R

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Εξισώσεις Γ.Α.Τ: y = y0 · ημωt

υ = υ0 · συνωt (υ0 = ωy0)

α = α0 · ημωt (α0 = ω2y0)

F = m · α

Περίοδος Γ.Α.Τ.: Τ = 2πm

D

Περίοδος αρμονικού ταλαντωτή: Τ = 2πm

k

Περίοδος απλού εκκρεμούς: Τ = 2πg

Δυναμική ενέργεια ελατηρίου: Uελ = 1

2k · 2 : παραμόρφωση του ελατηρίου

Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: UT = 1

D2

· y2 y: απομάκρυνση

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


25

Κινητική ενέργεια ταλάντωσης: Κ = 1

2 m2

Ενέργεια ταλάντωσης: Ετ = 1

2 Dy

2

0

Δύναμη επαναφοράς: ΣF = Dy

Σταθερά επαναφοράς: D = m · ω2

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Νόμος Boyle: pV = σταθ. για Τ = σταθ.

Nόμος Charles: p

T = σταθ. για V = σταθ.

Νόμος Gay-Lussac: V

T = σταθ. για p = σταθ.

Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων: pV = nRT

Αριθμός mol: n = ολ

Ar mol

m V N= =

M V N

Πίεση με ταχύτητες των μορίων: p = 21 Nmυ

3 V

Θερμοκρασία με ταχύτητες των μορίων: 21 3mυ = KT

2 2

Σταθερά του Boltzmann: k = A

R

N

Ενεργός ταχύτητα: 2

εν

3KTυ = υ =

m

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου: 3

U = nRT2

1ος Θερμοδυναμικός νόμος: Q = ΔU + W

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


26

Σχέση μεταξύ ειδικών

γραμμομοριακών θερμοτήτων: CP = CV + R

Υπολογισμός των CP και CV: V3R

C =2

, P5R

C =2

, P

V

Cγ =

C

Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής: C

h h

QWe = = 1

Q Q

Συντελεστής απόδοσης

θερμικής μηχανής Carnot: C C

h h h

Q TWe = = 1 = 1

Q Q T

Δυναμική ενέργεια δύο σημειακών

ηλεκτρικών φορτίων: U = KC1 2Q Q

r

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΝΟΜΟΣ

(εξίσωση)

ΔU W Q 1ος Θερμ.

νόμος

Iσόθερμ

η

Τ=σταθ.

pV=K

K=nRT

(ν.Boyle)

ΔU = 0 W=nRTτελ

αρχ

Vn

V

Q=W

Ισόχωρη

V=σταθ.

p=KT

K=nR/V

(ν.Charles)

ΔU=nCvΔΤ

W=0

Q=ΔU

Ισοβαρή

ς

P=σταθ.

V/T=K

K=nR/p

(ν.Gay-Lussac)

ΔU=nCvΔΤ

W=p(Vτελ−Vαρχ)

Q=nCpΔΤ

Q=ΔU+W

Αδιαβατι

κή

Q=0

pVγ=K

ΔU=nCvΔΤ W= τ τ α α

V p V

1 γ

p

Q=0

0=ΔU+W

Κυκλική

ΔU=0

Q=W

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


27

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο

Κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα Κίνηση με αρχική ταχύτητα κάθετη στις

δυναμικές γραμμές

F E qα = =

m m

υ = αt

x =1

2αt2

x'x

άξονας

υx = υo x = υot

y'y άξονας

y

F E q Vqα = = =

m m dm

υy = αyt

y = 1

2αyt

2

Χρόνος παραμονής στο πεδίο: ο

Lt =

υ

Απόκλιση από την αρχική κατεύθυνση

στην έξοδο: y =

2

o

1 Vq L

2 dm υ

Ταχύτητα εξόδου από το πεδίο:

x yυ = υ + υ , 2 2

x yυ = υ + υ , y

x

υεφθ =

υ,

x oυ = υ

Δύναμη Lorentz: F = B q υημφ

Ακτίνα και περίοδος κυκλικής τροχιάς

σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: mυ

R =B q

2πm

T =B q

Ευθύγραμμος αγωγός κινούμενος

σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: Eεπ = Bυℓ

Νόμος επαγωγής: επΔΦ

Ε = ΝΔt

Στρεφόμενος αγωγός

σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: 2

επ

BωΕ =

2

Περιστρεφόμενος δίσκος

σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: 2

επ

BωrΕ =

2

Eναλλασσόμενη τάση: υ = Vημωt, V = NωBA, ω =2π

= 2πfΤ

Εναλλασσόμενο ρεύμα: i =υ

R, i = Iημωt, I =

V

R

Ενεργός ένταση: Iεν =I

2 = 0,707 Ι

Ενεργός τάση: Vεν =V

2 = 0,707 V

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


28

Nόμος Joule

στο εναλλασσόμενο ρεύμα: Q = 2

ενI Rt

Στιγμιαία ισχύς: P = υi = i2R

Μέση ισχύς: 2

2 ενεν εν εν

VWP = = V I = I R =

T R

Αμοιβαία επαγωγή: επΔi

Ε = MΔt

, M = N2μμοn1A

Αυτεπαγωγή: αυτdi

Ε = Ldt

, 2

ο

ΝL = μμ Α

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου σ’ ένα πηνίο: 21U = Li

2

ΟΠΤΙΚΗ

Tαχύτητα διάδοσης κύματος c = xt

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής c = λf

Δείκτης διάθλασης 0c

n =c

Νόμος ανάκλασης του φωτός (Newton) θπ = θα

Νόμος διάθλασης του φωτός (Snell) π 2

δ 1

ημθ n=

ημθ n

Ενέργεια φωτονίου Εφ = hf

Μήκος κύματος, όταν εισέρχεται σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης n 0λ

λ =n

Διάδοση του φωτός σε δύο διαφορετικά υλικά με δείκτες διάθλασης n1 και n2 αντίστοιχα, με n1 < n2.

2 1 1

1 2 2

n c

n c

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


29

ΑΤΟΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Μηχανική συνθήκη του Βohr L = mυr = nħ όπου: ħ = h/2π

Οπτική συνθήκη του Bohr Εi – Ef = hf

Άτομο υδρογόνου

Κινητική ενέργεια του e K = k2

e

2r

Δυναμική ενέργεια του e U = − k 2

e

r

Ολική ενέργεια του e E = − k2

e

2r

Επιτρεπόμενες τροχιές και τιμές ενέργειας rn = n2r1 Εn =

1

2

E

n

Ενέργεια ιονισμού Ειον Ειον = − Ε1

Ακτίνες Χ

Ελάχιστο μήκος κύματος, λmin , συνεχούς φάσματος λmin =

c h

e V

Απομάκρυνση στην α.α.τ.: x = Aημ(ωt + φο)

Ταχύτητα στην α.α.τ.: υ = υmaxσυν(ωt + φο), υmax = ωΑ

Επιτάχυνση στην α.α.τ.: α = − αmaxημ(ωt + φο) = − ω2x, αmax = ω

2Α

Δύναμη στην α.α.τ.: F = − Dx, D = mω2

Περίοδος στην α.α.τ.: T = 2πm

D, για ελατήριο − μάζα D = K

Δυναμική ενέργεια στην α.α.τ.: U =2 2

ο

1Dx = Eημ (ωt + φ )

2

Κινητική ενέργεια στην α.α.ατ.: K =2 2

ο

1mυ = Eσυν (ωt + φ )

2

Ενέργεια στην α.α.τ.: E = U +K =21 DΑ =

2

2 2 2

max

1 1 1mυ = Dx + mυ

2 2 2

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


30

Φορτίο στην ηλεκτρική ταλάντωση: q = Qσυνωt, Q = CV

Ένταση ρεύματος στην ηλ. ταλάντωση: i = − Iημωt, I = Qω

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στην ηλ. ταλάντωση: 2

2

E

1 qU = = Eσυν ωt

2 C

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου στην ηλ. ταλάντωση: 2 2

B

1U = L i = Eημ ωt

2

Ενέργεια στην ηλ. ταλάντωση: 2 2

2 2

E B

1 Q 1 1 q 1Ε = U + U = = L I = + L i

2 C 2 2 C 2

Περίοδος ηλ. ταλάντωσης: T = 2π LC

Πλάτος σε φθίνουσα ταλάντωση: A = Ao e−Λt, t = K T όπου Fαντ = − b υ

Σύνθεση δύο α.α.τ. ίδιας συχνότητας και ίδιας διεύθυνσης:

2 2 21 2 1 2

1 2

Α ημφA = A + A + 2A A συνφ, εφθ =

Α + Α συνφ

Σύνθεση δύο α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτουςμε διαφορετικές συχνότητες:

2 1 1 2ω ω ω + ω

x = 2Aσυν( t)ημ( t)2 2

Συχνότητα διακροτήματος: δ 1 2f = f f

Ταχύτητα διάδοσης αρμονικού κύματος: x λ

υ = = = λft T

Εξίσωση αρμονικού κύματος: t x

y = Aημ2π( )T λ

Συμβολή κυμάτων από δύο σύγχρονες πηγές: 1 2t r + r

y = A'ημ2π( )T 2λ

Πλάτος: 1 2r r

A' = 2Aσυν2π2λ

Ενίσχυση: 1 2r r = Nλ

Απόσβεση: 1 2λ

r r = (2N +1)2

Ν = 0,1,2,3,...

Εξίσωση στάσιμου κύματος: 2πt

y = A'ημ ,T

Πλάτος 2πx

A' = 2Aσυνλ

Κοιλίες: κλ

x =2

Δεσμοί: λ

x = (2κ +1)4

K = 0,±1,±2,±…

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


31

Εξισώσεις ηλεκτρομαγνητικού κύματος: maxt x

Ε = Ε ημ2π( )T λ

maxt x E

Β = Β ημ2π( ), c =T λ B

Δείκτης διάθλασης διαφανούς υλικού: c

n =υ

Νόμος του Snell: nα ημθα = nb ημθb

Κρίσιμη γωνία στην ολική ανάκλαση: bcrit α bα

nημθ = ,n > n

n

Θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής: p = ρ∙g∙h

Αρχή του Pascal: p = patm + ρ∙g∙h

Παροχή: Π = Α∙υ

Εξίσωση συνέχειας: Α1∙υ1 = Α2∙υ2

Εξίσωση του Βernoulli: p + 21 ρ υ

2 +ρ∙g∙y = σταθερό

Θεώρημα Torricelli: υκ = 2 g h

Συνισταμένη δύναμη εσωτερικών τριβών: υ

F = η Α

Γραμμική ταχύτητα: dS

υ =dt

Γωνιακή ταχύτητα: dθ

ω =dt

Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας: υ = ωR

Επιτρόχια επιτάχυνση: Εdυ

α =dt

Κεντρομόλος επιτάχυνση: 2 2

2 2 2

K 2

υ 4πα = = ω R = R = 4π f R

R Τ

Γωνιακή επιτάχυνση: γdω

α =dt

Σχέση μεταξύ επιτρόχιας και γωνιακής επιτάχυνσης: αΕ = αγ R

Κύλιση τροχού χωρίς ολίσθηση: υCM = υ = ωR αCM = αΕ = αγ R

Ροπή δύναμης: τ = Fℓ

Ισορροπία στερεού: ΣFx = 0 ΣFy = 0 και Στ = 0

Ροπή αδράνειας: 2 2

1 1 2 2Ι = m r + m r +...

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


32

Θεώρημα Steiner: 2

P CMI = I + Md

Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης: γΣτ = Ι α

Στροφορμή υλικού σημείου: 2L = P r = mυr = mr ω

Στροφορμή στερεού: L = I ω

Στροφορμή συστήματος σωμάτων: 1 2L = L + L +...

Γενική διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης: dL

Στ =dt

Διατήρηση της στροφορμής: Αν Στολ = 0 τότε L = σταθ.

Κινητική ενέργεια λόγω περιστρoφής: 21K = Iω

2

Κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής και στροφικής κίνησης: 2 2

CM

1 1K = mυ + Iω

2 2

Έργο σταθερής ροπής: W = τ θ

ΘΜΚΕ στη στροφική κίνηση: 2 2

2 1 ολ

1 1Iω Iω = W

2 2

Ισχύς στη στροφική κίνηση: P = τ ω

Μέση ισχύς: W

P =t

Ελαστική μετωπική κρούση: ' 2 1 21 2 1

1 2 1 2

' 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mυ = υ + υ

m + m m + m

2m m mυ = υ + υ

m + m m + m

A. Αν m1 = m2 τότε '

1 2υ = υ και '

2 1υ = υ

Β. Αν υ2 = 0 τότε ' 1 21 1

1 2

m mυ = υ

m + m

και

' 12 1

1 2

2mυ = υ

m + m

ι) m1 = m2 τότε '

1υ = 0 και '

2 1υ = υ

ιι) m2 >> m1 τότε και

ιιι) m1 >> m2 τότε και

Απώλεια ενέργειας σε ανελαστική κρούση: απωλ ολ ολ,μετα ολ,πρινE = ΔΚ = Κ Κ

Ποσοστό (%) απώλειας ενέργειας σε ανελαστική κρούση: ολ,μετα ολ,πριν

ολ,πριν

K Kx = 100%

K

Φαινόμενο Doppler: AAS

υ ± υf = fs

υ υ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


33

Χημεία

Ονοματολογία

Ονομασίες των κυριότερων στοιχείων

Αμέταλλα

H: Υδρογόνο F: Φθόριο Cl: Χλώριο

Br: Βρώμιο I: Ιώδιο O: Οξυγόνο

S: Θείο B: Βόριο N: Άζωτο

P: Φωσφόρος As: Αρσενικό Sb: Αντιμόνιο

C: Άνθρακας Si: Πυρίτιο He: Ήλιο

Μέταλλα

Li: Λίθιο Na: Νάτριο K: Κάλιο

Ag: Άργυρος Cu: Χαλκός Hg: Υδράργυρος

Au: Χρυσός Be: Βηρύλιο Mg: Μαγνήσιο

Ca: Ασβέστιο Ba: Βάριο Zn: Ψευδάργυρος

Fe: Σίδηρος Co: Κοβάλτιο Ni: Νικέλιο

Sn: Κασσίτερος Pb: Μόλυβδος Pt: Λευκόχρυσος

Cr: Χρώμιο Mn: Μαγγάνιο Al: Αργίλιο

Bi: Βισμούθιο Sr: Στρόντιο La: Λανθάνιο

Συνηθέστεροι αριθμοί οξείδωσης των κυριότερων στοιχείων

Αμέταλλα Μέταλλα

H

F

Cl, Br*, Ι

O

S

B

N, P, As, Sb

C, Si

-1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

+1

+1, +3, +5, +7*

+4, +6

+3

+3, +5

+4

Li, Na, K, Ag

Cu, Hg

Au

Mg, Ca, Ba, Zn

Fe, Co*, Ni*

Sn, Pb, Pt

Cr

Mn

Al, Bi

+1

+1, +2

+1, +3

+2

+2, +3*

+2, +4

+2, +3, +6

+2, +3, +4, +6, +7

+3 *To Br δεν έχει Α.Ο. +7 *Tα Co και Ni πρακτικά δεν παίρνουν Α.Ο. +3

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


34

Τα Συνηθέστερα Πολυατομικά Ιόντα

-ικό -ώδες υπο- … -ώδες όξινο …-ικό δισόξινο …-ικό

3ClO

, 3BrO

, 3IO

3NO

2

3CO

,

2

3SiO

2

4SO

3

4PO

,

3

4AsO

2ClO

, 2BrO

, 2IO

2NO

2

3SO

3

3AsO

ClO, BrO

, IO

3HCO

, 3HSiO

4HSO

2

4HPO

,

2

4HAsO

2 4H PO

, 2 4H AsO

υπερ- ...-ικό: 4ClO

, 4IO

, 4MnO

ΟΗ- υδροξύλιο, HS- όξινο θειούχο, CN- κυανιούχο, 4NH

αμμώνιο

Εξουδετέρωση

Κυριότεροι ανυδρίτες οξέων

CO2 SO3 SO2 N2O5 N2O3 P2O5 P2O3 Cl2O5

H2CO3 H2SO4 H2SO3 HNO3 HNO2 H3PO4 H3PO3 HClO3

Κυριότεροι ανυδρίτες βάσεων

Na2O CaO Fe2O3 CuO

NaOH Ca(OH)2 Fe(OH)3 Cu(OH)2

Κυριότερα επαμφοτερίζοντα οξείδια

ZnO SnO PbO Al2O3

Zn(OH)2

H2ZnO2

Sn(OH)2

H2SnO2

Pb(OH)2

H2PbO2

Al(OH)3

H3AlO3

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


35

ΔΙΠΛΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Προϊόντα διπλής αντικατάστασης

