ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

18/11/2011 1ΚΕΦ. 9

ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ

Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφικήκίνηση.

Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως

ορισμένα και αμετάβλητα μέγεθος και μορφή.

18/11/2011 2ΚΕΦ. 9

ΣΤΕΡΕΑ ΣΩΜΑΤΑ

Στο στερεό σώμα όλα τα σωματίδια που το απαρτίζουν διατηρούν σταθερές τις σχετικές τους θέσεις.

Καθώς το σώμα περιστρέφεται:Κάθε σωματίδιο κινείταιΟι σχετικές τους θέσεις δεν αλλάζουν

Παράδειγμα: Οι πόλεις πάνω στην επιφάνεια της Γης

Βοστώνη

Σύδνεϋ18/11/2011 3ΚΕΦ. 9


18/11/2011 4ΚΕΦ. 9

Αρχικά, Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα. Σταθερός άξονας: άξονας που είναι σε ηρεμία ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Επιλέγουμε συνήθως την αρχή του συστήματος μας x-y να είναι το ίδιο όπως το επίπεδο που είναι κάθετο προς τον άξονα περιστροφής και ως αρχή των αξόνων παίρνουμε το O στο σημείο τομής με τον άξονα.

Λαμβάνουμε ένα σημείο στο περιστρεφόμενο σώμα και φέρουμε τη γραμμή από ατό το σημείο στην αρχή, η οποία σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα x. Αυτή η γωνία ονομάζεται γωνιακή θέση.

Η γωνιακή μετατόπιση ορίζεται ως η μεταβολή στην γωνιακή θέση, ∆θ = θ2 - θ1, κατά το χρονικό διάστημα ∆t = t2 - t1.

Τόσο η γωνιακή θέση όσο και η γωνιακή μετατόπιση συνήθως θα εκφράζονται σε ακτίνια.

18/11/2011 ΚΕΦ. 9 5


Ένα ακτίνιο είναι η γωνία που υποτείνεται από τόξο μήκους ίσο προς την ακτίνα του κύκλου.

s s rr

θ θ= ⇒ =1 :rad s r=

Η σχέση της γωνίας θ με το μήκος του τόξου S που υποτείνει και της ακτίνας του κύκλου r.

Η γωνία είναι καθαρός αριθμός ως λόγος δυο μηκών (ΔΕΝ έχει διαστάσεις).


Η μέση γωνιακή ταχύτητα ωav-z είναι η γωνιακή μετατόπιση ανά μονάδα χρόνου

tttzav ∆∆

=−−

=−θθθω

12

12

dtd

ttzθθω =

∆∆

=→∆ 0

lim

Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ωz είναι το όριο της ωav-z όταν το ∆t τείνει στο μηδέν. Είναι συνεπώς η παράγωγος της γωνιακής θέσης ως προς το χρόνο.

Κάθε στιγμή, κάθε τμήμα του περιστρεφόμενου στερεού έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Η γωνιακή ταχύτητα είναι θετική εάν το σώμα περιστρέφεται κατά την διεύθυνση αύξησης της γωνίας θκαι αρνητική αν περιστρέφεται αντιθέτως . Γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται σε ακτίνια ανά second (rad/s). Επίσης

χρησιμοποιείται στην τεχνική ορολογία και μονάδα περιστροφές ανά λεπτό (rpm).

18/11/2011 6ΚΕΦ. 9

ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματική ποσότητα. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ορίζεται μέσω του κανόνα της

δεξιάς χειρός. Χρήση του κανόνα, τυλίγουμε τα δάκτυλα του δεξιού χεριού κατά τη

διεύθυνση της στροφής. Ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας.

18/11/2011 7ΚΕΦ. 9


Η μέση γωνιακή επιτάχυνση αav-z είναι η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου.

2 1

2 1

z z zav z t t t

ω ω ωα −

− ∆= =

− ∆

0lim z z

z t

dt dtω ωα

∆ →

∆= =

∆

Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση αz είναι το όριο της αav-z όταν∆t τείνει στο μηδέν. Είναι η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο και η δεύτερη παράγωγος της γωνιακής θέσης ως προς το χρόνο.

2

2zd d ddt dt dt

θ θα = =

Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης είναι ακτίνια / δευτερόλεπτο τετράγωνο (rad/s2).

18/11/2011 8ΚΕΦ. 9


Ακριβώς όπως στην περίπτωση της γραμμικής κίνησης:

Το σώμα θα “επιταχύνεται" εάν η γωνιακή επιτάχυνση είναι στην ίδια κατεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα, και

Το σώμα θα “επιβραδύνεται" εάν η γωνιακή επιτάχυνση είναι στην αντίθετη κατεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

18/11/2011 9ΚΕΦ. 9

ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙΓράφημα της ωz και της αz συναρτήσει του χρόνου για ένα

περιστρεφόμενο σώμα.• Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιταχυνόμενη»

περιστροφή;

• Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιβραδυνόμενη»


18/11/2011 10ΚΕΦ. 9


Επιταχυνόμενη

ωz>0 και αz>0

Επιβραδυνό-μενη

ωz>0 και αz<0

Επιταχυνόμενη

ωz<0 και αz<0

18/11/2011 11ΚΕΦ. 9

Γράφημα της ωz και της αz συναρτήσει του χρόνου για ένα περιστρεφόμενο σώμα.

• Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιταχυνόμενη»


• Σε πια χρονικά διαστήματα έχουμε «επιβραδυνόμενη»


ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Για την ειδική περίπτωση σταθερής γωνιακής επιτάχυνσης οι

εξισώσεις που σχετίζουν την γωνιακή μετατόπιση, την γωνιακή ταχύτητα, τη γωνιακή επιτάχυνση και του χρόνου έχουν την ίδια μορφή με τις κινηματικές εξισώσεις για σταθερή γραμμική επιτάχυνση.

Αυτές οι εξισώσεις μπορεί να βρεθούν από τις αντίστοιχες γραμμικές με αντικατάσταση του x με θ, vx με ωz και ax με αz.

0

0z z

z tω ωα −

=−

0

2z z

av zω ωω −

+=

t1=0, η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή και συνεπώς ίση προς τη μέση επιτάχυνση που προσδιορίζεται σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα:

tzzz αωω += 0 Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ

0

0av z tθ θω −

−=

−

tzz )(21

00 ωωθθ +=− Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ

18/11/2011 12ΚΕΦ. 9

ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Σχέση μεταξύ θ και t που δεν περιέχει το ωz:

0 01 ( )2 z z tθ θ ω ω− = +

0z z ztω ω α= +2

00 21 tt zz αωθθ ++=

0z z ztω ω α= +

20 0

12z zt tθ θ ω α= + +

)(2 020

2 θθαωω −+= zzz

Σχέση μεταξύ θ και ωz που δεν περιέχει το t:

18/11/2011 13ΚΕΦ. 9

Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ

Σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ΜΟΝΟ

ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

18/11/2011 14ΚΕΦ. 9

ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ Έστω σημείο P πάνω στο περιστρεφόμενο σώμα το οποίο

βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Καθώς το σώμα μετατοπίζεται κατά γωνία θ ρο σημείο διανύει μια απόσταση που δίνεται από s = rθ

Σε αυτή τη σχέση το θ πρέπει να εκφράζεται σε ακτίνια

Εάν παραγωγίσουμε αυτή την έκφραση ως προς το χρόνο, τότε το αριστερό μέλος δίνει το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου

Αυτό το μέτρο ταχύτητας αντιστοιχεί προς την ταχύτητα του σημείου P η οποία είναι εφαπτομενική του τόξου που διαγράφεται από το σημείο. Διαφορίζοντας το δεξί μέλος, σημειώνουμε ότι το r είναι σταθερό, ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης είναι η γωνιακή ταχύτητα. Αυτό δίνει:

ds drdt dt

θ= rυ ω= Σχέση μεταξύ γραμμικής

και γωνιακής ταχύτητας

18/11/2011 15ΚΕΦ. 9

ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

Παραγωγίζοντας πάλι δίνει τη σχέση μεταξύ της εφαπτομενικής επιτάχυνσης, atan, του σημείου και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος:

tand da r rdt dtυ ω α= = = Εφαπτομενική επιτάχυνση ενός

σημείου περιστρεφόμενου σώματος

Υπενθυμίζουμε ότι οποιοδήποτε περιστρεφόμενο σώμα υφίσταται κεντρομόλο επιτάχυνση που διευθύνεται προς το κέντρο. Εάν αντικαταστήσουμε το v=rω, παίρνει την μορφή :

22

rada rrυ ω= =

Κεντρομόλος επιτάχυνση σημείου σε περιστρεφόμενο σώμα

18/11/2011 16ΚΕΦ. 9

Μετατόπιση s θ

ταχύτητα υ ωεπιτάχυνση αμάζα m IΚινητική ενέργεια

ΣΧΕΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ-ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

tand da r rdt dtυ ω α= = =

Αυτές οι σχέσεις ισχύον για κάθε σωματίδιο που έχει την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα όπως σημείο σε περιστρεφόμενο στερεό σώμα.

rυ ω=s rθ=

18/11/2011 17ΚΕΦ. 9

s rθ=

rυ ω=

tana tana rα=2mr I=

2 2 2 2 21 1 1 1( )2 2 2 2

K m m r mr Iυ ω ω ω= = = =

212

Iω212

mυ

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης

του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής κίνησης.

Για σύστημα σωματιδίων με μάζες mi σε αποστάσεις ri από άξονα που περνά από ένα σημείο P, η κινητική τους ενέργεια δίνεται από:

∑=++=i

iirmrmrmI 2222

211 ... Ορισμός ροπής

αδράνειας

Μονάδα SI σύστημα kg⋅m2

Για στερεά σώματα η ροπή αδράνειας υπολογίζεται με ένα ολοκλήρωμα(αντί του αθροίσματος)

Σε ένα στερεό οι αποστάσεις ri είναι σταθερές, και η I είναιανεξάρτητη από τον τρόπο περιστροφής του γύρω από δεδομένο άξονα.

18/11/2011 18ΚΕΦ. 9

Για σύστημα σωματιδίων με μάζες mi σε αποστάσεις ri από άξονα που περνά από ένα σημείο P, η ροπή αδράνειας του συστήματος γύρω από αυτόν τον άξονα δίνεται από:

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1... ...2 2i i

iK m m m r m r m r Iυ υ ω ω ω ω= + + = + + = =∑

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

18/11/2011 19ΚΕΦ. 9

ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Η περιστροφική κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα με γωνιακή συχνότητα ωκαι ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας I εκφράζεται ως

2

21 ωIK = Περιστροφική κινητική ενέργεια στερεού

σώματος

Σημειώστε την ομοιότητα της σχέσης αυτής με εκείνη της κινητικής ενέργειας υλικού σημείου μάζας m και ταχύτητας v

Αυτή η κινητική ενέργεια είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των επιμέρους σωματιδίων που σχηματίζουν το σώμα

Η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της ροπής αδράνειας για ένα σώμα που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, συνεπώς η κινητική ενέργεια σώματος εξαρτάται από τον τρόπο περιστροφής του.

18/11/2011 20ΚΕΦ. 9

212

K Iω=


18/11/2011 21ΚΕΦ. 9

Ροπές αδράνειας για διαφορετικούς άξονες περιστροφής

Παράδειγμα 9.7 Έστω στοιχείο μηχανής που αποτελείται από 3 βαρείς συνδετήρες που

ενώνονται με πολύ ελαφρούς συνδέσμους όπως φαίνεται στο σχήμα.

A. Ποια είναι η ροπή αδράνειας αυτού του στοιχείου ως προς άξονα που περνά από το σημείο A, ⊥ στο επίπεδο του σχήματος;

B. Ποια είναι η ροπή αδράνειας αυτού του στοιχείου ως προς άξονα που συμπίπτει με την γραμμή BC;

C. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του στοιχείου εάν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το A ⊥ στο επίπεδο του στοιχείου και έχει γωνιακή ταχύτητα 4.0 rad/s;


18/11/2011 22ΚΕΦ. 9

rAC

rBC

rAB


18/11/2011 23ΚΕΦ. 9

Ροπές αδράνειας για διαφορετικούς άξονες περιστροφής

Παράδειγμα 9.7A. Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας για τον άξονα που περνά από το

σημείο A, ⊥ στο επίπεδο του σχήματος έχουμε:

B. Ως προς άξονα που συμπίπτει με την γραμμή BC έχουμε:

C. Η κινητική ενέργεια του στοιχείου εάνπεριστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το A ⊥ στο επίπεδο του στοιχείου και έχει γωνιακή ταχύτητα 4.0 rad/s θα είναι:

2 2 2 2 2 2 20,057kg mA i i A AA B AB C AC B AB C ACi

I m r m r m r m r m r m r= = + + = + = ⋅∑

2 2 2 2 2 20,048kg mBC i i A AC B BB C CC A ACi

I m r m r m r m r m r= = + + = = ⋅∑

21 0,46J2A AK I ω= =

rAC

rBC

rAB

ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Για να βρούμε την ροπή αδράνειας σώματος ως προς άξονα που είναι διαφορετικός από άλλον άξονα ως προς τον οποίο είναι γνωστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων.

Θεώρημα: Η ροπή αδράνειας σώματος μάζας M ως προς άξονα, P, που είναι παράλληλος προς και σε απόσταση d από άξονα που περνά από κέντρο μάζας του σώματος είναι:

2MdII cmp += Θεώρημα παραλλήλων αξόνων

18/11/2011 24ΚΕΦ. 9

Απόδειξη:

Θεωρούμε ότι ο άξονας περιστροφής είναι στην διεύθυνση z και

θεωρούμε 2 άξονες παράλληλους προς τον άξονα z, ο ένας

περνά από το κέντρο μάζας και ο άλλος από το σημείο P.


Αρχή συστήματος αναφοράς στο CM: xcm= ycm= zcm=0

Παράλληλος άξονας που περνά από το P έχει συντεταγμένες (a, b). Απόσταση αξόνων d: d2=a2+b2

Ροπή αδράνειας Icm ως προς άξονα δια του O:

2 2 2( )cm i i i i ii i

I m r m x y= = +∑ ∑

18/11/2011 25ΚΕΦ. 9

Σημείο Ο είναι το κέντρο μάζας, και το (x, y) επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο.

Στοιχείο μάζας mi με συντεταγμένες (xi, yi) ως προς το Ο και (xi-a, yi-b) ως προς τον άξονα που είναι παράλληλος ως προς τον πρώτο και περνά από το P (συντεταγμένες (a,b).


Ροπή αδράνειας IP ως προς άξονα δια του P:

2 2[( ) ( ) )]P i i ii

I m x a y b= − + −∑ Αυτές οι εκφράσεις δεν περιλαμβάνουν τις συντεταγμένες zi των

σημείων που βρίσκονται σε μια παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής λωρίδα. Σε αυτή την λωρίδα όλα τα σημεία έχουν την ίδια απόσταση από τον άξονα περιστροφής, άρα η ροπή αδράνειας τους δεν εξαρτάται από το z. Επεκτείνουμε την άθροιση σε όλα τα σημεία της λωρίδας και σε όλες τις λωρίδες οπότε έχουμε την ροπή αδράνειας για όλο το σώμα Ip ως προς τον άξονα δια του P:

cmI 0cmx = 2d M0cmy =2

P cmI I Md= +18/11/2011 26ΚΕΦ. 9

2 2 2 2( ) ( )2 2i i i i i i i ii i i i

P m x y m x m y a b mI a b= − − +++∑ ∑ ∑ ∑

ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Για σώματα που έχουμε συνεχή κατανομή μάζας το άθροισμα των

γινομένων μάζας επί τετράγωνο απόστασης από τον άξονα περιστροφής μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα.

Διαχωρισμός του σώματος σε στοιχειώδεις μάζες dm (σε απόσταση r),οπότε η στοιχειώδης ροπή αδράνειας δίνετε από:

2 2 οπότε η ροπή θα δίνεται: dI r dm I r dm= = ∫ Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρειάζεται να εκφραστούν τόσο το r

όσο και το dm συναρτήσει της ίδιας μεταβλητής ολοκλήρωσης.

Σε αυτό παίζει το σπουδαιότατο ρόλο η συμμετρία του σώματος και ο βαθμός ομογένειας στην κατανομή της μάζας του στο χώρο.

Π.χ. 1-D σώμα: χρήση της μεταβλητής x για το μήκος και σχέση του dm με τοdx.

3-D σώμα: εκφράζουμε το dm συναρτήσει του στοιχειώδους όγκου dV και της πυκνότητας ρ.

2

2

, ( ) για

στ.

dm I r V dVdV

I r dV

ρ ρ

ρ ρ

= =

= → =

∫∫

Καρτεσιανές συντεταγμένες

dV dx dy dz=

18/11/2011 27ΚΕΦ. 9

ΥΠΟΛΟΓΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Παράδειγμα: Ομογενής λεπτή ράβδος, άξονας ⊥ στη ράβδο

Μάζα M και μήκος L.

Υπολογίστε την ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το O, σε τυχαία απόσταση h από το άκρο της

Γραμμική πυκνότητα μάζας λ=Μ/L ⇒ dm=λdx

Επιλέγουμε το dx σε απόσταση x από το O.3

2 2 2 3 2 2( 3 3 )3 3

L hL h

h h

xI x dm x dx x dx L L h Lhλλ λ λ−−

− −

= = = = = − +

∫ ∫ ∫

Άκρο της ράβδου h=0:

Μέσο της ράβδου h=L/2:

18/11/2011 28ΚΕΦ. 9

23 3

3 3 3AM MLI L LL

λ= = =

2 23 2 313 3

3 2 2 3 4 12L L MLI L L L Lλ λ = − + = =


Παράδειγμα: Κοίλος στερεός ομογενής κύλινδρος ως προς τον άξονα συμμετρίας του

Μήκος L, εσωτερική διάμετρος R1, εξωτερική διάμετρος R2.

Επιλογή στοιχειώδους όγκου: Κυλινδρικός φλοιός ακτίνας r, πάχους dr, και μήκους (ύψους) L. Όλα τα τμήματα του φλοιού αυτού απέχουν την ίδια απόσταση από τον άξονα.

2 2

1 1

2 2 3 4 42 1

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

2(2 ) 2 ( )4

1( )( ) ( )2 2

R R

R R

LI r dm r rLdr L r dr R R

L R R R R I M R R

πρρ π πρ

πρ

= = = = − =

= − + ⇒ = +

∫ ∫ ∫

18/11/2011 29ΚΕΦ. 9

2 22 1 2 2

2 1

Κύλινδρος: όγκος ( ), πυκνότητα =( )

Φλοιός: όγκος 2 , μάζα (2 )

MV L R RL R R

dV rLdr dm dV rLdr

π ρπ

π ρ ρ π

= −−

= = =


Κοίλος στερεός ομογενής κύλινδρος ως προς τον άξονα συμμετρίας του

Στερεός κύλινδρος, R1=0, R2=R:

Στερεός λεπτός κυλινδρικός φλοιός, R1 και R2 σχεδόν ίσες:

Σημ.: Η ροπή αδράνεια κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του εξαρτάται από τη μάζα και την ακτίνα αλλά όχι από το μήκος του!

2 22 1

1 ( )2

I M R R= +

212

I MR=

2I MR=

18/11/2011 30ΚΕΦ. 9


Παράδειγμα: Ομογενής σφαίρα, άξονας μέσω του κέντρου της.

Ακτίνα σφαίρας R. Όγκος σφαίρας:

Μάζα Μ. Πυκνότητα:

Διαιρούμε τη σφαίρα σε λεπτούς δίσκους πάχους dx,

2 2 2 2 2

2 2 2

Ακτίνα: Όγκος: ( )Μάζα: ( )

r R x dV r dx R x dxdm dV r dx R x dx

π π

ρ ρπ πρ

= − = = −

= = = −

Η ροπή αδράνειας δίσκου ακτίνας r και μάζας dm είναι

( )22 2 2 2 2 2 2 21 1 [ ( ) ] ( )

2 2 2dI r dm R x R x dx R x dxπρπρ= = − − = −

18/11/2011 31ΚΕΦ. 9

343RV π

=

34 / 3MR

ρπ

=


Ομογενής σφαίρα, άξονας μέσω του κέντρου της.

Ολοκληρώνουμε από x=-R έως x=R :

2 2 2 4 2 2 4 5 516 8( ) ( 2 )2 2 2 15 15

R R

R R

I R x dx R R x x dx R Rπρ πρ πρ πρ

− −

= − = − + = =∫ ∫

Επειδή η μάζα M της σφαίρας 343

M V Rπρρ= =

2Ομογενής σφαίρα 5

: 2I MR=

18/11/2011 32ΚΕΦ. 9

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Από το βιβλίο

9.61, 9.77, 9.89 ,9.97 9.100. 9.101

18/11/2011 33ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ...

Documents

Transcript of ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ...