ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

2014

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΜΑΓΚΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενιζέλου 205 Ν. Σμύρνη -2109311913–www.kentromeletis.edu.gr

Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί

1 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr



Θ 1.1 Τι ονομάζουμε σύνολο C των μιγαδικών αριθμών;

Απάντηση

Το σύνολο C των μιγαδ ικών αριθμών ε ίνα ι ένα υπερσύνολο του συνόλου R

των πραγματ ικών αριθμών στο οπο ίο :

∙Επεκτε ίνοντα ι ο ι πράξε ις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και

έχουν τους ίδ ιους κανόνες λογ ισμού όπως στο R.

∙Υπάρχει ένα στο ιχε ίο i τ έτο ιο , ώστε i 2 = -1 .

∙Κάθε στο ιχε ίο z C γράφεται κατά μοναδ ικό τρόπο με μορφή z = α + β i

, με α , β R .

► Παρατηρήσεις

1 ) Ο πραγματ ικός αριθμός α καλε ί τα ι πραγματικό μέρος του z και

συμβολ ίζε τα ι Re(z) , δηλαδή α = Re(z ) .

2) Ο πραγματ ικός αριθμός β καλε ί τα ι φανταστικό μέρος του z και

συμβολ ίζε τα ι Im(z) , δηλαδή β = Im(z ) .

3) Κάθε αριθμός z του οπο ίου το πραγματ ικό μέρος ε ίνα ι 0 , δηλαδή της

μορφής z = β i , βR , λέγετα ι φανταστικός αριθμός .

Το σύνολο των φανταστ ικών αριθμών συμβολ ίζε τα ι συνήθως με I .

Θ 1.2 Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι ;

Απάντηση

Δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί ε ίνα ι ίσο ι αν και μόνο αν τα πραγματ ικά τους

μέρη ε ίνα ι ίσα και τα φανταστ ικά τους μέρη ε ίνα ι επ ίσης ίσα .

Άρα αν z 1 = α 1 + β1 i και z 2 = α 2 + β2 i τό τε :

z1 = z2 α1 = α2 και β1 = β2



Θ 1.3 Πώς παριστάνουμε γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς ;

Απάντηση

Σε κάθε μ ιγαδ ικό z = α + β i μπορούμε να αντ ιστο ιχ ίσουμε το σημείο

Μ(α,β ) ενός καρτεσιανού επ ιπέδου .

Αντ ίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α,β) ενός καρτεσιανού επ ιπέδου μπορούμε

να αντ ιστο ιχ ίσουμε το μ ιγαδ ικό αριθμό z = α + β i .

Το σημείο Μ λέγετα ι εικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού z , έ τσ ι πολλές φορές

αντ ί γ ια Μ(α,β ) γράφουμε Μ( z ) .

Το επ ίπεδο του οπο ίου τα σημεία ε ίνα ι ε ικόνες μ ιγαδ ικών αριθμών ,

ονομάζετα ι μιγαδικό επίπεδο . Ο x΄x λέγετα ι πραγματικός άξονας και

o y΄y λέγετα ι φανταστικός άξονας .

Ένας μ ιγαδ ικός αριθμός z = α + β i παριστάνετα ι και με τη δ ιανυσματ ική

ακτ ίνα ΟΜ

του σημείου Μ(α,β ) (σχ.1) .

Θ 1.4 Πώς ορίζεται η πρόσθεση , η αφαίρεση και το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ;

Απάντηση

α) Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε

άθρο ισμα αυτών το μ ιγαδ ικό αριθμό :

z 1 + z 2 = (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + (β + δ ) i .

β) Από τον ορισμό της πρόσθεσης έχουμε ό τ ι το ουδέτερο στο ιχείο της

ε ίνα ι ο μηδενικός μιγαδικός 0 + 0 i και ο αντίθετος του μ ιγαδ ικού

z = α + β i ε ίνα ι ο μ ιγαδ ικός - z = - (α + β i ) = - α - β i με z + ( - z ) = 0 .

Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε

δ ιαφορά του z 2 από τον z 1 το μ ιγαδ ικό αριθμό :

z 1 - z 2 = z 1 + ( - z 2 ) = (α + β i ) + ( - γ - δ i ) = (α - γ ) + (β - δ ) i .

γ) Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε

γ ινόμενο αυτών το μ ιγαδ ικό αριθμό :

z 1 z 2 = (α + β i ) ( γ + δ i ) = α (γ + δ i ) + β i ( γ + δ i ) =

αγ + αδ i + βγ i + βδ i 2 = (αγ - βδ) + (αδ + βγ) i .

β

α Ο

Μ(z)

σχ.1



Θ 1.5 Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης και της

αφαίρεσης μιγαδικών αριθμών ;

Απάντηση

Έστω 1 2ΟΜ , ΟΜ

ο ι δ ιανυσματ ικές ακτ ίνες των σημείων Μ 1 ( z 1 ) και Μ 2 ( z 2 )

αντ ίστο ιχα.

Η δ ιανυσματ ική ακτ ίνα του σημείου Μ( z 1 +z 2 ) ε ίνα ι το άθρο ισμα των

δ ιανυσματ ικών ακτ ίνων 1 2ΟΜ και ΟΜ

που βρίσκετα ι με τον κανόνα του

παραλληλογράμμου (σχ.2) .

Η δ ιανυσματ ική ακτ ίνα του σημείου Μ( z 1 - z 2 ) βρ ίσκετα ι αν προσθέσουμε

τη δ ιανυσματ ική ακτ ίνα 2 2 2 ΟΜ του Μ ( z )

στη δ ιανυσματ ική ακτ ίνα

1 1 1ΟΜ του Μ (z )

( σχ.3 ) .

y

x O

M1(z1)

M2(z2)

M(z1+z2)

σχ.2

M1(z1)

M2(z2)

M(z1-z2)

M2΄(-z2)

y

x

O

σχ.3



Θ 1.6 Πώς ορίζονται οι δυνάμεις στους μιγαδικούς αριθμούς ;

Απάντηση

Για κάθε μ ιγαδ ικό αριθμό z ορί ζουμε z 1 = z , z ν = z ν - 1 z με ν θετ ικός

ακέραιος και ν 2 .

Ακόμα γ ια κάθε μη μηδεν ικό αριθμό μ ιγαδ ικό αριθμό z ορί ζουμε :

z 0 = 1 και -νν

1z =

z με ν θετ ικό ακέραιο .

Θ 1.7 Δυνάμεις του i

Ιδ ια ί τερη σημασία πρέπει να δώσουμε στ ις δυνάμεις του i .

Αν ν = 4ρ + υ , με ρ ,υΝ και 0 ≤ υ < 4 τότε :

ρ4ρ + υ 4ρν υ 4 υ υ

1 , αν υ = 0

i , αν υ = 1 i = i = i i = i i = i =

- 1 , αν υ = 2

- i , αν υ = 3

Παραδείγματα

1 . Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :

1925

2016

1i ,

i.

2. Άσκηση Β4 σελ ίδα 96 σχολ ικού



Θ 1.8 α) Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού ; β) Πώς ορίζεται η διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών ;

Απάντηση

α) Αν z = α + β i ε ίνα ι ένας μ ιγαδικός αριθμός, τό τε ο συζυγής του z

συμβολ ίζε τα ι με z και ε ίνα ι : z i

β) Για να διαιρέσουμε δύο μιγαδικούς ,

πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το συζυγή του

παρονομαστή .

Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί με z 2 0 , τό τε :

12 2 2 2 2 2

2

z α + βi (α + βi) (γ - δi) (αγ + βδ) + (βγ - αδ)i αγ + βδ βγ - αδ = = = = + i

z γ + δi (γ + δi) (γ - δi) γ δ γ δ γ δ .

Θ 1.9 Ιδιότητες συζυγών

Αν z = α + β i , τό τε :

1) z = z

2 ) 2 2z z = α + β (δηλαδή z z R )

3) z + z = 2α (δηλαδή z + z = 2Re(z) ή z + z

Re(z) = 2

)

4 ) z - z = 2βi (δηλαδή z - z = 2i Im(z) ή z - z

Im(z) = 2i

)

5 ) 1 2 1 2

z + z = z + z και γεν ικά ν ν1 2 1 2z z ... z z z ... z

6 ) 1 2 1 2

z z = z z και γεν ικά ν ν1 2 1 2z z z = z z z

7 ) 1 12

2 2

z z = , z 0

z z

8 ) ν z = ν z

9 ) ν νz = (z)



Απόδειξη

5) Αν z 1 = α + β i και z 2 = γ + δ i :

1 2

1 2

z z i i i

i i i z z

► ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ:

1 ) Η παράσταση zw zw γράφεται : zw zw zw zw .

2)zw + zw = zw + zw = 2Re zw

zw - zw = zw - zw = 2Ιm zw i

3 )

z z z z z2Re

w w w w w

z z z z z2Im i

w w w w w

4 ) Αν ε ίνα ι 1 2

z z z i με 1 2 z , z C τότε :

1 2 1 2 z z z i z z i

Είναι λάθος να πούμε ότ ι : 1 2z z z i δ ιότ ι ο z δεν είναι σε κανονική

μορφή .


1 . iz ...... , ........zi

2 . Να βρε ί τε το συζυγή του μ ιγαδ ικού:

21w (2 3i) i 3i

2. Να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός: z w i z w

w w i

ε ίνα ι πραγματ ικός .



Θ 1.10 Επίλυση της εξίσωσης: αz 2 + βz + γ = 0 με α ,β ,γR και α0

Βρίσκουμε τη δ ιακρίνουσα Δ = β 2 – 4αγ.

Αν Δ > 0 τότε η εξ ίσωση έχε ι δύο πραγματ ικές λύσε ις : 1,2

z

2

.

Αν Δ = 0 τότε έχε ι μ ια δ ιπλή πραγματ ική λύση :

z2

.

Αν Δ < 0 τότε έχε ι δύο συζυγε ίς μ ιγαδ ικές λύσε ις : 1,2

i

z2

.

Να προσέξε ις τα α , β , γ να ε ίνα ι πραγματ ικ ο ί αριθμο ί !

Παρατήρηση

Ισχύουν ο ι σχέσε ις:

1 2 1 2z z και z z

. (Τύποι Vieta )


1. Άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού.

2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , zC.



Π 1.1 Όταν μας ζητούν να βρούμε τις τιμές των α , βR για τις

οποίες είναι συζυγείς δύο μιγαδικοί , με τα πραγματικά και

τα φανταστικά τους μέρη να είναι συναρτήσεις των α και β

Τρόπος εργασίας

Θα απαιτούμε να ε ίνα ι ίσα τα πραγματ ικά και αντ ίθετα τα φανταστ ικά

μέρη των δύο μιγαδ ικών και θα καταλήγουμε σε ένα σύστημα με

αγνώστους τα α και β .

Παράδειγμα

Να βρεθούν τα x , y R γ ια τα οπο ία ο ι μ ιγαδ ικο ί : z 1 = (x 2 - xy ) + (y - 6 ) i , z 2 = (4 + xy - y 2 ) + x i

ε ίνα ι συζυγε ίς .

Π 1.2 Όταν μας ζητούν να εκφράσουμε έναν μιγαδικό w με

πραγματικό και φανταστικό μέρος συναρτήσεις του α και βR

, ως συνάρτηση του z = α + β i και του συζυγή του


Θα χρησιμοποιούμε τους τύπους α = z + z

2 και β =

z - z2i

.

Π 1.3 Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός


τον γράφουμε στη μορφή z = α + β i και αποδε ικνύουμε ότ ι :

β = 0 ή ό τ ι : z = z δηλαδή Im(z ) = 0 ή z = z .

Π 1.4 Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός


τον γράφουμε στη μορφή z = α + β i και αποδε ικνύουμε ότ ι :

α = 0 ή ό τ ι : z = - z δηλαδή Re(z ) = 0 ή z = - z .


α . Άσκηση Β8 σελ ίδα 96 σχολ ικού



β . Αν z , w μιγαδικοί με 3 w wz z , να δείξετε ότι ο αριθμός 1

3

z wz

zw

είναι φανταστικός.

Π 1.5 Παρατήρηση

Αν z = α + β i , τότε κ z = κ α + κ β i με κR.

Άρα : Re (κz ) = κ Re(z ) και Ιm (κz ) = κ Ιm(z)

Π 1.6 ΘΥΜΑΜΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ

Αριθμητική Πρόοδος

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. αν+1 = αν + ω ή αν+1 - αν = ω

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

αν+1 = αν λ ή 1

αν = α1 + (ν – 1)ω

αν = α1 λν-1

α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν

2

α , β , γ ≠ 0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου αν και μόνο αν

2

1 1S 2 1

2 2

1

1S , λ 1

1


α. Εφαρμογή 1 σελίδα 93 σχολικού

β. Αν 1 + z + z2 + … + z2 0 0 9 = 0 με z ≠1 και zC , να δείξετε ότι: z2 0 1 0 = 1.



Π 1.7 Προσοχή!

Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα

της μορφής u 2 + v 2 = 0 και όταν u 0 και v 0 .

Π.χ αν u = 1≠0 και v = i≠0 , τότε u 2 + v 2 = 1 2 + i 2 = 1 – 1 = 0 .

Π 1.8 Αντισυζυγής

Αν z = α + β i , α , β R τό τε ως αντ ισυζυγής του z ορί ζε τα ι ο μ ιγαδ ικός:

w = β – α i (ή w = -β + α i ) .

Παρατηρούμε ό τ ι : β – α i = - i (α + β i )

α + β i = i (β – α i )

-β + α i = i (α + β i )

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 24 2

4 2 4 2

Επίσης: i i

i i i

i i i

i i 0

Οι δ ιανυσματ ικές ακτ ίνες των z=α+β i και w=β -α i (δηλαδή του z και του

αντ ισυζυγή του) ε ίνα ι κάθετες .


α. Να δε ίξ ετε ότ ι : (3- i ) 2 0 1 0 + (1+3i ) 2 0 1 0 = 0 .

Πράγματ ι : (3- i ) 2 0 1 0 + (1+3i ) 2 0 1 0 =

(3 - i ) 2 0 1 0 + [ i (3- i ) ] 2 0 1 0 =

(3 - i ) 2 0 1 0 + i 2 0 1 0 (3- i ) 2 0 1 0 =

(3 - i ) 2 0 1 0 + i 2 (3- i ) 2 0 1 0 =

(3 - i ) 2 0 1 0 - (3- i ) 2 0 1 0 = 0 .

β. Άσκηση Β7 σελ ίδα 96 σχολ ικού .



Π 1.9 Δυνάμεις του 1± i , α±α i , α±α 3 i , α 3 ± α i

Παρατηρούμε ότ ι :

2

2

2 22 2

2 22 2

3 33 3

3 33 3

1 i 2i

1 i 2i

i 1 i 2 i

i 1 i 2 i

3 i 3 i 8 i

3 i 1 3 i 8

Εκφράζουμε τ ι ς δυνάμε ις των: 1± i , α± α i , α± α 3 i , α 3 ±α i με τη βοήθεια

των παραπάνω.


10

20 2 10 10 10 10 101 i 1 i 2i 2 i 2 ( 1) 2

Π 1.10 Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών

αριθμών

α. Αν η εξ ίσωση περιέχε ι μόνο τον μιγαδ ικό z και ε ίνα ι δευτεροβάθμια με

πραγματ ικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της

δευτεροβάθμιας , ενώ αν ε ίνα ι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε

παραγοντοπο ίηση.

β. Αν η εξ ίσωση περιέχε ι τους z , z ή δυνάμεις του z (π .χ . 2 3z , z ) ,

τό τε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y .


α. Άσκηση Α13 σελ ίδα 96 σχολ ικού.

β. Άσκηση Β5 σελ ίδα 96 σχολ ικού.



Π 1.11 Προσοχή!

α. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα δύο τετραγώνων

μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων:

Όταν δ ίνετα ι η σχέση 2 21 2z z 0 , τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής :

2 2 2 21 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2

z z 0 z z

z i z z i z 0

(z iz )(z iz ) 0

1 2 1 2

1 2 1 2

z iz 0 ή z iz 0

z iz ή z iz

Άρα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα τετραγώνων

μπορούμε να το μετατρέψουμε σε διαφορά τεραγώνων ! 2 2

1 2z z =

1 2 1 2(z iz )(z iz )

β. Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς.

Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα : z2 – 3z +2 > 0

σημαίνει ότι: z2 – 3z +2 R.

Π 1.12 Γεωμετρικοί τόποι

Σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των

εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή

συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w.


Θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το

γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μιγαδικό

για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του,

άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ.

Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα

αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ.


α. Εφαρμογή 2 σελίδα 93 σχολικού βιβλίου .

β. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν z z 4 και w=2z+ z , τότε να

βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.



Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z ) – Im(z )

1.

Να βρεθούν ο ι πραγματ ικο ί αριθμο ί α , β γ ια τους οποίους ισχύε ι :

α) α + β i = (2 + i ) (3 - i ) (2 - i )

β) α + β i = (5 + i ) 2

γ) α 2 + 3β i = (6 - αβ) + (7 - 2α) i

δ) α + β i = (2 - i ) 3

ε) α + β i = (4 - 3 i ) i

στ) α + β i = (1 - i ) 2 (2 + 3 i )

2.

Να βρεθε ί το πραγματ ικό και το φανταστ ικό μέρος των μ ιγαδ ικών:

α) z 1 = 4 + 2i

3 - i

β) z 2 = 2 3

3 + i 2 i

γ) z 3 = 1 1

x + yi x - yi

δ) z 4 = 12 + 8i 52 + 13i

2 - 3i 13i

3.

Nα βρε ί τε τους x ,y R , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :

α ) (2 – 3 i ) 2 – i (x – 2y i ) = x + y i

β ) (1-2i ) (x - y i ) = (1 – i ) 2-x i

γ )

22 3i 1

2 3i3 2i x yi

4. Να βρεθε ί ο x 0,

2

γ ια τον οπο ίο ε ίνα ι

2( x i x) 1 3i

2 i 5

.

5.

Να βρεθούν τα x ,y R ώστε ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 = x + 2y – i και

z 2 = 11 – (4x –y) i να ε ίνα ι συζυγε ίς .

6.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί :

z 1 = (2x –y ) +(1+i ) (x-y ) και z 2 = x + (2 + 3 i ) 2y + 38.

Να βρε ί τε τους πραγματ ικούς αριθμούς x ,y γ ια τους οπο ίους ισχύε ι η σχέση

1 2z z .



Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις

7.

Στ ις παρακάτω περιπτώσε ις να εκτελέσετε τ ις πράξε ις που

σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + β i .

A = (1+ i ) 3 +

2

1 2i

1 i

,

B = (1 + i ) (3-2i ) 2 + (1- i ) (2-3i ) 2 ,

Γ = 3 3

2 2

( i) ( i)

( i) ( i)

8.

Να βρεθούν ο ι αντ ίστροφοι των μ ιγαδ ικών και να γραφτούν στη

μορφή z = α + β i

α) z = i

β) z = - 5 i

γ) z = 5 – i

δ) z =1 i

3 i

9.

Να βρεθε ί στη μορφή α + β i , ο συζυγής του μ ιγαδ ικού z όταν :

α) z = 6

β) z = 2i

γ) z = - i

δ) z = 1

i

ε) z = -3 + 4 i

στ) z = i (2 - 3 i )

ζ ) z = 3i

1+i

η) z =1 3i 1

1 i i

10.

Να βρεθούν τα x , y R γ ια τα οπο ία ο ι μ ιγαδ ικο ί :

α) z 1= (x 2 - xy ) + (y - 6 ) i , z 2 = (4 + xy - y 2 ) + x i

β) z 3 = x 2 + (y+3) i , z 4 = xy - 2 ( i + x ) i ε ίνα ι συζυγε ίς .

11.

α) Να αποδε ίξε τε ότ ι ο αριθμός α + βi

, α , β , γ, δ Rγ + δi

και γ + δ 0 ε ίναι

πραγματ ικός αριθμός αν και μόνο αν α β

= 0 .γ δ

β) Αν 4 2x + i(x-1)

z = x + 1 + i(x-1)

, να προσδ ιορίσετε τον xR , ώστε Im(z )=0.



Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού

12.

Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύουν: α. 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Re z z 2Re z z .

β. 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Im z z i 2Im z z i .

13. Αν z = x + y i και w = (x 2 - y 2 + 2x) + (2xy + 2y ) i με x , yR να

εκφραστε ί ο w συναρτήσε ι του z .

14.

Να παραστήσετε στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τους μ ιγαδ ικούς :

α) z 1 = 3 - i , z 2 = - 4 + 3 i , z 1 + z 2 , z 1 - z 2 .

β ) z με Re (z ) = - 1 .

γ ) z με Im(z ) = 3 .

δ ) z με Re ( z ) < Im(z ) .

ε ) z με - 1 Re(z ) 1 .

στ ) z = x + 2i , x R .

ζ ) z = - 2 + (y+4) i , y R .

η ) z = 1 + i ημθ , θ [0 ,2π ) .

θ) z = (x 2 + 1 ) + i , x R .

15.

Έστω Α , Β , Γ , Δ ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 , z 3 , z 4

αντ ίστο ιχα.

α) Να αποδε ίξε τε ότ ι το τ ετράπλευρο ΑΒΓΔ ε ίνα ι παραλληλόγραμμο

αν και μόνο αν z 1 - z 2 = z 4 - z 3 .

β) Αν ο ι κορυφές Α , Β , Γ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ε ίναι

ε ικόνες των z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + 3 i , z 3 = - 1 + 4 i , να βρε ίτε το

μ ιγαδ ικό z 4 του οπο ίου η ε ικόνα ε ίναι η κορυφή Δ.



Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+ i και του 1 - i

Δυνάμεις του z

16.

Να υπολογιστούν ο ι τ ιμές των παραστάσεων :

Α = i 1 9 9 6 + i 1 9 9 7 + i 1 9 9 8 + i 2 0 0 0 + i 2 0 0 4 + i 2 0 0 7

B = 1 + i + i 2 + i 3 + . . . . . . + i ν , νΝ * .

Γ = i κ + i κ + 1 + i κ + 2 + i κ + 3 , κZ .

17.

Για τ ις δ ιάφορες τ ιμές του θετ ικού ακέραιου ν να υπολογιστε ί το

άθρο ισμα S = 1 – i + i 2 – i 3 +…+( -1) ν i ν .

18. Να δε ίξ ετε ότ ι αν ο 4 δεν δ ια ιρε ί τον φυσικό αριθμό ν , τό τε :

A = (1 + i 2 ν ) (1+ i ν ) = 0 .

19. Να υπολογίσετε την τ ιμή της παράστασης Α = 2 2

1 i 1 i

1 i 1 i

.

20. Έστω ο μ ιγαδ ικός f ( ν ) = i ν , νΝ.

Να υπολογίσετε τους μ ιγαδ ικούς f (55 ) , f ( -25) , f (3ν) .

21.

Έστω zC και f ( z ) = z 3 ν , νΝ*.

α) Για ν = 4 να υπολογίσετε την παράσταση f (1+i ) + f (1- i ) .

β) Να βρε ίτε το ν ώστε : f (2+3i ) + f (3-2i ) = 0 .

22.

Αν z = 1+i , να δε ίξ ετε ό τ ι : 31 15z 2 z .

23.

Να δε ίξ ετε ότ ι : 1 2 3

1 2 3

1 1 1 1i i i i

i i i i

.

24.

Να αποδε ίξε τε ό τ ι : 2004 2004 2005 2005

1 i 1 i 1 i 1 i .



Α 1.5 Αντισυζυγείς

25.

Έστω z 0 με 1

z 1z

.

α) Να βρεθε ί ο z 3 και ο z 6 .

β) Να δε ίξ ετε ότ ι : z 6 ν + 7 + 6 1

1

z = 1 .

26.

Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :

α) 2012

3 3i

β) 1821

1 3 i

γ) 1453

3 i

δ) 7 7

1 3i 1 3i

27. Να βρε ί τε την τ ιμή της παράστασης :

1940

1939

7 2i

2 7i

.

28. Να βρε ί τε την τ ιμή της παράστασης :

(2 + 3 i ) 2 0 1 4 + (3 – 2 i ) 2 0 1 4 .

29. Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z 1 = α + β i , z 2 = - β + α i με α 2 + β2 0.

Να βρεθούν τα ν Ν * γ ια τα οπο ία έχουμε z 1ν + z 2

ν = 0 .

30.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 και z 2 .

Αν Re(z 1 ) = - Im(z 2 ) και Im(z 1 ) = Re( z 2 ) να αποδε ίξετε ό τ ι : z 14 ν + 2 +

z 24 ν + 2 = 0 , ν Ν *

31. Να δε ίξ ετε ότ ι : 2010 2010

1994 2012i 2012 1994i 0 .



Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w 2 = z

Α 1.7 Εξισώσεις

32.

Να βρεθε ί ο wC ώστε w 2 = z , όπου :

α) z = 3 - 4 i

β) z = - 4

γ) z = 4i

δ) z = 5 - 12 i

ε) z = -1 + 2 2 i

33. Αν z 1 , z 2 C ώστε w 2 = z , wC με w 0, να δε ίξ ετε ό τ ι :

z 1 + z 2 = 0 και z 1 z 2 = - w .

34.

Αν z 1 , z 2 C ώστε w 2 = z με w = 3 - i να βρεθε ί το πραγματ ικό και

το φανταστ ικό μέρος του μ ιγαδ ικού: 1 2

1 2

2 1

z zz = (3 - i) z z

z z .

35.

Nα λυθούν ο ι εξ ισώσε ις :

α) z 2 = -8 + 6 i

β) z 2 = 5 – 12 i .

36.

Nα λυθούν στο C οι ε ξ ισώσε ις :

α) 2z 2z 1 0

β) 5(z z) zz 61 50i

37. Αν z 2 + z + 1 = 0 , να βρεθε ί ο μ ιγαδ ικός z 2 0 0 1 + 2001

1z

38. Aν η μ ία ρ ί ζα της εξ ίσωσης 3x 2 + βx + γ = 0 , β ,γR , ε ίνα ι 2 – 3 i ,

να βρε ίτε τ ις τ ιμές των β ,γ .

39.

Έστω η συνάρτηση f ( z ) = z 2 -2z + 3 , zC.

α) Να λύσετε την εξ ίσωση f ( z ) = 0 .

β) Αν ο μ ιγαδ ικός 1 + i 3 ε ίνα ι ρ ί ζα της εξ ίσωσης f ( z ) = κz + λ ,

κ , λR , να βρε ίτε τα κ , λ .



Α 1.8 Δείχνω ότι : zR Δείχνω ότι: z :φανταστικός

40.

Να βρε ί τε το μ ιγαδικό z , ό ταν 5 + z + i (1 + 2z) = 0 .

Στη συνέχε ια να λύσετε την εξ ίσωση (5+x ) 2 + (1+2x) 2 = 0 :

α) στο R

β) στο C .

41.

Να λύσετε τ ις εξ ισώσε ις :

α) z + 2 z = - 3 + 4 i

β) 2 2z + z + z - z = 2 i

42.

α) Αν z = (2 – 3 i ) ν + (2 + 3 i ) ν , νΝ* , να δε ίξ ετε ό τ ι zR.

β) Αν z = 123 123

5 i 2 5 i 2 , να δε ίξε τε ότ ι o z ε ίνα ι φανταστ ικός .

43. Δείξτε ότ ι ο αριθμός w = (2 +3i ) 2 0 0 4 + (3 +2i ) 2 0 0 4 ε ίναι πραγματ ικός .

44. Αν z ε ίνα ι τυχαίος μ ιγαδ ικός αριθμός ,να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός :

2 2w = 2zz - z - z - 6 ε ίνα ι πραγματ ικός .

45.

Αν z ε ίνα ι ένας μ ιγαδ ικός αριθμός με τ ις ιδ ιότητες :

( z - i ) ( z + i ) = 1 και z 1 + i , να δε ίξε τε ότ ι ο αριθμός z + (1 - i)

w = (1 i) z

ε ίνα ι φανταστ ικός .

46.

Έστω ο μ ιγαδ ικός z = α + β i με α ,βR και α + β 0.

Να αποδε ίξε τε ό τ ι ο ι αριθμο ί w 1 =z iz

z iz

και w 2 =

iz z

2z 2iz

ε ίνα ι

φανταστ ικο ί .

47.

Έστω ο μ ιγαδ ικός z = α + β i με α ,βR και β 3.

Να αποδε ίξε τε ό τ ι : z 3i

w ί ό z ί όiz 3

.

48.

Αν z 1 , z 2 C , να αποδε ίξετε ότ ι :

α) ο 1 2 1 2z z z z ε ίνα ι πραγματικός .

β) ο 3 3

1 2 1 2(z + z ) - (z + z ) ε ίνα ι φανταστ ικός .



Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι

49.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z ,w με w = z i

1 i

.

Aν η ε ικόνα του w 2 κινε ί τα ι στον άξονα των τετμημένων να αποδε ιχθε ί

ότ ι η ε ικόνα του z κινε ίτα ι σε δύο κάθετες ευθε ίες .

50.

Να βρεθεί η μορφή των μη μηδεν ικών μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 όταν

γνωρί ζουμε ότ ι :

z 1 - z 2R και 1

2

z

zR.

51.

Έστω Μ 1 , Μ 2 , Μ 3 ο ι ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο των μ ιγαδ ικών z 1

, z 2 , z 3 αντ ίστο ιχα .

Να αποδε ίξετε ό τ ι τα Μ 1 , Μ 2 , Μ 3 ε ίνα ι συνευθε ιακά αν και μόνο αν ο αριθμός 1 2 2 3 3 1z z + z z + z z ε ίνα ι πραγματ ικός .

52.

Nα βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z γ ια τους οπο ίους

ισχύε ι :

α) z z 3

β) z z 2i

γ) 2 2z z 0

δ) 3 3z z 0

ε) 3 3z z

53. Αν zC και w =

2z 1

iz 1

, να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z

γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : wR.

54.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z , u = αz + β , w = βz + α , α , β R .

Αν α + β = 1 , να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , u και

w βρίσκονται στην ίδ ια ευθε ία .

55. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Μ που ε ίνα ι ε ικόνες των

μ ιγαδ ικών z , ό ταν Re(1 + z 2 ) = 0 .

56.

Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z γ ια τους οπο ίους

ισχύε ι :

α) z = 2λ + (3λ – 1 ) i , λR

β) z = ημθ + συνθ i , θR

γ) z = (ημθ – 1) + (συνθ + 2) i , θR

δ) z = 3ημθ + 2συνθ i , θR



57.

Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z , z 1 = ( λ – i ) z + 3λRe(z ) και z 2 = 22(1 )

1 i

, λR*.

Nα δε ίξ ετε ό τ ι αν το λ μεταβάλλετα ι στο R* και ισχύε ι z 1 = 2z , τό τε η

ε ικόνα Μ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο κινε ίτα ι σε μ ια έλλε ιψη.

58. Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο αν ο αριθμός w = z 2i

z 1


59.

Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο γ ια τους οπο ίους ισχύε ι Imz 2 z 2

Rez 6 z 6

.

60. Αν

z 1Re 1

z i

δε ίξτε ότ ι ο ι ε ικόνες των z ανήκουν σε ευθε ία .

61.

Έστω Μ η ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του z = x + y i .

Αν w = z

z 2 , να βρεί τε το γεωμετρ ικό τόπο του Μ ,όταν :

α) ο w ε ίνα ι φανταστ ικός .

β) ο w ε ίνα ι πραγματ ικός .

62.

Έστω Μ η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z = 1 + συνθ + i (3+ημθ) ,θ R .

Να αποδε ίξετε ό τ ι το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο του οπο ίου να βρε ί τε

το κέντρο και την ακτ ίνα .

63.

Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων Ρ( x ,y ) του μ ιγαδ ικού

επ ιπέδου γ ια τα οπο ία ισχύε ι η σχέση x - 4λ 2 + ( y - 4λ) i = 0 γ ια

κάθε λ R .

64.

Θεωρούμε το μ ιγαδ ικό z = x + y i και έστω :

3x (1- i ) -λy (1- i ) = y -2λ γ ια κάθε λ R . Να δε ίξ ετε ό τ ι καθώς το λ

μεταβάλλετα ι στο R η ε ικόνα Ρ( z ) του μ ιγαδ ικού z = x + y i κινε ίτα ι

στο μ ιγαδικό επ ίπεδο σε παραβολή της οπο ίας να βρεθε ί η εσ τ ία και

η δ ιευθετούσα.

65.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w με w = z - zi

z - 4 .

Έστω Ρ (z ) η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο .

Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων Ρ αν γνωρίζουμε ότ ι ο

αριθμός w ε ίνα ι φανταστ ικός και ότ ι Re(z ) 0 .



66.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w και w 1 τ έ το ιους, ώστε :

w = z - z i και w 1 = 1

α + α i , αR * .

Να δε ίξ ετε ότ ι , αν το α μεταβάλλετα ι στο R * και ισχύε ι w = 1w , τότε

η ε ικόνα Ρ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο , κινε ίτα ι σε μ ια υπερβολή .

Θέμα 1 η ς Δέσμης 1994

67.

Αν z C και z 1 = z + 3 , z 2 = z + 1 - 2 i , να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός

τόπος των ε ικόνων του z πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ό ταν ο μ ιγαδ ικός

z 1 z 2 ε ίνα ι φανταστ ικός αριθμός.

68.

Αν ο μ ιγαδ ικός z ικανοποιε ί τη σχέση zz 2z 4z 2i Im(z) να δε ί ξε τε

ότ ι η ε ικόνα Ρ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο του

οπο ίου να βρεθε ί το κέντρο και η ακτίνα .

69.

Δίνετα ι η συνάρτηση f ( z ) = z 2 + z , zC .

Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο του σημείου Μ που ε ίναι ε ικόνα του z ,

όταν:

α) f ( z ) = f ( z ) .

β) f ( z ) = f ( - z ) .

70.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w . Αν w = ( z + i ) z , να βρεθε ί στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων του z , ό ταν η

ε ικόνα του w πάνω στο μ ιγαδικό επ ίπεδο κ ινε ίτα ι στην ευθε ία x = 34

.

71.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w . Αν w = z + i

z να βρεθε ί στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z , ό ταν η ε ικόνα του

w πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο κ ινε ί ται στην ευθε ία y = 1

2 .

72. Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z = x + y i και w =

z 2i

z 2

.

Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Μ( x ,y ) όταν wR .

73.

Έστω z C - { - 1} . Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο του σημείου Μ που

ε ίνα ι η ε ικόνα του z , όταν ο αριθμός 3z + i

z + 1 ε ίνα ι φανταστ ικός .

74.

Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z πάνω στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο όταν :

α) 4

Im(z - 1 + ) = 0 .z



β) z - 2

Re = 0 .z

γ) 1

Re z - = 0 .z

δ) z + 3i

Re = 0 .z + 4 - i

75.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w .

Αν w =2z

z 1 , να βρεθε ί στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των

ε ικόνων του z , όταν η ε ικόνα του w κινε ίτα ι πάνω στον άξονα x΄x και

ο z δεν ε ίνα ι πραγματ ικός .

76.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z , γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : 2 2

2 2

(z + z) (z - z) + = 1

(w + w) (w - w), όπου w σταθερός μη μηδεν ικός μ ιγαδ ικός

αριθμός.

Να αποδε ίξετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z ε ίνα ι

έλλε ιψη της οπο ίας να προσδ ιορίσετε τ ις εστ ίες και την κορυφή .

77.

Δίνετα ι η συνάρτηση f ( z ) = .(z - 1) (z + 1)

, z C και Re(z) 0 z + z

α) Να δε ίξ ετε ότ ι : f ( - 1

z) = f ( z ) .

β) Να βρε ί τε το ε ίδος της καμπύλης , στην οπο ία ανήκουν τα σημεία

Μ(x ,y ) γ ια τα οποία ο αριθμός z = αx + βyi ικανοποιε ί τη σχέση:

Re [ f ( z ) ] = 0 , α , β , x , y R .




Θ 2.1 Τι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ;

Απάντηση

Μέτρο ενός μ ιγαδικού αριθμού z του οπο ίου η ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο ε ίνα ι το σημείο Μ , λέγεται η απόσταση (ΟΜ) και συμβολ ί ζε ται

με z . ( σχ.4)

Άρα αν z = α + β i , τότε 2 2z = OM = α + β

Θ 2.2 Να αποδείξετε ότι αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί,τότε:

α) z = z = z β) 2

z = z z γ) 1 2 1 2z z = z z

δ) 1 1

= z z

ε) 11

2

2 2

zz = , z 0

z z

Απόδειξη

Αν z = α + β i , τότε z = α - β i . Άρα :

α) 2 2 2 2z = α - β i = α + (-β) = α + β = z

2 2 2 2- z = - α - β i = (- α) + (- β) = α + β = z

β) 22 2zz = (α + β i) (α - β i) = α + β = z

γ) 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 22z z = z z z z = z z (z z )(z z ) = z z z z

1 2 1 2 1 1 2 2z z z z = z z z z , που ισχύε ι .

δ) 1 1 1 1

= z = 1 z = 1 1 = 1z z z z

, που ισχύε ι .

ε)

2 2

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

z zz z z z z z z z z z = = =

z z z z z z z z z z zz

, που ισχύε ι .

Παρατήρηση

Αποδεικνύετα ι ότ ι :

1 2 ν 1 2 νz z z = z z z , ν 2 .

O x

z

y

Μ ( z )

Σ χ . 4



Θ 2.3 ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , τό τε γ ια τα μέτρα τους ισχύε ι η

γνωστή από τη Γεωμετρία τρ ιγωνική αν ισότητα , δηλαδή:

1 2 1 2 1 2z - z z + z z + z ( σχ.5)

Επίσης ισχύε ι το εξής :

1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z (δες και παρακάτω στο μέτρο δ ιαφοράς δύο

μ ιγαδ ικών)

Θ 2.4 Μέτρο διαφοράς δύο μιγαδικών

Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί και Μ 1 , Μ 2 ο ι ε ικόνες τους στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο αντ ίστο ιχα , τότε :

1 2 1 2z - z = M M ( σχ.6)

Για το μέτρο της δ ιαφοράς δύο μ ιγαδ ικών ισχύε ι επ ίσης:

1 2 1 2z z z z . Άρα: 1 2 1 2 1 2z ( z ) z ( z ) z ( z ) .

Συνεπώς: 1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z

Θα κάνε ις πάντα την παραπάνω απόδε ιξη γ ια να το χρησιμοποιήσε ις

x O

(σχ.5)

y

M1(z1)

M(z1+z2)

M2(z2)

M2΄(-z2)

(σχ.6)

x

y M2(z2)

M1(z1)

M(z1 - z2)

O



Θ 2.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 0

z - z = ρ , ρ > 0

Αν δοθε ί ένας μ ιγαδ ικός αριθμός z 0 = x 0 + y 0 i του οπο ίου η ε ικόνα στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ε ίνα ι Ρ και ρ ε ίνα ι ένας θετ ικός πραγματ ικός αριθμός ,

τό τε :

η εξίσωση 0

z - z = ρ , ρ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο

Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτίνα ρ . ( σχ.7)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ

0 z - z = ρ , ρ > 0 Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ

0 z - z ρ , ρ > 0 Κυκλικό δ ίσκο με κέντρο το σημείο Κ( x 0 ,y 0 ) και

ακτ ίνα ρ

0 z - z < ρ , ρ > 0 Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο

Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ

0 z - z > ρ , ρ > 0 Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο

Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ

0 z - z ρ , ρ > 0 Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0 ,y 0 )

και ακτ ίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερ ικά

αυτού του κύκλου

Κ(z0)

x

y

ρ

O

(σχ.7)



Θ 2.6 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2

z-z = z-z

Παριστάνε ι τη μεσοκάθετο του τμήματος Μ 1Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι

ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα. (σχ.8)

Θ 2.7 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2

z - z + z - z = 2α , α > 0

Παριστάνε ι έλλειψη με εστίες Μ 1 , Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι ε ικόνες

των z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα και εστιακή απόσταση: 2γ = 1 2 1 2M M = z - z

< 2α .

Θ 2.8 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2z - z - z - z = 2α , α > 0

Παριστάνε ι υπερβολή με εστίες Μ 1 , Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι ε ικόνες

των z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα και εστιακή απόσταση:2γ = 1 2 1 2M M = z - z

> 2α .

Ο

Μ1

Μ2

σχ.8



Π 2.1 Βασικές παρατηρήσεις

α) Αν z 1 = z 2 τότε 1 2

z = z Δεν ισχύει το αντίστροφο .

β) z = 0 z = 0

γ) 2 2z = z z R

2 2z = - z z Ι (Να χρησιμοποιούνται με απόδειξη )

δ) 1

z = 1 z = , z 0z

Π 2.2 Ασκήσεις όπου μας ζητούν να αποδείξουμε ότι :

1 2 1 2z z ή z z , κ,λR με κ,λ>0

α) Θα το αποδε ικνύουμε γεωμετρικά με τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή

μέτρου μ ιγαδ ικού ή με τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή μέτρου δ ιαφοράς

μ ιγαδ ικών (δες παρακάτω Π 2.4 , Π 2 .5 , Π 2 .9)

β) Χρήσιμη ε ίνα ι και η τρ ιγωνική ανισότητα.

Να παρατηρήσετε ότ ι : αν στην τρ ιγωνική αν ισότητα θέσετε όπου z 2 το - z 2

θα πάρετε : 1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z , αφού 2 2z = - z .


α) Εφαρμογή 2 σελ .99 σχολ ικού βιβλ ίου

β) ασκήσεις Α7 σελ .101, Β8 σελ .102 και Γ3 σελ .123 σχολ ικού βιβλ ίου

Π 2.3 Ασκήσεις όπου μας ζητούν να δείξουμε μια ισότητα ή

ανισότητα μεταξύ των μέτρων κάποιων παραστάσεων με

μιγαδικούς.

► Συνήθως τε τραγωνί ζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας ή της

αν ισότητας , θα χρησιμοποιούμε την ιδ ιότητα 2

z = z z και με ισοδυναμίες

καταλήγουμε σε κάτ ι που ισχύε ι .

► Για την απόδειξη αν ισοτ ικής σχέσης μεταξύ των μέτρων μ ιγαδ ικών

χρήσιμη ε ίνα ι και η τρ ιγωνική αν ισότητα.



Π 2.4 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα

του κινείται σε κύκλο

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:

0z z δηλαδή η εικόνα του κινείται σε κύκλο

και μας ζητούν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z , τότε:

max z = (ΟΑ) = (KO) + ρ

min z = (ΟΒ) = (KO) – ρ , όπου Κ η εικόνα του z0 και

ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .

► Αν επ ιπλέον θέλουμε να βρούμε και τους μ ιγαδ ικούς με το μέγ ιστο και

ελάχιστο μέτρο , θα λύνουμε το σύστημα της εξ ίσωσης της ευθε ίας ΟΚ και

της εξ ίσωσης του κύκλου.

Π 2.5 Ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα του κινείται

σε ευθεία

Όταν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο . Για να βρούμε το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε)

► Αν επ ιπλέον θέλουμε να βρούμε και το μ ιγαδ ικό με το ελάχιστο μέτρο , θα λύνουμε το σύστημα της εξ ίσωσης της ε και της ευθε ίας που ε ίνα ι κάθετη στην ε και δ ιέρχετα ι από το Ο.

Ο

Κ

Α

Β

Μ

Ο

ε

ΟΜ = min z = d(O , ε)



Π 2.7 Θυμάμαι:

Εξίσωση κύκλου

Κέντρο κύκλου Εξίσωση κύκλου

O(0 , 0) C: x2 + y2 = ρ2

Κ(x0 , y0) C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2

Α ΒΚ - , -

2 2

C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0

Ακτίνα : 2 2Α + Β - 4Γ

ρ =2

Π 2.6 Θυμάμαι:

Απόσταση σημείου από ευθεία

Αν Μ 1 (x1 ,y1 ) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : 1 1

12 2

Αx + By + Γd(M ,ε) =

Α + Β

Π 2.8 Μιγαδικοί και διάταξη

ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα: z2 – 3z +2 > 0

σημαίνει ότι z2 – 3z +2 R

Δηλαδή: 2 2z 3z 2 z 3z 2



Π 2.9 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών.

Αν Μ , Ν ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , w τότε :

α) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε

κύκλο (Κ,ρ) και ο w ε ίνα ι σταθερός, τό τε μέγ ιστη τ ιμή του z w ,

ε ίνα ι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ελάχιστη η ΝΑ= .

Αν ο w κινε ίτα ι και αυτός στον κύκλο (Κ ,ρ) τό τε η μέγιστη τ ιμή του z w ,

ε ίνα ι 2ρ και η ελάχιστη μηδέν .

β) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε

ευθε ία ε και ο w είνα ι σταθερός, τό τε ελάχιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι

η d( , ) (μέγ ιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .

γ) Αν ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w κινούνται σε

κύκλο (Κ,ρ) , με z ≠ w , τότε : μέγιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι η ΜΝ=2ρ.

( ελάχιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .

δ) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε κύκλο (Κ,ρ)

και ο w σε ευθε ία ε , τό τε η ελάχιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι η ΝΑ= d( , )

(μέγ ιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .

ε) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε κύκλο

(Κ ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ ,R) , τό τε η ελάχιστη τ ιμή της z w ,

ε ίνα ι η ΚΛ -ρ -R

και η μέγ ιστη ΚΛ+ρ+R.

x

y

O

B

K N

A

ε

x

y

O

Ν

x

y

O

Κ Μ

Ν

x

y

O

ε

Κ

Κ

Λ

Ο x

y



στ) Αν ο ι μ ιγαδ ικοί z , w με z≠w

κινούνται σε έλλε ιψη 2 2

2 2

x y1

,

τό τε μέγ ιστη τ ιμή της z w ,

ε ίνα ι η ΑΑ΄=2 ,δηλ . ο μεγάλος άξονας


Εφαρμογή 2 σελ .99 σχολ ικού, ασκήσεις Α7 σελ .101, Β8 σελ .102 και Γ3

σελ .123 σχολ ικού

Π 2.10 f(z,w) 0 f(z,w) 0

δηλαδή αν μ ια παράσταση με μ ιγαδ ικούς ε ίνα ι ίση με μηδέν , τότε και η συζυγής παράστασης αυτής ε ίνα ι ίση με μηδέν .


Αν z1 + z2 = z 3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 = z1z2

Π 2.11 f(z,w) f(z,w)

δηλαδή μ ια παράσταση μ ιγαδ ικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα.


Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z 3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το

Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: 1 2 3 2 3 1 3 1 2

12 3 2 3

2 z z z z z z z z z

Ο x

y

Α΄ Α



Π 2.12 Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα ( χωρίς να ισχύε ι το αντ ίστροφο)

Μετά υψώνουμε στο τε τράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την

ιδ ιότητα 2

z z z . Δηλαδή:

α) Αν z ,w C z w z w z w .

β) Αν 2 2

w w zz wwz ,w C z w z w z z

.

γ) Γεν ικά:2 2

f (z) g(z) f (z) g(z) f (z) g(z) f (z) g(z)

f (z) f (z) g(z) g(z)


1. άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού βιβλίου

2. Αν (1 + iz ) ν = (1 – iz ) ν να δείξετε ότι zR.

Π 2.13 Σε τρίγωνο

Αν Α ,Β,Γ ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , w , u , τότε : α) το τρίγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ z w w u u z .

β) το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ=ΒΓ z w w u .

γ) το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο με 090

2 2 2

2 2 2

z w z u w u


Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις :

z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2

, z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1.



Π 2.14 Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z :

α) Γράφουμε τον μιγαδ ικό στη μορφή z x yi με x , y R και

χρησιμοποιούμε τον τύπο : 2 2z x y .

β) Αν ο μ ιγαδ ικός βρίσκετα ι σε μ ια παράσταση με πράξε ις μ ιγαδ ικών τότε χρησιμοποιούμε τ ις ιδ ιότητες του μέτρου.

γ) Βρίσκουμε πρώτα το 2

z κάνοντας χρήση της ιδ ιότητας:

2 22 2 2z z z z z

z z

και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z .

δ) Αν έχουμε μ ια ισότητα μέτρων ,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο

τ ε τράγωνο , κάνουμε χρήση της ιδ ιότητας 2 2

2 2 2z z z z zz z

και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z



z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2

, z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1.

Π 2.15 Γεωμετρικοί τόποι σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w

1 . Προσπαθώ να καταλήξω σε μ ια σχέση της μορφής:

1 2z - z = z - z ή

0z - z = ρ , ρ > 0

και επομένως γνωρί ζω σε πο ια γραμμή

κινούνται ο ι ε ικόνες του z .


Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i ) iz , τότε να

βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.

2 . Αν δεν μπορε ί να συμβεί το 1 . τό τε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μ ιγαδ ικό του οπο ίου το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μ ιγαδ ικό για τον οπο ίο συνήθως γνωρίζουμε σε



ποια γραμμή ανήκουν ο ι ε ικόνες του, άρα γνωρί ζουμε μ ια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ . Στόχος μας ε ίνα ι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσε ι των x και y και να τα αντ ικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ .


Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.



Α 2.1 Εύρεση Μέτρου

Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα

78.

Να βρε ί τε το μέτρο του μ ιγαδ ικού z , όταν :

α) z = -3 + 4 i

β) z = i

γ) z =

ν

1 3 - i

2 2

δ) z = 101

99

(2 + i)

(2 - i)

ε) z = 2ημα

, α (0,π) 1 - συν2α + i ημ2α

στ) 1 1 1

= - , α , β , γ R .z α - βi α - γi

79. Αν γ ια το μ ιγαδικό z ισχύε ι : (z 2 - 3 ) i = 4 - 3 z 2 , να βρε ίτε το μέτρο

του z .

80.

Να βρεθε ί το μέτρο των μ ιγαδ ικών

z =

3

2

2 i

i 1 i 3

,

v =

3

3

1 i (1 2i)

(3 i)

και

w =

3

2

1 2i(1 i)

1 i

81.

Να δε ίξ ετε ότ ι : α) z + i = z - i αν και μόνο αν z R .

β) z +3 = z - 3 αν και μόνο αν z :φανταστ ικός .

γ) 2 2z = z αν και μόνο αν z R .

δ) 2 2z = - z αν και μόνο αν z : φανταστ ικός .



82. Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : z + 25 = 5 z + 1 .

Να αποδε ίξε τε ό τ ι : z = 5 .

83.

Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι ότ ι1

z zz

να αποδε ίξετε ότ ι :

Re ( z 2 ) = -1

2.

84. Αν z C και ισχύε ι : z + 4i = z + 4 = z , να βρε ί τε τον z και το μέτρο του

z .

85.

Να αποδε ίξε τε γ ια κάθε z 1 , z 2 C ισχύουν ο ι παρακάτω σχέσε ις :

α) (Ταυτότητα παραλληλογράμμου)

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z

β) 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2Re(z z )

γ) 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2Re(z z )

δ) 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z z + z

ε) 1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z

86.

α) Αν z = 1 να αποδε ίξετε ότ ι : 1

z = z .

β) Αν z 1 , z 2 , z 3 C με 1 2 3z = z = z = 1 να δε ίξ ε τε ό τ ι :

i ) 1 2 3

1 2 3

1 1 1z + z + z =

z z z .

i i ) 1 2 3 1 2 2 3 3 1z + z + z = z z z z z z

87. Αν zC να αποδε ίξετε την ισοδυναμία: z + z + z - z = 2 z z R .

88. Αν z 1 , z 2 C με 1 2 1 2z = z = 1 και z z - 1 , να δε ίξ ετε ότ ι : z = 1 2

1 2

z z R .

1 + z z

89. Αν ο αριθμός w = z - i

z + i ε ίνα ι φανταστ ικός ( zC ) , να δε ί ξε τε ότ ι : .z 1



90. Αν zC και ισχύε ι : z - 10 = 3 z - 2 να δε ίξ ετε ό τ ι : z - 1 = 3 .

91. Αν zC και ισχύε ι : z - 9

= 3z - 1

να δε ίξ ετε ό τ ι : z = 3 .

92. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι :

2 2 2

1 2 1 2z + z = z - z να δε ίξ ετε ότ ι :

1 2 1 2z + z = z - z .

93.

α) Να αποδε ίξετε ότ ι γ ια οπο ιουσδήποτε μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι : 2 2 2

1 2 1 2z z = z - z αν και μόνο αν Re(1 2z z ) = 0 .

β) Έστω μ ια συνάρτηση f : [α , β ] R συνεχής στο [α , β ] και ο ι

μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = α 2 + i f (α ) , w = f (β ) + i β 2 με αβ 0 .

Αν 2 2 2

w z = w - z , να αποδε ίξετε ότ ι η εξ ίσωση f (x ) = 0 έχε ι μια

τουλάχιστον ρ ίζα στο [α , β] .


94.

Aν z 1 , z 2 C με z 2 0 , z 2 2z να αποδε ίξετε ότ ι :

α) 1 1 2

2

2 2

z Re(z z )Re

z z

β)

22 2 22

2 2 2 2

2 22222 2 2

1 z z z 1 z

1 z1 z z z

95.

Είναι σωστό ή λάθος ότ ι :

α) 22

2 2010 2 20101 i i ... i 1 i i ... i ;

β) z 5 5 z 5 ;

96.

Αν z 1 , z 2 C * να δε ίξ ετε τ ις ισοδυναμίες :

α) 1

1 2 1 2

2

zz z z z R

z

β) 1

1 2 1 2

2

zz z z z R

z

γ) 1

1 2 1 2

2

zz z z z R

z



97.

Έστω z = α +βi με α ,βR και β0.

Ποιο ί από τους επόμενους συμβολ ισμούς έχουν νόημα:

α) 3 z

β) 2

3 z

γ) 4 zz

δ) 6 z

98.

Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 με | z 1 | = | z 2 | = 1 .

Να δε ίξ ετε ότ ι ο μ ιγαδ ικός w =

5

1 2

5 5

1 2

z z

z z

ε ίνα ι πραγματ ικός.

99. Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι z 16 4 z 1 , να δε ιχθε ί ό τ ι z 4 .

100.

Δίνετα ι ο μη πραγματ ικός μ ιγαδ ικός z με την ιδ ιό τητα:

z = (1 + i ) |z|-2- i .

α) Να βρε ίτε τον z

β) Να βρε ίτε τον αριθμό ( z – 3 ) 1 0 0 .

101.

α) Nα βρε ίτε τα α ,β R αν ισχύε ι α +2i = (β + i ) i 2 0 0 1 .

β) Aν ο ι μ ιγαδ ικο ί z , z 2 , z 2 - z , z 0 έχουν ε ικόνες τα σημεία Α ,Β

, Γ αντ ίστο ιχα τό τε:

i ) Aν το ΑΒΓ ε ίνα ι ισοσκελές στο Γ να δε ίξ ετε ότ ι z-2=1.

i i ) Aν το ΑΒΓ ε ίναι ορθογώνιο και ισοσκελές στο Γ να υπολογίσετε

το z .

102.

Αν ο ι ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν

στο μοναδ ια ίο κύκλο .

α) να δε ί ξε τε ό τ ι : z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 z 1 + z 2 + z 1 z 2 - 1 = 0 .

β) να βρε ί τε τους z 1 , z 2 γ ια τους οπο ίους ισχύε ι z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 =

0 .

γ) να δε ίξε τε ότ ι | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1| = | z 1 + z 2 + z 1 z 2 – 1|.

103.

α) Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 , z 3 ώστε z 1 + z 2 + z 3 = 0 και 2 2 21 2 3z z z 0 .

Nα δε ιχθε ί ότ ι : 1 2 3z z z .

β) Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο θεωρούμε τρ ίγωνο ΑΒΓ , όπου ο ι κορυφές

του Α ,Β ,Γ ε ίνα ι ο ι κορυφές των w 1 , w 2 , w 3 αντ ίστο ιχα , γ ια τους

οπο ίους ισχύε ι η σχέση: 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3w w w w w w w w w .

Να δε ιχτε ί ότ ι το τρ ίγωνο ε ίνα ι ισόπλευρο .




104.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = x +yi , z 0 και w = z + 4

z.

Nα βρε ί τε το σύνολο των σημείων Μ(z) του επ ιπέδου όταν w R.Αν

Α(z 1 ) , B (z 2 ) , Γ (z 3 ) τρ ία σημεία του συνόλου των σημείων του

πρώτου ερωτήματος με Ιmz 1 Ιmz 2 Ιmz 3 0, να αποδε ίξετε ότ ι

ισχύουν :

α ) ( z 1 + z 2 + z 3 )1 2 3

1 1 19

z z z

και

β ) 1 2 2 3 1 3

1 2 3

z z z z z z2

z z z

, z 1 + z 2 + z 3 0 .

105.

Δίνετα ι η εξ ίσωση: z 2 + (β-4) z + (γ+5) = 0 . (1 ) με β , γ R .

Αν z 1 ε ίνα ι μ ια από τ ις λύσε ις της (1 ) και z 2 η άλλη και 1 1z z 2 ,

1z 2 , τό τε :

α) Να βρε ίτε τους πραγματ ικούς αριθμούς β και γ .

β) Να βρε ί τε τους z 1 και z 2 .

γ) Να αποδε ίξετε ότ ι : 100 100 511 2z z 2 .

106. Να λύσετε στο C την εξ ίσωση :|z|+i z = 2 +4i .

107. Να λύσετε το σύστημα :z 1 i 2

z 3 z 1

.

108.

Να αποδε ίξε τε ό τ ι δεν υπάρχει α R- {1 } τ έτο ιο , ώστε η εξ ίσωση:

1 + α i1 iz , ν Ν , z C

α + i

, να έχε ι πραγματική λύση.

109. Αν η εξ ίσωση ( i z – 2 ) ν = w(z + 2i ) ν με άγνωστο τον z και νΝ*, έχε ι

πραγματ ική ρ ί ζα , να αποδε ίξετε ότ ι | w| = 1 .



Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου

110. Αν z C και |z|=1 να υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγ ιστο της

παράστασης |z-1+2i| .

111. Αν zC και |z-1- i|<5 να δε ίξ ε τε ό τ ι : 10<|z-10-13i|<20.

112. Να δε ίξ ετε ότ ι : αν |z 1 |<|z 2|<1 τότε |z 1 -z 2 |<|1- 1z z 2 |.

113. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z–2+i|=6 να δε ίξ ε τε ό τ ι 1 z 1 3i 11 .

114.

Αν z 1 = 4 + 5 i , |z 2 |=20 , να βρε ίτε τη μεγαλύτερη και τη μ ικρότερη

τ ιμή των παραστάσεων :

α) |z 1+z 2|.

β) |z 2 -1|.

γ) |z| , αν |z-z 1 |=1.

115. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z- i|=1, να δε ιχθε ί ό τ ι :4|z+4+2i|6.

116. Αν |z-1|1, |z-2|=1 να δε ίξ ε τε ό τ ι 1|z| 3 .

117.

Έστω z 1 = 5 i και z 2 ένας μ ιγαδ ικός με |z 2 |=2.

α) Να βρε ίτε γ ια πο ιες τ ιμές του z 2 η παράσταση |z 1 – z 2 |γ ίνετα ι :

i ) μέγιστη

i i ) ελάχιστη .

β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρ ικά τα παραπάνω αποτελέσματα .

118. Δίνετα ι η συνάρτηση f με τύπο f (x ) = 2 2x + α , α R .

Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια κάθε x 1 , x 2 R ισχύε ι : 1 2 1 2f(x ) - f(x ) x - x

.



119.

Έστω Π(x) = x 2 + 21 2z - z x + 2 2

1 2 1 21 + z 1 + z , z , z C.

α) Να αποδε ίξε τε ότ ι : Π (x) 0 γ ια κάθε xR .

β) Να βρε ί τε πότε μπορε ί να ισχύε ι Π(x) = 0 .

120.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( z ) = z + i , με z C και τους

μ ιγαδ ικούς γ ια τους οπο ίους f (z)

2f ( z)

(1 ) .

α. Να δε ίξ ετε ότ ι 5 4

z i3 3

γ ια κάθε zC που ικανοποιε ί την (1) .

β. Ποιος από τους μ ιγαδ ικούς γ ια τους οπο ίους ισχύε ι η (1) έχε ι το

μεγαλύτερο μέτρο και πο ιος το μ ικρότερο ;

γ. Να βρε ί τε τη γραμμή στην οπο ία κ ινούνται ο ι ε ικόνες του

μ ιγαδ ικού

w = z – 3 .

δ. Αν z 1 = 2 – i να βρε ίτε τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου

1w z .

ε. Αν z 2 = λ -1 + (λ – 2 ) i , λ R να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου

2z z .

121.

Αν η εξ ίσωση 2z z 0 , όπου , , έχε ι ρ ί ζες τους μ ιγαδ ικούς

αριθμούς 1z 3 2i και z 2 , τό τε :

α) Να βρε ίτε τους α , β , z 2 .

β) Να βρε ί τε τη μ ικρότερη τ ιμή της παράστασης :

1 2f (z) z z z z ,z C .

122.

A. Για κάθε μ ιγαδ ικό z να δε ίξ ε τε ό τ ι ισχύουν:

α. z Re (z )

β . z Im(z ) .

Β . Για κάθε z 1 , z 2 C με z 1 + z 2 = 1 να δε ίξε τε ότ ι :

z 1 + z 2 1 .

123. Αν z 6 2 να βρε ί τε την ελάχιστη και τη μέγ ιστη τ ιμή της

παράστασης z 8i .

124.

Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια κάθε zC ισχύε ι : α) z 3 + z 4 - z 1 - z 2 8 και

β) z z 1 9

z 52



Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

125. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύουν 2z 1 1 και z 1 1 , να αποδε ίξετε ότ ι :

z 1 .

126. Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια κάθε z C ισχύε ι :

|z + 1| + |z + 2| |z| + |z + 3|.

127. Αν |z 1 + 3i| =1 και |z 2 - 4| =2 να βρε ί τε τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή του

1 2z z .

128. Αν zC και z 2 – 3z + 2 > 0 να δε ί ξε τε ότ ι : zR ή Re(z ) = 3

2.

129.

Να παραστήσετε στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τους μ ιγαδ ικούς γ ια τους

οπο ίους ισχύε ι : α) z = 3

β) z - 1 + 3i = 1

γ) z -5 5

δ) z + 2 + i > 2

ε) iz - 2 - 3i = 1

στ) 1

1z - 2

ζ ) iz + 1 > 1 .




130.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί : z 3 (2 1)i , R .

α) Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z .

β) Να βρε ί τε το μ ιγαδ ικό εκε ίνο που έχε ι το ελάχιστο μέτρο .

131.

Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο δ ίνετα ι το σημείο Α που ε ίναι ε ικόνα του

μ ιγαδ ικού:α = 13 - i .

Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί z = x + 3xi αν γνωρίζουμε ότ ι :

= 10 2 , όπου Μ ε ίνα ι η ε ικόνα του z στο μιγαδ ικό επ ίπεδο .

132.

Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z όταν α) z 3 z 5

β) z i z 5i

γ) z

11 z

δ) 3 z i 4

133.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z ώστε 2

z 1 2i2

.

α)Να υπολογίσετε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w 2z 1 i

β)Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί 1 2w ,w από τους μ ιγαδ ικούς του α)

ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγ ιστο μέτρο αντ ίστο ιχα.

134.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w γ ια τους οπο ίους ισχύουν ο ι σχέσε ις :

z 12 6i z 4 και 2 2

2 w i w i 17 .

α) Να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες του z κινούνται σε ευθε ία της

οπο ίας να βρε ί τε την εξ ίσωση.

β) Να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες του w κινούνται σε κύκλο του

οπο ίου να βρε ίτε την εξ ίσωση. γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου z w .

135.

Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν ο ι σχέσε ις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 και

1 2 3z = z = z = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι ο ι ε ικόνες των z 1

, z 2 , z 3 ε ίνα ι κορυφές ισοπλεύρου τρ ιγώνου εγγεγραμμένου σε

κύκλο ακτ ίνας 1 .



136. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z ισχύε ι |z-1| = 2 , να βρε ί τε που ανήκουν

ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών w με w = 3z – 2 .

137.

Aν η ε ικόνα του μιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και

ακτ ίνας ρ = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι το ίδ ιο ισχύε ι και γ ια την ε ικόνα του

μ ιγαδ ικού w = 3z i

iz 3

.

138.

Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο δ ίνετα ι το τρ ίγωνο ΑΒΓ . Αν ο ι κορυφές Α , Β

, Γ ε ίνα ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 = 1 + 2 i , z 2 = 4 - 2 i , z 3 = 1 -

6 i αντ ίστο ιχα , να δε ίξε τε ό τ ι το τρ ίγωνο ε ίνα ι ισοσκελές και να

βρε ί τε το μήκος της βάσης του.

139.

Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια τον μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύε ι :

z - αi = z - βi , α , β R και α β αν και μόνο αν Im z2

.

Να ερμηνεύσετε γεωμετρ ικά την παραπάνω πρόταση .

140. Αν z , w C , να αποδε ίξετε την ταυτότητα:

222 2 ww

z + z - w = 2 z - + 2 2

.

Ποια γεωμετρική πρόταση εκφράζε ι ;

141.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z = (2x - 3) + (2y - 1) i με x , y R . Αν 2z - 1 + 3i = 3 , να αποδε ίξετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων

Μ(x , y ) ε ίνα ι κύκλος ,του οπο ίου να προσδ ιορίσετε το κέντρο και

την ακτ ίνα .


142.

α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z που επαληθεύουν την ισότητα 4z - i = 2 z + i

β) Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύουν ο ι σχέσε ις :

1 14z - i = 2 z + i και 2 24z - i = 2 z + i να αποδε ίξετε ότ ι :

1 2z - z 1 .

143.

Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z

που επαληθεύουν την εξ ίσωση 22 2z + z - 2 z - 4(z + z) = 0 ε ίνα ι μ ια

παραβολή ,της οπο ίας να προσδ ιορίσετε την εστ ία και τη

δ ιευθετούσα .



144.

Αν Α , Β ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 = - 1 + 2 i και

z 2 = 3 + 2 i αντ ίστο ιχα , να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων

Μ(z ) όταν ο λόγος των αποστάσεών τους από τους z 1 και z 2 ε ίνα ι 3

1.

145.

Έστω Ρ(z ) η ε ικόνα πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του μ ιγαδ ικού z που ικανοποιε ί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w ) η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w

που ικανοποιε ί τη σχέση w - 3 - i = w - 3 - 5i .

Να δε ίξ ετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των z ε ίνα ι κύκλος ενώ ο

γεωμετρικός τόπος των w ε ίνα ι ευθε ία , η οπο ία εφάπτετα ι στον

κύκλο .

146.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z , w που συνδέοντα ι με τη σχέση:

w = 2z + 3

z.

Αν ο ι αριθμο ί αυτο ί παριστάνονται στο μ ιγαδ ικό επίπεδο με τα

σημεία Z , Ω αντ ίστο ιχα , να αποδείξετε ότ ι όταν το Ζ κ ινε ίτα ι σε

κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτ ίνας 1 , τότε το Ω κ ινε ίτα ι σε

έλλε ιψη.

147.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί α = 1 - 3 i , β = 5 + 3 i και γ = 3 - 5 i .

Αν Α , Β , Γ ε ίνα ι ο ι ε ικόνες τους πάνω στο μ ιγαδ ικό επίπεδο

αντ ίστο ιχα , να βρεθε ί ο μ ιγαδ ικός που έχε ι ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

148. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε να ισχύε ι : z 7 z 7 18 .

149. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε να ισχύε ι : z 2i z 2i 2 .

150.

Έστω ο μ ιγαδ ικός z = (1+2συνθ – ημθ) + (3 +συνθ +2ημθ) i .

Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων των z .

Nα δε ίξ ετε ότ ι : 10 5 z 10 5 .



151.

Δίνετα ι το πολυώνυμο f ( z ) = z 2 – αz + 4 όπου α > 0 και z

μ ιγαδ ικός.

Αν γ ια τους μ ιγαδικούς w 1 ,w 2 με w 1 ≠ w 2 ισχύε ι : f (w 1 ) = f (w 2 ) ,

τό τε : α) Αν

1w = 1, να βρε ί τε την εξ ίσωση της καμπύλης πάνω στην

οπο ία ανήκει η ε ικόνα του w 2 .

β) Αν ο αριθμός 1 2w w

2

ε ίνα ι ρ ί ζα του f ( z ) , να υπολογίσετε το α .

152.

Aν γ ια το μ ιγαδ ικό w = 2x + (2y -1) i , x ,yR ισχύε ι w 1 i 2 5 να

βρε ί τε :

α) το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z=x+yi στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο .

β) τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του | z|.

153. Aν ε ίνα ι

z 93

z 1

( z 1) , να αποδε ίξετε ότ ι η ε ικόνα του z στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γράφει κύκλο .

154.

Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων Μ( z ) των μ ιγαδ ικών z γ ια

τους οπο ίους ισχύε ι :

α) 1 2i

z 31 i

.

β) z 1

2z 2

.

155.

α) Nα βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C 1 των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z

γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : | (1 -2i ) z – 2 | = 2 .

β) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C 2 των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού w

γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : w 2i

1w 2 4i

.

γ) Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του | z – w|.

156.

α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι 2

1 1 10

z 3i z 3i z 9

.

β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν στο C και ε ίναι

συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο να βρε ίτε τη μέγ ιστη

και την ελάχιστη τ ιμή του | z 1 -z 2 |.



157.

α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι 2

1 1 10

z 3i z 3i z 9

.

β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν στο C και ε ίναι

συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο να βρε ίτε τη μέγ ιστη

και την ελάχιστη τ ιμή του | z 1 -z 2 |.

158.

Έστω ότ ι γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z - 4 i| - |z + 4 i| = 6 (1) .

α) Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι η (1) .

β) Να βρε ίτε πο ιος z έχε ι ελάχιστο δυνατό μέτρο .

159.

Έστω z = 3 i

1 i

, λR ,να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων

των z . Aν z 1 , z 2 δύο τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί από τους παραπάνω να αποδε ίξε τε ό τ ι

1 2z z 4.

160.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z ,w ο ι οπο ίο ι συνδέοντα ι με τη σχέση:

(1+2i ) z = (3 +4i )w +6 +2i .

Αν η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο με κέντρο

Κ(1 ,0) και ακτ ίνα ρ = 5 να δε ίξ ε τε ότ ι η ε ικόνα του w ανήκει σε

κύκλο .

161.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :

2

2 1

1 2

22

z1z 2

zz

,

όπου ν ε ίνα ι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 . α) Να δε ίξ ετε ό τ ι

1 2z z 1

β) Αν ο 1z κινε ίτα ι σε κύκλο κέντρου (0 ,1) και ακτ ίνας 1 , να

βρε ί τε την εξ ίσωση της γραμμής πάνω στην οπο ία κ ινε ίτα ι η ε ικόνα

του 2z .

γ) Αν 1z + 2z = 2 , να υπολογίσετε τους 1z , 2z .

162.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z ,w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :

z = ημ2θ + 2iσυν 2θ και wz = 4 .

Nα αποδε ίξε τε ό τ ι όταν το θ μεταβάλλετα ι στο R , τό τε :

α) η ε ικόνα του z κ ινε ίτα ι σε κύκλο .

β) η ε ικόνα του w κινε ίτα ι σε ευθε ία .



163.

Έστω z ,w δύο μη μηδεν ικο ί με ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τα σημεία Α και Β αντ ίστο ιχα ώστε ΑΟΒ = 30 ο και έστω α = ln z i ln w .

α) Αν w z , να δε ίξ ετε ότ ι : α 2 Ι (ΟΑΒ) = 1

4.

β) Αν w z και α 2 R , να βρεί τε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Α

,B .

164.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z ,w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : z i z i 4 z 0

και zw = 1 .

α) Να δε ίξ ετε ό τ ι η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w ανήκει σε έλλε ιψη.

β) Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια οπο ιεσδήποτε τ ιμές w 1 , w 2 του παραπάνω μιγαδ ικού w ισχύει :

1 2w w 4 .

165.

Nα βρε ί τε την εξ ίσωση της καμπύλης στην οπο ία κ ινούνται ο ι

ε ικόνες των ρ ι ζών της εξ ίσωσης w 2 -2συνθw + συν 2 θ + συν 2 2θ = 0,

όταν η γωνία θ μεταβάλλετα ι στο 0,2

.

166.

Δίνετα ι η εξ ίσωση κz 2 + λz + μ = 0 (1 ) όπου κ ,λ , μ ε ίνα ι τρε ις μη

μηδεν ικο ί πραγματ ικο ί δ ιαδοχικο ί όρο ι γεωμετρ ικής προόδου με

λ > 0 .

α) Να βρε ί τε τ ις εξ ισώσε ις των γραμμών πάνω στ ις οπο ίες ανήκουν

ο ι ε ικόνες των ρ ιζών z 1 , z 2 της (1 ) . β) Αν z 1 z 2 + z 1 + z 2 = 0, να δε ίξ ετε ότ ι :

1 2z z 1 .

167.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z με z 1 και η υπερβολή C : 2 2x y

1z 1 z 1

με

μ ια εστ ία το σημείο Ε(2 ,0) .

α) Να βρε ί τε την εξ ίσωση C 1 της κωνικής τομής πάνω στην οπο ία

βρίσκετα ι η ε ικόνα του z .

β) Αν ο ι κωνικές τομές C και C 1 έχουν ίδ ιο μήκος μεγάλου και

μ ικρού άξονα , να υπολογίσετε τους μ ιγαδ ικούς z .

168.

Αν λ>0 και z 1 , z 2 μιγαδ ικο ί αριθμο ί , να δε ίξ ετε ό τ ι :

2 2 2

1 2 1 2

1z z 1 λ z 1 z

λ

.



ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο. Συγκεκριμένα:

Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών)

Σελ.87: Ορισμοί ( Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική

παράσταση

μιγαδικών)

Σελ.88-90: Πράξεις στο C .Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89

με τα

έντονα γράμματα

Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού)

Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i )

Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα)

Σελ.91: Απόδειξη: ( 1 2 1 2z +z = z +z )

Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0)

Σελ.93: Παρατήρηση

Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού)

Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο

Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια

Σελ.98: Απόδειξη: 1 2 1 2

z z = z z

Σελ.99: Οι εξ ισώσεις: 0 1 2

z - z = ρ , ρ > 0 και z - z = z - z

Σελ.124-5: τ ις ερωτήσεις κατανόησης

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ

Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96

Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96

z: πραγματικός z : φανταστικός

11Α/96, 6Β/96, 8Β/96

Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102

Γεωμετρικοί τόποι Εύρεση γραμμής που κινούνται οι εικόνες μιγαδικού

12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101, 8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102,

6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103

Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123

169.

Ποιες από τ ις παρακάτω σχέσε ις ε ίνα ι σωστές και πο ιες λάθος;

α) 2 2z = - z z: φανταστικός .

β) Η εξ ίσωση 1 2z - z + z - z = 2α , α>0 παριστάνε ι υπερβολή με εστ ίες Μ 1

, Μ 2 τ ις ε ικόνες αντ ίστο ιχα των z 1 και z 2 και εστ ιακή απόσταση

2γ = 1 2 1 2M M = z - z

.

γ) Αν z 1 , z 2 C με 2 2

1 2z z 0 , τό τε : z 1 = z 2 = 0 .



δ) 2 2z z .

ε) Αν 1 2z = z , τό τε z 1 = z 2 .

στ) 20052005z z .

ζ ) 2z zz .

η) Η εξ ίσωση 2z 3 2i 3 παριστάνε ι κύκλο με κέντρο

Κ(3, –2 ) και ακτ ίνα ρ = 3 . θ) Οι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , z , -z , -z ε ίνα ι κορυφές τετραγώνου.

ι ) Aν γ ια τον zC ισχύε ι : z 2 = 2

z τότε zR.

170.

Ποιες από τ ις παρακάτω σχέσε ις ε ίνα ι σωστές και πο ιες λάθος;

α) Για κάθε zC ισχύε ι 2

z z 2 .

β) Αν z , wC και ισχύε ι z w 0 τότε κατ ’ ανάγκη ε ίνα ι z = w =0.

γ) Υπάρχουν άπειρο ι z C που ικανοποιούν τη σχέση z 1 i 2

δ) Αν κ (0 ,1) και z 1 τό τε ε ίνα ι z (1 )z 1

ε) Για κάθε zC ισχύε ι z 1 z 1

στ) Για κάθε z 1 , z 2C ισχύε ι 1 2 1 2z z z z

ζ ) Για κάθε z 1 , z 2C ισχύε ι z 1 = z 2 1 2z z

η) Αν z 10, z 2C , τό τε 1 2z z 1 2z z

θ) Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι z = z 2 , τό τε z 3 0

ι ) Είναι σωστό ή λάθος ότ ι 150 + 160i > 2 + 3i ;

171.

Να συμπληρώσετε τα κενά στ ις παρακάτω προτάσε ις :

α) Η τ ιμή της παράστασης (1+ i ) 2 0 0 4 – (1- i ) 2 0 0 4 ε ίνα ι………………… β) Η εξ ίσωση z 3 7i 25 παριστάνε ι………………………………………

γ) Αν z = 2(συνθ + i ημθ) , τότε z = ………….

δ) Η εξ ίσωση z 1 3i z 3 2i παριστάνε ι………………………………

ε) Οι ρ ί ζες της εξ ίσωσης: 3z 2 – 6z + 6 = 0 ε ίνα ι :………………………

172.

Έστω z , z 1 , z 2 C με z 1 = z 2 = 1 .

Aν ε ίνα ι z o = 1 2 1 2

1 2

z z z z z z

z z

με z 1 +z 2 0 τό τε :

α ) z o2 > 0 β ) z o

2 0 γ ) z o2 = 1

173.

Έστω η εξ ίσωση αx 2 + 2βx +α =0 , με α >β>0, που έχε ι ρ ί ζ ες τ ις x 1 ,

x 2 .

Nα σημειώσετε το γράμμα που αντ ιστο ιχε ί στη σωστή απάντηση.

α) x 1 , x 2R β) x 1 + x 2 = -4 x 1 x 2 γ) x 1 x 2

δ) x 1 = x 2 = 1 ε) τ ίποτε από τα προηγούμενα.



174.

Αν ισχύε ι x 1 + x 2 = 1 2x x

2

τότε να βρεθούν:

α) ο ι ρ ί ζες x 1 , x 2

β) ο ι θετ ικο ί ακέραιο ι ν , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι (x 1 + x 2 ) ν > 0

175. Να αποδε ίξε τε ό τ ι : 2004 2004 2005 2005

1 i 1 i 1 i 1 i .

176.

Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι : 2z 6 2i 4 , να βρε ί τε :

α) το γεωμετρ ικό τόπο της ε ικόνας του z . β) τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του z .

177.

Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w γ ια τους οποίους ισχύε ι : 2 2z w 0.

α) Αν z =1 , να βρε ίτε το σύνολο των ε ικόνων των w.

β) Αν z 1 2i 1 , να βρε ί τε το σύνολο των ε ικόνων των w.

178. Αν z C και ισχύε ι : z + 4i = z + 4 = z , να βρε ίτε τον z και το μέτρο

του z .

179. Αν z είνα ι τυχαίος μ ιγαδ ικός αριθμός , να δε ί ξε τε ότ ι ο αριθμός

2 2w = 2zz - z - z - 6 ε ίνα ι πραγματ ικός .

180.

Αν z ε ίνα ι ένας μ ιγαδ ικός αριθμός με τ ις ιδ ιότητες :

( z - i ) ( z + i ) = 1 και z 1 + i , να δε ί ξετε ότ ι ο αριθμός z + (1 - i)

w = (1 i) z


181.

Έστω Ρ(z ) η ε ικόνα πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του μ ιγαδ ικού z που ικανοποιε ί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w ) η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w

που ικανοποιε ί τη σχέση w - 3 - i = w - 3 - 5i . Να δε ίξ ετε ό τ ι ο

γεωμετρ ικός τόπος των z ε ίνα ι κύκλος ενώ ο γεωμετρικός τόπος των

w ε ίνα ι ευθε ία , η οπο ία εφάπτετα ι στον κύκλο .

182. Αν zC και z - 1 - i < 5 να δε ίξ ετε ό τ ι : 10 < z - 10 - 13i < 20 .



183. Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια οπο ιουσδήποτε μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι :

2 2 2

1 2 1 2z z = z - z αν και μόνο αν Re(1 2z z ) = 0.

184.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός:

49 41

1 33

1 i 2 1 iz

4 1 i

.

α)Να βρε ίτε τα α , β R γ ια τα οπο ία ισχύε ι : 3 3

1z i .

β)Έστω z 2 = α + β i , όπου α και β ο ι τ ιμές που βρήκατε στο

ερώτημα α) . Από τους μ ιγαδ ικούς z , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :

1 2z z z , να

βρε ί τε πο ιος έχε ι το ελάχιστο και πο ιος το μέγ ιστο δυνατό μέτρο .

185. Έστω z 1 , z 2 . Να δε ί ξ ετε ότ ι : 1 2

1 2

1 2

z z1 z 1 ή z 1.

1 z z

186.

Να βρεθε ί το σύνολο των μ ιγαδ ικών z γ ια τους οποίους ισχύε ι :

z 6 3i 8.

Αν f ( z ) = z 6 2i , όπου z μιγαδ ικός του παραπάνω συνόλου:

i ) Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του f ( z ) .

i i ) Να βρε ί τε την μέγ ιστη τ ιμή του f ( z ) .

187.

Έστω Α ,Β,Γ ο ι ε ικόνες τρ ιών μ ιγαδ ικών z ,w,u δ ιαφορετ ικών μεταξύ

τους, ο ι οπο ίο ι έχουν ίσα μέτρα και άθρο ισμα μηδέν .

Να αποδε ίξε τε ό τ ι : i ) z w w u z u .

i i ) To τρ ίγωνο ΑΒΓ ε ίνα ι ισόπλευρο .

188.

Έστω ρ>0 και γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι η σχέση: 2 2 2z ρ z ρ 2 2 ρ ,

ν>0 .

Να δε ίξ ετε ότ ι :

α) Η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο , του

οπο ίου να βρε ίτε το κέντρο και την ακτ ίνα του.

β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 , z 3 ε ίνα ι σημεία του

παραπάνω κύκλου , τό τε ο 2 3 1 31 2

3 1 2

z z z zz zw

z z z

ε ίνα ι πραγματ ικός

αριθμός.



189.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z ώστε 2

z 1 2i2

.

α) Να υπολογίσετε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w 2z 1 i .

β) Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί 1 2w ,w από τους μ ιγαδ ικούς του α)

ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγ ιστο μέτρο αντ ίστο ιχα.

190.

Αν η ε ικόνα του μιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο C με κέντρο Ο(0 ,0)

και ακτ ίνα

ρ = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι :

α) και η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z i

w , z iiz 1

ανήκει στον κύκλο C.

β) ο αριθμός z w

u , z w 1 1 zw

ε ίναι πραγματ ικός .

γ) ο αριθμός z w

, zw 11 zw

ε ίναι φανταστ ικός .

191.

Αν w 1 , να βρε ί τε :

α) το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z αν: z – 5 = 2 2 w – 5 i .

β) τους μ ιγαδικούς με το μεγαλύτερο και το μ ικρότερο μέτρο , καθώς και τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή του z .

192.

Αν η εξ ίσωση 2z z 0 ,όπου , , έχε ι ρ ί ζες τους μ ιγαδ ικούς

αριθμούς 1z 3 2i και

2z , τότε :

α) Να βρε ίτε τους 2, , z .

β) Να βρε ί τε τη μ ικρότερη τ ιμή της παράστασης:1 2f (z) z z z z ,z C .

193. Για πο ιες τ ιμές του θετ ικού ακέραιου ν ισχύε ι : i i 2 ;

194. Να βρε ί τε τον ελάχιστο θετ ικό ακέραιο ν ώστε : 7 8i 8 7i 0

.

195.

Να υπολογίσετε τ ις παραστάσε ις :

α. A = i+ i 3 +i 5 +…+ i 1 0 1 3 5 101A i i i ... i

β. B =i 6 i 8 i 1 0 … i 5 2

196. Αν z C και

2z 1w

iz 1

να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z

ώστε w R .



197.

Αν z C και 2

z 2zw

z

να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του

z ώστε ο w να ε ίνα ι φανταστ ικός .

198. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε ο ι ε ικόνες των i , z , iz να ε ίνα ι συνευθε ιακά σημεία .

199.

Δίνετα ι η εξ ίσωση 2z z 4 0 α , β R (1 ) .

α. Αν z 1 = 1 + i ε ίνα ι ρ ί ζα της (1) να υπολογίσετε τα α , β .

β. Να βρε ί τε το μ ιγαδ ικό 2006

1z .

200.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z = λ – 1 + (λ – 2 ) i , λ R .

α. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδικού z .

β. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδικού 2z

w1 i

.

201. Αν z 1 2i 3 να δε ίξ ετε ότ ι : 2 z 2 2i 8 .

202.

α. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : z 2 2i 1 .

β. Να βρε ί τε τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του z .

γ. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : w 1 i w 3 4i .

δ. Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του w .

ε. Να βρε ί τε την ελάχιστη τ ιμή του z w .

203. Αν

1 2z , z C και 1 2z z 1 , να δε ίξ ε τε ότ ι ο

7

1 2

7 7

1 2

z zw

z z

ε ίναι

πραγματ ικός .

204.

Αν *z C και 1 2z z z 2 να δε ίξ ετε ότ ι :

α. ο z z

wz z


β. ο 1 2

1 2

z zu

4 z z




205.

Έστω z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης: z 2 + αz + 1 = 0 με α ( -2 , 2) και

w C με w≠-2i . Αν ισχύει: 1 2

2005 2004

2 2 0 z w i z w i , τότε:

1. Να δείξετε ότι:

α. 2 1w i και

β. 1

22

w iw i

.

2. Αν 1 2

2 1

z zu

z z , να δείξετε ότι: u = α2 – 2.

3. Αν 2

1

40092 v z wi , να δείξετε ότι: v= - i .

4. Να δείξετε ότι: 2

1w uv .

206.

Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε

κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 =

z1z2 .

207.

Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με

κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:

1 2 3 2 3 1 3 1 2

12 3 2 3

2z z z z z z z z z .

208.

Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύει:1 2 3

1 z z z και

z1 + z2 + z3 = 1 , να δείξετε ότι:

α) 1 2 3

1 1 11

z z z.

β) 2

1 22 9 z z .

209.

Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠0 με 1 2

2 1

z z+ =1

z z.

Να δείξετε ότι:

α. 3 3

1 2z z

β .

2010 2010z z1 2

+ = 2z z2 1



210.

Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z γ ια τους

οπο ίους ισχύε ι : α. z 7 z 7 14

β. z 7 z 7 12

γ. z 7 z 7 16

δ. z 7i z 7i 20

ε. z 7 z 7 14

στ. z 7 z 7 12

ζ . z 7 z 7 16

η. z 7 z 7 20

θ. z 7 Re(z) 7

ι . z 3 i 2

κ. z 2 i z 1 i

211. Να βρε ί τε την ελάχιστη τ ιμή της παράστασης: Α = z 1 z 1 i z 1 3i z 2 2i .

212.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Ο αριθμός 4 4

1 3 1 3 z i i είναι:

Α. Φανταστικός Β. Μηδέν

Γ. Πραγματικός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.

213.

Για κάθε μιγαδικό z=α+βi, α,β ισχύει:

1 . |zi|= |z| Σ Λ

2 . 2 2|z | |z| Σ Λ

3 . 2z z z Σ Λ

4 . |z+2i|2= 2 4z Σ Λ

5 . 22z i

Σ Λ

6 . z z z z Σ Λ

7 . 2 2z z Σ Λ

8 . 2

z z z Σ Λ

9 . Αν η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με ακτίνα

7, τότε |z|=7

Σ Λ

1 0 . Αν |1-z|=7, τότε η εικόνα του z ανήκει σε

κύκλο με κέντρο τo K(-1,0) και ακτίνα 7.

Σ Λ



214.

Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z που

αναφέρεται στην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία

της δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους:

Συνθήκη Ευθεία

A. 3z i z i α. y x

B. 1 3z z β. x=-1

Γ. 2 2z z i γ. y=-1

δ . y x

ε . x x

215.

Να λύσετε τ ις εξ ισώσεις:

α . (z2+1)(z2-z+1)=0 .

β . z2 – i z + 2 = 0.

γ . z3 – 1 = 0.

216.

Δίνεται η εξίσωση: z2 + (β-4)z + (γ+5) = 0. (1) με β , γ .

Αν z1 είναι μια από τις λύσεις της (1) και 1 1

2 z z και 1

2z , τότε:

α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς β και γ.

β) Να βρείτε τους z 1 και z2 .

γ) Να αποδείξετε ότι: 100 100 51

1 2 2z z .

217.

Δίνεται ο μιγαδικός z με z 0 και 1003 1004

z z .

Να αποδείξετε ότι: z2 0 0 7 = 1.

218. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i )z , τότε

να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.

219. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να

βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.

220. Αν z1 , z2C με 1 2 1 2

z = z = 1 και z z - 1 ,να δείξετε ότι: z =

1 2

1 2

z z R

1 + z z.

221.

Δίνεται ο μιγαδικός: 3 5

22 2

i z z i , z i , ,

α) Να βρείτε τα Re( ) , Im( ).

β)Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ω στο μιγαδικό



επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία 1

3 y x .

γ)Από τους μιγαδικούς να βρεθεί αυτός που έχει τη μικρότερη

απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού 3+ i .

δ)Να αποδείξετε ότι 3

102

.

ε)Αν 10

2 να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z i στο

μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία 3 1 ή 3 1 x y , x y .

222.

Αν οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών z1 ,z2 ανήκουν στο

μοναδιαίο κύκλο.

α) να δείξετε ότι: z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0 z1 + z2 + z1 z2 - 1 = 0.

β) να βρείτε τους z 1 ,z2 για τους οποίους ισχύει z1 + z 2 - z1 z2 + 1 = 0.

γ) να δείξετε ότι: | z1 + z2 - z1 z 2 + 1| = | z1 + z2 + z1 z 2 – 1|.

223.

α) Αν z = 2 να αποδείξετε ότι : 4

z = z

.

β) Αν z1 , z2 , z3 C με 1 2 3

z = z = z = 2 να δείξετε ότι :

i ) 1 1

1 2 3

1 2 3

1z + z + z = 4

z z z.

ii ) 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z = z z z z z z .

224. Αν z C και 1z να υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγιστο της

παράστασης 1 2 z i .

225.

Δίνονται οι μιγαδικοί: 3 2 1 z ( )i , .

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z .

β) Να βρείτε το μιγαδικό εκείνο που έχει το ελάχιστο μέτρο.

226.

Να βρεθεί το σύνολο των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

6 3 8 z i .

Αν f (z )= 6 2 z i ,όπου z μιγαδικός του παραπάνω συνόλου:

i ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f (z ) .

ii ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f (z ) .

227.

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντιστοίχως οι σχέσεις :

1 zz i(z z ) και 7 1 2

32

iw

i.

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C1 των εικόνων των z στο μιγαδικό



επίπεδο.

β) Να βρείτε τη γραμμή C2 που βρίσκονται οι εικόνες του w στο

μιγαδικό επίπεδο.

γ) Αν Μ(z1 ) C1 και Μ(z2 ) C2 , να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη

τιμή του μέτρου 1 2

z z .

228. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 2 6 z i να δείξετε ότι 1 1 3 11 z i .

229. Αν zC και z - 1 - i < 5 να δείξετε ότι: 10 < z - 10 - 13i < 20 .

230.


z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3

z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1

, z2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο

ακτίνας 1 .

231.

α) Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 ώστε z1 + z2 + z3 = 0 και 2 2 2

1 2 30 z z z .

Nα δειχθεί ότι 1 2 3 z z z .

β) Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ , όπου οι κορυφές

του Α , Β , Γ ε ίναι οι εικόνες των w1 , w2 , w3 αντίστοιχα , για τους

οποίους ισχύει η σχέση : 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 1 3 w w w w w w w w w .

Να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

232.

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με 16 4 1 z z .

α) Να αποδείξετε ότι z = 4.

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z όταν: 4 14

zz .

233.

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω 2

11

izf z , z

z.

α) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού f (2).

β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2008

2w f είναι πραγματικός.

γ) Να αποδείξετε ότι

2

f zz

f z i.

δ) Αν 1z και Μ είναι η εικόνα του f (z ) στο μιγαδικό επίπεδο, να

αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την

εξίσωση.

234. Αν (1 + iz ) ν = (1 – iz ) ν να δείξετε ότι zR.



235.

Έστω ο μιγαδικός z και η συνάρτηση:

f (z ) =

3

z i

z i , z - i .

α) Να δείξετε ότι f (z ) = z 2 – iz – 1.

β) Αν η εξίσωση f (z ) = (α – i )z – β με α,βR έχει ρίζα το μιγαδικό 2 –

3i , να βρείτε τα α και β.

γ) Αν z = 1 να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού f (z ) στο μιγαδικό

επίπεδο δεν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Ο και

ακτίνα ρ = 3.

236.

Για τους μιγαδικούς z ,w ισχύει : i

wz

.

α) Αν ισχύει 1 w w (1) να δείξετε ότι : 1 z i .

β) Αν ισχύει 2 w i (2) να δείξετε ότι: 1 2 z .

γ) Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους C1 και C2 των εικόνων Μ των

μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει αντίστοιχα η σχέση (1) και (2) .

δ) Αν οι εικόνες Μ 1 και Μ 2 των μιγαδικών z1 και z2 κινούνται στους

C1 και C2 αντίστοιχα να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του

μέτρου 1 2z z .

237.

Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύει 2

2 z w z w ,

να δείξετε ότι:

α) 2 2 2

z w z w .

β) 0Re zw .

γ) z

: όw

.

δ) z2 + w2 = 0.



238.

Β. Να χαρακτηρ ίσε τε τ ι ς προτάσε ι ς που ακολουθούν, γράφοντας στο

τ ετράδ ιό σας την ένδε ιξη Σωστό ή Λάθος δ ίπλα σ το γράμμα που

αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

Για κάθε μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύε ι :

α. 2

z z z

β. 2 2 z z

γ. z - z

δ. z z

ε. i z z

Μονάδες 5

Β.1. Β.1 Αν 1 2 z 3 4 i και z 1 - 3 i, να γράψετε στο τετράδ ιό σας τους

αριθμούς της Στήλης Α και δ ίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της

Στήλης Β έτσ ι , ώστε να προκύπτε ι ισότητα.

Στήλη Α Στήλη Β

1 . 1 2 z z α. 4

2. 2

1 z β. 2

3. 2

2 z γ. 25

4. 1 z δ. –5

5. 2 i z ε. –2

στ. 5

ζ . 10

Μονάδες 7,5

Β.2 Αν γ ια το μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύει z 1, να δε ίξ ετε ό τ ι

1

z z

.

Μονάδες 5

Πανελλήνιες εξετάσεις 2001



239.

Έστω z ένας μ ιγαδ ικός αριθμός και f ( ν ) = i ν z , ν IN* .

α. Να δε ίξ ετε ότ ι f (3 ) + f (8 ) + f (13) + f (18) = 0 .

Μονάδες 7

β. Αν z= ρ και Arg(z ) = θ , να δε ίξ ετε ό τ ι :

f (13) = ρ i2 2

.

Μονάδες 8

γ. Αν z= 2 και Arg(z ) = 3

, να βρεθε ί το εμβαδόν του τρ ιγώνου με

κορυφές τα σημεία του μ ιγαδ ικού επ ιπέδου που ε ίνα ι ε ικόνες των

μ ιγαδ ικών αριθμών 0 , z και f (13) .

Μονάδες 10


240.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = α+βi , όπου α , β IR και w =

3z – iz + 4, όπου z ε ίνα ι ο συζυγής του z .

α. Να αποδε ίξε τε ότ ι Re(w )=3α–β+4 και Ιm(w )=3β–α.

Μονάδες 6

β. Να αποδε ίξετε ότ ι , αν ο ι ε ικόνες του w στο μ ιγαδικό επ ίπεδο

κ ινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–12, τό τε ο ι ε ικόνες του z

κινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–2.

Μονάδες 9

γ. Να βρε ίτε πο ιος από τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z , ο ι ε ικόνες των

οπο ίων κ ινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–2, έχε ι το ελάχιστο

μέτρο .

Μονάδες 10


241.

α. Να περιγράψετε γεωμετρ ικά το σύνολο (Σ) των ε ικόνων των

μ ιγαδ ικών αριθμών z που ικανοποιούν τ ις σχέσε ις :

z 2 και Ιm (z ) 0 .

Μονάδες 12

β. Να αποδε ίξετε ότ ι , αν η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού z

κινε ίτα ι στο σύνολο (Σ) , τότε η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού

1 4w z

2 z

κινε ίτα ι σε ευθύγραμμο τμήμα το οπο ίο βρίσκετα ι

στον άξονα x΄x .

Μονάδες 13

Επαναληπτικές εξετάσεις 2003



242.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z 1 , z 2 , z 3 με 1 2 3z z z 3.

α. Να δε ίξ ετε ότ ι : 1

1

9z

z .

Μονάδες 7

β. Να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός 1 2

2 1

z z

z z ε ίνα ι πραγματ ικός .

Μονάδες 9

γ. Να δε ίξ ετε ότ ι : 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1z z z z z z z z z

3 .

Μονάδες 9


243.

α. Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί γ ια τους οπο ίους ισχύε ι z 1 +z 2=4+4i και , 2z - z = 5 + 5i

1 2 να βρε ίτε τους z 1 , z 2 .

Μονάδες 10

β. Aν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z ,w ισχύουν:

z – 1 – 3 i 2 και w – 3 – i 2 :

i . να δε ίξ ετε ό τ ι υπάρχουν μοναδ ικοί μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z , w έτσ ι ,

ώστε z = w και

Μονάδες 10

i i . να βρε ίτε τη μέγ ιστη τ ιμή του z – w .

Μονάδες 5


244.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z 1 , z 2 , z 3 με z 1 = z 2 = z 3 = 1 και

z 1 + z 2 + z 3 = 0 .

α. Να αποδε ίξε τε ότ ι :

i . z 1 – z 2 = z 3 – z 1 = z 2 – z 3

Μονάδες 9

i i . z 1 – z 2 2 4 και Re 1 2z z 1 .

Μονάδες 8

β. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z 1 , z 2 , z 3 στο

μ ιγαδ ικό επ ίπεδο , καθώς και το ε ίδος του τρ ιγώνου που αυτές

σχηματ ί ζουν.

Μονάδες 8




245.

Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός αριθμός 2 i

z2i

με αR.

α. Να αποδε ιχθε ί ότ ι η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο

με κέντρο Ο(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ = 1 .

Μονάδες 9

β. Έστω z 1 , z 2 ο ι μ ιγαδ ικο ί που προκύπτουν από τον τύπο : 2 i

z2i

γ ια α = 0 και α = 2 αντ ίστο ιχα.

i ) Να βρεθε ί η απόσταση των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών z 1 και

z 2 .

Μονάδες 8

i i ) Να αποδε ιχθε ί ότ ι ισχύε ι : ( z 1 ) 2 ν = ( -z 2 ) ν γ ια κάθε φυσικό αριθμό

ν .

Μονάδες 8


246.

Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 = α + β i και z 2 = 1

1

2-z

2+z , όπου α , βR με

β0. Δ ίνετα ι επ ίσης ότ ι z 2 – z 1R.

α. Να αποδε ιχθε ί ότ ι z 2 – z 1 = 1 .

Μονάδες 9

β. Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z 1 στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο .

Μονάδες 6

γ. Αν ο αριθμός 2

1z ε ίνα ι φανταστ ικός και αβ>0, να υπολογιστε ί ο

z 1 και να δε ιχθε ί ότ ι : .20 20

1 1z +1+i - z +1-i =0

Μονάδες 10


247.

Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z και w ισχύουν:

i+2 2 z = 6 και w 1 i w 3 3i , τό τε να βρε ίτε :

α. το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών z .

Μονάδες 6

β. το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών w.

Μονάδες 7

γ. την ελάχιστη τ ιμή του │w│.

Μονάδες 6

δ. την ελάχιστη τ ιμή του │z - w│.

Μονάδες 6




248.

Δίνετα ι ό τ ι ο μ ιγαδ ικός αριθμός z 1 = 1 i 3

2

ε ίνα ι ρ ί ζα της εξ ίσωσης

z 2 +βz+γ=0, όπου β και γ πραγματ ικοί αριθμο ί .

α. Να αποδε ίξε τε ότ ι β=–1 και γ=1.

Μονάδες 9

β. Να αποδε ίξε τε ότ ι : 3

1z 1 .

Μονάδες 8

γ. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού αριθμού w, γ ια τον οπο ίο ισχύε ι :

1 1w z z .

Μονάδες 8


249.

Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z= (2λ+1)+(2λ−1) i , λR.

Α.α. Να βρε ίτε την εξ ίσωση της ευθε ίας πάνω στην οπο ία

βρίσκονται ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών αριθμών z , γ ια τ ις δ ιάφορες

τ ιμές του λ R .

Μονάδες 9

β. Από τους παραπάνω μιγαδ ικούς αριθμούς να αποδε ίξετε ό τ ι ο

μ ιγαδ ικός αριθμός z 0 = 1 - i έχε ι το μ ικρότερο δυνατό μέτρο .

Μονάδες 8

Β. Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμοί w ο ι οπο ίο ι ικανοποιούν την

εξ ίσωση 2

0w w 12 z όπου z 0 ο μ ιγαδ ικός αριθμός που αναφέρετα ι

στο προηγούμενο ερώτημα.

Μονάδες 8


250.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει :

(2 i )z + (2 +i ) z 8 = 0

α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών

z = x+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.

β. Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z 1 και τον μοναδικό

φανταστικό αριθμό z 2 οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.

γ. Για τους αριθμούς z1 , z2 που βρέθηκαν στο προηγούμενο

ερώτημα να αποδείξετε ότι z1+z2 2 + z 1 z2 2 = 40.




251.

Δίνετα ι η εξ ίσωση 2

2zz

, όπου z C με z≠0.

α. Να βρε ί τε τ ις ρ ίζ ες z 1 και z 2 της εξ ίσωσης.

Μονάδες 7

β. Να αποδε ίξε τε ότ ι : 2010 2010

1 2 0z z .

Μονάδες 6

γ. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς w ισχύε ι : 1 24 3w i z z τότε

να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w στο μ ιγαδ ικό

επ ίπεδο .

Μονάδες 7

δ. Για τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς w του ερωτήματος γ . να

αποδε ίξε τε ό τ ι : 3 7w .

Μονάδες 5


252.

Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z2 είναι οι ρίζες εξ ίσωσης δευτέρου

βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τ ις οποίες ισχύουν:

z1 + z2 = –2 και z 1 ⋅z2

= 5.

B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z 1 , z2 .

Μονάδες 5

B2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση :

|w – z1|2 +|w – z2|2 = | z1 − z 2|2

να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο

μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+1) 2

+ y2

= 4.

Μονάδες 8

B3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β2 να βρείτε

εκείνους για τους οποίους ισχύει 2 ⋅Re(w) + Im(w) = 0.

Μονάδες 6

B4. Αν w1 , w2

είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος

Β2 με την ιδιότητα |w1 – w2|=4, να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=2.

Μονάδες 6


253.

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi , x , yR.

B1. Αν ισχύει ότι: 2 3z i z , τότε να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z.

Μονάδες 8

B2. Αν 2z i , τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των

μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει ότι: 2

w z z .

Μονάδες 7

B3. Αν 2z i και 1

z izu

z

, τότε να αποδείξετε ότι:

20101u .

Μονάδες 10

Πανελλήνιες εξετάσεις Εσπερινών 2010



254.

Θεωρούμε την εξίσωση z 2–6z+γ=0 με γ∈ℝ , η οποία έχει ρίζες τους

μιγαδικούς αριθμούς z 1 , z2 με Im(z1 ) > 0 και |z 1| = 5.

Γ1. Να αποδείξετε ότι γ=25.

Μονάδες 8

Γ2. Αν γ=25, να βρείτε τ ις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.

Μονάδες 5

Γ3. Αν για τον μιγαδικό αριθμό w ισχύει |w – z1| = |w – z2|, να

αποδείξετε ότι w∈ℝ .

Μονάδες 6

Γ4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (z1–2–3i) 8 + (z2–4+5i)8 .

Μονάδες 6

Επαναληπτικές εξετάσεις Εσπερινών 2010

255.

Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z και w με z≠3 i , ο ι οπο ίο ι ικανοποιούν

τ ις σχέσε ις :

1z -3i + z +3i = 2 και w = z - 3i +

z -3i.

Β1. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών

αριθμών z .

Μονάδες 7

Β2. Να αποδε ίξετε ότ ι :

1z +3i=

z 3i.

Μονάδες 4

Β3. Να αποδε ίξε τε ότ ι ο w ε ίνα ι πραγματ ικός αριθμός και ότ ι : -

2≤w≤2.

Μονάδες 8

Β4. Να αποδε ίξετε ότ ι : z -w z .

Μονάδες 6

Πανελλήνιες Εξετάσεις 2011

256.

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:

z-i =1+Ιm(z) (1) και w w 3i i 3w i (2)

B1.Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

αριθμών z είναι η παραβολή με εξίσωση 21

y = x4

Μονάδες 7

B2.Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0, 3) και ακτίνα ρ=2

2 .

Μονάδες 7

B3.Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία



είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με z =w.

Μονάδες 5

B4.Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

και, στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο

μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές

τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο.

Μονάδες 6


257.

Θεωρούμε τους μιγαδ ικούς αριθμούς z και w γ ια τους οπο ίους

ισχύουν ο ι επόμενες σχέσε ις : 2 2

z 1 z 1 4 (1)

w 5w 12 (2)

Β1. Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων των

μ ιγαδ ικών αριθμών z στο επ ίπεδο ε ίνα ι κύκλος με κέντρο την αρχή

των αξόνων και ακτ ίνα ρ = 1 .

Μονάδες 6

Β2. Αν z 1 , z 2 ε ίναι δύο από τους παραπάνω μιγαδ ικούς αριθμούς z

με 1 2z z 2 τό τε , να βρε ίτε το 1 2z z .

Μονάδες 7

Β3. Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων των

μ ιγαδ ικών αριθμών w στο επ ίπεδο ε ίνα ι η έλλε ιψη με εξ ίσωση 2 2x y

19 4 και στη συνέχε ια να βρε ί τε τη μέγιστη και την ελάχιστη

τ ιμή του w .

Μονάδες 6

Β4. Για τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z , w που επαληθεύουν τ ις

σχέσε ις (1 ) και (2 ) να αποδε ίξετε ότ ι : 1≤ z - w ≤4.

Μονάδες 6


258.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z≠-1 για τους οποίους ο

αριθμός

z 1w=

z 1 είναι φανταστικός.

Να αποδείξετε ότι:

Β1. |z|=1.

Μονάδες 7

Β2. O αριθμός

41

zz

είναι πραγματικός.

Μονάδες 6



Β3.

1 2

1 2

1 1z z 4

z z όπου z1 , z2 δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς

αριθμούς z.

Μονάδες 6

Β4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει

i

u ui = ww

, w≠0 ανήκουν στην υπερβολή x 2-y2=1.

Μονάδες 6

Επαναληπτικές Εξετάσεις 2012

259.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει :

(z − 2) ( z − 2) + z 2 = 2.

B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , είναι κύκλος με κέντρο K (2,0) και ακτίνα ρ = 1. (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω

γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3 .

(μονάδες 3) Μονάδες 8 B2. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z 2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w2 + βw + γ = 0 , με w

μιγαδικό αριθμό, β,γ R , και 1 2Im(z ) Im(z ) 2

τότε να αποδείξετε ότι: β = − 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α o , α1 , α2 οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1 . Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση:

v3 + α2 v2 + α1 v + α0 = 0 τότε να αποδείξετε ότι: v 4

Μονάδες 8




260.

Δίνεται η εξίσωση

22

z + (z + z ) i - 4 - 2i = 0, z∈ℂ .

B1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 9

B2. Αν z1=1+i και z 2=1- i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε

να αποδείξετε ότι ο αριθμός

39

1

2

zw 3

z

είναι ίσος με -3i

Μονάδες 8

B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

αριθμών u για τους οποίους ισχύει 1 2u w 4z z i

όπου w, z1 , z2 οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β2. Μονάδες 8


261.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους

ισχύουν:

2z iw

2z i,

iz

2

w φανταστικός

B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των

αξόνων και ακτίνα ρ=1

2, εκτός από το σημείο M(0, -

1

2) , του

κύκλου

Μονάδες 10 B2. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, του ερωτήματος Β1, να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει

|w|= 1. Μονάδες 8

B3. Αν είναι z=1

2 , τότε να αποδείξετε ότι w4 + i w7 = 0

Μονάδες 7

Επαναληπτικές Εξετάσεις 2014



Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z ) – Im(z )

1.

α ) α=15 , β=-5

β ) α=24 , β=10

γ ) α=2,β=1 ή α= -9 , β=25

3

δ ) α=2 , β= -11

ε ) α=3 , β=4

στ ) α=6 , β= -4

2 .

Να βρεθε ί το πραγματ ικό και το φανταστ ικό μέρος των μ ιγαδ ικών:

α) Re(z 1 )=1 , Im(z 1 )=1

β) Re(z 2 )=9

5 , Im(z 2 ) = -

4

5

γ) Re(z 3 )=0 , Im(z 3 ) = 2 2

2y

x y

δ) Re(z 4 )= 1 , Im(z 4 ) = 0

3.

α ) x=-19 , y=7

β ) x=4

3 , y=

2

3

γ ) x=1

6 , y=

1

6

4. x=π

4

5. x=1 , y=5

6. x=22 , y=-2

7. A = 5

3 i2

, B = -14i , Γ = 23α 1

2α



Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις

Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού

Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+ i και του 1 - i

Δυνάμεις του z

8. α ) - i , β ) 1

i5

, γ ) 5 1

i26 26

, δ ) 1-2i

9.

α ) 6+0i , β ) 0-2 i , γ ) 0+i , δ ) i , ε ) -3-4i , στ ) 3-2i , ζ ) 3 3

i2 2

η ) 1 3 2 3

i2 2

10. α ) χ=4 y=2 ή x=2 y=4

β ) x=1 y=-1 ή x=2 y=1

11. β) x=1

13. w = z 2 + 2z

14. β) z 4=-2 + 2i

16. Α = 2 , B =

1 , αν ν = 4π

1 i , αν ν = 4π+1

i , αν ν = 4π+2

0 , αν ν = 4π+3

, Γ = 0

17. S =

0 , αν ν = 4π

1 i , αν ν = 4π+1

i , αν ν = 4π+2

0 , αν ν = 4π+3

19. A = ν

2 1



Α 1.5 Αντισυζυγείς

Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w 2 = z

25. α) Να βρεθε ί ο z 3 = -1 και z 6 = 1

26.

Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :

α) 100618 β) 18212 γ) 14523 i 2 δ) 710

20. f (55)=- i , f ( -25)=- i , f (3ν)=

1 , αν ν = 4π

i , αν ν = 4π+1

1 , αν ν = 4π+2

i , αν ν = 4π+3

.

21. α) -128

β) ν = 4π+2 , πΝ

27. 2 7i .

28. 0

29. ν = 4π + 2 , πΝ

32.

Να βρεθε ί ο wC ώστε w 2 = z , όπου :

α) w=2-i ή w=-2+i , β) w=2i ή w=-2i , γ) w 2 2 i ή w 2 2 i

δ) w=3-2i ή w=-3+2i , ε) w 1 2 i ή w 1 2 i

34. Χρησιμοποιώντας την άσκηση 33 z = 6-6i .




Α 1.8 Δείχνω ότι : zR Δείχνω ότι: z :φανταστικός


35. α ) z = 1 + 3i ή z = -1 - 3 i

β ) z = 3 – 2 i ή z = -3 + 2i

36. α ) z = -1 ή z = 1 + 2 i ή z = 1-2i

β ) z = 6 + 5 i ή z = -6 + 5i

37. Δείξε πρώτα ότ ι z 3 = 1 και μετά ότ ι : z 2 0 0 1 + 2001

1z

=2.

38. β = -12 , γ=39

39. α) z 1 2 i

β) κ = 0 , λ = -1

40.

7 9z i

5 5

α) αδύνατη στο R

β) στο C η λύση ε ίνα ι ο z .

41. α) z = -1 – 4 i

β) z = 1+i ή z = -1+i

49. ε 1 : y = -x-1 , ε 2 : y = x - 1

52. α)

3x

2 β) y = 1 γ) x=0 ή y=0 δ) x=0 ή x 3 y 0 ή x 3 y 0

ε) y=0 ή y 3 x ή y 3 x



53. Κύκλος με κέντρο το

1 1K ,

4 2

και ακτ ίνα 5

ρ = 4

εκτός του σημείου

Α(0 , 1 ) .

55. Ισοσκελής υπερβολή: y 2 – x 2 = 1 .

56.

α) η ευθε ία : 3

y x 12

β) ο κύκλος: x 2 + y 2 = 1

γ) ο κύκλος: (x+1) 2 + (y-2) 2 = 1

δ) η έλλε ιψη:

2 2x y1

9 4

57. 2

2 yx 1

4 χωρίς το σημείο Α(0 , 2 )

58. Η ευθε ία : y = -2x-2 χωρίς το σημείο Α( -1 , 0 )

59. Ο κύκλος με κέντρο Κ(4 , -2) και ακτίνα ρ=2 2 , χωρίς το σημείο

Α(6 , 0 )

60. Η ευθε ία : y = x – 1 χωρίς το σημείο Α(0 , -1 )

61.

α) ο κύκλος με κέντρο Κ( -1 , 0) και ακτ ίνα ρ = 1 , χωρίς το σημείο

Α( -2 , 0 )

β) ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Α ( -2 , 0 )

62. Ο κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 3 ) και ακτ ίνα ρ=1

63. Η παραβολή y 2 = 4x

64. C : y 2 = 6x , 3 3

E , 0 , δ: x2 2

65. Τα σημεία του κύκλου με κέντρο K(2 , 2 ) , ακτ ίνα ρ= 2 2 γ ια τα οπο ία

x0.

66. Η υπερβολή x 2 – y 2 = 1



67. Κύκλος με κέντρο Κ( -2 , -1) και ακτ ίνα ρ = 2

68. Κύκλος με κέντρο Κ(3 , 0 ) και ακτ ίνα ρ = 3

69.

α) Οι ευθε ίες ε 1 : y=0 , ε 2 : 1

x2

β) Κύκλος με κέντρο 1

K , 02

και ακτ ίνα ρ = 1

2

70. Κύκλος με κέντρο 1

K 0 , 2


71. Κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 0 ) και ακτίνα ρ = 1 χωρίς το σημείο

Ο(0 , 0 )

72. Η ευθε ία ε : y = x + 2 χωρίς το σημείο Α( -2 , 0 )

73. Κύκλος με κέντρο

1 1K ,

2 6


6 χωρίς το σημείο

Α( -1 , 0 )

74.

α) Η ευθε ία y = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο κύκλος με κέντρο

Κ(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=2

β) Ο κύκλος με κέντρο Κ(1 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=1 χωρίς το σημείο

Ο(0 , 0 )

γ) Η ευθε ία ε : x = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο μοναδια ίος κύκλος.

δ) Η γραμμή x 2 – y 2 + 4x + 4y – 3 = 0 χωρίς το σημείο Α( -4 , 1 )

76.

Αν Μ(α , β) η ε ικόνα του w, τότε ο ζητούμενος γ . τ ε ίνα ι η έλλε ιψη: 2 2

2 2

x y1

α β

77. β) Η έλλε ιψη:

2 2

2 2

x y1

1 1

α β



Α 2.1 Εύρεση Μέτρου

Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα

78.

α) |z| = 5 β) |z| =1 γ) |z| = 1 δ) |z| = 5 ε) |z| =1

στ) |z| = 2 2 2 2α β α γ

β - γ

79. |z| =10

2

80.

|z| = 3 3

4

|v| =1

5

|w| =91

2

81.

α) Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα: 2

z z z

β) Όμοια με το α)

82. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:

2z z z


2z z z

84. z=-2-2i και |z|= 2 2



85. Aξιοποίησε την ιδιότητα: 2

z z z

86. β) i ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3z + z + z = z + z + z z + z + z ... .

i i ) Συνέχισε το προηγούμενο ερώτημα κάνοντας ομώνυμα…

87. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη …

88. 1 2 1 21 2

1 1z = z = 1 άρα z και z

z z . Μετά αρκεί να δε ί ξ ε ις ότ ι z z .

89. .w w ..


2z z z

91. .z - 9 = 3 z - 1 και μετά τετραγώνισε και τα δύο μέλη ..

92.

Συνέχισε τη σχέση2 2 2

1 2 1 2z + z = z - z αξιοποιώντας την ιδιότητα: 2

z z z .

Στη σχέση :1 2 1 2z + z = z - z τ ετραγώνισε και θα καταλήξε ις σε κάτ ι που

ισχύε ι .

95.

Είναι σωστό ή λάθος ότ ι :

α) Λάθος

β) Λάθος

97. β) γ)

98. 1 2 1 21 2


z z . Μετά αρκεί να δεί ξ ε ις ότ ι : w w


2z z z




100. α) z = 3+4 i

β) 2002

101. α) α =-1 και β = 2

β) i i ) z=1.

102.

1 2 1 21 2


z z

α) z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 άρα και 1 2 1 2z z z z 1 0......

β z 1=i ,z 2 = - i ή z 1 =- i , z 2 = i .

γ) | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1| = 1 2 1 2z z z z 1 =….

104.

Ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο κύκλος με κέντρο

Ο(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=2.

α ) ( z 1 + z 2 + z 3 ) 31 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

zz z1 1 1 1z z z z z z z z z ....

z z z 4 4 4 4

β ) Θέλεις να δε ίξε ις ότ ι : 1 2 31 2 2 3 1 3

1z z z

2z z z z z z . Μετά δούλεψε

όπως στην άσκηση 86

105. α) β= 2 και γ=-3.

β) z 1 = 1 + i και z 2 = 1 - i .

106. z = 4 +3i .

107. z = -1 + i ή z = -1 – 3 i

108.

Έστω ότ ι υπάρχει α R- {1 } τ έτο ιο , ώστε η εξ ίσωση:

1 + α i1 iz , ν Ν , z C

α + i

, να έχε ι πραγματική λύση z = xR.

Φόρεσε μέτρα στη σχέση 1 + α i1 iz

α + i

και θα καταλήξε ις σε άτοπο .



Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου

109. Φόρεσε μέτρα στην : ( i z – 2 ) ν = w(z + 2 i ) ν ….

110. max{|z-1+2i| }= 5 1 και min{|z-1+2 i| }= 5 1 .

112. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη της :|z 1 - z 2|<|1- 1z z 2 |και θα

καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .

114.

α) max{|z 1+z 2|}=20+ 41 και min{|z 1 +z 2|}=20- 41 .

β) max{|z 2 -1|}=21 και min{|z 2-1| }=19.

γ) max{|z|}= 41 +1 και min{|z| }= 41 -1

116. Βρες τα σημεία τομής του κυκλικού δ ίσκου και του κύκλου που

σου δ ίνε ι στα δεδομένα , καθώς και το σημείο τομής με τον x΄x .

117. α ) i ) max{|z 2-5 i| }=7 γ ια z 2 =-2 i

i i ) min {|z 2-5i| }=3 γ ια z 2 =2i

118. Θεώρησε z 1 = x 1 + α i και z 2 = x 2 + α i .

Τότε f (x 1 )=|z 1| και f (x 2 )=|z 2 | ……..

119. α)

2

1 2Δ = - 4 z z 1 0.......

β) -|z 1 – z 2 |

120.

β. z 1 = 3 i και z 2 = 1

i3

γ. Κύκλος με κέντρο το 5

K 3,3

και ακτ ίνα 4

ρ = 3

.

δ. max{|w-2+i| } = 7 και min{|w-2+i| } = 13

3

ε. min{ 2z z } = 4

2 13

.



Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

121. α) α=-6 , β=13 , z 2 = 3-2i .

β) 4

122. Β . Εφαρμογή της τρ ιγωνικής αν ισότητας

123. max{ z 8i }=12 και min{ z 8i }=8.

125. 2|z|=|2z|=|(z+1) 2 - ( z 2 +1)| ……

126. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη, θα καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .

127. max{|z 1 – z 2 |}=8 και min{|z 1 – z 2|}=2 .

128. Πρέπει z 2 – 3z + 2 R , άρα….

129.

α) Κύκλος με κέντρο Ο(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=3

β) Κύκλος με κέντρο Κ(1, -3) και ακτ ίνα ρ=1

γ) Κυκλικός δ ίσκος με κέντρο Κ(5 ,0) και ακτ ίνα ρ=5

δ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ( -2 ,-1) και ακτ ίνα

ρ=2

ε) Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -2) και ακτίνα ρ=1

στ) Τα σημεία και τα εξωτερ ικά σημεία του κύκλου με κέντρο

Κ(2 ,0) και ακτ ίνα ρ=1

ζ ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0 ,1) και ακτ ίνα

ρ=1




130.

α) Η ευθε ία ε :y=2x+7

β) 14 7

z i5 5

131. z=3+9i ή z=-1-3i

132.

α) x 1

β) y 2

γ) 1

x2

εκτός του σημείου Α(1 ,0)

δ) Τα σημεία και τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0 , -

1 ) και ακτ ίνα ρ 1 =4 και τα σημεία και τα εξωτερ ικά σημεία του

κύκλου με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ 2 =3.

133. α)Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -3) και ακτ ίνα ρ= 2 .

β)w 1 =4-4i και w 2 =2-2 i .

134.

α) ε : 4χ + 3y – 41 = 0 .

β) χ 2 + (y+3) 2 = 25

γ) min{|z-w|} = 5

135. Αρκεί να δε ίξ ε ις ότ ι | z 1- z 2 |=|z 2 - z 3|=|z 3 - z 1|…..

136. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,0) και ρ=6.

137. Αρκεί να δε ίξ ε ις ότ ι |w|=1.

141. Κέντρο 7 1

K ,4 4

και ακτ ίνα ρ=

3

4

142. α) Κύκλος με κέντρο Κ(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=1

2



143. y 2 =-2x , εστ ία Ε1

,02

και δ ιευθετούσα δ :1

x2

.

144. Κύκλος με κέντρο 7

K ,22

και ακτ ίνα ρ=3

2.

145. C : (x-3 ) 2 + (y+1) 2 = 16 , ε : y = 3 .

146. C :

22x

y 125

147. 24 6

z i5 5

148. Η έλλε ιψη:

2 2x y1

81 32

149. z 2i z 2i 2 , Η υπερβολή

22 x

y 13

, y -1 .

150. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,3) και ακτ ίνα ρ= 5 .

151. α) Ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(α ,0) και ακτ ίνα ρ=1.

β) α=2.

152.

α) Κύκλος με κέντρο 1

K ,12

και ακτ ίνα ρ= 5 .

β) max{|z| } = 3 5

2 και min{|z|} =

5

2.

153. |z|=3 …..



154. α) Κύκλος με κέντρο

1 3K ,

2 2

και ακτ ίνα ρ=3 .

β) Κύκλος με κέντρο Κ( -3,0) και ακτίνα ρ=2 .

155.

α) Κύκλος με κέντρο 2 4

K ,5 5

και ακτ ίνα ρ=2 10

5.

β) Η ευθε ία ε : x-y-4=0.

γ) min{ |z – w|}=11 2 2 10

5

.

156. α) Η έλλε ιψη:

2 2x y1

16 25 .

β) min {|z 1- z 2|}=10 , max{|z 1 - z 2|}=8.

158. α) Η υπερβολή

2 2y x1

9 7 με y -3 .

β) z=-3 i .

159. Κύκλος με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ=2….

160. Κύκλος με κέντρο 3 4

K ,5 5

και ακτ ίνα ρ=1.

162. α) c : χ 2 + (y -1) 2 = 1

β) ε : y = -2

163. β) |z|=1 , |w|=1 ….. .

164. α)

2 2x yc: 1

3 4 .

β) max{|w 1 – w 2 |}=2α=4

165. y=2x 2 – 1 .



166. α) Ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ( -2,0 ) και ακτ ίνα ρ= 3 .

167.

α) C 1 :

2 2x y1

4 3 .

β) 7 3

z 15 i4 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015

Education

Transcript of ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2014 2015