Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΛΟΦΟΣ ΤΡΙΒΗ (“Friction-Hill Method”, Slab...

Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" (“Friction-Hill Method”, Slab Analysis)

Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A.1 ∆ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου (Σχ. 1).

Σχήµα 1: Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου.

Βήµα 1: Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος • Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. • ∆ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης ως προς οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα. • Συνθήκες τριβής κατά Coulomb στη διεπιφάνεια ΕΡ/ΤΕ: pµ=τ (1) • Η ροή του υλικού γίνεται προς τα ΑΡ και ∆Ε, επίσης µε διπλή συµµετρία. • Επιλέγεται ως σύστηµα αναφοράς το καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) του Σχ. 1. • Λόγω της διπλής συµµετρίας, µελετάται η µισή µπιγέτα (έστω αυτή που αντιστοιχεί σε ροή ∆Ε) και τα αποτελέσµατα θα ισχύουν καθ' όµοιο τρόπο και για την άλλη µισή. Βήµα 2: Μελέτη της ισορροπίας στοιχειώδους λωρίδας • Αποκόπτεται λωρίδα του ΤΕ σε θέση x µε στοιχειώδες πάχος dx και ύψος h (Σχ. 1). • Για να ισορροπήσει η στοιχειώδης λωρίδα θα αναπτυχθούν επιπλέον σε κάθε επιφάνεια αποκοπής εσωτερικές τάσεις. Έτσι, στη στοιχειώδη λωρίδα θα ασκούνται (Σχ. 2): p : κάθετη φόρτιση από το ΕΡ τ : τάση τριβής µε φορά αντίθετη της ροής

xσ : τάση οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην επιφάνεια αποκοπής στη θέση x, η οποία λαµβάνεται κατά σύµβαση εφελκυστική

xx dσ+σ : τάση οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην επιφάνεια αποκοπής στη θέση x+dx, επίσης κατά σύµβαση εφελκυστική

1

Σχήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας

• Ισορροπία της στοιχειώδους λωρίδας κατά τον άξονα x δίνει

0)dxb(2)bh()bh)(d( xxx =⋅τ−⋅σ−⋅σ+σ ή µε απαλοιφή του πλάτους b της µπιγέτας και αντικατάσταση από την εξ. (1)

0dxp2hdhh xxx =⋅µ−σ−σ⋅+σ ή τελικά µετά την εκτέλεση των πράξεων

dxph2d x ⋅µ

=σ (2)

Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Στην επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση τα κριτήρια Mises και Tresca εκφράζονται µε την ίδια µαθηµατική σχέση ως: k231 =σ−σ , όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ. Θεωρώντας ως κύριες διευθύνσεις τις x και y, αντίστοιχα (δηλ. x1 σ=σ και ), µία τοµή

της στοιχειώδους λωρίδας όπως φαίνεται στο Σχ. 3 ελευθερώνει εσωτερικές τάσεις σ y3 σ=σ

y

Σχήµα 3: Ισορροπία κατά τη διεύθυνση y

Από την ισορροπία κατά τη διεύθυνση y προκύπτει 0)dxb(p)dxb(y =⋅−⋅σ− ή τελικά

. Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής παίρνουµε: py −=σ k2)p(x =−−σ ή τελικά

xk2p σ−= (3) Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος

2

Συνδυασµός των εξ. (2) και (3) δίνει

dx)k2(h2d xx σ−µ

=σ ή dxh2

k2d

x

x µ=

σ−σ

ή

dxh2

)k2()k2(d

x

x µ=

σ−σ−

− ή µε ολοκλήρωση 1x cxh2)k2(n +µ

−=σ−l ή

ή τελικά h/x2x eck2 µ−⋅=σ−

h/x2

x eck2 µ−⋅−=σ (4) όπου c σταθερά ολοκλήρωσης. Οριακές συνθήκες: Στο άκρο x=a του ΕΡ η ροή του υλικού είναι ελεύθερη. Συνεπώς, θα ισχύει 0x =σ . Με αντικατάσταση στην εξ. (4) προκύπτει για τη σταθερά c

h/a2ek2c µ⋅= (5) Και, τελικά, από τις εξ. (4) και (5)

]e1[k2 h/)xa(2x

−µ−=σ (6) Βήµα 5: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τα Από τις εξ. (3) και (6) προκύπτει

h/)xa(2ke2p −µ= (7) και

h/)xa(2ke2 −µµ=τ (8) Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ. 4. Βήµα 6: Υπολογισµός του φορτίου κατεργασίας Ρ Προφανώς θα είναι

∫∫ ⋅⋅=⋅

⋅⋅==

a

0

a

0dx)x(pb2)ab2(dx)x(p

a1)ab2(pP (9)

όπου b το πλάτος επαφής ΕΡ/ΤΕ κατά την εγκάρσια διεύθυνση.

3

Σχήµα 4: Κατανοµές p και τ

Α.2 ∆ιπλή συµµετρία γεωµετρίας/απλή συµµετρία φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου και σύγχρονη άσκηση εφελκυστικών τάσεων στα άκρα του ΤΕ (Σχ. 5).

Σχήµα 5: Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου

και σύγχρονη άσκηση εφελκυστικών τάσεων στα άκρα του ΤΕ Βήµα 1: Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος • Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. • Συνθήκες τριβής sticking στη διεπιφάνεια ΕΡ/ΤΕ: k=τ (10) • Η ροή του υλικού ασύµµετρη ∆Ε και ΑΡ. • Ως σύστηµα αναφοράς επιλέγεται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) στο ένα άκρο του ΕΡ. • Θεωρούµε δύο στοιχειώδεις λωρίδες που περιγράφουν ροή ∆Ε και ΑΡ, αντίστοιχα ή µια ισοδύναµη ενιαία στοιχειώδη λωρίδα µε διπλή προσήµανση της τριβής (Σχ. 6).

4


Βήµα 2: Μελέτη της ισορροπίας στοιχειώδους λωρίδας • Ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις που έγιναν στην προηγούµενη περίπτωση. • Ισορροπία της στοιχειώδους ισοδύναµης λωρίδας κατά τον άξονα x

0)dxb(2)bh()bh)(d( xxx =⋅τ±⋅σ−⋅σ+σ ή µε απαλοιφή του πλάτους b της µπιγέτας και αντικατάσταση από την εξ. (10)

0dxk2hdhh xxx =⋅±σ−σ⋅+σ ή τελικά µετά την εκτέλεση των πράξεων

dxhk2d x ⋅=σ m (11)

Σηµείωση: Στις παραπάνω σχέσεις το πάνω πρόσηµο αναφέρεται σε ροή ΑΡ, ενώ το κάτω πρόσηµο σε ροή ∆Ε. Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Σύµφωνα µε όσα έχουν εκτεθεί στην προηγούµενη περίπτωση, θα ισχύει k231 =σ−σ , όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ, x1 σ=σ και py3 −=σ=σ . Με αντικατάσταση στο

κριτήριο διαρροής προκύπτει πάλι k2)p(x =−−σ ή τελικά

xk2p σ−= (12)

5

Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος Ολοκλήρωση της εξ. (11) παρέχει

cxhk2

x +⋅=σ m (13)

η οποία αναλυόµενη σε κάθε ροή δίνει αντίστοιχα

• Ροή ΑΡ: αα +⋅−=σ cxhk2

x (13α)

• Ροή ∆Ε: δδ +⋅=σ cxhk2

x (13β)

Οριακές συνθήκες για τον προσδιορισµό των σταθερών ολοκλήρωσης και c . αc δ

• Στο άκρο x=0 είναι sx =σ α

α cα

(διότι είναι εφελκυστική). Με αντικατάσταση στην εξ. (13α) προκύπτει για τη σταθερά c : . Οπότε η εξ. (13α) γράφεται s=

Ροή ΑΡ: xhk2sx −=ασ (14α)

• Στο άκρο x=2a είναισ (εφελκυστική). Με αντικατάσταση στην εξ. (13β) προκύπτει για τη

σταθερά c :

tx =δ

δ hka4tc −=δ . Οπότε η εξ. (13β) γράφεται

Ροή ∆Ε: )xa2(hk2tx −−=σ δ (14β)

Βήµα 5: Προσδιορισµός ουδετέρου επιπέδου Στη θέση του ουδετέρου επιπέδου (ο. ε.) υφίσταται ακινησία του υλικού, ενώ εκατέρωθεν αυτού η φορά της ροής αλλάζει. Αν το ουδέτερο επίπεδο βρίσκεται στη θέση nxx = , εκεί θα πρέπει να πληρούται η σχέση: δα σ=σ xx ή λόγω των (14α) και (14β)

)xa2(hk2tx

hk2s nn −⋅−=⋅− ή τελικά

)ts(k4haxn −+= (15)

∆ιερεύνηση • Αν s=t, τότε (ο.ε. στο µέσο του ΕΡ). axn =• Αν s>t, τότε (ο.ε. προς το µέρος της t). axn >• Αν s<t, τότε (ο.ε. προς το µέρος της s). axn < Βήµα 6: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τα • Ροή ΑΡ: x ]x,0[ n∈ Από τις εξ. (12) και (14α) προκύπτουν

6

shx1k2p −

+=α (16α)

k=τα (16β)

• Ροή ∆Ε: ]a2,x[x n∈ Οµοίως, από τις εξ. (12) και (14β)

th

xa21k2p −

−

+=δ (17α)

k=τδ (17β)

Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ. 7.

Σχήµα 7: Κατανοµές p και τ

Βήµα 7: Υπολογισµός του φορτίου κατεργασίας Ρ Προφανώς θα είναι

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅== ∫ ∫∫ ∫ δαδα

n

n

n

n

x

0

a2

x

x

0

a2

xdx)x(pdx)x(pb)ab2(dx)x(pdx)x(p

a21)ab2(pP (18)

όπου b το πλάτος επαφής ΕΡ/ΤΕ κατά την εγκάρσια διεύθυνση.

7

Α.3 Απλή συµµετρία γεωµετρίας ΤΕ και φόρτισης Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο κεκλιµένου άκρου (Σχ. 8)

Σχήµα 8: Σφυρηλάτηση µπιγέτας µε ΕΡ κεκλιµένου άκρου Βήµα 1: Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος • Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. • Γωνία α<12ο. • Συνθήκες τριβής κατά Coulomb • Η ροή του υλικού ασύµµετρη ∆Ε και ΑΡ. • Ως σύστηµα αναφοράς επιλέγεται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) µε αρχή την κορυφή Ο της γωνίας (Σχ. 8). • Η ροή του υλικού ασύµµετρη λαµβάνει χώρα προς τα ∆Ε και ΑΡ συγχρόνως. • Θεωρούµε δύο στοιχειώδεις λωρίδες που περιγράφουν ροή ∆Ε και ΑΡ, αντίστοιχα ή µια ισοδύναµη ενιαία στοιχειώδη λωρίδα µε διπλή προσήµανση της τριβής (Σχ. 9).


8

Βήµα 2: Μελέτη ισορροπίας της ενιαίας στοιχειώδους λωρίδας • Ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις που έγιναν στην προηγούµενη περίπτωση. • Από την υφιστάµενη γεωµετρία προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις

α⋅= tanx2h (19α) α⋅⋅= tandx2dh (19β)

α=

cosdxds (19γ)

• Ισορροπία της στοιχειώδους ισοδύναµης λωρίδας κατά τον άξονα x (Σχ. 9) Οι συνιστώσες δυνάµεις, ανά µονάδα πλάτους, είναι:

dxp2coscos

dxp2cosds2

dxtanp2sincos

dxp2sindsp2

h)dhh)(d(

x

xx

⋅µ±=αα

µ±=α⋅⋅τ±

⋅α⋅=αα

=α⋅⋅

σ−+σ+σ

Σηµείωση: Στις παραπάνω σχέσεις το πάνω πρόσηµο αναφέρεται σε ροή ∆Ε, ενώ το κάτω πρόσηµο σε ροή ΑΡ. Η εξίσωση ισορροπίας γράφεται

0dxp2dxtanp2h)dhh)(d( xxx =⋅µ±⋅α⋅+σ−+σ+σ ή λόγω των εξ. (19) και απαλοιφή του x 0dh)]cot1(p[dh xx =⋅α⋅µ±+σ+σ⋅ (20)

Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Κατά τα γνωστά, ισχύει , όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ. Θεωρώντας ως κύριες διευθύνσεις τις x και y, αντίστοιχα (δηλ.

k231 =σ−σ

x1 σ=σ και ), µε µία τοµή

της στοιχειώδους λωρίδας όπως φαίνεται στο Σχ. 10 ελευθερώνονται εσωτερικές τάσεις y3 σ=σ

yσ

Σχήµα 10: Ισορροπία κατά διεύθυνση y

Από την ισορροπία κατά τη διεύθυνση y προκύπτει

0sindspcosdspdxy =α⋅⋅µ±α⋅⋅−⋅σ− ή 0sincos

dxpcoscos

dxpdxy =α⋅α

⋅µ±α⋅α

⋅−⋅σ− ή

α⋅µ±−=σ tanppy και επειδή 0tan →α⋅µ , τελικά θα είναι py −=σ . Με αντικατάσταση στο

κριτήριο διαρροής παίρνουµε k2)p(x =−−σ ή τελικά

xk2p σ−= (21)

9

Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος Η εξ. (20) γίνεται λόγω της (21)

0dh)]cot1)(k2([dh xxx =⋅α⋅µ±σ−+σ+σ⋅ ή θέτοντας α⋅µ= cotB

hdh

)B1)(k2(d

xx

x −=±σ−+σ

σ ή

hdh

)B1(kBd

x

x =±−σ±

σ ή

hdh

)]B1(k2B[)]B1(k2B[d

B1

x

x =

±−σ±±−σ±

±

ή

1x cnh)]B1(k2B[nB

1+=±−σ±

±ll ή τελικά

B

x hc)B1(k2B ⋅=±−σ± (22) η οποία αναλυόµενη σε κάθε ροή δίνει αντίστοιχα • Ροή ∆Ε: (23α) B

x hc)B1(k2B δδ =+−σ • Ροή ΑΡ: (23β) B

x hc)B1(k2B αα =−−σ− Οριακές συνθήκες για τον προσδιορισµό των σταθερών ολοκλήρωσης και c . αc δ • Ροή ∆Ε: Στο άκρο ahh = είναι 0x =σ δ (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (23α) προκύπτει για τη σταθερά c δ

Β−δ +−= ah)B1(k2c (24α)

• Ροή ΑΡ: Στο άκρο bhh = είναι 0x =σ α (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (23β) προκύπτει για τη σταθερά c α

Βα +−= bh)B1(k2c (24β)

Με αντικατάσταση των εξ. (24) στις αντίστοιχες εξ. (23), προκύπτει η κατανοµή της για κάθε ροή

xσ

• Ροή ∆Ε:

−

+=σ

B

ax h

h1B

B1k2 (25α)

• Ροή ΑΡ:

−

−=σ 1

hh

BB1k2

Bb

x (25β)

Βήµα 5: Προσδιορισµός ουδετέρου επιπέδου Στη θέση του ουδετέρου επιπέδου (ο. ε.) nhh = θα πρέπει να πληρούται η σχέση δα σ=σ xx ή λόγω των (25α) και (25β)

10

−

−=

−

+ 1hh

BB1

hh

1B

B1B

n

bB

a

n και µετά την εκτέλεση των πράξεων

( ) 0B1

)B1(hhB1hh2

hBb

Ba

Ba

Bn2B

n =+

−⋅⋅+

+⋅

− (26)

από την επίλυση της οποίας προκύπτει η θέση του ουδετέρου επιπέδου. Βήµα 6: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τ • Ροή ∆Ε: : Από το συνδυασµό των εξ. (21) και (25α) προκύπτουν ]h,h[h na∈

−

ΒΒ+

−=δ

B

ahh111k2p (27α)

−

ΒΒ+

−µ=τδ

B

ahh111k2 (27β)

• Ροή ΑΡ: h : Οµοίως, από το συνδυασµό των εξ. (21) και (25β) ]h,h[ bn∈

−

Β

Β−−=α 1

hh11k2p

Bb (28α)

−

Β

Β−−µ=τα 1

hh11k2

Bb (28β)

Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ. 11.

Σχήµα 11: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τ

11

Β. Αξονοσυµµετρικά προβλήµατα

Β1. Συµπαγείς κυλινδρικές µπιγέτες Σφυρηλάτηση κυλινδρικής µπιγέτας (Σχ. 12)

Σχήµα 12: Σφυρηλάτηση κυλινδρικής µπιγέτας

Πρόοψη

Κάτοψη


12

Β.1.1 Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) Βήµα 1: Αναγνώριση του προβλήµατος • Σφυρηλάτηση ανοικτής µήτρας κυλινδρικής µπιγέτας διαµέτρου 2a και ύψους h, βλ. Σχ. 12. • Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) στη διεπιφάνεια ΤΕ/ΕΡ. • Ροή του υλικού προς τα έξω. • Θεωρούµε ως σύστηµα αναφοράς το κυλινδρικό σύστηµα αξόνων (r, θ, z) µε άξονα z τον άξονα συµµετρίας της µπιγέτας. • Θα µελετηθεί η ισορροπία στοιχειώδους κυλινδρικής λωρίδας σε απόσταση r από τον άξονα, πάχους dr, η οποία βαίνει σε τόξο dθ, βλ. Σχ. 13. Βήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Αναπτυσσόµενες τάσεις • στην επιφάνεια ΑΒΒ΄Α΄ = ( )rσ hdr ⋅θ⋅ • στην επιφάνεια Γ∆∆΄Γ΄=rr dσ+σ ( )[ ] hddrr ⋅θ⋅+ • στις επιφάνειες Α∆∆΄Α΄ και ΒΓΓ΄Β΄=θσ hdr ⋅ • τ και p στις επιφάνειες ΑΒΓ∆ και Α΄Β΄Γ΄∆΄ που είναι καµπυλόγραµµα τραπέζια µε βάσεις

και ( και ύψος dr, που αποδίδουν εµβαδόν επιφανείας θ⋅ dr ) θ⋅+ ddrr θ⋅⋅ ddrr . Συνιστώσες φορτίων κατά την ακτινική διεύθυνση Με θετική φορά προς τα έξω και αρνητική προς τα µέσα θεωρούµε τις ακτινικές συνιστώσες όλων των αναπτυσσοµένων φορτίων κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας dθ, βλ. Σχ. 2. • η δίνει συνιστώσα: - rσ hdrr ⋅θ⋅⋅σ• η : rr dσ+σ ( ) ( ) hddrrd rr ⋅θ⋅+⋅σ+σ+ • οι δίνουν κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου συνιστώσα: - 2θσ )2/dsin(hdr θ⋅⋅⋅σ⋅ θ ή αντικαθιστώντας το sin µε το αντίστοιχο τόξο του: θ⋅⋅⋅σ− θ dhdr • οι τ δίνουν θ⋅⋅µ−=θ⋅⋅⋅τ− ddrpr2ddrr2 . Από την απαίτηση η συνισταµένη των φορτίων αυτών να είναι µηδέν και δεδοµένου ότι σr=σθ (βλ. απόδειξη στο τέλος), µετά την εκτέλεση των πράξεων και την απαλοιφή των διαφορικών ανώτερης τάξης, προκύπτει η ακόλουθη διαφορική εξίσωση

drh

p2d r ⋅⋅µ⋅

=σ (29)

Βήµα 3: Εισαγωγή του κριτηρίου διαρροής Σε αξονοσυµµετρικά προβλήµατα και τα δύο κριτήρια Mises και Τresca εκφράζονται µε τη σχέση:

Y31 =σ−σ (30α) Θεωρώντας ως κύριες τάσεις τις σ1=σr, σ2=σθ και σ3=σz= -p, η εξ. (30α) γίνεται Ypr =+σ ή ισοδύναµα

rYp σ−= (30β) και

rddp σ−= (30γ)

13

Βήµα 4: Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Από το συνδυασµό των εξ. (29) και (30β) έχουµε:

( ) drh

2Y

d

r

r ⋅µ⋅

=σ−

σ ή

( )( ) dr

h2

YYd

r

r ⋅µ⋅

−=σ−σ−

(31)

η οποία µε ολοκλήρωση δίνει τελικά γενική λύση

( ) 1r Ch

r2Yln +⋅µ⋅

−=σ− ή ή (32α) h/r2r eCY ⋅µ⋅−⋅=σ− h/r2

r eCY ⋅µ⋅−⋅−=σ

όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Οριακή συνθήκη: Στη θέση r=a είναι σr=0 (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (32α) προκύπτει για τη σταθερά ολοκλήρωσης

h/a2eYC ⋅µ⋅⋅= (32β) και τελικά από τον συνδυασµό των εξ. (32α) και (32β)

( ) ]e1[Y h/ra2r

−⋅µ⋅−=σ (32γ) Βήµα 5: Κατασκευή του λόφου-τριβής Με αντικατάσταση από την εξ. (32γ) στην εξ. (30β) προκύπτει για την πυκνότητα p του φορτίου σφυρηλάτησης

( ) h/ra2eYp −⋅µ⋅⋅= (33) και για την τριβή τ

( ) h/ra2eY −⋅µ⋅⋅⋅µ=τ (34) Η τριβή θα έχει το ίδιο πρόσηµο παντού διότι κατευθύνεται προς τα µέσα σε κάθε θέση στη µπιγέτα. Οι κατανοµές των p και τ παρουσιάζονται στα Σχ. 14 και 15, αντίστοιχα.

Σχήµα 14: Κατανοµή της κάθετης πίεσης p

Σχήµα 15: Κατανοµή της τριβής

14

Β.1.2 Συνθήκες διάτµησης (τ=k) Η διαδικασία που ακολουθείται είναι ακριβώς η ίδια µε τις εξής διαφοροποιήσεις κατά βήµα: Βήµα 1: • Ισχύει για την τριβή: τ=k, όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση. Βήµα 2: • Οι τριβές δίνουν ακτινική συνιστώσα ίση προς θ⋅⋅⋅⋅−=θ⋅⋅⋅τ⋅− ddrrk2ddrr2 .

• Η διαφορική εξίσωση γράφεται: drh

k2r ⋅

⋅=σd (35)

Βήµα 3: ∆εν υπάρχει καµία αλλαγή. Βήµα 4: Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (35) δίνει

Arh

k2r +⋅

⋅=σ (36)

Με την ίδια οριακή συνθήκη, προκύπτει για την σταθερά ολοκλήρωσης η σχέση

hak2A ⋅⋅

−= (37)

και σε συνδυασµό µε την εξ. (36)

( rah

k2r −⋅

⋅−=σ ) (38)

Βήµα 5: Με αντικατάσταση από την εξ. (38) στην εξ. (30β) προκύπτει για την κατανοµή του φορτίου κατεργασίας

( rah

k2Yp −⋅⋅

+= ) (39)

Ο «λόφος τριβής» που περιγράφεται από την εξ. (39) παρουσιάζεται στο Σχ. 16.


15

Β.1.3 Μικτές συνθήκες τριβής Βήµα 1: • Στο κεντρικό τµήµα της µπιγέτας (κύλινδρος ακτίνας x) επικρατούν συνθήκες διάτµησης (τ=k), ενώ στον περιβάλλοντα δακτύλιο (x ≤ r ≤ a) επικρατούν συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp). • Προφανώς απαιτείται η µελέτη στοιχειώδους λωρίδας σε κάθε περιοχή. Για την διαµόρφωση της διαφορικής εξίσωσης σε κάθε περιοχή θα χρησιµοποιηθεί η ενιαία λωρίδα και η διαφοροποίηση θα γίνει κατά την επίλυση των προκυπτουσών διαφορικών εξισώσεων. • Στο πρόβληµα υπεισέρχεται ένας επιπλέον άγνωστος, η ακτίνα x. Βήµα 2: • Οι τριβές δίνουν ακτινική συνιστώσα ίση προς θ⋅⋅⋅τ⋅− ddrr2 .

• Η διαφορική εξίσωση γράφεται: drh

2r ⋅

τ⋅=σd (40)

Και σε κάθε περιοχή παίρνει αντίστοιχα τη µορφή:

Περιοχή [0, x]: drh

k2r ⋅

⋅=σd (41)

Περιοχή [x, a]: drh

p2d r ⋅⋅µ⋅

=σ (42)

Βήµα 3: Παραµένουν όλα ως έχουν στην περίπτωση Β.1.1.

Βήµα 4: H επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (41) και (42) δίνει αντίστοιχα:

Περιοχή [0, x]: 11r Arh

k2+⋅

⋅=σ (43)

Περιοχή [x, a]: σ (44) h/r222r eAY ⋅µ⋅−⋅−=

Οι οριακές συνθήκες γράφονται: • Στη θέση r=a είναι σr2=0, οπότε από την εξ. (44) προκύπτει

h/a22 eYA ⋅µ⋅⋅= (45)

( ) ]e1[Y h/ra22r

−⋅µ⋅−=σ (46) • Στη θέση r=x είναι: σ =σ και k=µp =µ(Υ-σ ) ή ισοδύναµα r1 r2 2 r2

( )[ ]h/xa21 e1YA

hxk2 =⋅µ⋅−⋅=+

⋅⋅ (47)

( ) h/xa2eYk −⋅µ⋅⋅⋅µ= (48) Από το σύστηµα των εξ. (47) και (48) προκύπτουν

⋅µ

⋅µ⋅

−=Y

kln2

hax (49)

−

⋅µ

⋅µ

+⋅⋅

−= 1Y

klnkh

ak2YA1 (50)

16

( )

−

⋅µ

⋅µ

+−⋅⋅

−=σ 1Y

klnkrah

k2Y1r (51)

Βήµα 5: Οι κατανοµές της πίεσης σε κάθε περιοχή προκύπτουν από τον συνδυασµό της εξ. (30α) µε τις εξ. (46) και (51), αντίστοιχα

Περιοχή[0, x]: ( )

−

⋅µ

⋅µ

−−⋅⋅

= 1Y

klnkrah

k21p (52)

Περιοχή [x, a]: (53) ( ) h/ra22 eYp −⋅µ⋅⋅=

Γραφική παράσταση του «λόφου τριβής» παρουσιάζεται στο Σχ. 17.


Β.2 Κυλινδρικές µπιγέτες µε κεντρική οπή Βήµα 1: Αναγνώριση του προβλήµατος • Σφυρηλάτηση ανοικτής µήτρας κυλινδρικού δακτυλίου εξωτερικής διαµέτρου 2a, εσωτερικής διαµέτρου 2b και ύψους h, βλ. Σχ. 18.

Σχήµα 18: Σφυρηλάτηση µπιγέτας µε κεντρική οπή

17

• Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) στη διεπιφάνεια ΤΕ/ΕΡ. • Ροή του υλικού προς τα έξω και προς τα µέσα. • Θεωρούµε κυλινδρικό σύστηµα αξόνων (r, θ, z) µε άξονα z τον άξονα συµµετρίας της µπιγέτας. • Θα µελετηθεί η ισορροπία µιας ενιαίας στοιχειώδους κυλινδρικής λωρίδας σε απόσταση r από τον άξονα, πάχους dr, η οποία βαίνει σε τόξο dθ, βλ. Σχ. 19, όπου η τριβή κατά γνωστά θα έχει διπλό πρόσηµο, καθένα από τα οποία θα αντιστοιχεί σε διαφορετική ροή του υλικού. Βήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Αναπτυσσόµενες τάσεις • στην επιφάνεια ΑΒΒ΄Α΄=rσ ( ) hdr ⋅θ⋅ • στην επιφάνεια Γ∆∆΄Γ΄=rr dσ+σ ( )[ ] hddrr ⋅θ⋅+ • στις επιφάνειες Α∆∆΄Α΄ και ΒΓΓ΄Β΄=drθσ h⋅ • τ και p στις επιφάνειες ΑΒΓ∆ και Α΄Β΄Γ΄∆΄ που είναι καµπυλόγραµµα τραπέζια µε βάσεις

, και ύψος dr, και έχουν εµβαδόν θ⋅ dr ( ) θ⋅+ ddrr θ⋅⋅ ddrr . Συνιστώσες φορτίων κατά την ακτινική διεύθυνση Θεωρούµε τις ακτινικές συνιστώσες όλων των αναπτυσσοµένων φορτίων κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας dθ, µε θετική φορά προς τα έξω και αρνητική προς τα µέσα, βλ. Σχ. 19 • η δίνει συνιστώσα: - rσ hdrr ⋅θ⋅⋅σ• η : rr dσ+σ ( ) ( ) hddrrd rr ⋅θ⋅+⋅σ+σ+ • οι δίνουν κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου συνιστώσα: -θσ )2/dsin(hdr2 θ⋅⋅⋅σ⋅ θ ή αντικαθιστώντας το sinθ µε το αντίστοιχο τόξο του θ: –σθ .dr.h.dθ • οι τ οµοίως δίνουν: ± θ⋅⋅⋅⋅µ⋅ ddrrp2 , όπου το πάνω πρόσηµο αντιστοιχεί σε ροή προς τα µέσα και το κάτω σε ροή προς τα έξω (σύµβαση που θα τηρηθεί στα επόµενα). Από την απαίτηση η συνισταµένη των φορτίων αυτών να είναι µηδέν και δεδοµένου ότι σr=σθ, µετά την εκτέλεση των πράξεων και την απαλοιφή των διαφορικών ανώτερης τάξης προκύπτει η ακόλουθη διαφορική εξίσωση

drh

p2d r ⋅⋅µ⋅

=σ m (54)

18

Τρισδιάστατη απεικόνιση ενιαία λωρίδας

Κάτοψη

Σχήµα 19: Ενιαία στοιχειώδης λωρίδα

Βήµα 3: Εισαγωγή του κριτηρίου διαρροής Ως γνωστόν, σε αξονοσυµµετρικά προβλήµατα και τα δύο κριτήρια Mises και Τresca εκφράζονται µε τη σχέση

Y31 =σ−σ (55α) Θεωρώντας ως κύριες τάσεις τις σ1=σr, σ2=σθ και σ3=σz=-p, η εξ. (2α) γίνεται Ypr =+σ ή ισοδύναµα

rYp σ−= (55β) Βήµα 4: Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Από το συνδυασµό των εξ. (54) και (55β) έχουµε

( ) drh

2Y

d

r

r ⋅µ⋅

=σ−

σm ή

19

( )( ) dr

h2

YYd

r

r ⋅µ⋅

±=σ−σ−

(56)

η οποία µε ολοκλήρωση δίνει τελικά γενική λύση για κάθε ροή • Ροή προς τα έξω: (57α) h/r2

1re eCY ⋅µ⋅−⋅−=σ

• Ροή προς τα µέσα: (57β) h/r22ri eCY ⋅µ⋅⋅−=σ

όπου C1, C2 σταθερές ολοκλήρωσης. Οριακές συνθήκες • Ροή προς τα έξω: Στη θέση r=a είναι σr=0. Με αντικατάσταση στην εξ. (57α) προκύπτει για τη σταθερά ολοκλήρωσης

h/a21 eYC ⋅µ⋅⋅= (57γ)

και από τον συνδυασµό των εξ. (57α) και (57γ)

( )[ ]h/ra2re e1Y −⋅µ⋅−=σ (57δ)

• Ροή προς τα µέσα: Στη θέση r=b είναι σr=0. Με αντικατάσταση στην εξ. (57β) προκύπτει για τη σταθερά ολοκλήρωσης

h/b22 eYC ⋅µ⋅−⋅= (57ε)

και από τον συνδυασµό των εξ. (57β) και (57ε)

( ) ]e1[Y h/br2ri

−⋅µ⋅−=σ (57στ) Βήµα 5: Κατασκευή του λόφου-τριβής Με αντικατάσταση από τις εξ. (57δ) και (57στ) στην εξ. (55β) προκύπτει για την πυκνότητα p του φορτίου σφυρηλάτησης • Ροή προς τα έξω

( ) h/ra2e eYp −⋅µ⋅⋅= (58)

• Ροή προς τα µέσα

( ) h/br2i eYp −⋅µ⋅⋅= (59)

Οµοίως, για την τριβή τ θα είναι

20

• Ροή προς τα έξω

( ) h/ra2e eY −⋅µ⋅⋅⋅µ=τ (60)

που θα την θεωρήσουµε µε θετικό πρόσηµο. • Ροή προς τα µέσα

( ) h/br2i eY −⋅µ⋅⋅⋅µ=τ (61)

µε πρόσηµο αρνητικό. Βήµα 6: Καθορισµός ουδετέρου επιπέδου Στην περίπτωση που εξετάζουµε θα πρέπει να προσδιοριστεί η θέση αλλαγής της κατεύθυνσης της ροής (ουδέτερο επίπεδο), η οποία προκύπτει από την απαίτηση στη θέση αυτή (r=rn) να είναι

. rire σ=σ Από το συνδυασµό των εξ. (57δ) και (57στ) έχουµε µετά την εκτέλεση των πράξεων

2barn

+= (62)

Οι κατανοµές των p και τ παρουσιάζονται στο Σχ. 20.

Σχήµα 20: Κατανοµές των p και τ

21

B.3 Κωνικές συµπαγείς µπιγέτες

Θεωρούµε συρµατοποίηση µέσω κωνικής µήτρας (Σχ. 21)

Σχήµα 21: Συρµατοποίηση µέσω κωνικής µήτρας

Βήµα 1: Αναγνώριση του προβλήµατος • Συρµατοποίηση µέσω κωνικής µήτρας µε δύναµη ευθυγράµµισης του σύρµατος (Fb). • Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) στη διεπιφάνεια ΤΕ/ΕΡ. • Συντελεστής τριβής µ και ηµιγωνία κορυφής α πολύ µικρά. • Ροή του υλικού µόνο προς τα έξω (λόγω της F). • Θεωρούµε κυλινδρικό σύστηµα αξόνων (r, θ, x) µε άξονα x τον άξονα συµµετρίας του σύρµατος µε αρχή την κορυφή Ο του κώνου. • Θα µελετηθεί η ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας πάχους dx, σε απόσταση x από τον άξονα, βλ. Σχ. 21, όπου η τριβή θα έχει πρόσηµο προς τα αριστερά. Βήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας • Από την υφιστάµενη γεωµετρία προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις

α⋅= tanxr (63α) α⋅= tandxdr (63β)

α=

cosdxds (63γ)

• Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας κατά τον άξονα x (Σχ. 22) Οι συνιστώσες δυνάµεις είναι

dxr2pcoscos

dxr2pcosdsr2

dxtanr2psincos

dxr2psindsr2

r

)drr()d(2

x

2xx

⋅π⋅µ=αα

⋅π⋅µ=α⋅⋅π⋅τ

⋅α⋅π⋅=αα

π⋅=α⋅⋅π⋅

πσ−

+πσ+σ

p

Η εξίσωση ισορροπίας γράφεται

22

0dxr2pdxtanr2pr)drr()d( 2x

2xx =⋅π⋅µ+⋅α⋅π⋅+πσ−+πσ+σ ή λόγω των εξ. (63) και µε

απαλοιφή του x

0dr)]cot1(p[2dr xx =⋅α⋅µ++σ+σ⋅ (64)

Σχήµα 22: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας κατά τον άξονα x.

Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Κατά τα γνωστά, ισχύει Y31 =σ−σ . Θεωρώντας ως κύριες διευθύνσεις τις x και r, αντίστοιχα (δηλ. και ), µε κατάλληλες τοµές της στοιχειώδους λωρίδας, όπως φαίνεται στο Σχ. 23, ελευθερώνονται εσωτερικές τάσεις

x1 σ=σ rσ3 =σ

rσ και θσ .

Σχήµα 23: Ισορροπία κατά διεύθυνση r

Από την ισορροπία κατά την ακτινική διεύθυνση r προκύπτει

0dxdrsin2dxdrdxd)drr)(sinpcosp( 2d

r =⋅⋅σ−⋅θ⋅σ−⋅θ+α⋅µ−α⋅− θθ

23

θέτοντας και αντικαθιστώντας το sin µε το τόξο του, µετά την εκτέλεση των πράξεων λαµβάνεται

θσ=σr

r )tan1(p α⋅µ−−=σ και επειδή 0tan →α⋅µ , τελικά θα είναι

pr −=σ (65) Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής παίρνουµε Y)p(x =−−σ ή τελικά

xYp σ−= (66) Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος Η εξ. (64) γίνεται λόγω της εξ. (66) 0dr)]cot1)(Y([2dr xxx =⋅α⋅µ+σ−+σ⋅+σ⋅ ή θέτοντας

α⋅µ= cotB

)]B1)(Y([2d

rdr

xx

x+σ−+σ⋅

σ−= ή

]B)B1(Y[2d

rdr

x

xσ−+⋅

σ−= ή

]BY)B1[(B2]BY)B1[(d

rdr

x

xσ−+⋅

σ−+=

ή µε ολοκλήρωση

c]BY)B1[(nB21nr x +σ−+= ll (67)

Οριακή συνθήκη για τον προσδιορισµό της σταθεράς ολοκλήρωσης c. Στην είσοδο )2dr( i= ασκείται εφελκυστική τάση ευθυγράµµισης ίση προς

2ibibx dF4AF ⋅π==σ . Με αντικατάσταση στην εξ. (67) προκύπτει

]AF

BY)B1[(nB21

2d

nci

bi −+−= ll (68)

Από το συνδυασµό των εξ. (67) και (68) παίρνουµε

−+

σ−+=

)A/F(BY)B1(

BY)B1(n

B21

dr2n

ib

x

ill ή

)A/F(BY)B1(BY)B1(

dr2

ib

xB2

i −+σ−+

=

ή µετά την

εκτέλεση των πράξεων

Y1d

r2B

B1d

r2AF B2

i

B2

ii

bx

−

+

−

=σ (69)

Βήµα 6: Υπολογισµός φορτίου συρµατοποίησης Τάση ελκυσµού στην έξοδο της µήτρας

Ydd

1B

B1dd

AF B2

i

fB2

i

f

i

bxt

−

+

−

=σ (70)

24

Φορτίο συρµατοποίησης

f

B2

i

fB2

i

f

i

bfxt AY

dd

1B

B1dd

AF

AF

−

+

−

=σ= (71)

Απόδειξη της σχέσης σr= σθ Από τη διατήρηση του όγκου (παραδοχή ισόογκης παραµόρφωσης) θα είναι πr2h=σταθ. ∆ιαφορίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει

0h

dhr

dr2 =+ ή ισοδύναµα

0dd2 z =ε+ε⋅ θ (α) Λόγω της ισόογκης παραµόρφωσης (διόγκωση µηδενική) θα είναι ως γνωστόν

0ddd zr =ε+ε+ε θ (β) Οπότε από το συνδυασµό των (α) και (β) θα έχουµε

θε=ε dd r (γ) όπου εr η ακτινική παραµόρφωση, εθ η εφαπτοµενική παραµόρφωση και εz η κατά το πάχος παραµόρφωση. Με εφαρµογή των εξισώσεων Lévy-Mises

λ=σ′ε

=σ′ε

=σ′ε

θ

θ dddd

z

z

r

r (δ)

και λαµβάνοντας υπόψη την (γ) προκύπτει για τις αποκλίνουσες τάσεις ,rσ′ θσ′

θσ′=σ′r ή

mmr σ−σ=σ−σ θ ή τελικά

θσ=σr (ε)

25

Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΛΟΦΟΣ ΤΡΙΒΗ (“Friction-Hill Method”, Slab...

Documents

Transcript of Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΛΟΦΟΣ ΤΡΙΒΗ (“Friction-Hill Method”, Slab...