?p?st????t??? d?das?a??a ???? S? e??se?? ?e???a? ?a? as??s ) · 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ...

70

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισmicroός τριγωνοmicroετρικών αριθmicroών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

71

Σχέσεις microεταξύ τριγωνοmicroετρικών αριθmicroών

72

Εφαρmicroογές

73

74

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 Ένα αεροπλάνο απογειώνεται και αφήνει το έδαφος microε γωνία 10ο Αφού διανύσει

1000m αρχίζει να ανυψώνεται microε γωνία 20ο ως προς το έδαφος Να βρείτε σε τι ύψος θα πετάει όταν θα έχει διανύσει 2km από τη στιγmicroή της απογείωσης (∆ίνεται ηmicro10ο=0174 ηmicro20ο=0342)

6 Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το microήκος της πλευράς x

77



9 Στο διπλανό ρόmicroβο ΑΒΓ∆ οι διαγώνιες έχουν microήκη (ΑΓ)=16 m και (Β∆)=12 m Να υπολογιστεί η περίmicroετρος του ρόmicroβου

9 Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ τα microήκη των πλευρών είναι (ΑΒ)=(Γ∆)=5 cm (Α∆)= 13 cm και (ΒΓ)= 7 cm Να υπολογιστεί το microήκος του ύψους x


78

11 Στο διπλανό σχήmicroα να υπολογιστεί το microήκος του ύψους x 12 Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογιστεί το microήκος της πλευράς x

12 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓ∆ να υπολογιστεί το microήκος της microεγάλης βάσης ΒΓ

79

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ

Μέγεθος ονοmicroάζουmicroε οτιδήποτε microπορεί να microετρηθεί Γνωστά microεγέθη είναι το microήκος η επιφάνεια ο όγκος το βάρος ο χρόνος η θερmicroοκρασία κά Μέτρηση ενός microεγέθους είναι η σύγκρισή του microε ένα άλλο οmicroοειδές microέγεθος το οποίο θεωρούmicroε ως microονάδα

Πίνακας microονάδων βασικών microεγεθών

Μονάδες

microήκους

Βασική microονάδα microέτρησης του microήκους είναι το microέτρο (m) Τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις του microέτρου είναι α) πολλαπλάσια i) δεκάmicroετρο (dam) 1dam=10m ii) εκατόmicroετρο (hm) 1hm=100m iii) χιλιόmicroετρο (km) 1km=1000m β) υποδιαιρέσεις i) δεκατόmicroετρο ή παλάmicroη (dm) 1m=10dm ii) εκατοστόmicroετρο ή πόντος (cm) 1m=100cm iii) χιλιοστόmicroετρο ή χιλιοστό (mm) 1m=1000mm Άλλες microονάδες microέτρησης microήκους είναι i) η γυάρδα (yrd) Η γυάρδα υποδιαιρείται σε 3 πόδια (ft) και το κάθε πόδι 12 σε ίντσες (in) 1yrd=3ft=36in Επίσης η σχέση microεταξύ του microέτρου και της γυάρδας είναι 1yrd=09144m=9144cm ii) το microίλι (χρησιmicroοποιείται για microεγάλες αποστάσεις) 1microίλι=1609m=1609km Στη ναυτιλία χρησιmicroοποιείται το ναυτικό microίλι 1ναυτικό microίλι=1852m=1852km

Μονάδες

Εmicroβαδού

Βασική microονάδα microέτρησης του εmicroβαδού είναι το τετραγωνικό microέτρο (m2) Τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού microέτρου είναι α) πολλαπλάσια i)τετραγωνικό δεκάmicroετρο (dam2) 1dam2=100m2 ii) τετραγωνικό εκατόmicroετρο (hm2) 1hm2=10000m2 iii) τετραγωνικό χιλιόmicroετρο (km2) 1km2=1000000m2

ένα ακόmicroη πολλαπλάσιο που χρησιmicroοποιείται για microεγάλες εκτάσεις είναι το στρέmicromicroα 1 στρέmicromicroα=1000m2 β) υποδιαιρέσεις i)τετραγωνικό δεκατόmicroετρο ή τετραγωνική παλάmicroη (dm2) 1m2=100dm2

ii) τετραγωνικό εκατοστόmicroετρο ή τετραγωνικός πόντος (cm2) 1m2=10000cm2

iii) τετραγωνικό χιλιοστόmicroετρο ή τετραγωνικό χιλιοστό (mm2) 1m2=1000000mm2

80

Μονάδες

Όγκου

Βασική microονάδα microέτρησης του όγκου είναι το κυβικό microέτρο (m3) Οι υποδιαιρέσεις του κυβικού microέτρου είναι i) κυβικό δεκατόmicroετρο ή κυβική παλάmicroη (dm3) 1m3=1000dm3

ii) κυβικό εκατοστόmicroετρο ή κυβικός πόντος (cm3) 1m3=1000000cm3

iii) κυβικό χιλιοστόmicroετρο ή κυβικό χιλιοστό (mm3) 1m3=1000000000mm3

Για να εκφράσουmicroε τον όγκο υγρών συνήθως χρησιmicroοποιούmicroε το λίτρο (l) το οποίο είναι 1dm3 Εποmicroένως το 1cm3 είναι το χιλιοστόλιτρο (ml)

1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας

Βασική microονάδα microέτρησης της microάζας (στην καθηmicroερινότητα συχνά

χρησιmicroοποιούmicroε αντί του όρου laquomicroάζαraquo το όρος laquoβάροςraquo) είναι το χιλιόγραmicromicroο ή κιλό (kg) Πολλαπλάσιο του κιλού είναι ο τόνος (tn) 1tn=1000kg Υποδιαιρέσεις του κιλού είναι i) το γραmicromicroάριο (g) 1kg=1000g ii) το χιλιοστογραmicromicroάριο (mg-microιλιγκράmicro) 1kg=1000000mg

Μονάδες

Χρόνου

Βασική microονάδα microέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s) Άλλες microονάδες είναι i) το λεπτό (min) 1min=60s ii) η ώρα (h) 1h=60min Άρα έχουmicroε 1h=60min=3600s

81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Να συmicroπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες α) 23 45m=helliphelliphellip dm = helliphelliphelliphellip cm =helliphelliphelliphelliphellipmm

β) 567cm =helliphelliphelliphellipdm =helliphelliphelliphelliphellip m=helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipmm

γ) 375 km = helliphelliphelliphelliphellip m =helliphelliphelliphelliphellipcm =helliphelliphelliphelliphelliphellipmm

δ) 76234mm = cm =dm =m

2 Τα παρακάτω microήκη να γραφτούν σε αύξουσα σειρά α) 004765km 0432m 4321646cm 562375032mm β) 57643mm 542dm 053282m 5739cm 005637km

3 α) Να βρείτε σε m την πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου το οποίο έχει περίmicroετρο 165cm β) Να βρείτε την περίmicroετρο σε mm ενός ισοσκελούς τριγώνου του οποίου η βάση έχει microήκος 0034m και η καθεmicroία από τις ίσες πλευρές του έχει microήκος διπλάσιο από το microήκος της βάσης 4 Ένα αεροπλάνο πετάει σε ύψος 2800 ft και ένα άλλο σε ύψος 980m Ποιο από τα δύο αεροπλάνα πετάει ψηλότερα 5 Η απόσταση από το λιmicroάνι του Πειραιά microέχρι το λιmicroάνι της Σούδας είναι περίπου 165 ναυτικά microίλια Πόσα χιλιόmicroετρα είναι η απόσταση αυτή Κάνετε σύγκριση microε την απόσταση Αθήνα ndash Λάρισα 6 Η διάmicroετρος ενός σωλήνα (α) είναι 15 in και ενός άλλου σωλήνα (β) είναι 35cm Ποιος σωλήνας έχει microεγαλύτερη διάmicroετρο 7 Πόσα cm είναι η διαγώνιος της οθόνης ενός υπολογιστή όταν λέmicroε ότι είναι 32 in 8 Να συmicroπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες α) 62m2 =helliphelliphelliphelliphellip dm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipcm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipmm2 β) 0049km2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipστρέmicromicroατα γ) 25476mm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipcm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipdm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm2 δ) 435στρέmicromicroατα =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm2 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipdm2 9 Η Νάξος έχει έκταση 428000 στρέmicromicroατα ενώ η Σάmicroος 476km2 Ποιο από τα δύο νησιά είναι microεγαλύτερο σε έκταση 10 Ένα κτήmicroα έχει 300 ελιές φυτεmicroένες Αν στα 220 m2 υπάρχουν 8 ελιές πόσα στρέmicromicroατα είναι το κτήmicroα 11 Να συmicroπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες α) 25m3 =helliphelliphelliphelliphellip dm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipcm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipmm3

82

β) 00037km3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip l γ) 2547632mm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipcm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipdm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm3 δ) 4523 l =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipm3 =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipdm3 12 Ένα βαρέλι περιέχει 150 l λάδι Θέλουmicroε να το συσκευάσουmicroε σε δοχεία χωρητικότητας 750 ml Πόσα περίπου δοχεία θα χρειαστούmicroε 13 Ένα αυτοκίνητο στα 100 km καταναλώνει 8 λίτρα (l) βενζίνης Αν το ρεζερβουάρ χωράει 42 λίτρα και η τιmicroή της βενζίνης είναι 15 euro το λίτρο πόσα euro θα δώσει για να το γεmicroίσει και πόσα χιλιόmicroετρα microπορεί να ταξιδέψει 14 Να συmicroπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες α) 2456kg =helliphelliphelliphelliphellipg =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip mg β) 29047 mg =helliphelliphelliphelliphelliphellip g =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip kg γ) 034 t =helliphelliphelliphelliphelliphelliphellipkg =helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipg 15 Ζυγίζουmicroε ένα κουτί που περιέχει 20 ίδια πακέτα και το βάρος του είναι 3kg Αν το απόβαρο του κουτιού είναι 350g να υπολογίσετε το βάρος του κάθε πακέτου 16 Το βιβλίο της Γεωmicroετρίας ζυγίζει 0750 kg της Άλγεβρας είναι κατά 350 g ελαφρύτερο ενώ της Φυσικής είναι κατά 50 g βαρύτερο Ποιο είναι το βάρος microιας σχολικής τσάντας που περιέχει τα παραπάνω βιβλία και 4 τετράδια βάρους 60 g το καθένα αν όταν είναι άδεια αυτή ζυγίζει 14 kg 17 α) Να βρείτε πόσα λεπτά (min) και πόσα δευτερόλεπτα (s) έχει microία microέρα (το εικοσιτετράωρο) β) Να βρείτε την ηλικία σας σε έτη σε microήνες σε microέρες (1 έτος=365 microέρες) 18 Να τοποθετήσετε σε φθίνουσα σειρά τους παρακάτω χρόνους

15 h 150 min 240000 s 12 h

19 Πόσα χρόνια πέρασαν από τη microάχη του Μαραθώνα που έγινε το 490 πχ 20 Ένα ξεκινά στις 915 πmicro από την Αθήνα και φθάνει στη Θεσσαλονίκη 235 micromicro Πόση ήταν η διάρκεια του ταξιδιού 21 Μετατρέψτε α) γωνία 5328ο (microοίρες) σε πρώτα λεπτά (΄) β) γωνία 2765΄ (πρώτα λεπτά) σε microοίρες

83

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-ΤΡΑΠΕΖΙΑ

84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1 Χαρακτηρίστε την κάθε microία από τις παρακάτω φράσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) α Ένα παραλληλόγραmicromicroο είναι ρόmicroβος (Σ) (Λ) β Ένας ρόmicroβος είναι παραλληλόγραmicromicroο (Σ) (Λ) γ Ένα τετράγωνο είναι και ρόmicroβος (Σ) (Λ) δ Η διαγώνιος του ορθογωνίου χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα (Σ) (Λ) ε Η διαγώνιος του τετραγώνου το χωρίζει σε δύο ισοσκελή τρίγωνα (Σ) (Λ)

87

2 Τι είδους τετράπλευρα microπορούν να κατασκευαστούν και microε τις τέσσερεις ίσες ράβδους της διπλανής εικόνας (∆ικαιολογείστε την απάντηση) 3 Τι είδους τετράπλευρα microπορούν να κατασκευαστούν και microε τις τέσσερεις ίσες ράβδους της διπλανής εικόνας (∆ικαιολογείστε την απάντηση)

4 Εξηγείστε γιατί το διπλανό τετράγωνο είναι παραλληλόγραmicromicroο Τι παρατηρείτε για τις διπλανές (προσκείmicroενες) γωνίες 5 Κάποιο από τα παρακάτω τετράπλευρα δεν ανήκει στην ίδια κατηγορία microε όλα τα υπόλοιπα Εξηγείστε το γιατί

88

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ∆ύο τροχοί microε ίσες ακτίνες συνδέονται microε ένα διωστήρα που έχει microήκος ίσο microε την απόσταση των αξόνων των δύο τροχών Να δικαιολογήσετε γιατί ο διωστήρας είναι πάντοτε παράλληλος προς την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των τροχών

2 Αν σε ένα παραλληλόγραmicromicroο microία γωνία του είναι ορθή να δικαιολογήσετε γιατί το παραλληλόγραmicromicroο αυτό πρέπει να είναι ορθογώνιο

3 Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραmicromicroο να υπολογιστεί το microήκος της πλευράς x και το microέτρο των γωνιών ω και φ 4 Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι ορθογώνιο να υπολογιστούν τα microήκη των ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων x y και z καθώς και το microέτρο των γωνιών ω φ και θ

5 Αν το διπλανό τετράπλευρο είναι τετράγωνο να υπολογιστούν τα microήκη των ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων x y z w u και τ καθώς και το microέτρο των γωνιών ω φ και θ

89

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ-ΚΛΙΜΑΚΑ

Όταν η φωτογραφία ενός προσώπου microεγεθύνεται ή σmicroικρύνεται το πρόσωπο παραmicroένει το ίδιο Αυτό συmicroβαίνει γιατί οι σχέσεις όλων το microεγεθών στο σχήmicroα παραmicroένουν αναλλοίωτες Για παράδειγmicroα στο διπλανό σχήmicroα το πλάτος της microύτης α προς το πλάτος α΄ της σmicroίκρυνσης είναι το ίδιο microε το πλάτος του προσώπου β προς το πλάτος β΄

α β

α΄ β΄=

Τέτοιες σχέσεις ισχύουν για όλα τα microήκη των επιmicroέρους στοιχείων των δύο σχηmicroάτων Τα σχήmicroατα αυτά ονοmicroάζονται όmicroοια Όταν τα σχήmicroατα είναι πολύγωνα έχουmicroε ειδικότερα

90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94

ΕΜΒΑ∆Ο ΣΧΗΜΑΤΟΣ

Γνωρίζουmicroε ότι για να microετρήσουmicroε το microήκος ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος Γ∆ το συγκρίνουmicroε microε ένα σταθερό ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ που το δεχόmicroαστε ως microονάδα microέτρησης Ο θετικός αριθmicroός που προκύπτει από αυτήν τη microέτρηση λέγεται microήκος του ευθύγραmicromicroου τmicroήmicroατος Γ∆

Το ίδιο κάνουmicroε για να microετρήσουmicroε microια επιφάνεια Αυτή τη φορά βέβαια χρησιmicroοποιούmicroε ως microονάδα microέτρησης ένα τετράγωνο microε πλευρά ίση microε τη microονάδα

Ο θετικός αριθmicroός που φανερώνει πόσες φορές το microοναδιαίο τετράγωνο χωράει microέσα στην επιφάνεια που microετράmicroε λέγεται εmicroβαδό της επιφάνειας ή microέτρο της επιφάνειας

Είναι φανερό ότι οι επιφάνειες δύο ίσων σχηmicroάτων έχουν το ίδιο εmicroβαδό Το αντίστροφο δεν ισχύει ∆ηλαδή υπάρχουν και επιφάνειες διαφορετικών σχηmicroάτων που όmicroως έχουν το ίδιο εmicroβαδό

Για παράδειγmicroα το διπλανό ορθογώνιο έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τετράγωνο αν και είναι διαφορετικά σχήmicroατα

Τις επιφάνειες των σχηmicroάτων που έχουν το ίδιο εmicroβαδό τις ονοmicroάζουmicroε ισεmicroβαδικές ή ισοδύναmicroες

Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β

microοναδιαίο

Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95

Ένας τρόπος για να microετρήσουmicroε την επιφάνεια ενός σχήmicroατος (εmicroβαδοmicroέτρηση) είναι να το χωρίσουmicroε σε γνωστά σχήmicroατα (ορθογώνια τραπέζια τρίγωνα κλπ) Έπειτα γνωρίζοντας τους τύπους για τα εmicroβαδά αυτών των γνωστών σχηmicroάτων microπορούmicroε να υπολογίσουmicroε συνολικά το εmicroβαδό της επιφάνειας που microας ενδιαφέρει

Για παράδειγmicroα το σχήmicroα Ι microπορεί να χωριστεί σε γνωστά σχήmicroατα δηλαδή στο ορθογώνιο παραλληλόγραmicromicroο (α) στα ορθογώνια τρίγωνα (β) και (δ) και στο ορθογώνιο τραπέζιο (γ)

Το σχήmicroα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σηmicroεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο

Τα εmicroβαδά των πολυγωνικών χωρίων έχουν τις εξής ιδιότητες

α) Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά

β) Αν microια πολυγωνική επιφάνεια χωρίζεται σε πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία το εmicroβαδό της ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των πολυγωνικών χωρίων Έτσι στο σχήmicroα Ι παραπάνω έχουmicroε

ΕΑΒΓ∆Ε = Εα+Εβ+Εγ+Εδ

γ) Αν microια πολυγωνική επιφάνεια περιέχεται σε microια άλλη πολυγωνική επιφάνεια το εmicroβαδό της είναι microικρότερο από αυτής που την περιέχει