(α) Αέρια

HF (σ.ζ. 19,5 οC)

HCl

HBr

HΙ

HCN (σ.ζ. 26 οC)

H2S

CO2 (H2CO3 CO2 + H2O)*

SO2 (H2SO3 SO2 + H2O)*

NH3 (NH4OH NH3 + H2O)*

(β) Ιζήματα

Ι. Από τα άλατα

Όλα τα φωσφορικά, ανθρακικά και πυριτικά (πλην Na+, Κ+, ΝΗ4+)

Όλα τα φθοριούχα (πλην Na+, Κ+, ΝΗ4+, Ag+)

Όλα τα θειούχα (πλην Na+, Κ+, ΝΗ4+, Ca++, Ba++, Mg++)

Επίσης τα: AgX, Hg2X2, CuX, PbX2 (όπου Χ = Cl, Br ή Ι)

Και τα CaSO4, BaSO4, PbSO4

ΙΙ. Από τις βάσεις

Όλα τα υδροξείδια (πλην Na+, Κ+, ΝΗ4+, Ca++, Ba++)

ΙΙΙ. Από τα οξέα

Μόνο τα: H3BO3, H2SiO3 και H2SnO3 (μετακασσιτερικό οξύ)

Απλη Αντικατασταση

Σειρά ελαττούμενης δραστικότητας των μετάλλων ή σειρά ελαττούμενης αναγωγικής ισχύος των

μετάλλων

K , Ba , Ca , Na , Mg , Al , Mn , Zn , Cr , Fe , Co , Ni , Sn , Pb , Η2, Bi , Cu , Hg , Ag , Pt , Au

Σειρά ελαττούμενης δραστικότητας των αμετάλλων ή σειρά οξειδωτικής ισχύος των αμετάλλων

F2 , |O| , O3 , Cl2 , Br2 , O2 , I2 , S , P , As , N2 , C , Si

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


36

ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ

1 mol

` AEΡΙΟΥ

Μr g NA μόρια 22,4 L stp

Κανονικές συνθήκες (stp): θο = 0º C ή Το = 273 Κ και Po = 1 atm ή 760 mm Hg (Torr)

n = r

m

M n = o

V

22,4 n = m

A

N

N PV = nRT ρ =

m

V

n = αριθμός των mol , m = μάζα σε g , Μr = σχετική μοριακή μάζα , Vo = όγκος αερίου σε L stp,

Nm = αριθμός μορίων , NA = 6,023 1023 μόρια/mol (αριθμός Avogadro), P = πίεση αερίου σε atm,

V = όγκος αερίου σε L, R = 0,082 atm L / mol Κ (παγκόσμια σταθερά ιδανικών αερίων),

T = απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Kelvin (K), όπου: T (K) = θ (oC ) + 273 και

ρ = πυκνότητα σε g/mL, m = μάζα σώματος σε g, του οποίου ο όγκος είναι V σε mL.

Νόμος των μερικών πιέσεων του Dalton: Pολ = P1+P2+ . . . +Pi+ . . . +Pν

Pi = Pολ xi x1+x2+ . . . + xi +. . . + xν = 1

ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ

Ενθαλπία αντίδρασης

ΔΗr = Ηπροϊόντα − Ηαντιδρώντα

ΔΗr = −qp

Εξώθερμες αντιδράσεις qp >0 ή ΔΗr < 0

Ενδόθερμες αντιδράσεις qp 0

qp = θερμότητα που ανταλλάσσει η αντίδραση με το περιβάλλον σε σταθερή πίεση

Πρότυπη ενθαλπία σχηματισμού, ofΔΗ

o

fΔΗ (στοιχείου) = 0 o

fΔΗ (ένωσης) = o

fΗ (ένωσης)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


37

Για την αντίδραση: αΑ + βΒ → γΓ + δΔ ισχύει: o o o o o

r f f f fΔΗ = γΔΗ [Γ]+ δΔΗ [Δ] αΔΗ [A] βΔΗ [B]

q = cmΔT Θεμελιώδης νόμος της Θερμιδομετρίας

Αν ληφθεί υπόψη η θερμοχωρητικότητα του οργάνου, C: q = (C + cυγρόmυγρό)ΔΤ

ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

Στιγμιαία ταχύτητα, υ, της χημικής αντίδρασης: αA + βB γΓ + δΔ

1 d[A]

υ =α dt

ή 1 d[Β]

υ =β dt

ή 1 d[Γ]

υ = +γ dt

ή 1 d[Δ]

υ = +δ dt

Μέση ταχύτητα, υ , της χημικής αντίδρασης: αA + βB γΓ + δΔ

1 Δ[A]

υ =α Δt

ή 1 Δ[Β]

υ =β Δt

ή 1 Δ[Γ]

υ = +γ Δt

ή 1 Δ[Δ]

υ = +δ Δt

Ρυθμός κατανάλωσης αντιδρώντος Α: Αd[A]

υ =dt

Ρυθμός παραγωγής προϊόντος Γ: Γd[Γ]

υ = +dt

Άρα: Α1

υ = υα

Β1

= υβ

Γ1

= υγ

Δ1

= υδ

Νόμος ταχύτητας για τη χημική αντίδραση: αΑ + βΒ γΓ + δΔ υ=k[A]x[Β]y

Αν η αντίδραση είναι στοιχειώδης (απλή), τότε x = α και y = β. Τάξη της αντίδρασης = x + y

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


38

ΧΗΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Aπόδοση αντίδρασης, α ή α%

Συντελεστής

απόδοσης α =

Π

Θ Απόδοση (επί τοις εκατό) α% =

Π

Θ100

Π = Πραγματική ποσότητα του αντιδρώντος ή του προϊόντος, η οποία συμμετέχει στην αμφίδρομη

αντίδραση: αA(g) + βB(g) γΓ(g) + δΔ(g)

Θ = Θεωρητική ποσότητα του αντιδρώντος ή του προϊόντος, η οποία συμμετέχει στην αντίστοιχη

μονόδρομη αντίδραση αA(g) + βB(g) → γΓ(g) + δΔ(g)

Σταθερά χημικής ισορροπίας, KC ή KP

KC =

γ δ

ισ ισ

α β

ισ ισ

[Γ] [Δ]

[A] [B]

Νόμος της

χημικής ισορροπίας

KP =

γ δ

Γ Δ

α β

Α B

P P

P P

Νόμος της

χημικής ισορροπίας

KP = KC(RT) γ+δ

(α+β)

[Α]ισ = συγκέντρωση του σώματος Α και PΑ = μερική πίεση του σώματος Α μετά την αποκατάσταση

της χημικής ισορροπίας στην αμφίδρομη αντίδραση: αA(g) + βB(g) γΓ(g) + δΔ(g)

Εξώθερμες αντιδράσεις (ΔΗ0) Τ KC , KP και Τ KC , KP

ΟΞΕΙΔΑΝΑΓΩΓΗ

Α. Οξειδωτικά σώματα

α. Στοιχεία: Τα αμέταλλα: F2, Ο3 , Cl2, Br2, Ο2 , Ι2 , S.

β. Οξυγονούχα οξέα, τα οποία περιέχουν στοιχείο με τον μεγαλύτερο αριθμό οξειδώσεως

αυτού:

+6 +4

πυκνό

2 4 2H SO SΟ , +5 +2

αραιό

3HΝO ΝΟ , +5 +4

πυκνό

3 2HΝO ΝΟ

Επίσης τα οξυγονούχα οξέα των αλογόνων, τα οποία συνήθως ανάγονται σε υδραλογόνο:

π.χ. +5 -1

3H ClO H Cl , +3 -1

2HClO HCl , +1 -1

H ClO H Cl κ.λπ.

γ. Άλατα και Οξείδια, τα οποία περιέχουν στοιχείο με τον μεγαλύτερο αριθμό οξειδώσεως

αυτού:

+

+7 +2H

4KMnO Mn , +

+6 +3H

2 2 7K Cr O Cr ,

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


39

3

Fe

Cl3 2

Fe

Cl2 , 4

Mn

O2 H

2

Μn

, 4

Pb

O2 +H

2

Pb

Επίσης άλατα των οξυγονούχων οξέων των αλογόνων, τα οποία δρούν οξειδωτικά κατ'

αναλογία προς τα αντίστοιχα οξέα τους:

π.χ. +5 -1

3Na ClO Na Cl , +3 -1

2Na ClO Na Cl , +1 -1

Na ClO Na Cl κ.λπ.

Σημείωση 1: Το Η+ σημαίνει ότι τα σώματα αυτά δρουν οξειδωτικά παρουσία κάποιου

οξέος (δηλ. σε όξινο περιβάλλον)

Β. Αναγωγικά σώματα

α. Στοιχεία: Όλα τα μέταλλα: 0

M x

M

, όπου x = ο μεγαλύτερος Α.Ο.

β. Μη οξυγονούχα οξέα και τα άλατά τους: Όλοι οι αρνητικοί Α.Ο. αυξάνονται σε μηδέν.

H-1

Cl 0

2Cl , H-1

Br 0

2Br , 1

H Ι

0

2Ι , H2-2

S 0

S Σημείωση 2: Εκτός από τα παραπάνω οξέα και τα άλατά τους η αύξηση του αρνητικού Α.Ο.

σε μηδέν μπορεί να συμβεί καί σε άλλες ενώσεις:

π.χ. Η2-1

2O 0

2O , -3

N H3 0

2N κ.λπ.

γ. Άλατα και Οξείδια, τα οποία περιέχουν στοιχείο με το μικρότερο αριθμό οξειδώσεως

αυτού: +2 +4

2 4SnCl SnCl , +2 +4

2CO CO , +4 +6

2 3 2 4Na SO Na SO

Σημείωση 3: Γενικά όλα τα -ώδη οξειδώνονται σε -ικά και όχι μόνον τα άλατα αλλά καί

τα οξέα π.χ. +4 +6

2 3 2 4H S O H S O . Εξαίρεση αποτελούν τα αλογονώδη και υφαλογονώδη, τα

οποία δρούν οξειδωτικά. (βλέπε παραπάνω).

Προϊόντα οξείδωσης των κυριοτέρων αμετάλλων

C P S I

πυκνό-θερμό H2SO4 πυκνό ΗΝΟ3

αραιό ΗΝΟ3

CO2

CO2

H3PO4

H3PO4

H3PO4

SO2

H2SO4

H2SO4

HIO3

ΑΤΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Κατανομή Ηλεκτρονίων σε Στιβάδες

Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων ανά στιβάδα Ne(max) = 2n2 n4

Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων στην προτελευταία στιβάδα 8 Νe(προτελ) 18

Για τα στοιχεία των κυρίων ομάδων (ΙΑ έως VIIIΑ) του Π.Π. είναι συνήθως 8 ή 18 ηλεκτρόνια.

Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων στην τελευταία (εξωτερική) στιβάδα Νe(τελ) 8

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


40

Άτομο υδρογόνου

1η συνθήκη του Bohr (μηχανική συνθήκη) mυr = nh

2π n = 1, 2, 3, ...,

2η συνθήκη του Bohr (οπτική συνθήκη) Εi – Ef = hf

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών 2

n 1r = n r Ενέργειες επιτρεπόμενων τροχιών 1

n 2

EE =

n

r1 = 5,3 ∙10−11 m Ε1 = −2,18∙10

−18 J = −13,6 eV

Ενέργεια φωτονίου Εφ =h f

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής c = λf

Αρχή της Αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg ΔxΔp ≥ h/4π

Διττή υπόσταση σωματιδίων του De Broglie λ =

h

m υ

Κβαντικοί αριθμοί

Κύριος ή πρωτεύων κβαντικός αριθμός n = 1,2,3,4,..., δηλαδή: n

Αζιμουθιακός ή δευτερεύων κβαντικός αριθμός, ℓ = 0, 1, 2, . . . , (n −1), δηλαδή: ℓ

Μαγνητικός κβαντικός αριθμός, m ή mℓ = −ℓ, . . ., 0, . . .,+ℓ, δηλαδή: m

Κβαντικός αριθμός του spin, s ή ms = 1

2

ή 1

2

Για μια ορισμένη τιμή του n, o ℓ παίρνει όλες τις φυσικές τιμές από 0 έως (n − 1).

Για μια ορισμένη τιμή του ℓ, ο m παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές από −ℓ έως +ℓ.

Υποστιβάδες σύμφωνα με τις τιμές του αζιμουθιακού αριθμού ℓ

ℓ = 0 υποστιβάδα s ℓ = 3 υποστιβάδα f

ℓ = 1 υποστιβάδα p ℓ = 4 υποστιβάδα g

ℓ = 2 υποστιβάδα d κ.λ.π.

Τροχιακά σύμφωνα με τις τιμές του μαγνητικού αριθμού m

ℓ 0 1 2

είδος

τροχιακού s p d

m 0 -1 0 +1 -2, -1, 0, +1, +2

Προσανατολισμός

τροχιακού s py pz px dxy dyz 2zd

dxz 2 2x yd

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


41

Πολυηλεκτρονιακά άτομα

Κατανομή ηλεκτρονίων σε υποστιβάδες

Στιβάδα Υποστιβάδες

K (n=1)

L (n=2)

M (n=3)

N (n=4)

O (n=5)

P (n=6)

Q (n=7)

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p 3d

4p 4d 4f

5p 5d 5f

6p 6d

7p

Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων ανά υποστιβάδα 2(2ℓ+1)

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Α. Μεταβολή μέσα στην ίδια ομάδα του Π.Π.

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


42

Β. Μεταβολή μέσα στην ίδια περίοδο του Π.Π.

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


43

ΔΙΑΛΥΜΑΤΑ

Περιεκτικότητες διαλυμάτων

w/wA A

Cm = m

100'

w/vA AC

m = V100

' v/vA A

CV = V

100'

Αw/v w/wC =ρ C

mA = μάζα διαλύματος Α, VA = όγκος δ/τος Α, ρΑ = πυκνότητα δ/τος Α

m΄Α= μάζα διαλυμένης ουσίας στο δ/μα Α, V΄A= όγκος διαλυμένης ουσίας στο δ/μα Α

Cw/w = περιεκτικότητα % κ.β. (% w/w) διαλύματος Α (c g διαλυμένης ουσίας σε 100 g διαλύματος)

Cv/w = περιεκτικότητα % κ.ό. (% w/v) διαλύματος Α (c g διαλυμένης ουσίας σε 100 mL διαλύματος)

Cv/v = περιεκτικότητα % κ.ό. (% v/v) διαλύματος Α (c mL διαλυμένης ουσίας σε 100 mL διαλύματος)

AA

A

nc =

V

'

cA = (μοριακή κατ’ όγκο) συγκέντρωση ή Molarity διαλύματος Α (cA mol διαλυμένης ουσίας σε 1

L διαλύματος)

An'

= αριθμός mol διαλυμένης ουσίας σε VA L διαλύματος

Αραίωση διαλυμάτων

mA + mνερό = mT VA + Vνερό = VT TAm =m' '

TAn =n' '

cAVA = cTVT

A = αρχικό διάλυμα (πριν την αραίωση) Τ = τελικό διάλυμα (μετά την αραίωση)

Ανάμειξη διαλυμάτων

mA + mΒ = mT VA + VΒ = VT A B T+m m = m' ' '

A B Tn +n =n' ' '

cAVA + cBVB = cTVT

A = αρχικό διάλυμα A (πριν την ανάμειξη), Β = αρχικό διάλυμα Β (πριν την ανάμειξη),

Τ = τελικό διάλυμα T (μετά την ανάμειξη)

Βαθμός ιοντισμού α = ολ

n

n

n = αριθμός mol του ηλεκτρολύτη που έχουν ιοντιστεί,

nολ = συνολικός αριθμός mol του ηλεκτρολύτη

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


44

Σταθερά ιοντισμού, Κa

ασθενούς οξέος ΗΑ ΗΑ + Η2Ο Η3Ο+ + Α

Κa =

+

3[H O ][A ]

[HA]

Σταθερά ιοντισμού, Κb

ασθενούς βάσης ΒΟΗ BΟΗ B+ + OH Κb =

+[B ][OH ]

