Κεφάλαιο 12Κεφάλαιο 12

Βαρύτητα

6-12-2011 1Βαρύτητα Κεφ. 12

Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα

• ∆υο ή περισσότερες μάζες έλκονται

• Βαρυτική δύναμη

rrmmGF ˆ2

21

r

• Βαρυτική σταθερά G = 6 67*10 –11 N*m2/kg2• Βαρυτική σταθερά G = 6.67 10 11 N m2/kg2

παγκόσμια σταθερά

6-12-2011 2Βαρύτητα Κεφ. 12

Προσδιορισμός της τιμής του G•Στα 1789 ο Henry Cavendish μέτρησε το G.•Οι δυο μικρές σφαίρες στερεώνονται στα άκρα λεπτής οριζόντιας ράβδου.•∆υο μεγάλες μάζες τοποθετούνται κοντά στις μικρές.•Η γωνία στροφής μετράται από την απόκλιση του φωτός που ανακλάται από κάτοπτρο στερεωμένο στο κατακόρυφο άξονα στρέψης.

6-12-2011 3Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα και αρχή της επαλληλίας

• Για σύνολο αλληλεπιδρώντων σωματιδίων (μαζών), λ ή β ή δύ ί έη συνολική βαρυτική δύναμη που ασκείται σε ένα

από αυτά είναι: n

F F 1, 1

2tot i

iF F

• Για σωματίδιο που αλληλεπιδρά με μια συνεχή κατανομή μάζας το άθροισμα αντικαθίσταται από λ λήολοκλήρωμα

F dF 1, ώ

ώ

F dF

6-12-2011 4Βαρύτητα Κεφ. 12

Θεώρημα φλοιών

• Για σωματίδιο που αλληλεπιδρά με ομογενή ό λ ό ύλσφαιρικό φλοιό ύλης

1 όF dF

• Αποτέλεσμα ολοκλήρωσης: ομογενής σφαιρικός

1, όό

μ ήρ ης μ γ ής φ ρ ςφλοιός έλκει το σωματίδιο ως όλη μάζα του φλοιού να ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο του φλοιού

6-12-2011 5Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρυτική δύναμη πλησίον της ά Γεπιφάνειας της Γης

• Η γη μπορεί να θεωρηθεί ως μια αλληλουχία φλοιών με τον ένα• Η γη μπορεί να θεωρηθεί ως μια αλληλουχία φλοιών με τον ένα εντός του άλλου, ενώ καθένας έλκει το σωματίδιο που βρίσκεται έξω από την επιφάνεια της γης

11 2

ˆm mF G j

R

1 12ˆ ˆGm

m j g m j

• Οπότε η Γη συμπεριφέρεται ως σωματίδιο που βρίσκεται στο

1, 2 jR

1 12 j g jR

κέντρο της και έχει μάζα ίση προς τη μάζα της

g = 9.81 m/s2g• Αυτός ο τύπος προκύπτει θεωρώντας την Γη στάσιμη και με ιδανικό σφαιρικό σχήμα και ομογενή πυκνότητα.

6-12-2011 6Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρυτική δύναμη πλησίον της επιφάνειας της Γης

Στην πραγματικότητα το g δεν είναι σταθερό επειδή: Η Γη περιστρέφεται, Η Γη είναι κατά προσέγγιση ένα ελλειψοειδές εκΗ Γη είναι κατά προσέγγιση ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφήςwith a non-uniform πυκνότηταwith a non uniform πυκνότητα

6-12-2011 7Βαρύτητα Κεφ. 12

Πεδίο βαρύτητας• Υπάρχει βαρυτικό πεδίο σε κάθε σημείο του χώρου

Ό έ ίδ άζ β θ ί ί ά

β ρ η ς

• Όταν ένα σωματίδιο με μάζα βρεθεί σε σημείο που υπάρχει βαρυτικό πεδίο δέχεται δύναμη

• Το πεδίο ασκεί δύναμη στο σωματίδιο

• Το βαρυτικό πεδίο ορίζεται από την ένταση του ως:F

g g

β ρ ρ ζ η η ς

• Συνεπώς το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο του χώρου ορίζεται

mg

Συνεπώς το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο του χώρου ορίζεται ως η βαρυτική δύναμη που δέχεται το σωματίδιο ελέγχου(σωματίδιο με μάζα τη μονάδα μάζας)

•Η παρουσία του σωματιδίου ελέγχου δεν είναι απαραίτητη για την ύπαρξη του πεδίου, είναι απλά το αισθητήριο όργανο για

δ ί ύ ξ δίτην διαπίστωση ύπαρξης του πεδίου6-12-2011 8Βαρύτητα Κεφ. 12

Πεδίο βαρύτητας• Το σωματίδιο πηγή είναι ο δημιουργός του πεδίου• Τα διανύσματα έντασης του βαρυτικού πεδίου κατευθύνονται προς την διεύθυνση της επιτάχυνσης που υφίσταται ένα ρ ς η η ης χ ης φσωματίδιο εάν τοποθετηθεί σε αυτό το πεδίο

Gm2

Gmg

R

Το μέτρο του είναι αυτό της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης σε• Το μέτρο του είναι αυτό της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης σε αυτό το σημείο• Εάν το σώμα βρίσκεται σε απόσταση h από την επιφάνεια της

ίΓης, το r γίνεται RE + h.

2

E

E

GMgR h

• Το g ελαττώνεται καθώς ξαίνεται το h και για r το g →0.6-12-2011 9Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρυτική δυναμική ενέργεια

• Η βαρύτητα είναι διατηρητική δύναμη (το έργο είναι ανεξάρτητο της τροχιάς)ανεξάρτητο της τροχιάς)

1f fr r Gm m

U F d d

1

2i ir r

U F dr drr

11 1Gm m

1

i fr r

1 1 1

1 1f i

i f

U U U Gm mr r

6-12-2011 10Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρυτική δυναμική ενέργεια• Για να μετακινήσουμε ένα σωματίδιο από την αρχική του θέση στο άπειρο:

11

1 1i

Gm mU U Gm m

r r

• Θέτοντας U∞ = 0i ir r

1( )i i

Gm mU r

r

rmGmrU 21)(

ir r

1 1Gm m Gm mdU dF

1 12rF

dr dr r r

6-12-2011 11Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρυτική δυναμική ενέργεια

mGmrmGmrU 21)(

6-12-2011 12Βαρύτητα Κεφ. 12

Κεντρικό δυναμικό• Η δύναμη κατευθύνεται προς ένα κέντρο και εξαρτάται από το 1/r2, οπότε η δυναμική ενέργεια είναι:

rmGmrU 21)( Αποτέλεσμα κεντρικής δύναμης

επίπεδη κίνηση:r

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 σταθr r r rdLF Fu r Fu ru Fu Ld

r r r r dtΛύση του προβλήματος των 2 σωμάτων ενεργειακά. Είναι πρόβλημα 2-D.Γράφουμε την συνολική ενέργειαΓράφουμε την συνολική ενέργεια

21 ˆ ˆ( ),Όμως rdr dE m U r u r u

2 2 2 2

( ), μ ς2 r

r

dt dtr

6-12-2011 13Βαρύτητα Κεφ. 12

r

Κεντρικό δυναμικόΕκφράζουμε και τη στροφορμή ως:

2ˆ ˆ ˆˆ ( )L zL mr mru u r u mr

2 2 2 2 2 2

( )

/ /r r r

r

L zL mr mru u r u mr

L mr L m r

r

Γράφουμε λοιπόν την ενέργεια της κίνησης σε πολικές συντεταγμένες

1 12 2 2 2 21 1( ) ( / ) ( )2 2 rE m U r m L m r U r

22

2

1 1 ( )2 2r

Lm U rmr

2 2 mr

6-12-2011 14Βαρύτητα Κεφ. 12

Κεντρικό δυναμικόΚάνουμε την εξής αντικατάσταση 2

, 2

1 ( )2p eff

LU U rmr

Και η ενέργεια παίρνει τη μορφή:

2 mr

22 2

,2

1 1 1( )2 2 2r r p eff

LE m U r m U ,2 ( )2 2 2r r p effmr

Αυτό παρατηρούμε είναι πρόβλημα μιας διάστασης και συνεπώς λύνεταιβώακριβώς

6-12-2011 15Βαρύτητα Κεφ. 12

Κεντρικό δυναμικό2

, 2

1 ( )2p eff

LU U rmr

2

,12 r p effE m U

2 mr

10

Η μορφή της ολικής ενέργειας παραπέμπει σε σωματίδιο κινούμενο σε μια διάσταση εντός

5

10

(-1/r) (1/r2)

κινούμενο σε μια διάσταση εντός δυναμικού ,p effU

•Γραφική παράσταση του Κεντρικού ∆υναμικού

0

5

f(r)

(-1/r+1/r2)

•Πηγάδι δυναμικού•Σχηματισμός δέσμιων καταστάσεων 5

Up,

eff

•Κοινό πρόβλημα σε όλα τα κεντρικά δυναμικά 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

10

6-12-2011 16Βαρύτητα Κεφ. 12

, , , , , ,

r

Κίνηση δορυφόρων• Εάν πάρουμε υπόψη τη μορφή της Γης στην περίπτωση ΒΟΛΗΣ, η κίνηση βλήματος πρέπει να τροποποιηθεί:

2 3/22 2R RΓια κυκλική τροχιά

2 3/22 2, 2cR Ra g gR T R T

R Gm GmR

2 RR

6-12-2011 17Βαρύτητα Κεφ. 12

∆ορυφόροι

• Για κυκλική τροχιά και από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα2GM →2

2 ( )GMm mr r

maF

• Κινητική ενέργεια δορυφόρου

r r

2U

2

2mK

GMm

2

• Ολική μηχανική ενέργεια δορυφόρου22 r2

2 2GMm GMm GMmE K U K

2 2r r r6-12-2011 18Βαρύτητα Κεφ. 12

∆ορυφόροιΓ λλ ή ά ί δ θ ί ό• Για ελλειπτική τροχιά μπορεί να αποδειχθεί ότι

GMmE

• Τροχιές με διαφορετική e αλλά το ίδιο a έχουν τηνa

E2

Τροχιές με διαφορετική e αλλά το ίδιο a έχουν την ίδια ολική μηχανική ενέργεια

6-12-2011 19Βαρύτητα Κεφ. 12

Γαιωσύγχρονος ∆ορυφόρος•Γαιωσύγχρονος δορυφόρος φαίνεται να μένει σταθερός σε ένα σημείο

γχρ ς ρ φ ρ ς

να μένει σταθερός σε ένα σημείοπάνω από τη Γη.•Για να συμβεί ο δορυφόρος πρέπει•Για να συμβεί ο δορυφόρος πρέπει να έχει την ίδια περίοδο με την Γη.•Μια μέρα Τ= 86 164 09054 seconds

52 Gm

Μια μέρα Τ 86 164,09054 seconds

5 32

2 7,2921 10 / 42 164 mrad s R kT

Η προκύπτουσα ακτίνα τροχιάς είναι 42 164 km ήΗ προκύπτουσα ακτίνα τροχιάς είναι 42 164 km ή αφαιρώντας την γήινη ακτίνα, 6 378 km, δίνει ύψος από την επιφάνεια της Γης 35 786 km6-12-2011 Βαρύτητα Κεφ. 12 20

η φ ης ης

Ταχύτητα διαφυγής

• Ταχύτητα διαφυγής: η ταχύτητα που απαιτείται για να διαφύγει σώμα από πλανήτηνα διαφύγει σώμα από πλανήτη.

ffii UKUK

211 0 0planetGm mm

ffii

11 0 02

planet

planetR

2 planetGmp

planetR

6-12-2011 21Βαρύτητα Κεφ. 12

Νόμοι του Kepler

Tycho Brahe/

Τρεις νόμοι του Kepler• 1 Νόμος των τροχιών: Όλοι οι πλανήτες κινούνται σε

Johannes Kepler(1571-1630)

(1546-1601)

• 1. Νόμος των τροχιών: Όλοι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, όπου ο Ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες

2 Νό β δώ Μ ή δέ Ήλ• 2. Νόμος των εμβαδών: Μια γραμμή που συνδέει τον Ήλιο και ένα πλανήτη διαγράφει ίσα εμβαδά πάνω στο επίπεδο της τροχιάς του σε ίσα χρονικά διαστήματα• 3. Νόμος των περιόδων: Το τετράγωνο της περιόδουοποιουδήποτε πλανήτη είναι ανάλογο προς τον κύβο του μεγάλου άξονα της τροχιάς του

6-12-2011 22Βαρύτητα Κεφ. 12

Πρώτος νόμος του Kepler

• Οι ελλειπτικές τροχιές των πλανητών περιγράφονται από τον μεγάλο ημιάξονα a και την εκκεντρότητα eμεγάλο ημιάξονα a και την εκκεντρότητα e• Για τους περισσότερους πλανήτες, οι εκκεντρότητες είναι πολύ μικρές (για τη Γη, e is 0.00167)μ ρ ς (γ η η, e 0 00 6 )

6-12-2011 23Βαρύτητα Κεφ. 12

∆εύτερος νόμος του Kepler • Στοιχειώδες εμβαδόν που διαγράφεται από το διάνυσμα θέσης ενός πλανήτη ως προς τον Ήλιο είναι:

2 2 21 dA r d r mr L

r

•Για σύστημα ήλιου-πλανήτη, η ολική στροφορμή είναι σταθερή

1 ( )( )2 2 2 2 2

dA r d r mr LdA r rddt dt m m

(δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές), πράγματι:2sin sinr mr mr r m L

sin sin .r mr mr r m L

sin

6-12-2011 24Βαρύτητα Κεφ. 12

Τρίτος νόμος του Kepler

• Για κυκλική τροχιά και τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα G GΝεύτωνα

2 22 3( )( )GMm GMm r

r r maF

• Από τον ορισμό της περιόδου2 2

2 32 4 4T T

• Για ελλειπτικές τροχιές

2 32T T r

GM

Για ελλειπτικές τροχιές

32

2 4 32 4 aGM

T

6-12-2011 25Βαρύτητα Κεφ. 12

Μαύρη τρύπα

• Εάν υπάρχει αντικείμενο στο σύμπαν που η ταχύτητα διαφυγής του είναι:ταχύτητα διαφυγής του είναι:

823 10 /objectGm

v m s c

• Τίποτε (ακόμη και το φως) δεν μπορεί να διαφύγει

3 10 /object

v m s cR

από την επιφάνεια του – είναι μια ΜΑΥΡΗ ΤΡΥΠΑ•Μαύρη τρύπα είναι το απομεινάρι ενός άστρου που

έ ά ό δί β ύκαταρρέει κάτω από την ιδία την του την βαρύτητα.– Ο πυρήνας του άστρου πρέπει να έχει m>3MH

Η ί ί ό ύ δ ή•Η κρίσιμη ακτίνα οπόταν η ταχύτητα διαφυγής ισούται με c ονομάζεται ακτίνα Schwarzschild, RS.

6-12-2011 26Βαρύτητα Κεφ. 12

Μαύρη τρύπαρη ρ

2 2planetGm Gm p

planet S

cR R

2

2S

GmRc

•Η νοητή σφαίρα με αυτήν την ακτίνα ονομάζεταιτην ακτίνα ονομάζεται ορίζοντας γεγονότων.

– Αυτό είναι το όριο του πόσοΑυτό είναι το όριο του πόσο κοντά σε μαύρη τρύπα μπορούμε να “δούμε”.

6-12-2011 27Βαρύτητα Κεφ. 12

Μαύρες τρύπες και γαλαξίεςΜαύρες τρύπες και γαλαξίες

•Υπάρχουν ενδείξεις ότι υπάρχουν μεγάλες μαύρες•Υπάρχουν ενδείξεις ότι υπάρχουν μεγάλες μαύρες τρύπες στα κέντρα των γαλαξιών.

•Αυτές οι τρύπες έχουν μάζες πολύ μεγαλύτερες από του Ήλιου.

•Π.Χ. στον δικό μας γαλαξία υπολογίζετε ότι υπάρχει μ ς γ ξ γ ζ ρχμαύρη τρύπα μάζας 2 – 3 εκατομμυρίων ηλιακών μαζών.

Section 13.66-12-2011 28Βαρύτητα Κεφ. 12

ΠΡOΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΠΡOΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

12.40, 12.42, 12,82, 12.88, 12.89

6-12-2011 29Βαρύτητα Κεφ. 12