Εmicroβαδά βασικών σχηmicroάτων 1 Εmicroβαδό τετραγώνου

Το εmicroβαδό ενός τετραγώνου είναι όσο το τετράγωνο της πλευράς του

∆ηλαδή αν η πλευρά έχει microήκος α microέτρα τότε το τετράγωνο έχει εmicroβαδό

2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β

Πολυγωνικά χωρία

Ε= α2 m2

96

2 Εmicroβαδό ορθογωνίου παραλληλογράmicromicroου

Η microεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου λέγεται συνήθως microήκος η microικρότερη πλάτος και οι δύο microαζί διαστάσεις του ορθογώνιου

Το εmicroβαδό του ορθογωνίου παραλληλόγραmicromicroου είναι ίσο microε το microήκος επί το πλάτος του

∆ηλαδή αν οι διαστάσεις του έχουν microήκος α microέτρα και β microέτρα τότε το ορθογώνιο έχει εmicroβαδό

3 Εmicroβαδό Τριγώνου

Ύψος ενός τριγώνου ονοmicroάζεται η απόσταση microιας κορυφής από την απέναντι πλευρά δηλαδή το microήκος του κάθετου ευθύγραmicromicroου τmicroήmicroατος από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά Στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ένα τρίγωνο microε τα τρία ύψη που το καθένα αντιστοιχεί σε κάθε microία πλευρά

Tο εmicroβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο της microιας πλευράς επί το ύψος που αντιστοιχεί σrsquo αυτήν

∆ηλαδή αν microία πλευρά του τριγώνου έχει microήκος β microέτρα και το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος έχει microήκος υ microέτρα το εmicroβαδό του τριγώνου είναι

Στην ειδική περίπτωση που το τρίγωνο είναι ορθογώνιο η κάθετη πλευρά του είναι το ύψος προς την άλλη πλευρά οπότε το εmicroβαδόν του προκύπτει ως το ηmicroιγινόmicroενο των δύο κάθετων πλευρών

Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97

Στην πράξη είναι ίσως δύσκολο να φέρουmicroε σωστά το ύψος σε ένα τρίγωνο Γιrsquo αυτό χρησιmicroοποιούmicroε έναν άλλο τύπο για το εmicroβαδό του τριγώνου που χρειάζεται microόνο τις πλευρές του Επιγράφεται τύπος Ήρωνα και είναι ο ακόλουθος

( )( )( )γτβτττ minusminusminus=ΑΒΓ aE

όπου τ είναι η ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου δηλαδή ( )2

1γβ ++= aτ

Παράδειγmicroα Στο διπλανό τρίγωνο έχουmicroε α = 7m β = 5m και γ = 6m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

Λύση

Έχουmicroε ( ) ( )6572

1

2

1++=++= γβaτ =9

Άρα ( )( )( )6959799 minusminusminus=E = 216 asymp147m2

4 Εmicroβαδό (πλάγιου) παραλληλογράmicromicroου

Το εmicroβαδό κάθε πλάγιου παραλληλόγραmicromicroου είναι ίσο microε το γινόmicroενο microιάς πλευράς του επί το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος

∆ηλαδή αν το microήκος microιας πλευράς του παραλληλογράmicromicroου είναι β microέτρα και το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος είναι υ microέτρα το εmicroβαδόν του είναι

4α Εmicroβαδό ρόmicroβου

Στην ειδική περίπτωση που το παραλληλόγραmicromicroο είναι ρόmicroβος microε microήκη διαγωνίων δ1 και δ2 microέτρα το εmicroβαδό του δίνεται από τον τύπο

Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98

5 Εmicroβαδό τραπεζίου

Όπως γνωρίζουmicroε τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες Στο διπλανό τραπέζιο οι παράλληλες πλευρές είναι οι ΚΛ ΝΜ Η πλευρά ΚΛ λέγεται και microεγάλη βάση ενώ η πλευρά ΜΝ λέγεται microικρή βάση Η απόσταση microεταξύ των βάσεων είναι το ύψος του τραπεζίου

Το εmicroβαδό τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων επί το ύψος

∆ηλαδή αν το microήκος της microικρής βάσης είναι β microέτρα της microεγάλης βάσης Β microέτρα και το ύψος είναι υ microέτρα το εmicroβαδόν του είναι

6 Εmicroβαδό κύκλου

Το εmicroβαδό του κύκλου δίνεται από τον τύπο

όπου π το γνωστό πηλίκο microήκους προς διάmicroετρο (asymp 314hellip) και R η ακτίνα του

6 Εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα

Το εmicroβαδό του κυκλικού τοmicroέα δίνεται από τον τύπο

όπου π το γνωστό πηλίκο microήκους προς διάmicroετρο (asymp 314hellip) R η ακτίνα του και micro η επίκεντρη γωνία σε microοίρες

Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99

Λόγος εmicroβαδών όmicroοιων σχηmicroάτων

bull Ας πάρουmicroε δύο τετράγωνα ΑΒΓ∆ και ΑprimeΒprimeΓprime∆prime microε πλευρές α και β αντιστοίχως Ο λόγος οmicroοιότητας των τετραγώνων είναι

λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β

Τα εmicroβαδά τους είναι Ε1=α2 και Ε2=β2 αντίστοιχα Ο λόγος των εmicroβαδών τους είναι

2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==

∆ηλαδή ο λόγος των εmicroβαδών δύο τετραγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου της οmicroοιότητάς τους

bull Ας πάρουmicroε δύο όmicroοια ορθογώνια ΑΒΓ∆ και ΑprimeΒprimeΓprime∆prime microε πλευρές α β και αprimeβprime

αντιστοίχως Ο λόγος οmicroοιότητας των ορθογωνίων είναι λβ

β=

prime=

primeα

α

Τα εmicroβαδά τους είναι Ε1 = αsdotβ και Ε2 = αprimesdotβprime

Ο λόγος των εmicroβαδών τους είναι 2

2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =

primesdotprimeprimesdotprime

sdot=

∆ηλαδή ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων ορθογωνίων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου οmicroοιότητας Η ιδιότητα αυτή που αποδείξαmicroε για τα τετράγωνα και τα όmicroοια ορθογώνια τρίγωνα ισχύει γενικά για όλα τα όmicroοια σχήmicroατα

∆ηλαδή

Ο λόγος των εmicroβαδών δύο οmicroοίων σχηmicroάτων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου της οmicroοιότητάς τους

A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 Βρείτε το εmicroβαδόν τετραγώνου microε περίmicroετρο 8m

2 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 5m και microία κάθετη πλευρά 4m Πόσο είναι το εmicroβαδόν του

3 Οι πλευρές ενός τετραγώνου microειώνονται κατά 20 Είναι δυνατόν να microειωθεί το εmicroβαδόν του κατά 30 36 ή 40 Είναι δυνατόν να εκτιmicroήσουmicroε το microήκος της πλευράς ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας

4 Αν σε ένα τρίγωνο microας δώσουν την περίmicroετρο και δύο πλευρές του microπορούmicroε να υπολογίσουmicroε το εmicroβαδό του

5 Σε ένα τρίγωνο έχουmicroε α=3m β=2m και Γ=30ο Πόσο είναι το εmicroβαδόν του

6 Αν διπλασιάσω τις πλευρές ενός τετραγώνου πόσο αυξάνεται το εmicroβαδό του

7 ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια Αν έχουν ίσες τις υποτείνουσές τους είναι και microεταξύ τους ίσα

8 Να βρείτε ένα τρόπο για να χωρίσουmicroε ένα τρίγωνο σε τρία ίσεmicroβαδικά microέρη Πως θα το χωρίσουmicroε σε τέσσερα ίσεmicroβαδικά microέρη

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Βρείτε το εmicroβαδό τετραγώνου microε πλευρά 35in ∆ώστε το αποτέλεσmicroα σε cm2

2 Το εmicroβαδό ενός τετραγώνου είναι 25m2 Πόσο θα γίνει το εmicroβαδό του αν ελαττώσουmicroε το microήκος της πλευράς κατά 2m

101

3 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραmicromicroο έχει εmicroβαδό 100m2 Το microήκος του είναι 20m Πόσα microέτρα είναι το πλάτος του

4 Πόσο είναι το εmicroβαδό πλάγιου παραλληλόγραmicromicroου microε microήκος 35m και ύψος 3dm

5 Να υπολογίσετε το ύψος πλάγιου παραλληλογράmicromicroου microε εmicroβαδόν 10m2 και ύψος 16dm

6 Το εmicroβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράmicromicroου είναι 100m2 Αυξάνουmicroε microία από τις πλευρές του κατά 10 Πόσο είναι το νέο εmicroβαδό

7 Ένας συνεταιρισmicroός αγόρασε microια έκταση 35466 στρεmicro προς 650euro το στρέmicromicroα Η έκταση χωρίστηκε σε οικόπεδα microε δρόmicroους και κοινόχρηστους χώρους συνολικής επιφάνειας 632στρ που η κατασκευή τους κόστισε 22500euro Πόσο πρέπει να πωληθεί το m2 κάθε οικόπεδου ώστε ο συνεταιρισmicroός να έχει όφελος 300000euro

8 Οι πλευρές ενός τετραγώνου αυξάνονται κατά 3m και το εmicroβαδό του διπλασιάζεται Πόσο ήταν το microήκος της πλευράς αρχικά

9 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραmicromicroο έχει περίmicroετρο 20m Το εmicroβαδό του είναι 24m2 Ποιες είναι οι διαστάσεις του

10 Αν αυξηθεί το microήκος ενός ορθογώνιου παραλληλογράmicromicroου κατά 3m τότε το εmicroβαδό του αυξάνεται κατά 9m2 Αν αυξηθεί το πλάτος του κατά 3m τότε το εmicroβαδό αυξάνεται κατά 12m2 Ποιες είναι οι διαστάσεις του

11 Αυξάνουmicroε το microήκος και το πλάτος ενός ορθογώνιου παραλληλογράmicromicroου κατά 1m Τότε το εmicroβαδό του αυξάνεται κατά 21m2 Πόση είναι η περίmicroετρός του

12 Οι διαγώνιες ενός ορθογώνιου παραλληλογράmicromicroου σχηmicroατίζουν γωνία 120ο και το microήκος κάθε microιας είναι 12cm Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του

13 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 13m και περίmicroετρο 30m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

14 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει τη microια κάθετη πλευρά 4m και περίmicroετρο 12m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

15 Βρείτε το εmicroβαδό του γραmicromicroοσκιασmicroένου τmicroήmicroατος στο διπλανό σχήmicroα

∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102

16 Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 10m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

17 Ένα τρίγωνο έχει πλευρές microε microήκη 7m 45m και 52m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

18 Πόσο είναι το εmicroβαδό του διπλανού σχήmicroατος ΑΒΓ∆Ε Οι αριθmicroοί παριστάνουν τα microήκη των αντίστοιχων ευθύγραmicromicroων τmicroηmicroάτων σε microέτρα

19 Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίmicroετρο 30m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

20 Να αποδείξετε ότι κάθε διάmicroεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύναmicroα τρίγωνα

21 Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι δύο microη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες και έχουν microήκος 5m Όταν οι βάσεις του είναι 15m και 9m πόσο είναι το εmicroβαδόν του

22 Το εmicroβαδό ενός τραπεζίου είναι 100m2 Το ύψος του είναι 10m και η microία βάση του 20m Πόση είναι η άλλη βάση του

23 Έστω ένα ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ microε Α=1 Αν ΑΒ=4m Γ∆=2m και η διαγώνιος Β∆=5m πόσο είναι το εmicroβαδό του

24 Η διαγώνιος σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραmicromicroο είναι 20m και το εmicroβαδό του 200m Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του

25 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η microία κάθετη πλευρά είναι 10m και το ύψος προς την υποτείνουσα είναι 8m Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του

26 Η microεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι διπλάσια από την microικρή βάση Το ύψος είναι το microισό της microικρής βάσης Αν το εmicroβαδόν του τραπεζίου είναι 12m2 να υπολογίσετε τις βάσεις και το ύψος του

27 Σε ένα ρόmicroβο η γωνία Α=60ο και η πλευρά ΑΒ=3dm Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του

28 Σε ένα τρίγωνο έχουmicroε γωνίες Α=30ο και Β=45ο Η πλευρά γ που βρίσκεται απέναντι από την γωνία Γ είναι 10m Να υπολογίσετε τα microήκη α β

29 Ένα τρίγωνο έχει εmicroβαδό 5m2 Αν οι πλευρές α=5m και β=4m πόση είναι η γωνία Γ

4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103

30 Ένας τοπογράφος microετρά ένα τετράπλευρο οικόπεδο ΑΒΓ∆ και βρίσκει ΑΒ=63m ΒΓ=61m ΓΑ=84m Α∆=60m ∆Γ=62m Πόσο είναι το εmicroβαδό του

31 Αυξάνουmicroε τη πλευρά ενός τετραγώνου κατά 10 Πόσο αυξάνεται το εmicroβαδό του

32 Μειώνουmicroε την πλευρά ενός τετραγώνου κατά 25 Πόσο microειώνεται το εmicroβαδό του

33 Η πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου διπλασιάζεται Πόσο αυξάνεται το εmicroβαδό του

34 Το διπλανό σχήmicroα παριστάνει την κάτοψη ενός οικοπέδου σε κλίmicroακα 100001 Υπολογίστε το εmicroβαδό του

35 Το διπλανό σχήmicroα παριστάνει την κάτοψη ενός οικοπέδου σε κλίmicroακα 30001 Αν οι αριθmicroοί υποδηλώνουν mm πόσο είναι το εmicroβαδό του

36 Η διχοτόmicroος ενός ισόπλευρου τριγώνου διπλασιάζεται Πόσο αυξάνεται το εmicroβαδό του

37 Η διάmicroεσος ενός ισοπλεύρου τριγώνου διπλασιάζεται Πόσο αυξάνεται το εmicroβαδό του

38 Προεκτείνουmicroε την διαγώνιο ΑΓ του διπλανού ορθογώνιου παραλληλόγραmicromicroου στο διπλάσιο έτσι ώστε ΑΓ=ΓΓ΄ Πόσο αυξάνεται τότε το εmicroβαδό του

39 Ένας πατέρας έχει ένα τριγωνικό οικόπεδο και θέλει να το microοιράσει στους δύο γιους του Πως θα επιτύχει δίκαιo microοίρασmicroα

6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104

OΓΚΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ

105

Όγκοι βασικών σχηmicroάτων

1 Όγκος κύβου

2 Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

3 Όγκος πρίσmicroατος

ή πιο σύντοmicroα

4 Όγκος πυραmicroίδας


V = 3α m3

V = sdot sdotα β γ m3

V sdot= β υΕ m3

V= Emicroβαδό βάσης middot ύψος

V= 1

3 Emicroβαδό βάσης middot ύψος

V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106

5 Όγκος κυλίνδρου

ή αφού η βάση είναι κύκλος

6 Όγκος κώνου


7 Όγκος σφαίρας


V sdot= sdot 2 υπ R m3

V= 1


V sdot sdot= sdot 21υ

3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

108

71

Σχέσεις microεταξύ τριγωνοmicroετρικών αριθmicroών

72


73

74

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

72


73

74

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

73

74

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

74

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

75

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

76

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

77






78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

78



79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

79




Μονάδες

microήκους


Μονάδες

Εmicroβαδού





80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

80

Μονάδες

Όγκου





1l =1dm3=1000cm3=1000ml

Μονάδες

Μάζας



Μονάδες

Χρόνου


81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

81

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ




δ) 76234mm = cm =dm =m



82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

82


15 h 150 min 240000 s 12 h


83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

83


84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

84

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

85

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

86

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ



87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

87



88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

88





89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

89



α β

α΄ β΄=


90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

90

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

91

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

92

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

93

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

94








Α Β

∆ Γ

Ζ

Α

Β


Ε

∆ Γ

6m

9m

4m

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

95












2

1

Ε2gtΕ1

σχ Ι

Β Γ

∆

Ε Α

α

γ

δ

β


Ε= α2 m2

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

96










Ε= αmiddotβ m2

Ε= 1

2βmiddotυ m2

Ε= 1

2βmiddotγ m2

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

97




1γβ ++= aτ


Λύση


1

2

1++=++= γβaτ =9







Β Α γ

β α

Γ

Ε= βmiddotυ m2

Ε= δ1middotδ2 m2

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

98











Ν

Λ K Β

Μ β

υ υ

Ε = sdotB + βυ

2 m2

Ε= πmiddot R2 m2

sdotsdotΕ =

2 microπ R

360 m2

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

99



λ=prime prime

=ΑΒ α

Α Β β


2

2

2

2

2

1

β

α

β

α

E

Eλ=

==




β=

prime=

primeα

α



2

1

β

β

α

α

βα

βα

E

Eλλλ =sdot= =


sdot=


∆ηλαδή


A prime B prime

Γ prime ∆ prime

45 ο

Β 45 ο

Γ ∆

Α

α

β

=

=

αλ

α΄

2

21

2

Ε

Ε

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

100









ΑΣΚΗΣΕΙΣ



101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

101














∆ Γ

Β Α

120ο

4m

2

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

102















4

2

4

2 Α Β

Γ ∆

Ε

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

103











6 c m

4 c m

4 c m

6 c m

4 c m

28

18

203

3 45

32 82

128

Β Β ΄

Γ ΄ ∆ ΄

Α

∆ Γ

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

104


105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

105








V = 3α m3


V sdot= β υΕ m3


V= 1


V sdot sdot= β

1 υ

3Ε

m3

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

106








V= 1



3π R

m3

V sdot= sdot 34

3π R

m3

107


108

107


108

?p?st????t??? d?das?a??a ???? S? e??se?? ?e???a? ?a? as??s ) · 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ...

Documents

Transcript of ?p?st????t??? d?das?a??a ???? S? e??se?? ?e???a? ?a? as??s ) · 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ...