ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ (ΚΕΦ 27)

Μαγνητικές δυνάμεις

1. Δέσμη φορτισμένων σωματιδίων αποκλίνουν στο ‘πεδίο’ B ενός μαγνήτη δηλ. Δέχονται μια δύναμη Fm κάθετη τόσο στο v όσο και στο B (είτε v ⊥ B είτε όχι).

2. Ένα ρεύμα I μέσα σε B υπόκειται σε δύναμη κάθετη τόσο στο I όσο και στο B. 3. Ομόρροπα ρεύματα έλκονται, αντίρροπα απωθούνται.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

εντός

Η Fm είναι δύναμη εξαρτώμενη από την ταχύτητα

Για τη μελέτη του B, χρειαζόμαστε δοκιμαστική δέσμη, όχι φορτίο

Παρατ: Εξωτερικό γινόμενο

A × B = C(a) C είναι διάνυσμα κάθετο στο A και στο B, κατεύθυνση σύμφωνα με το κανόνα του δεξιού χεριού. (b) C = A B sinθ.

Δύναμη σε κινούμενο φορτίο, ορισμός του B

, sin m mF qv B F qvB qv Bθ ⊥= × = =

ΣΧΕΣΗ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ Β

Μονάδες:

[B] = [F]/[qv] = N/(Cb·m·sec-1) = V·sec/m2 = T (Τesla) (= 104 Gauss)

Ηλεκτρομαγνητική δύναμηF σε κινούμενο φορτίο q, ταχύτητας v:

( ) F q E v B= + ×

Δύναμη Lorentz

Μαγνητικό πεδίο B ως πυκνότητα ροήςΠαρατ.: E = dΦE /dAn. Παρομοίως, ορίζουμε

ΟπότεΠλήρης αναλογίαΜε την ηλεκτρικήΡοή

Σημαντική διαφορά:πάντοτε

Δηλ. Δεν υπάρχει μαγνητικό ισοδύναμο στο νόμο του Gauss: Δεν υπάρχουν μαγνητικά φορτία (μονόπολα).

Μονάδες μαγνητικής ροής: [B] = N·sec/Cb·m = V·sec/m2 = T, οπότε [ΦB] = [B A] = T m2 = V·sec = Wb (= 'Weber')

ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ ΣΕ BΕάν v = vιι (δηλ. παράλληλη προς το B) τότε Fm = 0, οπότε vιι = σταθερό

Έστω vιι = 0, δηλ. v = v⊥. Τότε το σωματίδιο θα κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, σε επίπεδο κάθετο στο B. Οπότε, Fm = q v⊥B είναι κεντρομόλος δύναμη και έχουμε

2

mv vF m qvB m qBR R

= = ⇒ = ΟπότεmvRqB

= 2c cv qBfR m

ω π= = =ΑκτίναLarmor

Κυκλοτρονικήσυχνότητα

Για αυθαίρετη γωνία μεταξύ v και B;

Αναλύουμε το v, σε: v = vιι + v⊥,vιι = σταθερό αφού δεν υπάρχει δύναμη σε αυτή την διεύθυνση.|v⊥| = σταθερό αφού η δύναμη δρα ως κεντρομόλος και προσδιορίζει την ακτίνα R = mv⊥/(qB).Σημειώστε ότι το fc = (1/2π) (q/m)B είναι ανεξάρτητο του v⊥!Συνδυάζοντας την ομαλή κίνηση παράλληλα στο B με την κυκλοτρονική κίνηση κάθετη στο B βρίσκουμε μια ελικοειδή τροχιά.

ΔΥΜΑΜΗ ΣΕ ΕΥΘ. ΑΓΩΓΟ (με ρεύμα I σε σταθερό πεδίο Β)

dl

dq I dt= ⋅

dq v I d⋅ = ⋅

F dF dq v B I d B= = ⋅ × = ⋅ ×∫ ∫ ∫

Για ευθύγραμμο αγωγό μήκουςρεύματος Ι εντός σταθερού Β: d= ∫

dF dq v B= ⋅ ×

d v dt= ⋅

Η δύναμη που ασκείται στο φορτίοdq που κινείται με ταχύτητα v:

είναι προφανώς η δύναμη που ασκείται στο στοιχειώδες τμήμα του αγωγού dl όπου «περιέχεται» το φορτίο dq.

F I d B I B= ⋅ × = ⋅ ×∫

Και η συνολική δύναμη στο αγωγό θα είναι:

ΡΟΠΗ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΟ ΒΡΟΧΟ

Οι διαστάσεις του βρόχου φαίνονται στο σχήμα

όπου A = α·b είναι το εμβαδόν του βρόχου.

( ) ( ) sinF I B b F b I B I b B IA B IABα τ α α ϕ= × ⇒ = × = × × = × × = × =

Ορισμός: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ (Διαν.) μ

I Aµ = ⋅ ⇒

Τότε η ροπή σε βρόχο γράφεται: I A B Bτ µ= ⋅ × = ×

ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΜΕ ΗΛ. ΠΕΔΙΟ(1) Ροπή σε ηλεκτρικό δίπολο (ροπής) pe = q s : ep Eτ = ×

και δυναμική ενέργεια ηλεκτρικού διπόλου σε E:

eU p E= − ⋅

Ροπή σε μαγνητικό δίπολο (ροπής) μ = I · A (ή N·I·A για N βρόχους): Bτ µ= ×

και η δυναμική ενέργεια μαγνητικού διπόλου σε Β:

U Bµ= − ⋅

Ανεξαρτήτως της μορφής του βρόχουμε εμβαδό Α

Αναλογία διπόλωνE

.

+q

-q

pe

F

F

B

x

.FFw

θ

µ

(ανά περιέλιξη)

τ = ×ep E

⋅ ⋅

ep =2 q a µ ⋅

=I A (ανά περιέλιξη)

(2) στο pe ασκείται δύναμη σε ανομοιογενές E, στο μ ασκείται δύναμη σε ανομοιογενές B

(3) Ατομα/μόρια μπορούν να έχουν pe (πόλωση),μπορούν επίσης να έχουν μ (μαγνήτιση)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ DC

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΔΙΑΛΟΓΕΑΣ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

πηγή

σχισμή

Β

Τι συμβαίνει στο σωματίδιο με φορτίο q ;

πηγή

σχισμή

Β

Το σωματίδιο κινείται σε ευθεία γραμμή εάν

( ) 0F q E v Bολ = ⋅ + × =

0q E q v B E v B− ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅

EvB

=

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΟ ΜΑΖΩΝΤα εφαρμοζόμενα πεδία Ε και Β ικανοποιούν την Ε=vB, οπότε η τροχιά του σωματιδίου είναι ευθύγραμμη. Εισερχόμενο στην δεύτερη περιοχή όπου ένα άλλο Β0υπάρχει, το σωματίδιο κάνει μια κυκλική κίνηση ακτίνας r και κτυπά το φιλμ. Οπότε έχουμε δει

φιλμ

0

mvrqB

= Και 0 0qrB qrBBm m

v E= ⇒ =

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ HALL

Εμφάνιση διαφοράς δυναμικού στην «πάνω»-«κάτω» πλευρά αγωγού ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα ενώ βρίσκεται εντός μαγνητικού πεδίου Β.

Μετά την αποκατάσταση ισορροπίας το ηλεκτρικό πεδίο «ακυρώνει» τη μαγνητική δύναμη:

Το πρόσημο της διαφοράς δυναμικού εξαρτάται από το πρόσημο των φορέων ρεύματος και η τιμή της από την πυκνότητα των φορέων.

Εφαρμογή: εύρεση του είδους και της πυκνότητας των φορέων.

0z d y z d yq E q v B E v B⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅

x yx d

z

J BJ n q v n q

E− ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ =