Γεωμετρική Οπτική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική ΟπτικήΓνωρίζουμε τα βασικά

Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος.

Προσπίπτουσαακτίνα

Ανακλώμενηακτίνα

θ1 θr

n1

Διαθλώμενη ακτίνα

θ2n2

n n1 1 2 2sin sinθ θ=

θ θi r=

• Μέσω αυτών των νόμων μπορούμε να καταλάβουμε τις ιδιότητες των κατόπτρων και φακών.

Ανάκλαση:

Διάθλαση:

– Κάτοπτρα - κυρτά, κοίλα, επίπεδα– Εξίσωση κατόπτρων– Εξίσωση φακών– Συστήματα φακών

ΕΙΔΩΛΑ

ΕπίπεδοΚάτοπτρο

Επίπεδο κάτοπτρο

Αντικείμενοφανταστικόείδωλο

θθ

θθ

io

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ

o = -i

Επίπεδο κάτοπτροΕίδωλα εκτεταμένων αντικειμένων

επίπεδοκάτοπτρο

Εκτεταμένοαντικείμενο

φανταστικόείδωλο

io

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ

o = -i

h h’

Μεγέθυνση:M = h’/ h = 1

Κάτοπτρο

Πολλαπλά κάτοπτρα

αντικείμενο

είδωλο 1

είδωλο 2

είδωλο 3

MIRROR 1

90o

ΚΟΙΛΑ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ• Θεωρούμε τις ανακλάσεις από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο στην παραξονική

προσέγγιση (δηλ. Μικρές γωνίες πρόσπτωσης ως προς τον άξονα):

• Τραβάμε μια ακτίνα (κόκκινη) από την κορυφή του βέλους μέσω του κέντρου του σφαιρικού κατόπτρου. Η ακτίνα ανακλάται στην ίδια διεύθυνση (προσπίπτει κάθετα)

θθ

• Τέμνονται σε σημείο και σχηματίζεται ανεστραμμένο είδωλο.• Για έλεγχο, τραβάμε άλλη ακτίνα (πράσινη) που προσπίπτει υπό γωνία α

ώστε η ανακλώμενη ακτίνα να είναι παράλληλη στον οπτικό άξονα.

αα

• Τραβάμε μια ακτίνα (λευκή) από την κορυφή παράλληλα προς τον άξονα. Ανακλάται όπως φαίνεται.

• Η πράσινη ακτίνα τέμνει την λευκή ακτίνα σε ένα σημείο πάνω στον άξονα. Το σημείο αυτό ονομάζεται εστιακό σημείο ( ).

Εξίσωση κατόπτρων• Σχέση μεταξύ των μεγεθών:

γθ

αα

αντικείμενοβ

h

είδωλο

oi

γ α θ= +2β α θ= +

Από τα τρίγωνα,

Απαλείφοντας το α,γ β θ= −2

Χρησιμοποιούμε την προσέγγιση μικρής γωνίας:

oh

≈θRh

≈β ih

≈γ

Θέτουμε αυτές τις τιμές στη σχέση των γωνιών και βρίσκουμε:

o1

R2

i1

−= Ορίζουμε την εστιακή απόσταση

f = R/2, f1

i1

o1

=+

Αυτή είναι η εξίσωση των κατόπτρων. Δεν υπάρχει σε αυτή η θ οπότε ισχύει για κάθε θ, Οπότε έχουμε ένα είδωλο.

ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ• Η εξίσωση των κατόπτρων μας δίνει την απόσταση του ειδώλου

συναρτήσει της απόστασης του αντικειμένου και της εστιακής απόστασης:

f1

i1

o1

=+

• Πόσο είναι το μέγεθος του ειδώλου; • Πόσο είναι το h’ ως προς το h;• Από τα όμοια τρίγωνα:

Εισάγουμε σύμβαση για τα πρόσημα. Το είδωλο είναι ανεστραμμένο εάν θεωρήσουμε τη μεγέθυνση M ως αρνητικό αριθμό που δίνεται από: o

iM −=

θθh

o

h’i

ho

=h'i

h'h

=io

Κοίλο-Επίπεδο-Κυρτό• Τι συμβαίνει καθώς αλλάζουμε την καμπυλότητα του κατόπτρου;

– Επίπεδο κάτοπτρο:» R = ∞ 0

i1

o1

=+ oi −=

M = +1

ΕΙΔΩΛΟ: φανταστικό

ορθό

h’

θ

h

θ

o if

f R= <2

0

f1

i1

o1

=+ 0o1

f1

i1

<−=

0i <

M > 0

ΕΙΔΩΛΟ: φανταστικό

ορθό

– Κυρτό:» R < 0

5

ΟΡΙΣΜΟΙ: Κάτοπτρα-φακοί-o = απόσταση αντικειμένου –κατόπτρου (ή φακού)

– i = απόσταση αντικειμένου –κατόπτρου (ή φακού)o θετικό, i θετικό εάν είναι στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το o.

