Κεφάλαιο 3users.auth.gr/~gak/DiafaneiesI/Κίνηση 2-3-D_Κεφ...Κεφάλαιο 3...

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο (2 -D) και στο χώρο (3 -D).

•Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της 2-D 3-D κίνησης:

•Θέση, Μετατόπιση

•Μέση και στιγμιαία ταχύτητα

•Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση

•Μελέτη της κίνησης βλήματος (Παράδειγμα 2-D)

•Μελέτη της κυκλικής κίνησης (Παράδειγμα 2-D).

•Μετασχηματισμός ταχυτήτων σε διαφορετικά συστήματα

αναφοράς Αδρανειακά συστήματα.

•Κινηματικά μεγέθη σε πολικές συντεταγμένες

1 Γ Α Κουρούκλης

Συστήματα συντεταγμένων

ΚΑΡΤΕΣΙΑΔιάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς

συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο (Χ,Υ,

Ο

Ν

Ζ).

, , )

ˆ ˆ ˆi j

(

k

x y z

r x y z

, , στοιχειώδη μήκηdx dy dz2 Γ Α Κουρούκλης

Χ

Υ

Ζ

x

rr r

y

z

ˆ ˆ ˆi, j, k μοναδιαία

(σταθερά)

2 2 2 r x y z

Α

Χ

Υ

x

r

y O

φ

ˆr

u

u


Διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς

συστημα αναφοράς (2-D) με αρχή στο σημειο Ο

ΠΟΛΙ

(

ΚΟ

).

, r

ˆ rr ru

, στοιχειώδη μήκηdr rd


ˆ ˆ, μοναδιαία

(μεταβλητά)

ru u

r r

Α

x

y

z

r

ˆr

u

u

sinr

u


Διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς

συστημα αναφοράς (3-D) με αρχή στο σημειο Ο

ΠΟΛΙ

(

ΚΟ

).

, r

ˆ rr ru

, , sin

στοιχειώδη μήκη

dr rd r d


ˆ ˆ ˆ, , , μοναδιαία

(μεταβλητά)

ru u u

r r

Α

Διάνυσμα θέσης

Το διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ορίζεται ως προς

συγκεκριμένο συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο.

ˆ ˆ ˆi j kr x y z


t2

t1

Διάνυσμα μετατόπισης

1 2

Για υλικό σημείο που η θέση του σε διαδοχικές θέσεις της κίνησης ορίζεται

από τα και ορίζουμε το διάνυσμα της μετατόπισης : r r r

2 1.r r r

1 2Τα διανύσματα θέσης και γράφονται υπό μορφή συνιστωσών ωςr r

1 1 1 1ˆ ˆ î j kr x y z 2 2 2 2

ˆ ˆ î j kr x y z

2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k i j kr x x y y z z x y z

2 1x x x

2 1y y y

2 1z z z

Η μετατόπιση r γράφεται τότε ως


Μέση και στιγμιαία ταχύτητα

Ακολουθώντας τη γνωστή διαδικασία ορίζουμε τη μέση ταχύτητα ως

μετατόπισημέση ταχύτητα =

χρονικό διαστημα

avg

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j kr x y z x y z

t t t t t

Ορίζουμε την στιγμιαία ταχύτητα (στο

εξής ταχύτητα) ως το όριο:

lim

0

r dr

t dt

t

t

t + Δt

Εφαπτομένη

Τροχιά


2 1

avg

Έστω ότι το τείνει προς το μηδέν, τότε συμβαίνουν τα εξής:

1. Το διάνυσμα τείνει προς το και το 0.

2. Η κατεύθυνση του λόγου (συνεπώς του ) τείνει προς

την κατεύθυνση

t

r r r

rv

t

avg

της εφαπτομένης της τροχιάς στη θέση 1.

3. v v

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j k i j kx y z

d dx dy dzx y z

dt dt dt dt

x

dx

dt y

dy

dt z

dz

dt

Οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας δίνονται

από τις εξισώσεις:

dr

dt t

t + Δt


Τροχιά


Τροχιά 8 Γ Α Κουρούκλης

Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση

Μεταβολή ταχύτηταςΜέση επιτάχυνση =

Χρονικό διάστημα

2 1avga

t t

Ορισμός στιγμιαίας επιτάχυνσης ως το όριο:

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim i j k i j k i j k

yx zx y z x y z

t

dd dd da a a a

t dt dt dt dt dt

Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης δίνονται

από:

xx

da

dt

y

y

da

dt

zz

da

dt

Σημ.: Αντίθετα προς την ταχύτητα, το διάνυσμα της επιτάχυνσης δεν

έχει κάποια ιδιαίτερη σχέση με την τροχιά.

da

dt

Τροχιά

Ορισμός μέσης επιτάχυνσης:


Κίνηση βλήματος

Κίνηση σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας

αναφέρεται ως “κίνηση βλήματος .”

