Κεφάλαιο 13

Περιοδική Κίνηση

Περιοδική ΚίνησηΗ ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική

•Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση.•Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης•Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία μετά από διαταραχή θα εμφανίσει ταλαντωτική κίνηση (π.χ. μια μπίλια στον πυθμένα ενός ημισφαιρικού δοχείου, ένα ατομικό ή μοριακό σύστημα, ένα κρυσταλλικό υλικό)•Είναι η γέφυρα που θα μας οδηγήσει από την μηχανική των σωματιδίων στην φυσική της κυματικής κίνησης.

• Κινηματικές και δυναμικές ποσότητες

• x μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας

• Fx δύναμη επαναφοράς

• A το πλάτος, μέγιστη απόσταση από την ισορροπία

• T η περίοδος, χρόνος μια πλήρους ταλάντωσης

• f συχνότητα, αριθμός ταλαντώσεων στην μονάδα του χρόνου (Hz)

• ω γωνιακή συχνότητα, (rad/s)

Περιγραφή ταλάντωσης

( )F x kx= −

Απλή Αρμονική Κίνηση• Η περιοδική κίνηση είναι μια

επαναλαμβανομένη κίνηση σε ένα χαρακτηριστικό χρόνο (π.χ. η κίνηση ενός πλανήτη ή του εκκρεμούς.

• Η ταλάντωση είναι ένας ειδικός τύπος περιοδικής κίνησης κατά την οποία το σύστημα κινείται απομακρυνόμενοκαι επανερχόμενο σε μια θέση ευσταθούς ισορροπίας.

• Απλή αρμονική, η δύναμη είναι ανάλογη της μετατόπισης.

2

2( ) d d xF x kx m mdt dtυ

= − = =

2

2 Εξίσωση απλής αρμονικής κίνησης, d xm kxdt

= −

Λύση της εξίσωσης της απλής αρμονική κίνησης

• Η εξίσωση είναι 2ης τάξης και είναι εύκολο να φανταστούμε μια λύση της αφού υπάρχουν συναρτήσεις που η 2η παράγωγος τους είναι ο εαυτός τους, π.χ.:

( ) cos και με αντικατάσταση:x t A tω=2

22

2 22

2

2 2

και με αντικατάσταση:sin cos

cos ( ) cos

( ) cos cos 1

dx d xA t A tdt dt

d x Amm Am t kx x t tdt k

Am m kx t t A tk k m

ω ω ω ω

ωω ω ω

ω ωω ω ω

= → = −

= − = − ⇒ =

= = ⇒ = → = ±

Λύση της εξίσωσης της απλής αρμονική κίνησης• Η λύση της εξίσωσης μπορεί να είναι οποιαδήποτε «αρμονική»

συνάρτηση γι αυτό αρμονική κίνηση.• Σχέση κινηματικών ποσοτήτων και περιστρεφόμενων διανυσμάτων:

απλή αρμονική κίνηση1 1 2, ,

2 2k k mf Tm m f k

ω πωπ π ω

= = = = =

2( ) cos ( ) sin ( ) cosx t A t t A t a t A tω υ ω ω ω ω= = − =

Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση• Στην ΑΑΚ οι δυνάμεις είναι διατηρητικές → Μηχανική ενέργεια

διατηρείται:

2 2 21 1 1 σταθερή2 2 2xE m kx kAυ= + = =

,max

Μέγιστη μετατόπιση

Μέγιστη ταχύτητα

x

A

k A Am

υ ω= =

Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση• Παράδειγμα: Λύση της ενεργειακής εξίσωσης

( ) ( )2

2 2 21 1 1 12 2 2 2k p

dxE E t E x m kx E m kxdt

υ = + = + ⇒ = +

( )( )

12

1 12 2

2

2 ή2 2 1

2

p

p

dx dx dxE E x dt dtdt m

E E x E kxm m

= − ⇒ = ⇒ = − −

1 1 12 2 222 2 22 1 2 1 2

2 2

dx dx m dxdt dt dtk EE xE kx k x

km m k

= ⇒ = ⇒ = −− −

2 2 και E kAk m

ω= =Θέτοντας : 1 12 22 222

m dx dx kdt dt dtk mE A xx

k

ω= ⇒ = = − −

11

2 2 2

( )sin ( ) sin( )dx x tdt tAA x

x t A tω ω φ ω φ− ′= ⇒ = + → −

= + ′∫ ∫

παίρνει τη μορφή:

Η τελευταία με ολοκλήρωση δίνει:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣΑπλό εκκρεμές: Από την δυναμική, κινούσα δύναμη

Η δύναμη επαναφοράς είναι ~του sinθ, για μικρές αποκλίσεις sinθ ~ θ οπότε:

sinF mgθ θ= −

μικρό πλάτος1 1, = και 2 ,

2 2k g g Lf Tm L L f g

ωω ππ π

= = = = =

sin

όπου

xF mg mg mg kxL

mgkL

θ θ θ= − − = − = −

=

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣΦυσικό εκκρεμές: Στο σώμα ασκείται η ροπή

του βάρους ως προς το στήριγμα:

Μέθοδος μέτρησης ροπής αδράνειας

μικρό πλάτος1 1, και 2 ,

2mgd mgd If T

I I f mgdω π

π= = = =

ˆˆ ˆˆcos sin 0 sin

0 0

sinz

i j kd mg m d d mgd k

g

mgd mgd

τ θ θ θ

τ θ θ

= × = = −

= − −

2 2

2 2( ) ( )zd d mgdI mgddt dt Iθ θτ θ θ= = − ⇒ = −

z

y

x

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣΓενικά: Δέσμιο σύστημα(π.χ. Πυρήνας, άτομο, ηλιακό, κ.τ.λ. βρίσκονται σε ευσταθή

ισορροπία και η δυναμική ενέργεια θα έχει ελάχιστο. Θεωρούμε τη δυναμική ενέργεια

του συστήματος U(r) (άγνωστη) και τη θέση ευσταθούς ισορροπίας r0, τότε μπορούμε

να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση μέσω του αναπτύγματος Taylor:

Ο πρώτος όρος ορίζεται αυθαίρετα, άρα τον λαμβάνουμε ως μηδέν. Ο δεύτερος όρος είναι μηδέν. Οπότε: Η δυναμική ενέργεια προσεγγίζεται με την ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή:

( )00 0

22

0 0 0 02

1 1( ) ( ) ( ) ( )! 2

nn

nn r rr r r r

d U dU d UU r r r U r r r r rn dr dr dr

∞

−= −

= − = + − + −∑

( ) ( )0 0

2 22 2

0 02 2

1 1 1( ) όπου 2 2 2r r r r

d U d UU r r r k r r kdr dr

− −

= − = − =

Κάθε δυναμικό σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας προσεγγίζεται από το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή. Μικρή διαταραχή από την θέση ισορροπίας οδηγεί σε απλή αρμονική κίνηση με k που δίνεται από την παραπάνω σχέση.

Παράδειγμα: Μοριακές ταλαντώσεις• Διατομικό μόριο, τα άτομα απέχουν απόσταση r και, R0 , η θέση ισορροπίας.

Περιγραφή του δυναμικού με πολλές συναρτήσεις ένα πολύ γνωστό δυναμικό είναι το Lennard–Jones:

0

12 6 20 0 0

0 2 20

72122 r R

R R Ud UU U kr r dr R

−

= − ⇒ = =

2 20 02 20 0

72 721 1 και 2 2eq eq

U UU kr r F kr rR R

= = = − = −

Αποσβενόμενες ταλαντώσεις

x xF kx bυ= − −∑

• Απόσβεση ταλάντωσης: Συνεχής ελάττωση του πλάτους λόγω τριβών. Τριβές για μικρές ταχύτητες και οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα θα είναι:

x xF bυ= −

2ος Νόμος του Νεύτωνα και την κίνηση:2

2 xd xm kx bdt

υ= − −

( /2 ) cos( ) μικρή απόσβεσηb tx Ae tπ ω φ− ′= +

Λύση

Η γωνιακή συχνότητα δίνεται από:2

2 μικρή απόσβεση4

k bm m

ω′ = −

Κρίσιμη απόσβεση:2

20 0 2 4

k b b kmm m

ω′ = ⇒= − ⇒ =

Αποσβενόμενες ταλαντώσειςΣχέση παραμέτρων καθορίζει το είδος ταλάντωσηςΔιακρίνουμε 3 είδη:

) 2 υποκρίσιμη

β) 2 κρίσιμη

) 2 υπερκρίσιμη

a b km

b km

b kmγ

<

=

>

Στην α) Υποαποσβενόμενη ταλάντωση. Το πλάτος μειώνεται εκθετικά.β) Δεν ταλαντώνεται, επανέρχεται στην αρχική θέσηγ) Υπεραποσβενόμενη ταλάντωση, το σύστημα επιστρέφει στην αρχική θέση αργότερα από ότι στην κρίσιμη.Αμορτισέρ: Έλεγχος αναπηδήσεων, καλύτερη συνθήκη η κρίσιμη, επανέρχεται ταχύτερα.Συνήθως ρυθμίζονται για ελαφρά υπεραπόσβεση.Με τον καιρό b ελαττώνεται → συνθήκη υπεραπόσβεσης, καθυστερεί η επαναφορά.

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και συντονισμός• Ταλάντωση με σταθερό πλάτος απαιτεί εφαρμογή

περιοδικής δύναμης με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά.• Εξίσωση κίνησης;

2

max2 cosx dd xm kx b F tdt

υ ω+ + =

max2 2 2

( )

πλάτος εξαν. ταλαντωτήd d

FAk m bω ω

=− +

Για το πλάτος της ταλάντωσης έχουμε:

( ) ( )cos dx t A tω φ= +Δοκιμάζουμε λύση,

2 2

Μέγστο πλάτος:

0d dkk mm

ω ω− = → =

Όταν η συχνότητα της εξαναγκάζουσαςδύναμης γίνει ίση με την φυσική συχνότητα του συστήματος τότε έχουμε το φαινόμενο του συντονισμού.

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και συντονισμός

dkm

ω ω= =

Μεγιστοποιείται το πλάτος της ταλάντωσηςκαι γίνεται ανάλογο του 1/b.Μεγιστοποιείται η ενέργεια της ταλάντωσης.Άλλες φορές έχει καταστροφικά αποτελέσματαΠ.χ. δες Γέφυρα ⇒Άλλες φορές επιθυμητά. Πχ. ΣυντονισμόςΣτους πομπούς Η/ΜΑκτινοβολίας.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Young13.36, 13.40, 13.63, 13.81, 13,95, 13.96, 13.102