[BΟΗ]

Ka =

2α

1 αC και Kb =

2α

1 αC

Nόμος αραίωσης του Οstwald

Αν Ka/C ή Kb/C 10

2 , τότε Ka α2C και Kb α

2C

Σταθερά ιοντισμού, Kw

του νερού Η2Ο + Η2Ο Η3Ο+ + ΟΗ

Κw = [Η

+][ΟΗ]

pΗ log[Η+] pΟΗ log[ΟΗ]

Σε κάθε υδατικό διάλυμα Στους 25ο C Κw = 10

14 pKw = 14 pΗ + pΟΗ = 14

Υδατικά διαλύματα σε 25ο C

Ουδέτερα [H+] = [OH

] = 10

7 Μ pH = pOH = 7

Όξινα [Η+] > 10

7 Μ pH < 7

Βασικά(αλκαλικά) [ΟΗ

] > 10

7 Μ pH > 7

Σχέση των Ka και Κb του συζυγούς ζεύγους ΗΑ και Α−

ΗΑ + Η2Ο Η3Ο+ + Α Κa(HA) =

+

3[H O ][A ]

[HA]

Α + Η2Ο ΗΑ + ΟΗ b(A )K =

[HA][OH ]

[A ]

a(HA) wb(A )K K K

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


45

Ρυθμιστικά διαλύματα

Ρυθμιστικά διαλύματα ασθενούς οξέος και άλατος αυτού, πχ.: CH3COOH/CH3COONa

[H3O+] = Kaοξυ

αλας

C

C ή [H3O+] = Ka

οξυ

συζ.βαση

C

C

pH = pKa logοξυ

αλας

C

C ή

Ρυθμιστικά διαλύματα ασθενούς βάσης και άλατος αυτής, πχ.: ΝH3/ΝH4Cl

[ΟΗ] = Kbβαση

αλας

C

C ή [ΟΗ] = Kb

βαση

συζ.οξυ

C

C

pΟH = pKb logβαση

αλας

C

C

Υδρόλυση

Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά το κατιόν ενώ το ανιόν αμελητέα

Α+ + Η2Ο ΑΟΗ + Η+ Κh =

+

+

[ΑΟΗ][Η ]

[Α ] Kh =

w

bK

pH < 7

Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά το ανιόν ενώ το κατιόν αμελητέα

Β + Η2Ο ΗΒ + ΟΗ

Κh =

[HB][ΟΗ ]

[B ] Kh =

w

a

K

K pH > 7

Άλατα, ΑΒ, των οποίων υδρολύεται ισχυρά καί το κατιόν καί το ανιόν

Α+ + Β + Η2Ο ΑΟΗ + ΗΒ Κh =

+

AOH HB

A B Kh =

w

a b

K

K K pH 7

Άλατα, ΑΒ, των οποίων δεν υδρολύεται ούτε το κατιόν ούτε το ανιόν

pH =7

pH = pKa + logσυζ.βαση

οξυ

C

C

Henderson

Hesselbalch

pOH = pKb + logσυζ.οξυ

βαση

C

C

Henderson

Hasselbalch

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


46

ΟΡΓΑΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

Κυριότερες ομόλογες σειρές άκυκλων ενώσεων (Όσες σημειώνονται με * είναι κορεσμένες και περιέχουν μια χαρακτηριστική ομάδα)

Όνομα Χαρακτηριστική ομάδα

Γενικός τύπος και

γενικός μοριακός

τύπος

Παράδειγμα

1. ΑΛΚΑΝΙΑ Καμία

RH , CνΗ2ν+2 CH3CH2CH2CH3

βουτ-άν-ιο

2. ΑΛΚΕΝΙΑ

C = C CνΗ2ν CH2=CHCH2CH3

1-βουτ-έν-ιο

3. ΑΛΚΙΝΙΑ

– C ≡ C – CνΗ2ν–2 CH3C≡CCH3 2-βουτ-ίν-ιο

4. ΑΛΚΟΟΛΕΣ*

OH ROH , CνΗ2ν+2O

CH3CH2CH2OH

1-προπ-αν-όλη

5. ΑΙΘΕΡΕΣ*

– C – O – C –

ROR΄, CνΗ2ν+2O CH3CH2OCH3

αιθυλ-μεθυλ-αιθέρας

6. ΑΛΔΕΫΔΕΣ* – CHO RCHO, CνΗ2νO CH3CHO

αιθ-αν-άλη

7. ΚΕΤΟΝΕΣ* – C – ή – CO –

|| O

RCOR΄, CνΗ2νO CH3COCH3

προπ-αν-όνη

8. ΚΑΡΒΟΞΥΛΙΚΑ

ΟΞΕΑ *

– C = O ή COOH | OH

RCOOH, CνΗ2νO2 CH3CH2CH2COOH

βουτ-αν-ικό οξύ

9. ΕΣΤΕΡΕΣ *

– C – O – C –

||

O

RCOOR΄, CνΗ2νO2

CH3COOCH3

αιθανικός

μεθυλ-εστέρας

Mε R− ή R΄− συμβολίζουμε την ομάδα CνΗ2ν+1–, που ονομάζεται αλκ-ύλιο, π.χ. CH3– μεθύλιο,

CH3CH2– αιθύλιο, CH3CH2CH2– προπ-ύλιο, CH3CHCH3 ή CH3CH– ισοπροπ-ύλιο.

| |

CH3

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


47

Ονοματολογία οργανικών ενώσεων

1ο συνθετικό

(αριθμός ατόμων C)

2o συνθετικό

(βαθμός κορεσμού της ένωσης)

3ο συνθετικό

(χαρακτηριστική ομάδα)

μεθ- : 1 άτομο C -αν-: κορεσμένη ένωση -ιο: υδρογονάνθρακας

αιθ-: 2 άτομα C -ολη: αλκοόλη OH

προπ-: 3 άτομα C

-εν-: ακόρεστη ένωση

με 1 διπλό δεσμό -αλη: αλδεΰδη – CHO

βουτ-: 4 άτομα C

-ιν-: ακόρεστη ένωση με

1 τριπλό δεσμό -όνη: κετόνη – CO –

πεντ-: 5 άτομα C

εξ-: 6 άτομα C

-δι-εν-: ακόρεστη ένωση με

2 διπλούς δεσμούς

-ικό οξύ: καρβοξυλικό οξύ

COOH

επτ-: 7 άτομα C

-δι-ιν-: ακόρεστη ένωση με

2 τριπλούς δεσμούς

Υβριδισμοί

Δεσμός Υβριδισμός Σχήμα Γωνία

Απλός sp3 Τετράεδρο 109,5º π.χ. CH4

Διπλός sp2 Επίπεδο 120º π.χ. CH2=CH2 Τριπλός sp Ευθύγραμμο 180º π.χ. CHCH

Αντιδράσεις προσθήκης

Προσθήκη στο διπλό δεσμό >C=C<

Kανόνας του Markovnikov: Το άτομο Η του προσθήματος πηγαίνει στον άνθρακα του

διπλού δεσμού με τα περισσότερα άτομα Η.

π.χ. CH3CH=CH2 + HCl CH3CHCl − CH3

Προσθήκη στο διπλό δεσμό >C=O

Η δραστικότητα των καρβονυλικών ενώσεων

HCHO > RCHO > RCOR > PhCHO > PhCOR > PhCOPh

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


48

Προσθήκη αντιδραστηρίου Grignard

Αρχική καρβονυλική ένωση Τελική παραγόμενη αλκοόλη

HCHO μεθανάλη(φορμαλδεϋδη)

RCHO αλδεϋδη

RCOR κετόνη

RCH2OH (πρωτοταγής αλκοόλη)

RCH(OH)R (δευτεροταγής αλκοόλη)

RRRCOH (τριτοταγής αλκοόλη)

Αντιδράσεις Απόσπασης

Κανόνας του Saytzeff: Όταν από ένα οργανικό μόριο αποσπάται ένα μόριο ΗΑ το άτομο Η

αποσπάται από το άτομο C, που έχει τα λιγότερα άτομα Η.

CH CH CH

OH

CH

H

2H SO4

170 C3 2

H

CH CH CHCH3 3 + H O2(I)

CH CH CHCH3 2 + H O2(II)

2

2ταγές 1ταγές

Το κύριο προϊόν σύμφωνα με τον κανόνα του Saytzeff είναι το (Ι), δηλαδή το 2-βουτένιο, διότι το

άτομο Η αποσπάται ευκολότερα από το άτομο C που έχει λιγότερα άτομα Η.

Αντιδράσεις Υποκατάστασης

Δραστικότητα των αλκυλαλογονιδίων, RX: RI > RBr > RCl > RF

Οι αντιδράσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη σύνθεση πληθώρας οργανικών ενώσεων, ορισμένες εκ

των οποίων αναφέρονται ενδεικτικά στο παρακάτω σχήμα

RX

RNH 2αμίνες

RC CR αλκίνια

R COORεστέρες

RORαιθέρες

RCNνιτρίλια

ROHαλκοόλες

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


49

Αντιδράσεις Πολυμερισμού

Α– Μονομερές Πολυμερές Χρήσεις

Η– CH2=CH2

αιθυλένιο

(–CH2–CH2–)ν

πολυαιθυλένιο

Πλαστικές σακούλες,

πλαστικά παιχνίδια

CH3– CH2=CH–CH3

προπυλένιο

CH2CH

CHν

3 πολυπροπυλένιο

Πλαστικά σχοινιά

Cl–

CH2=CH–Cl

βινυλο-χλωρίδιο

(χλωρο-αιθένιο)

CH2CH

Clν

πολυ-βινυλο-χλωρίδιο

(P.V.C.)

Δίσκοι, πλαστικά,

χρώματα

Ph–

φαινύλιο

CH2=CH–Ph

στυρόλιο

(φαινυλ-αιθένιο)

CH2CH

Phν

πολυ-στυρόλιο

Πλαστικά δάπεδα

CN–

κυανο-

μάδα

CH2=CH–CN

ακρυλονιτρίλιο

(προπενονιτρίλιο)

CH2CH

CNν

πολυ-ακρυλο-νιτρίλιο

Συνθετική

υφάνσιμη ύλη (Οrlon)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ


50

Οργανικές Αμτιδράσεις Οξείδωσης

Οξειδωτικά

K+7

Mn O4 +H Mn+2

υπερμαγγανικό κάλιο κατιόν δισθενούς μαγγανίου

(ιώδες) (άχρωμο)

K2

+6

Cr 2O7 +H Cr+3

διχρωμικό κάλιο κατιόν τρισθενούς χρωμίου

(πορτοκαλί) (πράσινο)

+2

Cu SO4 -OH

+1

2Cu O ↓ (Fehling)

θειικός χαλκός (ΙΙ) οξείδιο του υποχαλκού

(βαθύ κυανό) (καστανέρυθρο)

+1

Ag NO3 3NH

o

Ag ↓

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - polymenis.compolymenis.com/images/pdfs/Typologio Front...

Documents

Transcript of ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - polymenis.compolymenis.com/images/pdfs/Typologio Front...