Del mismo modo, suponiendo que Ф es una aproximación Ф 2. Obtenemos

||Ф - ᾳ 2 Ф 2 ll2 ≤ 1

Y en ambos casos el destino obtenido es muy grande (en cuenta que ll Ф 1 ll 2 = 1 y ll Ф2 l2 = 1),

Lo que indica que no se aproxima un eigen vector.

Eigen problema Generalizado

Consideremos ahora que se desea estimar la precisión obtenida en la solución de lo generalizado

Eigen problema KФ= ƛ .M Ф Supongamos que hemos calculado como una aproximación a

ƛi Ф i los valores

ƛ y Ф Luego, en analogía con los cálculos efectuados anteriormente, podemosCalcular un vector de error rM, donde

rM = K Ф – ƛ M Ф (10.103)

Con el fin de relacionar el vector de error en (10.103) al vector de error que corresponde a la eigen problema estándar, usamos

M = sst, y luego

r = KФ, - ƛФ (10.104)Donde

r = s-1 r M, Ф= sTФ and K = s-1 Ks-r (véase la Sección

10.2.5). It is the vector s-1 rM que tendríamos que utilizar, por lo tanto , para calcular la cota de error dado en ( 1O.1O 1).

Estos Cálculos de error obligado requerirían la factorización de M en ssT donde se suponeQue es definida positiva. Durante cálculos

En los cálculos reales frecuentemente usamos el método de interacción inversa (véanse las secciones 11.2 y 11.6) , y luego un límite de error basado en las siguientes evaluaciones se pueden obtener de manera eficiente ( ver H. Matthies [A] y también el ejercicio 10.11). Dejar

Entonces tenemos

1

(10.105)

(10.106)

Y(10.107)

Donde p (<f >) es el cociente de Rayleigh

Veremos qué (10.105) es el paso típico en una iteración inversa, Lanczos iteración, y la iteración sub espacio, y p ( Ф) es , en la práctica también casi siempre calculan de buena calidad aproximación del cociente de Rayleigh a un valor propio . Nótese también que el término ФT MФ/ФTMФ consta de dos números que se calculan con facilidad en las iteraciones.

Mientras que los límites de error anteriores son muy eficaces, es finalmente también de interés para considerar la siguiente medida simple error:

(10.108)

Para evitar la factorización de M podemos en lugar de considerar el problema MФ, = ƛ- 1 K Ф , si la factorización de K ya está disponible, y luego establecer límites sobre el ƛ - 1

r

Dado que, físicamente, K Ф representa las fuerzas elásticas de puntos nodales y ƛ M Ф representa las fuerzas de inercia de punto nodal cuando el elemento de conjunto finito está vibrando en el modo Ф evaluamos en (10.108) la norma de salida de la balanza de fuerzas punto nodal dividido por la normaDe fuerzas elásticas punto nodal. Esta cantidad debe ser pequeña si ƛ y Ф Son una exactaSolución de un eigenpair.

If M = 1, debe tenerse en cuenta que podemos escribir

y por lo tanto

(10.10

(10.110)Ejemplo 10.23: Considere la eigen problema KФ = ƛMФ , donde

Los valores propios y vectores propios exactos a la precisión de 12 dígitos son

Supongamos que Ф= ( Ф1 + δФ 2 ) c , donde c es tal que ФTMФ = 1 y δ = 10-1 , 10-3 , y 10-6 • Para cada valor de δ evaluar X como la Ray1eigh cociente de ( i) y calcu1ar de los límites de error sobre la base de ( 10.104 ) , ( 10.106 ) , y la medida de error e dada en ( 10.108 ) .La siguiente resume la tab1a de resu1tados obtenidos. Las ecuaciones utilizadas para evaluar las cantidades se dan en (10.103) a (10.108). Los resultados en el tab1e muestran que para cada valor de δ de los límites de error son satisfactoriamente y que E es también para una pequeña solución precisa.

δ 10-1 10-3 10-6

Ф 0.597690792656 0.640374649073 0.640775610204

0.156698194481 0.105594378695 0.105070861597

ФTKФ 4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905

ƛ 4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905

-1.207470493734 -0.008218153965 -0.000008177422rM 4.605630581124 0.049838803226 0.000049870085

1.634419466242 0.021106743617 0.0000211523641.411679295681 0.015042545327 0.000015049775

|ƛ1 – ƛ| 0.291248377399 0.000029416056 0.000000000029

Destinado 2.159667897036 0.025918580132 0.000025959936 (10.101/10.104)

Bound 2.912483773983 0.029416056744 0.000029433139(10.106)

Measure 0.447113235813 0.007458208660 0.000007491764(10.108)

886 Preliminares a las Soluciones de Eigen problemas Chap. 10

10.4.1 Ejercicios

10.11. La siguiente cota de error es discutido por J. Stoer y R. Bulirsch [ A]. Sea A una matriz simétrica y A ; ser un valor propio de A; entonces

Para cualquier vector

Demostrar que (10.105) a (10.107) se siguen de esta fórmula.

10.11. Considere el eigen problema en el Ejercicio 10.1. Dejar

Calcular Ф usando (10.105) y p Ф Estos valores, p (Ф)Y Ф , son ahora las mejores aproximaciones ¬ a un valor propio y vector propio.

Establecer los límites de error (10.101) [con (10.103) ] y ( 10.106 ) . También evaluar el errorMedida (10.108).

Páginas 884, 885, 886 abarca parte del tema 10.4.2 el 10.4.1 le toca a Jorge q abarca paginas 881, 882, 883 y 884