Κεφάλαιο 8Ορμή, Ώθηση και Κρούσεις

• Η ορμή είναι από τα πλέον βασικά φυσικά μεγέθη.

• Επεκτείνει την κατανόηση των νόμων του Νεύτωνα.

• Και όπως η ενέργεια είναι μια ποσότητα που διατηρείται στο σύμπαν.

Και η συνολική δύναμη σχετίζεταιΤόσο με τη μεταβολή του όσο και με τη μεταβολή της μάζας

ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΜΗΣ

Η Ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος.Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωναγράφεται:

2ος Νόμος του Νεύτωνα:

Το άθροισμα των δυνάμεων είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής του , το οποίο ονομάζεται Ορμή ή γραμμική ορμή.

Ορμή και Ώθηση( )d dF m m

dt dtολυ υ= =

P mυ=

mυ

dPFdtολ =

υ

20/11/2011 2ΚΕΦ. 8

2 1 Ορισμός Ώθησης

και και

dP PF F t P P P Jdt t

JF P F t Jt

ολ ολ

ολ ολ

∆≡ = ⇒ ∆ = ∆ = − =

∆

= ∆ = ∆ =∆

Γενικός ορισμός Ώθησης:

Έστω σταθερή δύναμη που ενεργεί σε σώμα:Ορμή και Ώθηση

Εάν η δύναμη δεν είναι σταθερή:

2

1

1 1

2 1

, Ολοκληρώνουμε από έως

και t

t

dPF F dt dP t tdt

F dt P P J

ολ ολ

ολ

= ⇒ =

= − =∫

2

1

t

t

J F dtολ≡ ∫

20/11/2011 3ΚΕΦ. 8

Γενικός ορισμός Ώθησης:

Ορμή και Ώθηση2

1

t

t

J F dtολ≡ ∫

20/11/2011 4ΚΕΦ. 8

Σύγκριση Ορμής και Κινητικής Ενέργειας

Βασική διαφορά μεταξύ ορμής και κινητικής ενέργειας

Μεταβολή ορμής οφείλεται στην ώθηση της δύναμης που εξαρτάται από το χρόνο δράσης της δύναμης.

Μεταβολή κινητικής ενέργειας οφείλεται στο έργο της δύναμης το οποίο εξαρτάται από την απόσταση που δρα η δύναμη.

20/11/2011 5ΚΕΦ. 8

Όταν εφαρμόζεται μια συνολική δύναμη Fολ σε σύστημα επιφέρει μεταβολή της κινητικής ενέργειας και της ορμής του:

Σχέση Ορμής και Κινητικής Ενέργειας

2 1 2 1 και P P P F t K K K F sολ ολ∆ = − = ∆ ∆ = − = ⋅∆

Σχέση κινητικής ενέργειας - ορμής:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

221 1 1 1 1= = και

2 2 2 2 21 1 1d2 2 2

1 1 . Αυτό ισχύει όταν 2 2

P PK m m P Pm m

K d P P d dP m d dP

md dP dP dP dP dP P

υ υ υ υ

υ υ υ υ υ υ

υ υ υ υ υ υ

= ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

20/11/2011 6ΚΕΦ. 8

2d =ext ext extdK dKK dP F dt F Fdt dt

υυ υ υυ

= ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ =

Για δεδομένη ταχύτητα η δύναμη είναι ανάλογη της μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας!

1. Έστω σώμα Α απομονωμένο Fολ=0 τότε

2. Έστω απομονωμένο σύστημα 2 σωμάτων A και B που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες και αντίθετες σύμφωνα με τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, οπότε:

0 σταθερήdP F Pdt ολ= = ⇒ =

Διατήρηση Ορμής

( )

ος, , , ,

ος, , 0

3 νόμος 0 και από

2 νόμος 0 0 0 0

B A A B B A A B

B AB A A B B A

F F F F

dP dP d dF F P P Pdt dt dt dt λ

→ = − ⇒ + =

+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Οι εσωτερικές δυνάμεις που ενεργούν σε απομονωμένο σύστημα δεν αλλάζουν την ορμή του συστήματος.Εάν το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν σε απομονωμένο σύστημα είναι μηδέν, η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή (διατηρείται).

20/11/2011 7ΚΕΦ. 8

Ορμή συστήματος σωματιδίων

• Η συνολική ορμή συστήματος σωματιδίων ορίζεται ως:

•Από 2ο Νόμο του Νεύτωνα:

sysP

sysi ext netext

i i i

dPp F F

dt= = =∑ ∑ ∑

“εσωτερικές δυνάμεις” αναιρούνται ανά δύο(3ος Νόμος).

sys i i ii i

P m v p= =∑ ∑

20/11/2011 8ΚΕΦ. 8

Κρούσεις• Μη ελαστικές κρούσεις:

Δυο σώματα έρχονται σε επαφή ειδική περίπτωση: Τελείως μη ελαστική κρούση (Πλαστική)

(ένωση 2 σωμάτων ή διάσπαση ενός σε θραύσματα)Δεν διατηρείται η Κινητική Ενέργεια

• Ελαστικές κρούσεις :

Διατηρείται η Κινητική Ενέργεια

Προσοχή: Διατήρηση Ορμής!

Εάν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις

20/11/2011 9ΚΕΦ. 8

Μη Ελαστικές Κρούσεις•Κρούση σωματίων A και B των οποίων η αρχική και η τελική κίνηση συμβαίνει στην διεύθυνση x. (1-D)

Διατηρείται μόνο η ΟΡΜΗ

1 1 2 2

1 1

(για όλες τις κρούσεις)( ) (για τελείως μή ελεστική κρούση)

A A x B B x A A x B B x

A A x B B x A B f

m m m mm m m mυ υ υ υυ υ υ

+ = ++ = +

Παράδειγμα Βαλλιστικό εκκρεμές

ΠΡΙΝ ΚΡΟΥΣΗΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ

20/11/2011 10ΚΕΦ. 8

“ΠΡΙΝ”M“ΜΕΤΑ”

m1 m2v1

v2

Παράδειγμα: m1 = M/3 m2 = 2M/3

Μετά την έκρηξη, ποιο θραύσμα έχει την μεγαλύτερη ορμή; (Ίδιο μέτρο, αντίθετη κατεύθυνση)

ποιο θραύσμα έχει την μεγαλύτερη ταχύτητα;

m1v1 = - m2v2, οπότε μικρότερη μάζα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα: v1 > v2.

Διατηρείται η κινητική ενέργεια?

ΟΧΙ! K ήταν 0 πριν, είναι μεγαλύτερη μετά την έκρηξη. (εσωτερική μη-συντηρητική δύναμη παράγει έργο.)

Παράδειγμα Έκρηξη

20/11/2011 11ΚΕΦ. 8

Ελαστική Κρούση σε 1-DΠΡΙΝ

ΜΕΤΑ

ΠΡΙΝ

ΜΕΤΑ

2 2 2 2

(διατήρηση ορμής)

1 1 (διατήρηση ΚΕ)2 2

A Ai B Bi A Af B Bf

A Ai B Bi A Af B Bf

m m m m

m m m m

υ υ υ υ

υ υ υ υ

+ = +

+ = +

2

2

A B BAf Ai Bi

A B A B

A B ABf Ai Bi

A B A B

m m mm m m m

m m mm m m m

υ υ υ

υ υ υ

−= +

+ +−

= ++ +20/11/2011 12ΚΕΦ. 8

Ελαστική Κρούση σε 2-D

ΜΕΤΑ

ΠΡΙΝ 2 2 21 2 2

2 22 1 2

2

1 12 2A A A A B B

A A A AB

B

m m m

m mm

υ υ υ

υ υυ

= +

−=

1 2 2

2 2

(x -D)0= (y -D)

A A x A A x B B x

A A y B B y

m m mm mυ υ υυ υ= +

+Από τις 2 αυτές εξισώσειςΥπολογίζονται οι γωνίες α και β

20/11/2011 13ΚΕΦ. 8

Κέντρο ΜάζαςΈστω αριθμός σωματιδίων με μάζες m1, m2 ... Που είναι διατεταγμένα

στο επίπεδο (x,y)

(x1, y1) είναι οι συντεταγμένες θέσης του m1, (x2, y2) του m2 …

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ του συστήματος των σωματιδίων ορίζεται το σημείο με συντεταγμένες (xcm, ycm) που δίνονται από:

∑∑

=+++

+++=

ii

iii

cm m

xm

mmmxmxmxmx...

...

321

332211

∑∑

=+++

+++=

ii

iii

cm m

ym

mmmymymymy...

...

321

332211

20/11/2011 14ΚΕΦ. 8

Κέντρο μάζας συστήματος N σωματιδίων με μάζες m1, m2, m3, ... Και θέσεις (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), ... Ορίζεται από συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης των σωματιδίων από:

∑∑

=++++++

=

ii

iii

cm m

rm

mmmrmrmrmr

......

321

332211

Κέντρο μάζας είναι η κατά μάζα σταθμισμένη μέση θέση των σωματιδίων

Εάν παραγωγίσουμε την έκφραση αυτή ως προς το χρόνο έχουμε για την ταχύτητα το κέντρου μάζας:

∑∑

=++++++

=

ii

iii

cm m

vm

mmmvmvmvmv

......

321

332211

Κέντρο Μάζας

20/11/2011 15ΚΕΦ. 8

Και επειδή: η συνολική μάζα του συστήματος σωματιδίων

Συνολική ορμή ισούται με την συνολική μάζα επί την ταχύτητα του Κέντρου Μάζας

Για σύστημα σωματιδίων που δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (απομονωμένο), η συνολική ορμή είναι σταθερή, συνεπώς η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι επίσης σταθερή.

i cm i i cm i ii i i

m v m v Mv m v P= ⇒ = =∑ ∑ ∑

Η συνολική ΟΡΜΗτου συστήματος

Κέντρο Μάζαςi

im M=∑

Κίνηση του κέντρου μάζας και εξωτερικές δυνάμεις

Ας αρχίσουμε από την εξίσωση κίνησης του ι σωματιδίου ενός συστήματος σωματιδίων ή ενός στερεού:

ii iext ij

j i

dp F F Fdt ολ

≠

= = +∑

20/11/2011 16ΚΕΦ. 8

1 1 2 2 3 3 ...cm extdP Ma m a m a m a Fdt

= = + + + =

Κίνηση Κέντρου ΜάζαςΑθροίζουμε για όλα τα σωματίδια του συστήματος

,

ii iext ij ext

i j i

dp d dPp F F Fdt dt dtι ι

= = = + =∑ ∑ ∑ ∑

Το διπλό άθροισμα είναι μηδέν αφού αθροίζουμε όλες τις εσωτερικές δυνάμεις που ανά δυο είναι ίσες και αντίθετες 3ος Νόμος. Συνεπώς:

2ος ΝΟΜΟΣ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Η ΣΩΜΑ,

0ijj i

F =∑

20/11/2011 17ΚΕΦ. 8

Κινητική ενέργεια συστήματος σωματιδίων

Έστω ότι το σωματίδιο ι είναι στο σημείο P και το ΟΑείναι το σύστημα αναφοράς ενός παρατηρητή ενώ το ΟΒ είναι το CM

Συναρτήσει της ταχύτητας του CM και της σχετικής ταχύτητας ως προς το CM:

ir

cr ir′

i c i i c i i c id d dr r r r r rdt dt dt

υ υ υ ′′ ′= + ⇒ = + ⇒ = +

( ) ( )2 2 2 2

1 12 2

1 1 1 12 2 2 2

i i i i c i c ii i

i c i i c i i c i ii i i i

K m m

m m m M m

υ υ υ υ υ υ

υ υ υ υ υ υ

′ ′= ⋅ = + ⋅ + =

′ ′ ′+ + = +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

0ic i i c i c i c c

i i i

dr d dm m m r Mrdt dt dt

υ υ υ υ υ′ ′′ ′= = = =∑ ∑ ∑

ec r lK K K= +20/11/2011 18ΚΕΦ. 8

Συστήματα μεταβλητής μάζας

Γενικά: Ο υπολογισμός του dp πρέπει να γίνεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Χρήση του 2ου Νόμου στη γενική του μορφή και υπολογισμό των ποσοτήτων , κυρίως του dP και της Fext πρωτογενώς:

extdPFdt

=

20/11/2011 19ΚΕΦ. 8

α) Σταγόνα μέσα σε υδρατμούς v ταχύτητα σταγόνας, F εξωτερική δύναμη, vυ η ταχύτητα των υδρατμών

F

v

vυ

υδρατμοί

σταγόνα

F

v

vυ

υδρατμοί

σταγόνα

Συστήματα μεταβλητής μάζας

extdPFdt

=

20/11/2011 20ΚΕΦ. 8

F

v

vυ

υδρατμοί

σταγόνα

F

v

vυ

υδρατμοί

σταγόνα

Σύστημα: Σταγόνας υδρατμών σε t και t+dtΣταγόνα Υδρατμοί

(κλάσμα)Ορμήσυστήματος

t m, v, dm, vυ mv+dmvυ

t+dt m+dm, v+dv - (m+dm)(v+dv)

dp=(m+dm)(v+dv) – (mv + dmvυ)=mv+mdv+vdm+dvdm-mv-dmvυdp=mdv+dm(v-vυ)

( )dP d dmmdt dt dtυ

υ υ υ= + −

Αυτή είναι διανυσματική εξίσωση, συνεπώς θα προκύψουν γενικά 3 διαφορικές εξισώσεις για να υπολογίσουμε π.χ. υ(t).

Ο υπολογισμός του dP σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς

Συστήματα μεταβλητής μάζας

20/11/2011 21ΚΕΦ. 8

Σύστημα: Ταινίας Μεταφοράς ΥλικούΤαινία+υλικό Υλικό που θα ενσωματωθεί

στην ταινίαΟρμήσυστήματος

t Μ+m, v dm, v=0, 0 (M+m)vt+dt Μ+m+dm, v - (Μ+m+dm)v

Αυτή μας δίνει κατευθείαν τη δύναμη σε 1D, και υποθέτοντας υ σταθερό, για δεδομένο dm/dt

β) Ταινία μεταφοράς Ο υπολογισμός του dP σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς

dp=(Μ+m+dm)v -(M+m)v=dmv

extdP dmFdt dt

υ= =

Συστήματα μεταβλητής μάζας

20/11/2011 22ΚΕΦ. 8

Σύστημα: ΠύραυλοςΠύραυλος Αέρια Ορμή

συστήματοςt m, v - mvt+dt m-dm, v+dv dm, v-ve (m-dm)(v+dv)+dm(v-ve)

Ζητούμενο η συνάρτηση υ(t).Συγκεκριμένο πρόβλημα:

γ) ΠύραυλοςΟ υπολογισμός του dP σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Συνεπώς η εξίσωση κίνησης είναι:

ext edP d dmF mdt dt dt

υ υ= = −

dP=(m-dm)(v+dv)+dm(v-ve)-mv=mv+mdv-dmv-dvdm+dmv-dmve-mv=mdv-dmve

Συστήματα μεταβλητής μάζας

20/11/2011 23ΚΕΦ. 8

Ζητούμενο η συνάρτηση υ(t). Συγκεκριμένο πρόβλημα: Κίνηση κατακόρυφη προς τα επάνω.Fext=-mg, g σταθερό, ve =-ve , η αρχική μάζα είναι m0, η τελική mf και ο ρυθμός εκπομπής αερίων σταθερός dm/dt=c .

Πύραυλος στο πεδίο βαρύτητας της ΓηςΑδρανειακό σύστημα: Παρατηρητής στη Γη

Συνεπώς η εξίσωση κίνησης είναι:

ed dmmg mdt dtυ υ⇒ − = +

eυ

z+

ext edP d dmF mdt dt dt

υ υ= = −

1( ) ( )e e

d dm dmg d gdtdt m t dt m tυ υ υ υ⇒ = − − ⇒ = − −

0 0

000

( )Ολοκλήρωση ( ) ln( )

t m

e em

dm m td gdt t gtm t m

υ

υ

υ υ υ υ υ→ = − − ⇒ = − −∫ ∫ ∫0

0Τελικά ( ) ln( )e

mt gtm t

υ υ υ⇒ = − +

20/11/2011 ΚΕΦ. 8 24

Προβλήματα για μελέτη

Από το βιβλίο8.54, 8.66, 8.73,8.90, 8.101, 8.102