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    CAPÍTULO 2 Moduladores ΣΔ de tiempo continuo: Fundamentos, Arquitecturas y Estado del arte.

    2.1 Introducción.

    Este capítulo abarca los contenidos de carácter básico que se necesitan

    para abordar un análisis acerca de los CT ΣΔMs (de “Continuous Time

    Sigma-Delta Modulator”). De esta manera, en el segundo apartado se ana-

    liza el esquema de un ADC “genérico” y a partir de este punto se comien-

    zan a tratar conceptos básicos como el ruido de cuantización y el

    sobremuestreo, en el tercer y cuarto apartado, respectivamente. Es en el

    quinto apartado cuando se esbozan las ideas directamente relacionadas con

    los CT ΣΔMs, poniendo de manifiesto temas como la conformación del

    ruido de cuantización (en inglés, “noise-shaping”), el inherente filtro antia-

    aliasing que presenta este tipo de moduladores y las principales tipologías,

    cascada y lazo simple (en inglés, “single-loop”). La última parte del capí-

    tulo se dedica a las figuras de medida, tanto estáticas como dinámicas, y a

    dar una “visión” del estado del arte de los CT ΣΔMs.

  • Diseño de bloques básicos para un modulador ΣΔ en cascada de tiempo continuo y alta velocidad.

    27

    2.2 Conversión Analógica-Digital.

    El proceso de conversión analógico-digital lleva por objeto trasladar una

    señal continua en amplitud y tiempo al espacio discreto, esto es, al espacio

    donde dichos niveles de tiempo y amplitud aparecen discretizados. El

    diagrama de bloques conceptual de un ADC aparece representado en la

    Fig.(2.1).

    En primer lugar un filtro paso-baja limita el ancho de banda de la señal de

    entrada con el fin de que no ocurra ningún plegamiento (en inglés “alia-

    sing”) en la banda de la señal que la pueda corromper al intentar reconstruir

    ésta. Después, la señal a la salida del filtro, x’(t), es muestreada con el fin

    de producir una señal discreta en el tiempo, x[k]. La amplitud de ésta es

    entonces “cuantizada”, es decir, las diferentes amplitudes “se aproximan” a

    un conjunto de niveles de referencia preestablecidos, generando así una

    señal discreta en amplitud, y[k]. Finalmente, con la ayuda de un codifica-

    dor tendremos a la salida una representación digital, yD[k], de esos niveles.

    Si la arquitectura lo requiere1, la señal y[k], puede ser convertida a una

    señal analógica, yA[k], y realimentada de modo que sea comparada con la

    señal de entrada con el fin de producir un error. La razón que existe entre la

    frecuencia de muestreo, fs, y el ancho de banda de la señal de entrada, fB,

    1. En nuestro caso, esta idea será clave, ya que los ΣΔMs hacen uso de este lazo de realimentación.

    Filtro Anti -Aliasing

    x(t)

    Circuito de Muestreo

    fs

    Cuantizador+ Codificador

    Convertidor A/D

    yA[k]

    x’(t) x[k] y[k]

    10010 11100 01011

    yD[k]

    Figura 2.1. Diagrama de bloques de un ADC genérico.

  • 28

    Capítulo 2 : Moduladores ΣΔ de tiempo continuo: Fundamentos, Arquitecturas y Estado del arte.

    nos sirve como criterio de clasificación para los convertidores de datos.

    Como se explicó en el primer capítulo, en los denominados convertidores

    de Nyquist, la frecuencia de muestreo es, en principio, ligeramente más alta

    que fB, con el objetivo de asegurar la reconstrucción de la señal original.

    Por su parte, en los convertidores de “sobremuestreo” la entrada es mues-

    treada varias veces por encima de la frecuencia de Nyquist, utilizándose

    entonces el filtrado digital con el fin de “submuestrear” y eliminar el ruido

    existente por encima de fB. Refiriéndonos a esta última clase de convertido-

    res, hemos de destacar los sigma-delta, los cuales son objeto de estudio y

    análisis del presente capítulo.

    2.3 El Cuantizador: Análisis del ruido de cuantización.

    La tarea de este bloque básico es cuantizar, discretizar, la señal mues-

    treada en un espacio compuesto de 2B niveles, siendo B el número de bits

    utilizados para representar una muestra en el ADC. Debido al hecho de que

    la amplitud de la señal muestreada puede tomar cualquier valor dentro de

    su rango continuo y que el cuantizador dispone solamente de un número

    finito de niveles, no va a existir un “mapeo de valor-a-valor” en la ope-

    ración de dicho dispositivo. De hecho, existirá un rango de valores de

    entrada que produzcan la misma salida en el cuantizador. Este error de

    redondeo va a producir el denominado “error de cuantización”, que depen-

    derá sobre todo de los niveles que hayamos utilizado para discretizar la

    señal, esto es, de B.

    Si nos centramos en analizar el cuantizador, la función principal de éste

    es la de “hacer coincidir” la entrada analógica con un número determinado

    de niveles, en concreto 2B. La característica de transferencia para un cuan-

    tizador de 3-bit aparece representada en la parte superior de la Fig.(2.2).

    Como se puede observar, la entrada del cuantizador es “mapeada” en 8

    distintos y equidistantes niveles.

  • Diseño de bloques básicos para un modulador ΣΔ en cascada de tiempo continuo y alta velocidad.

    29

    Las diferentes señales de entrada son asignadas a los niveles de salida a

    través de la división del rango total de entrada en ocho segmentos de igual

    ancho2, de manera que todos los valores que estén ubicados en un mismo

    tramo se enlazarán con un único código de salida, produciéndose por tanto

    un error de cuantización irreversible. Para un cuantizador de B-bit gené-

    rico, la separación entre los niveles de salida es dada por [Rb/Woo99],

    (Ec 2.1)

    donde denota el máximo rango de salida. De igual modo, la mínima

    separación entre los diferentes niveles de entrada se denomina LSB (de

    “Least Significant Bit), dado por:

    2. Asuminos que la cuantización es uniforme.

    Y F S

    XFS

    γ=Γ/2Β

    δ=Δ/(2Β−1)

    γ = 1 LSB

    Amplitud entrada muestreada

    Salida Digital

    + ½ LSB

    - ½ LSB

    Error de Cuantización

    δ

    So br

    ec ar

    ga

    So br

    ec ar

    ga Figura 2.2. Característica de transferencia y error de cuantización para un cuantizador de 3-bit.

    δ YFS

    2B 1– ---------------=

    YFS

  • 30

    Capítulo 2 : Moduladores ΣΔ de tiempo continuo: Fundamentos, Arquitecturas y Estado del arte.

    (Ec 2.2)

    siendo el fondo de escala para la entrada del cuantizador. A veces

    resulta útil definir la razón entre δ y γ, parámetro que se denomina ganan-

    cia del cuantizador G,

    (Ec 2.3)

    La línea diagonal que atraviesa la característica representa un cuantizador

    ideal, es decir, un cuantizador (si fuera posible) con un número infinito de

    niveles. Las intersecciones horizontales de esta línea con la característica

    de transferencia (punto medio de los tramos de entrada) muestra aquellos

    valores de entrada donde la salida del cuantizador justamente mapea a ésta.

    Para todos los demás valores (dentro del mismo tramo) la operación de

    cuantización resulta en un error, o, en una diferencia entre la salida del

    cuantizador y la entrada que la produce. Esta diferencia se denomina error

    de cuantización y aparece representado en la parte inferior de la Fig.(2.2)

    frente a la señal de entrada del cuantizador. Podemos observar como el

    máximo error de cuantización corresponde a una amplitud de o

    en el rango de entrada normal de operación. Cuando la entrada excede

    dicho rango la salida del cuantizador entra en saturación o sobrecarga ya

    que el cuantizador no tiene capacidad para seguir a dicha entrada.

    Más tarde utilizaremos el error de cuantización para determinar las

    prestaciones de un ADC. En este momento es preciso realizar algunas

    suposiciones acerca de este error y derivar algunas propiedades basadas en

    tales suposiciones. El error de cuantización depende de la entrada del cuan-

    tizador. Si asumimos que la entrada cambia de manera aleatoria y que la

    situación de sobrecarga no se produce, podemos decir (suponer) que el

    γ XFS 2B

    ---------=

    XFS

    G δ γ --

    2B YFS•

    2B 1–( ) XFS• -----------------------------------= =

    1 2 ---LSB δ2

    ---±

  • Diseño de bloques básicos para un modulador ΣΔ en cascada de tiempo continuo y alta velocidad.

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    error de cuantización a lo largo del eje de tiempo se comporta como una

    fuente aditiva de ruido blanco [Benn48].

    La Fig.(2.3) representa el modelo del cuantizador tomando en cuenta la

    suposición relatada. La ganancia G, denota la ganancia lineal del cuantiza-

    dor (ver ecuación 2.3) y EQ el error de cuantización distribuido de manera

    uniformemente aleatoria que se añade a la señal de entrada para producir la

    salida del cuantizador.

    El error de cuantización, o, ruido de cuantización puede tomar cualquier

    valor (siempre y cuando el cuantizador no entre en la zona de sobrecarga)

    entre y y tiene como PDF (de “Function of D