ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

18/11/2011 1ΚΕΦ. 10

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

Μέ ξ ύ έ 2 C A B

sinC AB Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 διανυσμάτων A και B

Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A

η ς ξ ρ γ μ ∆εν είναι αντιμεταθετικό.

Παράλληλα διανύσματα έχουν

/ / 0

A B B A

A B A B

Επιμεριστικό.

A B C A B A C

d dB dAA B A B

Παραγώγιση A B A B

dt dt dt

18/11/2011 2ΚΕΦ. 10

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

Για δεξιόστροφο σύστημα: Για αριστερόστροφο σύστημα :

ˆˆ ˆi j k ˆˆ ˆi j k ˆˆ ˆ

ˆj k i ˆˆ ˆ

ˆj k i

ˆ ˆ ˆk i j ˆ ˆ ˆk i j

18/11/2011 3ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗ Εφαρμογή δύναμης σε σώμα του δίνει επιτάχυνση. Τι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση σε σώμα; ∆ύναμη πάλι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση. ∆ύναμη πάλι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση.

Η ροπή της δύναμης είναι το αίτιο της γωνιακής επιτάχυνσης και συνεπώς της περιστροφικής κίνησης.

Πότε Μια δύναμη προκαλεί και ροπή;

Αυτό το σώμα είναι στερεωμένο έτσι μ ρ μώστε να μπορεί να περιστραφεί περί άξονα O, στο επίπεδο. Ενεργούν 3 δυνάμεις. Η δυνατότητα καθεμιάς να προκαλέσει περιστροφή εξαρτάται από προκαλέσει περιστροφή εξαρτάται από το μέτρο της και από την απόσταση (μοχλοβραχίονας) του φορέα της από το σημείο O.το σημείο O.

18/11/2011 4ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗ Η Ροπή είναι διανυσματική ποσότητα Το μέτρο της ροπής που Η Ροπή είναι διανυσματική ποσότητα. Το μέτρο της ροπής που

προκαλείται από μια δύναμη ορίζεται από:

rFrFFl sin

Όπου

rFrFFl tansin

r = απόσταση μεταξύ του σημείου στερέωσης και του σημείου εφαρμογής της δύναμης.l r sin() μοχλοβραχίονας l = r sin() = μοχλοβραχίονας = απόσταση του σημείου στερέωσης από τον φορέα της δύναμης. F = μέτρο της δύναμης. μ ρ ης μης = η γωνία μεταξύ της του r και της δύναμης. Ftan = F sin() = εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης συνιστώσα της δύναμης.

18/11/2011 5ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗΓ ό ό ή ί ή ξ ύ Γενικότερος ορισμός της ροπής απαιτεί τη χρήση του εξωτερικούγινομένου διανυσμάτων. Όταν μια δύναμη εφαρμόζεται σε ένα σημείο με διάνυσμα θέσης r ως προς σημείο O, η ροπή που επάγει η δύναμη αυτή ως προς αυτό το σημείο ορίζεται από:

Fr

δύναμη αυτή ως προς αυτό το σημείο ορίζεται από:

Ιδιότητες της ροπής

Μ άδ ή N Ίδ άδ Μονάδες της ροπής N·m. Ίδια με την μονάδα ενέργειας Joule όμως πάντοτε εκφράζεται ως N·m.

Μπορεί κάποιος να χρησιμοποιεί τη σύμβαση ώστε να θεωρεί ως θετικές τις ροπές που επιφέρουν να θεωρεί ως θετικές τις ροπές που επιφέρουν στροφή αντίθετη προς του δείκτες (δεξιόστροφο) του ρολογιού ενώ αρνητικές εκείνες που επιφέρουν στροφή κατά τους δείκτες ρολογιού.

Η ροπή δύναμης πάντοτε ορίζεται ως προς σημείο.

18/11/2011 6ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Θεωρούμε στερεό σώμα περιστρεφόμενο ως προς άξονα Το στερεό είναι Θεωρούμε στερεό σώμα περιστρεφόμενο ως προς άξονα. Το στερεό είναι

μια συλλογή από επιμέρους σωματίδια σε σταθερές αποστάσεις μεταξύ τους και που όλα φυσικά υπακούουν τον 2ο νόμο του Νεύτωνα.

ή ί ά Άξονας περιστροφής είναι ο Z-άξονας.

m1 είναι η μάζα του σωματιδίου και r1 η απόσταση του από τον άξονα περιστροφής.

Η συνολική δύναμη που ενεργεί στο σωματίδιο μπορεί να αναλυθεί σε 3 συνιστώσες τις: F1,radακτινική, F1 tan εφαπτομενική και την F1z κατά τον α ή, 1,tan εφα ομε ή α η 1z α ά οάξονα περιστροφής.

Οι F1,rad και F1z δεν έχουν ροπή ως προς τον άξονα zz.

Ο 2ος Νόμος για το σωματίδιο είναι:

1 1 1 1 1και επειδήF m a a r 1,tan 1 1,tan 1,tan 1

1,tan 1 1

και επειδή z

z

F m a a rF m r

όπου η γωνιακή επιτάχυνσηz

18/11/2011 7ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑΗ ροπή της F1,tan είναι και η ροπή της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο 1:

Αθροίζοντας για όλα τα σωματίδια που απαρτίζουν το σώμα:

21 1,tan 1 1 1 1z z zF r m r I

2iz i i z i z

i i im r I

zz I 2ος Ν Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση στερεού

Ισχύει για στερεά σώματα! Τα σωματίδια σε μη στερεά δεν έχουν την ίδια Ισχύει για στερεά σώματα! Τα σωματίδια σε μη στερεά δεν έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση π.χ. ρευστό.

z μετράται σε rad/s2

Η συνολική ροπή σε κάθε σωματίδιο οφείλεται στην συνολκή δύναμη που ασκείται σε αυτό, το οποίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων.

18/11/2011 8ΚΕΦ. 10

ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ

Από τον 3ο Νόμο του Νεύτωνα, οι εσωτερικές δυνάμεις μεταξύ των εσωτερικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων του στερεού είναι ίσες και αντίθετες. Ενεργούν δε κατά ή ή ώ μήκος της γραμμής που ενώνει τα σωματίδια, άρα έχουν τον ίδιο φορέα, οι αποστάσεις από τον άξ ή ί ίδ άξονα περιστροφής είναι ίδιες, οπότε οι ροπές κάθε τέτοιου ζεύγους είναι ίσες και αντίθετες.

ΜΟΝΟ εξωτερικές ροπές (ροπές εξωτερικών δυνάμεων καθορίζουν την περιστροφή στερεού!

18/11/2011 9ΚΕΦ. 10

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ

Επέκταση σε συνδυασμένη κίνηση μεταφορικήκαι περιστροφική. Ο άξονας περιστροφής κινείται κινείται.

Κάθε δυνατή κίνηση στερεού μπορεί να παρασταθεί ως συνδυασμός μεταφορικής κίνησης του CM και περιστροφικής κίνησης ως κίνησης του CM και περιστροφικής κίνησης ως προς άξονα που περνά από το CM.

Αυτό εφαρμόζεται ακόμα και όταν το CMύεπιταχύνεται.

Μπορούμε να αντιμετωπίζουμε τη μεταφορική κίνηση του CM και την περιστροφή γύρω από άξονα ξεχωριστά αλλά στο τέλος αυτές οι κινήσεις πρέπει να σχετιστούν.

18/11/2011 10ΚΕΦ. 10

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η Κινητική ενέργεια σώματος που κυλίεται χωρίς ολίσθηση δίνεται από Η Κινητική ενέργεια σώματος που κυλίεται χωρίς ολίσθηση δίνεται από

το άθροισμα της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το CM συν την μεταφορική κινητική ενέργεια του CM:

2 21 12 2cm cmK M I Κινητική ενέργεια στερεού

σώματος με μεταφορική καιπεριστροφική κίνηση

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΑΥΤΉΣ

Για σωματίδιο του σώματος η θέση σε αδρανειακό σύστημα θα δίνεται από:

1 1 1 1 1i c i i c i i cr r r R

βάλλ ύ ώ θώ ί έ

2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 2i i i i c i cm cmK m m m R k M I

¨Αν μεταβάλλεται το ύψος του σώματος καθώς κινείται, πρέπει να προστεθεί και το έργο του βάρους δηλ. η βαρυτική δυναμική ενέργεια. Αυτή είναι:

U Mgy cmU Mgy

18/11/2011 11ΚΕΦ. 10

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ

Έστω σώμα κυκλικής διατομής ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς ολίσθηση τότε το διάστημα που δ ύ ά ή ά

cmds ds R R Rdt dt

διανύει κατά μήκος της επιφάνειας είναι το ίδιο με το μήκος του τόξου πάνω στο αντικείμενο που ήρθε σε επαφή με την επιφάνεια (π χ s =

dt dt cm R

επαφή με την επιφάνεια (π.χ. s = R). Το ίδιο διάστημα διανύει και το CM.

Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση

18/11/2011 12ΚΕΦ. 10

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ

Εξετάζουμε την κίνηση σε σύστημα αναφοράς αδρανειακό που επιφάνεια κύλισης είναι σε ηρεμία. Κί ί λί θ → ί ή ί ί ί Ά ύ Κίνηση χωρίς ολίσθηση → σημείο επαφής είναι στιγμιαία ακίνητο. Άρα η ταχύτητα του σημείου επαφής ως προς το CM πρέπει να έχει το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά ωε προς την ταχύτητα του CM. Αυτό ικανοποιείται όταν vcm=R.

Η ταχύτητα ενός σημείου του τροχού είναι το διανυσματικό άθροισμα της Η ταχύτητα ενός σημείου του τροχού είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του CM και της ταχύτητας του σημείου αυτού ως προς το CM.

Σημείο επαφής: στιγμιαία σε ηρεμία. Σημείο 3 στην κορυφή κινείται προς τα εμπρός με διπλάσια ταχύτητα από εκείνη του CM. Σημεία 2 και 4 έχουν ταχύτητες μ ρ ς μ χ η η ημ χ χ η ςπου διευθύνονται στις 45ο ως προς την οριζόντια γραμμή.

18/11/2011 13ΚΕΦ. 10

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ-ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Στην περίπτωση αυτή η κίνηση του σώματος θα διέπεται ταυτόχρονα και από τις δυο μορφές του 2ου Νόμου του χρ ς μ ρφ ς μΝεύτωνα:

F M I

Μεταφορικήext cmF Ma

Περιστροφικήz cm zI

Για να ισχύουν αυτές οι εξισώσεις πρέπει να ικανοποιούνται οι εξής δυο συνθήκες:

1. Ο άξονας περιστροφής μέσω του CM πρέπει να είναι άξονας συμμετρίαςσυμμετρίας

2. Ο άξονας περιστροφής δεν πρέπει να αλλάζει διεύθυνση

18/11/2011 14ΚΕΦ. 10

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ-ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Επιτάχυνση κυλιομένης σφαίρας:

ext cmF Ma

sin (1)x CMF Mg f Ma Μεταφορικήext cm

IΠεριστροφική

z cm zI (2)z CM zfR I I

2Επειδή: , (2)

sin

CM CMCM z

I aa R fR

I a g

Στην περίπτωση σφαίρας:

2

2

sin(1) sin1

CM CMCM CM

CM

I a gMg Ma a IRMR

η ρ η φ ρ ς MR

5 2sin ενώ sinCMa g f Mg

18/11/2011 15ΚΕΦ. 10

7 5CM g f g

ΤΡΙΒΗ ΚΥΛΙΣΗΣ

Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε την περίπτωση (α) και ο τροχός και η επιφάνεια θεωρήθηκαν απολύτως στερεά:1ον ) Η δύναμη της τριβής δεν παράγει έργο (σημείο επαφής έχει ταχύτητα μηδέν).2ον) η κάθετη δύναμη περνά από το κέντρο συνεπώς δεν δημιουργεί ροπή. Στα πραγματικά στερεά έχουμε παραμορφώσεις. Περίπτωση (β):1ον) η κάθετη δύναμη δημιουργεί ροπή, τριβή κύλισης, που αντιτίθεται στη περιστροφή και

ύ ή ά έ

18/11/2011 16ΚΕΦ. 10

2ον ) Η δύναμη της τριβής παράγει έργο.

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΈστω μια εφαπτομενική δύναμη Ftan που ασκείται σε σημείο της περιφέρειας περιστρεφόμενου δίσκου. Το έργο που παράγεται κατά την

ό ά d ίμετατόπιση κατά ds είναι:

tan tan, όμως dW F ds ds Rd dW F Rd

Το έργο που παράγεται από την ροπή σε αντικείμενο που υφίσταται

tanαλλά , συνεπώς: z zF R dW d

μια γωνιακή μετατόπιση από 1 στο 2 δίνεται από: Σημ.: Παρατηρείστε την ομοιομορφία των εκφράσεων έργου δύναμης

(W=FS) και ροπής

dW z

2

1

Έργο ροπής

(W=FS) και ροπής.

1

Εάν η ροπή είναι σταθερή τότε το έργο δίνεται από:

W )( zzW )( 12

18/11/2011 17ΚΕΦ. 10

Έργο σταθερής ροπής

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗώ έ ή ί Θεώρημα Έργου – Ενέργειας για την περιστροφική κίνηση:

22 112 IIdIW 21

22 221

IIdIW zztot Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας στερεού ισούται με το έργο που παράγουν οι εφαρμοζόμενες εξωτερικές δυνάμεις στο σώμα.

Ο θ ό ή ή άλ έ ί ύ Ο ρυθμός παραγωγής ή κατανάλωσης έργου είναι η ισχύς

zzP zz

18/11/2011 18ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

Ορισμός: Στροφορμή L σωματιδίου ως προς σημείο O είναι το

εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος θέσης r ως προς το σημείο O

και της γραμμικής ορμής του σωματιδίου.

L r p r m L r p r m Στροφορμή Σωματιδίου

Η στροφορμή εξαρτάται από την εκλογή

του O, αφού εμπεριέχει το διάνυσμα

θέσης ως προς την αρχή.

Μονάδα στροφορμής: kg·m2/s

18/11/2011 19ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

Η στροφορμή ενός σώματος ή συστήματος

σωματιδίων ως προ άξονα θα είναι το

διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών

όλων των σωματιδίων που το απαρτίζουν.

Το i σωματίδιο κινείται σε κυκλική τροχιά

κάθετη προς τον άξονα περιστροφής.

i i i i iL r p r m

L L r p

Π άζ ή ό ή δί

i i ii i

L L r p

Πως εκφράζεται η στροφορμή ενός συστήματος σωματιδίων και κατ΄ επέκταση ενός σώματος;

Όπως στην περίπτωση της ορμής ας αρχίσουμε από το σύστημα ς η ρ η ης ρμής ς ρχ μ ημCM και από το απλούστερο σύστημα 2 υλικών σημείων

18/11/2011 20ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

Μελετούμε σύστημα 2 υλικών σημείων. Έκφραση της συνολικής στροφορμής τους ως προς

z

m22r

r CM στροφορμής τους ως προς αδρανειακό παρατηρητή Ο, συναρτήσει της στροφορμής ως προς το CM.

m1

r 2r

2

ccr

1r

προς το CM.

Πρώτα σημειώνουμε τις σχέσεις των διανυσμάτων θέσης και ταχύτητας μεταξύ yΟ

1r 21 cc

θέσης και ταχύτητας μεταξύ των 2 συστημάτων αναφοράς.

yx Ο

r r r r r r

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

, ,,

c c c c

c c

r r r r r rm m m m m m

1 1 1 2 2 2,c cp p m p p m

18/11/2011 21ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ z

1 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2( ) ( )c c

L L L r p r pr p m r p m

z

m

m2

2r

1r CM

1 1 1 2 2 2( ) ( )c cp pm1

1r

2r

1

2ccr

Λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι:

( ) ( )L r p r p

yx Ο

1 1 2 2( ) ( ) Spin ή εσωτερική στροφορμή

cL r p r p

1 1 1 1 2 2 2 2L r p m r r p m r

Εκτελούμε τις πράξεις και έχουμε:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

c c

c c c c

L r p m r r p m rr r p m r r r p m r

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

c c c c

c

r p r p r p r p m r m rr p r p r p p

1 1 2 2 ) cm r m r

18/11/2011 22ΚΕΦ. 10

1 1 2 2 1 2c 1 1 2 2 c

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

z ύ όz

CM

Μ=m1+m2

1 2

Παρατηρούμε ότι: ( ) 0cr p p

c

cr

P M Οπότε η τελευταία

εξίσωση γίνεται:

yx Ο

c cP M

c c cL L r M εξίσωση γίνεται:

c c c

c c cL L r P

Στροφορμή συστήματος ως προς

σημείο ισούται με την στροφορμή του συστήματος ως προς το CM

ή ό ώ ίσυν τη στροφορμή ενός σώματος ως προς το σημείο που

βρίσκεται στο CM με μάζα αυτή του συστήματος και με ταχύτητα

ύ CM

18/11/2011 23ΚΕΦ. 10

την ταχύτητα του CM.

ΣΧΕΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΡΟΠΗΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

( )dL d r p dr dp

Για σωματίδιο που υπό την επίδραση συνολικής δύναμης F

( ) ( ) ( )dL d r p dr dpp r p r pdt dt dt dt

όμως ο όρος 0. Συνεπώς:p m

Ρυθμός μεταβολής της dL r ma r Fdt

Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής L ενός σωματιδίου ισούται με την ροπή της συνολικής δύναμηςdt ροπή της συνολικής δύναμηςπου δρα επάνω του

dLdt

∆εύτερος νόμος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση

18/11/2011 24ΚΕΦ. 10

dt

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από τον Z-άξονα με γωνιακή ταχύτητα

Θεωρούμε λεπτό επίπεδο φύλλο που βρίσκεται στο XY επίπεδο.

Κάθε σωματίδιο του φύλου κινείται σε Κάθε σωματίδιο του φύλου κινείται σε κύκλο με κέντρο το στην αρχή O, και η ταχύτητα του vi είναι κάθε στιγμή στο διάνυσμα θέσης ri

στο διάνυσμα θέσης ri

Οπότε, =90°, και η ταχύτητα του σωματιδίου είναι

i ir

Το διάνυσμα της στροφορμής Liυπολογίζεται από το τριπλό εξωτερικό γινόμενο:γινόμενο:

( )i i i i i i iL r m m r r

18/11/2011 25ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Υπολογισμός Li

Θεωρούμε το σύστημα αναφορά του σχήματος.

( ) ( 0) (0 0 )L ( ), ( , ,0), (0,0, )

ˆˆ ˆ

( ) 0 0

i i i i i i i i i iL r m m r r r x y

i j kr iy jx

( ) 0 0

0

ˆˆ ˆ

i i i

i i

r iy jxx y

i j k

2 2 2ˆ ˆ( ) 0 ( )0

i i i i i i i i i i i

i i

i j km r r m x y m x y k m r k

y x

Η ολική στροφορμή του φύλλου είναι το άθροισμα των Li των σωματιδίων:ρ μ i μ

2i i iL L m r I i i i

18/11/2011 26ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Προεκτείνουμε τη συζήτηση και για σημεία εκτός του επιπέδου XY, τα Προεκτείνουμε τη συζήτηση και για σημεία εκτός του επιπέδου XY, τα

διανύσματα θέσης έχουν και Z συνιστώσα.

( ), ( , , ), (0,0, )i i i i i i i i i i iL r m m r r r x y z

ˆˆ ˆ

( ) 0 0i i i

i j kr iy jx

ˆˆ ˆ

i i ix y z

i j k( )

0

ˆ

i i i i i i i

i i

m r r m x y zy x

IL

2 2 ˆˆ ˆ( ) ( )i i i i i i im z ix jy m x y k

Για σώμα που ο Z-άξονας είναι άξονας συμμετρίας τότε ο πρώτος IL

Στροφορμή στερεού για περιστροφή γύρω από άξονα συμμετρίας

άξονας συμμετρίας τότε ο πρώτος όρος έχει και τον αντίθετο του και αθροίζετε στο μηδέν οπότε:

ˆ ˆ18/11/2011 27ΚΕΦ. 10

2 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ( ( ) ( ) ) ( ) )i i i i i i i i i i iL m z ix jy m x y k m x y k I

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

18/11/2011 28ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ Για κάθε σύστημα σωματιδίων (στερεού ή μη) ο ρυθμός μεταβολής της Για κάθε σύστημα σωματιδίων (στερεού ή μη), ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής στροφορμής ισούται με το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που ενεργούν σε όλα τα σωματίδια.

Ο έ ώ δ ά λλ λ ύ ά έ Οι ροπές των εσωτερικών δυνάμεων αλληλοαναιρούνται εάν αυτές οι δυνάμεις δρουν πάνω στις γραμμές που ενώνουν ανά δυο τα σωματίδια, συνεπώς το άθροισμα περιλαμβάνει μόνο τις ροπές των εξωτερικών δυνάμεων:δυνάμεων:

dtLd

Για κάθε σύστημα σωματιδίων

dt Εάν το σύστημα των σωματιδίων είναι στερεό σώμα περιστρεφόμενο γύρω

από άξονα συμμετρίας (άξονας-Z) τότε L =I και το I είναι σταθερό από άξονα συμμετρίας (άξονας-Z), τότε Lz=Iz και το I είναι σταθερό. Εάν ο άξονας είναι σταθερός στο χώρο, τότε τα διανύσματα L και αλλάζουν μόνο κατά μέτρο, όχι κατά διεύθυνση.

ά ώ ί ό

zzz I

dtId

dtLd

• Εάν το σώμα δεν είναι στερεό, η

ροπή αδράνειας I μπορεί να αλλάζει, οπότε το L αλλάζει ακόμη και αν το είναι σταθερόακόμη και αν το είναι σταθερό.

18/11/2011 29ΚΕΦ. 10

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ Εάν ο άξονας περιστροφής δεν είναι άξονας συμμετρίας του σώματος η στροφορμή L, δεν έχει γενικά την διεύθυνση του άξονα περιστροφής.

Ακόμη και αν το είναι σταθερό, η διεύθυνση της L αλλάζει και για αυτό διεύθυνση της L αλλάζει και για αυτό απαιτείται ροπή για να διατηρηθεί η περιστροφή.

• Εάν ο τροχός αυτοκινήτου δεν είναι ζυγοσταθμισμένος, αυτή η ροπή παρέχεται από την τριβή στο ρουλεμάν, η οποία προκαλεί την σταδιακή φθορά τουςπροκαλεί την σταδιακή φθορά τους.

• Ζυγοστάθμιση τροχού σημαίνει κατανομή της μάζας ώστε ο άξονας περιστροφής να

έ άξ ί ό Lσυμπέσει με άξονα συμμετρίας, τότε η Lκατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής, και δεν απαιτείται ροπή για διατηρεί την περιστροφή του τροχούδιατηρεί την περιστροφή του τροχού.

18/11/2011 30ΚΕΦ. 10

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

Όταν η συνολική εξωτερική ροπή που ενεργεί σε σύστημα είναι μηδέν τότε: Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΕΊΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ (∆ΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ)( )

Αρχή ∆ιατήρησης Σ ή0dL L

Στροφορµής

Αυτή η αρχή είναι ένας ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΝΟΜΟΣ διατήρησης ΙΣΧΥΕΙ για

0, .z Ldt

Αυτή η αρχή είναι ένας ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΝΟΜΟΣ διατήρησης, ΙΣΧΥΕΙ για ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΛΙΜΑΚΕΣ από την πυρηνική την ατομική ως την γαλαξιακή κλίμακα: Υποθέστε ότι κάποιος περιστρέφεται ως προς κατακόρυφο άξονα συμμετρίας που περνά από το CM του ενώ έχει σε έκταση τα χέρια του με γωνιακή ταχύτητα ω1. Η ροπή αδράνειας του σε αυτή την στάση είναι I1 κάποια στιγμή συμπτύσσει τα χέρια οπότε μικραίνει η ροπή αδράνειας σε I2. Εξωτερική δύναμη μόνο το βάρος που δεν παράγει ροπή:δύ αμη μό ο ο βάρος ου δε αράγε ρο ή

1 21 1 2 2

IL I I

18/11/2011 31ΚΕΦ. 10

1 1 2 22 1

L I II

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Young et. al.

10 39 10 80 10 82 10 83 10 87 10 94 10 10010.39, 10.80, 10.82, 10.83, 10.87, 10.94, 10.100

18/11/2011 32ΚΕΦ. 10