– R = ακτίνα καμπυλότητας– f = εστιακή απόσταση, = R/2 για σφαιρικά κάτοπτρα. – M = μεγέθυνση, (μέγεθος ειδώλου) / (μέγεθος αντικειμένου)

αρνητικό σημαίνει ανεστραμμένο είδωλο

γθ

αα

αντικείμενοβ

h

είδωλο

oi

f1

i1

o1

=+

oiM −=

ΦΑΚΟΙ•Φακός ένα κομμάτι διαφανούς υλικού με μορφή τέτοια που εστιάζει μια παράλληλη δέσμη φωτός:

–Συγκλίνων φακός»Φως διαδιδόμενο από τον αέρα στο

γυαλί θα συγκλίνει προς την κάθετο»Φως διαδιδόμενο από γυαλί προς τον αέρα γυαλί θα αποκλίνει από την κάθετο

»Πραγματική εστία

– Αποκλίνων φακός» Φανταστικό είδωλο

1) Ακτίνες παράλληλες προς τον κύριο άξονα περνούν από την εστία.2) Ακτίνες από το κέντρο του φακού δεν διαθλώνται.3) Ακτίνες από την εστία F εξέρχονται παράλληλα προς τον κύριο άξονα.

Παραδοχές:

• μονοχρωματικό φως και λεπτός φακός.

• Παραξονική προσέγγιση.

F

F

Αντικείμενο

ΚύριοςΆξονας

Είδωλο: πραγματικό, αντεστραμμένο.

Είδωλο

Συγκλίνων φακός Κύριες ακτίνες

Εξίσωση φακών• Θα αποδείξουμε την εξίσωση των φακών που σχετίζει την απόσταση

του ειδώλου με την απόσταση του αντικειμένου και την εστιακή.– Συγκλίνων φακός:

if

h’o

h

Πορεία ακτίνων:• Ακτίνα από το κέντρο.

Δύο ζεύγη ομοίων τριγώνων: h ih o′

=h h h i f

i f f h f′ ′ −

= ⇒ =−

Απαλοιφή του h’/h:f

fioi −

=f1

o1

i1

=+Ίδια με την Εξ. κατόπτρων

εάν ορίσουμεi > 0 f > 0

Μεγέθυνση: ιδια επίσης μα κάτοπτρα!!M < 0 για αντεστ. είδωλο. o

iM −=

• Ακτίνα παράλληλη προς τον άξονα από την εστία f.

1) Ακτίνες παράλληλες στον Κ.Α. Περνούν από την εστία.2) Ακτίνες από κέντρο του φακού δεν διαθλώνται.3) Ακτίνες προς την εστία F εξέρχονται παράλληλα προς τον Κ.Α.

F

F

Αντικείμενο

Κ. A.

Είδωλο φανταστικό, ορθό.

Είδωλο

Αποκλίνων Φακός Κύριος ακτίνες

Εξίσωση κατασκευαστών φακών• Πως κατασκευάζουμε φακό με δεδομένη εστιακή απόσταση f ;• Αρχή από το νόμο του Snell. Θεωρούμε επίπεδο-κυρτό φακό:

Νόμος Snell στην καμπύλη επιφάνεια:N sin sinθ α=

Προσέγγιση μικρής γωνίας, α θ≈ N

Γωνία απόκλισης β είναι:β α θ θ= − ≈ −( )N 1

Σχέση γωνίας β με την εστιακή απόσταση f: β ≈ hf

Γωνία θ συναρτήσει της ακτίνας R, ακτίνα καμπυλότητας φακού:h R≈ θ

Συνδυάζοντας τις 2 εξισώσεις,

β α θ θ= − ≈ − ≈ − ≈( ) ( )N N hR

hf

1 11 1 1f

NR

≈ −( )

Nαέρας αέραςh

θ β αθακτίνα

1 1 1f

NR

≈ −( ) ( )

−−=

21 R1

R11n

f1

Δυο καμπύλες επιφάνειες

Δυο αυθαίρετοι δείκτες διάθλασης

−

−=

211

12R1

R1

nnn

f1

R > 0 εάν το φως προσπίπτει σε κυρτή επιφάνεια

R < 0 εάν το φως προσπίπτει σε κοίλη επιφάνεια

Αυτή είναι η γενικευμένη σχέση.

Σημείωση: για φακό με μια επιφάνεια επίπεδη, ∞=R

Εξίσωση κατασκευαστών φακών

Σύνοψη• Αποδείξαμε τις ίδιες εξισώσεις για φακούς και κάτοπτρα στην

παραξονική προσέγγιση και για λεπτού φακούς:

f1

i1

o1

=+oiM −=

Όπου χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβάσεις προσήμων:

Μεταβλητή

f > 0f < 0

o > 0o < 0

i > 0i < 0

Κάτοπτρο

Κοίλοκυρτό

πραγματικόφανταστικό

πραγματικόφανταστικό

Φακός

συγκλίνωναποκλίνων

πραγματικόφανταστικό

πραγματικόφανταστικό