Η αρχική ταχύτητα είναι

Η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσες είναι:

0.

0 0 0cosx 0 0 0siny

Η κίνηση του βλήματος αναλύεται σε

οριζόντια και κατακόρυφη κίνηση

κατά μήκος του x- και y- αξόνων

αντίστοιχα. Οι δυο αυτές κινήσεις

είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η

κίνηση κατά τον άξονα x έχει

μηδενική επιτάχυνση. Η κίνηση κατά

τον άξονα y έχει σταθερή επιτάχυνση

ay = -g.

g


0 0 0 0

0 Η ταχύτητα κατά τον -άξονα μένει αμετάβλητη:

(1)

Οριζόντια κίνηση:

Κατακόρυφη

( 2)

Κατά τον -άξονα έχουμε κίν ελεύθερη πτ

c

ηση: η

os os

σ

c

ώ

x

y

x o

y

a x

a

x x t

g y

2

0 0 0

22

0

0

0

( 3) ( 4)

Απαλοίφουμε το μεταξύ των εξ. 3 και 4 s

sin

i

n2

n 2 .

si

o

y o

gtgt

t y y

y y

g

t

Σε αυτή την ανάλυση αμελούμε

την επιδραση της αντίστασης του αέρ

Ση

α

μ.:

Εδώ και είναι οι συντεταγμένες

του σημείου βολής. Συνήθως το

λαμβάνουμε ως αρχή των αξόνων.

Οπότε: 0 και 0.

.

o o

o o

x y

x y

g


2

0

2

0 0 0

2

0

0

0

cos (2) sin (4)2

Απαλοίφουμε το μεταξύ των (2) και (4) και

tan . 2 cos

:

Εξίσωση τροχιάς :

gtx t y t

t

gy x x

2

Αυτή η εξίσωση περιγράφει

μια καμπύλη που ειναι η

τροχιά του βλήματος.

Η μορφή της είναι: .

Ειναι παραβολή.

y ax bx


O A

R

t

0 0 0 0

2

0 0 0 0

cos (1) cos (2)

sin (3) sin (4)2

Η απόσταση ορίζεται ως το βεληνεκές

Στο σημείο έχουμε: 0. Από

Βεληνεκές:

την εξ. (4)

x

y

x t

gtgt y t

OA R

A y

2

0 0 0 0

η

0 0

έχουμε:

sin 0 sin 0. Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:2 2

Λύση 1η. 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο δεν έχει ενδιαφέρον.

Λύση 2 : sin 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο .2

Από

gt gtt t

t O

gtA

0 02 sin την 2η. λύση έχουμε: . Αντικαθιστώντας στην εξ. (2) έχουμε:t

g

2 2

0 00 0 0

0

2

0max

2sin cos sin 2 .

έγιστη τιμή του για 45 :

Rg g

R

Rg

2sin cos sin 2A A A13 Γ Α Κουρούκλης

A t

H

g Μέγιστο Ύψος H

2 2

0 0sin

2H

g

0 0

0 00 0

22

0 0 0 00 0 0 0

2 2

0 0

Η -συνιστώσα της ταχύτητας του βλήματος είναι sin .

sinΣτο σημείο : 0 sin

sin sin( ) sin sin

2 2

sin

2

y

y

y gt

A gt tg

gt gH y t t

g g

Hg


0 0

0 0 0

0

2

0 0

0 sin

2 2

0 0

Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το μέγιστο ύψος από την εξ. (3) =

Εδώ: 0 sin , 0 , και

1= = = ( sin )

2

sin

yo y

y

y y y y y

v

da

dy

y v y H a g

dg gdy d g dy d gH

dy

H

.

2g

2 2

0 0sin

2H

g

A t

H

g


Ομαλή κυκλική κίνηση:

Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r με σταθερό μέτρο

ταχύτητας v. Η ταχύτητα όμως δεν είναι σταθερή. Ο λόγος είναι ότι η

κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει από σημείο σε σημείο. Αυτό σημαίνει

ότι η επιτάχυνση δεν είναι μηδενική. Η επιτάχυνση στην ομογενή κυκλική

κίνηση έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

1. Το διάνυσμα κατευθύνεται προς το κέντρο εξ ου και το όνομα

“κεντρομόλος.”

2. Το μέτρο της a δίνεται από την 2

.ar

C P

r

R

Q

r

r Ο χρόνος T που απαιτείται για μια πλήρη

περιστροφή η “περίοδος.” δίνεται από την

εξίσωση

2.

rT


Ομαλή κυκλική κίνηση: Ταχύτητα γεωμετρικά


2 1 ˆ ˆμέση ταχύτητα

av

rr r su u

t t t

Η στιγμιαία ταχύτητα θα είναι:

0ˆ ˆlim και διανυσματικά

t

s ds dsu u

t dt dt

O

ˆr

u

u

1r

2r

O

Δφ 1r

2rs

O

Δφ 1r

2rr

1 2 2 1ˆ ˆ,r rr ru r ru r r r ˆ ˆ

ru u

Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση γεωμετρικά


1 1

1

av

s ss a

R R t R t

Η στιγμιαία επιτάχυνση

θα είναι:

1 11

0 0

2 2

lim lim

ˆ και διανυσματικά

t t

r

sa

t R t R

a a uR R

A

P

C C

cos , sin cos , sin

Όπου και είναι οι συντεταγμένες του υλικού σημείου.

Θέση

P PP P

P P

x yx r y r

r r

x y


Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά

A

P

C C

ˆ ˆ ˆ ˆi j sin i cos j

Ταχύτητα

ˆ ˆi j.

x y

P Py x

r r

sin x

cos y


Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά

A

P

C C

Επιτάχυνση

ˆ ˆπαράγωγος της ταχύτητας i j.

ˆ ˆi j.

ˆ ˆ= i j.

P P

P P

P P

y x

r r

y xd d

dt dt r r

dy dxda

dt r dt r dt

cos και

sin .

Py

Px

dy

dt

dx

dt



A

P

C C

2 2 2 2

2 22 2ˆ ˆ cos i sin j cos sinx y

va a a a

r r r r

2

2

/ sintan tan κατευθύνεται προς το .

/ cos

y

x

raa C

a r



Σχετική κίνηση σε μία διάσταση:

Η ταχύτητα σημείου P προσδιοριζόμενη από 2 διαφορετικούς παρατηρητές A και B

εξαρτάται από αυτούς. «Εξίσωση μετασχηματισμού» ταχυτήτων δηλαδή η σχέση των

ταχυτήτων που μετρά ο κάθε παρατηρητής. Υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής B

κινείται με γνωστή σταθερή ταχύτητα υBA ως προς τον παρατηρητή A. Οι

παρατηρητές A και B προσδιορίζουν της συντεταγμένες του σημείου P να είναι xPA

και xPB , αντίστοιχα.

. Όπου είναι η συντεταγμένη του ως προς τον .PA PB BA BAx x x x B A

Παραγωγίζουμε ως προς τον χρόνο: PA PB BA

d d dx x x

dt dt dt

PA PB BA Εάν παραγωγίσουμε την τελευταία εξίσωση και

θεωρώντας ότι 0BAd

dt

PA PBa a

(Αδρανειακά συστήματα)

Αν και οι παρατηρητές και

μετρούν διαφορετικές ταχύτητες για το ,

μετρούν την ίδια επιτάχυνση

.

.

Σημ : A B

P


Σχετική κίνηση σε δύο διαστάσεις : Εδώ ο παρατηρητής B κινείται με σταθερή ταχύτητα vBA ως προς τον A

στο xy-επίπεδο.

Οι παρατηρητές και προσδιορίζουν το διάνυσμα θέσης του σημείου ως

και , αντίστοιχα. PA PB

A B P

r r

. Παραγωγίζουμε ως προς PA PB BAr r r t

PA PB BA PA PB BA

d d dr r r v v v

dt dt dt PA PB BAv v v

Παραγωγίζουμε την τελευταία εξίσωση ως προς το χρόνο :

. Παίρνοντας υπόψη ότι 0 . BAPA PB B PA PA B

t

dvd d dv v v

dt dta

dt dta

Και εδώ οι δυο παρατηρητές

μετρούν την ιδια επιτάχυνση

για το σημε

Σημ.:

ίο P.


25

Περιστρεφόμενο μοναδιαίο

το διάνυσμα Δ Δ ΔΔ Δ Δ θ θθ u n n nu u u u

Το n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του Δu.

Δ 0 Δ 0

Δ Δ 1

Δ Δt t

d θ dθlim lim ,

dt t t dt

u un nu u

1u

26

Καμπυλόγραμμη κίνηση – 3D

Υλικό σημείο κινούμενο σε καμπυλόγραμμη τροχιά

Περιγραφή της κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες

ˆ ˆ ˆx y zi j k

ˆ ˆ ˆdr dx dy dzi j k

dt dt dt dt x

dx

dt y

dy

dt z

dz

dt

ˆ ˆ ˆy zxda i j k

dt dt dt dt

xx

da

dt

y

y

da

dt

z

z

da

dt

τροχιά

ˆ ˆ ˆr xi yj zk

ˆ ˆ ˆx y z

a a i a j a k

27

Καμπυλόγραμμη κίνηση– Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες

Αυτές μας δίνουν μια φυσική περιγραφή για την καμπυλόγραμμη κίνηση και είναι οι πλέον χρήσιμες για την περιγραφή της.

• Το μοναδιαίο διάνυσμα ut είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο P, και κατευθύνεται προς την

διεύθυνση αύξησης του s.

• Το μοναδιαίο διάνυσμα un είναι πάντοτε κάθετο στο ut, και κατευθύνεται προς τα κοίλα της καμπύλης.

• Η συντεταγμένη s μετρά τη θέση του σημείου P κατά μήκος της τροχιάς του ως προς το σημείο (αφετηρία) O.

• Η ταχύτητα υ είναι πάντοτε κατά την εφαπτόμενη, μοναδιαίο διάνυσμα ut.

tuvdt

ds

28

Καμπυλόγραμμη κίνηση– Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες της επιτάχυνσης

tt t

dud d da u u

dt dt dt dt

nt

dt

d

dt

du

u

t n

d da u u

dt dt

Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης

t tu uds

υ υdt

29

Ακτίνα καμπυλότητας και καθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης

dds )(

ds d d

dt dt dt

t

da

dt

2

na

Εφαπτομενική συνιστώσα Κάθετη συνιστώσα

t n

d da u u

dt dt

2

t n

da u u

dt

30

Κυκλική κίνηση

Ταχύτητα και επιτάχυνση

Rs

ds dR R

dt dt

dt

d

dt

d

t

d da R R

dt dt

Μέτρο εφαπτομενικής επιτάχυνσης:

22 n

dθ υa υ Rω

dt R

Μέτρο κάθετης (ακτινικής) συνιστώσας της επιτάχυνσης

t n

d da u u

dt dt

t tu u

dsυ υ

dt

31

Καμπυλόγραμμη κίνηση – Πολικές συντεταγμένες

dr

dt

rr ru

da

dt

u

u

dt

d

dt

d r r

dt

d

dt

du

u

τροχιά

32

rr

dudr dru r

dt dt dt

r

dr du r u

dt dt

rr ru

r

dr

dt

dr

dt


Ταχύτητα

u

u

dt

d

dt

d r

33

2 2

2 2

rr

dudud d r dr dr d d da u u r u r

dt dt dt dt dt dt dt dt dt

22 2

2 22

r

d r d d dr da r u r u

dt dt dt dt dt



rdt

d

dt

du

u

u

u

dt

d

dt

d r

r

dr du r u

dt dt

34



rdt

d

dt

du

u

u

u

dt

d

dt

d r

Θεωρούμε τον εναλλακτικό συμβολισμό 2 2

2 2 και

dr d r dθ d θr, r , θ θ

dt dt dt dt

2

2 u ur θa r r θ rθ rθ

r

dr du r u

dt dt

22 2

2 22

r

d r d d dr da r u r u

dt dt dt dt dt

35

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

3.76, 3.77, 3,79, 3,86, 3.89

Κεφάλαιο 3users.auth.gr/~gak/DiafaneiesI/Κίνηση 2-3-D_Κεφ...Κεφάλαιο 3...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 3users.auth.gr/~gak/DiafaneiesI/Κίνηση 2-3-D_Κεφ...Κεφάλαιο 3...